CAlCUlO V DETERMINACION DETANTOS POR CIENTO, POR Mil,• V PARTES POR MillON

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En estadistica yen otros campos cientificos y tecni-cos se dan con frecuencia situaciones en las que, enlugar de conocer la magnitud absoluta de una canti-dad, resulta mas interesante determinar que propor-ci6n representa respecto de una cantidad total masamplia de la que forma parte. En estos casos se usanlos tantos por ciento 0 porcentajes, los tantos por mily las partes por mi1l6n.

32.1 ESTADisTICA DESCRIPTIVA:OBTENCION Y ORDENACION DEDATOS

Para calcular el tanto por cien 0 porcentaje de unvalor respecto de otro, se multiplica en primer lugarel valor menor por 100 y el resultado se divide por elnumero total de casos, es decir, por el numero ma-yor. Por ejemplo, si Juan ha comido 4 caramelos deuna bolsa de 5, a fin de calcular el tanto por cientode caramelos que se ha comido se Bevan a cabo lassiguientes operaciones:

4·100 = 805

Este resultado significa que Juan ha comido el 80 %de caramelos. El simbolo «%» se lee «por cien» 0

«por ciento».

Los porcentajes se aplican con frecuencia a los da-tos estadisticos de las encuestas, y se pueden repre-sentar mediante graficos y tablas. Por ejemplo, secuentan los arboles de cinco jardines de la ciudad yel resultado es:

NumeroI ..de. 12

~--

En total hay 60 arboles. Los tantos por ciento secalculan dividiendo los arboles de cada uno de losjardines por 60 y multiplicando el resultado por 100.

En realidad, al dividir 12 por 60, por ejemplo, seesta calculando la frecuencia relativa: por tanto, pa-ra obtener los porcentajes, se calcula primero la fre-cuencia relativa y este valor se multiplica por 100:

Jardin Frecuencia Frecuencia Porcentajerelativa ( %)

1 12 0,20 202 6 0,10 103 8 0,13 134 24 0,40 405 10 0,17 17

Estos resultados se pueden visualizar mediante undiagrama de barras, tal y como se ha visto en la uni-dad anterior:

Porcentajes I

Para dibujar el diagrama de sectores, se calculacuantos grados rniden los angulos de cada sector. Esteresultado se obtiene multiplicando la frecuencia rela-tiva por 360. El resultado es:

D Jardin 1

D Jardin 2

D Jardin 3

D Jardin 4

D Jardin 5

El uso de porcentajes es muy habitual en operacio-nes comerciales, como los intereses que rinden los

ahorros depositados en un banco 0 los descuentos quese aplican alas ventas en epoca de rebajas.

Cuando se estudia una variable que tiene un valormuy reducido respecto de la poblacion total, no secalcula el parcentaje, sino el tanto por mil. Esto sig-nifica que se tiene en cuenta la incidencia de la varia-ble par cada 1000 sujetos. Si, par ejemplo, se haceuna encuesta entre 7 500 personas para saber si hancomprado un deterrninado electrodomestico y el re-sultado es que solo tres 10 han hecho, el tanto porciento de este valor es igual a:

3· 100 = 0 4750 '

Al ser un valor muy pequeno, es preferible obtenerel tanto por mil, el cual se calcula multiplicando par1000 en vez de por 100.

3.1000=4750

EI resultado es que el4 %0 (el simbolo «%0» corres-ponde al tanto por mil) de los encuestados tiene elelectrodomestico. Es habitual dar, par ejemplo, lastasas de natalidad de un pais en tantos par mil: si esdel 5 %0, significa que nacen cuatro personas por cadamil habitantes.

Cuando la proporcion es aun menor, se utilizan laspartes por millon, que se indican mediante ppm. Elprocedimiento para calcularlas es el mismo que el deltanto por ciento y por mil, solo que se multiplica elvalor parcial por 1000000. Las partes par millon seutilizan, par ejemplo, para medir la cantidad de uncompuesto quimico en un medio: de esta manera, sedice que el dioxido de carbona en la atmosfera terres-tre es de 300 ppm, porque 330 moleculas de cada mi-lIon de las del aire son de este gas.

PORCENTAJES COMPARADOS

EI3 % de 67, les mayor, igual 0 menor que el67 % de 3?

Soludon al final del capitulo

CAlCUlO V DETERMINACION DE TANTOS PORCIENTO, POR Mil V PARTES POR MillON

1 Una familia gasta, al cabo de un mes, 745 d6la-res en alimentaci6n, 455 en transporte, 390 en ocioy 290 en productos para la casa.

a) Calcular los tantos por cien que representa ca-da clase de gasto respecto del total.

b) Dibujar un diagrama de barras que exprese losporcentajes.

a) La familia gasta en total:

745 + 455 + 390 + 290 = 1 880 $

Para calcular los tantos por ciento se multiplica cadavalar por cien y se divide por el dinero total, es decir,1 880 dolares:

745 . 100 = 39 63 %1880 '

455 . 100 = 24 20 %1880 '

390 . 100 = 20 74 %1880 '

290 . 100 = 15 43 %1880 '

Se observa que, cuando se suman todos los porcenta-jes parciales de un total, el resultado es del 100 %.

b) El diagrama de barras se dibuja con todos estosdatos. Para ello, se dibujan dos ejes: en el horizontalse colocan los parcentajes de gasto, y en el vertical, seindican las diferentes clases de gastos. Por ultimose dibujan rectangulos, de forma que su longitud secorresponda con el porcentaje, como se puede obser-var a continuacion:

I0 Porcentaje de gasto I

2 Los beneficios obtenidos por un negocio du-rante el primer trimestre del aDO se desglosan delsiguiente modo: enero, 420 d6lares; febrero, 135d6lares y marzo, 41 d6lares.

a) Dibujar el histograma y el pollgono de freeuen-cias de los poreentajes.

b) Haeer una grafiea que represente los poreenta-jes aeumulados.

a) El porcentaje se calcula sumando, en primer lu-gar, todos los beneficios: 420 + 135 + 41 = 596. Sedividen ahora los beneficios obtenidos en cada mesentre el total y el resultado se multi plica por 100:

420·100 04596 = 7 , 7%

135 . 100 = 22 65 %596 '

41 . 100 = 6 88 %596 '

EI histograma se dibuja mediante dos ejes: en el ho-rizontal se escriben los meses, y en el vertical, losporcentajes. Se dibujan rect<ingulos cuyas bases ocu-pen el espacio destinado a cada meso Su longitud hade corresponderse con los porcentajes. EI resultadoes la siguiente grafica:

- - - - - - -

- - - - - - -- - - - - - -- - - - - - -- - - - - - -

- - - -

- - - -I

EI polfgono de los porcentajes se dibuja uniendo lospuntos medios de la parte superior de los rectangulos:

•. l.\

b) Para representar los porcentajes acumulados, sesuma a cada mes el porcentaje del anterior, y el re-sultado se muestra en forma de tabla:

Porcentajeacumulado

70,47

93,12

100

Enero 420

Febrero 135

Marzo 41

70,47

22,65

6,88

I....• _a· .. · .. ··········1··········1---_ ... -.-

I._------ ...

3 Julio gasta su paga semanal de la siguiente ma-nera: 26 d61ares en el autobus, 14 d61ares en comprarmaterial para la escuela, 3 d61ares en comprar cara-melos y 15 d61ares en el cine.

a) Calcular los tantos por cien de cada tipo de gasto.

b) Dibujar un diagrama de sectores que representelos porcentajes de los gastos.

Soluci6n:

a) Autobus: 44,83 %;Caramelos: 5,17 %;

Materiales: 24,14 %Cine: 25,86 %

o Autobus

o Materiales

o Caramelos

o Cine

4 Nuria recoge flores en el campo. EI primer dfa harecogido 11 flores; el segundo dfa ha encontrado 17;el tercero, 5, y el cuarto, 22.

a) Calcular los porcentajes de flores recogidas porNuria cada dfa.

b) Dibujar un diagrama de barras de los porcentajesacumulados.

Soluci6n:

a) Primer dia: 20 %;Tercer dia: 9,09 %;

Segundo dia: 30,91 %Cuarto dia: 40 %

b) 100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

5 La empresa de Javier presenta sus cuentas anuales.EI primer trimestre obtuvo unos beneficios de 3 500d6lares; el segundo, 1 200 d6lares; el tercero, 30 d6la-res, y el cuarto, 890 d6lares.

a) Calcular los porcentajes.

b) Racer el polfgono de los porcentajes.

Soluci6n: a) Primer trimestre, 62,28 %Segundo trimestre, 21,35 %Tercer trimestre, 0,53 %Cuarto trimestre, 15,84 %

b) 100908070605040302010o

.•.

"",

•

6 En una pequefia ciudad de 9 432 habitantes seha llevado a cabo una encuesta sobre los h:ibitos me-dioambientales. EI resultado es el siguiente: s6lo 25personas del total separan los residuos; 45 personasevitan siempre el coche y utilizan exclusivamente eltransporte publico, y ocho unicas personas consumen

agua de forma responsable. Calcular los tantos pormil que corresponden a cada grupo.

Soluci6n: Residuos:Transporte publico:Agua:

2,65 %04,77 %00,85 %0

7 Ra llovido durante cinco dfas seguidos. EI primerdfa han cafdo, en una regi6n determinada, 4592 li-tros de agua; el segundo dfa, 8933 litros; el ter-cer dfa, 12432 litros; el cuarto dfa, 9332 litros y elquinto dfa, 5455 litros. Dibujar un diagrama que re-presente los porcentajes acumulados.

40

20 .~0

Ier dfa 2° dfa

8 Deterrninar cu:il es el tanto por ciento equivalenteIf. / 6a a raccIOn"8

9 Indicar que tanto por ciento corresponde a la frac-. / 14

CIOn 25

10 Un nino se come cinco caramelos de una bolsaen la que habfa un total de dieciocho. Expresar enforma de tanto por ciento los caramelos que se hacomido.

13 Un estudiante, apasionado de la lectura, ha lefdodurante un ano cincuenta libros de tres tematicas di-ferentes: novela, divulgaci6n cientffica y ensayo. Enel siguiente gnifico se muestran los porcentajes de li-bros que ha lefdo de cada uno de los temas:

oNovelaoDivulgacioncientifica

oEnsayo

Soluci6n: Quince novelas, veinticinco obras dedivulgacion cientifica y diez ensayos

14 Una persona ha bebido el15 por ciento del con-tenido de una botella de tres cuartos de litro. l,Cuan-tos litros han quedado al final en la botella?

15 Silvia gana 3000 d61ares en la loteria. Gasta el12 % del premio en muebles, y luego gasta un 15 %del dinero que Ie queda en arreglar sujardfn. l,Cuantodinero ha gastado en total?

16 A Javier Ie gustan mucho las manzanas. Decideanotar en una tabla el numero de manzanas que comecada dfa a 10 largo de una semana, con el siguienteresultado:

Dfa de la Numero desemana manzanasLunes 3

Martes 1

Miercoles 5

Jueves 8

Viemes 4

Sabado 2

Domingo 11

a) Teniendo en cuenta el total de manzanas comidasesa semana, calcular los porcentajes de manzanasque comi6 Javier cada dia de la semana, y presen-tar el resultado en forma de tabla.

b) Representar los porcentajes mediante un polfgonode frecuencias.

Dia de la Numerode Tanto Isemana manzanas por ciento

-Lunes 3 8,82

Martes 1 2,94

Miercoles 5 14,71

Jueves 8 23,53

Viernes 4 11,76

Sabado 2 5,88

Domingo 11 32,36

17 Tres aventureros quieren cruzar un desierto pa-ra llegar a una ciudad, y han calculado que tardaranocho dias en total. Tienen un barril con 35 litros deagua y al cabo de tres dfas, cada uno ha bebido 8litros. Si se tiene en cuenta que se han evaporado 2 li-tros debido al calor, l,que porcentaje de agua les que-da del total inicial, para llegar al fin del trayecto?

18 Un libro esta dividido en cuatro capitulos: el pri-mero de ellos tiene 64 paginas; el segundo, 58; el ter-cero, 110 y el ultimo 45. Calcular el porcentaje depaginas que tiene cad a capitulo con respecto al totalde paginas dellibro.

Soluci6n: Primer capitulo, 23,10 %segundo capitulo, 20,94 %tercer capitulo, 39,71 %cuarto capitulo, 16,25 %

19 Sergio ha comprado un coche por 11 452 d61a-res. Al cabo de dos anos decide venderlo descontando

un 45 % de su precio original. l,Cuanto dinero pedirapor el coche?

20 Una empresa tiene que transportar doscientascajas de mercancfas en carni6n. Alllegar al destino ydescargar las cajas, se observa que dieciocho de ellasestan danadas. l,Cual es el tanto por ciento de cajascon desperfectos?

21 Dependiendo de la estaci6n del ano, un jardi-nero obtiene los siguientes beneficios: en primavera,gana 5 630 d6lares; en verano, 3 290; en otono, 1 020,Yen inviemo, gana 340.

a) Calcular los porcentajes de beneficios obtenidosen cada estaci6n con respecto al total del ano.

b) Representar los tantos por ciento mediante un dia-grama de barras.

Soluci6n:

a) Primavera, 54,77 %;Otoiio: 9,92 %;

Verano, 32 %Invierno, 3,31 %

InviernoQIeeoQl Otooo-ee

'Q

'0 Verano.s'""'l

Primavera

22 En el siguiente grafico estan representadas lassuperficies forestales de cada una de las cinco regio-nes que conforman un pais, calculadas en ki16metroscuadrados:

E

Dc:

~c~B

A

0

a) Calcular el tanto por ciento de superficie forestalde cada regi6n, respecto del total de superficie fo-restal del pais.

b) Si se han producido diversos incendios que hanquemado un 18 % de la superficie forestal totaldel pais, l,cuantos ki16metros cuadrados de bos-que quedan?

a) A = 40,03 %;C = 13,71 %;E = 26,66 %

b) 67 226,88 km2

B = 11,64 %D=7,96%

23 Petra compra cada dia cuatro peri6dicos: LaVoz, La Verdad, EI Espejo y EI Cactus. En el siguien-te grafico se observa, por un lado, el mimero de pagi-nas que tiene cada diario y, por otro, el mimero depaginas que Petra ha leido de cada uno de ellos:

807060

~ SO.~ 40~ 30

2010o

La Voz La Verdad El Espejo El Cactus

Diarios

a) El porcentaje de paginas que Petra ha leido de ca-da peri6dico.

b) El porcentaje total de paginas que Petra ha leido,teniendo en cuenta el total de los cuatro peri6di-cos que compra a diario.

Soluci6n:

a) La Voz, 17,95 %;El Espejo, 60,32 %;

b) 43,43 %

La Verdad, 82 %El Cactus, 26,67 %

24 Cuatro farnilias compran, cada una, una barrade pan que rnide 85 centimetros de largo. La primerafarnilia se come dos quintas partes del pan; la segun-da, cuatro septimas partes de su barra; la tercera, seisnovenas partes, y la cuarta, tres cuartas partes. Segunestos datos, indicar:

a) l,Cwintos centimetros de la barra de pan les quedaa cada familia?

b) l,Que tanto por ciento de la respectiva barra de panse ha comido en cada familia?

c) Representar, mediante un diagrama de barras, losporcentajes calculados en el punto anterior.

Soluci6n:

a) Primera familia, 51 emSegunda, 36,43 emTereera, 28,33 emCuarta, 21,25 em

b) Primera familia, 40 %Segunda, 57,14 %Tereera, 66,67 %Cuarta, 75 %

c) En el siguiente diagrama:

25 Un coche que cuesta 7 890 d6lares se rebaja un5 %. Al cabo de unos meses, debido a que nadie 10ha comprado, se rebaja un 10 % de su precio en aquelmomento. Un comprador se 10 acaba quedando, perodespues de que se rebaje un 7 % respecto de su ante-rior precio. l,Cwintos d6lares pag6 dicha persona?

26 Juan repara electrodomesticos, y en un dia hanllegado a su tienda veinticuatro aparatos que necesi-tan ser arreglados. EI primer dia repara una terceraparte del total; el segundo dia, una cuarta parte de losaparatos que quedan por reparar, y el tercer dfa, unasexta parte de los aparatos que aun no estin repara-dos. EI resto de aparatos 10 arregla el cuarto dia.

a) l,Cwintos aparatos Ie quedaran por reparar el ulti-mo dia?

b) Calcular el porcentaje de aparatos reparados cadauno de los dias respecto del total.

c) Dibujar un diagrama de sectores en el que aparez-can los porcentajes de aparatos reparados durantelos cuatro dias.

Soluci6n:

a) Diez aparatos

b) Primer dia, 33,33 %;Tercero, 8,33 %;

Segundo, 16,67 %Cuarto, 41,67 %

4l.7~~3~3

8,33 16,67

DPrimerdia

oSegundo dia

o Tercer dia

DCuarto dia

27 Laura ha llevado una bolsa con 150 caramelos a2 3

la escuela. Regala 15 ala profesora, y luego 10 delos que Ie quedan los regala a su amiga Clara. Mas

5tarde, 13 de los caramelos que Ie quedan los regal a a

3Susana, y "7 del resto los regal a a Pedro.

a) l,Cuantos caramel os recibe cada persona?

b) Indicar el numero de caramelos que quedan en labolsa de Laura.

c) Calcular los porcentajes de caramelos que recibecada una de las personas y el de los que quedan alfinal en la bolsa.

d) Representar los porcentajes mediante un diagra-ma de barras.

Soluci6n:

a) Profesora, 20 caramelosClara, 39 caramel osSusana, 35 earamelosPedro, 24 earamelos

b) 32 earamelos

c) Profesora, 13,33 %Clara, 26 %Susana, 23,33 %Pedro, 16 %queda en la bolsa el 21,33 %

28 En una poblacion de 343 285 habitantes, se hanproducido 152 nacimientos. Calcular el tanto por milde nacimientos.

29 En una ciudad en la que viven 96 582 personas,180 de ellas han adquirido un nuevo producto. Cal-cular el tanto por mil de habitantes de la ciudad queha realizado dicha compra.

30 En una disolucion qufmica, de cada tres millo-nes de moleculas que la componen, doscientas veinteson iones de cloro. i.,Cmintas partes por millon repre-sentan los citados iones?

31 Se ha calculado que solo el 5 0/00 de personas deuna poblacion de 3 600 habitantes no tiene televisoren su casa. i.,Cmintas personas son exactamente?

32 Sobre la mesa de trabajo de Pedro hay un boteque contiene un total de 36 bolfgrafos de tres coloresdistintos. De ellos cinco son de color azul, doce decolor negro y los diecinueve restantes de color rojo.Calcular los porcentajes de cada color con respecto almimero total de bolfgrafos y representarlos utilizandopara ello un diagrama de sectores.

Solucion: Azules, 13,89 %Negros, 33,33 %

Rojos, 52,78 %

33 Un estadio tiene una capacidad de 11 489 es-pectadores. A un partido de flitbol que genera granexpectacion asisten 8 435 personas. Calcular el tantopor ciento de asientos que estaran vados el dfa en quese disputa dicho encuentro.

34 Un diario vende 1254780 ejemplares entre los18 943 112 habitantes de una poblacion. Calcular eltanto por mil de habitantes que lee dicho periodico.

3 3 • 67 201x = 100 • 67 = 100 = 100

_ 67 3 _ 67 • 3 _ 201x - 100· - 100 - 100

En casas como el presente, la intuici6n sue Ie failar, engafiada por la disparidad entre 105 numeros escogidos. EI calculo matematicodemuestra su igualdad y permite dam cuenta de que este resultado se cumple para cualquier par de numeros que se considere.