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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
PRIMERA PRACTIA CALIFICADA DE CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
CURSO : CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
DOCENTE : ING. JORGE VERA
ESTUDIANTE :
-VILLANUEVA MACHADO CARLOS 20100022K
Lima – Perú
2013
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
1.
Considere la barra de la figura Determine los desplazamientos nodales los esfuerzos en los elementos y las reacciones en los soportes
E=200×109 N /m2
N= # DE ORDEN
2.
La viga rígida de la figura estaba a nivel antes de aplicarse la carga. Encuentre el esfuerzo en cada miembro vertical (sugerencia: la condición de frontera es del tipo restricción de multipunto)
3.
Este problema refuerza el hecho de que una vez se han supuesto las funciones de forma, entonces se pueden obtener las otras matrices del elemento. Se dan a continuación ciertas funciones en forma arbitraria y se pide al lector obtener las matrices B y K.
Considere el elemento unidimensional mostrado en la figura
La transformación
ε= 2x2−x1
(x−x1 )−1
Se usa para relacionar las coordenadas x e ε sea el campo de desplazamiento interpolado por
u (ε )=N1q1+N2q2
Donde se supone que las funciones de forma N1,N2 son
N1=cosπ (1+ε)4
…N2=cosπ (1−ε )4
….
A) Desarrolle ∈ =Bq es decir desarrolle la matriz BB) Desarrolle la matriz de rigidez k e (no tiene q evaluar las integrales)
SOLUCIONARIO
PROBLEMA 1
N= # DE ORDEN= 13
Cargas: P1=300+5×13KN=365KN
P2=600+2×13KN=626KN
Modulo de Young esE=200×109 N /m2
SOLUCIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran 4 elementos finitos, luego obtenemos el siguiente modelado:
Cuadro de conectividad:
e
NODOS GDL Le
(mm)
Ae
(mm2)(1) (2) (1) (2)
1 1 2 1 2 150 250
2 2 3 2 3 150 250
3 3 4 3 4 200 400
4 4 5 4 5 200 400
2. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por
la siguiente ecuación:
K= ( AEL )1[1 −1 0 0 0
−1 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
]
+ ( AEL )2[0 0 0 0 00 1 −1 0 00 −1 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
]+( AEL )
3[0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 −1 00 0 −1 1 00 0 0 0 0
]+ ( AEL )3[0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 −10 0 0 −1 1
]Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad:
K= E x [53
−53
0 0 0
−53
103
−53
0 0
0 −53
113
−2 0
0 0 −2 4 −20 0 0 −2 2
] NmmDonde:
E=200 x103 N
mm2
3. VECTOR DESPLAZAMIENTO
Q =¿ [Q 1 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3 ¿ ] [Q 4 ¿ ]¿¿
¿¿Luego, por condiciones de contorno:
Q1 = 0; (empotrado)
Q5=3.5
⇒
Q =¿ [0¿ ] [Q2 ¿ ] [Q 3 ¿ ] [Q 4 ¿ ]¿¿
¿¿
4. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada nodo:
F=[R1
365×103
0626×103
R5]N
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ
La ecuación de rigidez esta determinada por la siguiente ecuación:
F i = K iJ QJ ……………..(1)
Sabemos que: N
F=[R1
365×103
0626×103
R5]N
Además de:
K= E x [53
−53
0 0 0
−53
103
−53
0 0
0 −53
113
−2 0
0 0 −2 4 −20 0 0 −2 2
] NmmReemplazando en (1):
F=[R1
365×103
0626×103
R5]N=(200×103)[
5 /3 −5 /3 0−5 /3 10 /3 −5/30 −5 /3 11 /3
0 00 0
−2 00000
−20
4−2
−22
][0Q2Q3Q43.5
]Resolviendo este sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, obtenemos:
Q2=2.177727mm
Q3=3.260455mm
Q4=4.162727mm
R1=−725909.090909N
R2=−265090.909091N
6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente
ecuación:
σ e=( El )e
[−1 1 ] [ QiQi+1 ]
Y obtenemos lo siguiente:
σ 1=( 200×103150 ) [−1 1 ][ 02.177727]→σ1=2903.636
Nmm2
σ 2=( 200×103150 )[−1 1 ][2.1777273.260455 ]→σ 2=1443.637333Nmm2
σ 3=( 200×103200 )[−1 1 ] [3.2604554.162727]→σ3=902.272Nmm2
σ 4=( 200×103200 ) [−1 1 ] [4.1627273.5 ]→σ 4=−662.727 Nmm2
SOLUCIÓN MANUAL
∑ F=0⇒
R1+R5=365×103+626×103 N…(α )
Aplicando criterio de “Resistencia de materiales”:
(e) Fuerza actuante (N) Estado asumido
1 F1 = R1 Tracción
2 F2 = 365KN - R1 Compresión
3 F3 = 365KN - R1 Tracción
4 F4 = (365KN + 626KN) - R1 Compresión
DEFORMACIÓN TOTAL:
Del gráfico se observa que la expansión total es 3.5 mm
⇒
δ1+δ 2+δ3−δ4=3 .5mm
F1 L1E1 A1
+F2 L2E2 A2
+F3L3E3 A3
−F4 L4E4 A4
=3 .5
R1(150)E(250)
−(365×103−R1 )(150)
E(250)+
(365×103−R1 )(200)E (400)
−(365×103+626×103−R1 ) (200)
E(400)=3.5
Resolviendo:
R1=725909.09N
Reemplazando en la ecuación (α ) :
R2=265090.91 N
Luego:
δ 1=F1 L1E1 A1
=2.177727mm
δ 2=F2 L2E2 A2
=−1.082727mm
δ 3=F3 L3E3 A3
=−0.902273mm
δ 4=F4 L4E4 A4
=.662727mm
CALCULO DE ESFUERZOS:
σ 1=F1A1
=2903.636 Nmm2
(TRACCIÓN )
σ 2=−F2A2
=1443.636 Nmm2
(COMPRESIÓN )
σ 3=−F3A3
=902.273N /mm2(TRACCIÓN )
σ 1=−F4A4
=−662.727N /mm2(COMPRESIÓN )
SOLUCIÓN MATLAB
Código fuente en MATLAB:
% PROBLEMA 3.6 [Ing. VERA]%Numero de elementos finitos: 4% DATOS:% L1 = 150 mm A1 = 250 mm2% L2 = 150 mm A2 = 250 mm2% L3 = 200 mm A3 = 400 mm2% L4 = 200 mm A4 = 400 mm2% E = 200*10^3 N/mm2clc;E=input(' Ingrese modulo de Young en N/mm2 =');L1=input('Ingrese L1 (mm) =');A1=input('A1 (mm2) =');L2=input('Ingrese L2 (mm) =');A2=input('A2 (mm2) =');L3=input('Ingrese L3 (mm) =');A3=input('A3 (mm2) =');L4=input('Ingrese L4 (mm) =');A4=input('A4 (mm2) =');P2=input('Fuerza en nodo 2 (N) =');P4=input('Fuerza en nodo 4 (N) =');C=[1 -1;-1 1];K1=E*A1/L1*C;K2=E*A2/L2*C;K3=E*A3/L3*C;K4=E*A4/L4*C;K11=zeros(5);K22=zeros(5);K33=zeros(5);K44=zeros(5);%Calculo de K1:for i=1:2 for j=1:2 K11(i,j)= K1(i,j); endend%Calculo de K2:for m=2:3 for n=2:3 K22(m,n)= K2(m-1,n-1); endend%Calculo de K3:for m=3:4 for n=3:4 K33(m,n)= K3(m-2,n-2); endend%Calculo de K4:for m=4:5 for n=4:5 K44(m,n)= K4(m-3,n-3);
endend %MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL (K):disp('MATRIZ RIGIDEZ GLOBAL (N/mm): ');K=K11+K22+K33+K44%VECTOR DEFORMACIONES:Q4=((P4+1400000)*(K(3,3)*K(2,2)-K(2,3)*K(3,2))+P2*(K(3,2)*K(4,3)))/(K(4,4)*(K(3,3)*K(2,2)-K(2,3)*K(3,2))-K(4,3)*K(3,4)*K(2,2));Q3=(-P2*K(3,2)-Q4*K(3,4)*K(2,2))/(K(3,3)*K(2,2)-K(3,2)*K(2,3));Q2=(P2-K(2,3)*Q3)/K(2,2);Q=[0 ;Q2; Q3; Q4; 3.5]%VECTOR FUERZAS:F=K*Q %ESFUERZOS:disp('ESFUERZOS (N/mm2) : ');Esf1=E/L1*[-1 1]*[Q(1);Q(2)]Esf2=E/L2*[-1 1]*[Q(2);Q(3)]Esf3=E/L3*[-1 1]*[Q(3);Q(4)]Esf4=E/L4*[-1 1]*[Q(4);Q(5)]
USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
>>problema_3.6
Ingrese modulo de Young [N/mm2]= 200*10^3
Ingrese L1 [mm] = 150
Ingrese A1 [mm2] = 250
Ingrese L2 [mm] = 150
Ingrese A2 [mm2] = 250
Ingrese L3 [mm] = 200
Ingrese A3 [mm2] = 400
Ingrese L4 [mm] = 200
Ingrese A4 [mm2] = 400
Ingrese Fuerza en nodo 2[KN] = 300*10^3
Ingrese Fuerza en nodo 4[KN] = 608.75*10^3
>>DATOS DE SALIDA:
K =
1.0e+005 *
3.3333 -3.3333 0 0 0
-3.3333 6.6667 -3.3333 0 0
0 -3.3333 7.3333 -4.0000 0
0 0 -4.0000 8.0000 -4.0000
0 0 0 -4.0000 4.0000
Q =
0
2.1777
3.2605
4.1627
3.5000
F =
1.0e+005 *
-7.2591
3.6500
0.0000
6.2600
-2.6509
ESFUERZOS (N/mm2) :
Esf1 =
2.9036e+003
Esf2 =
1.4436e+003
Esf3 =
902.2727
Esf4 =
-662.7273
Observamos un pequeño error debido a los efectos de redondeo
AGREGAR TABLA COMPARATIVA
PROBLEMA 2:
SOLUCIÓN POR ELEMENTOS FINITOS
(A) El problema se modela usando dos elementos como se muestra en la siguiente tabla de conectividad.
TABLA DE CONECTIVIDAD
ELEMENTO N° NODO1 NODO 21 3 12 4 2
Las condiciones de frontera en los nodos 3 y 4 son obvias: Q3=0 y Q4=0 Ahora, como la barra rígida tiene que permanecer recta Q1, Q2 y Q5 están relacionadas como se muestra en la siguiente figura:
Las restricciones de multipunto que se deben a la configuración rígida de la barra están dadas por:
Q1−0.4167Q5=0
Q2−0.7500Q5=0
(B) Las matrices de rigidez del elemento están dadas por:
E1=206842.718795N
mm2y E2=120000
N
mm2
A1=645.16mm2 y A2=806.45mm
2
l1=l2=914.4mm
k 1=E1 A1l1 [ 1 −1
−1 1 ]=1033 1 ¿[ 145.939 −145.939−145.939 145.939 ] 3
1
k 2=E2 A2l2 [ 1 −1
−1 1 ]=1034 2 ¿[ 105.833 −105.833−105.833 105.833 ] 4
2
La matriz de rigidez global es:
k=10312345 ¿[145.939 0 −145.939 0 00 105.833 0 −105.833 0
−145.93900
0−105.833
0
145.93900
0105.8330
000]12345
La matriz se modifica como sigue. S escoge un número C= [53.33x103] x 104; grande en comparación con los valores de las rigideces. Como Q3 =Q4=0, se agrega C en las posiciones (3,3) y (3,4) de K. Luego se consideran las restricciones de multipunto dadas en la parte (A) Para la primera matriz la restricción,Q1−0.4167Q5=0, notamos que β0=0, β1=1 yβ2=0.4167. La adición la matriz de rigidez es la siguiente:
[ C β12 C β1 β2C β1β2 C β2
2 ]=10715 ¿[ 53.33 −22.2226−22.2226 9.2602 ] 1
5
Como β0=0, entonces no hay adición de fuerza. Similarmente la consideración de la segunda restricción de multipunto Q2−0.7500Q5=0, da la adición de rigidez:
[ C β12 C β1 β2C β1β2 C β2
2 ]=10725 ¿[ 53.33 −39.9975−39.9975 29.9981 ] 2
5
Como aquí también β0=0, no hay incremento de fuerza.
Después de agregar todas las rigideces precedentes, obtenemos las ecuaciones modificadas finales:
103[533445.939 0 −145.939 0 −222226
0 533405.833 0 −105.833 −399975−145.939
0−222226
0−105.833−399975
533445.93900
0533405.833
0
00
392582.87][Q1Q2Q3Q4Q5
]=[0000
667233.242289]
[Q1Q2Q3Q4Q5
]=[3.27305.8913
8.9541×10−4
1.1689×10−3
7.8567]
Los esfuerzos se calculan de la siguiente manera:
σ 1=( E1l1 ) [−1 1 ] [Q3Q1]=740.1629N /mm2
σ 2=( E2l2 ) [−1 1 ][Q4Q2]=772.9859N /mm2
SOLUCIÓN EN MATLAB
% PROBLEMA 3.6 [Ing. VERA]%Numero de elementos finitos: 2% DATOS:% L = 914.4 mm % A1 = 645.16 mm A2 = 806.45 mm2% E1=206842.718795Mpa E2=120000MPa% para 1:%B0=0 B1=1 B2=0.4167% para 2:%B0=0 B1=1 B2=0.7500%C=53.33*10^7%F=667233.242289Nclc;E1=input('Ingrese modulo de Young del primer cuerpo en N/mm2 =');E2=input('Ingrese modulo de Young del segundo cuerpo en N/mm2 =');A1=input('A1 (mm2) =');A2=input('A2 (mm2) =');L=input('Ingrese L (mm) =');B10=input('Para multipunto 1\n Ingrese B0 =');B11=input('B1 =');B12=input('B2(el signo de ser necesario) =');B20=input('Para multipunto 2\n Ingrese B0 =');B21=input('B1 =');B22=input('B2(el signo de ser necesario) =');F=input('ingrese la carga=');C=input('Ingrese C=');D=[1 -1;-1 1];K1=E1*A1/L*D;K2=E2*A2/L*D;K1A=C*[B11*B11 B11*B12;B11*B12 B12*B12];K2A=C*[B21*B21 B21*B22;B21*B22 B22*B22];K3A=C*[1 0;0 1];FM=[0;0;0;0;F];K11=zeros(5);K22=zeros(5);K33=zeros(5);K44=zeros(5);K55=zeros(5);E=[E1,E2];%para la matriz de rigidezfor i=1:2 for j=1:2 K11(2*i-1,2*j-1)= K1(i,j); endendfor i=1:2 for j=1:2 K22(2*i,2*j)= K2(i,j); endendfor i=1:2 for j=1:2 K33(4*i-3,4*j-3)= K1A(i,j); end
endfor i=1:2 for j=1:2 K44(3*i-1,3*j-1)= K2A(i,j); endendfor i=1:2 for j=1:2 K55(i+2,j+2)= K3A(i,j); endendK=K11+K22+K33+K44+K55%para la matriz de desplazamientosQ=GaussJordan(K,FM)%para los esfuerzosfor i=1:2 S=E(i)/L*[-1 1]*[Q(i+2);Q(i)]end
DONDE:
%Metodo de gauss jordanfunction x= GaussJordan(AA,b)%DAtos%AA es la matriz recibida% A es la matriz aumentada% b es el vector de la mano derecha% n es el orden de la matriz% Resultados% x es el vector solucion[n n]=size(AA);x=zeros(n,1);A=[AA b];n1=n+1;for i=1:n if A(i,i)==0 A=Intercambio(A,i); end Piv=A(i,i); for j=i:n1 A(i,j)=A(i,j)/Piv; end for k=1:n if k~=i Pivote=A(k,i); for j=i:n1 A(k,j)=A(k,j)-Pivote*A(i,j); end end endendfor i=1:n x(i)=A(i,n1);end
DONDE:
function A=Intercambio(A,i)% % DAtos% % A es la matriz% % n es el orden de la matriz% % Resultados% A es la nueva matriz despue del intercambio[n n1]=size(A);k=i+1;while (k<=n)&&(A(k,i)==0) k=k+1;endif k<=n for j=1:n1 temp=A(i,j); A(i,j)=A(k,j); A(k,j)=temp; endend
USO DEL PROGRAMA DEL MATLAB
Ingrese modulo de Young del primer cuerpo en N/mm2 =206842.718795
Ingrese modulo de Young del segundo cuerpo en N/mm2 =120000
A1 (mm2) =645.16
A2 (mm2) =806.45
Ingrese L (mm) =914.4
Para multipunto 1
Ingrese B0 =0
B1 =1
B2(el signo de ser necesario) =-0.4167
Para multipunto 2
Ingrese B0 =0
B1 =1
B2(el signo de ser necesario) =-0.75
ingrese la carga=667233.242289
Ingrese C=533300000
DATOS DE SALIDA
K =
1.0e+008 *
5.3345 0 -0.0015 0 -2.2223
0 5.3341 0 -0.0011 -3.9998
-0.0015 0 5.3345 0 0
0 -0.0011 0 5.3341 0
-2.2223 -3.9998 0 0 3.9258
Q =
3.2765
5.8977
0.0009
0.0012
7.8651
S =
740.9609
S =
773.8189
Volvemos a observar que existen unas ligeras diferencias entre los valores, esto debido a los efectos de redondeo.
PROBLEMA 3:
A)
ϵ=dudx
=dudεdεdx
= 2x2−x1
dudε
ϵ= 2x2−x1 [ d N 1
dε,d N2dε ] . q
Que es de la forma ϵ=B×q
B= 2x2−x1 [ d N1dε
,d N 2
dε ]= 2x2−x1 [−π4 sin π (1+ε )
4,π4sinπ (1−ε )4 ]
B= π2(x2−x1) [−sin π (1+ε )
4, sin
π (1−ε )4 ]
B)
k e=EeAe le2
∫1
−1
[BT B ] dε
k e=EeAe le2
∫1
−1π2(le)
2[ sin2 π (1+ε )4
−sin2π (1+ε )4
−sin2π (1+ε )4
sin2π (1+ε )4
]dε
