Cap 14 Flujo en Lechos

Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ingeniera, Departamento de Ing. Qumica Operaciones Fsicas I, cap.14 - hoja 1

Captulo 14

FLUJO EN LECHOS POROSOS

Una masa de partculas slidas inmviles e inmersas en un fluido en circulacin conforman lo que se conoce tcnicamente como lecho poroso, relleno o fijo y es un sistema de gran inters en muchas reas de la Ingeniera Qumica por sus diversas aplicaciones. Existen equipos de procesos industriales especficamente diseados para diversos fines, cada uno de los cuales puede ser representado mediante

un esquema semejante al de la figura 14.1, que corresponde a una columna o torre: un recipiente cilndrico de flujo vertical. Para mencionar algunas aplicaciones comunes, se tienen las operacio-nes de adsorcin e intercambio inico, para la decoloracin de aceites y otros derivados de petrleo mediante tierras Fller, la retencin de sustancias aromticas con carbn activado, la deshi-dratacin de gases mediante slica gel o tamices moleculares y la desionizacin de agua. Otras operaciones como destilacin (sepa-racin de mezclas lquidas de dos o ms compuestos de diferente volatilidad) y absorcin (separacin de un compuesto de una mez-cla gaseosa mediante un lquido en contracorriente), si bien son sistemas de tres fases, se realizan en equipos de configuracin similar. Y finalmente, se pueden mencionar los reactores de lecho cataltico fijo, como los que son tradicionalmente empleados en la industria petroqumica para la produccin de diversos productos intermedios y finales (por ejemplo: hidrgeno y amonio va gas de sntesis).

Tambin es posible encontrar este tipo de sistemas en reas naturales: un lecho de arena embebido en agua, gas o petrleo, por ejemplo, constituye un reservorio en el que interesa conocer la

relacin entre los gradientes de presin y el movimiento del fluido. Sin embargo, en los trabajos de modelamiento mediante tcnicas numricas se suele preferir las ecuaciones diferenciales bsicas para el flujo en lechos porosos (ecuaciones de continuidad y de movimiento vistos en el captulo 3), pues se trata generalmente de sistemas porosos con flujo de muy baja velocidad.

Un tema especial es el de filtracin, desarrollado en la segunda parte de este captulo, cuyo objeto especfico consiste en la separacin de las partculas slidas de una suspensin fluida. Esta operacin es de empleo frecuente en la industria qumica de materiales slidos y en el tratamiento de agua tanto industrial como sanitaria y de efluentes en general por motivos de conservacin del medio ambiente.

14.1 Cada de presin en lechos porosos Cuando las partculas de un sistema como el que se describi antes se encuentran en contacto en-

tre s, el flujo alrededor de cada una de ellas se ve afectado fuertemente por la presencia de las dems. De modo que la teora analizada en el captulo anterior para sedimentacin, basada en los conocimien-tos inherentes al flujo alrededor de partculas, resulta inaplicable. Llamativamente, el mtodo ms simple y exitoso para estimar la cada de presin en lechos porosos considera a ste como conformado por un haz de tubos entrelazados de forma y seccin cambiantes (en forma azarosa) y sobre el que se aplica la teora de flujo en conductos.

Flujo laminar

En flujo laminar, la velocidad media del fluido que circula por un conducto circular de dimetro interno D est dada por la siguiente ecuacin ya obtenida a partir de las ecuaciones diferenciales:

2

0

8 2L

zp p Dv

L (14.1)

Figura 14.1. Torre o columna delecho fijo.


Cuando se trata de un conducto no circular (aunque sin alejarse demasiado de esta geometra b-sica), es posible utilizar la misma ecuacin sobre la base del concepto de radio hidrulico Rh y de acuerdo a un dimetro equivalente que cumple la relacin: De = 4 Rh.

Para un medio poroso lo anterior se puede expresar como:

volumen disponible para el flujoseccin de flujo volumen total

rea de la superficie mojadapermetro mojadovolumen total

hR a (14.2)

donde: , la fraccin del volumen total ocupada por el fluido, es la porosidad del lecho. A su vez: 0rea de la partcula vol. de la partcula 1vol. de la partcula volumen totala a (14.3) siendo: a0 el llamado rea especfica de las partculas y 1- la fraccin del volumen total ocupada por el slido1.

En el caso de partculas esfricas de dimetro Dp se puede hallar geomtricamente que: 06

pa

D ,

por lo que combinando con las relaciones anteriores se tiene que: 6 1

ph

DR (14.4)

Por lo tanto, se tendr la siguiente ecuacin para la velocidad superficial del fluido en los conduc-tos internos del lecho poroso:

3

20272 1

Ls z p

p pv v D

L

(14.5)

Los trabajos experimentales realizados para verificar la funcin anterior han indicado que se con-sigue una prediccin muy satisfactoria si se sustituye el coeficiente 72 por 150. De modo que se puede adoptar la siguiente expresin para la cada de presin en un lecho poroso con flujo laminar:

2

2 3

1 Re150 ; 10

1s D

p

vpL D

(14.6)

conocida como de Blake y Kozeny (en alguna bibliografa se la llama de Carman y Kozeny).

La correccin anterior resulta razonable si se piensa que el camino recorrido por el fluido debe ser mucho mayor que el correspondiente a la longitud L del lecho. El nmero de Reynolds, basado en el dimetro de partcula, se asocia a la fraccin de volumen ocupada por el slido por las ventajas encon-tradas en el empleo de la informacin emprica.

Flujo turbulento

Por su lado, el caso de flujo turbulento puede ser atacado trabajando con el concepto de factor de friccin:

01 22

L

s

p pDfL v

con lo cual, introduciendo el concepto de radio hidrulico y las relaciones halladas antes, se arriba a:

1 Una relacin de utilidad para estimar la porosidad de un lecho de partculas esfricas es: 0,37 0,40 p

T

DD

siendo DT el dimetro interno del recipiente (con la condicin de que DT >> Dp).


33 0

1 222

1p L

s

D p pf

L v

El trabajo emprico disponible ha mostrado en este caso que se puede adoptar la siguiente igual-dad para la mayora de los lechos porosos:

32

3,5f (14.7) con lo cual resulta la siguiente relacin de Burke y Plummer:

2

3

Re11, 75 ; 10001

s D

p

vpL D

(14.8)

Para la regin intermedia, donde: Re

10 10001

D

, se ha observado que la diferencia de pre-sin en el lecho puede ser estimada considerando la suma de una contribucin laminar y una turbulen-ta, empleando las ecuaciones anteriores. Pero de todos modos, la ecuacin resultante permite calcular ese parmetro con mucha exactitud independientemente del tipo de flujo. Por ello se puede escribir:

2 2

2 3 3

1 1150 1, 75s spp

v vpL DD

(14.9)

que constituye la muy conocida ecuacin de Ergun2 del flujo en lechos porosos.

Si se la escribe en forma adimensional:

ecuacin de Ergun 3

21150 1, 75

1 Rep

Ds

DpL ev

(14.10)

la misma puede representarse convenientemente en forma grfica, observndose la existencia simult-nea de las tres ecuaciones presentadas (figura 14.2).

2 Sabri Ergun (ingeniero qumico turco). Chem. Eng. Progr., 48, 89-94 (1952).

Figura 14.2. Diagrama de la ecuacin de Ergun


En caso de flujo compresible y subsnico, la ecuacin de Ergun es utilizada con xito tomando la densidad del mismo igual a la media aritmtica de las correspondientes a las presiones extremas (o sea, de entrada y de salida).

Para partculas de geometra no esfrica puede utilizarse la siguiente correlacin de Leva3:

32

3 3

12n

mn

p s

f GpL D

(14.11)

donde: fm es un factor de friccin especfico, funcin del ReD como se aprecia en la figura 14.3; s es un factor de forma determinado empricamente y n un exponente funcin del nmero de Reynolds.

El dimetro de partcula puede estimarse conociendo el rea especfica, de acuerdo a:

0

6p

sD

a Como se deduce de esta ecuacin, el factor de forma para una partcula esfrica es: s = 1.

Tabla 14.1. Factores de forma para partculas de diferentes geometras

Material Forma sTungsteno partculas redondas Arena redondeada Arena angular carbn mineral pulverizado vidrio triturado dentado 0,63 arena de pedernal lminas dentadas 0,43 Mica laminillas 0,28 anillos de Raschig 0,30 albardillas de Berl 0,30 espirales de Arnold (alambre) 0,20

3 M. Leva. Chem. Eng., 56, 115-117, 1949.

Figura 14.3. Diagrama de fm para la ecuacin de Leva


En el caso de una mezcla de partculas de diversos tamaos, se ha encontrado que puede utilizarse un dimetro promedio definido por:

, ,

1 ip m p i

xD D

(14.13) siendo: xi la fraccin en peso de partculas de un determinado dimetro Dp,i. En la prctica se determi-

nan estas fracciones empleando un juego de mallas o cribas de diferente abertura.

Flujo compresible

Para el caso de flujo compresible subsnico se puede utilizarse la siguiente correlacin surgida de la combinacin de la ecuacin de energa mecnica y la correlacin de Leva:

32 2 2 0

0 3 3

122 ln

nm

L nL s p

f Lp p z R G T

D

(14.14)

donde: z es el factor de compresibilidad y 0 y L son las densidades del gas a la entrada y la salida del lecho, respectivamente. Puede apreciarse en esta expresin su similitud con la pertinente a la cada de presin en un conducto con flujo compresible que se present en el captulo 9.14.2 Filtracin

Se define como filtracin a la operacin de separacin de las partculas de una suspensin fluido-slida por retencin de stas en el reticulado de un agente (papel o tela) poroso. Esta operacin se dife-rencia de la de sedimentacin y se prefiere en aquellos casos donde se tratan suspensiones de partcu-las muy finas, de dimetro del orden de micrones (en muchos casos se combinan ambos tipos de ope-racin). La tabla 14.2 indica esquemticamente los tipos de separadores mecnicos (para hacer dife-rencia con los separadores trmicos o secadores) gas-lquido, clasificando por tipo de operacin (se-dimentacin y filtracin) y poder de separacin4. Los aparatos que se emplean en filtracin el nombre genrico de filtros, aunque en algunos casos particulares suele emplearse otros nombres, como es el caso de los tamices, coladores y clarificadores, que trabajan a baja presin.

Tabla 14.2. Clasificacin esquemtica de equipos de separacin mecnica.

Sedimentacin Filtracin

Acel

erac

in

(ml

tiplo

s de

g )

Vac

o

Atm

osf.

Pr

esi

n

Filtro prensa

Ca

da d

e pr

esi

n

30 bar De cinta 15 Separador 10.000 Centrfugo 5 De tambor De disco Centrfuga 3000 Clarificador 1 Tamices Cicln 100 De disco Tambor rotatorio Clarificador 1 Horizontal (pan) rot. De cinta 0,2

Un captulo especial lo constituyen los llamados filtros de torta, empleados para separar el slido de una suspensin lquida, y en los que las mismas partculas conforman el medio filtrante. Estas se depositan inicialmente sobre un medio poroso, normalmente una tela natural o sinttica (depositada a su vez sobre un soporte de madera o metlico ranurado o agujereado), y se acumulan formando una masa porosa (la denominada torta) de tal manera que, durante la mayor parte del proceso, el filtrado se

4 Tomado de: P. Schmidt, Filtration Centrifuges: an Overview, Chem. Engng., Dec. 2010, pg. 34-38.

Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ingeniera, Departamento de Ing. Qumica Operaciones Fsicas I, cap.14 - hoja 6 realiza a travs de ella. Dado que estos sistemas pueden ser analizados convenientemente con los prin-cipios de la fluidodinmica, se les dedicarn los siguientes prrafos.

14.2.1 Clasificacin y descripcin de filtros de torta Lo que sigue es un resumen descriptivo de los principales tipos de filtros de torta. El alumno po-

dr encontrar muchos detalles constructivos en la bibliografa especfica.

Los filtros ms empleados pueden clasificarse, en primer lugar, como:

a) De presin, si sta es mayor que la atmosfrica del lado de alimentacin de la suspensin;

b) De vaco, si la presin del lado de la descarga del fluido filtrado es menor a la atmosfrica.

Tambin puede hablarse de filtros:

a) Discontinuos, que trabajan en forma intermitente para permitir quitar la torta de sobre el so-porte cuando la presin de filtrado es excesiva (de acuerdo al diseo del equipo);

b) Continuos, cuando la torta es descargada mediante algn mecanismo que evita detener el pro-ceso de filtrado.

Las presiones por encima de la atmosfrica pueden conseguirse ya sea por gravedad (con una co-lumna de lquido), empleando una bomba o bien por accin centrfuga. Sin embargo, los filtros de gravedad son convenientes slo para suspensiones de partculas grandes, debido a las pequeas dife-rencias de presin que pueden generarse de esta forma.

Los filtros discontinuos de presin ms conocidos son el llamado filtro prensa de placas y marcos y el de hojas y carcaza (rango de trabajo de hasta 30.000 kPa). Dado que requieren de mucha mano de obra, estos equipos pueden llegar a ser econmicamente desventajosos en procesos de gran produc-cin. Pero son la primera eleccin en sistemas de pequeo volumen o de produccin artesanal.

Los sistemas continuos ms empleados, por su lado, funcionan comnmente en vaco y entre ellos se encuentran el filtro de tambor rotatorio, el horizontal rotatorio (pan filter) y el de cinta continua. No obstante, el empleo de vaco como fuerza impulsora puede estar restringido por alguna causa que puede ser: a) partculas demasiado pequeas o fluido muy viscoso, que provoca una filtracin muy lenta, y b) lquido con presin de vapor muy alta, con evaporacin cuantiosa.

En este tipo de equipos se hace circular al soporte filtrante por una serie de etapas, de tal manera que existe una zona de formacin de la torta, simultnea a otra en la que sta es lavada, luego secada y descargada. Finalmente se encuentra una operacin de lavado del soporte para reiniciar el ciclo com-pleto. Esto describe resumidamente la serie de operaciones que se realizan en este caso automtica-mente y que en los filtros discontinuos se hace en forma manual.

Otros tipos de aparatos de filtracin empleados en la industria son los de accin centrfuga, cons-tituidos principalmente por un cilindro vertical u horizontal que al rotar provoca por fuerza centrfuga el paso del lquido a travs de la torta y el soporte. Estos equipos pueden funcionar ventajosamente en forma continua.

14.2.2 Ecuaciones bsicas para filtros de torta El diseo de equipos de filtracin es fundamentalmente emprico y, sobre la base de este tipo de

informacin, pueden desarrollarse algunos clculos elementales para estimar la cada de presin, el espesor de la torta y otros parmetros en funcin del tiempo de filtrado.

Resulta conveniente trabajar adoptando como parmetros bsicos el volumen de filtrado (lquido limpio o separado de la suspensin) V , y la masa de slidos retenida en el filtro (conformando la torta) sm , ambos por unidad de superficie de filtro (la comilla indica especficamente esta ltima ca-racterstica). Se establece el siguiente balance de materia:


masa de la masa de masa delsuspensin la torta filtrado

s s

c

m m Vs s

(14.15)

donde s es la fraccin en masa de slidos de la suspensin y sc es la fraccin en masa de slidos de la torta. Existe la siguiente relacin entre este ltimo parmetro y la porosidad media de la torta :

1

11c p

s

; 1

11

c

p c

ss

(14.16)

De la ecuacin (14.15) se obtiene:

1 /s c

sm V cVs s (14.17)

donde entonces c es la masa de slidos de la torta por unidad de volumen de filtrado.

A su vez, el espesor de la torta L puede ser relacio-nado con sm : (1 )s pm L (14.18)

Por lo que, combinando las dos ltimas ecuaciones, se obtiene:

espesor de la torta: (1 )p

cL V (14.19)

Por otro lado, la diferencia de presin de un lado al otro del filtro, debe desagregarse en dos con-tribuciones (como se indica en la figura 14.4):

1) la debida a la resistencia de la torta y

2) la del medio filtrante y que acta como soporte sobre el que se deposita la torta.

La resistencia de la torta ser nula al comenzar la operacin en un filtro discontinuo o en la pri-mera fraccin de la zona de formacin de la misma en uno continuo. Posteriormente, la resistencia del medio filtrante puede despreciarse frente a la de la torta.

Por otro lado, la variacin de presin en la torta ser en principio lineal, cuando las partculas s-lidas no se vean deformadas por la presin ejercida por el flujo. Sin embargo, en la prctica el perfil de presin tendr una forma curva como la que se representa en la figura 14.4. La deformacin de las partculas aumenta cuanto ms cerca se encuentren del soporte (el efecto es acumulativo) y con el espesor de la torta. As, la porosidad puede disminuir en la direccin del movimiento del fluido (y esto es lo que obliga a adoptar un valor de porosidad media).

Siempre que se tenga una suspensin con partculas slidas pequeas, el flujo a travs de la torta puede ser considerado laminar, de modo que se puede hacer uso de la ecuacin de Blake y Kozeny para lechos porosos. Esta ecuacin escrita en forma diferencial tendr la siguiente forma:

22

0 3(1 )4,167 s

d p a vdL

y luego, con la ecuacin (14.18): 2

0 314,167 s

s p

d p a vdm

suspensin

p0

p1 p2

filtrado

torta medio filtrante

Figura 14.4. Esquema de formacin de la torta de filtrado


Si las partculas de la torta son rgidas, la ecuacin puede integrarse directamente para encontrar:

20 1 0 314,167L s s

pp p p a v m

(14.20)

Pero en general los efectos de la compresibilidad de la torta son importantes. Entonces se define una resistencia especfica de la torta tal que: L s sp v m (14.21)

Este coeficiente debe ser estimado sobre la base de informacin generada en un laboratorio pa-ra el caso especfico de la suspensin procesada. A su vez, debe considerarse la resistencia del medio filtrante r, de modo que la cada de presin medida en los ensayos involucre las dos contribuciones:

( )T L mf s sp p p v m r (14.22)

donde: 1 2mfp p p es la cada de presin a travs del soporte.

La ecuacin puede expresarse a los efectos prcticos como:

velocidad de filtrado: ( )

Ts

s

pdVvd t m r

(14.23)

la que se puede integrar con las condiciones que imponga alguna de las siguientes alternativas posibles para la operacin de filtracin:

a) a presin constante, lo que puede lograrse con una cmara de aire comprimido para forzar el flujo o por elevacin del origen de la suspensin;

b) a velocidad constante, por ejemplo con una bomba de desplazamiento positivo;

c) a presin y velocidad variables, cuando se emplea una bomba centrfuga;

d) con accin centrfuga.

A continuacin se desarrollarn las ecuaciones y procedimientos para el clculo en cada una de estas opciones.

a) Filtracin a presin constante

Para determinar la resistencia de la torta y del soporte filtrante, la ecuacin (14.23) puede arreglar-se de la siguiente forma:

Ts

s

p m rv

donde: sv y sm son valores promedio calculados a partir de datos de laboratorio debidamente tabulados (como /V t y cV , respectivamente) .

Supngase que las resistencias de la torta y del medio filtrante sean constantes durante toda la ope-racin con valores y r . Un grfico en el que se represente /T sp v en funcin de sm (figura 14.5) mostrar una lnea curva para pequeos valores de la masa de slidos formando la torta, convirtin-dose enseguida en una recta para el resto de la expe-

Figura 14.5. Resistencias especficas de la torta y del soporte

Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ingeniera, Departamento de Ing. Qumica Operaciones Fsicas I, cap.14 - hoja 9 riencia. La pendiente de esta recta representa a y su ordenada al origen determina el valor de r .

Se puede luego expresar el volumen de filtrado a partir del siguiente resultado de la integracin de la ecuacin (14.23):

222 TprV V t

c c (14.24)

y tambin, a travs de la ecuacin (14.19), se encontrar el espesor de la torta:

2 222

(1 ) (1 )T

p p

c prL L t (14.25)

pudindose calcular mediante la relacin (14.16). A los efectos prcticos, en general es satisfactorio considerar el tramo rectilneo del grfico de la

figura 14.5, pero debe tenerse en cuenta que puede ser importante no despreciar el comportamiento al inicio de la operacin de filtrado. b) Filtracin a velocidad constante

En este caso resulta que:

sV v t y: s sm c v t y la ecuacin (14.23) puede emplearse directamente para encontrar la cada de presin en funcin del tiempo: 2T s sp c v t r v (14.26)

Las filtraciones a velocidad constante se hacen generalmente operando a alta presin y la torta se forma muy rpidamente, por lo que se puede despreciar la cada de presin en el soporte sin error apreciable. Se necesitan valores de , r y o sc (estos ltimos para calcular c), los que se consiguen sobre la base de ensayos experimentales realizados a diferentes presiones (vale decir, cada experiencia a presin constante).

c) Filtracin con bomba centrfuga

La presin y el caudal de filtrado estarn en este caso relacionados con los que puede desarrollar la bomba, o sea, con la curva caracterstica de la misma. No pueden encontrarse frmulas simples que predigan el cambio de la presin o del volumen de filtrado o del espesor de la torta en el tiempo, pero puede desarrollarse un mtodo numrico que es fcilmente implementado en una planilla de clculo. El mismo consiste en calcular V para varios valores de Tp con la ecuacin:

Ts

pV

c v (14.27)

donde obviamente se est despreciando la resistencia del soporte. Tambin aqu, y se determinan mediante diferentes ensayos experimentales realizados a presin constante.

Luego pueden graficarse valores de 1/vs en funcin de V para encontrar el tiempo de filtracin para cada valor de presin, como el rea debajo de la curva de acuerdo a:

0

1V

s s

dVt Vv v

Nuevamente, el espesor L puede calcularse en funcin del volumen de filtrado en cada momento.

Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ingeniera, Departamento de Ing. Qumica Operaciones Fsicas I, cap.14 - hoja 10 d) Filtracin centrfuga

Por ltimo, en la filtracin centrfuga la diferencia de presin es originada por la accin centrfu-ga de la rotacin del sistema (o sea, del canasto que recibe la suspensin):

1 2 22 2 12Lp r r (14.28) donde: es la velocidad angular y r1 y r2 las distancias (o radios) desde el eje de rotacin a las caras anterior y posterior de la torta. De acuerdo entonces a la ecuacin (14.23) resulta:

2 22

2 1

2s s

r rv

m r

(14.29)

No obstante, cuando el espesor de la torta aumenta apreciablemente es necesario introducir algu-nas correcciones debido a que el rea de filtrado de ambas caras es diferente:

2 22

2 1

2s s

r rv

a m r

(14.30)

donde: 2

2

lna

Aa

A A con: 2 22A r b

1 2aA r r b (rea media aritmtica)

2 1ln

2

1

2

ln

r r bA

rr

(rea media logartmica)

En estas ecuaciones b es el ancho o altura de la torta. La relacin (14.30) da el valor instantneo de la velocidad de filtrado para una masa de torta dada. En otras palabras, no es el resultado de integrar desde el comienzo de la operacin. Por lo tanto, tambin debe emplearse un mtodo numrico para estimar la variacin de cada uno de los parmetros de inters.

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