Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles

9. Flujo de Fluidos compresibles. Cuando un fluido es compresible su densidad cambia a lo largo de la dirección del flujo, producto del cambio en la presión y la temperatura. En general, para un sistema determinado se considera que el fluido es compresible, si su densidad varía más de un 10% entre los puntos de entrada y salida. El flujo de gases a presiones atmosféricas o superiores, puede desarrollarse en régimen laminar o turbulento, con transición para Re = 2000 - 3000. Flujo isotérmico de un gas ideal a través de una cañería horizontal. Se cumple:

MRTcteppp

==== .2

2

1

1

ρρρ p

p⋅=

1

1ρρ

Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1 y p2, ρ2 respectivamente.

Figura 9.1. Flujo isotérmico de un gas ideal en una cañería horizontal.

02

2

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛f

c

dhdpgvd

ρ (9.1)

2

22 2 / 0

22 vg

gv

Ddxfdp

gvd c

cc

⋅=⋅⋅++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

(9.2)

02

2 2 =⋅+⋅+Ddxfdp

vg

vdv c

ρ (9.3)

Por continuidad. G = v⋅ρ = cte. dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0

ρρd

vdv

−= ,

dpp

d ⋅=1

1ρρ p

p⋅=

1

1ρρ

pdpd

=ρρ

pdp

vdv

−=

MECÁNICA DE FLUIDOS DPQBA, UTFSM

ρdp

vgc ⋅2

2 ,

ρ⋅= vG 222 ρ⋅= vG 2

22

ρGv = dp

Ggc ρ2

2 pdp

pGgdp

vg cc

12

12

22 ρρ

=⋅

Reemplazando en balance de energía:

02

21

21 =⋅++−

Ddxfpdp

pGg

pdp c ρ

(9.4)

Integrando p: entre p1 y p2 y x: entre x = 0 y x = L:

0122

012

12

1

2

1

=++− ∫∫∫Lp

p

cp

p

dxD

fpdppG

gp

dp ρ (9.5)

[ ] 0ln2 21

22

12

1

1

2 =+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

DLfpp

pGg

pp c ρ

(9.6)

Se define N = número de alturas de velocidad, DLfN =

[ ] 0ln2 21

222

1

2 =+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− Npp

RTGMg

pp c (9.7)

[ ]22

212

2

1

2ln ppRTGMg

ppN c −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− (9.8)

Ecuación general para el flujo másico superficial de un gas ideal isotérmico:

[ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

1

2

22

212

lnppN

ppRT

MgG c

(9.9)

Ecuación particular si se cumple:

2

1

2ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>>

pp

N


Ecuación de Weymouth:

[ ]22

21

2 ppRTN

MgG c −= (9.10)

Según la ecuación general (9.9), en un comienzo si p2 disminuye G2 aumenta. Se cumple que indistintamente para p2 →p1, G2→0, y para p2→0, G2→0. Lo anterior indica la existencia de un valor máximo para G2 asociado con un valor de p2 crítico p2*.

Figura 9.2. Flujo másico superficial en función de la presión de salida p2.

La región entre 0 < p < p2* es ficticia, ya que una vez que la presión de salida p2

alcanza el valor crítico p2* no se obtiene un flujo mayor. La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuación general con respecto a p2 para un p1 fijo según:

02

2

=dpdG (9.11)

1ln2

*2

1

2

2

1 +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗ N

pp

pp (9.12)

Resolviendo para p2*. Gmáx2 correspondiente obedece a la ecuación:

( ) ( )2*2

1

12*2

2 pp

gp

RTMg

G ccmáx

ρ== (9.13)

211

112

ln1máx

c

cmáx

Gpg

N

pgG

ρρ

++=

(9.14)


También se puede demostrar que:

*2

*2

*2

*2 vpgG cmáx ρρ == (9.15)

La correspondiente velocidad de salida será:

*2

*2*

2 ρpg

v c= (9.16)

La cual se puede interpretar como la velocidad de una hipotética onda de sonido isotérmica a las condiciones de salida, dado que se dispone de las siguientes relaciones para la velocidad del sonido y un gas ideal:

ρddpg

c c= MRTp

=ρ

Así, la velocidad de una hipotética onda de sonido isotérmica está dada por:

MRTg

c c= (9.17)

En la práctica, sin embargo, las ondas circulan en forma isentrópica, y la velocidad del sonido es:

MRTkg

c c= (9.18)

Donde, v

p

cc

k =

Flujo adiabático de un gas ideal a través de una cañería horizontal. Se cumple:

.2

2

1

1 ctepppkkk ===

ρρρ k

k pp

/1/1

1

1 ⋅=ρ

ρ v

p

cc

k =

Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1, T1 y p2, ρ2, T2 respectivamente.

02

2

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛f

c

dhdpgvd

ρ (9.1)


2

22 2 / 0

22 vg

gv

Ddxfdp

gvd c

cc

⋅=⋅⋅++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

(9.2)

02

2 2 =⋅+⋅+Ddxfdp

vg

vdv c

ρ (9.3)

Por continuidad. G = v⋅ρ = cte. dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0

ρρd

vdv

−= ,

dpppk

d kk

k

−

=1

/11

11 ρρ k

k pp

/1/1

1

1 ⋅=ρ

ρ p

dpk

d 1=

ρρ

pdp

kvdv 1

−=

ρdp

vgc ⋅2

2 ,

ρ⋅= vG 222 ρ⋅= vG 2

22

ρGv = dp

Ggc ρ2

2 dpp

pGgdp

vg k

kcc /1

/11

21

2

22 ρρ

=⋅

Reemplazando en balance de energía:

022 /1

/11

21 =⋅++−

Ddxfdpp

pGg

pdp

kk

kc ρ

(9.19)

Integrando p: entre p1 y p2 y x: entre x = 0 y x = L:

0122

0

/1/1

12

12

1

2

1

=++− ∫∫∫Lp

p

kk

cp

p

dxD

fdpppG

gp

dpk

ρ (9.20)

01

2ln2 1

1

1

2/11

21

1

2 =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

DLfpp

kk

pGg

pp

kk

kk

k

kc ρ (9.21)

Se define N = número de alturas de velocidad, DLfN = , y se utiliza para la

densidad las condiciones de entrada, 1

11 RT

Mp=ρ .

01

2ln2 1

1

1

21

2

1

1

1

2 =+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−

Nppk

kRTG

Mpgpp

kk

kk

kkk

c (9.22)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−

kk

kkk

k

c

k

ppk

kRTG

Mpgpp

N1

2

1

11

2

1

1

/2

1

2

12

ln (9.23)


Ecuación general para el flujo másico superficial de un gas ideal adiabático equivalente a (9.9):

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++

−

k

kk

kk

kk

c

pp

N

pp

kk

RTMpg

G/2

1

2

1

2

1

1

1

1

12

ln1

2 (9.24)

Ecuación particular si se cumple:

2

1

2ln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>>

pp

N

Ecuación de Weymouth, equivalente a (9.10):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++−

kk

kkk

k

c ppk

kNRTMpg

G1

2

1

11

1

12

12

(9.25)

Al igual que con flujo isotérmico existe un Gmáx asociado con una presión de salida p2 crítica p2*. La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuación general con respecto a p2 para un p1 fijo según:

02

2

=dpdG (9.11)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

+

∗ 12ln

12

/2

*2

1

1

2

1

kN

pp

pp

k

kk

k

(9.26)

Resolviendo para p2*. Gmáx2 correspondiente obedece a la ecuación:

( ) ( ) kk

kck

kk

kc

máx ppkg

ppRTkMg

G1

*2/1

1

11

*2

1

11

2++−

==ρ (9.27)

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅+

=+12

211

112

ln1

21

2

k

máx

c

cmáx

Gpkg

Nk

k

pkgG

ρ

ρ

(9.28)

Todas las ecuaciones para flujo adiabático se transforman en las de flujo isotérmico para k = 1.


FLUJO COMPRESIBLE EN TOBERAS. Otro ejemplo de flujo compresible ocurre con la descarga de un gas desde un recipiente a alta presión a través de una tobera, consistente de una sección convergente que conduce a una “garganta”, seguida posiblemente de una sección divergente o “difusor”.

Figura 9.3. Flujo a través de una tobera

convergente/divergente. El flujo de alta velocidad descargando a la atmósfera es del tipo adiabático y dado que sólo se desarrolla en una corta distancia se le considera sin fricción.

kk

pcp

1

1

ρρ==

k

pp

/1

11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ρρ

v

p

cc

k =

Balance de energía entre el recipiente y alguna posición en la tobera donde la velocidad es v y la presión es p.

022

1

21

2

=+− ∫p

pcc

dpgv

gv

ρ (9.29)

∫∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==−p

p

kk

k

kp

p ppp

kk

pdppdp

11

11

/)1(

11

1/1

1

/11

ρρρ (9.30)

Reemplazando en el balance y considerando v1 = 0.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

− kkc

ppp

kkg

v/)1(

11

12 11

2ρ

(9.31)


Figura 9.4. Efecto de la variación de la presión de salida en el flujo de la

tobera. Dado que w = ρ⋅v⋅A en cualquier punto, donde w es el flujo másico de gas que descarga y A es el área de sección transversal en la tobera.

kkkc

pp

ppp

kkg

AwG

/2

1

/)1(

111

22 1

12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

ρ (9.32)

El flujo másico superficial w/A (G) es claramente un máximo en la garganta, donde vale w/AT (o GT). Dado que la presión en la garganta es una variable, existe un valor máximo para w/AT (o GT), que se obtiene de:

0)/()/(

)/( 11

==ppdAwd

ppddG TT (9.33)

Así la razón de presión crítica es:

)1/(

1 12 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

kkcT

kpp

(9.34)

La velocidad vcT correspondiente es:

MRTkgpkgp

kkg

v cTc

cT

cTcccT ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

ρρ1

12

12 (9.35)


Finalmente el flujo másico crítico wc es:

)1/()1(

11 12 −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

kk

cTc kpkgAw ρ (9.36)

En relación a la figura se tienen varias situaciones según la presión de salida p2. p2 Fenómenos.

A

Si la presión de salida es ligeramente inferior a la del recipiente, existe un flujo de descarga pequeño. Se puede evaluar utilizando la ecuación (9.32) sustituyendo A = A2 (área de salida) y p =p2. La ecuación (9.32) entrega la variación de presión en la tobera. El flujo es siempre subsónico.

B Lo mismo que en A, excepto que la velocidad de flujo es más grande.

C Si la presión de salida se reduce suficientemente, la velocidad en la garganta alcanza el valor dado por la ecuación (9.35). En la sección divergente, la presión crece y el flujo es subsónico.

D

Para una presión de salida entre C y E, no hay solución continua posible. El flujo, que es crítico, es supersónico por una cierta distancia más allá de la garganta, sin embargo existe un incremento repentino de la presión, conocido como “shock”, y a continuación de esto el flujo es subsónico. El “shock” es un fenómeno irreversible, que resulta en bruscos cambios en velocidad, presión y temperatura sobre una extremadamente corta distancia de unas pocas moléculas en espesor.

E

Para el mismo flujo másico crítico como en C, la ecuación (9.32) tiene una segunda raíz, correspondiente a una presión de salida E. En este caso, sin embargo, existe un continuo decrecimiento de la presión en el difusor, donde el flujo es ahora supersónico.

F Para una presión de salida más baja que E, una posterior expansión irreversible ocurre justo afuera de la tobera.

Si no hay difusor, el flujo es esencialmente aquel que se obtiene a través de un orificio de un estanque a presión. El flujo será subsónico si la presión de salida excede pcT. Si la presión de salida es igual a pcT, entonces se obtiene un flujo crítico con velocidad sónica a través del orificio. Y si cae bajo este valor, aun se obtendrá flujo crítico, pero con una posterior expansión irreversible justo afuera del orificio.


SOLUCIÓN GRÁFICA PARA FLUJO COMPRESIBLE Considere la descarga de un estanque de grandes dimensiones, como la situación presentada en la figura 9.5:

Figura 9.5. Descarga de un estanque a través de una tubería

Se define el parámetro Gci, como el flujo másico máximo por unidad de área hipotético que se alcanza con una expansión isotérmica del gas a través del sistema mostrado en la Figura 9.5, cuando N = 0, es decir en el punto 1 o de descarga.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

sftlb

TRMg

ppg

G mCCci 2

00

00 718,2718,2

ρ (9.37)

Gráficamente a partir de ecuaciones de balances de energía y de continuidad Lapple determinó para diferentes tipos de flujo (k = 1.0, 1.4 y 1.8), la relación que existe entre la razón G/Gci (flujo másico superficial G en la cañería y el parámetro Gci) con la razón de presiones (p2/p0) o (p3/p0), para diversos valores de N, número de alturas de velocidad, asociados con la resistencia por fricción en la cañería.

• G, Gci, p0, p1, p2 y p3 definidos según esquema de descarga. • Otros flujos según valores de k se pueden obtener por interpolación.

Los gráficos de Lapple también identifican un flujo másico superficial máximo Gmáx, obtenido de la razón (G/Gci)c crítica o máxima, de acuerdo a las presiones que se desarrollen a lo largo de la cañería. El valor aludido, para un N cualquiera, se obtiene cuando la curva en el gráfico se hace vertical. Las razones (p2/p0) y (p3/p0) son iguales, para un N cualquiera, si la razón G/Gci es menor que el valor crítico o máximo (G/Gci)c. Sólo cuando se alcanza la razón (G/Gci)c, para un N cualquiera, (p3/p0) puede ser menor que el valor de (p2/p0). En ese caso el flujo es el máximo e independiente del valor de (p3/p0). La razón (p2/p0) se conserva fija, ya que corresponde a la presión p2* crítica definida antes.


Figura 9.6. Gráfico de Lapple para flujo isotérmico k =1.0

Figura 9.7. Gráfico de Lapple para flujo adiabático k =1.4


Figura 9.8. Gráfico de Lapple para flujo adiabático k =1.8 Una situación para el cálculo de flujos compresibles se puede plantear conociendo las condiciones al interior de la cañería. Suponga conocidas las condiciones de presión y temperatura en 1 y el flujo másico superficial G que circula por la cañería.

1 2

Para resolver este sistema de modo de conocer la presión y temperatura en un punto 2 cualquiera. Se puede plantear un arreglo ficticio formado por un estanque a presión y temperatura p0 y T0, para las condiciones hipotéticas de entrada dadas por el punto 1.

Entonces suponiendo un estanque en condiciones “0” desconocidas:


Se define G’ci:

11

'

···

·TReMg

pG cci = (9.38)

Se puede escribir la razón entre las ecuaciones (9.37) y (9.38):

0

1

1

0' ·

TT

pp

GG

ci

ci =

0

1

0

1

' ·

TT

pp

GG

GG

CICI

= (9.40)

0

1

0

2

1

2

pp

pp

pp

= (9.41)

0

1

0

2

1

2

TT

TT

TT

= (9.42)

Método de cálculo:

Se determina G’ci con (9.38) Se supone G/Gci Se determina para N=0: p1/p0 y T1/T0 Se calcula G/Gci de (9.40) y se chequea. Si cumple, entonces se determina para N=N: p2/p0 y T2/T0 Si no cumple se itera con G/Gci


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Gas natural (metano, se asume como gas ideal) circula estacionariamente a 55 ºF por una cañería horizontal de 12” de diámetro nominal de 20 millas de longitud, con un factor de fricción f = 0.014. Si la presión de entrada es de 100 [psia], que presión de salida correspondería con la velocidad de flujo máximo en la cañería? Si la presión de salida real es de 10 [psia], cual es la velocidad de flujo del gas en [lbm/h]? Repetir para flujo adiabático considerando T1 = 55 ºF, (k = 1.31).

ISOTÉRMICO Datos generales:

T [ºR] 515 M 16 f 0.014 N 1478.4

L [millas] 20 p1 [psia] 100 L [ft] 105600 p1 [lbf/ft2] 14400 D [ft] 1

Determinación de la presión crítica de salida p2*:

1ln2

*2

1

2

2

1 +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞ ⎜⎜⎝

⎛∗ N

pp

pp

Tabla para el cálculo numérico de p2*:

p1 p2 (p1/p2)2 2ln(p1/p2) diferencia N+1 DELTA 14400 380.00 1436.01 7.3 1428.74 1479.40 50.66 14400 379.00 1443.60 7.3 1436.32 1479.40 43.08 14400 378.00 1451.25 7.3 1443.97 1479.40 35.43 14400 377.00 1458.96 7.3 1451.67 1479.40 27.73 14400 376.00 1466.73 7.3 1459.44 1479.40 19.96 14400 375.00 1474.56 7.3 1467.26 1479.40 12.14 14400 374.00 1482.46 7.3 1475.15 1479.40 4.25 14400 373.90 1483.25 7.3 1475.95 1479.40 3.45 14400 373.80 1484.04 7.3 1476.74 1479.40 2.66 14400 373.70 1484.84 7.3 1477.53 1479.40 1.87 14400 373.60 1485.63 7.3 1478.33 1479.40 1.07 14400 373.50 1486.43 7.3 1479.12 1479.40 0.28 14400 373.49 1486.51 7.3 1479.20 1479.40 0.20 14400 373.48 1486.59 7.3 1479.28 1479.40 0.12 14400 373.47 1486.67 7.3 1479.36 1479.40 0.04 14400 373.46 1486.75 7.3 1479.44 1479.40 -0.04 14400 373.45 1486.83 7.3 1479.52 1479.40 -0.12

Resultado:

p2* 373.47 [lbf/ft2] 2.59 [psia]


Determinación del flujo máximo G2máx:

211

112

ln1máx

c

cmáx

GpgN

pgρ

ρ

++=

G

Tabla para el cálculo numérico de G2máx:

Gmáx2 gcρ1p1 N+1 LN(gcρ1p1/Gmáx

2) DELTA Gmáx

90 134265.714 1479.40 7.307766386 -0.31 9.49 90.1 134265.714 1479.40 7.306655891 -0.21 9.49 90.2 134265.714 1479.40 7.305546629 -0.11 9.50 90.3 134265.714 1479.40 7.304438595 -0.01 9.50 90.31 134265.714 1479.40 7.30432786 0.00 9.50 90.32 134265.714 1479.40 7.304217136 0.01 9.50 90.33 134265.714 1479.40 7.304106425 0.02 9.50 90.34 134265.714 1479.40 7.303995726 0.03 9.50 90.35 134265.714 1479.40 7.303885039 0.04 9.51 90.36 134265.714 1479.40 7.303774364 0.05 9.51 90.37 134265.714 1479.40 7.303663702 0.06 9.51 90.38 134265.714 1479.40 7.303553052 0.07 9.51 90.39 134265.714 1479.40 7.303442414 0.08 9.51 90.4 134265.714 1479.40 7.303331789 0.09 9.51 90.41 134265.714 1479.40 7.303221175 0.10 9.51 90.42 134265.714 1479.40 7.303110574 0.11 9.51 90.43 134265.714 1479.40 7.302999985 0.12 9.51

Resultado:

Gmáx 9.50 [lbm/ft2s] Determinación de la velocidad de flujo del gas en [lbm/h] para una presión de salida p2 de 10 [psia]:

[ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

1

2

22

212

lnppN

ppRT

Mg G c

p1 p2 gcM/RT (p1)2 - (p2)2 2ln(p2/p1) N G2 G 14400 1440 0.000647501 205286400.0 -4.6 1478.4 89.63 9.47

[lbm/ft2s] Resultado:

Aflujo 0.785 [ft2] W 7.44 [lbm/s] W 26768 [lbm/h]


ADIABÁTICO Datos generales:

T1 [ºR] 515 M 16 f 0.014 N 1478.4

L [millas] 20 p1 [psia] 100 L [ft] 105600 p1 [lbf/ft2] 14400 D [ft] 1 k 1.31

Determinación de la presión crítica de salida p2*: Tabla para el cálculo numérico de p2*:

p1 p2 (2/(k+1))(p1/p2)(k+1)/k (2/k)ln(p1/p2) diferencia N+(2/(k+1)) DELTA 14400 220.00 1379.02 6.38 1372.64 1479.27 106.63 14400 219.00 1390.15 6.39 1383.76 1479.27 95.51 14400 218.00 1401.41 6.40 1395.01 1479.27 84.25 14400 217.00 1412.82 6.40 1406.41 1479.27 72.85 14400 216.00 1424.37 6.41 1417.96 1479.27 61.31 14400 215.00 1436.08 6.42 1429.66 1479.27 49.61 14400 214.00 1447.93 6.43 1441.50 1479.27 37.76 14400 213.00 1459.94 6.43 1453.50 1479.27 25.76 14400 212.00 1472.10 6.44 1465.66 1479.27 13.60 14400 211.00 1484.43 6.45 1477.98 1479.27 1.29 14400 210.90 1485.67 6.45 1479.22 1479.27 0.04 14400 210.80 1486.91 6.45 1480.46 1479.27 -1.20 14400 210.70 1488.16 6.45 1481.71 1479.27 -2.44 14400 210.60 1489.40 6.45 1482.95 1479.27 -3.69 14400 210.50 1490.65 6.45 1484.20 1479.27 -4.93 14400 210.40 1491.90 6.45 1485.45 1479.27 -6.18 14400 210.30 1493.15 6.45 1486.70 1479.27 -7.43 14400 210.20 1494.40 6.45 1487.95 1479.27 -8.69 14400 210.10 1495.66 6.45 1489.21 1479.27 -9.94

Resultado:

p2* 210.90 [lbf/ft2] 1.46 [psia]

Determinación del flujo máximo G2máx:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

+

+

∗ 12ln

12

/2

*2

1

1

2

1

kN

pp

pp

k

kk

k

⎜⎛⎝

12

211

112

ln1

2

12

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=k

máx

c

c

máx

GpkgN

k

kkpg

Gρ

ρ


Tabla para el cálculo numérico de G2máx:

Gmáx2 2gcρ1p1(k/(k+1)) N+(2/(k+1)) (2/(k+1))ln(gckρ1p1/Gmáx

2) DELTA Gmáx

100.00 152284.0566 1479.27 6.469638967 -2.49742484 10.00 101.00 152284.0566 1479.27 6.461023962 -1.49801917 10.05 102.00 152284.0566 1479.27 6.452493835 -0.49860765 10.10 102.10 152284.0566 1479.27 6.451645427 -0.39866618 10.10 102.20 152284.0566 1479.27 6.450797849 -0.29872466 10.11 102.30 152284.0566 1479.27 6.4499511 -0.19878307 10.11 102.40 152284.0566 1479.27 6.449105178 -0.09884143 10.12 102.41 152284.0566 1479.27 6.449020631 -0.08884727 10.12 102.42 152284.0566 1479.27 6.448936093 -0.0788531 10.12 102.43 152284.0566 1479.27 6.448851562 -0.06885893 10.12 102.44 152284.0566 1479.27 6.44876704 -0.05886476 10.12 102.45 152284.0566 1479.27 6.448682527 -0.04887059 10.12 102.46 152284.0566 1479.27 6.448598021 -0.03887642 10.12 102.47 152284.0566 1479.27 6.448513524 -0.02888225 10.12 102.48 152284.0566 1479.27 6.448429035 -0.01888808 10.12 102.49 152284.0566 1479.27 6.448344554 -0.00889391 10.12 102.50 152284.0566 1479.27 6.448260082 0.00110026 10.12 102.51 152284.0566 1479.27 6.448175618 0.01109444 10.12 102.52 152284.0566 1479.27 6.448091161 0.02108861 10.13

Resultado:

Gmáx 10.12 [lbm/ft2s] Determinación de la velocidad de flujo del gas en [lbm/h] para una presión de salida p2 de 10 [psia]:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++

−

k

kk

kk

kk

c

ppN

pp

kk

RTMpg

G/2

1

2

1

2

1

1

1

1

12

ln1

2

p1 p2 2gcM/RT (k/(k+1)p1(k-1)/k (p1)(k+1)/k - (p2)(k+1)/k (2/k)ln(p2/p1) N G2 G

14400 1440 0.001295001 5.466373405 21141249.6 -3.5 1478.4 100.99 10.05

[lbm/ft2s]

Resultado:

Aflujo 0.785 [ft2] W 7.89 [lbm/s] W 28414 [lbm/h]


2. Etileno debe ser bombeado a lo largo de una cañería de 6” de diámetro interno por una distancia de 5 millas a una velocidad de flujo másico de 2.0 [lbm/s]. La presión de suministro al final de la cañería debe ser de 2.0 atmósferas absolutas, y el flujo se puede considerar isotérmico a 60ºF. Si el factor de fricción f = 0.012, calcular la presión de entrada requerida. Asumir comportamiento de gas ideal, y justificar cualquier suposición adicional. Repetir para flujo adiabático considerando T1 = 60ºF, (k = 1.255)

ISOTÉRMICO Datos generales:

T [ºR] 520 M 28 W [lbm/s] 2.0 f 0.012 N 633.6 Aflujo [ft2] 0.196

L [millas] 5 p2 [atm] 2.0 G [lbm/ft2s] 10.19 L [ft] 26400 p2 [psia] 29.4 D [ft] 0.5 p2 [lbf/ft2] 4233.6

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación general: [ ]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

1

2

22

212

lnppN

ppRT

Mg G c

Tabla para el cálculo numérico de p1:

p1 p2 gcM/RT (p1)2 - (p2)2 2ln(p2/p1) N G2calculado G2 G DELTA

8788.0 4233.6 0.001122231 59305575.0 -1.5 633.6 104.80 103.75 10.19 1.05 8768.0 4233.6 0.001122231 58954455.0 -1.5 633.6 104.18 103.75 10.19 0.43 8758.0 4233.6 0.001122231 58779195.0 -1.5 633.6 103.87 103.75 10.19 0.12 8757.0 4233.6 0.001122231 58761680.0 -1.5 633.6 103.84 103.75 10.19 0.09 8756.0 4233.6 0.001122231 58744167.0 -1.5 633.6 103.81 103.75 10.19 0.06 8755.0 4233.6 0.001122231 58726656.0 -1.5 633.6 103.78 103.75 10.19 0.03 8754.9 4233.6 0.001122231 58724905.1 -1.5 633.6 103.78 103.75 10.19 0.02 8754.8 4233.6 0.001122231 58723154.1 -1.5 633.6 103.77 103.75 10.19 0.02 8754.7 4233.6 0.001122231 58721403.1 -1.5 633.6 103.77 103.75 10.19 0.02 8754.6 4233.6 0.001122231 58719652.2 -1.5 633.6 103.77 103.75 10.19 0.01 8754.5 4233.6 0.001122231 58717901.3 -1.5 633.6 103.76 103.75 10.19 0.01 8754.4 4233.6 0.001122231 58716150.4 -1.5 633.6 103.76 103.75 10.19 0.01 8754.3 4233.6 0.001122231 58714399.5 -1.5 633.6 103.76 103.75 10.19 0.00 8754.2 4233.6 0.001122231 58712648.7 -1.5 633.6 103.75 103.75 10.19 0.00 8754.1 4233.6 0.001122231 58710897.8 -1.5 633.6 103.75 103.75 10.19 0.00 8754.0 4233.6 0.001122231 58709147.0 -1.5 633.6 103.75 103.75 10.19 -0.01

Resultado:

p1 8754.2 [lbf/ft2] 60.79 [psia] 4.14 [atm]


Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación de Weymouth:

[ ]22

21

2 ppRTN

Mg G c −=

gcM/NRT G2 p2

2 p12 p1

1.7712E-06 103.75 17923368.96 76501202.3 8746.5 Resultado:

p1 8746.5 [lbf/ft2] 60.74 [psia] 4.13 [atm] ADIABÁTICO Datos generales:

T1 [ºR] 520 M 28 W [lbm/s] 2.0 f 0.012 N 633.6 Aflujo [ft2] 0.196

L [millas] 5 p2 [atm] 2.0 G [lbm/ft2s] 10.19 L [ft] 26400 p2 [psia] 29.4 k 1.255 D [ft] 0.5 p2 [lbf/ft2] 4233.6

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación general:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++

−

k

kk

kk

kk

c

ppN

pp

kk

RTMpg

G/2

1

2

1

2

1

1

1

1

12

ln1

2


p1 p2 2gcM/RT1 (k/(k+1)p1(k-1)/k (p1)(k+1)/k - (p2)(k+1)/k (2/k)ln(p2/p1) N G2

calculado G2 G DELTA8600.0 4233.6 0.002244461 3.507010805 8452124.6 -1.1 633.6 104.8157244 103.75 10.19 1.06 8590.0 4233.6 0.002244461 3.50618184 8427613.7 -1.1 633.6 104.4873629 103.75 10.19 0.73 8580.0 4233.6 0.002244461 3.505352105 8403125.5 -1.1 633.6 104.1594023 103.75 10.19 0.41 8570.0 4233.6 0.002244461 3.5045216 8378660.0 -1.1 633.6 103.8318427 103.75 10.19 0.08 8569.0 4233.6 0.002244461 3.504438507 8376214.7 -1.1 633.6 103.7991088 103.75 10.19 0.05 8568.0 4233.6 0.002244461 3.504355406 8373769.6 -1.1 633.6 103.7663789 103.75 10.19 0.01 8567.9 4233.6 0.002244461 3.504347095 8373525.1 -1.1 633.6 103.7631061 103.75 10.19 0.01 8567.8 4233.6 0.002244461 3.504338785 8373280.6 -1.1 633.6 103.7598334 103.75 10.19 0.01 8567.7 4233.6 0.002244461 3.504330474 8373036.1 -1.1 633.6 103.7565607 103.75 10.19 0.00 8567.6 4233.6 0.002244461 3.504322163 8372791.6 -1.1 633.6 103.753288 103.75 10.19 0.00 8567.5 4233.6 0.002244461 3.504313852 8372547.1 -1.1 633.6 103.7500154 103.75 10.19 0.00 8567.4 4233.6 0.002244461 3.504305542 8372302.7 -1.1 633.6 103.7467429 103.75 10.19 -0.01 8567.3 4233.6 0.002244461 3.504297231 8372058.2 -1.1 633.6 103.7434703 103.75 10.19 -0.01 8567.2 4233.6 0.002244461 3.50428892 8371813.7 -1.1 633.6 103.7401979 103.75 10.19 -0.01 8567.1 4233.6 0.002244461 3.504280608 8371569.2 -1.1 633.6 103.7369254 103.75 10.19 -0.02 8567.0 4233.6 0.002244461 3.504272297 8371324.8 -1.1 633.6 103.733653 103.75 10.19 -0.02


Resultado:

p1 8567.6 [lbf/ft2] 59.50 [psia] 4.05 [atm] Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación de Weymouth:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

++−

kk

kkk

k

c ppk

kNRTMpg

G

1

2

1

11

1

12

12


p1 G2 2gcM/NRT1 (k/(k+1)p1(k-1)/k (p1)(k+1)/k - (p2)(k+1)/k G2

calculado DELTA 8563.0 103.75 3.54239E-06 3.503939786 8361547.6 103.79 -0.03 8562.9 103.75 3.54239E-06 3.503931472 8361303.3 103.78 -0.03 8562.8 103.75 3.54239E-06 3.503923157 8361058.9 103.78 -0.03 8562.7 103.75 3.54239E-06 3.503914843 8360814.5 103.78 -0.02 8562.6 103.75 3.54239E-06 3.503906528 8360570.1 103.77 -0.02 8562.5 103.75 3.54239E-06 3.503898213 8360325.8 103.77 -0.02 8562.4 103.75 3.54239E-06 3.503889899 8360081.4 103.77 -0.01 8562.3 103.75 3.54239E-06 3.503881584 8359837.0 103.76 -0.01 8562.2 103.75 3.54239E-06 3.503873269 8359592.7 103.76 -0.01 8562.1 103.75 3.54239E-06 3.503864954 8359348.3 103.76 0.00 8562.0 103.75 3.54239E-06 3.503856639 8359103.9 103.75 0.00 8561.9 103.75 3.54239E-06 3.503848324 8358859.6 103.75 0.00 8561.8 103.75 3.54239E-06 3.503840009 8358615.2 103.75 0.01

Resultado:

p1 8562.0 [lbf/ft2] 59.46 [psia] 4.04 [atm]

3. Calcular la velocidad de descarga de aire a la atmósfera, desde un recipiente a P0=150 psig y T0 = 70ºF a través de tubería de 33 ft de largo, con diámetro de 2”, Sch 40, acero comercial y 3 codos medio.

Figura. Problema ejemplo, flujo de gases

Para el análisis, se tiene que determinar primero el valor de N.


DLfN ⋅=

Considerando flujo turbulento para un ε /D de 0.0004, se puede suponer un f = 0.016 Se calcula N:

Resistencia L/D N=f·L/D entrada 0.50 (se asume)

cañería recta 3.06 3 codos 1.44

Σ 5.00 Haciendo los cambios de unidades adecuados: P0 = (150+14.7) = 164.7 psia = 164.7 · 144 = 23700 lbf/pie2

P3 = 14.7 psia = 14.7 · 144 = 2210 lbf/pie2

T0 = 70 ºF = 70 + 460 = 530 ºR

Se calcula según la ecuación (9.37): ( )0

0 718,2 TRPMg

PG Cci ⋅⋅

⋅=

Rlb-mol

ftft

lb

R

f

º

1545

32 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=5301545718.22932 ⋅17.23700

⋅⋅⋅=ciG

==> Gci = 486 [lbm/ft2·s] D = 2.067/12 = 0.1722 ft A = 0.0233 ft2

Caso Isotérmico Adiabático

k 1.0 1.4 (P3/P0) 0.0893 0.0893 N 5.0 5.0 (G/Gci) 0.545 0.565 Gci 486 486 G (lb/pie·s) 265 275 G·A = W 6.18 6.41 T2/T0 1 0.833 T2 (ºF) 79 -18


Temp. media

70 (70-18)/2 = 26

µ 1.21·10-5 lbm/ft·s 1.14·10-5 lbm/ft·s Re 3.77·106 4.16·106 f = 0,016

Presiones P2 y P1

Isotérmico Adiabático

(P1/P0) 0.91 0.89 (P2/P0) 0.32 0.26

cteGG

ci

=


Documents

Cap 09 Flujo de Fluidos Compresibles