Cap 2 - Cinematica Parte III (Teoria, Problemas y Respuestas)

Introduccin a la Fsica Universitaria Cinemtica de la partcula

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2.9 CADA LIBRE El ejemplo ms comn de movimiento con aceleracin constante es el de la cada de un objeto bajo la influencia de la atraccin gravitacional de la Tierra. Segn cuenta una leyenda, fue Galileo Galilei el que descubri este hecho, al soltar dos cuerpos de diferente peso desde lo alto de la Torre de Pisa. Contradiciendo la concepcin de la poca acerca del movimiento, los dos cuerpos llegaron al suelo al mismo tiempo. Sea cierto o no este relato, experimentos modernos, en cmaras de vaco, diseados para evitar la resistencia del aire, muestran que cerca de la tierra, todos los cuerpos caen con la misma aceleracin. Esta aceleracin de los cuerpos,

cuando caen libremente por accin de la gravedad, se denomina aceleracin de la gravedad y se le representa por el smbolo g. Cerca de la superficie de la tierra su magnitud es aproximadamente 9,8m/s2 y est dirigida hacia el centro de la Tierra. Dado que el movimiento de cada libre es simplemente un caso particular del movimiento rectilneo con aceleracin constante, podemos aplicar las frmulas estudiadas anteriormente para describir su movimiento. Sin embargo estableceremos en este caso una convencin sobre la eleccin del sistema de referencia. Tomaremos siempre el eje de coordenadas de modo que su eje positivo apunte hacia arriba (saliendo de la tierra). La grafica adjunta ilustra, la eleccin de un eje saliendo de tierra. Ntese que la Tierra, la

representamos localmente por una lnea horizontal. El eje debe ser perpendicular a esta lnea. La eleccin de este eje significa que la aceleracin de la gravedad tendr siempre el valor g. Grficamente la representaremos por un vector apuntando hacia abajo. Por otro lado tenemos que el desplazamiento y la velocidad se representaran grficamente por vectores, que apuntan hacia arriba, si son cantidades positivas, y que apuntan hacia abajo, si son negativas. Teniendo en consideracin la discusin anterior, las ecuaciones que nos dan la posicin y velocidad de un

cuerpo en cada libre resultan: 2

0 0 012f f

y y v t gt v v g= + = t De igual manera las otras dos ecuaciones, tiles en la solucin de problemas resultan:

0 2 20 0( ) 2 (2

ff f

v v0 )fy y t v v g y y

+ = = Ntese que en estas relaciones, todas las variables presentes con excepcin de g tienen signo. Desde luego, g es simplemente 9,8m/s2.


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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Como primer problema demostraremos dos propiedades interesantes de un cuerpo en cada

libre. Supongamos que se lanza un objeto desde el piso hacia arriba, y que tras alcanzar su altura mxima el objeto cae nuevamente a tierra. Demostrar que a partir de un punto cualquiera de su movimiento: a) El tiempo que le toma subir hasta la parte ms alta y el tiempo que le toma bajar

nuevamente al mismo punto, son iguales. b) La rapidez con la que sube y la rapidez con la que baja, en el instante en que pasa por dicho

punto, son iguales. SOLUCIN: a. Consideremos como origen de coordenadas O, un punto arbitrario del eje, y como origen

temporal, el instante en que la partcula pasa subiendo por este punto O.

O

El tiempo que le toma llegar al punto ms alto lo obtenemos igualando a cero la velocidad:

2 20 /fv v gt t v= = = g

El tiempo que le toma regresar al mismo punto lo obtenemos igualando a cero la posicin:

22 2

10 0 2 /2

v t gt t v g= + = De estas dos ecuaciones concluimos, que el tiempo que le toma subir desde el punto O hasta el punto ms alto, y el tiempo que le tom bajar al mismo punto, resultan ser guales.

b. Reemplazando el valor de t de bajada en la ecuacin de la velocidad, tenemos

2

0 3 22( )fvv v gt v v g vg

= = = 2

lo que nos muestra que la rapidez de bajada, es la misma que la de subida. Dado que el punto O es arbitrario, esto sigue siendo vlido en el piso: v1 = v4.


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2. Si se lanza verticalmente una pelota hacia arriba, con una velocidad de inicial de 30m/s, para el movimiento se pide determinar: a) Cunto tiempo tarda el cuerpo en llegar al punto ms alto de su trayectoria? b) Cul ser la velocidad del cuerpo 2s despus del lanzamiento? c) Cul es la altura mxima alcanzada por el cuerpo? d) Cunto tiempo permanece la pelota en el aire, si se atrapa la pelota a la misma altura

inicial? SOLUCIN a. Tomamos como punto de referencia, el punto A en que se suelta la pelota, y como origen

temporal, el instante en que se suelta la pelota.

En el punto ms alto B, la velocidad de la bola es cero, luego tenemos

0 0 30 9.8 0 3.06v v gt t t s= = = = b. Usando nuevamente la ecuacin para la velocidad:

30 9.8(2) 10.4 /f fv v= = m s c. Primero calculamos el desplazamiento, para esto se podra usar el tiempo hallado anteriormente

y reemplazarlo en la ley de movimiento. Podemos obviar usar el tiempo usando:

2 2 20 02 ( ) 0 30 2(9.8)( 0) 0 45.9f f f fv v g y y y y y m= = = =

Finalmente, notemos que todo el trayecto es de subida, y por lo tanto este desplazamiento corresponde a la altura mxima.

d. En el instante que vuelve al punto A, la posicin es nuevamente cero, segn nuestro SR. Luego usando la ley de movimiento, tenemos

2 20 0

1 10 0 30 (9.8) 6.12 2f

y y v t gt t t t = = = s

Notemos que la solucin trivial t = 0s, corresponde al instante inicial en el que fue lanzada la pelota.


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3. Se lanza una piedra, verticalmente hacia arriba, desde el borde de la azotea de un edificio. La velocidad inicial es de 15m/s. Calcular: a) La posicin de la piedra 1s y 4s despus de lanzarla. b) La velocidad de la piedra 1s y 4s despus de lanzarla. c) La velocidad cuando la piedra est 5m encima de la azotea.

SOLUCIN a. Tomando como origen de coordenadas y origen temporal, el punto e instante de lanzamiento,

tal como muestra en la figura:

Luego, para hallar las posiciones pedidas calculamos primero la posicin de la piedra para un tiempo arbitrario t:

2 20 0

1 115 (9,8)2 2f f

y y v t gt y t t= + = Reemplazando la ecuacin anterior t = 1s, tenemos que yf = 10.1m, es decir, la piedra est 10.1m encima de la azotea. Del mismo modo, reemplazando, t = 4s; tenemos yf = 18.4m, es decir la piedra est 18.4m debajo de la azotea.

b. Primero hallamos, la velocidad para cualquier instante:

0 15 9.8f fv v gt v= = t

s

Luego tenemos, para t = 1s, vf = 5.2m/s (la piedra est subiendo) y para t = 4s, vf = 24.2m/s (la piedra est bajando).

c. Para hallar la velocidad de la piedra cuando est 5m arriba de la azotea, usamos:

2 2 2 20 02 ( ) (15) 2(9,8)(5 0) 11.3 / 11.3 /f f f f fv v g y y v v m s v m= = = =

La pelota pasa dos veces por ese punto, una subiendo y otra bajando. La velocidad de subida es 11.3m/s, y de bajada, 11.3m/s, segn nuestra convencin.


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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un cuerpo, inicialmente en reposo, cae desde una altura de 80m. Calcular cunto tardar en caer

y con qu velocidad llegar al suelo. 2. Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba alcanzando en cuatro segundos su altura mxima.

Hallar la velocidad de lanzamiento. 3. Un hombre sostiene un florero fuera de una ventana a 12m del piso. Si lo lanza hacia arriba con

una rapidez de 5m/s, cunto tarda el florero en llegar al piso y cul es su rapidez antes de chocar con el piso?

4. Desde una altura de 25m se arroja una piedra hacia abajo en lnea recta con una velocidad

inicial de 20m/s. Hallar el tiempo que tarda en llegar al piso. 5. Desde lo alto de un edificio de 300m, se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad de

98m/s. Calcular: a) Su mxima elevacin respecto del piso. b) El tiempo que tardar en alcanzar esta altura. c) La velocidad que tendr al caer al suelo. d) El tiempo que emplear en caer al suelo.

6. Se deja caer un cuerpo y, simultneamente, se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez

inicial de 1m/s. En qu instante la distancia entre ellos es de 18m? 7. Qu distancia recorre un cuerpo que cae libremente durante el dcimo segundo despus de

empezar a caer? Cul es su velocidad al final de ese intervalo? 8. Una moneda se suelta desde lo alto de una torre y se conoce que los ltimos 25m los recorre en

un segundo. Cunto tiempo se demor en caer la moneda y desde que altura se solt? 9. Se lanza un objeto hacia abajo. Si luego del primer segundo desciende 7.5m, hallar la distancia

que desciende entre t = 1s y t = 2s. 10. Dos piedras son lanzadas de un edificio. Si una es soltada y luego de 2s se lanza la otra con

velocidad de 5m/s hacia abajo, en qu tiempo la velocidad de la primera ser el doble de la segunda, a partir del instante que es lanzada la primera piedra?

11. A un cuerpo que asciende libremente le resta un segundo en alcanzar su altura mxima. Qu

velocidad tiene? Qu distancia le falta recorrer? 12. Un cuerpo se suelta desde una altura de 10 m, demorando un tiempo T en su cada. Desde qu

altura se debe soltar para que demore en caer un tiempo T2? 13. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, cul es su altura mxima, si al alcanzar los

2/3 de esta altura posee una velocidad de 10m/s?


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14. Desde la ventana del tercer piso de un edificio, un muchacho ve pasar una pelota luego de 3s que es lanzada desde el piso. Despus de 9s vuelve a pasar la pelota delante de l, pero de bajada. Cul es la velocidad inicial de la pelota?

15. En la luna la aceleracin de la gravedad es un sexto de la terrestre. Si un astronauta en la Tierra

lanza una masa con velocidad v0, demora un tiempo t en regresar a su mano. Cunto demorar, si se lanza con la misma velocidad en la luna?

16. Desde una altura de 5m se deja caer un objeto. En ese mismo instante desde el piso se lanza un

objeto hacia arriba con cierta velocidad inicial v0. Hallar el valor de v0, si se sabe que al momento de encontrarse ambos objetos tienen velocidades de mdulos iguales.

17. Un grifo deja caer gotas de agua a intervalos de tiempo iguales, cuando una determinada gota B

empieza a caer la gota precedente A ya recorri 1m. que tiempo transcurre hasta el instante en que la separacin se incrementa a 5m.?

18. Un experto malabarista lanza verticalmente 6 pelotas, una tras de otra, a razn de 6m/s, cada

0.2s. Si dichas bolas se han nombrado con las letras A, B, C, D, E y F, Hallar la separacin entre las alturas a las que se encuentran las bolas A y D cuando la bola F esta por ser lanzada.

19. Una persona que est detenida observa el punto ms alto de un edificio de 20m de altura con un

ngulo de elevacin de 53. En ese instante, de este punto se suelta un cuerpo. Con qu aceleracin deber correr la persona, para alcanzar el cuerpo justo antes de que caiga al piso? Despreciar la altura de la persona.


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RESPUESTAS A PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Tiempo = 4(10/g)1/2 s. velocidad = -4(10g)1/2 m/s 2. Velocidad = 4g m/s. 3. Tiempo = (5/g)+ ((24g+25)/g2)1/2 s. Velocidad Final = - (24g+25)1/2 m/s. 4. Tiempo = -20/g + ((400/g2)-(50/g))1/2 5. a.- H max= (600g+982)/2g m.

b.- Tiempo = 98/g s. c.- Velocidad = - (600g+982)1/2 m/s.

6. Tiempo= 18 s. 7. D= 19g/2 m. Velocidad Final = -10g m. 8. Tiempo= 30/g s. H=450/g m. 9. D=17.5 m. 10. Tiempo= 4-(10/g) s. 11. Velocidad= 10 m/s. Distancia=5 m. 12. H=200/g m 13. Hmx = 15 m 14. Velocidad= 7.5g m/s 15. Tiempo= 6t s. 16. Velocidad= (10g)1/2 m/s 17. Tiempo = 2 (2/g)1/2 18. Separacin =3,6-0,42g m. 19. Aceleracin= 3g/4 m/s2


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2.10 MOVIMIENTO CIRCULAR CON RAPIDEZ CONSTANTE

Decimos que una partcula se encuentra en movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. Por ejemplo, una piedra que gira atada al extremo de una cuerda, una persona subida en la Rueda de Chicago, o con gran aproximacin la Luna girando alrededor de la Tierra, describen todos un movimiento circular. En esta seccin estudiaremos un caso particular del movimiento circular, que se obtiene cuando el mdulo de la velocidad (la rapidez) permanece constante durante el movimiento. A este tipo de movimiento lo denominamos, movimiento circular con rapidez constante. En este punto debemos sealar, que la velocidad como tal, no se

mantiene constante en un movimiento circular. En efecto, se discuti anteriormente, que la velocidad es una cantidad vectorial, y que por tanto posee mdulo, direccin y sentido. Pues bien, en un movimiento circular, la direccin de la velocidad es siempre tangente a la trayectoria y el sentido es tal que apunta en la direccin del movimiento. Por ejemplo, en la grfica adjunta se muestra el vector velocidad para dos instantes de tiempo de un movimiento circular en sentido horario.

Periodo (T) El perodo se define como el tiempo que la partcula tarda en dar una vuelta completa en su trayectoria circular. Velocidad angular () Consideremos una partcula en movimiento circular que se encuentra en la posicin P1 mostrada en la figura. Despus de un intervalo de tiempo t, la partcula se encuentra en la posicin P2. Durante ese intervalo t de tiempo, la partcula barre, en su movimiento, un ngulo . La relacin entre el ngulo barrido por la partcula y el intervalo del tiempo se denomina velocidad angular de la partcula y se suele representar por la letra griega omega . Entonces, por definicin tenemos:

t=


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Rapidez (v) Considerando la misma situacin anterior, si en el mismo intervalo de tiempo la longitud de arco recorrida fue s, definimos la rapidez como la relacin entre la longitud de arco y el intervalo de tiempo. El movimiento que estamos considerando es tal que esta cantidad es siempre constante. Por definicin tenemos:

svt

= Relacin entre Rapidez y Velocidad angular Usando las definiciones anteriores y el hecho de que s = R (vlida si se miden los ngulos en radianes), se deduce la siguiente relacin entre la rapidez y la velocidad angular:

Rv =

Relacin entre la Rapidez y el Perodo Si en un movimiento circular a rapidez constante, consideremos como arco toda la circunferencia, la longitud total ser 2R, donde R es el radio de la circunferencia, y el intervalo de tiempo correspondiente ser el perodo T. Luego usando la definicin de la rapidez, tenemos:

TRv 2=

Relacin entre Velocidad angular y el Perodo Usando la relacin entre la rapidez y la velocidad angular, y combinndola con la ecuacin anterior es fcil ver que se cumple la relacin:

T= 2

Sistema de Ruedas Es til en la construccin de mecanismos, unir varias ruedas de diversas formas. Un ejemplo, de esto es el mecanismo de funcionamiento de un reloj mecnico. Aqu damos unas reglas tiles para estas situaciones:

a) Si las ruedas estn unidas por su eje de rotacin, entonces ambas tienen la misma velocidad angular, pues giran el mismo ngulo, en el mismo intervalo de tiempo.

b) Si las ruedas estn unidas por una faja o si las ruedas estn en contacto, entonces ambas

tienen la misma rapidez, pues ambas avanzan la misma longitud de arco, en el mismo intervalo de tiempo.


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PROBLEMA RESUELTO 1. Una barra gira con movimiento uniforme alrededor de un eje que pasa por el punto O,

efectuando dos revoluciones por segundo. Para los puntos A y B de la barra, situados a las distancias RA = 2.0m y RB = 3.0m del eje de rotacin, calcular: a) El perodo de movimiento de cada uno. b) Las velocidades angulares A y B. c) La rapidez de los puntos A y B.

SOLUCIN a. Cada punto de la barra describe un movimiento circular uniforme alrededor de O, siendo el

perodo de rotacin el mismo para todos esos puntos. Como la barra efecta dos revoluciones por segundo, es decir, 2 vueltas por segundo, para realizar una vuelta tardar 0.5s. As, todos los puntos de la barra estn girando con un perodo T = 0.5s.

b. Sabemos que = 2/T. Como A y B giran con el mismo perodo, tambin tendrn la misma

velocidad angular. Entonces:

2 4 /0,5A B

rad s = = = c. Observemos en la figura que los puntos A y B recorren distancias diferentes en un mismo

intervalo de tiempo. Por lo tanto, an cuando poseen la misma velocidad angular, tienen distinta rapidez. En efecto, como v = R, tendremos:

(4 )(2) 25.1 /(4 )(3) 37.7 /

A A A A

B B B B

v R v mv R v m

ss

= = == = =

Vemos que la rapidez de B es mayor que la de A.


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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Una partcula gira con una velocidad angular constante de 5rad/s. Si el radio de la trayectoria

mide 2m, cunto vale su rapidez?, cunto vale su perodo? 2. Una partcula describe un arco de 20 cm. en 10s. Calcular su velocidad angular, si el radio del

arco es de 10cm, y su movimiento es a ritmo constante. 3. Un mvil parte del punto A con una velocidad angular de 2 rad/s y recorre una pista circular

con rapidez constante. Simultneamente, del punto B se lanza un proyectil hacia la izquierda con una velocidad constante de 3m/s, de manera que impacta al mvil justo en A. Cuntas vueltas dio el mvil antes de ser impactado?

4. Una hormiga esta parada en la periferia de un disco que gira con periodo T, si el periodo se duplica qu sucede con la velocidad angular y la rapidez?

5. Desde una altura de 4,9 m se suelta una piedra sobre el punto x, perteneciente al extremo de un

disco que gira con rapidez constante. Si se sabe que el disco gira con = 3 rad/s, y que tiene 10 cm de radio. Qu distancia d separa al punto y la piedra cuando este choca con el disco?

6. Dos mviles A y B parten, en sentidos contrarios, de un mismo punto de una trayectoria

circular. Si sus velocidades angulares son /6 rad/s y /3 rad/s, respectivamente, cunto tiempo despus se vuelven a encontrar?

7. Si la rueda A gira con = rad/s, siendo RA = 10RB , hallar la velocidad angular de B.


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8. Un cono gira con un perodo de 4s. En qu relacin estn la rapidez de los puntos P y Q?

9. En el grfico, la faja que une ambas poleas transporta un bloque a 2m/s. Si R = 12m y r = 3m,

cul es la velocidad angular de la polea ms pequea?

10. Consideremos las ruedas A y B de la transmisin de una bicicleta. El engranaje B est unido por su eje a la rueda trasera C. Indicar con V o F: (a) La rapidez de un punto en la periferia de A es mayor, que la de un punto en la periferia de B. (b) La velocidad angular de A es menor que la velocidad angular de B. (c) La velocidad angular de B es mayor que la velocidad angular de C. (d) La rapidez de un punto en la periferia de B es menor que la de un punto en la periferia de C.

C

A

B

UC

11. En el siguiente sistema de engranajes, determinar la velocidad angular de la rueda C. Se sabe que: RA = 9m, A = 1rad/s, RC = 2RA y B = 3rad/s.


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RESPUESTAS A PROBLEMAS PROPUESTOS. 1) Velocidad=10 m/s , periodo=2/5 s. 2) = 0,2 radianes/s. 3) 10 vueltas. 4) Ambas disminuyen a la mitad. 5) Distancia 0,20m. 6) Tiempo = 4 s. 7) = 10 rad/s. 8) Relacin = 1/6. 9) = 2/3 rad/s. 10) a) falso b) verdadero c) falso d) verdadero. 11) = 1/2 rad/s.

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