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Análisis de Flujo de Carga
Barra Tensión Angulo ------Carga------ ---Generación--- Shunt Mag. grados MW MVAr MW MVAr MVAr Carga_1 1.001 -2.938 200.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_2 1.029 -3.427 200.0 20.0 0.0 0.0 0.0 Carga_3 1.009 -13.732 100.0 30.0 0.0 0.0 0.0 Carga_4 0.893 -23.205 400.0 100.0 0.0 0.0 0.0 Gen_1 1.050 -0.709 60.0 8.0 500.0 161.3 0.0 Gen_2 1.050 -11.968 50.0 5.0 200.0 174.8 0.0 Slack 1.000 0.000 0.0 0.0 340.1 -22.6 0.0
Flujo en las líneas y pérdidas
--Línea-- -Flujo en la línea- --Pérdidas-- desde hasta MW Mvar MVA MW Mvar Carga_1 Carga_3 134.416 -28.964 137.501 4.205 -2.128 Carga_2 4.336 -41.077 41.305 0.156 -17.693 Carga_2 Carga_4 242.202 86.285 257.113 14.930 64.411 Carga_1 -4.180 23.384 23.754 0.156 -17.693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SlackCarga_1 Carga_2
Carga_4Carga_3
Gen_2
Gen_1
PG
G
G
V0°|V|
|V|
Q
P
Q
P
QP
Q
Dada una red
Mediante resolución de las ecuaciones de flujo de carga
Finalmente en forma directa determino
Presentación del problema
Expresiones fundamentales de la red
Vi
V1
V2
Vn
yi1
yi2
yin
yi0
Ii ...
ij
ij
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
n
i
niniiiiniiii
niiniiiiiii
y
y
V
V
V
V
YYYY
YYYY
YYYY
YYYY
I
I
I
I
VyVyVyVyyyyI
VVyVVyVVyVyI
ij
ii
2
1
21
21
222221
111211
2
1
2211210
22110
Y diagonal la de fuera elementos
Y diagonal la de elementos
:por dados estan elementos sus y
nodal admitancia matriz denomina le se arriba matriz La
.
.
.
.
....
....
....
....
....
....
....
....
.
.
.
.
.
:red una de barras n las para matricial forma en loexpresando
...)...(
:terminos los oreordenand
)(...)()(
n
jjiijijjii
n
jjiijijjii
n
jjijjijiiii
iiii
n
jjijjiji
n
jjiji
YVVQ
YVVP
VYVjQP
IVjQP
i
VYI
VYI
I
1
1
1
*
1
1
i
)(sin||||||
)(cos||||||
:imaginaria e real partes en Separando
)(||||)(||
:potencia la de expresión la en corriente la doSustituyen
:es barra la en compleja potencia La
)(||||
:tenemospolar forma en ecuación esta Expresando
:escribir Podemos
Clasificación de las barras de la red
Las barras son clasificadas generalmente en tres tipos:
• Barra Slack - Es tomada como referencia donde |V| y son especificados, no aporta ecuaciones al algoritmo, si no que una vez calculados los |V| y en el resto de las barras, se calcula Pslack y Qslack :
n
jjiijijjislack
n
jjiijijjislack
YVVQ
YVVP
1
1
)(sin||||||
)(cos||||||
• Barra de carga - o barra PQ, se especifica la potencia activa y reactiva, el módulo y la fase de las tensiones son desconocidas, y se calculan resolviendo el siguiente set de ecuaciones no lineares:
n
jjiijijjii
n
jjiijijjii
YVVQ
YVVP
1
1
)(sin||||||
)(cos||||||
• Barra de generación- o barra PV o barras de tensión controlada, se especifican el módulo de la tensión y la potencia activa, debiendose determinar la fase de la tensión y la potencia reactiva.Los límites de la potencia reactiva son también especificados. Se aplica entonces una única ecuación por barra para el cálculo de la fase de la tensión:
n
jjiijijjii YVVP
1
)(cos||||||
una vez calculadas todas los módulos y fases de las tensiones de todas las barras (o sea convergió algoritmo Newton-Raphson), se calcula Q en todas las barras PV:
n
jjiijijjii YVVQ
1
)(sin||||||
si se viola el límite inferior o superior en alguna/s barras se puede tomar alguna de las siguientes acciones correctivas: 1 - fijar Q=Qlim y liberar la tensión (transformar en una barra PQ) y vuelvo a entrar en el algoritmo N-R. 2 - Aumentar (o disminuir) un escalón porcentual el módulo de la tensión y vuelvo a entrar en el algoritmo N-R).
Datos de entrada para resolver el flujo de carga
% Datos de archivo de entrada tomados del Gross, pag. 244%% DATOS DE BARRA% CARGA GENERACION min max Shunt Shunt% BARRA TENSION MW MVAR MW MVAR MVAR MVAR MVAr SUCEPTANCIASL Slack 1 0 0 0 0 0 0 0 0PQ Carga_1 1 200 30 0 0 0 0 0 0PV Gen_1 1.05 60 8 500 0 0 0 0 0PQ Carga_2 1 200 20 0 0 0 0 0 0PV Gen_2 1.05 50 5 200 0 0 0 0 0PQ Carga_3 1 100 30 0 0 0 0 0 0PQ Carga_4 1 400 100 0 0 0 0 0 0%%% DATOS DE LINEAS% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA SUCEPTANCIALinea Carga_1 Carga_3 0.023 0.138 0.271Linea Carga_2 Carga_4 0.023 0.138 0.271Linea Carga_1 Carga_2 0.015 0.092 0.181Linea Carga_3 Carga_4 0.015 0.092 0.181%%% DATOS DE TRANSFORMADORES% BARRA_1 BARRA_2 RESISTENCIA REACTANCIA TAP Trafo Slack Carga_1 0.0012 0.015 1 Trafo Gen_1 Carga_2 0.001 0.012 1 Trafo Gen_2 Carga_3 0.002 0.024 1
SlackCarga_1 Carga_2
Carga_4Carga_3
Gen_2
Gen_1
PG
G
G
V0°|V|
|V|
Q
P
Q
P
QP
Q
Dada una red
Solución de Ecuaciones Algebraicas No-Lineares - Método de Newton-Raphson
(k)
(k)(k)1)(k
)(
(k)(k)
(k)(k)
)0(
(0))0((1)
(0)
(0)(0)(0))0(
(0)
(0)
2(0)
)0(
2
2(0)
)0((0)
(0)(0)
(0)(0)
x Si
xxx
c
x
)x(c
: Definiendo
Raphson-Newton de algoritmo al identifica ntoprocedimie este de uso Sucesivo
c
x
:ónaproximaci segunda la en resultará inicial estimación la a x Sumando
residuo. el )x(c siendo ,xc
:resultando osdespreciadser pueden
alto orden de terminos los pequeño, muy es xerror el que Asumiendo
...)x(!2
1x)x(
:Taylor de serie en izquierda la de término el oExpandiend
)xx(
:tenemos correcta, solución la de desviación pequeña la es x y inicial, estimación la es x Si
)(
:por dada es ldiemnsiona-uni ecuación una de solución La
kJ
fc
dx
dfJ
dxdf
x
fcdx
df
cdx
fd
dx
dff
cf
cxf
Interpretación gráfica:
C=0
c(0)
x(0)
c(1)
x(1)
J(0)
J(1)
» te6ej1Nombre de la función: 'pol3'Entre la estimación inicial y rango de ploteo [xe xi xf] -> [6 0 6]iter Dc J dx x1 -50.0000 45.0000 -1.1111 4.8889
2 -13.4431 22.0370 -0.6100 4.2789
3 -2.9981 12.5797 -0.2383 4.0405
4 -0.3748 9.4914 -0.0395 4.0011
5 -0.0095 9.0126 -0.0011 4.0000
6 -0.0000 9.0000 -0.0000 4.0000
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Búsqueda de la raíz de f(x)=x3-6 x2+9x-4.
. : a denomina se , C
:compacta forma en
.
.
..
....
....
..
..
)(.
.
)(
)(
:matricial forma la en o
...)(
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...)(
...)(
:ordenmayor de terminos los dodesprecian
Taylor, de series en izquierda la de termino el oExpandiend
),...,,(
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
),...,,(
),...,,(
:variables con ecuaciones ahora doConsideran
)0()0((0)
)0(
)0(2
)0(1
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)0(
)0(22
)0(11
)0()0(2
2
)0(1
1
)0(
2)0(2)0(
22
2)0(1
1
2)0(2
1)0(1)0(
22
1)0(1
1
1)0(1
)0()0()0(2
)0(2
)0(1
)0(1
2)0()0()0(
2)0(
2)0(
1)0(
12
1)0()0()0(
2)0(
2)0(
1)0(
11
obianamatriz JacJXJ
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
fc
fc
fc
cxx
fx
x
fx
x
ff
cxx
fx
x
fx
x
ff
cxx
fx
x
fx
x
ff
cxxxxxxf
cxxxxxxf
cxxxxxxf
nn
n
n
nnn
n
n
nn
nnn
nnnn
nn
nn
nnnn
nn
nn
Quedando entonces el algoritmo de Newton-Raphson:
)0()0(2
)0(1 ,...,, iniciales valores los estiman Se nxxx
quemayor es X de elemento algún Si
X
X
Jacobiana la calcula Se
)(.
.
)(
)(
C
(k)
(k))()1(
)(1)((k)
)(
)(
)(22
)(11
(k)
kk
kk
k
knn
k
k
XX
CJ
J
fc
fc
fc
*
*El problema se reduce entonces a resolver sucesivos sistemas de ecuaciones lineares.
En Matlab, la solución del sistema de ecuaciones es obtenida
usando el operador de división de matrices \, o sea \ el cual es
basado en factorización triangular y eliminación Gaussiana, mucho más eficiente
que invertir
XJ C
XJ X
J .
Se usa el método de Newton-Raphson para encontrar la intersección de las curvas
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y x2+y2=4
ex+y=1
» te6ej2bEntre el vector estimación inicial [x1; x2] -> [0.5 -1]'Iter DC Matriz Jacobiana Dx x1 2.7500 1.0000 -2.0000 0.8034 1.3034 0.3513 1.6487 1.0000 -0.9733 -1.9733
2 -1.5928 2.6068 -3.9466 -0.2561 1.0473 -0.7085 3.6818 1.0000 0.2344 -1.7389
3 -0.1205 2.0946 -3.4778 -0.0422 1.0051 -0.1111 2.8499 1.0000 0.0092 -1.7296
4 -0.0019 2.0102 -3.4593 -0.0009 1.0042 -0.0025 2.7321 1.0000 0.0000 -1.7296
5 -0.0000 2.0083 -3.4593 -0.0000 1.0042 -0.0000 2.7296 1.0000 -0.0000 -1.7296
1
22xe
yxJ
1
422
ye
yxx
Tenemos entonces dos ecuaciones por cada barra PQ y una por cada barra PV, suponiendo que:Barra 1 - barra SlackBarra 2 a m - barras PQBarras m+1 a n - barras PVExpandiendo en series de Taylor haciendo estimaciones iniciales para |V| y y despreciando los términos de orden elevado, se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineares:
||.
.
||
.
.
||..
||..
......
......||
..||
..
||..
||..
......
......||
..||
..
.
.
.
.
)(
)(2
)(
)(2
)(
2
)()(
2
)(
)(2
2
)(2
)(2
2
)(2
)(
2
)()(
2
)(
)(2
2
)(2
)(2
2
)(2
)(
)(2
)(
)(2
km
k
kn
k
m
km
km
n
km
km
m
kk
n
kkm
kn
kn
n
kn
kn
m
kk
n
kk
km
k
kn
k
V
V
V
Q
V
QQQ
V
Q
V
QQQV
P
V
PPP
V
P
V
PPP
Q
Q
P
P
En forma abreviada:
||43
21
VJJ
JJ
Q
P
El procedimiento para solucionar un flujo de carga con el método de Newton-Raphson es el que sigue:
Para las barras PQEspecifica Pi y Qi
Estima |Vi(0)| y (0) (igual a la slack)
Para las barras PVEspecifica Pi , |Vi| y los limites max y min de Qi
Estima (0) (igual a la slack)
Usando los valoresespecificados y estimados Calculo el vector:
)(
)(2
)(
)(2
.
.
.
.
km
k
kn
k
Q
Q
P
P
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
Para la barra Slack
Se especifica V y
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
QP
1
)()()()()(
1
)()()()()(
1
)()()()()(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
: y los devetor el Actualizo
Se calculan los elementos de la matriz jacobiana J1, J2, J3 y J4.
Q
P
JJ
JJ
V\
|| 43
21Se resuelve:
Se actualizan los |Vi| y i :|||||| )()()1(
)()()1(
ki
ki
ki
ki
ki
ki
VVV
Mientras halla algún:|Pi
(k)|> o algún|Qi
(k)|>
convergió
n
jjslackijijjslackslack
n
jjslackijijjslackslack
YVVQ
YVVP
1
1
)(sin||||||
)(cos||||||
PV) (barras a 1 de
)(sin||||||1
nmipara
YVVQn
jjiijijjii
Calculo la potencia reactiva en todas las barras PV: Si se violó al menos un límite tomo accióncorrectiva y vuelvo al algoritmo
Solución Flujo de Carga Desacoplado Rápido
Para relación X/R alta
P está fuertemente acoplado a y debilmente acoplado a |V|
||||
||
o
||0
0
4
1
4
1
VV
QVJQ
PJP
VJ
J
Q
P
Además considerables simplificaciones a J1 y J4 pueden ser hechas:
)(sin||||)(sin||||||)(sin||||||
:diagonal la de elementos los Para
)(cos||||||
Siendo
2
1,1
1
1
iiiii
n
jjiijijji
n
ijjjiijijji
i
i
n
jjiijijjii
YVYVVYVVP
PJ
YVVP
-QiBii
Siendo Bii la parte imaginaria de los elementos de la diagonal de Y, o sea, la suma de todas lassuceptancias incidentes a la barra i.
iii
i
BV
Q
||P
entonces
|V||V| además ,B típicos potencia de sistemas En
i
i
i2
iii
Q está fuertemente acoplado a |V| y debilmente acoplado a
ijij
jijjij
jiji
jiijji
BV
VYVV
YVV
||P
1|| asumiendo obtenida es ciónsimplifica otra ),sin(||||||P
)( entonces ,0 normal operación de scondicione en
ij )sin(||||||P
:diagonal la de fuera elementos los Para
i
iji
ijij
ijj
i
Bii
ijij
i
iiii
i
BVV
Q
BVV
Q
J
||||
:diagonal fuera
||||
:diagonal
: parasimilar forma En 4
Llegamos entonces a que los sistemas de ecuaciones||
||||4
1
VV
QVJQ
PJP
Se pueden plantear como:
PQ. barras las a solo ientescorrespond los y
PQ yPV barras las a ientescorrespond Y de elementos los de asuceptanci la Siendo
||||
||
''
'
''
'
B
B
VBV
Q
BV
P
Siendo B’ y B’’ constantes, estas pueden ser invertidas una única vez antes de iniciar las iteracionesy luego durante el proceso de cálculo los cambios de |V| y son dados en forma directa por:
||
||
||
1''
1'
V
QBV
V
PB
El procedimiento para solucionar un flujo de carga con el método de Newton-Raphson desacoplado rápido es el que sigue:
Para las barras PQEspecifica Pi y Qi
Estima |Vi(0)| y (0) (1.00)
Para las barras PVEspecifica Pi , |Vi| y los limites max y min de Qi
Estima (0) (1.00)
||
.
.||
)(
2
)(2
n
kn
k
V
P
V
P
Determinar B’ y B’’ y en consecuencia [B’]-1 y [B’’]-1
Para la barra Slack
Se especifica V y
Usando los valoresespecificados y estimados Calculo los vectores:
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iiespk
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
1
)()()()(.
)(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
||
.
.||
)(
2
)(2
m
km
k
V
Q
V
Q
||]''[||
||]'[
1
1
V
QBV
V
PB
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
n
j
jk
ik
ijijk
jk
iik
i
YVVPP
YVVQQ
YVVPP
QP
1
)()()()()(
1
)()()()()(
1
)()()()()(
)(cos||||||
:PV barras las para y
)(sin||||||
)(cos||||||
:PQ barras las Para
: y los Actualizo
Se actualizan los |Vi| y i :|||||| )()()1(
)()()1(
ki
ki
ki
ki
ki
ki
VVV
Mientras halla algún:|Pi
(k)|> o algún|Qi
(k)|>
convergió
n
jjslackijijjslackslack
n
jjslackijijjslackslack
YVVQ
YVVP
1
1
)(sin||||||
)(cos||||||
PV) (barras a 1 de
)(sin||||||1
nmipara
YVVQn
jjiijijjii
Calculo la potencia reactiva en todas las barras PV: Si se violó al menos un límite tomo accióncorrectiva y vuelvo al algoritmo
|| ||
los ActualizoV
Q
V
P :productos los mediante
|| y calculan Se V