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CAPITULO 2

2. TRATAMIENTO DE SEALES EN TIEMPO DISCRETO

2.1 Digitalizacin de seales continuas.

Para realizar el control digital directo de un proceso, las seales involucradas, tanto lasde entrada como las de salida, deben ser medidas a intervalos regulares paraposibilitar su procesamiento digital. De esta forma resultan seales discontinuas queestn discretizadas tanto en el tiempo como en su amplitud. Cada medida se denominamuestra y la accin de obtener las muestras discretas de una seal continua sedenomina discretizacin o muestreo.

En este captulo se presentarn resumidamente las herramientas tericas para eltratamiento de las seales discretizadas, sin tocar el aspecto tecnolgico de laobtencin de las muestras.

Contrariamente a las seales continuas, que pueden tener cualquier amplitud paracualquier instante, las seales discretas contienen solamente valores discretos deamplitud para instantes determinados. Normalmente las seales discretas se obtienenpor discretizacin de seales continuas a intervalos de tiempo constantes. Si bien esposible obtener pulsos discretos modulados en distintas formas, por ejemplo,modulacin de ancho, de alto o modulacin de frecuencia, en el control digital se utilizacasi con exclusividad la modulacin en amplitud; esto es, cuando la amplitud del pulsoque representa a la muestra es proporcional al valor de la seal continua en eseinstante de tiempo, como se esquematiza en la Fig. 2.1.1.

Cuando el intervalo entre muestras es constante, se denomina muestreo coherenteToy es el nico que se considera aqu. Con este tipo de modulacin es fcil encontrarrelaciones lineales en el tratamiento de los sistemas dinmicos lineales y se puedeaplicar el principio de superposicin.

Fig 2.1.1. Discretizacin por modulacin de amplitud.

Si el tiempo h de duracin de los pulsos es pequeo en comparacin con el tiempo de

Control Digital Directo Tratamiento de Seales de Tiempo discreto

xT(t) x(kT0) para t kT00 para kT0 < t < (k1)T0con k 0,1,2 ...

x(t) e atx(kTo) e akTo con k 0, 1, 2, ...x(t) t

0

w()d

muestreo y si adems las constantes de tiempo asociadas al proceso sobre el queTova actuar la seal discretizada son grandes respecto de h, se puede considerar al trende pulsos de ancho infinitesimal, lo cual introduce simplificaciones de importancia enel tratamiento matemtico. Esto se representa en la Fig. 2.1.2.

Fig. 2.1.2. Seal discretizada para h


x(kT0) k1l 0

w(lT0)T0

x[(k1)T0] kl0

w(lT0)T0

x[(k1)To] x(kTo) kl0

w(lTo)To k1l0

w(lTo)To Tow(kTo)

x(k1) a1x(k) b1w(k)x(k) a1x(k1) b1w(k1)

De acuerdo a la Fig. 2.1.3, el rea bajo la funcin continua puede aproximarse porw(t)la sumatoria de los rectngulos de base y altura . De esta manera el reaTo w(lTo)hasta el instante queda expresada en forma aproximada pork

(2.1-5)siendo para , .kTo t x(kTo) x(t)

Fig. 2.1.3. Integracin discreta en escalera.

2.2 Ecuacin en diferencias.

La Ec. 2.1-5 se puede escribir en un intervalo posterior

(2.2-2)Haciendo la diferencia entre los valores dados por las Ecs. 2.1-5 y 2.2-2, se obtiene

(2.2-3)

Tomando , la expresin anterior puede escribirsea1 1, b1 To, kTo k(2.2-4)

o bien, en un intervalo anterior

(2.2-5)


x(k) a1x(k1) ... amx(km) bow(k) b1w(k1) ... bmw(km)

x(k) a1x(k1) ... amx(km) bow(k)b1w(k1) ... bmw(km)

dx(t)dt

limt0

x(t)x(tt)tx(k)

To x(k)x(k1)

To

x(k) x(k) x(k1)

d 2x(t)dt 2

limt0

dx(t)dt

dx(tt)dtt

A esta ecuacin se la denomina Ecuacin en Diferencias de Primer Orden yestablece una relacin lineal entre instantes de la funcin discretizada que difierenx(k)en un intervalo.

Cuando existen relaciones entre instantes de la funcin que difieren en ms de unintervalo, se pueden plantear ecuaciones en diferencias de mayor orden. Una ecuacinen diferencias de orden m tiene la forma

(2.2-6)Asumiendo que es la entrada de un sistema y su salida, si se conocen losw(k) x(k)m valores pasados de la entrada y la salida y adems el valor presente dew(k) x(k)la entrada, resulta posible calcular el valor presente de la salida del sistema como

(2.2-7)Las ecuaciones en diferencias pueden obtenerse directamente discretizando lasecuaciones diferenciales en el campo continuo. Por ejemplo, la derivada de estx(t)definida por

Puede considerarse como primera aproximacin de la derivada a la expresin

o tambin

(2.2-8)Para la derivada segunda, se tiene

En formadiscreta puede expresarse como


2x(k) x(k) x(k1) [x(k) x(k1)] [x(k1) x(k2)]2x(k) x(k) 2x(k1) x(k2)

(t) 0 para t 0 para t 0

(tT) 0 para t T para t T

(t)dt 1.

o bien,

(2.2-9)Esta expresin constituye una ecuacin en diferencias de segundo orden.

2.3 Representacin de la seal muestreada mediante impulsos.

Es posible obtener un tratamiento matemtico sencillo de las funciones de tiempodiscreto si el tren de pulsos, producto del muestreo se aproxima por un tren deimpulsos. Un impulso est definido por

(2.3-1)O bien si est desplazado un tiempo se define como T

(2.3-2)Tambin se especifica el rea del impulso. Cuando el rea es unitaria, se lo denominaimpulso unitario.

(2.3-3)Como normalmente el ancho de los pulsos muestreados es pequeo con respectohal perodo de muestreo , el tren de pulsos muestreados puede aproximarse por unTotren de impulsos donde cada impulso tiene un rea igual a la del pulso respectivo. Estaaproximacin se esquematiza en la Fig. 2.3.1, donde la longitud de las flechas esproporcional al rea del pulso.

Cada impulso que representa a una muestra, est desplazado en el tiempo tal comose expresa en la Ec. 2.3-2. El rea de cada pulso de muestreo en el instante y denToancho estar representado por el impulso h


xg(nTo) x(t)h (tnTo).

xp(t) xg(t) x(t)h (t) x(t)h (tTo) ...xp(t) xg(t) x(t)h

k0(tkTo)

x (t) k0

x(kTo) (tkTo)

(2.3-4)

Fig. 2.3.1. Aproximacin de un tren de pulsos x(t) por un tren deimpulsos.

El tren de pulsos muestreados podr aproximarse como

(2.3-5)Expresado en forma de sumatoria, queda

(2.3-6)Cuando la seal discretizada debe actuar sobre un proceso continuo, se requiereretener el nivel de la muestra hasta la aparicin del prximo pulso. En ese caso, laduracin del pulso resulta irrelevante. Por esta razn es importante eliminar lahduracin del pulso h en la expresin de la Ec. 2.3-6. Esto se logra suponiendo unaduracin unitaria del pulso y asociando el rea del impulso a la magnitud(h 1 seg)

de la muestra. Introduciendo dentro de la sumatoria, la seal muestreadax(t) x(t)puede expresarse matemticamente como

(2.3-7)Con esta aproximacin y normalizacin la seal muestreada queda expresada comoel producto de la magnitud de la muestra en el instante por el impulso unitario enkToese instante.


x(s) L {x(t)} o

x(t)e stdt

L{(t)} o

(t)e stdt 1

L{(tkTo)} L{(t)}e kTos e kTos

L{x (t)} x (s) k0

x(kTo)e kTos

o 2/To

x (s jno) k0

x(kTo) e kTo(s jno)

x (sjno) k0

x(kTo) e kTos e jkn2

x [sj(no)] x (s) para n 0,1,2,...

2.4 Transformada de Laplace de una funcin de tiempo discreto.

La transformada de Laplace de una funcin continua se define como

(2.4-1)

siendo s jAplicando esta definicin a un impulso unitario, se obtiene

(2.4-2)Cuando la transformada se realiza sobre un impulso unitario desplazado en el tiemporesulta, de acuerdo a la propiedad de desplazamiento de la transformada de Laplace

(2.4-3)La transformada de Laplace del tren de impulsos representado por la Ec. 2.3-7, es

(2.4-4)Definiendo la frecuencia angular

(2.4-5)y sustituyendo el argumento por en la Ec. 2.4-4, se obtienes s jno

(2.4-6)

(2.4-7)Esto es

Con se obtiene tambins j


x [j(no)] x (j)para n 0,1,2,...

o 2/To.

o2

>max

(2.4-8)Esto significa que la transformada de Laplace de una funcin de tiempo discreto comola representada por la Ec. 2.3-7, es una funcin peridica con frecuencia angular

(2.4-9)

De la Ec. 2.4-8, se concluye que se repite, para cada . La transformadax (s) noestar totalmente definida si se conoce para todo y para

(2.4-10)

La funcin tendr iguales valores para frecuencias que difieren en . x (s) no2.5 Teorema de muestreo.

La transformada de Laplace de una seal continua definida por la Ec. 2.4.1, puedeaproximarse por la Ec. 2.5.1 cuando se disponen muestras de la seal tomadasx(t)en intervalos suficientemente pequeos. To t

(2.5-1)Comparando la Ec. 2.5-1 con la transformada de Laplace de un tren de impulsos (Ec.2.4-4), resulta

o tambin,

(2.5-2)para suficientemente pequeo. Se asume que las seales continuas estn limitadasToen frecuencia, esto es, la transformada de Fourier est acotada en su frecuenciax(j)mxima,


To x (j) x(j)para max


To max 12fmax (2.5-6)

Fig. 2.5.2 Transformada de Fourier de la seal muestreada.

Esta expresin constituye el teorema de Shannon. Este teorema expresa que lafrecuencia de muestreo debe ser mayor que el doble de la mxima frecuenciaarmnica contenida en la seal. Este valor de frecuencia de muestreo se lo denominatambin frecuencia de Nyquist . Frecuencias de muestreo menores conducen afodistorsin del espectro base por superposicin de las bandas laterales. Bajo estascondiciones, la seal temporal no es ms recuperable a partir de las muestras. Poresta razn el valor de esta frecuencia es de fundamental importancia en los sistemasmuestreados como valor lmite inferior.

Debido a que el filtrado no es ideal, consideraciones prcticas aconsejan elevar en porlo menos un factor 2 esta frecuencia de muestreo para lograr una mejor separacin delas bandas espectrales laterales. Si es posible se utilizan factores an mayores. Escomn usar un factor 5.


x (t) k0

x(kTo) (tkTo).

x (s) k0

x(kTo) e kTos.

F(t) U(tkTo)

2.6 Elemento Retenedor de nivel

Cuando las seales digitalizadas deben actuar sobre un proceso continuo, se requieretransformar a stas tambin en seales continuas o cuasi continuas. Esto se denominareconstruccin de las seales. Existen distintos procedimientos para reconstruir laseal, aunque casi con exclusividad se utiliza el denominado retenedor de orden cero.Este dispositivo retiene el valor de una muestra de la seal en forma constante (ordencero) hasta la llegada de la prxima muestra, asumiendo el valor de esta ltima.Cuando se utiliza una interpolacin lineal entre muestras, el elemento se denominareconstructor de primer orden. El orden del reconstructor de la seal evidencia el ordendel polinomio con que se interpolan las muestras. Por simplicidad tecnolgica y por lossatisfactorios resultados que provee se utiliza normalmente el de orden cero,representado por . La Fig. 2.6.1 representa esquemticamente su operacin.R o

Fig. 2.6.1 Retenedor de orden cero.

La funcin de transferencia de un elemento , se obtiene del siguiente modo. El trenR ode impulsos de la entrada se representa matemticamente por

(2.6-1)La transformada de Laplace ya obtenida, es

(2.6-2)Definiendo la funcin

(2.6-3)como un escaln unitario que toma valor para y para , la seal de1 t kTo 0 t < kTosalida del retenedor se puede expresar en el dominio temporal como R o


m(t) k0

x(kTo)[U(tkTo) U[t (k1)To]].

m(s) k0

x(kTo)e kTos 1.(1e Tos)/s.

m(s) x (s) 1.(1e Tos)s

.

R o(s) m(s)x (s)

1.(1e Tos)s

.

R o(j) (1e Toj)j .

R o(j) 1j 1 11 Toj (Toj)2/2 ... .

R o(j) To1 Toj .

(2.6-4)Aplicando la transformada de Laplace, se obtiene

(2.6-5)Comparando la Ec. 2.6-5 con la Ec. 2.6-2, resulta

(2.6-6)La funcin de transferencia del retenedor de orden cero quedar expresada como

(2.6-7)P u e d e

considerarse que este retenedor se comporta para bajas frecuencias como un filtropasabajos de primer orden, como se observa haciendo el anlisis frecuencial en bajafrecuencia. Tomando , se obtienes j

(2.6-8)

Con el desarrollo en serie de quedae Toj

Despreciando la contribucin de los trminos de orden superior, se puede escribir paraTojbajas frecuencias .

(2.6-9)La Ec.

2.6-9 representa la respuesta frecuencial de un filtro pasabajos de primer orden.


z e Tos

x (s) k0

x(kTo) e kTos.

x(z) {x (s)} k0

x(kTo)z k

x(z) x(0) x(1)z 1 x(2) z 2 ...

x(kTo) U(kTo) 0 para k 1

2.7.2 Transformada Z de la funcin escaln.

La funcin escaln se define como

s i e n d o, la amplitud del escaln. Si el escaln es unitario, entonces es . DeU cte. U 1

acuerdo a la Ec. 2.7-3, la transformada del escaln unitario es


x(z) k0

z k

x(z) 1 z 1 z 2 ...x(z) 1

1 z 1 zz 1.

Ps(s)(s si)n Pz(z)(z zi)ncon zi e Tosi

{ax1(kTo) bx2(kTo)} a {x1(kTo)} b {x2(kTo)}

(2.7-5)tambin,

(2.7-6)Resulta una serie de potencias que con , puede escribirse comoz > 1

(2.7-7)De forma similar pueden obtenerse las transformadas para otras funciones. En labibliografa especializada se proveen tablas que incluyen las transformadas de Laplacey .2.7.3 Caractersticas y teoremas generales de la transformada Z.

Correspondencia de denominadores.

Para expresiones de orden finito, los denominadores de una transformada en y en s ztienen el mismo orden y forma, obtenindose por simple reemplazo de . Nozi e Tosiexiste correspondencia entre los numeradores.

(2.7-8)

Linealidad.

La linealidad de la transformada puede expresarse como (2.7-9)

Desplazamiento temporal.

La transformada de una funcin temporal desplazada intervalos de muestreo d


{x(kTo dTo)} z dx(z)para d 0

{x(kTo dTo)} z d[x(z) d1q0

x(qTo)z q]

para d 0.

x(0) limz

x(z).

limk

x(kTo) limz 1

z 1z

x(z) limz 1

(z1) x(z).

{x(kTo )} x(z)1{x(z)} x(kTo)

hacia tiempos crecientes es igual a la transformada de la funcin sin desplazarmultiplicada por . Esto es z d

(2.7-10)El desplazamiento temporal hacia tiempos decrecientes es ms complejo y quedaexpresado de la siguiente forma

(2.7-11)

Teorema del valor inicial.

En forma similar al teorema del valor inicial en variable se puede demostrar que s

(2.7-12)

Teorema del valor final.

Se demuestra que

(2.7-13)

Antitransformada.

Cuando sobre una funcin temporal se realiza la transformada de Laplace y sobrex(t)esta se realiza la transformada inversa o antitransformada, se obtiene la mismax(s)funcin temporal. Esta propiedad de antitransformada unvoca no se verifica con laantitransformada debido a la posible prdida de informacin entre muestras. Con unintervalo de muestreo definido , existe la antitransformada nica. To

(2.7-14)


To 2o .

2.7.4 Relaciones entre los planos S y Z.

Las expresiones en permiten una interpretacin en el plano del mismo tipo que sez hace para las expresiones en el plano . Las relaciones que existen entre los planos S Sy , se representan en la Fig. 2.7-1. Cada zona del plano de la variable , tiene su correlato en el plano . DadoS s j que el estudio de la correspondencia del eje es de fundamental importancia parajanalizar la estabilidad de sistemas continuos controlados digitalmente, se analizar enprimer lugar qu sucede en el plano , cuando un punto en el plano se mueve sobre Sel eje .j

Fig. 2.7.1. Correspondencia del plano S y Z.

En este caso, corresponde a . En esta transformacin representas j z e jTo Toel perodo de muestreo y est relacionado con la frecuencia de muestreo a travs de

(2.7-15)Esto significa que si en el eje del plano un punto se mueve entre j S o/2y en el plano estar describiendo un crculo de radio unitario. Se considerao/2 ahora la semibanda izquierda limitada por . Para dicha banda es siempreo/2 negativo. Cuando se hace la transformacin a el mdulo es


M e To < 1.

f(t) e t/T.F(s) 1/(s 1/T).

f (t) k0

ekTo/T (tkTo).

El argumento vara entre y . Esto significa que toda la semibanda izquierda se transforma en el interior del crculo de radio unitario. En forma anloga, toda lasemibanda derecha limitada por tiene como superficie transformada el exterioro/2del crculo de radio unitario.

Puede verificarse tambin que todas las bandas que estn comprendidas en losintervalos y as como entre y con(2n1)o/2 (2n3)o/2 (2n1)o/2 (2n3)o/2

, es decir, todas las bandas de amplitud a partir de la original, sonn 0, 1, 2, ... otransformadas segn una superficie que coincide con todo el plano . Las semibandasizquierdas se superponen con el interior del crculo y las semibandas derechas sesuperponen con el exterior del crculo. Como consecuencia de esta situacin, unafuncin que presenta infinitos polos en el plano , podr tener una cantidad finita deSpolos en el plano .Cuando se transforma una seal continua en una seal muestreada y se calcula latransformada de Laplace de la secuencia, se obtiene una funcin peridica en el plano Scomo muestra la Ec. 2.4-8. Esto significa, por ejemplo, que una funcin continua conun polo en el plano al ser muestreada, su transformada de Laplace tiene infinitosSpolos, ya que el polo original aparece en su posicin inicial y repetido en mltiplos de

. Es decir, que la secuencia muestreada representada en el plano , tendr infinitoso Spolos. Con la transformada , debido a que todas las bandas estn superpuestas, esacantidad infinita de polos se convierte en una cantidad finita lo cual hace msconveniente analizar una secuencia mediante esta ltima transformacin.

A modo de ejemplo se toma una funcin temporal que decae exponencialmente

Transformando se obtiene,

(2.7-16) tiene un polo en . Si esta seal ingresa a un muestreador ideal, a suF(s) s 1/T

salida se tendr

La transformada de Laplace de esta secuencia de impulsos, ser


F (s) k0

ekTo/T eksTo

F (s) 1/[1e To/T e sTo].eTo/T

.esTo 1.

eTo/T

.eTo 1

To 2k , k 0,1,2...To/T To 0 1/T 2k /To ko.F (s)

k01/[s (1/T jko)].

F(z) 1(1az 1) z(za)

o tambin en forma cerrada,

(2.7-17)Es interesante analizar los polos de esta funcin. Estos se verifican para,

se obtienen las siguientes implicancias para el mdulo

(2.7-18)y la fase

(2.7-19)Se observa que existen infinitos polos cuyas partes reales se obtienen de Ec. 2.7-18

y resultan una constante. Las partes imaginarias se obtienen de Ec. 2.7-19

La Ec. 2.7-17 factorizada en sus polos puede escribirse como

(2.7-20)

Tomando ahora en la Ec. 2.7-17, , se tendr la transformada en a e To/T, z e sTo (2.7-21)

tiene un solo polo en . F(z) z a


w 2To

z1z1, z 1 wTo/21 wTo/2

th x e x e xe x e x e 2x 1e 2x 1

w 2To

esTo 1

esTo 1 2To th sTo2 .

La Fig. 2.7.2 representa las posiciones de los polos en los planos y de lasS funciones representadas por las ecuaciones Ec. 2.7-16, Ec. 2.7-20 y Ec. 2.7-21.

Fig. 2.7.2 Relaciones entre los planos S y Z.

2.8 Respuesta en frecuencia y formas bilineales.

Con el objeto de poder aplicar las tcnicas de anlisis y diseo de sistemas continuosen el dominio frecuencial a los sistemas de tiempo discreto, se ha propuesto unatransformacin adicional denominada Transformada W. Esta transformacin,denominada tambin Transformada Bilineal de Tustin, est definida por lasrelaciones

(2.8-1)Consider

ando la relacin de la variable con , , y recordando la definicin de tangentez s z e sTohiperblica de comox

resulta

(2.8-2)Tomando para realizar el anlisis frecuencial, teniendo en cuenta que pors j


w j 2To

tgTo

2 jv.

v 2To

tg To2

P(s) 1s

R(z) K.

R o 1 z 1s

.

definicin es se obtiene th jx j tg x

con

(2.8-3)

Siendo , al desplazarse alrededor del crculo unitario en el plano , en elz e jTo z plano , es real y vara entre menos infinito y ms infinito.W v

Cuando vara entre , se mueve a lo largo de la mitad superior 0 o/2 /To zdel crculo unitario y la nueva variable vara entre y sobre el eje imaginario.w 0 Cuando . La funcin es peridica con perodo o/2 /To, v v f()

. Para baja frecuencia angular cuando .o 2/To


P1(z) (1z 1) (1/s 2). 1/s 2 Toz

(z1)2P1(z) To

z1.

z 1 wTo/21 wTo/2

P1(w) To / 1 wTo/21 wTo/2 1 1 wTo/2w .

G(w)H(w) P1(w)R(w) K 1 wTo/2w

.

w jG(j)H(j) K 1 To/2j .

Por lo tanto la funcin de transferencia del proceso con retenedor es

(2.8-5)Reemplazando la transformada

se obtiene

Transformando con

s eobtiene la Ec. 2.8-6

(2.8-6)S i e n d o

la transformada del controlador la funcin de transferencia de lazo abiertoW R(w) Kes

(2.8-7)Considerando el rango de frecuencias de acuerdo a la Ec. 2.8-3, resulta


mx /To.

fo 1To Pmxcon 2 < P < 10.

Fig. 2.8.2. Diagrama de Bode del sistema muestreado.

Comparando la respuesta frecuencial de la Fig. 2.8.2 (Ec. 2.8-9) con la que tendra elsistema equivalente en el campo continuo constituido por un integrador puro y uncontrolador proporcional, se observa la aparicin de un cero en el semiplano derechodel plano (sistema de fase no mnima) debido al efecto del muestreo.S

Debe tenerse en cuenta que este anlisis frecuencial es vlido para .


R 2n 1.U R 1 1/(2n1) 1/2n.

. Normalmente esta operacin puede resultar complicada por lo que existen tablasG(z)de transformadas equivalentes a las de a partir de .G(z) G(s)

2.9 Cuantificacin de amplitud.

En el tratamiento matemtico de los sistemas de control discreto se desprecian loserrores debido a la cuantificacin de amplitud. Esta hiptesis es vlida para grandescambios de las seales y el uso de computadoras con gran longitud de palabra. De noser as deben considerarse los efectos de la cuantificacin de amplitud en el sistemade control. La cuantificacin de amplitud en un sistema de control se origina en ladigitalizacin de valores continuos que se envan al computador mismo y en la salidadel computador, como queda esquematizado en la Fig. 2.9.1.

2.9.1 Cuantificacin de la seal de entrada continua.

La seal continua (0-10 V, 0-20 mA, 4-20 mA) es muestreada y digitalizada en ely(t)conversor A/D. El rango numrico para una longitud de palabra del conversor de R nbits es, para una polaridad,

(2.9-1) La resolucin resulta

(2.9-2)

Fig. 2.9.1 Diagrama de un sistema de control con efectos decuantificacin.


M/R .y(k) yQ (k) L L 0,1,2...Ry(k) yQ (k) y y<

Si el mximo valor numrico a representar es , la unidad ms pequea representableMo unidad de cuantificacin resulta

Un valor analgico es representado por unidades de cuantificacin, L

(2.9-3)

El error de cuantificacin es , el que resulta distinto segn se trate de redondeo oytruncamiento.

Rango para redondeo: 0,5 (y/)R < 0,5Rango para truncamiento: (2.9-4)0 (y/)T < 1La Fig. 2.9.2 muestra la no-linealidad y el error introducido por redondeo ytruncamiento.

Fig. 2.9.2. Truncamiento y redondeo.

2.9.2 Cuantificacin en la Unidad Central de Procesamiento.

La seal discretizada en el conversor A/D es transferida a la unidad de y(k)cmputo y all representada normalmente por una palabra de mayor longitud. Para unalgoritmo de control lineal se realizan normalmente los siguientes cmputos:


eQ(k) rQ(k) [yQ(k)]ADuQ(k) p1QuQ(k1) ... pmQuQ(km) q0QeQ(k) q1QeQ(k1) ... qmQeQ(km)

* clculo del error de control,

(2.9-5)* clculo de la variable de control,

(2.9-6)siendo

variable de referencia rQ(k)

variable manipulada uQ(ki), i1,2, ...,mparmetros piQ, p0Q, qiQ i1, 2, ..., mproductos piQuQ(ki), q0QeQ(k), qiQeQ(ki) i 0,1,2 , ...,msuma de productos uQ(k).

En la Unidad Central de Procesamiento ocurren errores de cuantificacin debidos a larepresentacin en palabra finita. En representacin en punto flotante, normalmente lamenor unidad representable es despreciable para el control digital. Para el caso derepresentacin en punto fijo los errores de cuantificacin se originan en los productos,que ocasionan no-linealidades al incorporar potencias de los errores de cuantificacin.

La cuantificacin de la variable contnua de referencia y de los parmetros delr(t)controlador originan slo desviaciones de los valores nominales sin introducir no-linealidades en el lazo de control.

2.9.3 Cuantificacin en la salida.

La variable es transferida del computador al conversor D/A seguido deluQ(k)retenedor. El intervalo de cuantificacin del D/A depende de su longitud de palabra. Elconversor D/A introduce una no-linealidad como se muestra en la Fig. 2.9.1.

El tratamiento terico de todas las cuantificaciones originadas en el lazo es muy difcil.Los tratamientos analticos se basan en el estudio del mximo error posible o en lamodelacin estadstica de los errores de cuantificacin. Los efectos no lineales de lacuantificacin se estudian usando funciones descriptivas o el mtodo directo deLyapunov. La simulacin es quizs el nico modo viable de analizar los casos mscomplejos.


yQ(k) y(k) (k).

E {(k)}

p()d 0

Se analizan a continuacin los efectos de cuantificacin de las variables que incluyela cuantificacin de seales en los conversores A/D, D/A y la Unidad Central deProcesamiento. En la Fig. 2.9.2, se dan las caractersticas de cuantificacin porredondeo y truncamiento, as como los correspondientes errores.

2.9.4 Modelacin estocstica del error de cuantificacin.

Si una variable cambia estocsticamente atravesando diferentes niveles decuantificacin, puede asumirse que los errores de cuantificacin son(k)estadsticamente independientes. Adems, al ser la curva de error tipo diente de sierra,no existen valores preferenciales y puede asumirse una distribucin uniforme como enla Fig. 2.9.3.

La seal cuantificada puede representarse por el valor continuo con un ruido (k)aditivo de cuantificacin,

(2.9-7)

Fig. 2.9.3 Distribucin de probabilidad del ruido de cuantificacin.

El valor medio de para errores de redondeo y trucamiento es (k)* redondeo:

* truncamiento


E {(k)} /2.

2

[ E{}]2p()d 2/12.

u(k) qoy(k) q1y(k1)e(k) y(k).u(k) qo (k) q1 (k1).

2u [q 2o q 21 ]2.

u 3,35

.

(2.9-8)La varianza resulta en ambos casos igual del siguiente clculo,

(2.9-9)Si el ruido de cuantificacin es generado en el conversor A/D, ste acta sobre lavariable controlada y su varianza no puede ser reducida por ningn control puesequivale a un ruido de medicin. Esto conduce a cambios indeseables en la variablede control que pueden ser mayores que la unidad de cuantificacin del D/A.u(k)

Ejemplo: Suponiendo un algoritmo de control,

El ruido de cuantificacin genera,

Si se considera que el proceso filtra tal que y que es un ruido blanco, lau y 0 varianza de es,u

(2.9-10)S e g n

los valores de la varianza del ruido sobre la accin de control , puede serq0, q1, 2uvarias veces mayor que la del ruido de cuantificacin . 2

Tomando por ejemplo: ser q0 3, q1 1,5

2.9.5 Consideraciones determinsticas.


P(z,a) z n a1z n1 .... an 0

Desviaciones (Offset).Debido a la cuantificacin del conversor A/D (en particular para truncamiento) seproducen desviaciones en el valor de la salida controlada y en relacin al valor quealcanzara en un sistema continuo. Esto se verifica fcilmente tomando un ejemplo yoperando hasta llegar al valor de estado permanente, truncando en cada paso dey(k)iteracin.

Ciclos lmites.

Aparecen como consecuencia de la no-linealidad introducida por la cuantificacin. Severifican particularmente con algoritmos de control de fuerte accin (gran ganancia) yse manifiestan como oscilacin peridica de la variable controlada . Tambin lay(k)accin de control muestra esta oscilacin. La oscilacin de ciclo lmite puedeu(k)desaparecer al disminuir la ganancia del controlador. El estudio de estos efectos puedehacerse por simulacin digital. Tambin podra usarse la funcin descriptiva o elmtodo directo de Lyapunov usados en sistemas no-lineales.

2.9.6 Efectos de la cuantificacin de coeficientes.

La influencia de los efectos de redondeo de los parmetros del controlador puedeusualmente ser despreciada, an en el caso de representacin en punto fijo. Estoresulta obvio si los errores de cuantificacin de esos parmetros se comparan con loserrores del modelo del proceso que influencia el diseo del controlador.

Los errores en los parmetros no causan no-linealidades en el lazo sino slodesviaciones respecto del comportamiento nominal. Es sobre todo importante estudiarla influencia que puede tener en la respuesta dinmica, particularmente en laestabilidad del sistema. Para esto se estudia cmo cambian las races de la ecuacincaracterstica con los cambios de los parmetros. Esto requiere de un anlisis derobustez paramtrica que se remite a la bibliografa especializada.

Suponiendo la ecuacin caracterstica.

(2.9-11)

con sus races donde . Suponiendo que un coeficiente, por ejemplol1, l2, ...ln li rie ji, est sujeto al error y se quiere computar el efecto sobre la raz yak ak lj

especialmente sobre su mdulo para verificar la estabilidad.rj

Analizando en , resulta . Si se cambia por tambin cambia z lj P(lj,ak) 0 ak ak ak ljy el polinomio caracterstico desarrollado en serie de Taylor es


P(ljlj,akak) P(lj,ak) Pz zl jlj Pak zl jak ... 0.

lj P/akP/z zl jak.

Pak zl j l nkj .

P(z, lj) (zl1)(zl2)...(zln)

Pz zl j ij (lj li).

lj l nkjij

(ljli) ak.

El primersumando es y los trminos de orden superior son despreciables. ResultaP(lj,ak) 0as

(2.9-12)De la Ec. 2.9-11 puede evaluarse la derivada

Por otra parte, usando la expresin de factores se obtiene

la derivada toma la forma

Entonces la Ec. 2.9-12 queda

(2.9-13)

Analizando la Ec. 2.9-13 pueden obtenerse algunas conclusiones sobre la sensibilidadparamtrica. Como es , a mayor diferencia la sensibilidad es menor. Por lj < 1 n klo tanto el parmetro ms sensible es , el trmino independiente de la Ec. 2.9-11.anTambin para valores de races cerca del crculo unitario, la sensibilidad es mayor.


q Q q; e E eq.e QE 2 Q e E q q e

21 E{[Q e E q]2} .21 E{(Q)2 2e (E)2 2q }

(Q)22

(E)22

.

21 (Q 2E 2)22.QE QE2 (QE)Q.

Con respecto al denominador de la Ec. 2.9-13, se analiza cmo es el producto de losvectores de las races caractersticas hasta . Si las races estn muy juntas, laljsensibilidad ser alta. Por ejemplo en el caso de un filtro pasa-bajos digital con unaestrecha banda y corte abrupto, el sistema tendr muchos polos juntos cerca de .z 1Por tal razn, es muy importante la estructura con la que se disee el filtro (cannica,cascada, paralela) en lo que respecta a la sensibilidad.

2.9.7 Efectos de cuantificacin de resultados intermedios.

En algoritmos de control lineal los resultados intermedios son productos de coeficientesy variables. Los factores y los productos son sometidos a redondeo. Considrese elproducto conq.e

(2.9-14)siendo E {q} E {e} 0Si los errores de redondeo son estadsticamente independientes y con varianzaq, e

, el error del producto obtenido por redondeo de los factores tiene una2

2/12varianza definida por

Teniendo en cuenta que son independientes con igual varianza , resulta e, q

Por lotanto,

(2.9-15)Debe adems considerarse el error de redondeo del producto en la Ec. 2.9-14QE

(2.9-16)


2qe

21 22 [1 2(Q 2 E 2)]2 [1 q 2 e 2]2.

u(k) pu1(k1) ... pum(km) qe0(k) ... qem(km).

2u m

i12pui

mi0

2qei

.

Si este error tiene varianza , para errores independientes la varianza del error22 2total es

S e v eque para valores grandes respecto de la unidad de los factores , el error debidoq, eal redondeo de los factores es el predominante.

El error de la suma de los productos de la Ec. 2.9-6 es

(2.9-18)

Si se asume independencia de los errores de cuantificacin

(2.9-19)

2.9.8 Consideraciones para disminuir los efectos de errores de cuantificacin.

Las longitudes de palabras de los conversores A/D y D/A como de la CPU deben sersuficientemente grandes y compatibles. La longitud de palabra del A/D debe elegirsetal que su error de cuantificacin sea menor que los errores esttico y dinmico de lossensores. Una longitud de 10 bits es usualmente suficiente (resolucin 0.1%). Lalongitud de palabra del D/A debe ser compatible con la del A/D. Para control digitalpuede tomarse tal que una unidad de cuantificacin de la variable de control despusde pasar por el proceso corresponda a una unidad de cuantificacin del A/D.

Las longitudes de palabra donde se localizan los errores de cuantificacin debenusarse en el mejor modo posible, mediante un escalado apropiado de las variables.Para evitar errores excesivos de factores y productos, la longitud de palabra de la CPUpara clculos de punto fijo debe ser significativamente mayor que la del A/D (porejemplo el doble).Si ocurren ciclos lmites en un lazo de control, los parmetros del controlador debernmodificarse para obtener acciones de control ms dbiles.

La estructura de implementacin de filtros y controladores tiene importancia en lasensibilidad de los polos del sistema de lazo cerrado a variaciones de los parmetros


debidos a errores de cuantificacin, y por lo tanto debe tenerse cuidado con el diseo.

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cap2_01_TRATAMIENTO DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO.pdf