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CAPITULO 4

4. CONTROL DIGITAL DETERMINISTICO

4.1 Introduccin.

Se define el control como determinstico cuando el diseo del sistema de control serealiza considerando que el mismo va a operar en un entorno determinstico. Esto es,cuando las seales o variables consideradas, sean estas de referencia, de entrada ode perturbacin, son de carcter determinstico.

Variables determinsticas son aquellas cuya evolucin puede ser descripta en formaanaltica con precisin y por tal razn, en contraposicin a las variables estocsticas,puede predecirse exactamente su evolucin futura.

Esta condicin de diseo difiere en gran medida de la realidad, dado que normalmentelos sistemas de control estn sometidos a seales de referencia o perturbacin decarcter estocstico, esto es, no predecibles, y por ende no expresablesanalticamente. Cuando se realiza el diseo bajo consideraciones determinsticas, seasume que si bien el sistema podr estar perturbado estocsticamente, estas sealesde perturbacin no intervienen en el diseo. Se considera que el sistema de controleliminar u operar adecuadamente procesando las seales determinsticas yestocsticas de igual modo. Esta consideracin ser ms o menos vlida dependiendode la magnitud y tipo de perturbacin. El diseo bajo consideraciones estocsticas setratar en el captulo 5.

En este captulo, luego de definir y clasificar los sistemas de control, se estudianprimeramente los controladores digitales con realimentacin de salida de parmetrosoptimizados del tipo PID, diseados a partir del PID continuo y tambin directamenteen el dominio digital. Luego se presentan los controladores de estructura ptima decancelacin y de tiempo finito. Finalmente se estudian los controladores de estado ensus distintas versiones.

4.2 Definiciones, planteos de control y clasificacin.

4.2.1 Definiciones fundamentales relativas a los sistemas de control.

Un Sistema de Control de Procesos involucra en sus aspectos fundamentales laexistencia de un Proceso a controlar y de un Controlador que acta sobre el proceso.

Para definir un Sistema de Control de Procesos es importante dar las siguientesdefiniciones parciales:

Control Digital Directo Control Digital Determinstico

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- Sistema:Sistema es todo ordenamiento de elementos interrelacionados entre s con unobjetivo comn.

- Proceso:Proceso es el conjunto de las fases sucesivas de un fenmeno. Esto es, unproceso constituye una situacin evolutiva temporal.

- Proceso Tcnico:Proceso tcnico es aquel que involucra a las situaciones evolutivas normalmenteencontradas en el campo de la tcnica, esto es: transporte de materia,transformaciones fsicas de energa o informacin.

- Control:El control implica el gobierno o dominio de algo. Desde el punto de vista tcnicoimplica el procedimiento o acciones por las cuales se fijan o modifican lascondiciones de evolucin de un proceso. Esto constituye el Control deProcesos.

- Controlador - Control Digital:El control es ejercido por un Controlador. En el Control Digital el controladorest normalmente materializado en un computador y las acciones de controlestn generadas por un Algoritmo de Control. Estas acciones gobiernan laevolucin del proceso, hacia un estado determinado, constituyendo esto el finu objetivo del sistema de control.

En la Fig. 4.2.1. se representan esquemticamente los elementos constituyentes delsistema con la denominacin clsica de las variables involucradas. Para lograr elcontrol del proceso, el controlador genera, a partir de una Seal de Entrada quee(k)es procesada por un algoritmo de control, una Seal de Control o Accin deu(k)Control.

Fig. 4.2.1 Sistema de control.

La accin de control se aplica a travs de un Actuador al proceso. El actuador es


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sensible a la seal (informacin digital) proveniente del controlador y realiza el manejode las variables fsicas de entrada al proceso, lo que normalmente involucra manejo deenerga (elctrica, mecnica, hidrulica, etc.)

El proceso responde a esta entrada con una determinada Caracterstica Dinmicapropia del proceso, evolucionando la Variable de Salida o Variable Controlada y(k)en determinado sentido o permaneciendo en determinada situacin. La evolucin osituacin del proceso tambin puede estar definida por el Estado del Proceso ox(k)bien por las Variables de Estado.

Cuando las seales involucradas en el sistema de control estn constitudas pormltiples variables, o bien tienen ms de una componente, el sistema se denomina deControl Multivariable. Normalmente las seales se representan en este caso porSeales Vectoriales.

La informacin necesaria para la operacin del controlador constituye la Entrada delControlador . La forma de generar esta informacin determina la primera y mse(k)general clasificacin de los sistemas de control; que se describe a continuacin.

4.2.2 Control en lazo abierto y en lazo cerrado.

Cuando la entrada al controlador est definida exclusivamente por un valor instantneodeseado, sea ste determinado por una referencia, un operador humano o unaconsigna elaborada por otro nivel de control, se denomina de Lazo Abierto. Este tipode control se esquematiza en la Fig. 4.2.2.

Fig. 4.2.2. Control en lazo abierto.

En este planteo de control, a la entrada del controlador no se tiene informacin directade lo que sucede a la salida del proceso.

Cuando la entrada al controlador est definida a travs de una comparacin entree(k)el valor deseado y la situacin real del proceso, se tiene el control en Lazo Cerrado oControl Realimentado.

Cuando la comparacin se realiza entre el valor de referencia deseado y la salida r(k) y(k)establecindose la diferencia entre ambos, se tiene un Control con Realimentacin


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de la Salida, el cual se representa en la Fig. 4.2.3.

Fig. 4.2.3 Realimentacin de la salida

Cuando la informacin de entrada al controlador est constituda por las variables deestado del proceso y no de su salida, se tiene el Control con Realimentacin dex(k)Estados, cuyo esquema se representa en la Fig. 4.2.4.

Fig. 4.2.4 Control de Estado.

El control de lazo abierto tiene el grave inconveniente que si el sistema est perturbado,o bien las caractersticas del proceso no se conocen con precisin o cambian pordistintas razones, al no tenerse informacin de lo que sucede con la salida, eldesempeo del control est severamente cuestionado.

Cuando se presupone que el sistema es perfectamente conocido, que tambin seconocen las perturbaciones y se pueden medir, es posible plantear un Control porPrealimentacin o Avanaccin. Este tipo de control se esquematiza en la Fig. 4.2.5.

Al poder medirse la perturbacin, sta puede incorporarse al controlador para que acteconsecuentemente y tienda a eliminarla de la salida. Dado que raramente se da estacircunstancia, el control por prealimentacin tiene poca significacin real y no se trataren los prximos captulos. En determinados casos particulares el control porprealimentacin tiene sentido cuando est combinado con el control realimentadomejorando sus caractersticas. En todos los puntos siguientes se trata exclusivamenteel control realimentado.


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Fig. 4.2.5 Control por prealimentacin.

4.2.3 Clasificacin de los tipos de controladores.

El diseo del controlador en sistemas lineales constituye el objetivo fundamentalplanteado en este texto, por lo que resulta importante clasificar y especificar los tiposde controladores que se tratarn en lo sucesivo. Las definiciones y categoras dadasestn referidos a la Fig. 4.2.6, donde se referencian los controladores lineales msgeneralizados.

La primer gran divisin se realiza entre controladores de parmetros optimizados y deestructura optimizada. En los de parmetros optimizados, se deja fija la estructura y seoptimizan los parmetros de acuerdo a las condiciones dinmicas del proceso. Eltratamiento de este tipo de controladores se centrar en los distintos tipos decontroladores PID y en los controladores de bajo orden de estructura fija, presentadosen el punto 4.3.

Partiendo del PID continuo se realiza la discretizacin y se presentan distintas variantespara caractersticas especiales del proceso. Tambin se introducen en el punto 4.3.6los controladores lineales de bajo orden y de estructura fija diseados directamente enel campo discreto.

En relacin a los controladores de estructura optimizada, en funcin de lascaractersticas dinmicas del proceso, se optimiza tanto la estructura como losparmetros. En los puntos 4.4 y 4.5 se analizan los controladores determinsticos deestructura ptima, con realimentacin de la salida. Se presenta el controlador decancelacin, de tiempo finito y el de tiempo incrementado. Los controladores de estadodeterminsticos se presentan en el punto 4.6.

Los controladores de estructura ptima diseados bajo condicionamientos estocsticosse tratan en el captulo quinto, analizndose el controlador monovariable de mnimavariancia y finalmente en forma extensa el controlador de estado con estimador. Conlos controladores presentados se cubre una amplia gama de aplicaciones en el controldigital, hacindose en cada caso referencia a sus propiedades especficas para facilitarsu eleccin.


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Fig. 4.2.6 Clasificacin de controladores digitales.


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u(t) K[e(t)KI to

e()dTD de(t)dt ]

u(k) K {e(k)KI Toki1

e(i1)(TD/To)[e(k) e(k1)]}

4.3 Controladores de parmetros optimizados.

4.3.1 Controlador PID discreto.

Los controladores de parmetros optimizados son aquellos en los cuales partiendo deuna estructura definida se optimizan sus parmetros adecundolos a la dinmica delproceso a controlar.

El ms clsico y difundido controlador de parmetros optimizados es el denominadocontrolador PID, ampliamente tratado en la bibliografa de control clsico y moderno.Su nombre proviene de su comportamiento como controlador de tipo Proporcional,Integral, y Derivativo, en el caso ms general. Cuando falta alguna de estas accionesse denomina consecuentemente, controlador P, PI o PD. En la Fig. 4.3.1 se representaesquemticamente un lazo de control con controlador PID.

Fig. 4.3.1 Sistema de control con controlador PID.

La ecuacin diferencial que rige el comportamiento dinmico entrada-salida de un PIDcontinuo, es

(4.3-1)

siendo una constante de proporcionalidad, de integracin y de derivacin.K KI TD

Para un control digital, las seales continuas deben discretizarse. Si el tiempo demuestreo es suficientemente pequeo, se puede hacer una discretizacin directa dela ecuacin diferencial para obtener la ecuacin en diferencias. De este modo laderivada primera se transforma en diferencia de primer orden y la integral en sumatoria.Aproximando la integral por aproximacin rectangular, se obtiene

(4.3-2)


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e(k) r(k) y(k).

u(k1) K {e(k1)KI Tok1i1

e(i1) (TD/To)[e(k1) e(k2)]} .

u(k) u(k1) K {[e(k) e(k1)] KI To e(k1)(TD/To)[e(k) 2e(k1) e(k2)]}.u(k) u(k1) K(1TD/To)e(k) K(1 2TD/To ToKI)e(k1) K(TD/To)e(k2).

A K(1 TD/To)B K(1 2TD/To KITo)

C K(TD/To)u(k) u(k1) Ae(k) Be(k1) Ce(k2).

con

En este algoritmo, para calcular el valor presente de se requiere resolver lau(k)sumatoria de los valores pasados de hasta . Mayor eficiencia para el clculoe(i) k1en computador se puede lograr utilizando algoritmos recursivos que posibilitan ladeterminacin del nuevo valor basado en el clculo anterior.

Para obtener la ecuacin recursiva se calcula la Ec. 4.3-2 en el instante (k1)

(4.3-3)Haciendo la diferencia entre las Ec. 4.3-2 y Ec. 4.3-3, se obtiene

(4.3-4)

o bien,

(4.3-5)

La Ec. 4.3-5 permite calcular la salida a partir del valor anterior del valoru(k) u(k1)y sus dos valores pasados. Precalculandoe(k)

la Ec. 4.3-5 se expresa

(4.3-6)Utilizando una aproximacin trapezoidal para la integral, en lugar de la Ec. 4.3-2 seobtiene


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u(k) K e (k) KITo e(0) e(k)2 k1i1 e(i) TD/To[e (k) e(k1)] .u(k) u(k1)Ae(k)Be(k1)Ce(k2)A K(1 KITo/2 TD/To)B K(1 2TD/To KITo/2)C K(TD/To)

(4.3-7)Como ecuacin en diferencias recursiva se obtiene

(4.3-8)con

La Ec. 4.3-8 difiere con la Ec. 4.3-6 en el clculo de los coeficientes, incorporando eltrmino como consecuencia de una mejor aproximacin de la integral y por endeKITo/2es, en general, preferible al anterior.

4.3.2. Funcin de Transferencia discreta del controlador PID.

Para representar el controlador PID en variable y obtener su funcin de transferenciazdiscreta, se modifican primero las ecuaciones en diferencias incorporando el operador

, el cual tiene como resultado retardar la seal temporal intervalos de muestreo.q d dEste operador facilita luego la transformacin del dominio temporal al dominio envariable por simple reemplazo de por . La operacin del operador sez q d z d q desquematiza para en la Fig. 4.3.2. d1

Fig. 4.3.2. Operador retardo

Tomando la ecuacin en diferencias, Ec. 4.3-2, se opera con cada uno de lossumandos.

La parte proporcional es


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up(k) Ke(k)

Cp(z) up(z)e(z) K.

uD(k) KTD/To[e(k)e(k1)].uD(k) (KTD/To)e(k) (1q 1).CD(z) uD(z)

e(z) (KTD/To) (1z 1).

uI(k) K KITo ki1

e(i1).

uI(k) K KITo ki1

e(i)q 1

uI(k) K KITo q 1[e(1) e(2) ... e(k)]uI(k) K KITo q 1e(k)[1 q 1 ... q (k1)].

C1(z) uI(z)e(z) KI KTo z 11 z 1 .

(4.3-9)La funcin de transferencia discreta de la parte proporcional se obtiene directamentetransformando a variable comoz

(4.3-10)La parte derivativa, es

(4.3-11)Utilizando el operador retardo, queda

(4.3-12)La funcin de transferencia discreta de la parte derivativa se obtiene ahora, como

(4.3-13)La parte integral, con aproximacin rectangular, Ec. 4.3-2, es

Expresado con el operador retardo queda

Expandiendo la sumatoria

que puede reescribirse, como

(4.3-14)

La serie representa una funcin escaln unitario discretizada cuya(1q 1 ...)transformada es . Entonces de la Ec. 4.3-14 se obtiene 1/(1q 1)

(4.3-15)


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e(k) r(k) y(k).

e(k) r(k) y(k)e(k) y(k).

El controlador PID puede representarse como en la Fig. 4.3.3 en sus tres bloques detransferencia P, I y D.

Fig. 4.3.3 Funcin de Transferencia discreta del PID.

4.3.3 Controlador PID modificado.

En un controlador PID obtenido por discretizacin directa de la ecuacin diferencial, laspartes P y D aparecen multiplicadas por ; o sea, por el instante presente del error.e(k)Esto tiene como implicancia directa, que al producirse variaciones bruscas de lareferencia , tambin el error vara instantneamente, como se observa en lar(k) e(k)Ec. 4.3-16.

(4.3-16)Con este error los trminos P y D generan acciones de control que pueden seru(k)excesivas y llegar a comprometer la operacin del actuador que gobierna al proceso;en particular el trmino D que es el que responde a la derivada.

Se propone una modificacin del algoritmo tal que la variable que afecta a dichostrminos no incluya la referencia . De este modo se definen las entradas:r(k)

Para el trmino I

para los trminos P y D

(4.3-17)Introduciendo en la ecuacin recursiva Ec. 4.3-4 la Ec. 4.3-17 se obtiene


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u(k) u(k1) K {y(k) y(k1) KITo e(k1) (TD/To)[y(k) 2y(k1) y(k2)]}u(k) u(k1) Ay(k) By(k1) Cy(k2) De(k1)A K(1 TD/To)B K(1 2TD/To)C K(TD/To)D K KITo.

o bien

(4.3-18)con

La ecuacin en diferencias Ec. 4.3-18 puede llevarse como en los casos anteriores aldominio y plantearse la funcin de transferencia discreta. En este caso no existiruna sola entrada al controlador, ver Fig. 4.3.3, sino que el mismo tiene como entradasel error y la salida del proceso como se representa en la Fig. 4.3.4.e(k) y(k)

Fig. 4.3.4. Controlador PID modificado.

Si bien se pierde algo en la velocidad de respuesta, el beneficio logrado en cuanto ala reduccin de la accin de control es muy significativo.

Si solamente se quiere atenuar el efecto del cambio brusco en la parte D que es el mscrtico, se consideran como entradas:


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e(k) r(k) y(k),e(k) y(k).u(k) u(k1)Ae(k)Be(k1)C [y(k)2y(k1)y(k2)]A KB K(1 KITo)C K(TD/To) .

Para las partes I y P

para la parte D

En tal caso se obtendr

siendo

En tal caso la Fig. 4.3.4. se modifica, teniendo el bloque de accin P y accin I comoentrada .e(z)

4.3.4 Controlador PID con predictor.

Para tiempos de muestreo reducidos, el tiempo de cmputo que requiere la unidad deprocesamiento para calcular el prximo valor de salida, puede ser comparable al demuestreo. En ese caso el tiempo transcurrido entre la toma de la muestra del error yla aplicacin de la accin de control correspondiente es significativo, siendo que lateora presupone el sincronismo de ambas seales. Para obviar esto es posibleanticipar la accin de control utilizando una prediccin de la muestra. Por simplicidadde clculo, el cual es ya crtico, se realiza una prediccin lineal del error.

En base a la Fig. 4.3.5, se calcula el valor de la prediccin de en el instantee(k).k1, e(k)/k1


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e(k)/k1 e(k1) [e(k1) e(k2)].

u(k)/k1 K {e(k)/k1 KIToki1

e(i1) TD/To[e(k)/k1 e(k1)]} .

u(k) u(k)/k1u(k)/k1 u(k1)/k2 A e(k1) B e(k2) C e(k3)A K(2 KITo TD/To)B K(3 2TD/To)C K(1 TD/To).

Fig. 4.3.5. Prediccin lineal del error.

(4.3-19)Reemplazando en la Ec. 4.3-2, por , se obtienee(k) e(k)/k1

(4.3-20)Incorporando la Ec. 4.3-19 en la Ec. 4.3-20, operando y reordenando, del mismo modoque en la obtencin de la Ec. 4.3-6 y considerando que en el instante la accin dekcontrol que se aplica efectivamente es

se obtiene la ecuacin recursiva Ec. 4.3-21.

(4.3-21)con

Normalmente, la prediccin lineal es suficientemente buena y este controlador PID seadecua para los casos en que el tiempo de clculo es comparable al perodo de


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u(k) u(k)u(k1) Ae(k) Be(k1) Ce(k2)u

v(k) Ae(k) Be(k1) Ce(k2)

muestreo.

4.3.5 Controlador PID de velocidad

Para determinados tipos de procesos no resulta conveniente aplicar directamente laaccin de control sino su valor incremental, esto es, se aplica al proceso lau(k)diferencia entre y su valor anterior . El controlador que as se obtiene seu(k) u(k1)denomina PID de velocidad y su accin de control es . La estructura delu

v(k)

controlador se obtiene en forma inmediata a partir de cualquiera de los algoritmosrecursivos de control del tipo PID mostrados en los puntos anteriores, pasando eltrmino al primer miembro. Tomando por ejemplo la Ec. 4.3-8, tiene la formau(k1)

La estructura de este controlador es de segundo orden no recursiva y desde el puntode vista dinmico no incluye un efecto integrador. Por esta razn su campo deaplicacin se restringe fundamentalmente al control de procesos que incluyen el efectointegrador en su estructura, esto es que su funcin de transferencia tiene un polo en

.z14.3.6 Definicin de la estructura, tiempo de muestreo y parmetros del

controlador PID.

Estructura del controlador.

En primera instancia debe determinarse la estructura del controlador. Esta se fija enfuncin de las caractersticas globales del proceso a controlar. En algunos casosparticulares podrn ser eliminadas algunas de las acciones integrativa o derivativa.Como norma general, si resulta muy importante la eliminacin del error de estadoestacionario, deber estar presente la accin integral. Debe tenerse en cuenta que estaaccin reduce el margen de fase. De igual modo cuando es fundamental obtenerrespuestas rpidas frente a cambios bruscos de la referencia, con buenamortiguamiento, se pone nfasis en la parte derivativa. Esta accin aumenta elmargen de fase. En general dependiendo del tipo de perturbaciones y dinmica delproceso, para decidir la eliminacin de alguna de las acciones ser conveniente realizarensayos de simulacin. Un cambio de estructura de PID a PI o PD puede tambininterpretarse como una optimizacin de parmetros donde alguno de ellos tiende acero.

Tiempo de muestreo.


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La seleccin del tiempo de muestreo es el resultado de varios compromisos. Comonorma general si slo interesa el desempeo del control, el tiempo de muestreo T

o

debe ser lo menor posible, para aproximarse al caso continuo. Desde el punto de vistade la cantidad de clculo involucrado, el tiempo de muestreo debe ser lo mayor posible.Dentro de estos lmites existe una gran variedad de casos de compromiso. Aparte deotros elementos del sistema de control como los sensores y actuadores que puedeninfluir en la determinacin del tiempo de muestreo, el aspecto fundamental estconstituido por las caractersticas dinmicas del proceso. En general cuanto mayoressean los valores de las constantes de tiempo, mayor es .T

o

El lmite superior de est dado por el teorema de Shannon (Ec. 2.5-6). Esto es, siTo

se conocen las armnicas mximas de las seales involucradas, o se pueden estimar,la frecuencia de muestreo debe duplicar por lo menos a la frecuencia de estasarmnicas. Ante la posible presencia de armnicas de mayor orden a las autorizadaspor el teorema de Shannon, se deben incluir filtros para eliminarlas. Para procesos conretardo puro dominante , el tiempo de muestreo debe elegirse entre 1/4 y 1/8 de .Tt Tt

El tiempo de crecimiento , o sea el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 95%Tc

del valor final en respuesta a un escaln de entrada, puede tambin ser un indicadorpara seleccionar . Valores adecuados son: .T

oT

c/5 > T

o>T

c/15

Las constantes de tiempo menores del proceso , sobre las que se quiere tenerTmin

control, imponen condiciones a los valores mximos de . En general debe serTo

. Este valor surge como valor aproximado a partir del teorema de Shannon.To


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J Mk0

[e 2(k) r(u)2(k)].

estructuras mecnicas ligeras, se suele elegir o menor. Para procesosTo 10 mseg

qumicos o trmicos es normalmente mucho mayor, por ejemplo: .1 seg < To

< 20 seg

Optimizacin de Parmetros.

La adaptacin o calibracin de los parmetros del controlador a la dinmica del procesose puede realizar por distintas vas:

a) Optimizacin de los parmetros mediante un criterio de desempeo.b) Prueba y error.c) Aplicacin de reglas de ajuste o sintona.

a) Criterio de desempeo.La optimizacin de los parmetros aplicando un criterio de desempeo definido, seutiliza en aquellos casos de requerimientos muy rigurosos. En general, se plantea unndice en el que se evala, por ejemplo, la magnitud del error que tiene la salidae(k)respecto de la referencia y tambin la magnitud de las variaciones de las acciones decontrol , respecto a su valor medio . Un ndice muy utilizado es el propuestou(k) u(k)por Fletcher-Powell que se expresa como

(4.3-22)Este tipo de ndices ser analizado para los casos de control ptimo de estado y controlestocstico. La solucin analtica, esto es la obtencin de los parmetros como funcinde , es slo posible para controladores de muy bajo orden. La Ec. 4.3-22 es noJobstante muy til para la evaluacin del desempeo del controlador en un planteoexperimental de prueba y error.

b) Prueba y errorSe trata de una metodologa puramente experimental que consiste en variar en formasistemtica los distintos parmetros y observar el resultado obtenido, ya seadirectamente sobre el proceso real, si las condiciones de experimentacin as lopermitan, o mejor en un esquema de simulacin. La entrada usualmente utilizada esun escaln cuya amplitud sea compatible con el rango de trabajo del sistema.En general primeramente se eliminan los efectos integrativos y derivativos y se trata deobtener una ganancia proporcional lo mayor posible que provea una adecuada


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respuesta temporal. Si esto no se puede lograr por el solo ajuste de la ganancia, secomienza a introducir con cautela el efecto derivativo. Eventualmente se puede ajustarnuevamente el trmino proporcional para mejorar an ms la respuesta. Es necesariorepetir este proceso hasta lograr una buena respuesta temporal con el mnimo error deestado estacionario posible. Es importante tener en cuenta que el amortiguamiento dela respuesta del sistema se logra mediante el carcter predictivo de la accin derivativa.En general la accin derivativa reduce las sobreelongaciones, aumentando el margende fase del sistema.

Si el error de estado estacionario es un aspecto fundamental, se hace necesario laincorporacin del efecto integrativo. Se comienza con el mnimo valor posible y secorrige analizando la respuesta temporal de forma de obtener le eliminacin del errorde estado estacionario en un tiempo prudencial. Se debe tener en cuenta que la accinintegral reduce el margen de fase lo que puede llevar a la generacin desobreelongaciones significativas. Estas debern minimizarse reduciendo el efectointegrativo, si el tiempo de eliminacin del error de estado estacionario resultante esaceptable. En caso contrario es necesario reajustar los trminos proporcional yderivativo. En particular es conveniente aumentar el efecto derivativo primero y verificarla respuesta. Esto puede estar complementado con una modificacin en la gananciaproporcional.

Esta metodologa normalmente se aplica luego de obtener valores indicativos provistospor otros mtodos, como el de las reglas de ajuste y constituyen un paso de granimportancia para la obtencin de resultados satisfactorios en un sistema de control.

c) Reglas de ajuste o sintona. Las reglas de ajuste de parmetros para un controlador PID continuo son muydifundidas en la literatura de control clsico e incluso bastante conocidas por losoperadores de plantas industriales. Estas reglas tienen una fuerte componente empricay las ms conocidas son las denominadas de Ziegler-Nichols. Se aplican para procesosdel tipo pasa-bajos, los que constituyen la mayora de los procesos industriales. Reglasdel mismo tipo se han presentado para los modelos discretos, los que pueden diferiren mayor o menor grado dependiendo del tiempo de muestreo. Por ejemplo las reglasde Takahashi se deducen de las de Ziegler-Nichols. Ambos tipos de reglas sepresentan a continuacin.

Metodologa para la obtencin de los parmetros.

Cuando se conoce el modelo del proceso, resulta en general ms adecuado hacer elanlisis en diagramas de Bode, Nyquist o diagrama de races para encontrar losparmetros del controlador ms adecuado. Cuando no se conoce el modelo delproceso se puede realizar un anlisis experimental del mismo para determinar sus


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caractersticas dinmicas ms relevantes y a partir de estas obtener los parmetros delcontrolador. A continuacin se resume la secuencia de pasos a dar para obtener losparmetros segn las reglas de Ziegler-Nichols y Takahashi. Este anlisis se basaprimeramente en llevar el sistema de lazo cerrado al lmite de estabilidad. En estascircunstancias se determinan la frecuencia de oscilacin y la ganancia del lazo que hallevado al sistema a dicho lmite.

Procedimiento experimental.

* Se fijan los valores de las partes I y D igual a cero y se hace crecer la gananciaP hasta el lmite de la estabilidad con lo cual el sistema comenzar a oscilargenerando una respuesta como la presentada en la Fig. 4.3.6.

* Se determina el valor de ganancia que lleva el sistema a la oscilacin.KL

* Se determina el perodo de oscilacin .TL

* Conociendo se ajustan los parmetros de acuerdo a las reglas de la Fig.KL, TL4.3.7. en el dominio continuo

Fig. 4.3.6. Sistema en el lmite de estabilidad.

Controlador K KI TD

P K 0,5KL

PI K(1KI /s) 0,45KL 1,2 /TL


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PID K [1 (KI /s)TDs] 0,6KL 2/TL TL /8Fig. 4.3.7. Reglas de ajuste segn Ziegler-Nichols basadas en el criterio

del lmite de estabilidad.

Para el mismo procedimiento segn Takahashi para sistemas de tiempo discreto conperodo de muestreo se utiliza el cuadro de la Fig. 4.3.8. Estos valores son sloT

o

vlidos para el controlador PID modificado representado por la Ec. 4.3-18.

K KITo TD/To

P 0,5 KL

PI *K1KL To /TL 0,54(KL /K)(To /TL)

PID **0,6 KL To /TL 1,2(KL /K)(To /TL) (3/40)(KL /K)(TL /To)

. Valores ms pequeos para (ver Fig. 4.3-10)K1 [0,45 ... 0,2] To 4TU** Vlido para T

o 2TU

Fig. 4.3.8. Reglas de ajuste segn Takahashi.

Cuando no se dispone an del controlador o bien no es posible llevar el sistema allmite de estabilidad, el anlisis se realiza a lazo abierto en base a la respuesta delproceso a una entrada escaln segn se esquematiza en la Fig. 4.3.9.

Fig. 4.3.9. Respuesta al escaln.

Se supone que no hay oscilacin en la respuesta. Se distinguen los siguientes casos:

El proceso no tiene comportamiento integral.

El proceso tiene comportamiento integral.


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y(s)u(s) KE1 TGs e Tus

Cuando el proceso no tiene carcter integral se sigue el siguiente procedimiento:

* Se obtiene la respuesta al escaln unitario y se realiza la construccin de la Fig.4.3.10.

De esta forma se aproxima el proceso con un modelo continuo basado en un sistemade primer orden y un retardo puro de la forma representada por la Ec. 4.3-23.

(4.3-23)* Se

determ inanl osv alore sdeKE, TU, TGs egnl aF ig .4 .3 .10.

* Con estos valores se determinan los parmetros del controlador de acuerdo alas reglas de la Fig. 4.3.12.

Este mtodo no es aplicable para procesos cuyo modelo sea de primer orden sinretardo puro. Para sistemas de tiempo discreto con perodo de muestreo se aplicanT

o

las reglas segn Takahashi de la Fig. 4.3.13

Si el sistema tiene comportamiento integral se aplica el siguiente procedimiento:

* Se obtiene la respuesta al escaln unitario y se determinan los valores de y TU KE/TG


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y(s)u(s) KETGs e Tus

como la pendiente de crecimiento segn la Fig. 4.3.11; aproximando el procesocon un modelo que incluye un retardo puro y un integrador puro, segn la Ec.4.3-24.

Fig. 4.3.10. Determinacin de y KE, TG TU

(4.3-24)

Con los valores de se determinan los parmetros de acuerdo a las reglas deTU, KE/TGla Fig. 4.3.12.

Fig. 4.3.11. Respuesta a un escaln unitario para sistema con carcterintegral.

Controlador K KI TD

P K 1(KE /TG)TU

PI K(1KI /s) 0,9(KE /TG)TU

13,3 TU


108

PID K(1 KI /s TDs) 1,2(KE /TG)TU

12 TU

0,5 TU

Fig. 4.3.12. Reglas de ajuste segn Ziegler-Nichols basado en larespuesta al escaln.

Segn Takahashi para controladores PID de tiempo discreto con perodo de muestreo To

se utiliza el cuadro de la Fig. 4.3.13. Los valores dados aqu slo se aplican alcontrolador PID modificado segn la ley de control dada por la Ec. 4.3-18.

K KITo TD /To

P TG /KETUTo

PI 0,9 TG /KETUTo /2 0,13 To TG /KE(TUTo /2)2 0,27 TGTo /KEK(TUTo /2)2

PID 1,2 TG /KETUTo /2 0,3 To TG /KE(TUTo /2)2 0,6 TGTo/KEK(TUTo/2)2 0,5TG/KEKTo

Fig. 4.3.13. Reglas de ajuste segn Takahashi basado en la respuesta alescaln.

Los valores obtenidos por estas reglas de ajuste en general requieren demodificaciones posteriores de los parmetros mediante el procedimiento de prueba yerror. De todos modos los valores si bien son indicativos, proporciona una buena basesobre la cual se puede continuar con el ajuste basado en la respuesta temporal delsistema.


109

Gp(z) y(z)u(z) b0 b1z 1 ... bmz m1 a1z 1 ... amz m

Gc(z) u(z)

e(z) q0 q1z 1 ... qnz np0 p1z 1 ... prz r Q(z1)

P(z 1).

limk

e(k)0

4.3.7 Controlador discreto de bajo orden de parmetros optimizados.

La obtencin del controlador PID discreto a partir del clsico controlador PID continuoconstituye un planteo vlido cuando el tiempo de muestreo es suficientemente pequeoen relacin a las caractersticas dinmicas del proceso a controlar y de este modo eldiseo se aproxima al caso continuo. No siempre se verifica esta situacin; debido acondicionamientos tecnolgicos, por ejemplo cuando el perodo de muestreo debeseleccionarse de forma tal que el diseo no puede considerarse como aproximacin alcaso continuo, o bien por razones de optimizacin dinmica. Por estos motivos es deutilidad hacer el diseo del controlador directamente en el dominio discreto. En estaseccin se hace un planteo de controlador discreto general de estructura fija.En la Fig. 4.3.14 se representa un sistema de control realimentado que incluyeesquemticamente un proceso y un controlador .GP(z) GC(z)

Fig. 4.3.14 Sistema de control realimentado

Representados en el dominio los modelos del proceso y del controlador tendrn engeneral la forma

(4.3-26)

(4.3-27)

Como se plantea una optimizacin de los parmetros del controlador, los rdenes delos polinomios de ste pueden ser elegidos en principio en forma independiente alproceso. En trminos generales se proponen estructuras relativamente simples con elobjeto de mantener reducido el clculo del controlador en tiempo real.Aparte de otros condicionamientos de realizabilidad, estabilidad y de caractersticasdinmicas especficos, se impone como norma al controlador la condicin de eliminarel error de estado estacionario,


110

limz1

e(z)(1z 1) 0 .

Gc(z) Q(z 1)

1 z 1 .

Gc(z) u(z)

e(z) A Bz 1 Cz 21 z 1u(k) u(k1) Ae(k) Be(k1) Ce(k2)

e(k) 1 para k00 para k


111

u(k) (AC) k(ABC)

u(1) < u(0) ; u(1) < u(2).

A > 0(A C) >0(A B C) > 0(2A B) < A .A > 0B < A(A B) < C


112

K GTD /To CDKITo CI

Gc(z) A Bz 1

1 z 1u(k) u(k1) Ae(k) Be(k1).

A > 0

A B > 0 .

Fig. 4.3.15 Respuesta al escaln del controlador discreto concomportamiento tipo PID.

La determinacin de los parmetros del controlador general discreto de la Ec.A, B, C4.3-17 requiere de un proceso de optimizacin o calibracin. Si se le quiere darcomportamiento tipo PID se puede en primera aproximacin utilizar las reglas deTakahashi teniendo en cuenta que se pueden establecer las siguientes equivalencias.

(4.3-35)

Si en la Ec. 4.3-29 alguno de los coeficientes se anula se tiene un controladorA, B, Cdiscreto de primer orden. Cuando es , toma la formaC 0

(4.3-36)La ecuacin en diferencias resulta

(4.3-37)En la Fig. 4.3.16 se representa la respuesta temporal discreta para una entrada escalnunitario. Su evolucin puede ser comparada con un controlador continuo de tipo PI, conlas siguientes condiciones

(4.3-38)


113

G ACI 1 B / A.

u(k) u(k1) B e(k1).

Gc(z) A Bz 1

u(k) Ae(k) B e(k1).

Fig. 4.3.16 Respuesta al escaln del controlador de 1er Orden.

La ganancia esttica y la constante de integracin equivalen respectivamente

Si adems es se obtiene un controlador del mismo tipo PI cuya constante deB 0integracin es la unidad. Cuando se hace con se obtiene un controlador deA 0 B 0tipo integral puro

(4.3-39)La respuesta discreta al escaln unitario se representa en la Fig. 4.3.17.

Fig. 4.3.17. Respuesta tipo I.

Cuando el error de estado estacionario no es importante o bien el efecto integrador noes deseable, ste se puede eliminar. En tal caso la estructura del controlador toma laforma

(4.3-40)

(4.3-41)


114

A > 0

B < 0

A B > 0.

G A BCD BG .

G A.

Esta ecuacin es no recursiva y la respuesta discreta al escaln unitario se muestra enla Fig. 4.3.18 para la condicin

Fig. 4.3.18 Respuesta tipo PD.

La respuesta al escaln tiene un comportamiento equivalente a un controlador continuodel tipo PD, en el cual la constante de proporcionalidad y la derivativa se correspondena

Cuando es el controlador se reduce a un proporcional puro con gananciaB 0

Si se impone la condicin se obtiene un controlador que puede asociarse a unoA Bcontinuo de tipo D. Su respuesta discreta se representa en la Fig. 4.3.19.


115

Fig. 4.3.19 Respuesta tipo D

El anlisis realizado se hizo relacionando los controladores obtenidos con los clsicoscontinuos de tipo PID. Los controladores lineales discretos resultantes en tal casopueden asociarse a acciones del tipo PID. No obstante otras relaciones de loscoeficientes son posibles conduciendo a controladores que no responden a unA, B, Ccomportamiento especfico. El diseador podr utilizar para ciertas aplicaciones, loscontroladores generales con una seleccin de los coeficientes adecuada a la aplicacin,o bien con coeficientes que son resultado de la optimizacin de acuerdo a un objetivode control a travs de un funcional de desempeo.

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cap4_01_CONTROL DIGITAL DETERMINISTICO.pdf