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Control Digital Directo Controladores de Cancelación

1

GC(z) � 1GP(z)

GT(z) � 1GP(z)

GP(z) � 1.

GC(z) � 1GP(z)

GCR(z).

4.4 Controladores de estructura optimizada. Controladores de cancelación.

El controlador de cancelación se basa en la obtención de una respuesta dinámicaoptimizada a través de la cancelación de determinados ceros y polos de la función detransferencia de la planta. Contrariamente a los controladores de parámetrosoptimizados, en éstos se optimiza tanto la estructura como los parámetros delcontrolador.

El concepto básico se fundamenta en que en un sistema de control de seguimiento deuna variable de referencia , la salida debe coincidir lo mejor posible con lar(k) y(k)entrada en todo instante. Esto no es alcanzable en general. En particular lasr(k)mayores desviaciones se producen durante el transitorio, pero en principio puedeplantearse como objetivo ideal que siga exactamente a .y(k) r(k)

Si la función de transferencia del proceso se conoce exactamente y no existenGP(z)

perturbaciones, es posible plantear un control en lazo abierto, como el representado enla Fig. 4.4.1.

Fig. 4.4.1. Control por prealimentación.

Si se toma

(4.4-1)

la función de transferencia completa seráGT(z)

(4.4-2)

Esto es, todos los ceros y polos de son cancelados por el controlador. En estaGP(z)

forma la salida seguiría con precisión a la referencia. Esta situación ideal conducenormalmente a que no sea realizable. En tal caso es necesario incorporar unGC(z)

factor de realizabilidad como se expresa en la Ec. 4.4-3.

(4.4-3)

De esta forma será


2

GT(z) � GC(z)GP(z) � GCR(z)

e(k) � r(k) � y(k)

GT(z) � y(z)r(z)

� GC(z)GP(z)

1 � GC(z)GP(z)

GC(z) � 1GP(z)

GT(z)

1 � GT(z).

(4.4-4)

Esto es, si bien se cancelan polos y ceros del proceso , aparecen otros queGP(z)

definen la dinámica del sistema de control y están determinados por el factor derealizabilidad.

Cuando el proceso no se conoce con precisión o existen perturbaciones, el control enlazo abierto no es aplicable y debe recurrirse a una estructura de control conrealimentación, como se representa en la Fig. 4.4.2.

Fig. 4.4.2. Control realimentado.

Por principio aquí no podrá existir un seguimiento perfecto entre e , dado quer(k) y(k)por lo menos en el transitorio debe existir un valor finito de , de lo contrario siendoe(k)

(4.4-5)

no habría excitación para el proceso.

La función de transferencia de lazo cerrado, es

(4.4-6)

d o n d e ,GT(z) � 1

Despejando de la Ec. 4.4-6, se obtieneGC(z)

(4.4-7)

La Ec.4.4-7 muestra que una parte del controlador cancela los polos y ceros del proceso. Lafunción de transferencia se especifica en el diseño como la función deGT(z)

transferencia deseada del lazo cerrado. Para preestablecer sus características se debetener en cuenta su realizabilidad, aspecto que se analiza a continuación.


3

GP(z) � Bn(z)

Am(z).

GC(z) � Qr(z)

Pq(z)

GT(z) � Bn(z)Qr(z)

Am(z)Pq(z) � Qr(z)Bn(z)

Las funciones de transferencia pueden expresarse con exponentes de GP(z), GC(z) z

positivos como

(4.4-8)

con Bn(z)

pol inom iodeo rdenn

polinomio de orden Am(z) m

(4.4-9)

con Qr(z)

pol inom iodeo rdenr

polinomio de orden .Pq(z) q

La función de transferencia de lazo cerrado, Ec. 4.4-6, resulta

(4.4-10)


4

ST � (q � m) � (n � r)

� (q � r) � (m � n) � SC � SP.

ST � SP � m � n.

GT(z) � z �1.

Siendo y el número de ceros y polos de esn � m r � q GT(z)

Número de ceros Nc � n � r

Número de polos Np � q � m.

Para que sea realizable, el número de polos debe ser mayor o igual al númeroGT(z)

de ceros. La realizabilidad implica entonces que el sobrante de polos respecto de cerosu orden relativo de la función , sea mayor o igual a cero.ST

Para el orden relativo, seráGT(z)

(4.4-11)

El orden relativo es igual a la suma de los órdenes relativos del controlador y delST SC

proceso .SP

Para que sea lo menor posible tendiendo a una dinámica simple, se puede tomarST

. Entonces, seráq � r

(4.4-12)

La condición de realizabilidad expresa por lo tanto que el orden relativo de tieneGT(z)

que ser igual o mayor que el orden relativo del proceso.SP(z)

Como norma general, en un modelo real el orden del denominador supera por lo menosen uno al del numerador, esto es . Suponiendo la condición de igualdad a uno,SP � 1

para el diseño del controlador se puede tomar: . La función de transferenciaST � SP � 1

de lazo cerrado más simple que se puede plantear es un polo en el origen, la cual tieneuna excelente respuesta dinámica,

(4.4-13)

Con esta función , deseada para el sistema de lazo cerrado y el conocimiento de GT(z) GP(z)

se determina el controlador de cancelación mediante la Ec. 4.4-7.GC(z)

Para el planteo del controlador de cancelación se supone que los ceros y polos seráncorrectamente cancelados. Esto implica un conocimiento preciso del proceso y laobtención de un modelo absolutamente fiel. Normalmente el modelo representa enforma aproximada al proceso real y también debe considerarse que pueden existir


5

G �P (z) � B �

i (z)B �c (z)

A �i (z)A �

c (z)

variaciones con el tiempo en la dinámica del proceso. Por estas razones normalmentelos ceros y polos del proceso no son correctamente cancelados.

Para polos y ceros de ubicados muy en el interior del círculo unitario en el planoGP(z)

, la cancelación imprecisa no introduce dificultades, pero cuando los polos y ceros�están cerca del círculo unitario o eventualmente existen ceros fuera de éste, lacancelación imprecisa puede causar inestabilidad, como se observa en la Fig. 4.4.3.

Fig.4.4.3 Cancelación imprecisa de un cero.

La cancelación imprecisa de un cero en un sistema de fase no mínima (ceros fuera delcírculo unitario) genera un polo inestable.

Para analizar este aspecto se considera hipotéticamente un modelo exacto idealG �P (z)

que representaría exactamente el proceso real. En este modelo se discriminan losceros y polos que se encuentran bien en el interior y los que se aproximan por fuera ypor dentro al círculo unitario.

(4.4-14)

En la Ec. 4.4-14 los polinomios representan,

a los ceros interioresB �i (z)

a los ceros cerca del contornoB �c (z)

a los polos interioresA �i (z)

a los polos cerca del contorno.A �c (z)

La función de transferencia del modelo disponible y que no representa exactamente al


6

GP(z) � Bi(z)Bc(z)

Ai(z) Ac(z)

B �i (z) � Bi(z)

A �i (z) � Ai(z).

GCr(z) � A �i (z)Ac(z)

B �i (z) Bc(z)

GT(z)

1 � GT(z).

GTr(z) � GCr(z)G �P (z)

1 � GCr(z)G �P (z)

.

GTr(z) � Ac(z)B �c (z)GT

A �c (z)Bc(z)(1�GT) � Ac(z)B �

c (z)GT

.

Ac(z) � A �c (z) � �Ac(z)

Bc(z) � B �c (z) � �Bc(z).

proceso tendrá la forma de la Ec. 4.4-15 donde los ceros y polos interiores y delcontorno difieren parcialmente respecto del modelo ideal del proceso.

(4.4-15)

Los cerosy polos ubicados bien en el interior del círculo unitario, por ser los que no presentaránproblemas de estabilidad se suponen totalmente conocidos, y por lo tanto coincidentesen los modelos disponible e ideal,

(4.4-16)

Se puede aplicar ahora la ecuación de diseño del controlador, Ec. 4.4-7, obteniéndoseel controlador real .GCr(z)

(4.4-17)

En la Ec. 4.4-17, es la respuesta de lazo cerrado que se pretende obtener. LaGT(z)

respuesta de lazo cerrado real que resulta de aplicar el controlador dadoGTr(z) GCr(z)

por la Ec. 4.4-17 al proceso real , esG �P (z)

(4.4-18)

Reemplazando en los valores de , Ec. 4.4-17, y , Ec. 4.4-14, yGTr(z) GCr(z) G �P (z)

operando, se obtiene.

(4-4-20)

En no aparecen puesto que se suponen cancelados. Se puedeGTr(z) A �i (z), B �

i (z)

también tomar

(4-4-21)


7

GTr(z) � GT(z)[A �c (z) � �Ac(z)]B �

c (z)

[1�GT(z)][B �c (z)��Bc(z)]A �

c (z)�GT(z)[A �c (z)��Ac(z)]B �

c (z).

Representando las diferencias entre ceros o polos del modelo ideal y�Ac(z), �Bc(z)

real. La Ec. 4.4-20, se puede reescribir

(4.4-22)

Para resulta �Ac(z) � �Bc(z) � 0 GTr(z) � GT(z)

Para no se cancelan los polos y puede resultar un sistema mal�Ac(z) � 0, �Bc(z) � 0

amortiguado o inestable.

No deben diseñarse controladores de cancelación para procesos con polos o ceroscercanos al círculo unitario y en ningún caso para sistemas inestables o de fase nomínima. Los controladores de cancelación se pueden aplicar a procesossuficientemente amortiguados y asintóticamente estables.

Este tipo de controladores de cancelación tienen en general una tendencia a produciroscilaciones de frecuencia relativamente altas y poco amortiguadas. En el intervaloentre las muestras, el proceso (que es continuo) esta operando con el valor retenidoa su entrada. En ese intervalo no hay realimentación y el sistema opera a lazo abierto.La nueva acción de control aparece recién en el próximo instante de muestreo parapasar nuevamente a un período con entrada retenida. Esto puede generar oscilacionessi no está correctamente elegida. Por todas estas razones, si bien el controladorGT(z)

de cancelación presenta un diseño muy simple fijándose a priori una determinada, no se recomienda en general, con excepción de aplicaciones a procesos muyGT(z)

amortiguados.


8

GP(z) � b1z�1 � b2z

�2 � ... � bmz �m

1 � a1z�1 � ... � amz �m

.

r(k) � 1 � k � 0,1,2,...

r(k) � 0 � k < 0

4.5 Controladores de Tiempo Finito.

Otro tipo de controlador de cancelación pero que presenta considerables ventajasrespecto del anteriormente visto, manteniendo la simplicidad de diseño, es eldenominado de Tiempo Finito. En este controlador la función de transferencia de lazocerrado no es impuesta por el diseñador, sino que surge a través de un criterioGT(z)

de diseño planteado en el dominio temporal, eliminado así en particular, lasoscilaciones que se producen con el controlador de cancelación visto anteriormente.El criterio básico de diseño consiste en imponer la condición a la variable de salida y(k)que alcance el valor de estado estacionario en un tiempo finito, tomando de esto sunombre. Las respuestas temporales que produce son muy rápidas y amortiguadas.

4.5.1 Determinación de la estructura del controlador.

Se trata de un controlador de estructura optimizada, ya que la misma surge del criteriode diseño.

La función de transferencia del proceso representado en el lazo de control de la Fig.4.5.1, es

(4.5-1)

Fig. 4.5.1. Lazo de control.

Se considera que es , ya que se supone que el sistema no tiene respuestab0 � 0

instantánea. El diseño se realiza considerando que se aplica un escalón unitario a laentrada .r(k)

y fijando la condición que iguale a en un tiempo dado .y(k) r(k) Te

En el controlador de tiempo finito simple, este tiempo se fija igual al de muestreo Te To


9

Te � mTo.

y(k) � r(k) � 1 � k � m

u(k) � u(m) � k � m.

r(z) � 1

1 � z �1.

y(z) � y(1)z �1 � y(2)z �2 � ...� y(m�1)z �(m�1) �� 1[z �m � z �(m�1) �...]

u(z) � u(0) � u(1)z �1 � ... � u(m�1)z �(m�1) �� u(m)[z �m � z �(m�1) � ...]

multiplicado por el orden del proceso,m

(4.5-2)

En principio es posible elegir tiempos de establecimiento mayores que . No obstanteTe

resulta coherente considerar que es posible encontrar una solución analítica para llevarun sistema de orden a un estado dado en pasos, ya que es el número dem m mvalores temporales dependientes entre sí en la ecuación en diferencias y por lo tantoes posible plantear un sistema de ecuaciones con incógnitas. Este sistema tendrám mcomo solución única la secuencia de acciones de control para que alcanceu(k) y(k)

en el tiempo . Tiempos mayores generará soluciones indeterminadas y serár(k) Te Te

necesario fijar a priori una o varias acciones de control , o bien generar alguna otrau(k)condición para obtener una solución determinada. Este hecho es en algunos casosdeseable y se analiza en el punto 4.5.5. Tiempos de establecimiento Te < mTo

imposibilitan la solución analíticas para . u(k)

Aplicando este criterio resulta para una entrada escalón

(4.5-3)

Expresando en variable el escalón de entrada, esz

(4.5-4)

La salida será, con la condición de diseño impuesta por la Ec. 4.5-3

(4.5-5)

siendo por ser .y(0) � 0 b0 � 0

La acción de control se expresa

(4.5-6)

La función de transferencia de lazo cerrado, es


10

GT(z) � y(z)r(z)

� y(z) (1 � z �1) �� y(z) � y(z) z �1.

GT(z) � p1z�1 � p2z

�2 � ... � p(m�1)z(m�1)�� pmz �m � P(z).

p1 � y(1)p2 � y(2) � y(1)

.

.

.pm � y(m) � y(m�1) � 1 � y(m�1)

pm�1 � y(m�1) � y(m) � 0..

pm�i � 0.

u(z)r(z)

� u(z) (1�z �1) � u(z) � u(z)z �1

� q0 � q1z�1 � ... � qmz �m � Q(z)

q0 � u(0)q1 � u(1) � u(0)

.

.qm � u(m) � u(m�1)

qm�1 � u(m�1) � u(m) � 0..

qm�i � 0

(4.5-7)

La función de transferencia puede expresarse como un polinomio en GT(z) z

(4.5-8)

Teniendo en cuenta la Ec. 4.5-7, resulta

(4.5-9)

De igualmodo se puede expresar:

(4.5-10)(4.5-11)

con

(4.5-12)

Observa


11

�mi�1

pi � y(m) � 1

�mi�0

qi � u(m) � 1/Kp .

GC(z) � 1Gp(z)

GT(z)

1 � GT(z).

GT(z) � y(z)r(z)

� P(z)

GP(z) � y(z)u(z)

� y(z)r(z)

r(z)u(z)

� P(z)Q(z)

.

GC(z) � Q(z)1�P(z)

.

GC(z) � q0 � q1z�1 � ... � qmz �m

1 � p1z�1 � ... � pmz �m

.

ndo los coeficientes se verifica:pi, qi

(4.5-13)

Siendo la ganancia estática del proceso.KP

Para el controlador de cancelación, (Ec. 4.4-7), se ha obtenido

(4.5-14)

E n e lcontrolador de tiempo finito no queda librado a la elección del diseñador, sino queGT(z)

surge del criterio de diseño y se expresa por la Ec. 4.5-8.GT(z)

(4.5-15)

La función de transferencia del proceso puede expresarse también mediante las Ec.4.5-8 y Ec. 4.5-11

(4.5-16)

Reemplazando las Ec. 4.5-15 y Ec. 4.5-16 en Ec. 4.5-14, se obtiene

(4.5-17)

También en forma expandida

(4.5-18)

La Ec. 4.5-18 provee la estructura óptima del controlador de acuerdo con el criterio dediseño planteado. Se observa que el orden del controlador es igual al del modelo delproceso.


12

GP(z) � B(z)A(z)

� P(z)Q(z)

GP(z) � b1z�1 � ... � bmz �m

1 � a1z�1 � ... � amz �m

GP(z) � p1z�1 � p2z

�2 � ... � pmz �m /q0

q0 � q1z�1 � ... � qmz �m /q0

.

q1 � a1q0 p1 � b1q0

q2 � a2q0 p2 � b2q0

. .

. .qm � amq0 pm � bmq0

�mi�1

bi � (1/q0) �mi�1

pi.

q0 � 1/[�mi�1

bi].

4.5.2 Determinación de los parámetros.

Comparando las Ec. 4.5-1 y Ec. 4.5-16, se tiene

(4.5-19)

En la Ec. 4.5-19 se divide numerador y denominador por con el objeto de normalizarq0

la expresión y poder hacer una comparación directa de los coeficientes. Así resulta

(4.5-20)

Los parámetros del controlador quedan todos en función de . Para calcular seqo qo

resuelve la Ec. 4.5-19 para un valor determinado de , por ejemplo .z z � 1

Para , resulta comparando numeradoresz � 1

Considerando que (Ec. 4.5-13) resulta�mi�1

pi � 1

(4.5-21)

De esta forma queda totalmente definido el controlador en su estructura y parámetrosoptimizados. Es importante resaltar la simplicidad para el cálculo del controlador, lo quelo hace atractivo para el cálculo en línea del controlador óptimo en el control adaptable.


13

u(0) � q0 � 1/�mi�1

bi.

GT(z) � P(z) � p1z�1 � ... � pmz �m z m

z m.

GT(z) � p1zm�1 �...� pm

z m� (z�z1)...(z�zm�1)

z m.

Conocido el proceso a controlar , la estructura se define con la Ec. 4.5-18 y losGP(z)

parámetros son funciones simples y directas de los parámetros del modelo delqi, pi

proceso , definidas por las Ec. 4.5-20 y Ec. 4.5-21.ai, bi

Uno de los inconvenientes de este controlador se centra en la magnitud de la acciónde control que puede resultar muy violenta y crear dificultades en un actuador real. Estose debe a que la misma no interviene en el proceso de diseño y los requerimientosimpuestos al controlador son muy exigentes.

La acción de control más grande, para una entrada escalón, es la primera

(4.5-22)

El valor de la depende del tiempo de muestreo . Cuando disminuye , en el�mi�1

bi T0 T0

modelo discreto del proceso continuo la sumatoria de los también disminuye con lobi

que la primer acción de control aumenta.

Esta consideración es consecuente con el sentido físico, ya que será necesarioaumentar la energía por unidad de tiempo de la variable de control , porque alu(k)disminuir se está disminuyendo el tiempo para llevar el sistema de una situación aT0

otra. Para este controlador no se puede elegir más o menos arbitrariamente el tiempode muestreo, por el contrario interviene directamente en las magnitudes máximas dela acción de control y por lo tanto debe considerarse en el diseño.

4.5.3 Análisis de la función de transferencia de lazo cerrado.

Con el objeto de explicitar los polos de lazo cerrado, la Ec. 4.5-8 puede multiplicarsey dividirse por , quedando expresado en términos de potencias positivas dez m GT(z)

la variable .z

Operando, se obtiene

(4.5-23)


14

1 � GC(z) GP(z) � z m � 0.

GP(z) � b1z�1 � b2z

�2 � ... � bmz �m

1 � a1z�1 � ... � amz �m

z �d.

GP(z) � b1z�(d�1) � ... � bmz �(d�m)

1 � a1z�1 � ... � amz �m

.

GP(z) � c1z�1 � ... � cd�1z

�(d�1) � ... � cd�mz �(d�m)

1 � a1z�1 � ... � amz �m � ... � ad�mz �(d�m)

.

La ecuación característica de lazo cerrado es por lo tanto

(4.5-24)

Esto es, la utilización de un controlador de tiempo finito conduce a que la ecuacióncaracterística del sistema tenga polos en el origen del plano , como se presentam �en la Fig. 4.5.2.

La ubicación de todos los polos en el origen supone la obtención de una respuestatemporal muy rápida y totalmente amortiguada.

Fig. 4.5.2. Polos de la ecuación característica para sistema concontrolador de tiempo finito.

4.5.4 Procesos con retardo puro.

La función de transferencia de un proceso con retardo puro se representa porTt � dTo

(4.5-25)

También como

(4.5-26)

La Ec. 4.5-26 puede escribirse tal que tome la misma forma que la expresión de lafunción de transferencia sin retardo puro (Ec. 4.5-1),GP(z)

(4.5-27)


15

c1 � 0 a1�m � 0. .. .

cd � 0 ad�m � 0cd�1 � b1

.

.cd�m � bm

Te � (m�d)To.

y(k) � r(k) � 1 � k � m�d

GC(z) � q0 � q1z�1 � ... � qd�mz �(d�m)

1 � p1z�1 � ... � pd�mz �(d�m)

p1 � c1q0 � 0 q1 � a1q0

. .

. .pd � cdq0 � 0 qm � amq0

pd�1 � cd�1q0 � b1q0 qm�1 � am�1q0 � 0. .

pd�m � cd�mq0 � bmq0 qm�d � am�dq0 � 0

con

De esta forma se puede hacer el mismo tratamiento para obtener que para elGC(z)

caso anterior sin retardo puro.

La condición de diseño en este caso consiste en imponer que el sistema alcance elestado de régimen para un tiempo definido comoTe

(4.5-29)

De esta forma será

Siguiendo todos los pasos dados desde la Ec. 4.5-3 hasta la Ec. 4.5-18 se obtiene laecuación del controlador de tiempo finito para proceso con retardo puro.

(4.5-30)

con

siendo


16

q0 � 1/�mi�1

bi � u(0).

GC(z) � q0 � q1z�1 � ... � qmz �m

1 � pd�1z�(d�1) � ... � pd�mz �(d�m)

.

GT(z) � P(z) � pd�1z�(d�1) � ... � pd�mz �(d�m)

GT(z) � pd�1z(m�1) � ... � pd�m

z (d�m).

1 � GC(z)GP(z) � z (d�m) � 0.

Eliminando los coeficientes nulos, se obtiene

La función de transferencia de lazo cerrado queda

o también con exponentes positivos de la variable z

(4.5-31)

La ecuación característica, es

Se concluye que la utilización de un controlador de tiempo finito sobre un proceso deorden con retardo puro conduce a un sistema de lazo cerrado con m Tt � dTo (m�d)

polos en el origen del plano . Esta disposición de polos supone la respuesta temporal�amortiguada más rápida obtenible analíticamente para un sistema con un orden y unretardo puro definidos.

4.5.5 Controlador de tiempo finito de orden incrementado.

El excelente planteo de diseño, ya sea por su simplicidad como por los resultados enla respuesta temporal que se obtiene, se ve opacado por la dificultad que genera enrelación a la magnitud de la acción de control que puede ser excesiva para un actuadorreal. La acción de control más comprometida es normalmente la primera la que puededuplicar en amplitud a la que le sigue. Si en lugar de definir el tiempo deestablecimiento igual al número de intervalos de muestreo, coincidente con el ordenTe

del sistema, , se toma , se tendrá un grado de libertad paraTe � mTo Te � (m�1)To

seleccionar a conveniencia un parámetro y por ende, la magnitud de una acción de


17

P(z) � p1z�1 � ...� pm�1z

�(m�1)

Q(z) � q0 � q1z�1 �...� qm�1z

�(m�1)

GP(z) � B(z)A(z)

� P(z)Q(z)

GP(z) � b1z�1 �...� bmz �m

1 � a1z�1 �...� amz �m

�� p1z

�1 �...� pm�1z�(m�1)

q0 � q1z�1 �...� qm�1z

�(m�1).

P(z)Q(z)

� (p ,1z

�1 �...�p ,mz �m)(r�z �1)

(q ,0 � q ,

1z�1 �...�q ,

mz �m)(r�z �1).

q ,1 � a1q

,0 p ,

1 � b1q,0

. .

. .

q ,m � amq ,

0 p ,m � bmq ,

0 .

control.

Si se admite un paso más en la acción de control los polinomios dados porP(z), Q(z)las Ec. 4.5-8 y Ec. 4.5.-11, aumentarán un orden

(4.5-32)

con

resultará para sistema sin retardo puro

(4.5-33)

Debido al orden incrementado del segundo miembro esta ecuación sólo podrá sersatisfecha en forma general si existe una raíz única en numerador y denominador delsegundo miembro, tal que pueda ser factoreada y simplificada.

(4.5-34)

Dividiendo por y comparando coeficientes, resultaq ,o

(4.5-35)

Explicitando los productos del numerador y el denominador en la Ec. 4.5-34 ycomparando los coeficientes de igual potencia de de la Ec. 4.5-33, se obtienen laszsiguientes ecuaciones


18

q0 � rq ,0 p1 � rp ,

1

q1 � rq ,1 � q ,

0 p2 � rp ,2 � p ,

1

. .

. .

qm � rq ,m � q ,

m�1 pm � rp ,m � p ,

m�1

qm�1 � �q ,m pm�1 � �p ,

m.

u(0) � q0 � rq ,0.

�m�1

i�1pi � 1.

�m�1

i�1pi � �m

i�1p ,

i (r�1).

�mi�1

p ,i � 1

r�1.

�mi�1

p ,i � q ,

0 �mi�1

bi

q ,0 � q0 � 1

�mi�1

bi

.

(4.5-36)

Como enel caso anterior expresado en la Ec. 4.5-22, es

(4.5-37)

Del mismo modo como se obtuvo la Ec. 4.5-13, se tiene para pasos, planteandom�1el conjunto de ecuaciones, Ec. 4.5-9, bajo la condición de régimen en que a partir de

, la salida es igual a la unidad, se obtiene:y(m�1) y(k)

(4.5-38)

Resolviendo las Ec. 4.5-33 y Ec. 4.5-34 para e igualando numeradores, se tienez�1

Entonces con la Ec. 4.5-38 resulta

(4.5-39)

De la Ec. 4.5-35 se observa que es

(4.5-40)

Combinando las Ec. 4.5-39 y Ec. 4.5-40 resulta con (Ec. 4.5-37)r�q0/q,o

(4.5-41)

Reemplazando las Ec. 4.5-35 y Ec. 4.5-41 en las Ec. 4.5-36 se calculan los parámetros delcontrolador


19

q0 � u(0)

q1 � q0 (a1 �1 ) � 1/� bi

q2 � q0(a2�a1) � a1/� bi

.

.qm � q0(am�am�1) � am�1/� bi

qm�1 � �q0 am � am/� bi

p1 � q0b1

p2 � q0(b2�b1) � b1/� bi

.

.pm � q0(bm�bm�1) � bm�1/� bi

pm�1 � �q0 bm � bm/� bi .

GC(z) � Q(z)1 � P(z)

� q0 � q1z�1 � ... � qm�1z

�(m�1)

1 � p1z�1 � ... � pm�1z

�(m�1).

u(1) � q1 � u(0) � q1 � q0 � a1 u(0) � 1/� bi.

u(0) � 1/[(1�a1) � bi].

(4.5-42)

(4.5-43)

La ecuación que define la estructura del controlador es según las Ec. 4.5-17 y Ec.4.5-32

(4.5-44)

En este controlador de tiempo finito de orden incrementado, la primera acción decontrol puede ser fijada en forma independiente mientras que el resto quedau(0) � q0

determinada. Por ejemplo de las Ec. 4.5-12 y Ec. 4.5-42 se tiene

(4.5-45)

Para la elección de se tiene en cuenta que tienda a no superarla. Tomandou(0) u(1)p.ej. resulta de la Ec. 4.5-45u(0) � u(1)

(4.5-46)

El valor de se toma mayor o igual pero nunca menor que el dado por la Ec. 4.5-46.u(0)La evolución temporal de la acción de control se representa cualitativamente en la Fig.4.5.3, para un controlador de tiempo finito mínimo y uno de orden incrementado.


20

GC(z) � q0A(z �1)(1 � z �1/r)

1 � q0B(z �1)(1 � z �1/r)z �d

GP(z) � B(z �1)

A(z �1)z �d.

Fig.4.5.3. Acción de control para un controlador de tiempo finito mínimoy de orden incrementado.

En el controlador de orden incrementado se observa cualitativamente una mejordistribución de la energía de la acción de control en el tiempo. En virtud de lasimplicidad de cálculo es posible calcular por ejemplo los valores de param�1 u(k)distintas opciones de con el objeto de obtener la secuencia más lógica posible. Enu(0)general tomando se obtienen buenos resultados.u(0) � u(1)

Un análisis equivalente al realizado en el punto 4.5.3 demuestra que el controlador detiempo incrementado genera polos en el origen del sistema de lazo cerrado.(m�1)

Para procesos que incluyen retardo puro se efectúa el mismo procedimientoTt � dTo

empleado a partir de la Ec. 4.5-27. La función de transferencia del controlador de ordenincrementado con retardo puro, será a partir de las Ec. 4.5-42, Ec. 4.5-43 y Ec. 4.5-44,

(4.5-46)

con 1/r � 1 � 1q0

� bi

Estando los polinomios y el retardo puro definidos por el modelo delA(z �1), B(z �1) dTo

proceso

La ecuación característica del sistema con controlador de tiempo incrementado y


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1 � GP(z) GC(z) � z (m�d�1) � 0.

retardo puro en el proceso es

Esto es, tiene polos en el origen.(m�d�1)

Todos los controladores de tiempo finito se caracterizan por su sencillez de cálculo ypor generar una respuesta temporal amortiguada aunque no son aplicables a procesosinestables. Las grandes acciones de control suelen constituir una limitación aunque noen aquellos casos en que se puede elegir un tiempo de muestreo suficientementegrande. El orden de controlador puede extenderse a valores que superen en más deuno el orden del proceso. En tal caso, habrá que definir más de una condición paradeterminar, en forma similar a la presentada, los parámetros del controlador.

En un controlador de orden incrementado, la desventaja que implica el incremento deltiempo de establecimiento, se ve ampliamente compensada por la disminución de lamagnitud de la acciones de control.

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