CAPA LÍMITEA CIEN AÑOS

DEL TRABAJO DE PRANDTL

Simposio público realizado en la Academia Nacional deCiencias de Buenos Aires el 14 de septiembre de 2006,

acto organizado por el Instituto de Investigación y Desarrollo y lasSecciones de Ciencias Exactas y Naturales e Ingeniería, Arquitectura y Artes

de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires.

Instituto de Investigación y Desarrollo2006

Capa límite a cien años del trabajo de Prandtl Dirigido por Amílcar E. Argüelles. 1a ed. - Buenos Aires: Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires, 2008. 80 p. 23x16 cm.

ISBN 978-987-537-079-1

1. Ciencias. I. Argüelles, Amilcar E., dir. CDD 500

Todos los derechos reservadosHecho el depósito que establece la Ley 11.723IMPRESO EN LA ARGENTINA

© ACADEMIA NACIONAL DE CIENCIAS DE BUENOS AIRES Avda. Alvear 1711, 3er piso - 1014 Ciudad de Buenos Aires - Argentina e-mail: info@ciencias.org.ar

ISBN 978-987-537-079-1

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLODIRECTOR: Dr. Amílcar E. Argüelles

La publicación de los trabajos de los académicos o disertantes invitados se realiza bajo el principio de libertad académica y no implica ningún grado de adhesión por parte de otros miembros de la Academia, ni de ésta como entidad colectiva, a las ideas o puntos de vista de los autores.

ÍNDICE

Antecedentes Científi cos ...............................................................................7

Apertura

Ing. Pedro Vicien. Presidente de la Sección

Ingeniería, Arquitectura y Artes

Disertantes

ING. JUAN CARLOS FERRERI:La capa límite y la ubicuidad de Ludwig Prandtl ....................................... 11

DRA. GRACIELA GNAVI:Capa límite y asintónicas .............................................................................29

ULFILAS BOLDES:Aspectos de la capa límite de follaje ........................................................... 41

DR. MARIO STORTI:Métodos computacionales en capa límite....................................................61

ANTECEDENTES CIENTÍFICOS

Juan Carlos Ferreri

Ing. Juan Carlos Ferreri graduated as Aerinautical Engineer at he La Plata Uni-versity in 1967 and has dedicated his professional carcer to the particular fi eld of computational fl uid mechanies and heat and mass transfer.

For more than twenty years he has devoted his work to Nuclear Engineering.He is currently an Honorary Consultant Member to the Research and Deve-

lopment Institute at the National Academy of Sciences of Buenos Aires: Principal Staff Member an Manager at the Scientifi c and Techncal Support Branch of the Nuclear Regulatory Authority and Independent Researcher at the CONICET.

He has received the Senior 2004 Award to Research, Professional and Tea-ching Achievements in Argentina from the Argentinean Association for Computational Mechanics (AMCA).

He has been Member and President of the Argentine Committee for Heat and Mass Transfer. He has also been part time professor at different univer-sities and a member of advisory committees at the university, CONICET and other institutions.

He hast taught in numerical methods, mainly at post graduate courses, and is usually part of examination staffs for PhD thesis and has been external peer in Advisory Committees for Nuclear Engineering and Aeronautical Engineering professors selection in many opportunities.

In the last decade he developed an intense research activity in collaboration with researchers at the University of Pisa, in the particular fi eld of systems computer codes for nuclear safety analysis.

He has published eighty papers in his fi eld of expertise and has delivered tens of seminars and invited to conferences in Argentina and abroad.

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Graciela Gnavi

Graciela Gnavi es profesora de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA y miembro de la Carrera del Investigador del CONICET. Es Licenciada en Ciencias Físicas de la Universidad de Cuyo y Doctora en Ciencias Matemáticas de la Universidad de Buenos Aires.

Ha publicado un libro y más de 80 trabajos de investigación en revistas del más alto nivel de su especialidad.

Ha actuado como investigadora invitada en varias universidades e institutos de Austria, Brasil, EE.UU., Inglaterra e Italia.

Ha dirigido tesis de Licenciatura y Doctorado en la UBA y becarios del CO-NICET.

Ha sido miembro de numerosos comités de organización y consulta de los ámbitos académicos y científi cos.

Actualmente es Directora de un proyecto de la UBA y Co-directora de un proyecto del CONICET, sobre temas de magnetohidrodinámica y sus aplicaciones a la física espacial.

Ulfi las Boldes

Recibido como Ingeniero Aeronáutico (1964) en la Facultad de Ingeniería (UNLP) y doctorado en la misma institución. Su tesis de doctorado ver-saba acerca del “Análisis experimental en túnel de viento de capa límite del fl ujo turbulento en el entorno y estela de un pequeño árbol sometido a un fl ujo de una baja capa límite atmosférica turbulenta”.

Se desempeña como Director del Laboratorio de Capa límite y Fluidodiná-mica Ambiental de la Fac. de Ing. UNLP. Con Categoría 1 de incentivos docente-investigador (SPU).

Trabaja en mecánica de los fl uidos y aerodinámica concentrándose al estudio de fl ujos turbulentos. Participó en numerosas conferencias y presentacio-nes a congresos nacionales y extranjeros y convenios de colaboración con universidades extranjeras entre las que cabe destacar la Universidad de Western Notario (Canadá), la Universidad Georg Augustus de Goettingen y la Universidad Técnica de Berlin (Alemania).

Recibió numerosos subsidios para investigación en su especialidad.

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Fue Profesor Titular de Mecánica de los Fluidos y Aerodinámica en la Fac. de la UNLP.

Realizó numerosas publicaciones con arbitraje en revistas especializadas inter-nacionales. En colaboración con el Dr. Jorge Colman está concluyendo la construcción de un gran túnel de viento de capa límite en su laboratorio.

Mario Storti

Licenciado en Física del Instituto Balseiro y Doctor en Tecnología Química de la Universidad Nacional del Litoral.

Áreas de interés: Mecánica de Fluidos Computacional, Métodos numéricos, elementos fi nitos. Implementación de programas de elementos fi nitos usando procesamiento distribuido en clusters de procesadores de tipo Beowulf (GNU/Linux OS). Programación orientada a objetos, progra-mación funcional.

Cargos ocupados: Investigador Independiente CONICET. Profesor Adjunto, Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas, Universidad Nacional del Li-toral. Categorizado en la “Categoría I” (2004). Tesorero de la Asociación Argentina de Mecánica Computacional (AMCA).

Reviewer de las revistas: Latin American Applied Research, Revista Inter-nacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.

Más de cuarenta publicaciones en revistas internacionales con referato, in-dexadas (ISI/SCI).

Más de cien trabajos presentados en congresos nacionales e internacionales.Dirección de siete tesis de doctorado (dos fi nalizadas, tres tesis de maestría

(tres fi nalizadas), seis tesis de grado (seis fi nalizadas).

LA CAPA LÍMITE Y LA UBICUIDAD DE LUDWIG PRANDTL

ING. JUAN CARLOS FERRERI

Resumen

En este trabajo se presentan algunos aspectos históricos de la contribución de Ludwig Prandtl al desarrollo de la Mecánica de los Fluidos y sus aplicacio-nes. Se efectúa una presentación de algunos detalles biográfi cos, un somero análisis de su contribución y como esta continúa siendo motivo de estudio desde un punto de vista fi losófi co. Al par de lo anterior, se dan algunos ejem-plos que permiten ilustrar en que medida la extrapolación del concepto de la separación del campo de fl ujo en dominios vinculados es inherente a diversas formas de análisis de problemas físicos.

I. Introducción

Para cualquier practicante del atractivo trabajo de resolver las ecuaciones que rigen el movimiento de un fl uido, el concepto de la Capa Límite (CL) es un aspecto muy conocido. En efecto, la investigación y la enseñanza de la Mecánica de los Fluidos (MF) no se conciben sin una presentación clara de los efectos de la viscosidad. Esto vale para todos los casos, aun el restringido a un fl uido idealmente viscoso e incompresible que fl uye en condición lami-nar y estacionaria alrededor de un obstáculo y en particular en su inmediata cercanía.

En el caso de la enseñanza, muchas veces la premura impuesta por la currícula no permite poner el sufi ciente énfasis sobre algunos aspectos re-levantes del nacimiento de la Teoría de la CL (TCL) y sobre como, en poco tiempo, esta teoría impuso una renovación en el tratamiento del fl ujo de los fl uidos, tornando posible la comprensión de su física. Con todo, el enfoque de una presentación general de las ecuaciones de Navier-Stokes (N-S) no es cri-ticable, pues dan un marco general y la obtención de simplifi caciones a partir de consideraciones físicas que las hacen resolubles, es preferible. Un ejemplo notable de este enfoque es el clásico texto de G. K. Batchelor [1]. Ahora bien, si se da el crédito necesario al aspecto pionero introducido conceptual y experi-

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mentalmente por Ludwig Prandtl, este hecho relevante de comienzos del siglo XX no queda relegado a una mera simplifi cación de las ecuaciones de N-S y adicionalmente, a partir de la imposición adicional de leyes de auto-simila-ridad, a la integración de una ecuación diferencial ordinaria complementada con un par de leyes de cierre. Más recientemente, en algunos casos, el empleo de metodologías de la Mecánica Computacional (la denominada Fluido-Di-námica-Computacional o CFD por su sigla en inglés), reduce a la TCL a una simple condición de borde, sin una debida aclaración de contexto.

Tal vez convenga aclarar porque se habla de la ubicuidad de Ludwig Prandtl y no de la de su creación, la TCL. En opinión de autor, en ciertas condiciones, es el ingenio de una persona lo que es ubicuo. Así, si bien la crea-tividad y la búsqueda de una explicación ante un desafío es lo que prevalece para todo tipo de actividad científi ca y está asociado a personas particulares y no es un bien colectivo, cuando el producto de ese ingenio es incorporado y aplicado en forma inconsciente sus trazas se manifi estan aun en los desarro-llos rutinarios. Este es el caso de la TCL. De allí la ubicuidad del ingenio de Ludwig Prandtl.

El objeto de este texto es introducir las tres conferencias siguientes de esta sesión especial de la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires en celebración a Ludwig Prandtl, como creador de la TCL, bajo la denominación “Capa límite a cien años del trabajo de Prandtl”. Dichas conferencias darán un desarrollo detallado de los aspectos físicos de la capa límite, del tratamiento matemático de campos separados y de los análisis computacionales detallados del fl ujo cercano a bordes sólidos.

En el presente trabajo se intentarán resumir algunos aspectos históricos de la vida del creador de la TCL, mostrar como el ingenio y la intuición de un hombre pueden marcar todo el desarrollo de una disciplina clásica al momento de su descubrimiento y como ello subyace en las formas dispares de análisis de problemas de las ecuaciones de gobierno de fl uidos y de transferencia de calor. Esto último se ejemplifi cará en el contexto de tres ejemplos tomados de la experiencia del autor.

II. Ludwig Prandtl

Es necesario, en opinión del autor, partir de una aseveración que, aunque casi obvia no es por ello menos fuerte: la MF moderna (ya clásica pasados ciento dos años de su enunciado) no se concibe sin la TCL, formulada por Lud-

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wig Prandtl en 1904. Es obvio que un siglo es mucho tiempo, pero las famosas series de Oxford Univ. Press y Cambridge Univ. Press en esta disciplina [2-4], lo mostraban en manera casi contemporánea años antes. Adicionalmente, los manuales de la MF, que compilan el conocimiento consolidado en la Ingenie-ría, e.g. [5], también lo mostraban en los años sesenta. También, la explicación de la paradoja de D Alembert de la resistencia al avance de los cuerpos en un fl uido, es explicada en forma experimental gracias a la contribución de Ludwig Prandtl.

II.a Brevísima semblanza

Ludwig Prandtl nació en 1875, en Freising, en las cercanías de Munich, Alemania y estudió en la Universidad Técnica de Munich. Murió en Gottingen en 1953.

En el quasi-infi nito de Web (buscando en www.google.com, el 5/enero/08), se pueden encontrar unas 328.000 referencias a su apellido “Prandtl” en unos 0,2 segundos. Si se es más específi co y se busca “Ludwig Prandtl” el número se reduce a 28.100 en 0,18 segundos. También, la conjunción de lo anterior con “Boundary layer” arroja 3.040 citas en 0,22 s. Ello lleva a pensar que una biografía detallada en este trabajo sería redundante.

El interesado en detalles sobre su vida puede encontrarlos en muchos si-tios, pero al efecto de facilitar dicha tarea, las referencias [6-8] pueden ser un comienzo y una explicación conceptual de su contribución. Los dos órdenes de magnitud de las citas entre la primera y tercera búsqueda se pueden expli-car a partir de que el apellido es citado igualmente en diversos idiomas y en que dicho apellido está también asociado a teorías, números adimensionales y a muchos aspectos relacionados también con las escuelas de investigación originadas a partir de su trabajo.

Entonces, se listarán solamente algunos hechos relevantes de su carrera hasta sus 29 años, es decir hasta 1904, año de presentación de la TCL.

• 1900: obtiene su PhD en la Universidad de Munich, en teoría de materiales.• 1901: es nombrado Profesor en Mecánica en TH, Hannover• 1904: presenta su trabajo fundacional sobre la teoría de la capa límite en el III Congreso de Matemática Aplicada en Heidelberg. • 1904: Es nombrado Profesor Asociado en Gottingen

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II.b El trabajo

El trabajo fundacional de la TCL fue presentado en 1904 [9], en unos 10 minutos, y se dice que solamente tenía ocho páginas pues el autor pensaba que solamente podía escribir sobre lo que había sido defendido públicamente (la defensa de una tesis no difi ere de esto actualmente…). Este texto puede ser hallado en su versión original, pero en este trabajo se presentarán detalles a partir de la traducción efectuada por la National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), en 1928 [10]. Es interesante notar que los trabajos de Prandtl sobre Aerodinámica Aplicada (en particular los relativos a la teoría del ala) fueron traducidos varios años antes.

En lo que sigue se tomarán algunos textos seleccionados de [10] y consi-derados literalmente, al efecto de ilustrar los conceptos de Prandtl:

“…De acuerdo a lo precedente, el tratamiento de un dado proceso de fl ujo es resuelto en dos componentes mutuamente relacionados uno con el otro”… “Por un lado tenemos el fl uido libre… por el otro tenemos la capa de transición1 sobre los bordes sólidos, cuyo movi-miento es determinado por el fl uido libre pero que, a su vez imparte sus características al fl ujo libre…” “El aspecto mas importante del problema es el comportamiento del fl uido sobre la superfi cie del cuerpo sólido…” “Se puede tener en cuenta sufi cientemente el com-portamiento físico en la capa de transición entre el fl uido y el cuerpo sólido postulando que el fl uido se adhiere a la superfi cie y, conse-cuentemente, la velocidad es cero o tiene el valor de la velocidad del cuerpo. “Si, sin embargo, la viscosidad es muy baja y la trayectoria sobre el cuerpo no es muy larga, la velocidad tomará su valor nor-mal en la proximidad inmediata a la superfi cie” “En la fi na capa de transición, las grandes diferencias de velocidad producirán efectos perceptibles a pesar de las pequeñas constantes de viscosidad” “Las Figs. 7-10 muestran el fl ujo alrededor de un obstáculo cilíndrico” (La Figura II.b.a ilustra este concepto en términos de la nomenclatura usual actualmente2) “La Fig. 10 muestra la condición permanente” (ver Figura II.b.b). “La estela del agua turbulenta detrás del cilindro se mueve hacia adelante y hacia atrás, de allí la momentánea apa-

1 La denominación “capa límite” no había sido introducida aun…2 Se introduce la notación romana para evitar confusiones con la mención a las fi guras

de trabajo de Prandtl.

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riencia asimétrica” “El cilindro tiene una ranura a lo largo de una generatriz. Si es colocado como muestra en 11-12 y se succiona agua a través de un tubo, la capa de transición en un lado puede ser inter-ceptada” (ver Figura II.b.c). “Cuando esta es eliminada, su efecto, la separación, desaparece.”

A continuación, Ludwig Prandtl introduce la simplifi cación de las ecua-ciones de N-S para llevarlas a la forma estacionaria de tipo parabólica que utilizamos usualmente, en función del gradiente de presión del fl ujo potencial alrededor del cuerpo y establece el método de su solución mediante “uno de los bien conocidos métodos de aproximación” discreta.

Figura II.b.a Un esquema de la capa límite alrededor de un cuerpo.

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Figura II.b.b La “condición permanente” detrás de un cilindro, tomada de [10]

Es de notar que los métodos integrales del cálculo de la CL, en particular los referidos a la capa límite turbulenta, fueron los utilizados habitualmente hasta principios de los años 70.

La Figura II.b.d muestra como los manuales clásicos de la Ingeniería Mecánica, e.g. [5] como ya fuera mencionado más arriba, mostraban los con-ceptos del control de la CL que hacían posible evitar o retardar la separación de la misma. Es esta la manera de control que permitió el desarrollo de la Aerodinámica del ala en términos prácticos. El inserto remarca la similitud del esquema de control de la CL con el experimento de Ludwig Prandtl. Si bien no se discute aquí, la teoría de las superfi cies sustentadoras también es debida a Ludwig Prandtl.

Figura II.b.c La aspiración de la “capa de transición” y la desaparición de la

separación, tomada de [10]

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Figura II.b.d El refl ejo de la experiencia de Ludwig Prandtl en el conocimiento consolidado de la Aerodinámica [5]

II.c La “progenie” de Ludwig Prandtl

Muchas veces es posible medir la infl uencia de una persona en el número y la calidad intelectual de quienes han sido sus discípulos y ampliado su línea de trabajo. Una aproximación interesante a dicha forma de análisis se puede hallar en el sitio Web de la North Dakota State University [11]. En este sitio, es posible encontrar que Ludwig Prandtl tuvo 59 discípulos (se consideran como tales a aquellos que en sus disertaciones lo incluyen como “Advisor” #1 ó #2). A título informativo se han incluido aquellos cuyas disertaciones tuvieron lu-gar hasta 1931. Para aquellos cuya especialidad es la Mecánica de los Fluidos o la Aerodinámica, la lista impresiona en manera fuerte. Varios de ellos han

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sido tan descollantes que la historia de la Mecánica de los Fluidos los cuenta como pioneros de su avance.

Name School Year Hans Multhopp Georg-August-Universität Göttingen Oskar Tietjens Georg-August-Universität Göttingen Friedrich Giebel Georg-August-Universität Göttingen 1905 H. Anthes Technische Universität Hannover 1906 Heinrich Blasius Georg-August-Universität Göttingen 1907 Theodore von Kármán Georg-August-Universität Göttingen 1908 Theodor Meyer Georg-August-Universität Göttingen 1908 Ernst Magin Georg-August-Universität Göttingen 1908 Adolf Steichen Georg-August-Universität Göttingen 1909 Ernst Boltze Georg-August-Universität Göttingen 1909 Heinrich Hochschild Georg-August-Universität Göttingen 1909 Wilhelm Deimler Georg-August-Universität Göttingen 1910 Hans Cassebaum Georg-August-Universität Göttingen 1910 Karl Hiemenz Georg-August-Universität Göttingen 1911 Georg Fuhrmann 1912 Hans Rubach Georg-August-Universität Göttingen 1914 Max Munk Georg-August-Universität Göttingen 1918 Albert Betz Georg-August-Universität Göttingen 1919 Hermann König Georg-August-Universität Göttingen 1920 Ernst Pohlhausen Georg-August-Universität Göttingen 1920 Paul Hirsch Georg-August-Universität Göttingen 1921 Karl Pohlhausen Georg-August-Universität Göttingen 1921 Johann Nikuradse Georg-August-Universität Göttingen 1923 Nolini Bose Georg-August-Universität Göttingen 1923 Walter Tollmien Georg-August-Universität Göttingen 1924 Hermann Blenk Georg-August-Universität Göttingen 1924 Walter Birnbaum Georg-August-Universität Göttingen 1924 H. Ludloff Georg-August-Universität Göttingen 1925 Alexander von Baranoff Georg-August-Universität Göttingen 1925 Fritz Doench Georg-August-UniversitätGöttingen, Universität

Berlin1926

Hermann Schlichting Georg-August-Universität Göttingen 1930 Adolf Busemann Georg-August-Universität Göttingen 1930 Jakob Ackeret Eidgenössische Technische Hochschule Zürich 1931

Tabla II.b.1 Una lista de los discípulos de Ludwig Prandtl hasta 1931.Adaptada de [11]

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II.d Discusiones fi losófi cas recientes

Es interesante tener en cuenta que la contribución de Ludwig Prandtl ha sido considerada como liminar desde hace ya muchos años. Tal vez, los párrafos previos pueden haber contribuido a enfatizarlo. Sin embargo, no es tan evidente que su contribución siga siendo analizada desde el punto de vista de la fi losofía de la ciencia. Un ejemplo de ello se puede encontrar en [12]. En particular, Heidelberger [13], discute en que medida la contri-bución de Prandtl puede ser considerada como un modelo físico precedente a la descripción matemática que, en si misma estaba implícita (aun cuando intratable) en las ecuaciones de N-S. Cowley [14], plantea como paradójico que una teoría de fl ujo laminar (la CL) es invocada para explicar un fenó-meno que solamente existe cuando el fl ujo es turbulento, debido a los altos números de Reynolds necesarios para que exista una CL delgada. En [14] se pueden encontrar aspectos adicionales de esta paradoja (para el siglo XXI), pero este autor no las comparte. En [15] es posible encontrar una discusión que declara resolver la paradoja de D Alembert en forma mas adecuada que Ludwig Prandtl.

III. Algunos ejemplos de aplicación

Ya hemos mencionado que la TCL está incorporada intuitivamente en el pen-samiento analítico de todo practicante de la resolución de problemas de la MF. En particular, la separación de campos será motivo de una presentación posterior (ver G. Gnavi en este volumen). Esto ha sido, naturalmente, tratado en muchos foros anteriormente y un ejemplo interesante puede encontrarse en [16]. En lo que sigue se mostrarán tres ejemplos de lo que este autor considera intuitivo.

III.1 Anillos vorticosos en las cercanías de una pared

Los anillos vorticosos son un ejemplo de un aspecto particular y particu-larmente atractivo de vorticidad confi nada. Han atraído desde siempre por su dinámica asombrosa a cualquier experimentador o docente de la MF. En [17], pueden encontrarse 1035 referencias desde 1858 hasta 1956, con muy atractivas ilustraciones dibujadas. Un anillo vorticoso se mueve generando un campo casi potencial (irrotacional) y manteniendo los efectos de la viscosidad (generadores de la verticidad) en manera confi nada en un núcleo delgado. La teoría clásica tiene una explicación a partir de un modelo físico idealizado. La interacción de

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un anillo vorticoso que evoluciona avanzando hacia una pared normal a su eje puede ser simulada en términos de la teoría idealizada a partir de dos anillos de rotación contraria que avanzan en manera encontrada y coaxial. Este autor, pre-parando una demostración docente, encontró y luego, en conjunto con el Prof. U. Boldes (ver U. Boldes en este volumen), ambos explicaron un comportamiento no considerado a esa fecha en la bibliografía. En efecto, en [18], se explicó como la presencia del vórtice en las cercanías de una pared, generaba y desprendía una capa de corte, a partir de la CL que producía que rebotase del vórtice incidente a medida que este se expandía. La simulación numérica idealizada que se presentó entonces, en base a considerar la capa de corte como una sucesión de anillos vorticosos que se desprendían de la pared, fue considerada “demasiado simple” para su aceptación. La Figura III.1.a muestra los resultados experimentales en comparación con la teoría ideal clásica. El inserto en dicha fi gura muestra que la pared era de vidrio, con un espejo a 45 grados que permitía la fi lmación de la evolución del anillo. La zona de fl ujo viscoso está mayormente confi nada por debajo de la línea punteada. Así, la consideración intuitiva del desprendimiento de la CL permitió explicar este fenómeno.

III.2 Transmisión del calor con fuentes concentradas

En algunos casos se desea modelar la conducción del calor a partir de numerosas fuentes concentradas en un medio semi-infi nito, como es el caso de un hipotético repositorio de contenedores de residuos radiactivos de alta actividad, que tiene cientos de fuentes concentradas. Dependiendo de la es-cala a analizar, se pueden introducir fuentes puntuales o planas idealizadas que, tratadas a partir de una técnica tipo CL de “extracción de singula-ridades”, permite el análisis del problema de conducción del calor en la escala mayor, tornando posible el análisis detallado. Esto fue mostrado en [19], en la época en que los recursos computacionales eran escasos y costosos. La Figura III.2.a, tomada de [19] indica la técnica empleada. Esta manera de considerar una CL térmica, puede ser considerada una extrapolación del concepto de separación de campos de Ludwig Prandtl. Las Figuras III.2.b y III.2.c muestran la precisión de dos de los resulta-dos obtenidos en [19]. Este autor y sus colaboradores realizaron varias extensiones de este concepto para considerar fl ujos en medios porosos originados en problemas de convección natural a partir de fuentes con-centradas.

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Figura III.1.a Trayectorias de un anillo vorticoso hacia una pared [18]

III.3 Consideración del comportamiento tipo capa límite en un método numérico

En manera similar al caso mostrado en III.2, el autor consideró la reso-lución de un clásico problema de difusión-advección, cuando la advección domina el campo de fl ujo, es decir a altos números de Peclet para el caso de la difusión de masa. Dicho problema está especifi cado como sigue:

1)1(U0)0(U

0dx

UddxdU

eP 2

2

En [20], se explicó la forma de obtener una solución numérica adecuada. En la Figura III.3.a se muestran los resultados obtenidos. Esta es otra vez una extrapolación de la separación de campos aplicada a un problema fl uido-di-námico y está intuitivamente basada en la aproximación de Ludwig Prandtl.

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La prueba algebraica de que la solución es correcta analíticamente en manera asintótica está dada en [20]. En las soluciones numéricas detalladas como las que aborda la CFD (ver M. Storti en este volumen), la TCL es utilizada a veces como un vínculo físico entre lo que sucede a muy pequeña distancia de la pared, entre esta y el fl ujo exterior.

IV. Conclusiones

En este trabajo se ha tratado de presentar una visión de la contribución de Ludwig Prandtl a la Mecánica de los Fluidos basada solamente en su trabajo liminar de 1904. También se ha tenido en cuenta la secuela intelectual de su contribución.

Las épocas fundacionales están, en opinión de este autor, caracterizadas por el ingenio y la creatividad de pocas personas que generan, parafraseando a Kuhn, los cambios de paradigmas. Es en ese sentido que la Figura IV.a sin-tetiza el “laboratorio inicial” de Ludwig Prandtl y lo que mejor representa, otra vez a entender del autor, los elementos usados en su trabajo. Los practicantes de resolución de problemas de Mecánica de los Fluidos deberían tener en cuenta que la simplicidad y la habilidad son ingredientes básicos para la tarea creativa. Tal vez esta refl exión suena un poco “old fashioned”, pero representa el sentir del autor (que es, defi nitivamente, “old fashioned”)

23

24

Figura III.2.b La solución para una fuente puntual de calor aislada.

Figura III.2.c Comparación de la metodología de [19] con el Método de los Elemento Finitos.

25

Figura III.3.a La incorporación de una CL en un método numérico.

Figura IV.a El laboratorio inicial de Ludwig Prandtl, fuentes varias, ver e.g. [6]

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Referencias

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2. Modern developments in Fluid Dynamics: an account of theory and ex-periment relating to boundary layers, turbulent motion and wakes, com-posed by the Fluid Motion Panel of the Aeronautical Research Committee and others, and edited by S. Goldstein, Oxford, Oxford University Press, 1938

3. Modern developments in Fluid Dynamics: high speed fl ow, composed under the aegis of the Fluid Motion Sub-committee of the Aeronautical Research Council; edited by L. Howarth with the assistance of H. B. Squi-re and the late C. N. H. Lock, Oxford, Clarendon Press, 1953

4. Laminar boundary layers: an account of the development, structure, and stability of laminar boundary layers in incompressible fl uids, together with a description of the associated experimental techniques, L. Rosen-head (Ed.), Oxford, Clarendon Press, 1963

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8. Ludwig s Prandtl Boundary Layer, J. D. Anderson, Jr., Physics Today, vol. 58, pp. 42-48, 2005

9. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, L. Prandtl, Verhan-dlg. III. Intern. Kongr. Heidelberg 1904, 484-491, 1904

10. Motion of fl uids with very little viscosity, NACA TM-420, 192811. http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/, accedido el 8/enero/2008, North

Dakota State University, Mathematics, Mathematics Genealogy Project, desarrollado en conjunto con la American Mathematical Society

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27

13. Models in Fluid Dynamics, M. Heidelberger, in Philosophy of Science Assoc. 19th Biennial Meeting - PSA2004: Contributed Papers; PSA 2004 Workshops.

14. Laminar Boundary-Layer Theory: A 20th Century Paradox?, Stephen J. Cowley, Mechanics for a New Millennium in Proceedings of ICTAM 2000, eds. H. Aref and J.W. Phillips, pp. 389-411, Kluwer, 2001

15. Finally: Resolution of d'Alembert's Paradox, J. Homan and C. Johnson, Fi-nite Element Center Preprint NO 2006-14, ISSN 1653-574X. This preprint and other preprints can be found at http://www.femcenter.org/preprints/

16. Some models of viscous inviscid interaction, by I. I. Lipatov, BAIL 2004, Intl. Conference on Boundary and Interior Layers, Toulouse, France, 5th - 9th July, 2004

17. A bibliography of vortex dynamics 1858-1956, V. V. Meleshko and H. Aref Adv. Appl. Mech. 41, 197-292, 2007

18. Behavior of vortex rings in the vicinity of a wall, U. Boldes and J.C. Fe-rreri, Phys. of Fluids, pp. 2005-2006, 1972

19. Numerical Aspects of the Study of the Regional Thermal Impact of a Radioactive Waste Repository, J.C. Ferreri and M.A. Ventura, Nuclear Eng. and Design, 86, pp. 253-265, 1985

20. A Note on the Steady-State Advection-Diffusion Equation, J.C. Ferreri, Int. J. Numerical Methods in Fluids, 5, pp. 593-596, 1985

CAPA LÍMITE Y ASINTÓTICAS

GRACIELA GNAVI

El trabajo de Prandtl (1904).

El famoso trabajo de Prandtl [1905] que dio impulso a la teoría de la capa límite fue presentado en el Tercer Congreso Internacional de Matemática que tuvo lugar en Heidelberg en 1904. En él se presenta una forma simplifi cada de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fl ujo viscoso estacionario en la cercanía de un contorno cuando la viscosidad es muy baja.

La ecuación de Navier-Stokes para fl ujos estacionarios de viscosidad constante, ν, se puede expresar como

donde las variables espaciales x e y se han adimensionalizado con L, es la velocidad del fl uido (adimensionalizada con U), y Re = U L/ν es el número de Reynolds. La velocidad U y la longitud L son valores característicos del problema. La condición de incompresibilidad se reduce a 0. =∇ u .

En el caso en que el número de Reynolds sea alto, podemos observar que en la ecuación de Navier-Stokes aparece un parámetro muy pequeño ε = 1/ Re multiplicando a la derivada de mayor orden de la ecuación. Este hecho permite anticipar la presencia de una capa límite sobre cualquier contorno en reposo con respecto al fl uido, originada por la viscosidad. Las ecuaciones en el interior de la capa límite de un fl uido que embiste un objeto propuestas por Prandtl se pueden deducir a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, despreciando efectos de curvatura de las líneas de corriente. Es conveniente elegir un sistema de coordenadas tal como lo muestra la Fig. 1 en el que uno de los ejes sea (localmente) perpendicular al contorno y efectuar un cambio

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de escala en la dirección y normal al contorno (sobre el cual la velocidad del fl uido es nula).

Figura 1. Coordenadas locales para el estudio de un fl uido que embiste un objeto.

El cambio debe llevarse a cabo tomando en cuenta no sólo la escala de longitud defi nida por el tamaño L del cuerpo sino también aquella determina-da por la viscosidad ν y la velocidad característica U, es decir por la longitud viscosa l = ν/U. En la dirección y hay un fuerte gradiente de la componente de velocidad u paralela al cuerpo. Tomando en cuenta estas características del problema, el cambio de variables propuesto es

YR1

ye

= , VR1

e=v ,

donde v es la componente de la velocidad según la dirección y (que pasa a ser Y), y V su nuevo valor. Este cambio de variables permite reescribir las ecua-ciones, habiendo eliminado previamente términos de orden ε, bajo la forma

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El gradiente de presión, que no depende de la coordenada perpendicular a la placa, estará determinado por el valor del gradiente de presión del fl ujo fuera de la capa límite. Es de notar que en la aproximación ha desaparecido el carácter elíptico de la ecuación, la cual ha pasado a ser parabólica. De esto se desprende que el fl ujo cerca del contorno no se ve afectado por lo que sucede “aguas abajo”. Estas son las famosas ecuaciones presentadas por Prandtl en 1904.

Figura 2. Esquema de fl ujo que embiste una placa plana.

En particular, en el problema de la placa plana, el mismo Prandtl en su tra-bajo antes citado propone una solución de similaridad de la forma u=φ(Y/x1/2), y obtiene resultados mediante integraciones numéricas de la ecuación diferencial ordinaria a la que satisface φ . La Fig. 2 muestra un esquema del fl ujo a lo largo de la placa marcando con un relleno punteado la región en la que se forma la capa límite. El dibujo describe también el hecho de que a cierta distancia de la placa en la dirección perpendicular a ella el fl ujo es prácticamente uniforme. Conviene notar que muy cerca del borde de ataque de la placa no valen las hipótesis que llevan a la aproximación de capa límite.

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El ejemplo de Friedrichs (1942).

Por varias décadas, este tipo de aproximación no tuvo mayor eco entre los matemáticos, y fue considerada como una técnica particular para ciertos problemas de la mecánica de los fl uidos, asociada a la noción de capa límite. Fue sólo a partir de la década del cuarenta que investigadores tales como K. O. Friedrichs del Courant Institute de Nueva York y W. Wasow comenzaron a analizar los problemas de capa límite desarrollando en forma sistemática una teoría de expansiones asintóticas.

Friedrichs [1942] presentó el siguiente ejemplo con el propósito de mostrar el interés matemático e importancia que tenía la técnica de empalme propuesta por Prandtl, a pesar de que ésta presentara aspectos paradójicos. La ecuación analizada es

Figura 3. Soluciones exacta (`Exact´), exterior (`Outer´) e interior ( Inner´).

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Su solución exacta, presentada en la Fig. 3, está dada por

Si se propusiera resolver la ecuación empleando un desarrollo perturbativo regular en potencias de ε con términos del tipo fk(x) εk se llegaría a la conclu-sión de que el primer término del desarrollo, f0(x), obedece a una ecuación di-ferencial de primer orden y, por lo tanto, no puede satisfacer a dos condiciones de contorno, salvo en casos excepcionales. Esto indica que el término de la ecuación diferencial que está multiplicado por ε desempeña un papel impor-tante desde el comienzo de la aproximación. En consecuencia, tiene que existir una región del intervalo (0,1) en la que la derivada segunda de f asuma valores grandes, y por lo tanto una región, denominada región interior o capa límite, en la que hay grandes cambios de f y su derivada. En esta región, en la cual x varía poco, se introduce una nueva variable independiente X=x/ε. El objetivo consiste en obtener una solución en la capa límite que pueda empalmarse con la solución fuera de esta capa, en la llamada región exterior, que provenga de haber eliminado la derivada de segundo orden de la ecuación diferencial. Ésta sería la base de la técnica de empalme. En resumen, para ε<<1 y fuera de la capa límite en la cual x es del orden de ε (ver Fig. 3), se puede afi rmar que

f(x;ε) ∼ (1 - a) +a x .

En la capa límite, tomando );();( εε XFxf = , con ,/ εxX = se tiene que

y por lo tanto (ver Fig. 3),

.1 XeF −−∝

La constante de proporcionalidad está determinada por el empalme de f y F.

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Figura 4. Representación de las regiones interior (`inner´), de empalme ( overlap´)

y exterior ( outer´).

La receta propuesta por Prandtl para determinar la constante de propor-cionalidad daría en este caso la relación f(0)=F(∞). La contradicción surge al observar que la ecuación aproximada que da origen a f no vale en el origen y que X=∞ no es un punto del intervalo (0,1/ε). Una forma de interpretar la propuesta de Prandtl es notar que existe una región en la que x es pequeño y al mismo tiempo X es grande y que en dicha región valen simultáneamente las soluciones aproximadas f y F (ver Fig. 4). Con el tiempo esta idea sería la base de la teoría de Kaplun de empalmes intermedios (`intermediate matching´).

Otro ejemplo

El ejemplo anterior, como muchos otros, sugiere que una solución me-diante un desarrollo perturbativo puede fallar cuando existe un parámetro muy pequeño, ε, que multiplica a la derivada de mayor orden de la ecuación. Eso se debería al hecho de que al tender ε a cero el orden de la ecuación diferencial

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baja en una unidad, con el consiguiente problema de ajuste de las condiciones de contorno del problema en ese caso. Consideremos, ahora, la ecuación

En este caso el parámetro pequeño no afecta a la derivada de orden mayor. Tomemos un desarrollo de tipo perturbativo

L+++ )(u)(u)(u~ 22

10 xxxu εε

Al orden más bajo debe cumplirse que

Dada la forma de la ecuación, es inmediato que no hay solución que sat-isfaga 1)(0 =∞u . Esto muestra que se forma una capa límite en x = ∞, y que por lo tanto hay que empalmar la solución exterior con aquella válida en la capa límite. De este modo tenemos las siguientes soluciones

(válida cerca del origen)

(válida lejos del origen)

La función )(Xu es solución de

y cumple con 1)( =∞u . Para realizar el empalme, debe ser C = 0 y D = 1. En este caso en particular es posible hallar la solución exacta al problema,

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Esto confi rma que u0(x) = 0. Es interesante notar que el problema para )(0 xu tiene solución si es propuesto en un intervalo fi nito, 0 ≤ x ≤ L. Ahora,

es inmediato comprobar que

u0(x) = x/L , u1(x) = x(L-x)/2L , … .

La conclusión que se extrae de este ejemplo es que aunque el parámetro pequeño no multiplique a la derivada de mayor orden, pueden surgir inconve-nientes si el rango de la variable independiente es muy grande. En el ejemplo dado, no habría difi cultades si L << 1/ε .

Problemas de bajo número de Reynolds. Aproximación de fl ujo reptante ( eR <<1)

Las ecuaciones de los fl uidos viscosos incompresibles han dado origen a una variedad de técnicas perturbativas de tipo capa límite. Para fl ujos de bajo número de Reynolds, Stokes a mediados del siglo diecinueve propuso apro-ximar la ecuación de Navier-Stokes eliminando los términos de inercia, dado que éstos son cuadráticos en las velocidades. Esto lleva en ese límite al balance entre las fuerzas viscosas y gradientes de presión y se conoce como ecuación de Stokes. De este modo, para fl ujos incompresibles, tenemos que

,

La aplicación de esta aproximación para el problema clásico de un fl ujo uniforme aguas arriba que embiste a un cilindro circular muestra que, cuando se imponen las condiciones de velocidad nula sobre la superfi cie del cilindro, no hay modo de satisfacer a las condiciones de contorno aguas arriba. La aus-encia de solución para la ecuación de Stokes para fl ujos planos no acotados que rodean un cuerpo se conoce como la paradoja de Stokes. Cuando el cuerpo es una esfera, la aproximación tiene solución y da un fl ujo simétrico entre proa y popa. Sin embargo, una segunda aproximación a partir de la ecuación de Navier-Stokes, en la cual los términos convectivos emplean las expresiones

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halladas previamente con la ecuación de Stokes, no tiene solución. La falta de solución de la segunda aproximación a partir de la ecuación de Stokes para un fl ujo uniforme que rodea a un cuerpo tridimensional se conoce como la paradoja de Whitehead.

A comienzos del siglo veinte Oseen [1910] mostró que el origen de ambas paradojas reside en el carácter singular del fl ujo a bajo número de Reynolds en una región no acotada. La singularidad se ubica en el punto del infi nito, lugar en el cual falla la aproximación de Stokes. Una posible descripción de este comportamiento no uniforme, consiste en imaginar un fl uido de viscosidad muy alta. En este caso, dado un punto x0 a distancia fi ja del cuerpo, y tomando en cuenta la condición de no deslizamiento sobre el contorno del cuerpo, se concluye que la velocidad en ese punto será más baja cuanto más alta sea la viscosidad, ν, (a igualdad de los otros parámetros del problema, i.e., el tamaño del cuerpo, L, y la velocidad del fl uido a grandes distancias, U, los cuales inter-vienen en la defi nición del número de Reynolds, Re = U L/ν). Esto muestra que el límite es no uniforme dado que a pesar de que la velocidad para cualquier punto fi jo x0 tiende a cero cuando la viscosidad crece, en todo momento la velocidad aguas arriba, U, sigue siendo la misma. Para resolver esta no unifor-midad Oseen propuso reemplazar los términos convectivos por sus expresiones linealizadas válidas a grandes distancias del cuerpo. De este modo encontró una solución en el caso de la esfera, y poco tiempo después Lamb [1911] halló otra para el problema de fl ujo que embiste a un cilindro circular. Finalmente, a mediados del siglo veinte estas soluciones fueron interpretadas por Kaplun [1957] de modo sistemático dentro de la teoría de aproximaciones asintóticas. Dado que las ecuaciones de Stokes no son uniformemente válidas al infi nito, podría suponerse que existe un efecto de capa límite en el infi nito. Esto no es así. Para ello hay que notar que si bien el límite de Stokes corresponde a una viscosidad infi nita, la aproximación de Oseen para el término convectivo puede interpretarse como la ausencia del cuerpo. Desde este punto de vista, la presencia del cuerpo puede interpretarse como una corrección al estado no perturbado de fl ujo uniforme. En este caso la capa límite estará en las cerca-nías del cuerpo, donde hay cambios signifi cativos de velocidad.

Separación de la capa límite y “cubiertas triples”

La aparición de perfi les con inversión de fl ujo en las soluciones de la ecuaciones de capa límite marca la no aplicabilidad de la teoría límite a partir

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del punto donde aparece dicho efecto. En estos casos se observa el fenómeno de separación de la capa límite, tal como se esquematiza en la Fig. 5.

Figura 5. Separación de la capa límite.

En tiempos recientes se ha podido dar una descripción muy completa del fl ujo en el entorno de un punto de separación empleando la llamada teoría de la “cubierta triple” ( triple deck´) inicialmente desarrollada por Stewartson [1969], la cual está basada en las ideas sobre aproximaciones asintóticas que surgieron a partir del trabajo de Prandtl. Huelga decir que es éste un desarrollo de gran complejidad. En síntesis, se podría mencionar que la teoría distingue la presencia de tres regiones de comportamiento diferenciado en la zona contigua al contorno. Sin entrar en una descripción de esta técnica, mostramos en la Fig. 6 un esbozo del comportamiento del fl uido en las cercanías del punto de separación tomado de Ockendon y Ockendon [1995], autores que presentan un breve resumen de las características de estas cubiertas.

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Figura 6. Esquema de una “cubierta triple”.

Pueden verse allí las estimaciones de los espesores de cada cubierta en términos del número de Reynolds.

Panorama

Es interesante mencionar, como dato histórico, que los primeros intentos de empleo una expansión asintótica se hallan en un trabajo de Laplace sobre la forma del menisco en un tubo circular introducido en un líquido de baja tensión superfi cial. Con el trabajo de Prandtl se inicia en el siglo veinte una técnica que encuentra numerosas aplicaciones en problemas de fl uidodinámi-ca. Se destacan en esta línea las contribuciones de S. Goldstein [1938] quien trabajó en Cambridge a partir de los años treinta. Como mencionamos ante-riormente, el impulso en el campo matemático lo provee Friedrichs quien hizo importantes desarrollos a partir de los años cuarenta. En ese período también hubo grandes aportes de Wasov [1965] quien presentó la teoría de la capa lí-mite en términos de desarrollos asintóticos. Ya en los años cincuenta aparecen las contribuciones de Kaplun sobre expansiones asintóticas empalmadas y la aplicación de estas ideas a fl ujos de bajo número de Reynolds. La siguiente camada de investigadores de gran importancia en estos temas incluye a perso-

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nas tales como Lagerstrom [1988], Kevorkian y Cole [1996], van Dyke [1975] y Stewartson, entre muchos otros, los que han determinado que éste sea un tema en permanente expansión. El artículo de Cowley [2001] es una muestra, entre tantas, del interés que existe actualmente en los aspectos matemáticos de la teoría de capa límite.

Bibliografía

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Van Dyke, M., Perturbation Methods in Fluid Mechanics, The Parabolic Press, Stanford, 1975.

ASPECTOS DE LA CAPA LÍMITE DE FOLLAJE

ULFILAS BOLDES

Abstract

Ludwig Prandtl’s development of the boundary layer theory is considered as one of the most important advances in fl uid mechanics.

Due to the diffi culty associated with the mathematical treatment of the Navier Stokes equations before Prandtl most scientists working in fl uid dy-namics restricted themselves on the treatment of the fl ow with an extremely simplifi ed perspective: incompressible, irrotational fl ows around bodies.

Obviously the complex behavior of real fl ow was rarely interpreted by this methodology.

Prandtl’s fi nding was to recognize that often viscous effects are circum-scribed to a narrow region wrapping the body: the boundary layer. Above this layer the fl ow can often be treated as irrotational without impairing the real physics involved..

Biographic aspects of the life of Ludwig Prandtl and his boundary layer theory are presented. As time passes the originally quite predictable picture of the fl ow within boundary layers became more and more complex.

It was recognized that key transport phenomena in the turbulent bound-ary layer were often governed by the random presence of particular turbulent structures with a particular life evolu tion that repeatedly appear in the fl ow.

A important boundary layer for people and living species is the plant canopy boundary layer. Transport phenomena in plant canopies govern the microclimate in which plants grow.

Some signifi cant plant canopy boundary layer structures exhibiting an remarkable similarity with known wall near structures in turbulent boundary layers are presented and the utilization of Prandtl’s boundary layer concepts are examined.

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Resumen

El desarrollo de la teoría de capa límite realizado por Ludwig Prandtl constituye uno de los mas importantes avances en mecánica de los fl uidos.

Las difi cultades matemáticas inherentes de las ecuaciones de Navier Stokes llevaron a que, antes de Prandtl la mayoría de los científi cos del área de mecánica de los fl uidos restringiera sus trabajos a casos extremadamente simplifi cados de fl ujo irrotacional e incompresible alrededor de cuerpos.

Obviamente que la compleja naturaleza de los fl ujos reales lograba pocas veces ser descrita por esta metodología.

El hallazgo de Prandtl fue el comprender que a menudo los efectos vis-cosos estaban circunscriptos en un angosta capa que envuelve a un cuerpo: la capa límite. Por fuera de dicha capa el fl ujo puede a menudo ser tratado como irrotacional sin violar la realidad física.

Se discuten aspectos biográfi cos de la vida de Ludwig Prandtl y su teoria de la capa límite. A medida que el tiempo transcurría la imagen bastante pre-decible de la capa límite se fue complicando progresivamente.

Se aprendió que fenómenos de transporte fundamentales de una capa límite turbulenta eran a menudo gobernados por la presencia aleatoria pero repetida de particulares estructuras turbulentas naciendo, creciendo y desin-tegrándose de una determinada manera.

Una capa límite importante para personas y especies vivientes es la con-stituida por la capa límite de follaje. Los fenómenos de transporte en el follaje gobiernan el microclima en el que las plantas se desarrollan.

Se describen algunas estructuras notables de la capa límite de follaje, las que presentan un notable parecido con conocidas estructuras cercanas a la pared de capas límite turbulentas y se analiza la utilización de conceptos de la teoría de capa limite de Prandtl.

Introducción

En los tiempos previos a Prandtl quienes estudiaban la mecánica de los fl uidos se enfrentaron, al igual que nosotros con la complejidad física y matemática propia de este campo del conocimiento.

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La salida clásica era la habitual tratar de desarrollar modelos mas simples que no obstante su simplifi cación sean aún capaces de refl ejar la realidad física.

Utilizamos normalmente las ecuaciones de Navier Stokes para describir el movimiento de fl uidos en el mundo real.

Estas ecuaciones diferenciales no lineales son de carácter elíptico para fl ujos subsónicos. Para el desarrollo de dichas ecuaciones ya tuvieron que hacerse simplifi caciones sumamente pesadas entre las que puede destacarse la hipótesis de continuo, que desconoce la composición discreta de la mate-ria: moléculas, átomos, etc. No se nos escapa sin embargo que a través de los términos de viscosidad y densidad de estas ecuaciones los fenómenos de naturaleza molecular como la conductividad térmica y la viscosidad de alguna manera volvían a reintroducirse.

Sabemos que es admisible formular la hipótesis de continuo cuando las escalas espaciales de un dado fl ujo son mucho más grandes que el libre camino medio entre moléculas.

Pero las escalas de un fl ujo son aspectos de la solución de un particular problema fl uidodinámico el cual es generalmente desconocido al encarar su estudio y muchas veces ni siquiera resulta posible identifi car estas escalas ni encontrar la solución buscada.. Por analogía con otros casos conocidos y/o por indicios experimentales en ocasiones resulta posible al menos intuir algunas de estas escalas, las cuales deben posteriormente ser validadas.

Es sabido que un mismo cuerpo moviéndose en el seno de un fl uido con una misma actitud y velocidad puede llegar a experimentar muy diferentes patrones de fl ujo.

Un determinado patrón de fl ujo se establece durante un tiempo entre otras cosas porque es el más estable a una dada velocidad frente a las perturbaciones existentes, o bien porque aún no siendo el más estable es la supervivencia de un patrón de fl ujo anterior que sigue vigente por histéresis o bien porque es provocado y forzado por medios externos.

Diferentes patrones de fl ujo implican diferentes vorticidades.Y una de las principales incógnitas está relacionada precisamente con el

comportamiento particular de la vorticidad en la solución fl uidodinámica que deseamos conocer.

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Para poder encarar la descripción de los fl ujos en una forma más simple, mas determinística matemáticos y físicos previos a Prandtl solían recurrir a simplifi caciones extremas.

Asumieron que conocían la vorticidad alrededor de un cuerpo, que esta era constante e igual a cero. Postulaban free-slip, por que no podían incorporar la conocida condición de no deslizamiento sobre la superfi cie de los cuerpos sin que generara vorticidad y además solían asumir que el fl uido era incom-presible.

Estos fl ujos en los cuales el rotor del campo de velocidades es nulo en todo el campo son los conocidos fl ujos potenciales.

En ciertas condiciones para fl ujos para ciertas partes de un cuerpo en los que la infl uencia de los fenómenos viscosos generadores de tensiones de corte que a su vez producen vorticidad no era grande daban resultados cercanos a la realidad.

Pero en un grandísimo número de aplicaciones practicas los resultados así obtenidos mostraban patrones de fl ujo que nada tenían que ver con la realidad.

Recuérdese la paradoja de d’Alembert que explica como un cuerpo puede moverse en un fl uido no viscoso sin experimentar resistencia.

La gran incógnita era entonces la de encontrar las reales distribuciones de vorticidad que se establecen alrededor de un cuerpo por su movimiento en el fl uido.

La aplicación de la condición de Kutta en esquinas fi losas ofreció un cri-terio para introducir en puntos singulares la vorticidad necesaria para que se establezca un patrón de fl ujo experimentalmente observado en determinadas condiciones creando una circulación capaz de reproducir un patrón de fl ujo observado en esa realidad.

Puede afi rmarse que hacia fi nes del siglo 19 las posibilidades de aplica-ción de los conocimientos en mecánica de los fl uidos a la solución práctica y efectiva de problemas reales eran extremadamente reducidas.

Ludwig Prandtl se sintió probablemente atraído ante la particular forma en que a menudo se producen fenómenos de mezcla y transferencia alrededor de cuerpos expuestos a un fl uido en ,movimiento. Si la superfi cie de un cuerpo con movimiento relativo respecto de un fl uido comunica al fl uido adyacente propiedades diferentes a las de la corriente libre (temperatura, cantidad de

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movimiento, etc.) dichas propiedades tienden a propagarse al resto del fl uido a través de una delgada capa que rodea ese cuerpo.

La contribución de Prandtl fue el intuir que en muchos casos los proble-mas viscosos estaban principalmente contenidos en una angosta región alre-dedor de los cuerpos que denominó capa límite. Fuera de esta región el fl ujo podía ser considerado no viscoso del mismo tipo que los fl ujos analizados en aquella época.

Ludwig Prandtl construyó en 1904 sus ecuaciones de la capa limite a partir de simplifi caciones adicionales de las ecuaciones de Navier Stokes.

Observó que existían numerosas aplicaciones practicas muy importantes de fl ujos de fl uidos viscosos que se movían de tal forma que en gran parte de la región del fl ujo las componentes viscosas del tensor de tensiones eran des-preciables porque los gradientes de velocidades que dan entidad a las tensiones de corte eran ínfi mos o inexistentes.

Sería como formular que los efectos de la conductibilidad del aire en una habitación a temperatura constante son despreciables porque variaciones de temperatura que pueden provocar fl ujos de calor son ínfi mas.

Prandtl se concentró a aquellos fl ujos en los que globalmente predomina-ban las fuerzas de inercia y la infl uencia de la viscosidad se restringía a una angosta región que envuelve los cuerpos sumergidos en un fl uido en movi-miento relativo.

Describió y explicó a partir de un razonamiento simplifi cado la infl uen-cia de las tensiones de corte generadas por la viscosidad en movimientos a elevados números de Reynolds mostrando como sus ecuaciones (mas simples) podían suministrar soluciones aproximadas a las de Navier Stokes.

Lamentablemente sus ecuaciones de aspecto más simple que las de Navier Stokes son asimismo no lineales pero de carácter parabólico y lamentablemen-te siguen siendo difíciles desde una óptica matemática

Los impresionantes resultados obtenidos por dichas ecuaciones para re-solver complejos problemas físicos motivaran su entusiasta aceptación en la comunidad fl uidodinámica y aerodinámica.

La teoría de la capa límite fué y es exitosamente utilizada a través de los años para la descripción de los más diversos fl ujos, fl ujos bi y tridimensio-nales, estacionarios y no estacionarios, incompresibles y compresibles, etc.demostrando una notable capacidad para describir la física de los fenómenos involucrados.

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Una consecuencia importante de la teoría de capa límite es que posibi-lita comprender los mecanismos que producen la resistencia de piel y los de transferencia de calor y materia entre un cuerpo y el fl uido que fl uye alrededor de él.

Uno de los primeros trabajos utilizando la teoría de la capa limite para calcular el patrón de fl ujo sobre una placa plana fue el realizado por Blasius en 1908.

Los argumentos físicos asumidos en el desarrollo de estas ecuaciones fue-ron objeto de acalorada discusión durante muchos años. Tan solo, por claridad en el razonamiento, analicemos el caso bidimensional plano con velocidades longitudinales y verticales.

De las dos ecuaciones de Navier Stokes (cantidad de movimiento) origi-nales la teoría de la capa limite nos lleva a una sola ecuación que considera la cantidad de movimiento en el sentido de la corriente longitudinal.

No es fácil imaginar lo que ocurre con la cantidad de movimiento ver-tical.

Si presuponemos que la variación de cantidad de movimiento en sentido vertical es nula no resulta fácil comprender porque en la ecuación del movi-miento longitudinal subsiste un término que incluye precisamente la velocidad vertical multiplicada por uno de los términos más importantes: el de la varia-ción vertical de la velocidad horizontal.

La teoría de capa límite (H. Schlichting 1951) asume además, entre otras cosas que el orden de magnitud de la componente vertical (adimensionaliza-da) de velocidades es del orden del espesor (adimensionalizado) de la capa limite.

Si bien es por lo menos curioso comparar una velocidad con una longitud por mas adimensionales que sean resulta notable la contribución de dicha hipótesis en la formulación de la ecuación de capa limite que permitió la descripción de los mecanismos físicos reales de complejos problemas fl uido-dinámicos.

Una interpretación de esta hipótesis es que en presencia de fuerzas verti-cales actuando sobre el fl uido dentro de la capa limite, los paquetes de fl uido acelerarán verticalmente alcanzando mayores velocidades cuanto mas espacio vertical dispongan para acelerar, o sea cuanto mayor sea el espesor de la capa límite.

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La consecuencia acerca del gradiente vertical de presiones nulo dentro de la capa límite y que la distribución de presiones fuera de la capa límite virtual-mente se “imprime” sobre esta resulta cuanto menos fascinante.

En el transcurso del tiempo el modelo original se fue completando y com-plicando: se desarrollaron aspectos vinculados a la tridimensionalidad, curva-tura superfi cial, no estacionariedad, compresibilidad, transferencia de calor y masa y se comenzó a tratar la problemática de capas límite turbulentas.

Uno de los campos modernos más prometedores en fuerte desarrollo es el del control de fl ujos. Control de fl ujos laminares y turbulentos, control de la turbulencia.

Y uno de los recursos clásicos utilizados para el control es el de inyectar perturbaciones a un fl ujo. La problemática de una capa límite sometida a per-turbaciones es estudiada por la receptividad de la capa límite.

Se denomina receptividad al conjunto de procesos físicos mediante los cuales una capa límite asociada a un determinado entorno geométrico respon-de a ondas de presiones o fl uctuaciones turbulentas o vibraciones.

Del inicial esquema de fl ujos bastante parejos y domesticados comenzaron a emerger patrones de fl ujo de capa limite más y más complejos. A través de mejores experimentos con instrumental no invasivo y a través de simulaciones numéricas comenzaron a ser identifi cadas estructuras fl uidodinámicas que parecieran integrar un conjunto de cuerpos fl uidodinámicos básicos: los low velocity streaks, los vórtices ahorquillados (hairpin), low velocity streaks, las estructuras vorticosas alineadas según la corriente (streamwise) y normales a ella que quizas constituyan un estado de la evolución de brazos de hairpin vórtices.

La teoría de capa límite encontró más y más aplicabilidad en los más diversos campos del conocimiento.

Los colegas meteorólogos extendieron el concepto a lo que actualmente se denomina capa límite atmosférica.

Un caso fascinante es lo que ha dado en llamarse “Capa límite de follaje” (canopy boundary layer) que obviamente suele desarrollarse en la parte infe-rior de dicha capa limite atmosférica. La aplicación y extensión de conceptos de Prandtl a esta fascinante capa límite, directamente vinculada a algo viviente como nuestras plantas, será descrita sucintamente.

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Aspectos Biográfi cos

Ludwig Prandtl comenzó su a ser conocido desempeñándose como pro-fesor de la Universidad de Göttingen. Alemania.

Göttingen es una pequeña y coqueta ciudad universitaria y provinciana ubicada aproximadamente en el centro de Alemania en la Baja Sajonia.

Su carácter pequeño y no industrial en ese entonces la protegió de ser se-leccionada como objetivo de los bombardeos durante la segunda guerra mun-dial por lo que pudo conservar edifi cios y monumentos sin mayores daños.

Prandtl realizó la mayor parte de sus trabajos de investigación en el Ins-tituto de Fluidodinámica de Göttingen que estaba integrado por dos seccio-nes: el Kaiser Wilhelm Institut (KWI) y la Aerodynamische Versuchsanstalt (AVA).

En el KWI fue la única autoridad, con atribuciones para contratar cien-tífi cos y dirigir estudiantes en tesis doctorales. Es preciso recordar que la autoridad de un profesor universitario titular alemán es tradicionalmente considerable y Prandtl hacía el mejor uso de estas prerrogativas..

El árido trabajo de administrativo con científi cos de carácter no siempre fácil no era uno de los campos preferidos de Prandtl, por lo que delegó esos trabajos en su colega A. Betz, un excelente administrador y un reconocido científi co, pero conservando y ejerciendo la dirección y conducción en los trabajos científi cos.

Décadas más tarde el KWI fue rebautizado al nombre que actualmente lleva: el Max Plank Institut.

La AVA, una entidad sin fi nes de lucro, estaba equipada con dos túneles de viento del tipo Göttingen, de disposición cerrada con una sección de prueba abierta, instrumental y equipo avanzado para la época. Recién años después se aprendió que la sección abierta generaba oscilaciones acusticas desfavorables en el fl ujo.

Al fi n de la guerra tropas americanas ocuparon Göttingen llevándose a los Estados Unidos todo el equipamiento que encontraron inclusive el mobiliario completo de la ofi cina de Prandtl.

Posteriormente muchos de estos insumos, en particular el mobiliario, fue devuelto y hoy puede visitarse.

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Aspectos particulares de la Capa Limite de Follaje

Muchísimas especies vegetales, animales, insectos, bacterias etc. nacen crecen, se desarrollan, reproducen y mueren en el seno de una capa límite de follaje.

El fl ujo sobre y a través del follaje presenta procesos de transporte turbu-lentos que parecieran exhibir ciertas características universales.(Amiro 1990, Amiro y Davis 1998) Las características semejantes del fl ujo en distintas espe-cies vegetales fueron expuestas en la Figura 1 extraida de Raupach, Finnigan & Brunet 1996 .

Figura 1 extraída de Raupach Finnigan y Brunet 1996

La cercanía del suelo, la rugosidad aerodinámica presentada por el follaje y el fl ujo libre por encima de la vegetación son factores que sugieren intentar aproximaciones del tipo de capa límite.

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Los modelos idealizados consideran una gran región plana, cubierta de un follaje parejo de iguales características en toda su extensión, sobre la cual el viento medio es constante y unidireccional durante largos intervalos de tiempo.

Cuando una ráfaga de viento intensa acciona sobre las hojas de una rama es probable que esta se deforme elásticamente. Por lo tanto si bien no hay du-das acerca del cumplimiento de la condición de no deslizamiento sobre la su-perfi cie de cada hoja individual al estar estas en movimiento la velocidad sobre la superfi cie misma de las hojas con respecto al suelo, suele no ser nula. Pero si el viento no es sufi cientemente intenso para mover al follaje la condición de no deslizamiento sobre cada elemento del follaje la condición de velocidad nula (con respecto al suelo) se cumplirá. Sin embargo en el seno de un bosque puede observarse que coexisten ramas que se mueven debido al viento y ramas inmóviles. Evidentemente una seria complicación adicional

Obviamente este panorama es diferente al de una capa límite clásica.Por ello no es de extrañar que los primeros intentos de descripción de

esta región mediante simples analogías con la capa límite de paredes rugosas tuvieran un éxito limitado (ver, p. ej. Muhlhearn y Finnigan (1978) y Raupach (1979) .

Las particulares condiciones fl uidodinámicas en la capa límite de follaje determinan muchas de las variables del microclima de follaje infl uenciando de manera decisiva la respuesta biológica de las plantas inmersas en ese fl ujo.

La existencia de máximos secundarios en las distribuciones de velocida-des medias en los fl ujos de follaje posibilitan fenómenos de transporte locales de magnitudes escalares y de cantidad de movimiento transcurriendo en apa-rente sentido opuesto al gradiente de velocidades medias restando validez a los modelos simples del tipo gradiente-difusión en el que el fl ujo de cantidad de movimiento es el producto de una viscosidad de remolino y el gradiente local de velocidades medias.

Por defi nición en una capa limite turbulenta tridimensional la dirección del vector de la velocidad media varía con la distancia a la superfi cie sobre la cual se desarrolla.

Dicha tridimensionalidad en las componentes medias de la velocidad me-didas en el bosque de Soling Alemania están ilustrados en las Figuras 2 y 3.

51

En los últimos años la capa límite turbulenta dejó de ser un escenario en el que transcurren fenómenos aleatorios. En el transcurso de los años se encontraron dentro de la capa límite turbulenta estructuras fl uidodinámicas

52

organizadas que pueden ser considerados como constituyentes elementales del escenario turbulento.

Estructuras de este tipo pueden ser extremadamente simples como vórtices cilíndricos normales y paralelos al fl ujo , vórtices horquilla, anillos vorticosos, etc.

El conocimiento de aspectos geométricos de estas estructuras organizadas aporta un ingrediente determinístico y de posibilidades de control al fl ujo .

Estructuras de este tipo fueron identifi cadas en la capa límite de follaje.Durante los últimos quince años se han logrado conocer algunas carac-

terísticas distintivas de la turbulencia vigente en el seno y estela del follaje de las plantas.

En los fl ujos de corte en general (Cantwel (1981), Hussain (1983), Liu (1989), Roshko (1992) y en particular en los fl ujos de follaje se ha encon trado eviden cia experimental acerca de la fuerte infl uencia de estructu ras vorticosas turbulentas de aparición repetida e intermi tente, que exhiben un alto grado de organi zación espacial y un particular desarrollo y evolución.

Estas estructuras coheren tes de muy variadas escalas, son generadas en regiones delimitadas del campo fl uidodinámico caracteriza das por la existen-cia de capas de corte (shear layers) generadas por la acción aerodinámica y aeroelástica de las hojas y ramas de las plantas.

Finnigan and Raupach (1987) Raupach & Thomm (1981), Raupach 1988) reportaron la presencia de estruc turas intermi tentes coheren tes con escalas de longitud del orden de la altura del follaje. Estructuras similares fueron asimis-mo descriptas por Raupach, Finnigan & Brunet (1989).

Bergstrom and Hogstrom (1989) encontraron que los fenómenos turbulen-tos de transporte de cantidad de movimiento y calor en el seno de un bosque de pinos estaban en gran parte gobernados por la presencia de estructuras turbulentas organizadas. Aspectos vinculados al procesamiento espectral de la turbulencia incidente por parte de un árbol (ciprés macrocarpa) fueron reportados por Boldes y Colman (1996).

Diferentes métodos fueron utilizados para la identifi cación de estructuras coherentes en la capa limite atmosférica superfi cial (Schols (1984) y en fl ujos de follaje; destacán dose los trabajos de Shaw & Zhang (1992), Baldocchi & Meyers (1988), Gao, Shaw & Paw (1989), Bergstrom & Hogstrom (1989) y Cheng-Hsuan Lu & Fitzjarrald (1994).

53

En experiencias en el seno de bosques fueron identifi cadas diferentes estructuras organizadas. Boldes et al. (2001), Boldes et al (2003)

Debido a la falta de teorías que vinculen la estructura de la turbulencia de los fl ujos de follaje con las características aerodinámicas y aeroelásticas del follaje que las origina resulta atractiva la realización de experimentos de visuali zación de fl ujo que permitan una mejor comprensión de las estructuras turbulentas inmersas en el fl ujo y su vinculación con elementos de follaje de geometrías particulares.

Actualmente es aceptado como bastante representativo de la realidad un modelo de turbulencia de follaje valido en pastizales, cultivos y bosques en el que las grandes estructuras coherentes de escala espacial del orden de la altura de la vegetación constituyen elementos esenciales del fl ujo gobernando en gran medida los procesos de transporte en el seno del follaje. Asimismo se han detectado zonas casi calmas animadas de un lento movimiento de vaiven (sloshing type motion según Finnigan, 2000) exhibiendo un tipo de turbulen-cia denominado inactiva. Esta turbulencia es inducida por perturbaciones de escala extremadamente grande sobre el follaje que al penetrar entre las plantas solo perturban levemente el fl ujo sin generar vórtices que puedan provocar signifi cativos fenómenos de transporte. La similitud con low velocity streaks es por lo menos atrayente.

El patrón de fl ujo que surge del actual nivel de conocimientos está ilus-trado en la Figura 4 extraída de (Finnigan, 2000)

54

Características de la turbulencia en el follaje

Contrariamente a lo que parece se encontró que la turbulencia en el seno del follaje no se presenta únicamente como un producto de la perturbación del fl ujo de una capa limite por parte de troncos ramas con agrupaciones de follaje de diferentes tamaños y hojas cuyas estelas turbulentas interaccionan en un fenómeno de mezcla en el cual la energía cinética se distribuye en forma mas o menos pareja entre estructuras turbulentas de la más diversa escala.

Concentremos nuestra atención solamente en el viento: Si vamos descen-diendo desde una dada altura sobre un bosque hasta bien dentro del follaje del bosque observaremos la siguiente variación en el viento medio..

Habrá viento intenso sobre el bosque y viento mucho menos intenso en el seno del follaje. La imagen fl uidodinámica correspondiente es la de una capa de mezcla.

Existe actualmente consenso en que el fl ujo de follaje presenta interesan-tes semejanzas con el fl ujo de capas de mezcla, Raupach et al., (1996).

El perfi l de velocidades medias de una capa de mezcla presenta un punto de infl exión en la zona de máximo gradiente de velocidad, que se constituye en una fuente de inestabilidad no viscosa, características que la diferencian del clásico perfi l de velocidades medias de una capa límite sin gradientes de presión adversos.

En esas condiciones pueden generarse inestabilidades en forma de ondas transversales de Kelvin-Helmholz.

El perfi l de velocidades medias suele presentar dos máximos de velocidad: uno principal y otro llamado secundario con un punto de infl exión.

De acuerdo a Tennekes y Lumley (1972), las capas de corte planas son autosimilares “self-preserving” por lo que los perfi les de velocidad y tensiones de corte pueden expresarse en términos de escalas adecuadas de longitud y velocidad. En la capa bosque-atmósfera aparecen como escalas características la altura del bosque, H y la velocidad de fricción, u* (Raupach et al 1989 )

Conformaciones fl uidodinámicas en el follaje

La compleja fl uidodinámica del follaje presenta un variado tipo de con-formaciones fl uidodinámicas asociadas a los diferen tes tipos de movimientos de las ramas y hojas.

55

Los patrones de fl ujo generados por el follaje que continuamente interac-cionan con la turbulencia del viento local, están determinadas por:a) fenómenos aerodinamicos de interferencia y acople entre los conjuntos de

hojas. b) Respuestas aeroelasticas caracterizadas por efectos de acople de masa entre

elementos de follaje contiguos. c) Efectos de “sombra de viento” debidos al follaje de barlovento, se trata de

los efectos de bloqueo debidos al follaje de sotavento y a las condiciones de borde impuestas por el follaje lateral,

d) Efectos viscosos provocados por los elementos del follaje caracterizados por campos de tensiones de corte y generación de estelas.

e) Generación por parte de los elementos del follaje de fenómenos de circu-lación que modifi can el campo fl uidodinami co en el entorno de las hojas provocando fuerzas de sustentación.

De la interacción de estos fenómenos resulta una compleja conformación vorticosa que involucra diversas escalas y variadas geometrías. Suele darse el caso que distintas conformacio nes fl uidodina micas coexistan en diferentes partes de una misma planta en forma confusa y simultánea.

Basándose en la observación puede intentarse una clasifi cación de estas interacciones entre el viento y el follaje en función de la velocidad del vien-to incidente y del tipo de movilidad observada en los elementos del follaje provocadas por conformaciones fl uidodinámicas particulares en la forma siguiente:

Movimiento del follaje y turbulencia

Es conocida la aleatoriedad asociada a los valores instantá neos de las magnitudes turbulentas. En los fl ujos de follaje se manifi esta una situación muy particular.

Se trata de un fl ujo rodeado por elementos de follaje similares, que im-ponen condiciones de borde muy parecidas y que bajo la acción del viento se mueven de manera muy parecida oscilando con iguales frecuen cias naturales.

Es razonable suponer que ese entorno organizado actúe sobre el fl ujo reduciendo los “grados de libertad” del movimiento, concentrando la energía

56

cinética en movimientos cuyas escalas están relacionadas con las escalas naturales impuestas por las características aeroelásticas de los elementos del follaje del entorno.

Por lo tanto puede concebirse la existencia de una específi ca “turbulen cia de follaje” de particulares características.

Consideremos la acción inicial de una ráfaga sobre una rama con intensi-dad sufi ciente como para provocar una progresiva fl exión hacía sotaven to.

Una parte de la energía de esa ráfaga se acumula durante el intervalo de tiempo en que la ráfaga aparece y crece como energía elástica. Las hojas, ta-llos, ramas y troncos absorben en ese lapso de tiempo una parte de la energía inicial de una ráfaga.

Después de un tiempo los elementos de follaje “rebotan” apantallando el aire generando una turbulencia caracterizada por las particulares caracterís-ticas geométricas y aeroelas ticas de la planta; devolviendo al fl ujo en forma más o menos rítmica la energía elástica acumulada.

La turbulencia generada por el movimiento del follaje interac ciona a su vez con la turbulencia del viento inciden te.

Durante su compleja dinámica aeroelástica las hojas y ramas disiparán, procesarán, modularán y distribuirán en el espacio y en el tiempo la turbulen-cia del viento incidente.

El viento que un elemento del follaje “siente” suele ser producto de la interacción del viento natural más un impor tante viento “aparente” producto del movimiento del follaje mismo con respecto al aire.

En la faz inicial de una ráfaga el desplaza miento de la rama según la di-rección del viento producirá un viento aparente que se resta del incidente de tal forma que los elementos del follaje experi menten una menor velocidad y una variación más suave de la veloci dad incidente que la real (durante el semiciclo del desplazamien to); por lo que para cada elemento del follaje la variación en el tiempo de la cantidad de movimien to será menor y por lo tanto menores las fuerzas actuantes durante el comienzo de esa ráfaga. Espec tralmente este movimiento hace que el follaje se comporte como un fi ltro pasa-bajos pues va-riaciones de velocidad capaces de producir fácilmente deformaciones elásticas en el follaje solo serán “sentidas” muy levemente por este.

Resulta obvio que el espectro de la turbulencia incidente sobre un elemen-to del follaje depende de las características del movimiento de ese elemento siendo evidentemente diferente del espectro del viento natural incidente.

57

Si en el momento en que la rama “rebota” la ráfaga todavía está en una evolución creciente la planta estará expuesta a toda la intensidad de la misma, agravada por el movimiento relativo que aumenta el viento aparente.

Esta situación durante vientos fuertes obviamente no favore cería la inte-gridad de la planta.

Si la ráfaga se encontrase en la faz decreciente el “rebote” disminuye la amplitud de la oscila ción de velocidades actuante sobre el follaje.

La particular dinámica de los elementos del follaje (buffe ting, fl utter y waving) resulta fundamental para la compren sión de estos fl ujos.

La aparente inmovilidad de las plantas resulta un hecho de observación cotidiana. Es común el considerar a una planta como un elemento viviente prácticamente estático cuyo desarrollo está asociado a escalas de tiempo relati-vamente grandes, del orden de días, meses y años para la cual los movimien-tos inducidos por la acción de una brisa son simple mente pertur baciones no deseadas.

Sin embargo si se observa a una planta expuesta a la acción de una brisa puede apreciarse un comportamiento con cambios bastante rápidos en el ondear de los tallos y movimientos bruscos, algunas veces periódicos y localizados de elemen tos del follaje. Desde un punto de vista fl uidodinámico la interacción entre viento y follaje comprende aquellos casos de muy leves brisas que no producen movilidad en los elemen tos del follaje y los casos más complejos con continuos cambios de posición y actitud del follaje. Esta última familia de movimientos que es la más frecuente involucra rápidos cambios en los valores instantáneos de los parámetros aerodinámicos asociados a fenó-menos aeroelásticos de las hojas para vientos leves, de las hojas y ramas para vientos más intensos y de toda la planta para vientos fuertes.

Todos estos fenómenos generarán en el seno del follaje un tipo particular de turbulencia, descripta en algunos de sus aspectos básicos por Raupach & Thomm (1981), defi niendo un microclima de follaje que infl uirá en forma im-portante en los procesos biológicos de una planta (Grace 1988).

Las conformaciones fl uidodinámicas de follaje resultantes gobernarán los principales procesos gaseosos de transporte de masa en el follaje de una planta infl uenciando los regimenes de evapo transpiración (Dixon & Grace 1984) y de transporte de cantidad de movimiento y de calor (Grace & Dixon 1985).

Los movimientos aeroelásticos de los elemen tos de una planta defi niran los estímulos mecáni cos a los que esa planta se verá sometida, capaces de

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afectar su crecimiento y desarrollo infl uenciando la correspondientee res-puesta morfogénica a los estímulos mecánicos (thigmomorfo génesis) como lo describie ra por ejemplo Jaffe (1985).

Por lo tanto la dinámica de la turbulencia generada por el follaje, los movimientos que esa turbulencia provoca en los elementos de follaje y las modifi caciones del fl ujo generadas por esos movimientos defi nen una com-pleja fl uidodinámica que obviamente no puede ser restrin gi da a un análisis estaciona rio.

2.1.6 Referencias

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MÉTODOS COMPUTACIONALES EN CAPA LÍMITE

MARIO STORTIA, RICARDO PRADOB, NORBERTO NIGROA,RODRIGO PAZA, LISANDRO DALCÍNA, JORGE D’ELÍAA, JAVIER GARIBALDIC

Para fl ujos externos a altos números de Reynolds se pueden diferenciar dos regiones: la región “exterior”, donde los términos viscosos son desprecia-bles y una región “interior” donde el fl ujo es dominado por los términos visco-sos. Una forma natural de resolver computacionalmente este tipo de fl ujos es resolviendo las ecuaciones de fl ujo invíscido (potencial o ecuaciones de Euler) en la región externa y por otra parte las ecuaciones para “fl ujo viscoso parabo-lizadas” en la región interna. Las ecuaciones de Navier-Stokes parabolizadas consisten esencialmente en despreciar los términos difusivos en la dirección longitudinal. Esto permite resolver las ecuaciones como si la dirección longi-tudinal (paralelo a la pared) fuera un pseudo-tiempo, ya que la dependencia hacia atrás ha sido eliminada, con el consecuente ahorro en recursos compu-tacionales. En las dos primeras secciones describiremos métodos computacio-nales basados en esta descomposición. Posteriormente ilustraremos como el concepto de capa límite infl uye en la resolución de problemas de fl uidos con las técnicas estándar de la mecánica de fl uidos computacional (CFD).

1. Resolución de fl ujo potencial más capa límite con métodos espectrales

Un cálculo típico procede a través de los siguientes pasos • Calcular el fl ujo invíscido con condición de deslizamiento (slip) sobre la

pared.

a Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería - CIMEC INTEC, (CONI-CET-UNL), Santa Fe, Argentina <{mstorti,nnigro,dalcinl,rodrigop,jdelia}@intec.unl.edu.ar> http://www.cimec.org.ar/mstorti

b Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería, U.N.Comahue. calle Buenos Aires Nº1400, Q8300BCX Neuquén, Argentina <prado@uncoma.edu.ar>

c Instituto de Investigaciones Científi cas y Técnicas de las Fuerzas Armadas (CITEFA) San Juan Bautista de La Salle 4397 (B1603ALO) Villa Martelli <jgaribaldi@citefa.gov.ar>, http://www.citefa.gov.ar

62

• Resolver el problema de capa límite con los valores obtenidos en el cálculo invíscido como dato.

• Resolver nuevamente el problema invíscido con una geometría que consiste en la geometría inicial “infl ada” por el espesor de desplazamiento. Esto se puede hacer modifi cando directamente la geometría inicial o bien a través de la inyección de fl ujos (“fl ujos de transpiración”) en la pared.

• Repetir el proceso hasta la convergencia. Este proceso converge a menos que haya una separación sustancial del

fl ujo. Como regla general, el fl ujo tiende a mantenerse adherido sobre perfi les esbeltos con una muy gradual variación de la sección hasta desvanecerse, como en el caso de perfi les aerodinámicos, mientras que tiende a separarse bruscamente para formas donde la sección es cortada abruptamente, como por ejemplo en un automóvil.

Los primeros métodos numéricos utilizados para resolver las ecuaciones de capa límite eran del tipo integral, como el de von Kàrmàn y Pohlhausen. Estos métodos son aproximados (no-convergentes), es decir no hay forma de incrementar la precisión hasta aproximarse a la solución del problema original (fl ujo potencial más capa límite). Todavía son utilizados en el diseño aeronáu-tico, ya que son muy simples y requieren pocos recursos computacionales. El perfi l de velocidad en la capa es aproximado por un pequeño número de parámetros, como el espesor de la capa y un parámetro de forma en el método original de von Kàrmàn y Pohlhausen. No es evidente como extender estos métodos de forma de obtener una mejor representación del perfi l de velocidad y derivar ecuaciones adicionales para estos parámetros de forma de que el método resulte convergente.

Por otra parte, métodos convergentes han sido desarrollados utilizando métodos de discretización estándar como el método de diferencias fi nitas o el de elementos fi nitos (FEM) [Schetz J.A., 1984, Hytopoulos E. et al., 1992, Schetz J.A., 1991]. En este último caso, la discretización es en realidad mixta, utilizándose FEM en la dirección transversal, combinado con una discretiza-ción por diferencias fi nitas o similar del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) resultante en la dirección longitudinal.

Finalmente, se ha propuesto también la utilización de métodos de mayor orden en la dirección transversal como los “métodos espectrales”. Los méto-dos espectrales [Gottlieb D. and Orszag S.A., 1977, Zang T.A. et al., 1989] se basan en expansiones en series en una base tal que, bajo ciertas condiciones, se puede obtener una tasa de orden de convergencia infi nita, también llamada

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“convergencia espectral”, esto es que la convergencia es mejor que cualquier potencia N p donde N es el número de términos en la expansión. Por ejemplo, bajo ciertas condiciones las series de Fourier exhiben tasa de convergencia espectral. Otra base usada comúnmente son los polinomios de Tchebyschev, más apropiada para problemas planteados en un intervalo acotado. En realidad los polinomios de Tchebyschev pueden obtenerse a partir de las funciones trigonométricas resultantes de un cambio de coordenadas particular.

A continuación repasaremos algunas contribuciones a la solución de pro-blemas de fl uidos con una estrategia fl ujo invíscido y capa límite. En resumen estas contribuciones son • Escalamiento automático de la coordenada normal. • Discretización por métodos espectrales en la dirección normal y con mé-

todos tipo “mesh-less” (sin malla) en la superfi cie. • Una nueva transformación de coordenadas para la dirección normal a la

pared que evita el refi namiento innecesario en el borde exterior de la capa límite.

• Una forma tensorial intrínseca para las ecuaciones de capa límite.

1.1 Escalamiento automático de la coordenada normal

Las ecuaciones de capa límite en régimen laminar incompresible son

xyyyx UUuuvuu ,extext,,, +=+ ν

0,, =+ yx vu

(1)

donde x,y son las coordenadas longitudinal y transversal a la pared y u,v son las correspondientes componentes de velocidad, ν es la viscosidad cinemática del fl uido y Uext la velocidad dada por el fl ujo externo. Una vez resuelta estas ecuaciones se puede determinar el comportamiento del “espesor de desplaza-miento” δ* de la capa, defi nido por

( ) yuUU d0 ext

*ext ∫

∞−=δ .

(2)

64

En general, el espesor de desplazamiento puede variar por varios órdenes de magnitud a lo largo de la piel del perfi l. Crece como √x para perfi les de velocidad planos, y se adelgaza pronunciadamente en regiones donde el fl ujo se acelera, como en la región cercana al pico de succión en los perfi les aerodi-námicos. Por razones de precisión es deseable mantener el ancho del dominio computacional en la dirección normal cercano al espesor de la capa. Para esto, introducimos una transformación en la coordenada normal y → η utilizando alguna estimación para el espesor de la capa δscal (x)

x=ξ

)(scal x

y

δη = .

(3)

Las ecuaciones de capa límite son ahora

( ) ξηηηξ δν

,extext,2scal

,, UUUUVUU +=+

( ) 01

,,scalscal

=+ ηξδδ

VU .

(4)

Lo ideal sería poder elegir δscal = δ*, pero esto no es posible a priori ya que δ* sólo se puede obtener como resultado del cálculo. Una posibilidad es utilizar alguna estimación a priori del espesor de la capa, por ejemplo la dada por la transformación de Levy-Lees

( ) 21

d)(ext1

extscal ∫−∝ xxUUδ(5)

o la dada por el modo de Thwaites

65

21

d1 5

ext6ext

Thwaitesscal ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∝= ∫ xU

Uθδ .

(6)

Estas estimaciones dan la variación correcta para los fl ujos autosimilares sobre perfi les rectos angulosos (Uext ∝ xm), para los cuales el crecimiento de la capa límite es de la forma δscal ∝ x(1-m). Sin embargo, las aproximaciones a priori pueden diferir mucho del espesor real en perfi les que no se aproximan a éstos.

Después de semi-discretizar las ecuaciones de capa límite en la dirección normal (por un método espectral, elementos fi nitos u otro) llegamos a un sis-tema de ODE’s de la forma

( ) 0,,,, scalscal =xδδ &&aaF(7)

donde a es un vector de incógnitas que defi ne el perfi l de la capa límite

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑ )()()(),( ext ηφη

kkk xaxUxu

(8)

y {φk} la base en la cual desarrollamos el perfi l. Imponer exactamente la condición δscal = δ* implica imponer una restricción adicional sobre los coefi -cientes del desarrollo ak

( ) yuUU d0 ext

*ext ∫

∞−=δ

( ) ∑∫=

∞=−=

M

kkkUu

00 ext d/11 αβη .

(9)

Entendemos por “escalamiento automático”, el resolver las ecuaciones de evolución (7) simultáneamente con la restricción (9).

Al agregar una restricción el sistema de ecuaciones diferenciales (ODE’s por “Ordinary Differential Equations”) se convierte en un sistema de ecuacio-

66

nes algebraicas-diferenciales (DAE’s por “Differential Algebraic Equations”). Los sistemas de DAE’s no pueden resolverse de igual forma que los sistemas de ODE’s, y entonces se plantean dos posibilidades • Eliminar la restricción, despejando δscal y obtener nuevamente un nuevo

sistema de ODE’s. • Usar un algoritmo de resolución especialmente adaptado a DAE’s como

DASSL [Brenan K.E., 1989] o LIMEX [Deufl hard et al., 1987]. En la práctica hemos optado por la primera opción.

1.2. Forma tensorial de las ecuaciones de capa límite

Para resolver problemas tridimensionales necesitamos algún sistema de “coordenada curvilíneo intrínseco” sobre la superfi cie (ξ,η) = (x1,x2). Sea ζ = x3 = n/δ(x1,x2) la coordenada normal a la superfi cie. Las ecuaciones de Navier-Stokes en un sistema general de coordenadas curvilíneas ortogonales se escriben de la siguiente forma

ijij

iiji

i pguuu ,,,

0,iiu

(10)

donde los supraíndices (subíndices) indican componentes “contravariantes” (“covariantes”) de los vectores o tensores involucrados. ( ),i denota la deriva-da covariante la cual puede expresarse a su vez en términos de las derivadas parciales comunes mediante expresiones complejas que involucran “tensores métricos” de la transformación y sus derivadas (“símbolos de Christoffel”).

Expresando las ecuaciones en forma tensorial tiene una serie de ventajas, • Por lo general la expresión tensorial es más simple. • Las ecuaciones son conservativas. • Provee una forma natural para transformar ecuaciones de un sistema a

otro. • El escalamiento de la coordenada transversal se incluye automáticamente,

como parte de la transformación.

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Por otra parte, es natural esperar que una formulación tensorial correcta sea de gran ayuda en un problema como es capa límite ya que esta ecuación esta planteada en una superfi cie con curvatura intrínseca, lo cual no es usual para la mayoría de los problemas planteados en la Mecánica Computacional, los cuales están planteados en el espacio Euclídeo común, por lo tanto sin curvatura.

Las ecuaciones de capa límite en forma tensorial son las siguientes

2

2

2s

,u

xpguuuw

.

(11)

Estas ecuaciones son invariantes ante cualquier transformación de las coordenadas intrínsecas en la superfi cie (x1,x2) → (w1,w2) y ante cualquier escalamiento transversal δs(x1,x2).

1.3. Flujos autosimilares sobre un borde anguloso. Perfi les de Hartree

Para fl ujo potencial sobre un borde anguloso con ángulo interno πβ el per-fi l de velocidad externo es U ∝ xm con m = β/(2-β). Se puede demostrar que las ecuaciones de capa límite se pueden reducir por similaridad, llegándose a la ecuación de Falkner-Scan para el perfi l de velocidad. Las soluciones a esta ecuación se llaman perfi les de Hartree y pueden ser observados en la fi gura 1. Desde el punto de vista práctico podemos mencionar que con sólo cuatro tér-minos se obtiene un error menor al 1% en el espesor de desplazamiento.

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Figura 1: Perfi les de Hartree

1.4. Resultados sobre una esfera con rotación

En este ejemplo se considera una esfera rotando con una velocidad an-gular tal que ωR/U∞=1 alrededor de un eje coincidente con la velocidad de la corriente libre. Para el fl ujo potencial se utiliza los valores experimentales para fl ujo alrededor de una esfera (que por supuesto no dependen de la rotación) y pueden aproximarse como

( ) ( ) ( ) ( )753 /0423,0/1481,0/4371,0/5,1 RxRxRxRxU

U−+−=

∞ .(12)

Mientras que las líneas de corriente para el fl ujo externo son simplemente meridianos, las líneas de corriente límite tienden a rotar con la esfera. Esta inclinación se hace cada vez más pronunciada hasta que se alinean con la línea de separación que es el paralelo a 84.2° con respecto al polo que enfrenta al fl uido. Nótese que la rotación tiende a estabilizar la capa límite ya que para la esfera sin rotación la separación se produce a 81°, resultando en un retraso de

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la separación de caso 3°. Esto se debe a la fuerza centrífuga que induce en la capa límite un gradiente de presión dirigido hacia el ecuador. Como la sepa-ración en la esfera se produce antes del ecuador (en fl ujo laminar) esto implica un gradiente de presión favorable.

Figura 2: Líneas de corriente límite para la esfera con rotación

2. Resolución de la capa límite mediante el método de diferencias fi nitas

La aplicación de la técnica de las diferencias fi nitas a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales (PDE’s) es ampliamente utilizada por ser bastante general y fl exible, así como de relativamente fácil implementación, permitiendo el cómputo de fl ujos en capa límite de variada complejidad. En general, la forma preferencial de planteo de las ecuaciones de la capa límite variará con el problema a resolver, si bien generalmente se plantea la necesidad de una transformación de coordenadas con la fi nalidad de mantener un número prácticamente constante de nodos de cómputo ubicados en la dirección normal

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al sentido del fl ujo. Adicionalmente, se requiere de sistemas de coordenadas curvilíneas para el tratamiento del fl ujo sobre superfi cies de confi guración general.

Los términos en derivadas de las ecuaciones aproximadas del fl ujo en la capa límite resultan entonces representados por esquemas en diferencias fi nitas. En la práctica, frecuentemente es necesario extender o modifi car los esquemas en diferencias aplicados a un determinado tipo de capa límite para aplicarlos a una capa viscosa semejante o que incorpora algún otro efecto físico. Asimismo, es necesario evaluar los aspectos de estabilidad de la repre-sentación utilizada y la introducción de fenómenos numéricos espurios como la presencia de una viscosidad numérica, en especial en este tipo de problemas donde los efectos de la viscosidad son signifi cativos. La optimización suele requerir de un proceso de prueba y error [Anderson et al., 1984].

Esta representación en diferencias fi nitas del sistema de EDP’s y de sus condiciones auxiliares conduce al establecimiento de un sistema de ecuacio-nes algebraicas que reproduce el grado de acoplamiento y nolinealidad de las ecuaciones originales. Este sistema, al cual suele aplicarse previamente un procedimiento de linealización, se resuelve simultáneamente, generalmente mediante procesos iterativos.

2.1 Capa límite sobre palas de turbinas eólicas

Otro ejemplo de relevancia en ingeniería en donde el número de Reynolds característico resulta lo sufi cientemente alto como para diferenciar dos zonas en el campo fl uidodinámico -una capa delgada próxima a la superfi cie donde dominan los efectos de la viscosidad y una amplia zona donde los efectos vis-cosos pueden ser despreciados- corresponde al análisis aerodinámico de las palas de turbinas eólicas. Estas dos regiones interactúan, defi niendo las cargas aerodinámicas actuantes sobre las palas. En particular, tratándose de una tur-bina de reducido tamaño, su capa límite puede ser considerada laminar.

La distribución de velocidades sobre la superfi cie del cuerpo es previa-mente determinada bajo condiciones invíscidas (en el presente caso, realizado mediante el método de los paneles), y luego aplicada como condición de con-torno sobre el límite exterior de la capa viscosa en las ecuaciones de la capa límite laminar tridimensional de Prandtl, las cuales resuelven los perfi les de velocidades dentro de la capa viscosa, siendo de particular interés la determi-nación de las componentes según cuerda y según envergadura de la pala (u,w)

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respectivamente. La solución invíscida es resuelta en un sistema coordenado global (X,Y,Z) que rota con el eje de la turbina, mientras que la capa límite es resuelta en un sistema coordenado local, curvilíneo, adherido a la superfi cie de la pala (x,y,z), (ver fi gura 3).

Por resultar éste un problema donde las palas presentan curvatura y tor-sión, los perfi les de velocidad resultan no semejantes, y por ende deben resol-verse en cada estación de las superfi cies de la pala. Por otra parte, si bien se desprecian los efectos gravitatorios y de compresibilidad, deben considerarse los términos de aceleración de Coriolis y aceleración centrípeta. Asimismo, como resultan expresadas sobre una superfi cie alabeada y con curvatura, las ecuaciones incorporan los símbolos de Christoffel de la transformación. Dado que el dominio físico crece con la capa límite, se propone una nueva transfor-mación de coordenadas (ξ,η,ζ) para defi nir un dominio computacional regular (ver fi gura 4) [Prado et al., 2002].

El sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales y acopladas de la capa límite es discretizado mediante una representación en diferencias fi ni-tas, utilizando el esquema zig-zag de Krause, según las recomendaciones de Anderson et al. (1984), dado que el fl ujo según envergadura cambia de sentido en el espesor de la capa límite. Hacia el borde de la capa límite, el fl ujo sigue el sentido circunferencial de la corriente externa, mientras que en proximidad de la superfi cie, la fuerza centrípeta genera un fl ujo cruzado hacia la punta de pala. Este comportamiento es observado en la fi gura 6.

Las ecuaciones de gobierno son discretizadas en diferencias fi nitas con-siderando intervalos constantes Δη, Δξ y Δζ, en una formulación centrada en (i+1/2,j,k) para las ecuaciones de la cantidad de movimiento y en (i+1,j-1/2,k) para la ecuación de continuidad, donde (i,j,k) denotan los índices según las coordenadas adimensionales (ξ,η,ζ), respectivamente. Se han considerado 100 divisiones según la longitud del arco, S, 100 según envergadura y 800 divisiones en sentido normal a la superfi cie.

A modo de ejemplo, se evalúa el desarrollo de la capa límite tridimen-sional sobre una pala torsionada conformada por perfi les delgados de arco circular de cuerda constante, c, y fl echa h. Dicha pala es evaluada para la confi guración geométrica y bajo las condiciones de operación siguientes:

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cuerda, c = 0,125 m fl echa adimensionalizada, h/c = 0,02 radio de la pala en raíz, H = 0,25 m radio en la punta, B = 1,50 m envergadura de la pala, b = 1,25 m velocidad del viento, V∞ = 12,0 m/svelocidad del aire en el rotor, V0 = 8,4 m/svelocidad angular de la turbina, Ω = 28 s-1

Figura 3: Geometría de la pala de una turbina eólica y representación del campo de velocidades en una capa límite tridimensional

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Figura 4: Dominio físico y dominio computacional

En las fi guras 5 y 6 se representan los perfi les de las componentes de ve-locidades según cuerda y según envergadura, para distintas posiciones según cuerda, siendo la estación de cálculo la posición media de la envergadura de la pala. Se observa el comportamiento tipo Blasius de la componente según cuerda (recordando que en este caso el gradiente de presiones no es nulo) y la presencia del fl ujo cruzado en la solución según envergadura. Para este pro-blema, el fl ujo permanece adherido hasta el 97% de la relación x/S.

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0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3 al 50% de la envergadura de pala

u [m/s]

y [m

]

x/S = 0,10

x/S = 0,96

Figura 5: Perfi les de la velocidad según cuerda, u, sobre extradós

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.50

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-3 al 50% de la envergadura de pala

w [m/s]

y [m

]

x/S = 0,96

x/S = 0,10

x/S = 0,60

Figura 6: Perfi les de la velocidad según envergadura, w, sobre extradós.

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3. Capa límite en cálculos con mecánica de fl uidos computacional

Normalmente los gradientes de velocidad más intensos se producen en la capa límite, así como la mayoría de los fenómenos físicos más complejos, por ejemplo la generación de inestabilidades y turbulencia. Esto sugiere que las grillas computacionales deben ser más refi nadas en la zona de la capa límite. Entre otras cosas, no refi nar apropiadamente en la capa límite puede producir una separación prematura con el consecuente error en el cálculo de las fuerzas aerodinámicas (resistencia y sustentación).

En la fi gura 7 se observan las líneas de corriente sobre un auto de compe-tición de la categoría TC-2000 basado en el modelo Bora (Volkswagen). Las líneas parten de puntos ubicados a 2 cm de la superfi cie del auto y el color representa la fricción sobre la piel del auto (rojo más fricción, azul menos fricción). Se observa la separación de la capa límite en una región delgada cerca de la unión del capot con el parabrisas y también una zona de separación masiva a un 10% sobre el techo del vehículo. Además del impacto directo de la separación sobre las fuerzas aerodinámicas, la forma de la separación en el techo tiene infl uencia sobre la calidad del fl ujo que incide sobre el alerón trasero (no mostrado en la fi gura) y por lo tanto en la efi ciencia aerodinámica del mismo para producir fuerza geotrópica. La experiencia nos indica que para obtener un correcto refi namiento de la capa límite es recomendable crear capas, usualmente 6 o más, de elementos estructurados por extrusión en la dirección normal de los triángulos sobre la superfi cie del cuerpo. Esto genera elementos de tipo cuña (pirámides de base triangular, también llamados ele-mentos “wedge”). En el caso del auto de competición mostrado en la fi gura 8, la malla cuenta con 1,2 millones de elementos tetraédricos, de los cuales unos 75.000 poseen una cara triangular sobre la piel del cuerpo. Al generar 6 capas de elementos sobre la piel se producen unos 450.000 elementos wedge. Con-siderando que el costo computacional de un elemento wedge equivale aproxi-madamente a 2,5 tetraedros, vemos que el costo computacional de la región dentro de la capa (contenida en unos pocos centímetros alrededor del vehículo) es similar al de todo el resto del fl uido. Esto da una idea de la importancia de una buena resolución de la capa límite.

Otro ejemplo interesante es la aerodinámica de proyectiles estabilizados por rotación. Por ejemplo en la fi gura 9 se observan las líneas de corriente obtenidas sobre el proyectil de 155 mm PACU (Proyectil Argentino de CUlote hueco), desarrollado por CITEFA (Instituto de Investigaciones Científi cas y Técnicas de las Fuerzas Armadas) y en uso actualmente en el Ejército Argenti-

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no. Este tipo de proyectil es estabilizado mediante altas velocidades de rotación (5.000 a 12.000 RPM), lo cual le confi ere características aerodinámicas únicas. El objeto de este estudio computacional fue determinar la curva de “drag” en función de la velocidad, curva que en particular en régimen subsónico es aproximadamente constante. Estos resultados numéricos fueron validados posteriormente con mediciones obtenidas por radar de trayectografía del tipo Doppler. En la fi gura 9 se observan dos juegos de líneas de corriente, unas nacen cerca de la piel (a 1 mm, en amarillo) y otras comparativamente lejos (a 1 cm, en magenta). Las líneas de corriente lejanas siguen el fl ujo invíscido y por lo tanto no son infl uenciadas por la rotación, mientras que las cercanas se aproximan a las líneas de corriente límite. Ahora bien, al haber un ángulo de ataque la velocidad al infi nito puede descomponerse en una componente alineada con el eje de rotación y otra perpendicular al mismo. La componen-te normal provoca una cierta sustentación debida al efecto Magnus. En este caso esta fuerza lateral tiende a desviar el proyectil, causando la precesión del mismo. La magnitud de esta fuerza lateral esta determinada por la capacidad de la capa límite de arrastrar fl ujo y por lo tanto una buena simulación de la capa límite es esencial para poder predecir correctamente la aerodinámica de estos objetos.

Figura 7: Líneas de corriente sobre un automóvil de competición. Notar la zona de separación en el capot (izquierda) y en el techo (derecha).

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Figura 8: Detalle del refi namiento de la malla en la capa límite.

Figura 9: Líneas de corriente sobre un proyectil estabilizado por rotación. En amarillo las líneas de corriente que nacen de puntos a 1 mm de la piel, en

magenta las que nacen a 1 cm de la piel.

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3.1 Agradecimientos

Este trabajo ha sido fi nanciado con subsidios de las siguientes agencias: Consejo Nacional de Investigaciones Científi cas y Técnicas (CONICET, Argentina, grants PIP 02552/00, PIP 5271/05), Universidad Nacional del Litoral (UNL, Argentina, grant CAI+D 2005-10-64) y Agencia Nacional de Promoción Científi ca y Tecnológica (ANPCyT, Argentina, grants PICT 12-14573/2003, PME 209/2003). Los autores han hecho uso intensivo de software libre como GNU/Linux OS, MPI, PETSc, compiladores GCC, Octave, Open-DX, Perl, entre otros. Por otra parte, muchas ideas sacadas de estos paquetes han sido inspiradoras. Se agradece también la colaboración del equipo de competición Sport-Team de la categoría TC-2000.

4. Referencias

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Hytopoulos E., Schetz J.A. and Gunzburger M. Numerical solution of the compressible boundary layer using the fi nite element method. Technical Report 92-0666, AIAA, 1992.

Prado R.A., Storti M. and Idelsohn S. Numerical Simulation of the 3D Laminar Viscous Flow on a Horizontal-Axis Wind Turbine Blade. International Jo-urnal of Computational Fluid Dynamics, Vol. 16 (4), pp.283-295, 2002.

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