Laboratorio de Fısica I

Guıa del experimento

Capacidad calorıfica del aire a volumen

constante

Prof. J. GuemezDepartamento de Fısica Aplicada.

Universidad de Cantabria.

Septiembre 21, 2010

Resumen

Se explica como se puede determinar la capacidad calorıfica mo-lar a volumen constante, cv, del aire mediante el calentamiento delgas por efecto Joule, determinando la variacion de energıa internadel mismo y la correspondiente variacion de la temperatura. Semuestra tambien como se deben llevar a cabo ciertas correcciones alas medidas experimentales directas.

Introduccion

La mecanica estadıstica indica que para un gas ideal diatomico a temperaturaambiente su capacidad calorıfica molar a volumen constante cV viene dada por

cv ≈5R

2, (1)

siendo R = 8, 314 J mol−1K−1 la constante de los gases. Por otro lado, deacuerdo con la bibliografıa, ver Ref. [1], a 0 ◦C se tiene que para el airecP = 1, 227 kJ kg−1 K−1, con γ = 1, 40, siendo γ = cP/cV el coeficienteadiabatico del gas. Tomando para el aire un peso molecular de 28,96 g mol−1,se tiene que cV = cP/γ = 25, 38 J mol−1 K−1.

Recuerde este bibliografico pues es posible que tenga que utilizarlo parahacer estimaciones previas y es el dato con el que debera comparar en su in-forme el resultado experimental que usted obtenga.

Por definicion, se tiene que la capacidad calorıfica a volumen constante deun sistema, CV , viene dada como

CV ≡(δQ

∂T

)V

, (2)

1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) (5) (7)

(r)

(ld)

(t)

(6)

(i)

Figura 1: Esquema del dispositivo experimental empleado para medir la capacidad calorıficadel aire a volumen constante y temperatura ambiente. El dispositivo consta de una resisten-cia electrica [(r) en la imagen] a traves de la cual se realiza trabajo disipativo, por efectoJoule, sobre el sistema, a la vez que se miden sus variaciones de presion. Un barometroexterno permite medir la presion externa, P0 y un termometro adicional permite medir latemperatura ambiente, T0.

A partir del Primer Principio de la Termodinamica, expresado en la formadiferencial dU = δQ − PdV para un sistema PV T , con −PdV como trabajode configuracion, se tiene que

CV =

(∂U

∂T

)V

. (3)

Ası, esta capacidad calorıfica se obtiene como variacion de una funcion deestado como es la energıa interna con la temperatura. Si se quiere llevar acabo una medida experimental de este coeficiente, se puede aproximar como

CV =

(∂U

∂T

)V

≈(

∆U

∆T

)V, (4)

Esta medida experimental va a exigir: (i) mantener el volumen constante; (ii)medir la variacion de energıa interna del sistema, (iii) medir la variacion detemperatura que experimenta.

2

El volumen es una variable extensiva 1 y mantenerlo constante en el labo-ratorio cuando varıa la temperatura de un sistema es relativamente difıcil. Poresta razon, al final de la experiencia se tendran que llevar a cabo una serie decorrecciones para intentar estimar sus variaciones.

En relacion con las variaciones de energıa interna, si el Primer Principio segeneraliza para incluir explıcitamente el trabajo disipativo, ademas del trabajode configuracion, se tiene que

dU = δQ− PdV + δW ∗ , (5)

donde δW ∗ son los trabajos disipativos que se pueden realizar sobre el sistema.Por tanto, puesto que la energıa interna es funcion de estado, sus variacionesse pueden medir en condiciones adiabaticas (δQ = 0) e isocoras (V =Cte)mediante la realizacion de trabajo disipativo, ∆U = W ∗. Las condicionesadiabaticas se pueden obtener si el proceso realizado es lo suficientementerapido como para evitar que el sistema intercambia calor con el entorno. Estascondiciones adiabaticas tambien son difıciles de obtener y tambien se deberanintroducir algunas correcciones.

Este trabajo disipativo se mide facilmente en caso de que sea producidopor efecto Joule, con

∆U = W ∗ = I V ∆t , (6)

siendo I la intensidad que circula por la resistencia, V la diferencia de potenciala traves de la resistencia y del intervalo de ∆t el tiempo empleado.

Si se considera que el volumen permanace constante, y si se considera queel gas se comporta como ideal, se tiene que las pequenas variaciones de latemperatura se pueden relacionar con las pequenas variaciones de la presioncomo

∆T =V0NR

∆P , (7)

siendo V0 el volumen del sistema y N el numero de moles del mismo. Puestoque N = P0V0/RT0, donde (P0, V0, T0) son las condiciones iniciales del sistema,se tiene que

CV =IV∆t

(T0∆P/P0)=IVP0

T0

∆t

∆P, (8)

siendo ∆P la variacion de presion experimentada por el gas durante el intervalode tiempo t en que esta conectada la corriente que circula por la resistenciacolocada en el interior del gas.

Descripcion del material

Se dispone del siguiente material (Fig. 1):

1Consulte la definicion de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en este texto

3

1. una botella grande de vidrio con boca superior [(t) en la imagen] y llavedoble inferior [(ld) en la imagen]

2. una fuente de alimentacion con contador digital de tiempo

3. un manometro de precision (hasta 4 mbar)

4. una caja de conexion con un interruptor de corriente [(i) en la imagen]

5. dos multımetros (un voltımetro, un amperımetro)

6. dos electrodos de nıquel, hilo de Cr-Ni de 0,1 mm [(r) en la imagen]

7. diversos tubos y llaves

Indicaciones

Una primera toma de contacto con el material a utilizar indica lo siguiente.Con la llave inferior que comunica el aire de la botella de vidrio con el exterior,abierta, se conecta la fuente de alimentacion dotada de reloj digital y se poneel tiempo a cero. Se conectan el amperımetro y el voltımetro del circuito dela resistencia. En estas condiciones se pulsa el interruptor del circuito (con lallave inferior abierta) y se mide el voltaje y la intensidad de la corriente quecircula por la resistencia.

Reflexiones previas a la realizacion de la experiencia

Antes de llevar a cabo las experiencias, considere las siguientes cuestiones:

1. ¿Esta justificado este montaje experimental a partir de las anterioresconsideraciones teoricas?

2. ¿Como puede justificar que el volumen de la botella esta entre 5 y 6 Lutilizando una regla? ¿Como puede estimar el numero de moles de aireque hay dentro de la botella? ¿Y la masa de aire?

3. Suponiendo que el interruptor se mantuviese apretado durante 1 s, ¿comopuede estimar el aumento de la temperatura del aire de la botella? ¿Jus-tifica este calculo la ausencia de un termometro en la experiencia?

4. Suponiendo que el interruptor se mantuviese apretado durante 1 s, ¿comopuede estimar el aumento de la presion del aire de la botella? ¿Justificaeste calculo previo el tipo de manometro que se utiliza o no?

5. ¿Por que no se utiliza un termometro para medir las variaciones de tem-peratura que experimenta el gas? Utilice el concepto de tiempo de re-spuesta de un termometro. ¿Por que se utiliza un manometro para medirvariaciones de temperatura?

4

6. Espere un cierto tiempo, hasta que el aire dentro de la botella este atemperatura ambiente y cierre la llave inferior. La escala del manometrode precision se pone a cero. Si en estas circunstancias se pulsa el inter-ruptor del circuito de calentamiento durante 1 s, ¿el aumento de presionque observa es del orden del calculado anteriormente o no?

7. Una vez el interruptor ha dejado de estar apretado y la columna de lıquidoen el manometro ha alcanzado la maxima altura, ¿que se observa? ¿Comointerpreta estas observaciones?

8. ¿Que cree que sucedera si los pulsos de corriente duran mas de 1,5 s?

9. Considerando que la realizacion del trabajo disipativo (W ∗ = IVτ , efectoJoule) suministrado por el hilo electrico produce un aumento de tempera-tura ∆T del aire de la botella y un aumento de la presion ∆P , demuestreque

cv =CV

N=

1

N

∆U

∆T= R

IV∆t

V0∆P= R

IVV0

∆t

∆P. (9)

siendo ∆P la variacion de la presion en funcion del intervalo de tiempo∆t que esta circulando la corriente por la resistencia.

Realice trabajo disipativo por efecto Joule durante intervalos de tiempolo suficientemente pequenos como para que el proceso pueda considerarseadiabatico. Un reloj conectado a un interruptor permite medir el tiempo queesta circulando corriente por la resistencia, mientras un voltımetro y un am-perımetro permiten medir el voltaje e intensidad de la corriente.

Conecte el manometro de precision a la botella de vidrio, comprobando, conel nivel de burbuja, que el manometro se encuentra horizontal. El aire de labotella se calienta haciendo uso del hilo de Cr-Ni como resistencia calefactora,mediante pequenos pulsos de corriente. Para ello se conectan los soportes denıquel a la salida de 5 V de la fuente de tension, la cual se utiliza tambien comocontador digital de tiempos. La tension (V) y la intensidad (I) que pasa por laresistencia se miden con un voltımetro y con un amperımetro, respectivamente.El tiempo (∆t) de conexion de la resistencia se controla con un interruptor.Un esquema del montaje se presenta en la Fig. 1 y algunos detalles adicionalesen la Fig. 2.

Para calcular la pendiente ∆t/∆P se llevan a cabo una serie de experien-cias en las que por un lado se dan pulsos de corriente de duracion conociday por otro se mide la variacion de presion que experimenta el gas. Se llevaa cabo una primera tanda (unos 10) de pulsos de duracion cercana a 0,5 s,midiendose la variacion de la presion. Otra tanda de pulsos de duracion cer-cana a 1 s y una tercera tanda de pulsos de duracion cercana a 1,5 s. Estasmedidas exigiran varias personas y buena coordinacion entre ellas para llevar-las a cabo. Una vez realizadas las medidas, se agrupan los pulsos por intervalosde tiempo y se calcula la media de cada una de las tandas. Con los valores

5

(i)

(r)

(ld)

(rg)(nb)

(rl)

Figura 2: Detalle del interruptor (i) que conecta la fuente de alimentacion con reloj digitalcon el circuito de la resistencia (r), de la llave doble (ld) de la botella y del manometro deprecision que se utiliza para medir las variaciones de presion, con su nivel de burbuja (nb),su reserva de lıquido (rl) y la regleta graduada en mbar (rg).

(∆t1,∆P1), (∆t2,∆P2) y (∆t2,∆P2) obtenidos se estima la pendiente ∆t/∆Pdel experimento.

Una vez estimada esta pendiente, estime el valor de cV .

Preguntas adicionales relacionadas con el experimento

1. Puesto que en realidad el volumen del gas no permanece constante ypuesto que dicho gas se expande contra una presion externa atmosferica,realiza un cierto trabajo de configuracion. Esto significa que no todo eltrabajo disipativo proporcionado al gas se emplea en variar su energıainterna.

Puesto que

∆T =P0

NR∆V +

V0NR

∆P =T0P0V0

(P0∆V + V0∆P ) . (10)

Por otro lado,

∆U = W ∗ − P0∆V = I V ∆t− P0∆V , (11)

siendo ∆V la variacion del volumen del gas. Puesto que el tubo inclinadodel manometro que contiene el lıquido tiene un radio r = 0, 1 cm, el au-mento de volumen ∆V correspondiente a un aumento ∆L en la longituddel lıquido es ∆V = πr2∆L. Por otra parte, un aumento de ∆L = 1 cmcorresponde a un aumento de presion ∆P = 0, 147 mbar, de modo que aun incremento ∆P le corresponde un aumento de volumen

∆V = a∆P . (12)

con a dado por

a =πR2

0, 147= 0, 214 cm3 mbar−1 . (13)

6

A partir, entonces, demuestre que con esta correccion,

cv = R

[IV

(aP0 + V0)

∆t

∆P− aP0

aP0 + V0

]. (14)

La pendiente ∆t/∆P ya se estimo con anterioridad.

2. Otra correccion adicional se debe considerar para tener en cuenta que elproceso no es exactamente adiabatico. Como debido a las perdidas decalor al exterior, mientras se esta proporcionando trabajo disipativo alaire mediante la resistencia, parte de esta energıa se pierde al exterior.Con objeto de intentar evaluar esas perdidas, se procede de la siguientemanera. Durante un tiempo ∆t1 se proporciona energıa al aire mediantela resistencia. Supongase que la presion ha aumentado en ∆P1. Si ahorase mide durante el mismo tiempo ∆t1 lo que disminuye la presion, y seobtiene que disminuye en ∆P2, se puede razonar de la siguiente manera.Como la disminucion de la presion ∆P2 se debe al enfriamiento del gas,se puede suponer que la misma perdida habra tenido lugar durante el ca-lentamiento, pues es el mismo tiempo t1 empleado. Por tanto, se puedeadmitir que si no hubiera habido perdidas al exterior durante el calen-tamiento, la presion tendrıa que haber aumentado durante el tiempo ∆t1en ∆P1 + ∆P2 y no solo en ∆P1.

Por tanto, una vez obtenida la pendiente ∆t/∆P como el inverso delaumento la presion cuando la resistencia se conecta durante un tiempounidad, esta se debe corregir como ∆t/(∆P + δP ) donde δP es el er-ror debido a las perdidas al exterior. Naturalmente, estas perdidas sonproporcionales al tiempo ∆t e indirectamente a ∆P .

En una experiencia aparte se ha obtenido una calibracion de estas perdidas,de tal forma que el error δP en la medida del incremento de la presion∆P viene dado por la expresion

δP = 0, 1934∆P + 0, 12(∆P )2 , (15)

con ∆P en mbar. Con esta ultima correccion, demuestre que

cv ≈ R

[IV

(aP0 + V0)

∆t

(∆P + δP )− aP0

aP0 + V0

], (16)

Para calcular ∆t/(∆P + δP ) se calcula primero el incremento ∆P que lecorresponde al intervalo ∆t = 1 s. Empleando la Ec. (15) se calcula elδP correspondiente. Estos valores se sustituyen en la Ec. (16).

Durante esta experiencia debe cuidarse especialmente el uso de las unidadescorrectas, cuidando que todas las unidades esten expresadas en el unidadesdel SI.

7

Calculo de errores

El calculo de errores se lleva a cabo a partir de la primera estimacion de cV .Ası,

δcv = R

{[(δI V + I δV

V0+IVδV0V 20

)∆t

∆P

]+

[IVV0

(δ(∆t)

∆P+

∆tδ(∆P )

(∆P )2

)]}.

Los errores de los aparatos de medida se pueden estimar algo mayores que laresolucion del aparato, pues hay fluctuaciones. Ası, δI = 0.003 A, δV = 0.02V. El error δV0 se calcula a partir de su proceso de estimacion. Puesto quecada medida lineal tiene un error de ±0, 2 cm, se pueden estimar este error delvolumen en δV0 = ±0, 6 L. Los errores δ(∆t) y δ(∆P ) se calculan a partir dela dispersion de ambas medidas en la tanda de 1 s. La constante R = 8, 3145J mol−1 K−1 se toma como exacta.

Referencias

[1] K. Raznjevic, Tables et Diagrammes Thermodynamiques, Editions Eyrolles,paris (1970)

[2] D. L. Livesey, Apparatus for measuring the specific heat of a gas, Am. J.Phys. 33, 18-19 (1965).

[3] K Weltner, Measurement of specific heat capacity of air, Am. J. Phys. 61,661-662 (1993)

[4] S. Velasco, F. L. Roman, J. Faro, A simple experiment for measuring theadiabatic coefficient of air, Am. J. Phys. 66, 642–643 (1998).

[5] G. Henry, A simple form of the Clement and Desormes apparatus, Am. J.Phys. 12, 307 (1944)

[6] O. L. de Lange, Measurement of bulk moduli and ratio of specific heats ofgases using a Ruchardt’s experiment, Am. J. Phys. 68, 265 (2000).

[7] V. Thomsen, Response time of a thermometer, The Physics Teacher 36(1998) 540

[8] G. D. Severn and T. Steffensen , A simple extension of Ru chardt’s methodfor measuring the ratio of specific heats of air using microcomputer-basedlaboratory sensors, Am. J. Phys 69, 387-389 (2001)

[9] Giacomo Torzo, Giorgio Delfitto, Barbara Pecori, Pietro Scatturin, A newmicrocomputer-based laboratory version of the Ruchardt experiment formeasuring the ratio γ = Cp/Cv in air, Am. J. Phys 69, 1205-1211 (2001)

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