CAPTULO 02:

DENSIDAD ESPECTRAL, CORRELACIN Y RUIDO

POTENCIA DE UNA FUNCIN PERIDICA

Sea f(t) una funcin peridica ya sea una seal de corriente o tensin. Luego, la potencia de

esta seal sobre una resistencia de 1 ser:

2

2

2

2

2 0)(1

)(1

T

T

n

tjn

n

T

T dteCtfT

dttfT

P

n

nn CCP (2.1)

pero nn CC*

por lo tanto:

n

nnCCP*

n

nCP2

Teorema de Parseval (2.2)

Si se desea conocer la potencia de la armnica n, se debe tomar en cuenta tanto n como n,

pues se est considerando el mdulo de nC , por lo tanto, la potencia de la armnica n est dado por:

2

2 nn CP (2.3)

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGA (para seales de energa)

Sea f(t) una seal no peridica, entonces la energa de esta seal, ser:

dtdetfdttfE tj

)(F2

1)()(2

dddtetfE tj )(F)(F2

1)()(F

2

1

pero:

dE )(F)(F

2

1 )(F)(F ** (2.4)

ddttfE

22)(F

2

1 Teorema de Parseval (2.43)

La integral que se encuentra a la izquierda de la ecuacin es la energa de f(t) a travs de una

resistencia de un ohm. Por lo que, la cantidad 2

)(F que aparece en la ecuacin 2.1, es la energa

por unidad de frecuencia o densidad espectral de energa normalizada a una resistencia de un ohm.

Debido a que 22

)(F)(F la densidad espectral de energa es una funcin real y par

en , por lo tanto:

0

2)(F

1

dE (2.5)

Se tena que:

dttfE )(2

Luego, el concepto de energa de la seal es significativo slo si esa integral es finita. Sin

embargo, con ondas peridicas, por ejemplo la integral, es infinita. En tales casos se considera la

potencia media de la seal.

Se define, entonces, densidad espectral de energa como:

Hz

Joule2)(F)(S (2.6)

entonces:

dE

0

)(S1

(2.7)

De la ecuacin 2.5, se deduce que el espectro de densidad de energa de una seal contiene

solamente la informacin de magnitud del espectro de frecuencia )(F , y pierde la informacin de

fase. Se infiere que todas las seales con espectro de magnitud iguales y diferentes funciones de

fase tendrn idnticos espectros de densidad de energa. De esta manera, una seal dada tendr slo

un espectro de densidad de energa, sin embargo, lo recproco no es verdad, ya que puede existir un

nmero infinito de seales que tienen el mismo espectro de densidad de energa.

Si se deseara obtener la energa de una banda limitada, entonces:

2

1

)(S1

dE (2.8)

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

A las seales, como las seales peridicas, que tienen energa infinita aun cuando su

promedio en el tiempo es finito se les conoce como seales de potencia.

Se define la potencia promedio de una seal f(t) como el promedio de la potencia disipada

por una resistencia de 1 ohm al aplicarse un voltaje f(t) (o al circular la corriente f(t) por dicha

resistencia).

Entonces, la potencia promedio P de la seal f(t) est dada por:

)()(1 22

2

2tfdttf

TlmP

T

TT

(2.9)

Para una seal peridica, cada perodo contiene una rplica de la funcin, y la operacin de

llevar al lmite la ecuacin 2.9, se puede omitir siempre que T se tome como el perodo.

La potencia promedio definida en la ecuacin 2.9, es el valor cuadrtico medio de f(t),

definida como )(2 tf .

Si se forma una nueva funcin )(tfT , tal que:

t

Tttf

tfT de valor otrocualquier para 0

2 )(

)(

Siempre y cuando que T sea finito, )(tfT tiene energa finita.

Sea TT Ftf )(

Entonces, la energa TE de )(tfT est dada por:

dfFdttfE TTT

22 )(

pero,

2

2

22 )()(T

TT dttfdttf

se aprecia que: )()( tflmtf TT

entonces, la potencia promedio P es:

df

T

Flmdttf

TlmP

T

T

T

TT

2

2

2

2 )(1

A medida que se incrementa T, la energa de )(tfT tambin se incrementa. Al suponer que

el lmite existe, entonces, se define, el espectro de densidad de potencia de f(t), como:

Hz

Watts

T

FlmS

T

Tf

2

(2.10)

fS se le conoce como la funcin densidad espectral de potencia, o simplemente

espectro de densidad de potencia de f(t).

Por lo tanto, la Potencia media:

dS

dfS

dttfT

lmtfP

f

f

T

TT

2

1

)(

)(1

)( 2

2

22

(2.11)

Ntese que

TTT FFF2

De la ecuacin 2.10, se deduce que la densidad de potencia es funcin par de . Luego, se puede expresar como:

dS

dfStf

f

f

0

0

2

1

)(2)(promedio Potencia

CORRELACIN

Anteriormente, se ha estudiado la funcin densidad espectral de potencia. Ahora, se

estudiar la correlacin como alternativa equivalente en el dominio del tiempo para encontrar la

densidad espectral de potencia

La correlacin es una medida cuantitativa de la similitud entre dos ondas.

Supngase que se satisface la definicin de densidad espectral de potencia,

T

FlmS

T

T

2

)(

. (2.23)

La Transformada inversa de Fourier correspondiente a la ecuacin 2.23, es:

de

T

FlmSF j

T

T

2

1

2

1 (2.24)

Obsrvese, que se ha agregado una nueva variable, , en la ecuacin 2.24, ya que la

variable t, ya se us en la definicin de TF por la misma razn se usar tambin .1t . Si se intercambia el orden de las operaciones, tenemos que:

2

2

2

2

11

*

*1

1)()(2

1

)()(2

1)(

T

T

T

T

jtjtj

T

j

TTT

f

dedtetfdtetfT

lm

deFFT

lmSF

(2.25)

2

2

2

2

1

)(

1

*1 1

2

1)()(

1)]([

T

T

T

T

ttj

Tf dtdtdetftf

TlmSF

(2.26)

La integracin sobre entre barras de la ecuacin 2.23, se reconoce ahora como

)( 1 tt , as que:

2

2

*

2

2

2

2

111

*1

)()(1

)()()(1

)]([

T

TT

T

T

T

TT

f

dttftfT

lm

dtdttttftfT

lmSF

(2.27)

En esta ecuacin se describen las operaciones en el dominio del tiempo correspondientes a

la determinacin de )(fS . La transformada inversa de Fourier de la densidad espectral de potencia

)(fS se llama funcin de autocorrelacin de f(t), designada como )(fR . Entonces, el resultado

buscado puede escribirse como:

2

2

* )()(1

)(

T

TT

f dttftfT

lmR . (2.28)

Ahora, si se toma la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuacin 2.27, y utilizando

la ecuacin 2.28, se tiene:

)]([)( ff RFS . (2.29)

El clculo de la funcin de autocorrelacin )(tR f resulta ser similar a la convolucin de f(-t)

con f(t), para seales de valor real.

La funcin de autocorrelacin es muy til en el anlisis de seales, ya que permite la

deteccin o reconocimiento de seales enmascaradas por ruido agregado. Tambin se encuentra la

correlacin cruzada.

Supngase que se tienen dos seales f(t) y g(t), se define la correlacin media cruzada de

)(fgR como:

2

2

* )()(1

)(

T

TT

fg dttgtfT

lmR . (2.30)

Las funciones de correlacin proporcionan medidas de la semejanza de una seal f(t) con ella

misma(en el caso de autocorrelacin) o con otra seal(para el caso de correlacin cruzada)

comparadas con un desplazamiento relativo . Para seales no semejantes el mximo de la funcin

de correlacin es un indicador de cun bueno es el ajuste entre ambas seales.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE CORRELACIN

Simetra:

Examinando la funcin de correlacin para argumentos negativos, se tiene:

dttftfT

lmR

T

TT

f

2

2

* )()(1

)( ,

2

2

* )()(1

)(

T

TT

f dftfT

lmR ,

)()(* ff RR . (2.31)

Por lo tanto, la parte real de )(fR es una funcin par; y si f(t) tiene valor real,

entonces ).()(* ff SS

Valor cuadrtico medio:

La funcin de autocorrelacin )(fR evaluada en 0 es igual al valor

cuadrtico medio de la seal f(t) (potencia media).

2

2

* )()(1

)0(

T

TT

f dttftfT

lmR ,

)()0( 2 tfR f . (2.32)

Periodicidad:

Si f(t+T)=f(t) para todo t, entonces:

)()( ff RTR para todo . (2.33)

La demostracin se efecta fcilmente realizando las integrales y aplicando la definicin de

periodicidad.

Valor promedio:

Si f(t) y g(t) estn correlacionadas

21mmRR xgfg

Si f(t) se representa por medio de una funcin x(t) con un valor promedio cero ms un valor

promedio representado por 1m , y de manera semejante se representa g(t) como una funcin de y(t)

con valor promedio cero, ms un valor promedio 2m , las ecuaciones pueden escribirse como:

1)()( mtxtf ,

2)()( mtytg .

La correlacin cruzada de f(t) y g(t) es:

2

2

21

* ])(][)([1

)(

T

TT

fg dtmtymtxT

lmR .

Observando que los valores promedios de x(t) y y(t) son cero por definicin, se tiene:

2

2

21

* )()(1

)(

T

TT

fg mmdttytxT

lmR .

El valor promedio de la funcin de correlacin cruzada es:

2

2

2

2

21

* )()(11

)(

T

T

T

TTT

fg mmdtdtytxT

lmT

lmR .

Intercambiando el orden de integracin, se tiene:

2

2

2

2

21

* )(1

)(1

)(

T

T

T

TTT

fg mmdtdtyT

lmtxT

lmR .

Debido a que )( ty es cero, se obtiene el resultado:

21)( mmR fg . (2.34)

por lo tanto, x(t) e y(t) no estn correlacionadas.

Luego, el valor promedio de la correlacin cruzada de las funciones f(t) y g(t) es igual al

producto de sus valores promedio. Si el valor promedio de cualquier funcin es cero, entonces el valor

promedio de su correlacin cruzada es cero. El caso para autocorrelacin se obtiene de inmediato de

este resultado.

Valor mximo:

Se puede demostrar que )()0( xx RR para todo , tomando la magnitud al cuadrado de

la funcin de autocorrelacin y usando la desigualdad de Schwarz. As que:

)0()0(

)(1

)(1

)()(1 2

2

2

2

22

2

2

2

*

ff

T

T

T

TTT

T

TT

RR

dttfT

lmdttfT

lmdttftfT

lm

Tomando la raz cuadrada de ambos miembros de este resultado, se tiene:

)0()( ff RR . (2.35)

Por consiguiente, la funcin de autocorrelacin )(fR est acotada por el valor cuadrtico

medio de la seal f(t). Para una seal peridica, la igualdad de la ecuacin 2.35 es vlida para

mltiplos del periodo a partir del origen. Para f(t) no peridica, )(fR es estrictamente menor que

)0(fR para todo 0 .

Aditividad:

Si se suman dos seales, la funcin de autocorrelacin de la suma puede o no ser la suma de

sus respectivas funciones de autocorrelacin. Para investigarlo, escribimos z(t)=x(t)+y(t). La funcin de

autocorrelacin para la suma de las seales x(t) y y(t) es:

2

2

** )]()()][()([1

)(

T

TT

z dttytxtytxT

lmR ,

)()()()()( yxxyyxz RRRRR . (2.36)

Se concluye que slo si las funciones de correlacin cruzada son nulas, es decir, si

0)()( yxxy RR , se puede escribir:

)()()( yxz RRR . (2.37)

Para la condicin 0)( xyR para toda , decimos que x(t) y y(t) no estn correlacionadas.

Ms an, se puede demostrar que )()(*

xyyx RR de modo que si 0)( xyR , entonces

0)( yxR . Obsrvese que si x(t) y y(t) son ortogonales, entonces no estn correlacionadas.

Adems, si x(t) y y(t) son estadsticamente independientes tampoco estn correlacionadas.

Como la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la funcin de

autocorrelacin, nuestra conclusin es que si dos seales x(t) y y(t) no estn correlacionadas,

entonces sus densidades espectrales de potencia son aditivas. En otras palabras, la potencia

promedio de la suma de dos seales es la suma de la potencia promedio de las dos seales slo si

stas no estn correlacionadas. Cuando la funcin de correlacin cruzada no es nula, las seales se

deben sumar primero y despus se podr determinar la potencia o, de manera equivalente, se

debern tomar en cuenta las correlaciones cruzadas de la ecuacin 2.36.

FUNCIONES DE CORRELACIN PARA SEALES DE ENERGA FINITA

El concepto de correlacin se puede extender para seales de energa finita. Se define la

funcin de autocorrelacin )(fr para una seal f(t) de energa finita como:

dttftfr f )()(* . (2.38)

De la misma manera, para seales f(t) y g(t), ambas de energa finita, la funcin de

correlacin cruzada )(fgr se define como:

dttgtfr fg )()(* . (2.39)

Se puede observar que, para funciones de valor real, estas operaciones son las mismas que

para la convolucin, excepto que la segunda funcin no se invierte.

La transformada de Fourier de la ecuacin 2.38 es:

ddtetftfrF jf )()(* . (2.40)

Intercambiando el orden de la ecuacin 2.40, se tiene:

dtdetftfrF jf )()(* . (2.41)

El uso de la propiedad de retardo de la transformada de Fourier en el miembro derecho de la

ecuacin 2.41 da:

2* )()()( FdteFtf tj . (2.42)

Combinando las ecuaciones 2.41 y 2.42, se obtiene:

2)()( FrF f . (2.43)

Al reconocer el segundo miembro de la ecuacin 2.43, como la densidad espectral de energa de f(t),

se concluye que la densidad espectral de energa es la transformada de Fourier de la funcin de

autocorrelacin para seales de energa finita.

RUIDO

El concepto de densidad espectral de potencia permite manipular algunos de los efectos

promedio de las fluctuaciones al azar que se presentan en los procesos fsicos. Estas fluctuaciones,

de corriente o tensin, enmascaran las seales transmitidas y comnmente se les denomina ruido. En

trminos generales, el ruido consiste en cualquier seal, aleatoria o determinstica, que interfiera con

la reproduccin fiel de una seal deseada en un sistema. Estas seales indeseables provienen de

diversas fuentes y pueden clasificarse en artificiales o naturales.

Interferencia artificial(ruido), incluyen la captacin electromagntica de otras seales, filtrado

inadecuado, trminos alias provenientes de mala seleccin del muestreo, vibraciones mecnicas que

provocan disturbios elctricos, etc. Las fuentes de ruido artificiales tienen la propiedad de que

pueden ser eliminadas o al menos minimizarse.

Interferencias de origen natural, no son controlables de manera tan directa y sus caractersticas

pueden describirse en forma estadstica. Existen casos en que las fluctuaciones son muy errticas y

no pueden ser descritas en forma analtica(tal es el caso de las tormentas elctricas). En otros casos,

la potencia promedio en el tiempo puede permanecer relativamente constante y ,sobre esto, puede

realizarse un tratamiento significativo. En este ltimo caso, el concepto de densidad espectral de

potencia es til y permite tratar los efectos del ruido sobre la base de una potencia promedio.

Supngase que n(t) es un ruido de tensin o corriente, se definen los siguientes promedios de

n(t).

1.- Valor medio, )(tn :

2

2

)(1

)(T

TT

dttnT

lmtn . (2.12)

el parmetro )(tn se suele llamar valor de cc, o promedio, de n(t). El intervalo de tiempo T de la

ecuacin 2.12, puede ser finito para una buena estimacin de )(tn si es lo bastante grande como

para suavizar en forma adecuada las fluctuaciones de n(t).

2.- Valor cuadrtico medio, )(2 tn :

2

2

22 )(1

)(T

TT

dttnT

lmtn . (2.13)

la raz cuadrada de )(2 tn , llamada valor de raz cuadrtica media de n(t), tiene la ventaja de que las

unidades de )(2 tn son iguales a las de n(t). Aparte del factor de escala de la resistencia, la

ecuacin 2.13, entrega la potencia promedio en el tiempo de n(t). Esto tambin se relaciona con la

integral de la densidad espectral de potencia, )(nS .

3.- Componente de ca, )(t :

)()()( tntnt

. (2.14)

El componente de ca, o fluctuacin, de n(t) es el que queda despus de suprimir el valor medio )(tn .

Sustituyendo la ecuacin 2.14 en la 2.13, se obtiene:

2

2

22 )()(1

)(T

TT

dtttnT

lmtn

2

2

22

2

22 )(1

)(1

)(T

TT

T

TT

dttT

lmdttnT

lmtn . (2.15)

En la ecuacin 2.15, se hace uso del hecho de que )(tn es constante y que la media de )(t

es cero por definicin. El trmino de la izquierda es la potencia promediada en el tiempo de n(t) a

travs de una resistencia de un ohm. El primer trmino de la derecha de la ecuacin 2.15, es la

potencia de cc y el segundo, la potencia de ca de n(t). Se debe notar que el valor de la raz cuadrtica

media de n(t) es igual a la de )(t slo si el valor medio )(tn es cero.

Razn seal a ruido

La relacin seal a ruido(S/N), es una relacin matemtica sencilla del nivel de la seal con

respecto al nivel del ruido en un punto dado del circuito, amplificador o sistema. Como el ruido vara

en forma impredecible de un instante a otro, es preferible analizar sobre la base de una potencia

promedio de ruido. La relacin de seal a ruido puede expresarse como una relacin de voltaje y una

relacin de potencia. Luego, la razn S/N, es:

)(

)(2

2

tn

ts

N

S . (2.16)

22

ruido del voltaje

seal la de voltaje

n

s

V

V

N

S, como una relacin de voltaje.

n

s

P

P

N

S

ruido del potencia

seal la de potencia, como una relacin de potencia.

Frecuentemente, la relacin de seal a ruido se expresa como una funcin logartmica con la

unidad de decibel.

Para las relaciones de voltaje, n

s

V

VdB

N

Slog20)( .

Para las relaciones de potencia, n

s

P

PdB

N

Slog10)( .

Se supone que tanto la seal como el ruido promediado se miden en el mismo punto.

La relacin seal a ruido probablemente sea el parmetro mas importante y frecuentemente

usado para evaluar el funcionamiento de un sistema completo de comunicaciones de radio o para

comparar el funcionamiento de un amplificador o sistema con otro. El funcionamiento del sistema

depender directamente de la relacin seal a ruido, de esta forma entre ms alta sea esta relacin,

mejor ser el funcionamiento del sistema. Entonces, de la relacin seal a ruido, se puede determinar

la calidad general del sistema.

Ruido trmico

El ruido trmico est asociado al movimiento aleatorio de los electrones dentro de un

conductor. De acuerdo con la teora cintica de la materia, los electrones dentro de un conductor

estn en equilibrio trmico con las molculas y en constante movimiento aleatorio. Por lo tanto, el

ruido trmico es el movimiento aleatorio de los electrones libres dentro de un conductor, causado por

la agitacin trmica.

La ley de equiparticin de Boltzmann y Maxwell combinado con el trabajo de Johnson, y

Nyquist establece que la potencia del ruido trmico disponible dentro de una fuente para un ancho de

banda de 1 Hz( watts por hertz) es la densidad espectral de potencia para ruido blanco generada en

una resistencia, la cual se representa matemticamente como:

Hz

WattsSN

20

y KT4 (2.17)

donde

K) 290 C17ambiente ra(temperatu (kelvin) absoluta atemperatur

)/10*1.38Boltzmann( de constante

hertz)por tsblanco(wat ruido el para potencia de espectral densidadFuncin

23-

0

T

KJK

SN

La potencia media de ruido generada en una resistencia es:

KTBWBPn 4

donde

B=ancho de banda en Hz.

De esta potencia de ruido generada, la mxima transferencia ocurre cuando el sistema est

aceptado a esa resistencia que genera al ruido, o sea cuando la tensin transferida es la mitad de la

tensin en circuito abierto, y esta potencia transferida mxima o potencia disponible (available) es un

cuarto de la generada.

KTBPa

Por lo tanto, a la temperatura ambiente con un ancho de banda de 1 Hz, la densidad de

potencia de ruido disponible es:

Hz

W

KK

JSN

21

23

10*4

290*10*38.10

y la potencia media expresada en dBm:

dBm

KTBBPn

174

001.0

1*10*4log10

001.0log10

001.0log10

21

KTBNPa (2.18)

Donde:

rtz)sistema(he o odispositiv del banda de ancho

hertz)por sruido(watt de potencia de densidad la

(watts) banda de ancho elen ruido del totalpotencia la

0

B

KTS

BN

N

y expresada en dBm:

001.0log10)(

KTBdBmN

Ancho de banda equivalente de ruido

Es conveniente definir el ancho de banda equivalente de ruido, NB , de un circuito elctrico.

Este ancho de banda, NB , es el de un filtro ideal que da la misma potencia de ruido a la salida que el

sistema real. El ancho de banda equivalente para ruido blanco puede determinarse de la siguiente

manera:

Un sistema con funcin de transferencia )(H y espectro de densidad de potencia de ruido

de entrada 2/ . La potencia media de ruido a la salida es:

dHSN i

2

0 )()(2

1.

Luego, la tensin cuadrtica media de salida )(20 tv , a travs de una resistencia de un ohm

es:

0

2

22

00

)(2

)(22

1)(

dH

dHtvN

(2.19)

La integral definida en esta ecuacin es constante para una funcin respuesta de frecuencia

de un sistema dado, )(H . Al definir un ancho de banda equivalente de ruido NB tal que la

densidad espectral de potencia en la salida del filtro sea constante en NB y cero en otro lugar se

forma una densidad espectral rectangular equivalente; adems, el rea bajo esta densidad espectral

rectangular es igual al rea de la densidad espectral en la salida del filtro.

Designando la frecuencia central del sistema como 0 ( 00 para un sistema pasa bajo),

la ganancia de tensin en el centro de banda del sistema es 2

0H y se puede escribir como:

pasabajofiltroparaBHtvN

dHtvN

N

B

B

N

N

22

00

2

2

22

00

)0( )(

)(22

1)(

(2.20)

de igual manera, para un filtro pasa banda, se tiene:

N

B

B

BHtvN

dHtvNN

N

2

0

2

00

22

22

22

00

)( )(

)(22

1*2)(

0

0

finalmente, se tiene que:

2

0

0

2

)(

)(

2

1

H

dHBN

(2.21)

Esta definicin del ancho de banda equivalente de ruido NB permite analizar sistemas

lineales prcticos por medio de sus equivalentes idealizados.

Factor de ruido F

El factor de ruido es un ndice que indica la degradacin en la relacin seal a ruido conforme

la seal se propaga por un sistema. El factor de ruido es la razn de la relacin seal a ruido de

entrada y la relacin seal a ruido de salida, considerando como ruido de entrada la producida a una

temperatura de 290K, es decir 290*Ni KBN . Matemticamente, este factor se escribe como:

salida de ruido a sealrelacin

entrada de ruido a sealrelacin F ,

o bien,

1

0

N

S

N

S

F i (2.22)

En un sistema ideal no ruidoso, la figura de ruido, F=1.

Donde:

.290 a por producido trmicoruido de potencia

entrada de seal la de media potencia

sistema del ganancia

sistema elpor producido ruido de media potencia

TRN

S

G

N

i

i

S

En un canal de comunicacin ocurre una gran atenuacin, denotado por:

GL

1

para revertir este problema, en el receptor existen varias etapas amplificadoras de alta ganancia que:

- amplifican la seal y el ruido que acompaa la seal,

- adiciona el propio ruido generado por l.

Cuando dos o ms amplificadores o dispositivos estn en cascada, el total del factor de ruido

es la acumulacin de los factores de ruido individuales. Luego, matemticamente se tiene:

12121

3

1

21

..

1....

11

n

nT

GGG

F

GG

F

G

FFF (2.23)

donde,

1or amplificad del ganancia

2or amplificad del potenciaen ganancia

1or amplificad del potenciaen ganancia

or amplificad para ruido defactor

2or amplificad ruido defactor

1or amplificad ruido defactor

oresamplificad para totalruido defactor

1

2

1

2

1

nG

G

G

nF

F

F

nF

n

n

T

La temperatura equivalente de ruido, es la temperatura de una resistencia a la entrada que

producida el mismo ruido a la salida que agregado por el sistema.

La relacin que existe entre la temperatura equivalente y la figura de ruido se calcula de la

siguiente manera:

Tomando la figura de ruido en veces y la temperatura equivalente en k se tiene,

GNeqNN i 0 donde

G

NKBTeNeq

KBTN

S

ii

ii

S

i

Si

i

ii

N

Neq

GN

N

N

NGN

GN

N

S

S

N

S

N

S

F

1110

0

0

ii

iT

Te

N

NeqFNFNeq 11

kFTeT

TeF

i

29011 (2.24)

Tambin, se puede obtener la temperatura equivalente de ruido, Te de n etapas, en funcin

de las temperaturas equivalentes de cada una.

12121

3

1

21

......

n

n

GGG

Te

GG

Te

G

TeTeTe (2.25)

considerando 1iG se aprecia que es la primera etapa la que ms contribuye al ruido a la salida,

por lo tanto, sta deber elegirse con bajo factor de ruido.

Representacin temporal del ruido pasa banda

En el proceso de transmisin, las seales resultan afectadas por ruido de banda

ancha(generalmente ruido blanco). El primer paso, en el receptor, es filtrar la seal de entrada de

cualquier ruido contenido fuera de la banda de seal til. La seal que nos interesa se encuentra a la

salida de este filtro pasa banda ms el ruido dentro de esta banda.

Si se considera un ruido pasa banda n(t) con espectro de densidad de potencia ),(nS como

se muestra en la figura 2.5. Una seal aleatoria de ruido pasa banda n(t) se puede expresar como:

)(cos)(

)(cos)()(

tttN

tsentnttntn

c

cscc

con

)(

)()(

)()()(

2

2

22

tn

tnarctgt

tntntN

c

s

sc

donde )(y )( tntn sc son seales de baja frecuencia de banda limitada a m radianes por segundos,

siendo las potencias(valores cuadrticos medios) de )(y )(),( tntntn sc iguales; es decir:

)()()( 222 tntntn sc