Capitulo 04 Fracciones

8/14/2019 Capitulo 04 Fracciones

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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI Siempre los primeros, dejandohuella

La fraccin a ! es un en"e ma"em#"ico$ue puede definirse como una parejaordenada de n%meros en"eros $ueresuel&e la ecuacin !'( a , donde ! ) '

Notacin

Donde*+a - !

! )

A los ".rminos de una fraccin se lesconocen como*

NOTA: /or la no"acin - la in"erpre"acin $ue seda a una fraccin, muchos "e("os definenuna fraccin como*Fraccin es el cociente indicado de dosnmeros enteros, cuyo divisor es distintode cero.

CLASIFICACIN DE LAS FRACCIONES

Fracciones Propias:

Son a$uellas fracciones en las cuales elnumerador es menor $ue eldenominador'

Ejemplo:0 1 12 13 , , ,

1) 4 15 013 Las fracciones propias son menores

$ue la unidad' La in"erpre"acin de es"e "ipo de

fracciones es una relacin en"re lapar"e - el "odo en la $ue se inclu-eesa par"e'

/ar"e 6raccin Todo

/odemos usar 7r#ficos para represen"ares"e "ipo de fracciones' En cada ejemplo$ue damos a con"inuacin,de"erminaremos la fraccin $uerepresen"a la seccin som!readarespec"o de la fi7ura "o"al'

Ejemplo:

Cada cuadrado represen"a 13

del

"o"al' La par"e som!reada, e(presada en

fraccin represen"a los 23

del "o"al'

Ejemplo:

Cada seccin represen"a 18

del#rea "o"al'

La seccin som!reada represen"a los08

del #rea "o"al'

Ejemplo:

999'an"orai'com'pe 4

NumeradorDenominador

a!

a6raccin*!

El "odo* :3 cu!i"os ;i7uales2 2

:) 5 =>3 3

1? 1 =>: :

0

:

?

RA@ONAMIENTO MATEM TICO COM/ENDIO ACADBMICO1

Cada cu!i"o represen"a 1:3

del

&olumen "o"al' Los cu!i"os som!reados represen"an

los ::3 del &olumen "o"al'

Fracciones Impropias :Se dice de a$uellas fracciones en las$ue el numerador es ma-or $ue eldenominador'Ejemplo:

13 8 12 :28 , , ,2 3 0 13

Toda fraccin impropia es ma-or $uela unidad'

Es"as fracciones slo pueden adop"aruna in"erpre"acin como e(presinde una medida'

Cnidades consideradas 6raccin/a"rn de medida

En el ejemplo $ue damos a con"inuacinde"erminaremos la fraccin $uerepresen"a la seccin som!readarespec"o de una de las fi7uras $ue se"oma como unidad de medida'

Ejemplo:

La fraccin $ue represen"a el #rea

som!reada es 1)3 respec"o de la

fi7ura "omada como pa"rn demedida'

N!mero "i#toEs una forma de represen"aruna fraccin impropia'

Ejemplos:

NOTA:

Como leer $n n!mero mi#to

10

3 Se lee: Sie"e en"erosun $uin"o

:2

13 Se lee: Diecisie"een"eros dos "ercios

13

0 Se lee: Cinco en"erosun s.p"imo

El n%mero mi("o es la composicinde un n%mero en"ero - una fraccinpropia, es por es"o, $ue se puederepresen"ar como*

c a!

=c%

a

Ejemplo:: :02 20 =

Trans&ormar$na &raccin impropia

a n!mero mi#to

Ejemplo:

Transformemos 150

a n%mero

mi("oSe 'i(i'e Representacin

1

0 )

999'an"orai'com'pe4*

nidades a considerar 1) cuadros

3 cuadros;i7ualesC>"> DE FRACCIONES

El ">C>D> de &arias fracciones es i7ual alM'C'D' de los numeradores en"re el M'C'M'

de los denominadores'Ejemplo: allar el M'C'D' de 0 10 -

2: 11


P

5 3 8 :043

1)))

N%mero decimal sin la coma

Tan"os ceros como cifras"en7a en la par"e decimal


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M'C'D';0 10 de &arias fracciones es i7ual alM'C'M' de los numeradores en"re el M'C'D'de los denominadores'

Ejemplo: allar el M'C'M' de 0 10 -2: 11

M'C'M';0 10


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: :

: :a 23! 48

= : :a 23

! 48

De donde* a! =

23 48 Rpta>

Pro%lema 5QCu#l es la fraccin ordinaria $ue resul"a"riplicada si se a7re7a a sus dos ".rminossu denominador

a< 4?

!< 1?

c< 23

d< 10

e< 02

Sol$cin:

Sea a!

la fraccin, del enunciado $ue dice*

$esulta triplicada si se agrega a susdos t%rminos& su denominador ,"enemos*

a ! a 2! ! !

= Resol&iendo*

a ! 2a:! ! = a ! 5a=

1! 0a Iden"ificando &alores"enemos*

a 1 - ! 0Lue7o, la fraccin ori7inal es*

a! =

1 0 Rpta>

Pro%lema * 5Si a los ".rminos de una fraccin ordinariairreduci!le, se le suma el cu#druple deldenominador - al resul"ado se le res"a lafraccin, resul"a la misma fraccin' QCu#les la fraccin ori7inal

a< 4?

!< 1?

c< 23

d< 10

e< 02

Sol$cin:

Sea a!

la fraccin, del enunciado

plan"emos la si7uien"e ecuacin*a 4! a a ! 4! ! !

=

Resol&iendo*

a 4! a:0! ! = a 4! 1)a=

4! ?a Iden"ificando &alores"enemos*

a 4 - ! ?

Lue7o, la fraccin ori7inal es*

a! =

4 ? Rpta>

Pro%lema 0 5allar una fraccin "al $ue si se le a7re7a

su cu!o, la suma $ue resul"a es i7ual alcu!o de la misma fraccin mul"iplicada por

1124? '

a< 53

!< 38

c< 8?

d< ?1)

e< 1)11

Sol$cin:Sea f la fraccin pedida, del enunciado

podemos plan"ear*2 2 112 f f f

4?=

Resol&iendo*2 24?f 4?f 112f = 24?f 54f

:4? f 54 =

f =3 8 Rpta>

Pro%lema 1 5

allar una fraccin e$ui&alen"e a :0

, "al

$ue la suma de los cuadrados de sus".rminos sea 1 )44'

a< ::00

!< 8:)

c< 1):0

d< 1:2)

e< 1420

Sol$cin:

Sea la fraccin e$ui&alen"e* :H0H

De la condicin del pro!lema, "enemos*

: :

:H 0H 1 )44=Resol&iendo*

: :4H :0H 1)44= ::?H 1)44999'an"orai'com'pe )


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:H 25 H 5/or lo "an"o*

La fraccin pedida es*:;5

Pro%lema 5) 5

na piscina es"# llena has"a sus 2 0par"es, si de dicha piscina se sacaran :)))L, $uedarGa reducida a sus 4 3 par"es'QCu#n"os li"ros fal"an para llenar lapiscinaa< :8 ))) !< 24 ))) c< 10 )))d< :) ))) e< 1) )))Sol$cin:Sea V la capacidad en li"ros de la piscina

Del enunciado - deduciendo median"e el

7r#fico, "enemos* 2 4V V : )))0 3 =Resol&iendo*

:1V :)V : )))20 = V 3) )))

La capacidad de la piscina es* 3) ))) li"ros

6al"a para llenar los:

V0 *

: 3) )))0

= 8 ))) Rpta>

Pro%lema 54 5

Ten7o un &aso lleno de &ino, !e!o la se("apar"e, lue7o !e!o 1 4 de lo $ue $ueda'Q u. fraccin de lo $ue $ueda de!o &ol&era !e!er para $ue so!ren los 2 8 del &aso

a< 10

!< :0

c< 20

d< 13

e< 0:

Sol$cin:Sea V la capacidad del &aso lleno de&ino

Veamos cu#n"o me $ueda despu.s de!e!er por se7unda &eJ'

Como, al final so!ra en el &aso los* 2 V8

uiere decir, $ue he !e!ido*0 2 :V V V8 8 8=Se pide la fraccin de lo $ue $ueda $ue eslo $ue he !e!ido' Es decir*

he !e!ido 6raccinde lo $ue $ueda

AsG,

: V86raccin 0 V8

= = : 0 Rpta>

Pro%lema 5 5

Lolo repar"e su for"una en"re sus 4 hijos, alma-or le da la mi"ad, al se7undo le da 1 2del res"o, al "ercero le da 1 4 de lo $ue$ueda' Si el %l"imo reci!i S ' 5)), Qcu#n"oreci!i el se7undoa< S ' :)) !< S ' 4)) c< S ' 0))d< S ' 1)) e< S ' 18)Sol$cin:Sea 6 la for"una a repar"ir'

Lo $ue le "oca al cuar"o hijo es*1 6 5))4 =

Lue7o, la for"una es* 6 : 4))

El se7undo reci!e*1 1 : 4))2 :

= S ' 4)) Rpta>

Pro%lema 5* 5n ju7ador en el 1er' jue7o pierde 1 2 de

su dinero, en el :do' pierde 1 4 del res"o -en el 2er' pierde 1 0 del nue&o res"o si alfinal se $ued con S ' :)), Qcon cu#n"oempeJ a ju7ara< S ' :)) !< S ' 4)) c< S ' 2))d< S ' 1)) e< S ' 0))

Sol$cin:

Sea M el dinero $ue "iene al inicio del jue7o'

999'an"orai'com'pe

:6al"an* V0

@666 litros2 V04 V

3

V

1ra' &eJ :da' &eJ

1 1Xe!e*5 4

0 2 0 Vueda* V F5 4 8

Tueda en el &aso

Despu.s derepar"ir

al 2er' hijole $ueda*

1er' hijo :do' hijo 2er' hijo

1 1 1Repar"e*: 2 4

1 : 2 16 6Tueda* F: 2 4 4

Despue. deperder en el 2er' jue7o le $ueda*

1er' jue7o :do' jue7o 2er' jue7o

1 1 1/ierde*2 4 0

: 2 4 :M MTueda* F2 4 0 0


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PROBLE"A PROBLE"A


Como al final se $ued con S ' :)), esdecir*

: M :))0 =

Lue7o, empeJ a ju7ar con* M = S ' 0))Rpta>

Pro%lema 50 5na "ela pierde al ser la&ada : ? de su

lar7o - 1 0 de su ancho' Cu#n"os me"rosde "ela de!encomprarse para o!"enerdespu.s de la&arla ::4 :m , si el ancho dela "ela ori7inal era de 1) m'a< :5 !< 2) c

Pro%lema 51 5Se "ienen 10 !o"ellas llenas de 7aseosacada una con capacidad de 4 2 de li"ro' Sise derraman los 2 0 de las 10 !o"ellas,Qcu#n"os li"ros $uedana< 8 !< 5 c< 4d< 0 e< 3Sol$cin:K La can"idad de 7aseosa $ue se "iene en

las 10 !o"ellas es*4

10' L :)L2 =

K Si se derraman los 20

de las 10 !o"ellas,

$uedan los :0

de :) L, en"onces

$uedar#n* : :) L

0 = 8 Rpta>

=RENDI"IENTOS

Pro%lema 5 5Ana hace un "ra!ajo en 10 dGas - Mar- lo

hace en 2) dGas' QEn cu#n"o "iempo har#ndicho "ra!ajo jun"asa< 1) dGas !< 1: dGas c< 10 dGasd< :) dGas e< :0 dGas

999'an"orai'com'pe*

:::4 m ;


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Sol$cin:Si7amos los pasos an"eriores,homo7eneicemos los da"os*G En $n '3a H/$+ parte 'el tra%ajo

acenAna* 1

10 del "ra!ajo'

Mar-* 12)

del "ra!ajo

K En $n '3a am%as c icas ar,n 'eltra%ajo

1 110 2)

del "ra!ajo

Es decir,: 1 12) 1) = del "ra!ajo

K El tra%ajo completo lo ar,n: 1)1

dGas 1) dGas Rpta>

OTRO "JTODO

/ara es"e "ipo de pro!lema esrecomenda!le aplicar la si7uien"efrmula*

Z 1 : 2 n

/ 1 1 1 1 " " " " "

Don'e:P* /ar"e de la "area a desarrollar't * Tiempo $ue "ardan en hacer"oda la

"area' 5 @ ) nt t t K t * Tiempos $ue

demoran en hacer la "areaindi&idualmen"e'

Apli$uemos es"e m."odo en el ejercicioan"eriorDatos:/ F 1 ;es "odo el "ra!ajo< " Ana* 1" 10 dGasMar-* :" 2) dGas

ReemplaJamos es"os &alores en la frmula1 1 1" 10 2)

1 1" 1)

1)"1

= 1) dGas Rpta>

Pro%lema @ 5

na piscina puede ser llenada por un primercaYo en 0 horas - por un se7undo caYo en 8horas' En cu#n"as horas se llenar# el "an$uecomple"amen"e si -a posee a7ua has"a sus.p"ima par"e - funciona un "ercer caYo, elcual lo desa7[a comple"amen"e en 4 horas;los 2 caYos funcionan simul"#neamen"e

Pro%lema ) 5Dos 7rifos llenan jun"os un es"an$ue en 2)horas, si uno de los 7rifos fuera desa7[e,se "ardarGa en llenar el es"an$ue 5) horas'En cu#n"o "iempo uno de los 7rifos llenar#el es"an$ue, si .s"e es"# &acGo'a< 2) horas !< ?) horas c< 4)

horasd< 0) horas e< 40 horasSol$cin:Los 7rifos - los "iempos $ue se demoranen llenar el es"an$ue indi&idualmen"e son*1er' 7rifo* ( horas:do' 7rifo* - horas

Si am!os 7rifos llenan el es"an$ue*1 1 1( - 2)=



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PROBLE"A PROBLE"A


Si el :do' 7rifo fuera desa7[e*1 1 1( - 5)=

Resol&iendo*1 1( -

12)

1 1 ( -

1 5)

1 1 1 2:( 2) 5) 5)= =

: 2( 5)

(F4)

De la ecuacin ;II

En es"e "ema se de!e "ener en cuen"a $ueuna pelo"a, !ola o esfera cae so!re unasuperficie plana - los re!o"es se dan so!reun mismo pun"o'

Es"e 7r#fico lo represen"aremos de o"ramanera para su mejor en"endimien"o*

Se hace caer una pelo"a de pin7pon7 so!re una mesa desde cier"aal"ura, si se conoce $ue en cadare!o"e se ele&a : 0 de la al"uraan"erior' allar la al"ura inicial si seconoce $ue en el "ercer re!o"ealcanJ una al"ura de 15 cm'

Sol$cin :/ara su mejor en"endimien"o,cons"ruiremos un 7r#fico, &eamos*

* Al"ura de donde se deja caer lapelo"a de pin7 pon7

Se7%n el enunciado - o!ser&ando el7r#fico, "enemos*

1:h0

U ; I n recipien"e se llena con 5) li"ros de&ino' Se consume 1 2 del con"enido - se&uel&e a llenar con a7ua, lue7o seconsume : 0 del con"enido - se &uel&e allenar con a7ua' Q u. can"idad de a7uaha- en la meJcla final

a< 4) L !< :8 L c< 25 Ld< :4 L e< :) L

56> Si los 11 :) del &olumen de undepsi"o es"#n ocupados por cier"asus"ancia, para llenar el depsi"o senecesi"a S ' 04)' QCu#n"o cues"a 0 2 deli"ro de dicha sus"ancia, sa!iendo $ue lacapacidad del depsi"o es de 4)) li"rosa< S ' 10 !< S ' :) c En una !a"alla resul"aron muer"os la

&i7.sima par"e del n%mero de hom!res deun ej.rci"o, - heridos la docea&a par"e delmismo n%mero m#s 5)' Los $ue $uedaronilesos represen"an la mi"ad de los $ueen"raron en accin, m#s 8:)' QCu#n"oshom!res se conforma!an es"e ej.rci"oa< 4:)) !< 2))) c Los : 2 de los miem!ros de un clu!son mujeres - la cuar"a par"e de los&arones es"#n casados' Si ha- ? &arones

sol"eros, Qcu#n"as mujeres ha- en "o"ala< 25 !< :) c /ara realiJar una encues"a las horasde "ra!ajo se han dis"ri!uido de lasi7uien"e manera* 1 2 del "o"al parao!ser&ar, 1 4 del "o"al para "omar da"os,1 0 del "o"al para procesar los da"os,finalmen"e 50 horas para imprimir losresul"ados' QCu#n"as horas de "ra!ajo seu"iliJar#n en "o"ala< 2)) !< :4) c< :0)d< 25) e< 4:)5 > na camione"a car7ada "o"almen"econ arroJ pesa 02)) H7', pero si slo lle&alos 0 3 de su capacidad pesa los ? 0 de lacamione"a &acGa' allar el peso de lacamione"a &acGa, en "oneladas'a< 2,: !< : c< :,0d< 2 e< 1,0

5*> n 7a"o "repa has"a la copa de un#r!ol en 2 sal"os consecu"i&os, siendocada sal"o los 2 0 del sal"o an"erior' Si el"ercer sal"o con el $ue lle7a a la copa es40 cm, hallar la al"ura "o"al del #r!ol'a< 1)0 cm !< 20) cm c< :40 cm

999'an"orai'com'pe *5


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d< 30 cm e< :)0 cm

50> n conejo da : 1 2 sal"os porse7undo - "iene -a caminados :) 1 2sal"os en ese ins"an"e se suel"a un 7al7ode"r#s de .l' Es"e 7al7o da 2 1 : sal"os porse7undo' Calcular en $u. "iempoalcanJar# el 7al7o al conejo'a< 13 s !< 18 s c< 13 2 3sd< 18 : 3 s e< 15 : 0 s

51> n depsi"o es"# lleno de a7ua, sesaca la mi"ad - se llena con alcohol, laoperacin se realiJa dos &eces m#s' allarla relacin final en"re el a7ua - el alcohol'a< 1 3 !< 1 8 c< 2 3d< 4 3 e< : 0

5 > Sa!iendo $ue perdG : 2 de lo $ue noperdG, lue7o recupero 1 2 de lo $ue norecupero - "en7o en"onces 4: soles'QCu#n"o me $uedarGa lue7o de perder 1 5de lo $ue no lo7r. recuperara< S ' 25 !< S ' 2? c< S '4:d< S ' 48 e< S ' ?1

@6> Del si7uien"e he(#7ono re7ular' Q u.par"e represen"a la re7in som!reada

a< 12

!< :2

c< 1:

d< :0

e< 3?

@5> Q u. par"e de la re7in som!readarepresen"a la re7in no som!readaa< 1

4

!< 12

c< :2

d< 24

e< 1:

@@>En el rec"#n7ulo AXCD, $u. par"e dela fraccin $ue represen"a a la re7in

som!reada es la fraccin $ue represen"a ala re7in no som!reada'a< :

2

! n caYo A llena un "an$ue en :

horas - o"ro caYo X lo desaloja en 5horas, funcionando jun"os' QEn cu#n"ashoras se llenara el "an$uea< 4 !< 2 c< 5d< ? e< 0

@4> Ana puede hacer una o!ra en :) dGas- Xraulio lo podrGa hacer en 5) dGas' Si Ana- Xraulio "ra!ajan jun"os, Qen cu#n"os dGas"erminar#n la o!raa< 1) !< 1: c< 10d< ? e< 18

@ > n caYo llena un es"an$ue en 1:horas - una lla&e &acGa el mismo es"an$ueen 10 horas' QEn cuan"as horas se llenar#nlos : 2 del es"an$ue, si am!as lla&esempieJan a funcionar al mismo "iempoa< 4) !< 5) c< 2)d< :) e< 0)

@*> n 7rifo de a7ua puede llenar 1 0 del"an$ue en : horas 1 2 del "an$ue sepuede &aciar por un desa7[e en 4 horas'Si am!os se a!ren a la &eJ, la mi"ad del"an$ue se llenar# en*a< 2) h !< 1:) h c< 10 hd< 40 h e< 5) h@0> n caYo llena un "an$ue en cier"o"iempo - un desa7[e lo &acGa en la mi"adde "iempo' Si el "an$ue es"u&iera lleno ensus : 2 par"es - se a!rierasimul"#neamen"e caYo - desa7[e, se&aciarGa en 8h' QEn cu#n"o "iempo llenarGael "an$ue, si el caYo "ra!aj#ra soloa< 8 h !< 5 h c< 1:hd< ? h e< 11 h

@1> Dos o!reros pueden realiJar un"ra!ajo en 10 dGas' Si uno de ellos sedemora 15 dGas m#s $ue el o"ro"ra!ajando solo, Qen $u# "iempo harGa el"ra!ajo el o"ro, si "am!ien "ra!ajarGa solo

999'an"orai'com'pe*@

A

X C

D


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a< 4) d !< 15 d c< 20 dd< :4 d e< 18 d

@ > Tres 7rifos pro&een de a7ua a unes"an$ue, es"ando &acGo el es"an$ue el

primero - el se7undo funcionando jun"oslo llenan en 5 horas el se7undo - el"ercero lo harGan en 2 horas, el primero -el "ercero lo llenarGan jun"os en 4 horas'QEn cu#n"o "iempo se llenar# el es"an$uesi slo funciona el "ercer 7rifo, es"ando eldepsi"o inicialmen"e &acGoa< 2 h !< 2 h 28 m c< 4hd< 4 h 4) m e< 4 h 48 m

)6> /ara preparar un pa&o al horno, /a""-se demora una hora, Lelia dos horas -Lise"h "res horas' QCu#n"o "iempo "ardar#nlas "res personas jun"as, en preparar dos

pa&os - medioa< 8 11 h !< 1 : h c< 4?1 11 hd< 01 : 11 h e< 1 4 11 h

)5> e!er" es do!lemen"e &eloJ $ue ]uan- .s"e es do!lemen"e &eloJ $ue ]ulio' Si los"res jun"os cons"ru-en un muro en 5 dGas'QEn cu#n"os dGas podr# cons"ruir la mi"addel muro si "ra!ajase ]uan soloa< :1 4 !< :) c< :1d< :1 : e< ::

)@> Se "ienen : desa7[es u!icados en la"ercera par"e - en el fondo de unrecipien"e, $ue &acGan en 5 h - ? h,respec"i&amen"e' Si a!rimos los dossimul"#neamen"e, Qen $u. "iempo $uedara&acGo "odo el recipien"ea< 3 h !< 3,: h c< 8hd< 8,1 h e< 3,0 h

))> n recipien"e de 3:) li"ros decapacidad es"# &acGo - a su &eJ es"#cerrado el desa7[e $ue posee' En cu#n"o"iempo se llenar# si, a!rimos al mismo"iempo el desa7[e $ue desocupa :4 li"rosen 2 minu"os - o"ras dos lla&es $ue

llenar#n la primera 3: li"ros en 1: minu"os- la o"ra 25 li"ros en ? minu"os'a< 3 h !< 5 h c< 8hd< 0 h e< ? h

)4> na caYerGa llena una piscina en 4horas - o"ra puede dejar la &acGa en 5horas, Qen $u. "iempo puede llenarse lapiscina, si la caYerGa de desa7[e se a!reuna hora despu.sa< 11 h !< 1) h c< ? hd< 1: h e< 12 h

) > EfraGn "ra!ajando solo, puede hacerun "ra!ajo en 1: dGas, pero a los 0 dGas deiniciado el "ra!ajo le ponen un a-udan"e,"ra!ajan jun"os 2 dGas - conclu-en la o!ra,

Q$u. "iempo ha!rGa demorado en concluirese "ra!ajo, si el a-udan"e "ra!aja soloa< ? dGas !< 8 dGas c n "an$ue puede ser llenado por lacaYerGa A en 5 horas - &aseado por o"racaYeria X lo puede &aciar en 8 horas' Sea!ren am!as caYerGas duran"e : horas -lue7o se cierra X , - A con"in%a a!ier"apor 2 horas, al final de las cuales se rea!re

X ' Desde la reaper"ura de X , Q$u."iempo demora el "an$ue en llenarsea< 3 h !< 1) h c

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Capitulo 04 Fracciones