Capitulo 06-Movimiento Relativo

5/17/2018 Capitulo 06-Movimiento Relativo - slidepdf.com

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6

MOVIM IENTO RELAT IVO

6.1 Introducci6n

6 .2 V elo cid ad re la tiv a

6.3 M ovim iento relativo de traslaci6n uniforme

6.4 M ovim iento rela tivo rotaciona l un iforme

6.5 M ovim iento relativo con respecto a la t ierra

6.6 Transformaci6n de Lorentz6 .7 Transform aci6n de velocidades

6.8 Consecuencias de la transformaci6n de Lorentz



6.2)

6.1 Introducci6n

V elo cid ad re la tiu a 121

En el capitulo anterior indicamos que el movimiento es un concepto relativo

porque debe siempre referirse a un sistema particular de referencia, escogido

par el observador. Como diferentes observadores pueden utilizar sistemas dereferencias distintos, es importante conocer la forma en que estan relacionadas

las observaciones hechas por diferentes observadores. Por ejemplo, la mayor

parte de las observaciones hechas en la tierra estan referidas a un sistema de

referencia situado en ella, y por 10 tanto, moviendose con la tierra. Los astr6-

nomos aim prefieren referir el rnovimiento de un cuerpo celeste a las llamadas

es ir e ll as f ija s . En fisica at6mica el rnovimiento de los electrones se determina

con respecto al nucleo, Un experimentador usualmente escoge un sistema de

referencia en el cualla toma de los datos y el analisis se realizan mas Iaoilmente.

La posibilidad de definir un sistem a a bso lu to de referencia en reposo relativo

con respecto al espacio vacio es un asunto que ha sido discutido durante siglos

por fisicos y fil6sofos. Cuando se. supuso que el espacio vacio estaba "lleno" de

una sustancia imaginaria Hamada eter, con propiedades algo contradictorias e

imposibles, el sistema absoluto de referencia se defini6 como aquel que se encon-

traba en reposo con respecto al eter, Sin embargo, una vez que la gente descart6

la idea artificial e innecesaria del eter, se hizo imposible definir tal sistema absoluto,

ya que en el espacio no hay elementos que puedan servir como puntas de refe-

rencia. Como veremos en este capitulo, este asunto no tiene en la actualidad

mayor importancia.

6.2 Velocidad relativ"

Consideremos dos objetos A y B Y un observador 0, utilizando como sistema de

referenda los ejes XYZ (Fig. 6-1). Las velocidades de A y B con respecto a 0 son

drAVA=--,

dtVB =drB.

dt

(6.1)

Las velocidades de B con respecto a A y

de A con respecto a B estan definidas por

VBA=drBA

dt

V _ drABAB - dt '

(6.2)

donde

(6.3)

z

fi.rBA/

y

x

Fig. 6·1. Definici6nde velocidad rela-

tiva.



122 Mooimienio relativo (6.2

NII

NI

IIIII

NI

w--

II

S

(a)

I

I

S

(b) (c)

Figura 6-2

N6tese que, considerando rB =- rBA, tambien tenemos que

(6.4)

En otras palabras, la velocidad de B can respecto a A es igual y opuesta a

la velocidad de A can respecto a B. Derivando la ec. (6.3) con respecto al tiem-

po, resulta:

drBA

dt

drB

dt

0, usando las ecs. (6.1) Y (6.2), tenemos

(6.5)

Por consiguiente, para obtener la velocidad relativa de dos cuerpos, se restan sus

velocidades can respecto al observador. Derivando nuevamente la ec. (6.5), en-

contramos que

dVBA

dt

dVB-

dt

con una expresi6n similar para dVAB/dt. EI primer termino se denomina la ace-

leraci6n de B can respecto a A, y se design a par aBA. Los otros terminos son las

aceleraciones de B y de A con respecto a 0, respectivamente. Luego

y (6.6)

EJEMPLO 6.1. Un aeroplano A (Fig. 6-2) vuela hacia el Norte a 300 millas par

hora con respecto a la tierra. Simultaneamente otro avi6n B vuela en la direcci6n

N 600 W a 200 millas por hora con respecto a la tierra. Encontrar la velocidad

de A can respecto a B y de B con respecto a A.



6.3) Mooimienio telaiioo de traslacion uni(orme 123

Soluci6n: En la Fig. 6-2, las velocidades de los aviones A y B con respecto a latierra se han representado a la izquierda. A la derecha tenemos la velocidad de A

con respecto a B, esto es, VAB = V A - VB Y de B con respecto a A, esto esVBA =VB - VA. Podemos notar que VAB =- VBA, en concordancia con la ec. (6.4).

Para calcular VAB, usamos la ec. (3.6), notando que el Angulo 6 entre VA y VB

es de 600• Asi

VAB = V 3002 + 2002 - 2 x 300 x 200 x cos 600 = 264,6 mi hr-l.

Para obtener la direcclon de VAB, usamos la ley de los senos ec. (3.4),

VB VAB-

sen e x sen 600o

VB sen 600sen e x = ----- =0,654,

VAB

obteni{mdose e x =40,70• Entonces, a un pasajero en el avi6n B Ie parece comosi el avi6n A se desplazara a 264 millas/hr en la direcci6n N 40,70 E. La velocidadrelativa VBA tiene la misma magnitud 264,6 mi/hr pero en la direcci6n opuesta,S 40,70 W.

6.8 Movimiento relativQ de traslaci6n uniforme

Consideremos dos observadores 0 y 0' que se mueven, uno con respecto al otro,

con movimiento de traslaci6n uniforme. Esto es, los observadores no rotan

uno con respecto al otro. Por ello, el observador 0 ve al observador 0' moviendose

con velocidad v, mientras que 0' ve a-0 moviendose con velocidad - v. Estamos

interesados en comparar sus descripciones del movimiento de un objeto, como,

por ejemplo, cuando un observador se encuentra sobre la plataforma de una

estaci6n de ferrocarril y el otro esta situado en un tren que se desplaza en linea

recta, y ambos observadores estan mirando el vuelo de un avi6n que pasa por

encima de ellos,

Escogemos, por simplicidad, los ejes X y X' a 10 largo de Ia linea del movi-

miento relativo (Fig. 6-3) y los ejes YZ e Y'Z' paralelos entre si ; los ejes de coor-

denadas permaneceran siempre paralelos

debido a la ausencia de rotaci6n relativa.

Supondremos tambien que para t = 0, 0

y 0' coinciden, de modo que si la veloci-

dad relativa v es constante, podemos es-cribir

00' = vi y v =uxv.

Considerando ahora una particula en A.

De Ia Fig. 6-3, vemos que O A = C ) , + O~

Y como OA = r, O'A = 1", Y 00' =vi, los

vectores posici6n de A medidosyor 0 y 0'

estan relacionados por

r' =' - vi. (6.7)

La ecuaci6n vectorial puede expresarse en

y

Z'

Fig. 6-3. Sistemas de referencia enmovimiento relativo de traslaci6nuniforme.



124 Mo oim ie nto re la iiu o ( 6 . 0 3

sus tres componentes, tornando en consideraci6n el hecho de que v es paralela

a OX. Por 10 tanto

x' = - vi, y' =,,z =, t' =. (6.8)

Hemos afiadido I' = a las tres ecuaciones espaciales para dar enfasis al hecho

de que estamos suponiendo que los dos observadores estan usando el mismo

tiempo; esto es, suponemos que las mediciones de tiempo son independientes

del movimiento del observador. Esto parece muy razonable, pero es s610 una

suposicion, que puede ser desvirtuada en forma experimental.

El conjunto de ecs. (6.8) 0 la simple ecuaci6n vectorial (6.7) combinadas con

I' =, son denominadas una t ransiormacion Gali leana.

La velocidad V de A con respecto a 0 se define par·

V dr dx dy, dz=lit =ux dt +uYdi + Uzdt

y la velocidad V' de A can respecto a 0' es

, dr' dx' dy' dz'V = -- =x' -- + Uy' -- + UZI --.

dt dt dt dt

N6tese que no escribimos dr'ldt ' debido a que hem os supuesto que I = i' Y por

10tanto dr'[di' es 10mismo que dr' [dt. Derivando la ec. (6.7) con respecto al tiempo

y notando que v es constante, tenemos

V'=V-v, (6.9)

o notando que Vx = dxjdt, V~, = dx'jdt, etc., podemos separar la ec. (6.9) en

sus tres velocidades componentes:

V~,=Vx-v, (6.10)

Estas pueden tambien obtenerse directamente derivando las ecs. (6.8), las ecs. (6.9)

o (6.10) dan la regIa Galileana para comparar la velocidad de un cuerpo medida

por dos observadores en movimiento relativo de traslaci6n. Por ejemplo, si A se

mueve paralelamente al eje OX, tenemos simplemente

V' = V-v, (6.11)

siendo las otras componentes nulas, Pero si A se mueve paralelamente al eje OY,

V x = Vz = 0, VY = V , luego V~, =- v y V~,= V , V;. = 0, de modo que•

. V'· V V2 + v 2 . (6.12)

Las aceleraciones de A con respecto a 0 y 0' son a = dV/dl y a' = dV'ldt res-

pectivamente. N6tese nuevamente que usamos el mismo tiempo t en ambos

casos. A partir de la ee. (6.9) notando que dvldt = ya que v es constante,obtenemos

dV dV'

dt dt6 a' = a, (6.13)-=--



6.3) Mooimiento relaiiuo de troslacion uni{orme 125

y

r t " l . ' " i C \{

I' G ( \ 0 , ~ " (6.14)

la eual, expresada en eoordenadas rectangulares es

En otras palabras, ambos observadores miden la misma aeeleraci6n. Esto es,

la aceleracion de una parttcula es la misma para todos los obseroadores en movi-mienio relativo de translacion uniforme. Este resultado nos ofreee un ejemplo de

una cantidad fisica - la aceleracion de una particula - que parece ser inde-

pendiente del movimiento de un observador; en otras palabras, hemos eneontrado

que la aceleraci6n permanece inoariante cuando se pasa de un sistema de referenda

a otro que se encuenlra en movimienlo relaiiuo de traslacion uniforme. Es la primera

vez que encontramos una cantidad fisica que permanece invariante bajo una

transformaci6n. Mas adelante encontraremos otras cantidades fisicas que se

comportan de la misma manera. Este resultado, como veremos, tiene una pro-

funda influencia en la formulaci6n de las leyes de la fisica.

EJEMPLO 6.2. La velocidad del sonido en aire quieto a 250C (6 770F) esde 358 m S-1.

Encontrar la velocidad medida por un observador que se mueve a 90 km hr-1

(a) alejandose de la fuente, (b) acercandose hacia la fuente, (c) perpendicular a la. . . . , . , . - . . . .

yyl y

zXX'

XX'

- - - - - - - .-v-.-_~y7-_ .....

Z '(a) Z'

(b)

yy' y

y'

xX

X'

Z' Z X'

(c) Z'

(d)

Fi~ura 6-4



lZO saotnmieruo reiauoo (6.4

direcci6n de propagaci6n en el aire, (d) en una direcci6n tal que el sonido parecepropagarse perpendicularmente a la direcci6n del observador. Suponer que la fuentese encuentra en reposo relativo a la tierra.

Soluci6n: Usemos un sistema de referencia X YZ (Fig. 6-4) fijo relativo a la tierra,y por ella en reposo relativo con respecto al aire, y un sistema X' Y'Z' que se mueve

con el observador, con los ejes X y X' paralelos a la velocidad del observador,como en la Fig. 6-3. Con respecto a X YZ, la fuente de sonido se encuentra en 0,la velocidad del observador 0' es 0 =90 km hr-l =25 m S-I, y la velocidad delsonido es V =358 m S-I. La velocidad del sonido, con respecto a X' Y'Z' medidopor el observador 0' es V'. Aplicando la ecuacion (6.9) 0 la (6.10) tenemos para elcaso (a) V' =V - v =333 m S-I. En el caso (b) notamos que 0' se mueve a 10

largo de la direcci6n negativa del eje X. Luego podemos escribir que e =- uzv,transformando la ec. (6.11) en V' =V + 0 =383 m S-I.

Para Ia situaci6n (c) usamos la ec. (6.12) de modo que V ' = V - V - - : - 2 - + - 0 - - - : C 2=358,9 m S-l.

Para el observador en movimiento, el sonido parece propagarse en una direcci6nque haee un Angulo a. ' con el eje X' tal que

V', Vtg a. ' =--,"-=-- =- 15,32

V x' -0

6 (X' =93,70•

Finalmente, en el caso (d), la direcci6n de propagaci6n del sonido en el aire es tal

que desde el punto de vista de 0' se mueve en la direcci6n Y'. Por ello V'z' =0,V'JI' =V ', y V'z' =O. Luego, usando la ec. (6.10) tenemos 0 =V x . - v 6 Vx =

y V' =V". Por consiguiente V 2 = V; + V ~ =02 + V '2 6 V ' = V 2 - 02=357,1

m S-l. En este caso el sonido se propaga a traves del aire quieto en una direcci6nque hace un Angulo a. con el eje X de modo que

V V'tg a. =_y = _ =14,385

Vx 0

6 a. =86,00•

6.4 Movimiento relativo rotacional uniforme

z

Z'

X

x rI

Fig. 6-5. Sistemas de referencia en movi-miento relativo de rotaci6n uniforme.

Consideremos ahora dos observadores,

o y 0' que rotan uno con respecto a

otro pero sin movimiento de trasla-

cion relativo. Por simplicidad supon-dremos que 0 y 0' se encuentran en

la misma region del espacio y que '

cada uno de ellos usa un sistema de

referencia fijo a si mismo pero con

origen comun. Por ejemplo, el obser-

vador 0, quien utiliza el sistema X ¥Z

(Fig. 6-5), nota que el sistema X'¥'Z'

fi j 0 a 0' esta rotando con velocidad

angular OJ. Para 0', la situaci6n es

justamente inversa; 0' observa el sis-

tema X YZ rotando con velocidad an-



6.1} Mouimienio reiaiioo rotacional uni{orme 127

gular - OJ. EI vector posicion T de la particula A referido a X YZ es

T=UxX+ uyY+ uzz, (6.15)

y, por consiguiente, la velocidad de la particula A medida por 0 con respecto

a su sistema de referencia X YZ es

v = d1' = U dx U dy U dzdt z dt + y dt + z dt .

(6.16)

Similarmente, el vector posici6n de A referido a X' Y'Z' es

(6.17)

donde, debido a que los origenes coinciden, el vector r es el mismo que el de

la ec. (6.15); esa es la raz6n por la eual no hemos escrito 1". La velocidad de A,medida por 0' con respecto a su propio sistema de referencia XI Y'Z' es

, dx' dy' dz'V =ux--+Uy'-+uz'--'

dt dt dt(6.18)

Al derivar la ee. (6.17) el observador 0' ha supuesto que su sistema X' Y' Z' no

esta rotando, y por 10 tanto ha eonsiderado los veetores unitarios como cons-

tantes en direcci6n. Sin embargo, el observador 0 tiene el derecho de decir que,

para el, el sistema X' Y'Z' esta rotando y que, par consiguiente, los vectores uni-

tarios UX', uu' y UZ" no tienen direcci6n constante de modo que al calcular Iaderivada con respeeto al tiempo de la ec. (6.17), debe escribirse

dr dx' dy' dz'dt=x' dt + Uy' Tt + Uz'Tt+

(6.19)

Ahora bien los extremos de los veetores uz" Uy' y uz,estan (por suposici6n) en

movimiento de rotacion uniforme relativo a 0, con velocidad angular OJ. Enotras palabras dux,fdt es la velocidad de un punta situado a una distancia uni-

taria de 0 y que se mueve can movimiento circular uniforme con velocidad an-

gular It). Par consiguiente, usando la ec. (5.48), tenemos

dux'-- = It) x Ux"dt

duy, _-- - O J X Uy"

dt

du;-- = (f) x uz"dt

En concordancia, de la ec. (6.19) podemos escribir

dux', dUy" duz, I , , I

-- X + -- y + -- z = (f) x Ux'X + O J X ug'y + It) x Uz'Zdt dt dt

=J x 1'. (6.20)



128 Mo uim ie nto re la tiv o (8.4

Introduciendo este resultado en la ec. (6.19) y usando las ecs. (6.16) y (6.18)1

obtenemos finalmente

v=V' + C D x T . (6.21)

Esta expresion da la relaci6n entre las velocidades V y V' de A, medidas por do!

observadores 0 y 0' en movimiento relativo de rotacion uniforme.

Para obtener la relaci6n entre las aceleraciones, procedemos de una manera

similar. La aceleracion de A, medida por 0 con respeeto a XYZ es:

dV dVx dV., dVza=--=u-- +u.,-- + Uz--.

dt dt dt dt(6.22)

La aceleracion de A, medida por 0' respeeto a X'¥'Z', cuando el ignora la ro-

tacion es:, dV~ dV~, dV;,a =ux' + UfI' + Uz' •

dt dt dt(6.23)

Cuando derivamos la ee. (6.21) con respeeto al tiempo t, reeordando que hemos

supuesto OJ constantes, obtenemos

dV dV' dTa = -- = -- + (t) x -.

dt dt dt(6.24)

Ahora, ya que V' = UX' V~,+ UfI'V~,+ UZ' V;'. obtenemos por derivacion

dV' dV~, dV~, dV;,

dt"" =z- dt + ur( dt + uz' dt

dux' V' dull' V' duz"+ dt x' + dt fI' + ----;jj Vz' •

Los tres primeros terminos son justamente a', dados por la ec. (6.23), y los tres

ultimos, por el procedimiento identico usado para derivar la ec, (6.20), son c o x V'.

Esto es, sustituyendo las cantidades apropiadas en la ee. (6.20), tenemos

c o x Ux'V~ + (J) x ul1' V~'+ (J) X UZ' V;,

= x (ux' V~ + u.,' V~, + UZ' V;,) =J X V'.

Por ello dV'/dt =' + co )( V'. Igualmente, de las ees. (6.16) y (6.21) dr/dt =

=V=V' + (t) )( r, de modo que

dTc o x - =» )( (V( + (t) X r)= )( V' + O J X ( c o x T).

dt

Sustituyendo ambos resultados en la ec. (6.24) obtenemos finalmente

(I=(I'+ 2m )( V' + (J) X (m x r). (6.25)



6.5) M ovim ien to rela iioo con respeeio a fa tierra 1~

Esta eeuacion da la relacion entre las aceleraciones a y a' de A registradas por

los observadores 0Y 0' en movimiento relativo de rotaci6n uniforme. El segundo

tt~rmino 2w x V' se denomina la aceleracion de Coriolis. EI tercer termino es si-

milar a la ec, (5.59) y corresponde a la acel eraci cn cent ri peta. Tanto la aceleraci6n

de Coriolis como la aceleracion centripeta son el resultado del movimiento rota-

donal relativo de los observadores .. En 1a pr6xima secci6n ilustraremos el US< l

de estas relaciones.

6.S Movimiento relativo con respeeto a fa tieTra

Una de las aplicaciones mas interesantes de la ee. (6.25) es 'el estudio del movi-

miento de un cuerpo con respecto a la tierra. Como se indic6 en el ejemplo 5 .10 ,

la velocidad angular de la tierra es(Il

= 7,292X

10-6 radS-1.

SU direcci6n esaquella del eje de rotacion de la tierra. Consideremos un punto A sobre la super-

ficie terrestre (Fig. 6-6). Llamaremos 90 la aceleracion de la gravedad medida

porunobservador que no gira situado en A.Luego 90 corresponde a ade la ec. (6.25).

Despejando a' de la ec. (6.25), obtenemos la aceleraci6n medida por un obser-

vador que rota con la tierra:

a' =90 - 2m x V' - 0) x (0) x r). (6.26)

I

c . J : >I

c..D

(a) Hemisferio Norte (b) Hemisferio Sur

Fig. 6-6. Aceleracion centrifuga debida a Ia rotaci6n de Ia tierra .

. ~rimero consideraremos el caso de un cuerpo inicialmente en reposo, 0 mo-

vlendose muy lentamente, de modo que el termino de Coriolis - 20) x V' es cero

o despreciable cuando se compara con el ultimo termino - fl) x (m x r). La



1 3 0 Mouimienio relatiuo (6.D

aceleracion a' medida en este caso se denomina a ce le ra cio n e re ctiv a de la grave-

dad, y se designa por la letra g. Asi

9 = go - O J X (w x r). (6.27)

Esta es la aceleraci6n medida por un pendulo, como se discutira en el capitulo 12.Suponiendo que la tierra es esferica (realmente se desvia ligeramente de esta

forma) y que no hay anomalias locales, podemos considerar que Yo esta seiialando

hacia el centro de la tierra en la direccion radial. Debido al segundo termino

de la ec. (6.27), la direcci6n de g, Hamada la vertical se desvia ligeramente de la

N"',

wlrcos ;'sen ;.

i- &.IX (&.IX t)

I

'8II

..... I. . . . . -

.......£I)'rcos· ;.I

Fig. 6-7. Componentes horizontal y radial de la aceleraci6n centrffuga.

direcci6n radial, y esta determinada par la linea de la plomada. Los liquidos

siempre reposan en equilibrio con su superficie en direcci6n perpendicular a g.

Sin embargo, para propositos practices, y en la ausencia de perturbaciones lo-

cales, la vertical puede suponerse que coincide con la direcci6n radial.Analicemos ahora en mayor detalle el ultimo termino en la ec. (6.27); esto es,

- O J x (w x r). Se denomina aeeteracion eentrifuqa debido a que por su signo

negativo seiiala en la direcci6n DA como se indica en la Fig. 6-6. EI angulo x

que r =CA hace con el ecuador es la latitud. Por consiguiente, el vector cuhaee

un angulo 90° - A con CA en el hemisferio norte y 90° + A en el hemisferio sur.

La magnitud de w x r es entonces

cursen (900 ± A ) = curcos A .,

y la direccion de O J x r, siendo perpendicular a to, es paralela al ecuador. Re-cordando el ejemplo 5.11, encontramos que la magnitud de la aceleraci6n cen-

trifuga - w x (w x r) es

1- to x (w x r)1 = c u2r cos A = 3,34 X 10-2 cos A m S-2, (6.28)



6.5) iaoouniento retauoo c on re sp ec to a ta tierra 1:31

donde r = 6,37 X 106 ill, es el radio de la tierra. Esta aceleracion disminuye del

ecuador a los polos, pero es siempre pequefia comparada con la aceleracion de

la gravedad go = 9,80 ms-2• Su maximo valor, en el ecuador, es alrededor del

0,3 % de go (ver ejemplo 5.11).

Encontraremos ahora las componentes de -OJ

x(O J

x r) a 10 largo de ladireccion radial AB y a 10 largo de la linea norte-sur (NS) en A. En la Fig. 6-7,

asi como en la Fig. 6-6 la linea AB, Ia cual es la extension de CA, esta en la di-

reccion radial. EI vector w obviamente hace un angulo A con NS. Como se indico

antes, la aceleracion de la gravedad g o se dirige hacia el centro a 10 largo de AB.

La aceleracion centrifuga - s » x ( O J X r) forma un angulo A con AB; su com-

ponente a 10 largo de AB se obtiene, por consiguiente, multiplicando su magnitud

dada por la ec. (6.28), por cos A . Esto es,

1-O J x (w x ' 1 " ) 1 cos A =2r cos- A .

La componente de la aceleracion centrifuga a 10 largo de la linea NS se dirige

hacia el sur en el hemisferio norte (y hacia el norte en el hemisferio sur) y se

obtiene multiplicando su magnitud por sen A , obteniendose

1- (J) x ( O J x r)[ sen A =w2r cos A sen A .

Las dos componentes se ilustran en la Fig. 6-7. De acuerdo a la definicion de g

dada por la ec. (6.27), las componentes de 9 a 10 largo de las direcciones radial

y horizontal son como se muestran en la Fig. 6-8. Debido a la pequefiez del ter-

mino centrifugo, el angulo e x es muy pequeno y la magnitud de 9 no difiere apre-

B.Iw1rcos ). sen A .

N---- ,------8A I .

, Plano honzontalIIII,

Bco.rcos y sen A IN- -----8

APlano horizontal

go - rolr cos! ,\

Direcci6n I - - - - - \ Direcci6n

radial I \vertical

Direcci6nvertical, --- - - -. Direcci6n

'radial

(a) Hemisferio norte (b) Hemisferio sur

Fig. 6-8. Definici6n de la direcci6n vertical y la aceleraci6n efectiva de catda,

ciablemente de su componente a 10 largo de la direccion radial AB. Por consi-

guiente podemos escribir, como una buena aproximacion que

(6.29)

Aunque el ultimo termino es muy pequefio, toma en cuenta el aumento obser-



132 Mooimienio relativo (6.(;

vado en el valor de la aceleracion de la gravedad con la latitud como se aprecia

en la tabla 6-1.

La componente de la aceleracion centrifuga a 10 largo de la direccion NS tiende,

en el hemisferio norte a desplazar al cuerpo ligeramente hacia el sur de la direc-

ci6n radial AB y hacia el norte en el hemisferio sur. Por 10 tanto, la trayectoriade un cuerpo que cae se desviara como se ilustra en la Fig. 6-9. EI cuerpo Ilegara

a A I en lugar de hacerlo a A, como sucederia si no hubiera rotaci6n. Debido al

pequefio valor de e x esta desviacion es despreciable.

Consideremos ahora el termino Coriolis - 2m x V'. En el caso de un cuerpo

que cae, la velocidad V' es esencialmente hacia abajo a 10 largo de la vertical

AB (Fig. 6-10) y m x V' senala hacia el oeste. Luego el termino Coriolis - 2m x V'esta seIialando hacia el este, y el cuerpo al caer se desviara en esa direccion lle-

TABLA 6-1 Valores de la aceleraci6n de la gravedad, expresados en m 8-2

Localidad Latitud Gravedad

Polo Norte 9000' 9~8321

Anchorage 610 10' 9,8218

Greenwich 51029' 9,8119

Paris 48050' 9,8094

Washington 38053' 9,8011

Key West

(Florida) 24034' 9,7897

Panama 80

55' 9,7822Ecuador 000' 9,7799

gando al suelo en A", ligeramente al este de A. Combinando este efecto de Co-

riolis con el efecto centrifugo, el cuerpo caera en un punto al sureste de A en el

hemisferio norte y al noreste

/1

/ I/ Ir----p/ ,

I / ---JI / I ,-..,I // I ! !I r Direccion verticalI I i I

I/J-~lI I'D ..I I ireccron

_I I radial ,I-"_-~ ,

I //1 --_ II1 //11/

de A en el hernisferio sur. Este efecto, el cual es

/1

~ _ / II ---p/ I

, / ---!..I / I ~

'Direccion I . I, I .

I dl II Direccion vertical! ra la I 'I

I I \ 4 I I

I :/:-~II I I / I

W I 1 :4 1 I-1--- 1/ I

--if. IrA-- -_

, . / E1//

S


Fig. 6·9. Desviaci6n de la direcci6n de un cuerpo que cae debido a la aceleraci6n

centrffuga: hacia el sur (hacia el norte) en el hemisferio norte (sur),



o,o} lV.l UUHllLCltLU reuutuo con respecto a La tierra

- _'"1

/' I/ 1

//

/

/II

I

1


Fig. 6·10. Desviaclon hacia el este en el hemisferio norte (sur) de un cuerpo que

cae debido a la aceleraci6n Coriolis.

despreeiable en la mayor parte de los casos, debe tomarse en cuenta tanto en

bombardeo de gran altura como en cohetes balisticos intercontinentales. La

aceleracion de Coriolis afeeta seriamente las trayeetorias de los cohetes y de

los satelites, debido a sus gran des velocidades.

En el caso de un cuerpo que se mueve en un plano horizontal, el vector

- 2m x V', perpendicular a (J) y V', haee un angu lo igual a rt/2 - A con elplano horizontal. Tiene una componente horizontal aH Y una componente ver-

tical av (Fig. 6-~1).La componente horizontal aHtiende a hacer que la trayectoria

se desvie de una recta, hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda

en el hemisferio sur. La componente all disminuye a medida que uno se aleja

de los polos hacia el ecuador, donde su valor es cero. Por ello en el ecuador la

aceleracion de Coriolis no produce ningun efecto horizontal en el movimiento hori-

zontal. El efecto vertical es pequeno comparado con la aceleraci6n de la gravedad,

y en la mayor parte de los casos puede ser despreciado.

EI efecto horizontal puede verse en dos Ienornenos comunes. Uno es el remolinoen un huracan. Si se desarrolla un centro de baja presion en la atmosfera, el

viento fluira hacia el centro (fig. 6-12). Sin embargo, la aceleraci6n de Coriolis

desvia las moleculas del aire hacia la derecha de sus trayectorias en las latitudes

nortes dando por resultado un movimiento en sentido contrario a las agujas del

reloj 0 remolino. * En el hemisferio sur la rotacion es en el sentido de las agujas

del reloj,

Como un segundo ejemplo, consideremos las oscilaciones de un pendulo. Cuando

la amplitud de las oscilaciones es pequeiia, podemos suponer que el movimiento

de la masa es a 10 largo de una trayectoria horizontal. Si el pendulo inicialmente

'" La presion y la temperatura del aire tienen tambien un profundo efecto en su movimiento.

Este efecto da lugar a un Ienomeno el cual es demasiado complicado para ser adecuadamente

descrito aqui. El resultado final es el movimiento ciclonlco ilustrado en la Fig. 6-12(c).



liH: illotnmiento retauuo

B I

IEje de laI tierra

(a) Hemisferio norte

ts.«

B

Direcci6nvertical. -2",x V'

(b) Hemisferio sur

(a) Hemisferio

norte s sur s

Fig. 6-12. Movimiento del viento en

senti do contrario a las agujas del reloj

en el hemisferio norte como resultado

de un centro de baja presi6n combinado

con la aceleraci6n de Coriolis. La parte(c) muestra una perturbaci6n de baja

presi6n fotografiada por un satelite Ti-

ros. (Fotografia cortesia de NASAl

Centro Espacial Goddard).



6 . 5 ) M ovrm len lo retauoo con respecto a La tierra 135

Fig. 6·18. Rotaci6n del plano de oscilaci6n de un pendulo como resultado de laaceleraci6n de Coriolis (Ia rotaci6n en el hemisferio sur es en la direcci6n opuesta

a la del hemisferio norte).

oscilara en la direccion este-oeste y fuera liberado en A (ver Fig. 6-13), conti-

nuaria oscilando entre A y B si la tierra no estuviera rotando. Pero a causa de

la aceleraci6n de Coriolis, debida a la rotacion de la tierra, la trayectoria del

pendulo se desvia continuamente hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia

la izquierda en el hemisferio sur. Por consiguiente al final de la primera oscila-

ci6n, llega a B' en lugar de B. A su regreso l lega a A' Y no a A. Luego, en oscilaciones

completas sucesivas llega a A", A''', etc. En otras palabras, el plano de oscilaci6ndel pendulo rota en el sentido de las agujas del rei oj en el bemisferio norte y en

sentido contrario a las agujas del reloj en el hemisferio sur. Dejamos al estudiante

que verifique que el angulo de rotaci6n del plano de oscilacion durante cada

hora es de 150 sen x , EI efecto ha sido muy exagerado en la Fig. 6.13; alcanza

su maximo valor en los polos y su valor es cero en el ecuador.

Este efecto fue demostrado espectacularmente por el fisico frances Jean Leon

Foucault cuando en 1851, desde la cupula de los Invalidos, en Paris, colgo un

pendulo de 67 metros de largo. Durante cada oscilaci6n, la masa del pendulo

dejaba caer arena en un circulo demostrando experimentalmente que elplanode oscilaci6n rotaba a raz6n de 1 10 15' cada bora. Existe un pendulo de Foucault

en la sala del Instituto Smithsoniano en Washington D.C., asi como en la sala

del edificio de las Naciones Unidas en New York. El experimento de Foucault es

una prueha efectiva de la rotacion de la tierra. Aim si la tierra bubiera estado

siempre cuhierta de nubes, este experimento habrla demostrado a los fisicos

que la tierra estaba rotando.

EJEMPLO 6.3. Calcular la desvlaclon de un cuerpo que cae debida a la acelera-

cU m de CorioUs. Compararla con la desvlaclon debido a la aceleraci6n centrtfuga.

Soluei6n: De la Fig. 6-10 vemos que la velocidad V' de catda de un cuerpo fonna

un angulo de 900 + x con 0 Luego la magnitud de la aceleraclon de CorioUs

- 2 ( 1 ) x v' es

2w V' sen (900 + )..) o 2w V' cos )..



JdO ra ou un ieru o reu utu o (6.6

Esta es la aceleracion d'lx/dt2 del cuerpo que cae, considerando la direcci6n este

como el eje de las X. Por consiguiente

dlx .dt" = l1 ) V' cos A.

Para e] valor de V' usamos como una buena aproximaci6n, el valor de calda Iibre

obtenido en el capitulo 5, esto es V' = gt, por tanto,

Integrando, y suponiendo que el cuerpo parte del reposo (dx/dt =0 para t = 0)

tenemos

dx-- = l I)gt2 cos A.dt

Integrando .nuevamente y considerando que cuando t = 0 el cuerpo se encuentra

sobre A y por ]0 tanto x = 0, obtenemos

10 que da el desplazamiento hacia el este en funci6n de] tiempo de caida. Si el cuerpo

se suelta desde una altura h podemos suponer su valor para calda libre como

h = !t2 , de modo que

(8h3 ) 1 / 2

X =ll ) -g- cos A=1,53 X 10-5 h3/1 cos A.

Por ejemplo, para un cuerpo que cae de una altura de 100 m. tenemos x =1,53 x

x 10-1cos Am, que es una cantidad relativamente pequefia cuando se Ie compara

con la altura de catda.

La aceleraci6n centrffuga hacia el sur es lI)2r2 cos A sen A=3,34 X 10-" cos ).

sen ). y Ia deflexi6n, usando h = - 1 gtl, es

Y =(lI)lr cos Asen Awa =I)"r(h/g) cos Asen A=0,342 h cos Asen Am.I

6.6 Trans/ormacion de Lorentz

Al final del siglo diecinueve, cuando se suponia que el espacio, vacio de materia,

estaba lleno con "eter", hubo una gran discusion en 10 que respecta a como se

movian los cuerpos a traves del eter y como afectaria este movimiento la velo-

cidad de la luz medida desde la tierra. Los Iisicos al principio habian supuesto

que las vibraciones de este eter hipotetico estaban relacionadas con la luz del

mismo modo que las vibraciones en el aire estan relacionadas con el sonido. Su-

poniendo el eter estacionario, encontramos que Ia luz se desplaza con respecto

al eter con una velocidad c =,9979 X 108

ms-l. Si la tierra se moviera a travesdel.eter sin alterarlo, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra debia

depender de la direccion de propagacion de la luz. Por ejemplo, debia ser c - v

para un rayo de luz que se propaga en la misma direccion del movirniento de la



6 . 6 ) 't'ransiormacion de Lorentz 1J7

tierra y c + v en la direccion opuesta. Sin embargo, si la trayectoria de la luz

como se observa desde la tierra es en direcci6n perpendicular a su movimiento,

su velocidad relativa a la tierra debia ser V c2 - v2• (Recordar el ejemplo 6.2d

para un caso similar del sonido).

En 1881 los fisicos norteamericanos Michelson y Morley iniciaron una serie deexperimentos memorables para medir la velocidad de luz en diferentes direc-

ciones con respecto a la tierra. Con gran sorpresa encontraron que la velocidad

de la luz era la misma en todas las direcciones. * Sin embargo, la transformacion

Galileana indica que ningun cuerpo puede tener la misma velocidad relativa a

dos observadores en movimiento uniforme relativo, y que la velocidad relativa

depende de la direccion del movimiento del observador. Esto se aprecia particu-

larmente en las ecs. (6.9) y (6.10). Una explicacion posible podria ser que la tierra

arrastrara al eter con ella, como arrastra a la atmosfera, y por consiguiente cerca

a la superficie terrestre el eter estaria en reposo relativo con respecto a la tierra.

Esta es una explicaci6n poco probable, ya que el arrastre del eter se manifestaria

asimismo en otros Ienomenos relacionados con la propagacion de la luz. Tales

fen6menos no se han observado nunea. Por tales razones la idea del eter ha sido

descartada por los fisicos.

El dilema del experimento de Michelson y Morley fue resuelto en 1905 cuando

Einstein estableci6 su principio de relatividad el cual se discutira en mas detalle

en la seccion 11.3. Este principio establece que

uuias las leqes de la naiuraleza son las mismas [es decir, permanecen

inuarianies] para todos los observadores en mooimiento relatiuo detraslacion uniforme.

Einstein supuso que la velocidad de la luz es una invariante fisiea que tiene el

mismo valor para todos los observadores. Como veremos posteriormente, esto

se requiere .cuando aplicamos el principio de relatividad a las leyes del electro-

magnetismo. Bajo esta suposicion, la transformaci6n galileana no es la eorrecta.

En particular la cuarta ecuacion en (6.8) I' = no puede ser correcta. Puesto

que la velocidad es 1 3 . distancia dividida entre el tiempo, tenemos que ajustar

el tiempo al igual que la distancia, si el cociente de las dos debe ser el mismo

para observadores en movimiento relativo como en el caso de la velocidad de la

luz. En otras palabras, el intervalo de tieII]po entre dos eventos no tiene nece-

sariamente que ser el mismo para observadores en movimiento relativo. Por

consiguiente debemos reemplazar la transformaci6n Galileana por otra de modo

que la velocidad de la luz sea una invariante. Como en el easo de la transiormacion

Galile~na, supondremos que los observadores 0 y 0' se mueven con velocidad

relativa v y que los ejes X y X' sefialan en la direccion del movimiento relativo

y los ejes YZ e YZ' son paralelos respectivamente (Fig. 6-14). Podemos tambien

.. Para una revision crttica de los experimentos realizados para determinar la velocidad de la

luz Con respecto a la tierra en diferentes direcciones, consultar R. S. Shankland, et al. Reviewsof Modern Physics 27, 167 (1955),



1J8 M ooimiento relai ioo (6.6

suponer que ambos observadores ajustan sus relojes de modo que I = I' = 0cuando enos coinciden.

Supongamos que para t = se emite un destello de luz en la posicion comun,

Despues de un tiempo I el observador 0 notara que la luz ha lIegado al punto A

y escribira r = cit siendo c la velocidad de la luz. Ya que

y r

z

.l(x, y, z , t)

(Xl yl Zl 1 1I ' , ,

II

II

III

II

I~X<, I I X'<, -, I I

<, I I

'::-:" 1/''V

ZI

Fig. 6·14:. Sistemas de referenda en

movimiento relativo de traslacion uni-

forme.

r =2 + y2 + Z2,

podemos tambien escribir

x2 + y2 + Z2 = c2t2•

(6.30)

Similarrnente, el.observadorD'.notara

qne.la .luz .I leg a al.m ism o .1 lY -J1 !Q _ en

l!_~tiem'p_Q...t'Jero.tambien con velo-cidad. c. Luego el escribe r ' = et', 0

• ~/2±' y '2 ± .Z'2 - .,~~

. . . . - - - - --~

(6.31)

Nuestro prop6sito es obtener una

transformacion que relacione las ees.

(6.30) y (6.31). La simetria del pro-

blema sugiere y ' = y y z' = z. Tam-

bien, ya que 00' = ot para el observador 0, debe cumplirse que x =i para x' = 0(punto 0'). Esto haee suponer que x' =(x - vt)t donde k es una constante a

determinarse. Ya que t' es diferente, podemos tambien suponer que t' =a(i - bx),

donde a y b son constantes a determinarse (para la transformacion Gali-

leana k = a = 1 Y b = 0). Realizando todas estas substituciones en la ee. (6.31)

tenemos

6

( k 2 - b2a2c2)x2 - 2(k2v - ba2c2 )x t + y2 + Z2

=a 2 - k2 v 2 j c 2 ) C 2 t2 •

Este resultado debe ser identico a la ec. (6.30). Por tanto

Resolviendo este conjunto de ecuaciones, obtenemos

y (6.32)



6.6) 'rranstormaaon ae Lorentz

La nueva transformacion, compatible con la invariancia de la velocidad de. la

luz es entonces

x-vix' = k(x - vi) = ,

- V I - v 2 / c 2

,y =,

z' = z, (6.33)

t' = k(i _ bx) = i - vx/c2

V I - V2/C2

Este conj unto de relaciones es denominado transformaci6n de Lorentz debido a

que fue obtenida por primera vez por el Iisico holandes Hendrik Lorentz, alre-

dedor de 1890, en conexion con el problema del campo electromagnetico de unacarga en movimiento.

Cuando notamos que c es una velocidad muy grande comparada con las velo-

cidades que encontramos en la tierra, de modo que la relacion ok: es !liuy pe-

quefia, los terminus V2/C 2 y vx/c 2 son, en general, despreciables y k es practicamente

igual a uno (ver Fig. 6-15). Desde el punto de vista practice, entonces, no hay

diferencia entre las transformaciones Lorentziana y Galileana, y podemos seguir

usando la ultima en la mayor parte de los problemas que encontramos. Sin em-

bargo, cuando tratamos con particulas muy rapidas, tales como los electrones

en los atornos 0 las particu1as en los rayos cosmicos, debemos usar la transfor-

macion de Lorentz.

5

_~L_.~ r - - -

///

...//

- - -f " " "

-I---

4

3

2

1

0 , 5

v i c

I ,U '

Fig. 6-15. Cambio de k en funci6n de vic,



1 4 ( ) Mooimienio relatioo (6.?

EJEMPLO 6.4. Obtener la transformaci6n de Lorentz que exprese las coordenadas

x, y, z y el tiempo t medido por 0 en funci6n de las coordenadas x' u', z' y el tiempo t'rnedido por 0'.

Soluci6n: Esta es la transformaci6n Lorentziana inversa a aquella expresada por

la ec. (6.33). Por supuesto, la segunda y tercera relaciones no ofrecen ningunadiflcultad. Una manera simple de resolver la primera y la cuarta es resolverlas

como un conjunto de dos ecuaciones simultaneas para x y t en funci6n de x' y 1'.Dejamos este metodo como un ejercicio para el estudiante, sin embargo, y pro-

cederemos a 10 largo de una linea de razonamiento mas fisica. Desde el punto de

vista del observador 0', el observador 0 se aleja en la direcci6n - X' con una

velocidad - v. El observador 0' tiene derecho a usar la mism a transtormacion

de Lorentz para obtener los valores de x y t medidos por 0 en funci6n de los valoresx' y t' que mide 0'. Para ella el observador 0' tiene solamente que reemplazar v

por - v en la ec. (6.33) e intercambiar z; t con x', t'. Asi

x' + vi'x - :;:======

- V 1-v2/e 2'

y =u',(6.34)

z = z',

t' + vx'je2i = ,V 1-v2je2

que da la transformaci6n inversa de Lorentz.

fl.?' Transformaci6n de velocidades

3btengamos ahora Ia regIa para eomparar velocidades, La velocidad de A me-

Iida por 0 tiene componentes

dxV a : = --,

dl

dyVy = --,

di

dzVz = --.

dl(6.35)

;imilarmente, las componentes de Ia velocidad de A medida por 0' son

dx'V~, = --,di', d y 'V y ' =d t' '

{6tese que nosotros usamos dt' y no di, ya que t y t' no son las mismas. Dife-

enciando las ees. (6.33) obtenemos

dI _ dx - v di _ V a : - V dtx - - ,

V 1-2jc2 V I - v2jc2

dy' =y,

dz' =z,

dt' =dl - v dxjc2

_

V I - ,rjc2

1- vVx/c2

di.

V I _v2jc2



6.7) Tmnsiormaeion de velocidades 1 4 1

En la primera y ultima eeuaei6n dx ha sido reemplazada por Vxdt, de acuerdo

a Ia ee. (6.35). Por consiguiente, dividiendo las tres primeras de estas ecuaciones

entre la cuarta, obtenemos

V', = dx' Vx-vX dt' 1- vVx/c2 '

I dy' VYV 1- v 2 / c2(6.36)Vy' = dt' = 1- vVx/c2

V~,dz' VzV1- v 2 / c 2

=--=dt' 1- vVx/c2

Este conjunto de eeuaeiones da Ia ley de transformaei6n de Lorentz para las

velocidades; esto es, la regIa para comparar la velocidad de un cuerpo medida

por dos observadores en movimiento uniforme de traslaci6n relativa. Nuevamente

se reduce a la ec. (6.10) cuando la velocidad relativa es muy pequefia comparada

con la velocidad de la luz. Para particulas que se mueven en la direcci6n X te-

nemos Vx = V, V y =z =. Por consiguiente, como V~I = V' ya que las

otras dos componentes de V' son eero, la ec. (6.36) se vuelve

V' = V-v .1-vV/c2

(6.37)

Para verificar que la ec. (6.37) es compatible con la suposici6n que Ia velocidad

de la luz es la misma para ambos observadores 0 y 0', consideremos el caso de una

serial luminica que se propaga en la direcci6n X. Luego V = c en la ec. (6.37) y

c-vV' = . = c.

1- vc/c2

Por 10 tanto el observador 0' mide tambien una velocidad c. Resolviendo la

ec. (6.37) para V, obtenemos

V' + oV=-----

1-. vV'/c2 '

(6.38)

que es la transfonnaci6n inversa de la ec, (6.37). N6tese que si V' y v son ambas

menores que c, entonces V es tambien men or que c. Ademas, la velocidad v no

puede ser mayor que c porque el factor V 1 - V2/C 2 seria imaginario. Por el mo-

menta no podemos dar un significado fisico a tal factor. Por consiguiente la

velocidad de la luz es la maxima velocidad que puede observarse.

Debe tam bien notarse que las ecs. (6.37) 0 (6.38) relacionan la velocidad delmismo cuerpo medida por dos observadores en movimiento relativo. Sin embargo,

un observador dado combina diferentes velocidades en su propio sistema de refe-

rencia de aeuerdo a las reglas establecidas en el capitulo 3.



142 Mouimiento relativo (6.7

EJEMPLO 6.5. Verificar el hecho de que las transformaciones de velocidadesee. (6.36), son compatibles con la suposiei6n de que la velocidad de Ia luz es la mismapara ambos observadores considerando un rayo de luz que se m ueve a 10 largo(a) del eje Y con respeeto a X YZ, (b) del eje Y' con respeeto a X' Y'Z'.

Soluci6n: (a) En este easo debemos suponer que Vx = 0 , V1/

= e, y Vz = O . As!la ee. (6.36) se vuelve

,V-t ' =- v, V;, =O.

Entonees la velocidad relativa a X' Y'Z' es

V' = V V~ + V ; ; = v 2 + e 2 (l - v 2 / e 2 ) = e ,

y el observador 0' mide tambien una veloeidad c para Ia luz, como se requiri6cuando se deriv6 Ia transformaci6n de Lorentz. Al observador en movimiento 0'

le parece que la luz se propaga con respeeto al sistema X' Y'Z' en una direcei6nque hace un angulo con el eje X' dado por

V ; , -c Vtg I X ' = -,- =-- 1- v 2 / e 2 •

V-t ' V

(b) Consideremos ahora el easo en el eual el observador 0' ve el rayo de Iuzpropagandose a 10 largo del eje Y'. Luego V'x' = 0 y las dos primeras expresionesen la ec. (6.36) dan

V-v0= ,

1- vV x/e 2

De la primera eeuaci6n obtenemos Vx =V, la eual, cuando se reemplaza en la

segunda eeuaci6n, da

V 1- v 2 / e 2

Pero para el observador 0, quien mide la veloeidad de la luz como c, tenemos

c =V V1 + V~ = v I! + V~ 6 V = c 2 - v 2 =V 1 - v 2 / e 2 ,

la eual, cuando se reemplaza en la expresi6n previa de V ; , da V ; , =e. Una vezmas verificamos que el observador 0' mide tambien la velocidad de la luz como c.La direcci6n en la cual el observador ve el rayo de luz hace un angulo I X con el ejede las X dado por

V 1 / e V IItg I X =- =- 1 - V /ell•Vx v

Los resultados de este problema deben ser comparados con aquellos del ejemplo 6.2para el sonido, en el eual se us6 la transformaci6n Galileana.

EJEMPLO 6.6. Obtener la relaci6n entre Ia aceleracion de una partlcula medidapor dos observadores en movimiento relativo. Suponer por simplicidad que, enel in stante de la comparacion, la particula est a en reposo relative con respecto alobservador 0'.

Soluci6n: La componente X de la aeeleraci6n de Ia partlcula, medida por 0', es

,lXx' =

dt

dl

dt' .



6.8) C onsecuenc ias de la trans fo rm ac ion de Loren tz 143

Usando el valor de V' . 2 : ' de Ia primera relaci6n de la ee. (6.36) y reemplazando las

derivadas apropiadas, tenemos

a;' = l a ; ( : + (Vx- v)vax/ c~] V 1- v2jc2 = ax (1_V2/C2(3/2.

1-vVx/c2 . (1-vVx/c2) Z I-vVx/c2 (1-vVx/C2) 8 .

En el instante euando Ia partieula se eneuentra en reposo relativo con respecto

aD', Vx = y

,ax' -

Por un analisis similar encontramos que

I

ay' = all =2a1 2 / 2 11 ,-v e

Este resultado difiere del de Ia ec. (6.14) de Ia transformaei6n Galileana, ya que

en este easo Ia aeeleraci6n no es Ia misma para ambos observadores en movimiento

relativo uniforme. En otras palabras, el requisito de que Ia velocidad de Ia Iuz sea

invariante en todos los sistemas de referencia que se encuentran en movimiento

relativo uniforme destruye Ia invariancia de Ia aceleraci6n.

Es importante conocer Ia relacion entre las magnitudes de Ia aceleraci6n ob-

servada por 0 yO'. Ahora

a'Z = a';' + a'~' + a':'

al a! a!___ ~x + . + ~ __

(1 - V2/C2

)3 (1 - v2je2

)Z (1 --- v2jc2

)2

a! + (a; + a~)(l --- v2jc2)

(1--- v2jc 2 ) 3

a2 _ v2(a: + a:)jc2

-----

(1--- v2jc2 ) 3

Pero v = «xv y v x a = -- "yvat; + ,,~vaJl ' de modo que (e x a )2 =2(a~ + a~). Por

consiguiente

a2 =a2--- (v x a)2/cl •

(1--- v2/(2)3

(6.39)

que es Ia relaci6n requerida. Cuando la aceleraci6n es paralela a Ia velocidad, v )(a=

y a.' =aj(1 - v2jcZ )3/2. Este resultado esta de acuerdo con Ia relaclon entre a r& ya v"Cuando Ia aceleracion es perpendicular a la velocidad (a x v)2 = vlla'l y a' = a/(1-- vlje 'l) que coincide con Ia relaei6n entre all, a , Y a;', a;'.

6.8 Consecuencios de la transjormacion de Lorentz

EI factor k =/V ! - U2/C 2 que aparece en Ia ee. (6.33) sugiere que las longitudesde los cuerpos y los intervalos de los tiempos entre eventos dados pueden no ser

los mismos cuando se miden por observadores diferentes. Diseutiremos ahora esta

importante cuesti6n.



1 4 4 Mo vim iento T elativo (6.8

(1) Contracci6n de la longitud. La longitud de un objeto puede definirse

como la distancia entre sus extremos. Sin embargo, si el objeto cuya longitud

se mide se encuentra en movimiento relativo con respeeto a un observador, las

posiciones de sus dos extremos deben ser medidas s imulu ineamenie . Consideremos

una barra en reposo relativo a 0' y para lela al eje 0' X'. Designando sus dosextremos por a y b, su longitud medida por 0' es L' = xt, - x~. La simultaneidad

no es necesaria para 0' debido a que el ve la barra en reposo. Sin embargo,

el observador 0, quien ve la barra en movimiento, debe medir las coordenadas

Xa Y xb de los extremos al mismo tiempo i, obteniendo L =b - Xa. Aplieando

la primera relacion en la ee. (6.33) encontramos que

y

N6tese que escribimos el mismo tiempo en ambas expresiones. Ahora, sustrayendo

, , Xb -Xa

Xb - Xa =- t = = = = = = =V I - v 2 / c 2

Puesto que el factor V I - " ' l c 2 es menor que la unidad, tenemos una situacion

en la cual L es menor que L', esto es el observador 0, quien ve el objeto en mo-

vimiento, mide una longitud meno r que el observador 0', quien ve el objeto enreposo. En otras palabras, los objetos en m ooim iento parecen m as cortes; esto esLmovimiento <Lreposo. '''~--.,,-,-. ...

6 L=I - " ' / e Z L'. (6.40)

(2) Dilataci6n del tiempo, U n in tero alo d e tiem p o puede definirse como el

tiempo que transcurre entre dos eventos, medido por un observador. Un eoenio

es una ocurrencia especifica que sucede en un punto particular del espacio y en

un tiempo particular. Asi, en funci6n de estas definiciones, cuando la masa del

pendulo alcanza su maxima altura durante una oscilaci6n, esto constituye un

evento. Despues de un cierto periodo de tiempo retornara a esta misma posicion;

esto es un segundo evento. EI tiernpo transcurrido entre estos dos eventos es

entonces un intervalo. Asi un intervalo es el tiernpo que toma hacer algo: oscilar

para un pendulo, girar alrededor del nucleo para un electron, desintegrarse para

una particula radioactiva, latir para un corazon, etc.

Consideremos dos eventos que ocurren en el mismo lugar x ' con respecto a un

observador 0'. E I intervalo entre estos eventos es T'=b - t~. Para un ob-

servador 0 con respecto a quien 0' se esta moviendo con velocidad constante v

en la direccion positiva de las X, el intervalo es T =b - t a o Para encontrar la

relaci6n entre los tiempos en los cuales ocurren los dos eventos, registrados por

ambos observadores, usamos la ultima de las ees. (6.34). Esto nos da

. t~ + VX' /c2 i b + vx'Ic2t a = t tb = .

V I - v 2 l c 2 V I - " ' l c 2



6.8) C onseeuencias de La transto rm acion ae Loren tz 14:tJ

N6tese que escribimos la misma x' en ambas expresiones. Por consiguiente, res-

tando ia de ib , tenemos

6T '

T = :-;====

V I - u 2 / c 2

(6.41)

Ahora T ' es el intervalo de tiempo medido por un observador 0' en reposo conrespecto al punto en el cual tienen lugar los eventos, y T es el intervalo de tiempomedido por un observador 0 relativo al cual el punto esta en mooimien io cuandolos eventos ocurren. Esto es, el observador 0 ve que los eventos ocurren en

dos posiciones diferentes del espacio. Puesto que el factor l / V l - v2/c2es mayorque uno, la ec. (6.41) indica que T es mayo r que T '. Por consiguiente l os p ro c es os

patecen tom ar m as iiem po cuando ocurren en un cuerpo en movim ien to rela iioo a

un observador que cuando el cuerpo estd en reposo rela liuo al observador; esto esTmovimiento < Treposo-

Es importante analizar la dilataci6n del tiempo y la contracci6n de la longituden mayor detalle, ya que estos resultados son contrarios a nuestras expectativasa p rio ri. Demostraremos en una manera mas directa que la dilataci6n del tiempoy la contracci6n de la longitud son consecuencias directas de la invariancia (cons-tancia) de la velocidad de la luz. Consideremos de nuevo ados observadores 0y 0' en movimiento relativo a 10 largo del eje X con velocidad u. En la Fig. 6-16,

M' es un espejo en reposo relativo a 0' y situado a una distancia L del origena 1 0 largo del eje V'. Esta es.la misma distancia medida por 0 ya que el espejo

se encuentra en una posici6n perpendicular a la direcci6n del movimiento. Supon-gamos que, cuando 0 y 0' coinciden se envia un rayo de luz desde su posici6ncomun hacia el espejo. Para el observador que ve el espejo en movimiento, lasenal de luz debe enviarse haciendo un angulo dependiente de la velocidad delespejo y la distancia L. Sean T y T' los tiempos registrados por 0 y 0' para quela senal de luz retorne a 0' despues que se haya reflejado en el espejo. En el sis-tema 0', la luz retornara al origen, pero en el sistema 0 la luz cruzani el eje Xa una distancia vT del origen. Con respecto a 0', la trayectoria de la senal deluz es O'M'O' =L Y el tiempo transcurrido es T' = 2L/c, ya que 0' mide la

(a)

X'I<....---____c____.---xo 01

f.-~vT--1(b)

ylI

I

I__ P__ MIW///'F'"/4

IIIII

III )j

o O / J i

1-~~vT I(c)

r,yl

I~~~MI

1I

L

~I______X

0,01 X

y yl y

L

Figura 6-16



1 4 6 M ovim ienlo rela tive

Y, yl

L--XI--_~ X

0,01

MI

(a)

(6.8

y yl,

I

I

IIIIII

~-Ctl--lI

vt1--I-L-I

XI

X° 0'

(b)

Figura 6-17

(c)

velocidad de la Iuz como c. Este intervalo de tiempo corresponde ados eventos

que tienen lugar en el mismo punta (0') respecto a 0'.

Con respecto al observador 0, quien mide la velocidad como c, la trayectoria

de la senal es OPO', y por ello 0 aplica la relaci6n (de la Fig. 6-16b) G-eT) =

=G-vT)2 + L 2 0 T =2Ljc)j V I - V 2 /C 2 . Por consiguiente T = T '/V l - y 2 / e 2 , que

es la ec. (6.41). N6tese que hemos obtenido la dilataci6n del tiempo requiriendo

que la velocidad de la luz sea la misma para todos los observadores inerciales.

Consideremos ahara el espejo M' colocado a 10 largo del eje X' y orienta do

perpendicularmente a el y a una distancia L' de 0' y consideramos el espejo

en reposo en el sistema 0'. El conjunto se muestra en la Fig. 6-17. Nuevamente

cuando 0 y 0' coinciden se lanza una senal de luz hacia el espej 0 y se miden lostiempos T y T' que toma la luz en regresar a 0'. EI intervalo para 0', quien

mide la velocidad de la luz como c, es T' =L'jc. La distancia 0' M' puede no

ser la misma para el observador 0, y la llamaremos la distancia L. Ahora el

tiempo il ' para que la luz viaje de 0 al espejo se encuentra de la relacion cil=1..+viio 1 1 = L(c - v) , ya que M ' ha avanzado la distancia vtr Al reflejarse, 0 mide

un tiempo 1 2 para que la luz Ilegue a 0', que se ha movido una distancia vt2 en

aquel tiempo (ver Fig. 6-17c). Asi c t 2 =L- v t 2 0 1 2 =/ ( c + v ) . El tiempo total

necesario para que la luz llegue a 0', medido por 0, es asi

L L 2L 1T=iI+t2= + =- .

c - v c + v c 1- v 2 j c 2

Pero T Y T' corresponden ados event os que ocurren en el mismo lugar, can res-

pecto a 0', y estan relacionadas par consiguiente par la ec. (6.41), Asi,

6

Esta eeuaci6n es identica a la ec. (6.40) ya que L' es una Iongitud en reposo canrespecto a 0'. De estos dos ejernplos, vemos que la constancia de la velocidad

de la luz para todos los observadores inerciales afecta, en una manera muy par-

ticular, los resultados obtenidos par observadores en movimiento relativo.



6.8) C onsecuencias de la transform aci6n de Loren tz 147

EJEMPLO 6.7. Ancilisis del experimento de Michelson-Morley. Al principio de lasecci6n 6.6, mencionamos el experimento de Michelson-Morley. Lo describiremosahora sucintamente, y analizaremos los resultados. EI arreglo experimental lIa-mado interfer6metro se muestra esquematicamente en la Fig. 6-18, donde S es una

fnente monocromatica de luz y M 1 Y M a

son dos espejos colocados a la misma dis-tancia L' (medida por un observador te-

rrestre) de un espejo plateado P. La luz

que proviene de S, cuando llega a P, es

parcialmente transmitida hacia M; y par-

cialmente reflejada hacia Ma. Los rayos re-flejados en Ml Y M2 regresan a P y even-

tualmente llegan al observador situ adoen 0'. N6tese que la trayectoria de la luzdibujada en la Fig. 6-18 es con respecto alsistema X' ¥'Z' que se mueve con la tierra

y con respecto al cual el inierterometro estaen reposo. Se sugiere como ej ercicio que elestudiante dibuje la trayectoria de la luzvista por un observador respecto al cualla tierra se mueve con una velocidad v.El equipo experimental real usado por Mi-

chelson y Morley se ilustra en la Fig. 6-19.

r l V c Qs C-v

. .

Fuentede Iuz

Observadorterrestre

Movimiento vde tierra ----.

Fig. 6·18. Componentes basicos delexperimento de Michelson-Morley.

Soluci6n: Sea c la velocidad de la luz medida por un observador estacionario re-lativo al Her. Llamemos v a la velocidad de la tierra con respecto al Her, y orien-temos el interfer6metro de modo que la linea PM, sea paralela al movimiento dela tierra.Cuando usamos la transformaci6n Galileana, encontramos, siguiendo los resulta-

dos del ejemplo 6.2, que con respecto a la tierra, Ia velocidad de la luz que va dep a Ml es c - v, la de Ml aPes c + v y la que va de P a M a 6 de MI a P -es

V c l- v2• A st el tiempo necesario para que la luz vaya de P a Ml y de regreso a P,medido por el observador terrestre 0', es

L' t:t'II'= --- + ----

c-v c+v

2L'c

C2-VI

2L'/c---____;_--

1- vl/et. '

mientras que el tiempo necesario para ir de P aMI, y de regreso a P, medido por0', es

2L't'.l - -

V cl - VI Y 1- Vl/Cl

2L'/c

Notamos que t i l Y t1 . son diferentes, y por consiguiente los rayos que Ilegan al

observador 0' tienen una diferencia de trayectoria y (de acuerdo a la teorta pre-sentada en el capitulo 22) deberfa dar por resultado un cierto patr6n de interfe-rencia. Sorprendentemente no se observa tal interferencia, como se indic6 pre-viamente en la secci6n 6.6 • Esto sugiere que tf l = t~ . Para resolver este dilema

• En el experimento real realizado por Michelson, los dos brazos del lnterferometro, 0 mas pre-

cisamente las longitudes opttcas, eran ligeramente diferentes, dando por resultado un patronde interferencia. Luego Michelson para compensar esta diferencia y realmente aumentar laprecision de sus medlclones, giro el instrumento 900 (Fig. 6-19). Y aunque Ia teorta,basada en la transtormacton Galileana, predecla un corrimiento en el patron de interferenciacomo resultado de la rotacton, no se observ6 tal corrimiento.



141' ) M ooimiento relaiiuo (6.<

Fuente de luz ustable Placa de vidrio transparente

Espejos Espejos Placa de vidrioplateada

Fig. 6·19. Interferometro usado por Michelson y Morley en sus medicioncs dela velocidad de la luz. Una mesa de piedra que sostiene los espejos, se fija a un anillode madera que flota en mercurio. La serie de espejos sirven para aumentar la tra-yectoria total de la luz. La placa no plateada se coloca a 10 largo de una de las tra-yectorias para compensar el hecho de que la otra trayectoria debe pasar a travesdel vidrio del espejo. El telescopio permite observar las franjas de interferencia.(Dibujo cortest a de Scientific American.)

Lorentz, e independientemente Fitzgerald, propusieron que todos los objetos quese mueven a traves del eter sufren una contracci6n "real" en la direcci6n del mo-vimiento, y que esta contracci6n es suficiente para hacer que i f I =c.. Esto slg-nifica que la longitud que aparece en i f I no debe ser la misma Iongitud que apareceen iL , ya que la primera es en la direcci6n del movimiento de la tierra y Ia otraperpendicular a ella. Escribiendo L en Iugar de L' en la expresi6n para ifl. tenemos

1- V2/C2 •

Igualandot il

y il.. obtenemos, despues de simplificar,

ill =2Ljc

(6.42)

Esta expresi6n relaciona las longitudes PMl y PM2 medidas por un observadoro en reposo con respecto al eter, lEI observador 0' no debia notar esta contracci6n,debido a que la regla que usa para medir la distancia PM! esta tambien contraidaen la misma proporci6n que PMl cuando se Ie coloca en la direcci6n del movi-mien to de la tierra! Ast, para ill, las longitudes PM! Y PM2 son iguales. Pero elobservador 0 reiria de las preocupaciones de 0' ya que el se da cuenta que 0' estaen movimiento y, de acuerdo a la hip6tesis de Lorentz-Fitzgerald, los objetos queill lleva se acortan en la direcci6n del movimiento. Ast 0 concluye que la longitud"real" de PM., es L y la de PM2 es L', siendo esta diferencia "real" en longi-tud la raz6n del resultado negativo obtenido al examinar la interferencia de losdos haces de luz,

Por supuesto, una explicaci6n alternativa del result ado negativo del experimentode Michelson-Morley es suponer que la velocidad de la luz es la rnisma en todas



Bibliografla 149

las direcciones no importa emil sea el estado de movimiento del observador. En-

tonces el observador 0' utiliza C para todas las trayectorias de la Fig. 6-18 y

entonces til =~ =2L'jC. Esta fue la posici6n adoptada por Albert Einstein

cuando formul6 su principio de relatividad. EI estudiante puede, sin embargo,

en este momento decir que la contracci6n "real" supuesta por Lorentz para expli-

car el resultado negativo es exactamente Ia misma que Ia contraccion que encon-tramos en Ia ec. (6.40) usando Ia transformacion de Lorentz y el principio de Ia

invariancia de la velocidad de la Iuz. Hay, sin embargo, una diferencia fundamental

entre las dos hlpotesis usadas para obtener estos dos resultados aparentemente

identic os : (1) La contracci6n (6.42) obtenida por medio de la transformaci6n Ga-

lileana, se supone que es una contracci6n real sufrida por todos los cuerpos que se

mueven a traves del Her, y la v, que aparece en Ia formula, es Lavelocidad del ob-

jeto con respecto al Her. (2) La contraccion (6.40) se reflere solo al valor medidode Ia Iongitud del objeto en movimiento con respecto al observador, y es una con-

secuencia de la invariancia de Ia velocidad de la Iuz. La v que aparece en la formula

es Ia velocidad del objeto con respecto al observador y asl Ia contraccion es diferente

para diferentes observadores. EI gran ingenio de Einstein 10 Ilevo a comprender que

la idea del Her era artificial e innecesaria, y que la explicacion 16gica era la segunda,Este fue el postulado baslco que Einstein utiliz6 para formular el principio de la

relatividad como veremos en el capitulo 11.

Bibliograj'ia

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10. An Introduction to the Special Theory of Relativity, R. Katz. Princeton, N. J. :

Momentum Books, D. Van Nostrand Co., 1964

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12. An Introduction to the Special Theory of Relativity, W. G. W. Rossen. London:Butterworth & Co. 1964, caps. 1-4

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14. Mechanics, Keith R. Symon. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1960, secciones

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lOU lV10VZmZenlO reuiuuo

15. Physical Mechanics, Robert B. Lindsay. New York: Van Nostrand, 1961

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17. The Feynman Lectures on Physics, vol, I, R. P. Feynman, R. B. Leighton )'

M. L. Sands. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1963, caps. 15, 18 Y 2018. Source Book in Physics, W. F. Magie. Cambridge, Mass. : Harvard University

Press, 1963, pag. 27 (Huygens) ; pag, 369 (Michelson y Morley)

Problemas

6.1 Dos trenes, A y B se desplazan en

rieles paralelos a 70 km hr :! y a 90 km

hr:", respectivamente. Calcular la ve-locidad relativa de B con respecto a

A, cuando: (a) se mueven en la misma

direcci6n, (b) cuando se mueven en dl-

recciones opuestas.

6.2 Resolver el problema anterior si

los rieles bacen entre sf un angulo de 600

•

6.3 Un tren sale de Ia ciudad A a las 12

del dla yen do bacia la ciudad B, situada

a 400 km de distancia, con una velocidad

constante de 100 km hr-l. Otro trensale de B a las 2,00 p.m. y mantiene una

velocidad constante de 70 krn hr-1• De-

terminar el tiempo en el cual los trenes

se encuentran y la distancia medida a

partir de la ciudad A sl (a) el segundo

tren se dirige hacia A, y (b) el segun-

do tren se aleja de A.

6.4 Un hombre que gula a traves de

una tormenta a 80 km hr-1observa que

las gotas de lluvia dejan trazas en las

ventanas laterales haciendo un angulode 800 con la vertical. Cuando el detiene

su auto, observa que la lluvia esta ca-

yendo realmente en forma vertical.

Calcular la velocidad relativa de la lluvia

con respecto al auto (a) cuando esta

detenido, y (b) cuando se desplaza a

80 km hr-l.

6.5 Dos autos que se desplazan en

carninos perpendiculares viajan hacia el

norte y el este respectivamente. Si sus

velocidades con respecto a la tierra sonde 60 km hr-1y de 80 krn hr ", calcular

su velocidad relativa. l,Depende la velo-

cidad relativa de la posici6n de los autos

en sus respectivos caminos? Repetir el

problema, suponiendo que el segundo

auto se desplaza hacia el oeste.

6.6 Un bote se mueve en la direcci6n

N 600 W a 4,0 km hr-1 con respecto

al agua. La corriente tiene tal direcci6n

que el movimiento resultante con res-

pecto a la tierra es hacia el oeste a

5 km hr-l. Calcular la velocidad y la

direcci6n de la corriente con respecto

a la tierra.

6.7 La velocidad de un bote de carrera

en agua quieta es de 55 km hr-l. EI

piloto desea dirigirse a un punto situ adoa 80 km S 20° E. La corriente es muy

fuerte a 20 km hr-l en la direcci6n

S 700 N. (a) Calcular en que direcci6n

debe ser dirigido el bote de modo que

se desplace directamente hacia el punto

deseado. (b) Determlnar el tiempo re-

querido para el viaje.

6.8 Un rio fluye hacia el norte a una

velocidad de 3 km hr :". Un bote se

dirige al este con una velocidad relativa

al agua de 4 km hr-l. (a) Calcular lavelocidad del bote con respecto a la

tierra. (b) Si el rto tiene 1 km de ancho,

calcular el tiempo necesario para realizar

elcruce. (c) l,Cual es la desviaci6n hacia

el norte del bote cuando Begue a la otra

orilla del rlo?

6.9 Dos lugares, A y B, en la orilla

de un rio perfectamente recto, estan se-

parados a 1 km. Un hombre va de A a By de regreso hacia A en un bote de

remos que se desplaza a 4 km hr " conrespecto al rio. Otro hombre camina

a 10 largo de la orilla de A hacia B y de

regreso a 4 km hr-l. Si el rio fluye a

2 km hr-l calcular el tiemno rrue dernnra



cada hombre para realizar el viaje com-

pleto.

6.10 Usando los datos del problema

anterior, determinar la velocidad del

rio de modo que Ia diferencia entre los

tiempos de recorrido sea de 6 minutos.

6.11 Un rio tiene 1km de ancho. La

velocidad de la corriente es de 2 km hr-l•

Determinar el tiempo que demorarfa un

hombre para llevar y traer, remando, un

bote a traves del rio de una orilla a laotra, Comparar este tiempo con el que

le tomaria a un hombre para remar

1 km en la direccien de la corriente y

regresar nuevamente. EI bote a remos

se mueve con una velocidad constante

de 4 km br-l con respecto al agua,

6.12 Usando los datos del problema

anterior determinar la velocidad de la

corriente si la diferencia de tiempos entre

los dos recorridos completos es de 10 mi-

nutos.

6.13 Dado un sistema de coordenadas

fijo en Ia tierra (suponer que Ia tierra

es plana y no tiene movimiento), con-

siderar una bala .con una velocidad de

SOO pies s-1· disparada desde la cola deun aeroplane que se desplaza a 700 piesS-1(aproximadamente 440 mi hr-1). Des-cribir el movimiento de la bala (a) en

el sistema de coordenadas de la tierra,

(b) en el sistema de coordenadas del

aeroplano, (c) calcular el Angulo bajo el

cual el canon debe apuntar de modo

que la componente horizontal de la velo-cidad de la bala sea nula en el sistema

de coordenadas de la tierra.

6.14 La posici6n de una parUcula Qen un sistema de coordenadas 0 se

mide por t'=uz(6P - 4t) + "u(-. 313) ++ Us 3 m. (a) Determinar la velocidad

relativa constante del sistema 0' con

respecto a 0 si la posicion de Q se mide

por ".'=uz(6P + 31) + uu(- 3P) + u.3 m. (b) Demostrar que la aceleraclon

de Ia particula es la misma en ambos sis-

temas.

6.15 Un tren pasa por una estaci6n

a 30 m S-l. Una bola rueda sobre elpiso del tren con una velocidad de

15 m S-l dirigida (a) en la direccton del

movimiento del tren, (b) en la direcci6n

opuesta y (c) en direcclon perpendicular

Problemas 151

a la del tren. Encontrar, en cada caso,

la velocidad de la bola con respecto a un

observador parado en la plataforma de

la estaci6n.

6.16 Una partlcula con una velocidad

de 500 m S-l con respecto a la tierrase dlrlge bacia el Sur a 450 latitud N.(a) Calcular la aceleracton centrifuga

de la particula. (b) Calcular la acelera-

cion de Coriolis de la particula. (c) Repe-

tir el problema para la posicion de 450

latitud S.

6.17 Un cuerpo cae desde una altura

de 200 m en un punto cuya latitud es

de 410 N. Encontrar la desviaci6n hacia

el este con respecto al punto directa-

mente debajo del punto de partida. Re-petir este problema para un punto situa-

do en una latitud 410 S.

6.1S Un rio fluye bacia el sur a una

velocidad de 9 km/hr en un lugar cuya

latitud es 45°N (S). Encontrar Ia acele-raci6n de CorioUs. Demostrar que en el

bemisferio Norte (Sur) empuja el agua

bacia la margen derecba (izqulerda).

Este defecto produce una mayor erosi6n

en la rivera derecba (izquierda) que se

ha notado en algunos casos.6.19 Ud. esta volando sobre el ecuador

hacia el este en un jet a 450 m S-1

(cerca de 1000 mi hr-1). l,Cmil es su

aceleracion de Coriolis?

6.20 El planeta Jupiter que rota sobre

su eje con un periodo de 9 hr 51 min,tiene un radio de aproximadamente

7 x 106 km, y la aceleraci6n debida a lagravedad en su superflcie es de 26,5 m

8-1•,Cual es la maxima desvlaclon de la

plomada de Ia dtreccion radial en lasuperflcie de Jupiter?

6.21 Comparar los valores de la acele-raci6n de Ia gravedad dada por la ta-

bla 6-1 con los valores teortcos de la

ec. (6.29).

6.22 Un cuerpo se lanza verticalmente

bacia arriba con una velocidad Vo. De-

mostrar que caera en un punto despla-

zado hacia el oeste a una distancia

igual a (i)w cos ) . V S J r B / g , siendo h=~/2g.

6.23 Obtener las expresiones de la

velocidad y aceleracion de un punto

registradas por dos observadores 0 y 0'

que se mueven con velocidad angular



162 M o o im i en to r ela iio o

relativa OJ, cuando (J) no es constante.Considerar este problema cuando losorigenes coinciden y cuando no coin-ciden.

6.24 Dos observadores 0 y 0' se en-

cuentran en movimiento de traslaci6nrelativo con v = 0,6c. (a) EI observa-dor 0 ve una varilla en reposo alineadaparalelamente al movlmiento, y quemide 2,0 m. "Que longitud tiene la vari-

lIa de acuerdo a 0' 1 (b) Si la mismavarilla esta en reposo en 0', y estaaline ada paralelamente al movimiento,l,que Iarga es de acuerdo a 0 y 0'1

6.25 Determinar la velocidad relativade una variUa que tiene una longitud

medida igual a la mitad de su longi-tud en reposo.

6.26 l,CuaI es la magnitud del diame-tro de Ia tierra para un observador si-tuado en el sol? (La velocidad orbitalde la tierra con respecto al sol es de30 km s -1 , y el radio de Ia tierra se daen la tabla 13-1.)

6.27 Una nave espacial que se dirigehacia la luna pasa la tierra con unavelocidad relativa de 0,8c. (a) "Que tiem-po demora el viaje de la tierra a la luna,de acuerdo a un observador terrestre 1(b) l,Cwil es la distancia tierra-luna,de acuerdo a un pasajero de la nave 1l,Que tiempo demora el viaje, de acuerdocon el pasajero?

6.28 La vida media de un neutr6n,como particula libre en reposo es de15 min. Se desintegra espontaneamenteen un eleetr6n, un proton y un neutrino.l,Cual es la velocidad minima promediocon la cual un neutr6n debe dejar el sola fin de llegar a Ia tierra antes de desin-tegrarse?

6.29 Un mes6n IL es una partlculainestable euya vida media es de 2 xx 10-6 s medida por un observador enreposo con respecto al meson, "Cual serala vida media con respecto a un obser-vador que ve el meson moverse con unavelocidad de 0,9c1 Si se produce unagran cantidad de mesones en un cierto

punto de la atm6sfera pero sola menteel 1 % alcanza la superficie terrestre,estimar la altura del punto en el eualse originaron los mesones.

6.30 Un nueleo radio activo se muevea una velocidad de O,lc con respectoal lab oratorio cuando emite un electr6ncon una velocidad 0,8c con respecto al

nucleo. l,Cua! es Ia velocidad y la direc-

ci6n del electron con respecto al labo-ratorio si, con respecto a un sistema dereferencia situado en el nucleo, el elec-

tr6n es emitido (a) en la direcci6n delmovimiento, (b) en la direcci6n opuesta,(c) en la direcci6n perpendicular?

6.31 Los observadores 0 y 0' estanen movimiento de traslaci6n relativa

con v = 0,6c, y coincide cuando t ==t' =0. Cuando han transcurrido cincoafios, de acuerdo a 0, cuanto demora en

lIegar una sefial de 0 a 0'1 Con estainformaci6n conocida por 0 yO', quetiempo ha transcurrido de acuerdo a 0'

desde que 0 y 0' coincidieron 1 Unasefial de luz colocada en 0 es encendidadurante un afio. l,Que tiempo esta en-cendida de acuerdo a 0' 1

6.32 Resolver el problema anterior,cuando el movimiento de traslaci6n esde 0,9c.

6.33 Un cohete, cuya longitud en re-

poso es de 60 m, se aleja de la tierra.EI cohete tiene espejos en eada extremo.Una sefial de luz, enviada desde latierra se refleja en ambos espejos. Laprimera sefial es reeibida despues de200 s y la segunda, 1,74 ILsmas tarde.Encontrar la distancia a que se encuentrael cohete de la tierra y su velocidad conrespecto a la tierra.

6.34 Un astronauta de sea ir a unaestrella situ ada a cinco afios luz. Calcu-

lar la velocidad de su cohete con respectoa la tierra de modo que el tiempo, me-dido por el reloj del astronauta, seaun afio luz. l,Cua! sera el tiempo regis-trado para esta misi6n por un observadorterrestre ?

6.35 Un estudiante toma un exam enque tendra una duraci6n de una horasegun el reloj de su profesor. EI profesorse mueve a una velocidad 0,97c conrespecto al estudiante y envia una sefial

de luz cuando su reloj marca una hora.El estudiante deja de escribir euando re-cibe la sefial, l.Que tiempo tuvo el estu-diante para el examen 1



6.36 Un cienUfico desea utilizar el me-

todo de Michelson-Morley para medir

la velocidad del viento, enviando sefiales

sonoras en dos direcciones perpendicu-

lares. El supone que la velocidad del

sonido es de 300 m S-l y que la longitudde su recorrido es de 100 m. "Cual es la

minima velocidad del viento que puede

descubrir si puede medir una diferencia

de tiempos &t ~ 0,001 s?

6.37 Demostrar que la transformaci6n

general de Lorentz cuando los ejes de

coordenadas utilizadas por 0 y 0' no

son paralelos a la velocidad relativa es

Problemas 153

(" "v )vr'=r+ (k - 1) -kvt

V i '

t' =k(t - r'vIc").

[Ayuda: Descomponer los vectores .,.

y r' en componentes paralelas y perpen-

diculares a v; note que r' = ll + .,.~que .,.11=rov)vlv" .]

6.38 Demostrar que=si V y V' son lasmagnitudes de la velocidad de una par-

tlcula medida por los observadores 0

y 0' que se desplazan a 1 0 largo del eje

X con velocidad relativa v, entonces

V 1_ V'''le'' = (1- v"le") (1- V"le")

1- vVxlcly V 1_ Vl/el = (1- v2/e") (1- V'2jel)

1+ «vu»

6.39 Demostrar que la transformaci6n general de la aceleraci6n de una parttcula

medida por 0 y 0', cuando la partlcula se mueve con velocidad V relativa a 0, es

ax(l - pile")3/2a~ = -~-__::__.!.-

(1- vVxle2 ) 3 '

1- vile2 (a~= all + ax

(1- V V x le2)1

1- v2je" (a~ - -------'--- a, + ax

(1- v Vxle2 ) 2

6.40 Demostrar que cuando v es casi

igual a e , entonces k ~ I I V 2(1 - v I c ) , yque cuando v es muy pequeiia comparadacon c, entonces k ~ 1 + v2j2e".

6.41 Una caja cubica de lado L o me-dida por un observador 0' en reposo

con respecto ala caja, se mueve con una

velocidad v paralela a una arista conrespecto a otro observador O. Demos-

trar que el volumen medido por 0 es

L W 1- v21e2•

6.42 Una parttcula se mueve relativa-

mente a un observador 0 de modo que

su posici6n en el tiempo testa dada

por x =vi, Y=at2 y su trayectoria

es una parabola. Describir su movi-

miento con respecto a un observador 0'

quien se mueve con respecto a 0 con

una velocidad v. En particular, encon-trar su trayectoria y su aceleraci6n.

6.43 Una varilla de un metro forma

un angulo de 45° con respecto a Ia direc-

ci6n de movimiento en un sistema m6vil

de coordenadas. /,Cual es su longitud y su

orientaci6n, medida en el sistema del

laboratorio, si el sistema en movimiento

tiene una velocidad de 0,8e?

6.44 Discusion de simultaneidad. (a)

Demostrar que si dos eventos tienen lu-

gar con respecto a un observador 0 enlos tiempos il y 12Yen los lugares Xl y X2,

Y si T = i 2 - tu L =2 - xhlos even-

tos ocurren para el observador 0' (rno-

viendose con respecto a 0 con velocidad

v a 10 largo del eje X) en los tiempos i~

y t~ tales que, si

T' - i'-'i'- 2 It

entonces

T' =k( T - vLle 2).

(b) l,En general, son los eventos queaparecen como simultaneos a 0, simul-taneos a O'? "Bajo que condiciones son

los eventos que aparecen slmultaneos

a 0 tambien simultaneos a todos los



154 Movimiento relaiioo

observadores que se mueven con movi- menor que 0 igual a c. i,Puede el ordenmiento relativo 1 (c) Obtener la relaci6n de "los event os aparecer invertido para

entre L y T de modo que el orden en el 0'1 [Notar que si la respuesta es aflrma-

cual suceden los dos eventos, observa- tiva entonces la teoria requiere que

dos por 0', se invierten con respecto a O. V > C.]

(d) Suponer que los eventos (xu (1) Y 6.45 Demostrar que la ley de trans-

(X2' (2) observados por 0 son el result ado formaci6n de velocidades puede escri-

de alguna sefial transmitlda de (XH (1) birse en la forma vectorial de la siguiente

con velocidad V = LIT, por necesidad manera:

V ' = 1 [ V + (k-l) V 'V V - k v J .k(l-Vvf&) vi

6.46 Demostrar que la ley de transformaci6n de aceleraciones puede escribirse en

la forma vectorial de la siguiente manera:

fI'= 1 [ f l + ( _ ! _ - 1 ) f l O v v - _!_ v )( (a x Y) J ./(3(1 - V

0

vlc2 ) 3 k vi e l l

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Capitulo 06-Movimiento Relativo