Capıtulo 1

Elementos de Calculo vectorial

1.1. Algrebra de Vectores en R3

Esta es una lista de identidades elementales del algebra vectorial, que se supondran bienconocidas

A · B = AxBx + AyBy + AzBz

A × B = (AyBz − AzBy) i + (AzBx − AxBz) j + (AxBy − AyBz) k

A × A = 0

A ·!

A × B"

= 0

A ·!

B × C"

=!

A × B"

· C

A ×!

B × C"

=!

A · C"

B −!

A · B"

C

1.2. Calculo diferencial en R3

Sea f : [R3] → R una funcion real. Tambien es llamada campo escalar, pues a cada puntodel espacio (R3) le asocia un numero real (un escalar). Ejemplo de un campo escalar puede serla temperatura en cierta region del espacio T : [Ω ⊆ R3 → R]

Fig. 1.1: T (x, y, z) representa un campo escalar sobre Ω

Ademas de la existencia de campos escalares, tambien existen campos vectoriales. Laidea es bien simple, a cada punto del espacio se le asocia un vector. En R3, el tipo de camposvectoriales que nos interesaran son de la forma F : [Ω ⊆ R3] → R3.

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Fig. 1.2: La velocidad de los atomos de un objeto que rota es un ejemplo de campo vectorial

1.2.1. Derivadas de un campo escalar

Si f es un campo escalar diferenciable (y por lo tanto una funcion continua) sobre undominio D ⊆ R3, entonces esta definido el Gradiente de f

∇f(x, y, z) =

#

∂f(x, y, z)

∂x+∂f(x, y, z)

∂y+∂f(x, y, z)

∂y

$

El gradiente es un campo vectorial, pues a cada punto en D le asocia un vector. Esinmediato notar que el gradiente es perpendicular a curvas en donde el campo escalar f esconstante, como las curvas que se muestran en la figura 1. (Llamadas isotermas en el caso deque el campo escalar sea la temperatura). En efecto, la curva

f(x, y, z) = C

puede ser parametrizadaf(x(t), y(t), z(t)) = C

Derivando con respecto a t, se obtiene

∂f

∂xx′(t) +

∂f

∂yy′(t) +

∂f

∂zz′(t) = 0

#

∂f(x, y, z)

∂x+∂f(x, y, z)

∂y+∂f(x, y, z)

∂y

$

· (x′(t), y′(t), z′(t)) = 0

y entonces el gradiente es perpendicular a la direccion tangente a la curva. Mas aun, si u esun vector unitario, se define la derivada direccional de f en la direccion u como

Duf(x, y, z) = ∇f(x, y, z) · u

Se puede demostrar que la derivada direccional se maximiza en la direccion del gradiente,es decir, el gradiente entrega la direccion de maxima variacion de f .

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1.3. ∇ como un operador

Conviene considerar al gradiente como algo independiende de que funcion se esta derivando.Llamamos ∇ al operador

∇ =

#

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

$

Por supuesto que este operador ası escrito no significa nada. El operador ∇ debe operarsobre una funcion, por ejemplo

∇f =

#

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

$

Tiene completo sentido en este caso. Hemos ”multiplicado” al operador por una cantidadescalar. Hay que tener ciertas precauciones con este tipo de notacion, por ejemplo, del algebrade vectores es sabido que si α es un escalar

αA = Aα

sin embargo, f∇ no tiene sentido por si mismo, en efecto, es un nuevo operador

f∇ =

#

f∂

∂x, f

∂

∂y, f

∂

∂z

$

1.3.1. Divergencia y Rotor

Si F es un campo vectorial, entonces

∇ · F

debe ser un escalar, y por lo tanto puede tener un sentido fısico. Entendiendo ∇ como unoperador vectorial, se tiene

∇ · F =

#

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

$

· (Fx, Fy, Fz)

∇ · F =∂

∂xFx +

∂

∂yFy +

∂

∂zFz

A esta cantidad escalar asociada a un campo vectorial se le llama divergencia de F .

Veamos que mas es posible definir a partir del operador gradiente. ¿Que ocurre con ∇× F?.Por supuesto que el resultado debe ser un campo vectorial, de hecho, muy util en el analisis defunciones vectoriales. Desarrollando este producto cruz segun el algebra de vectores

!

∇ × F"

x=∂Fz

∂y−∂Fy

∂z

!

∇ × F"

y=∂Fx

∂z−∂Fz

∂x

!

∇ × F"

z=∂Fy

∂x−∂Fx

∂y

A esta combinacion se le llama rotor. En resumen, hemos definido las siguientes cantidades

7

∇f → Vector

∇ · F → Escalar

∇ × F → Vector

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1.3.2. Segundas derivadas

Hasta ahora hemos definido cantidades que involucran unicamente primeras derivadas.Veamos que ocurre con las siguientes combinaciones

(a)∇ ·!

∇f"

(b)∇ ×!

∇f"

(c)∇!

∇ · F"

(d)∇ ·!

∇ × F"

(e)∇ ×!

∇ × F"

Veamos la primera de ellas, es claro que debe obtenerse un campo escalar. Desarrollando

∇ ·!

∇f"

= ∇ ·#

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

$

∇ ·!

∇f"

=∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

Se ve que esto se puede reescribir como

∇ ·!

∇f"

= ∇ · ∇f =!

∇ · ∇"

f = ∇2f

Vemos a ∇2 como un nuevo operador, y como aparece mucho en fısica, tiene un nombre. Esllamado Laplaciano

Laplaciano → ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

debido a que el Laplaciano es un operador escalar, podrıa aplicarse sobre un vector

∇2F

por supuesto esto significa que el operador Laplaciano opera sobre cada componente de F

∇2F =!

∇2Fx, ∇2Fy, ∇2Fz

"

Veamos que ocurre con la expresion (b). Notemos que tiene la siguiente forma

A ×!

Af"

=!

A × A"

f = 0

Esperamos que

∇ ×!

∇f"

sea cero para cualquier campo escalar f . Podemos verificarlo tomando alguna de las compo-nentes

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[∇ × ∇f ]x = ∇z

!

∇f"

y− ∇y

!

∇f"

z

[∇ × ∇f ]x =∂

∂z

#

∂f

∂y

$

−∂

∂y

#

∂f

∂z

$

= 0

Del mismo modo se muestra para las demas componentes

La expresion (c) es por supuesto un campo vectorial

∇!

∇ · F"

Sin embargo, no hay nada muy especial que decir acerca de el. Es simplemente un campovectorial que podrıa aparecer en el futuro

La expresion (d) tiene la forma

A ·!

A × B"

= 0

Es decir, esperamos que

∇ ·!

∇ × F"

= 0

Para cualquier campo vectorial F . Es ası, y es facil de verificar

Por ultimo, veamos que sucede con la expresion (e)

∇ ×!

∇ × F"

Esta tiene la forma de

A ×!

B × C"

= B!

A · C"

−!

A · B"

C

Podrıamos seguir utilizando esta expresion y escribir

∇ ×!

∇ × F"

= ∇!

∇ · F"

−!

∇ · ∇"

F

El ultimo termino es el Laplaciano

∇ ×!

∇ × F"

= ∇!

∇ · F"

− ∇2F

En resumen, hemos encontrado

∇ ·!

∇f"

= ∇2f → Laplaciano sobre f, campo escalar

∇ ×!

∇f"

= 0

∇!

∇ · F"

→ Campo vectorial

∇ ·!

∇ × F"

= 0

∇ ×!

∇ × F"

= ∇!

∇ · F"

− ∇2F → campo vectorial

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1.3.3. Dos teoremas adicionales

En muchos problemas fısicos, sucede que un determinado campo vectorial F tiene rotornulo. Es decir

∇ × F = 0

Hemos visto que el rotor de un gradiente es siempre cero. Podrıa ser ciento entonces, queF fuera el gradiente de algun campo escalar, de esta forma su rotor serıa siempre nulo. Lointeresante es que esto es siempre ası, y enunciaremos el siguente teorema

Si∇ × F = 0

Existe un campo escalar ψ, tal que

F = ∇ψ

Del mismo modo, hemos visto que la divergencia de un rotor es siempre cero. Luego, si ladivergencia de un campo vectorial F es nula, podria tenerse que F fuera el rotor de un campovectorial. De ser ası, estarıa garantizado que su divergencia sea nula. En efecto, enunciamos elsegundo teorema

Si∇ · F = 0

Existe un campo vectorial A, tal que

F = ∇ × A

1.4. Calculo Integral en R3

1.4.1. Integral de lınea de un campo vectorial

Sea F : [Ω ⊆ R3] → R3

Consideremos una curva Γ contenida en Ω. Sea x0, x1, ...xn una particion de Γ, (xk, yk) unpunto en el trazo de Γ que va de xk−1 a xk, y ∆xk = xk − xk−1. Se define la integral de lıneade F (x) por

ˆ

Γ

dx · F (x) = lımn→∞

F (xk, yk) · ∆xk

Esto se puede reescribir comoˆ

Γ

dx · F (x) = lımn→∞

F (xk, yk) ·∆xk

| ∆xk || ∆xk |=

ˆ

Γ

dsT (x) · F (x)

donde T (x) es la tangente unitaria a la curva Γ en x. Asıˆ

Γ

dx · F (x) =

ˆ

Γ

dsT (x) · F (x)

La integral de lınea de un campo vectorial sobre una curva Γ corresponde a sumar lasproyeccciones de F (x) en la direccion tangente a la curva en todo punto.

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1.4.2. Integral de superficie de un campo vectorial

Sea F : [Ω ⊆ R3] → R3 y S una superficie contenida en Ω. Se define la integral de flujo delcampo F sobre S como

¨

S

dS(x) · F (x) =

¨

S

dS(x)n(x) · F (x)

corresponde a sumar la proyeccion del campo F sobre la normal a la superficie S en cadapunto.

1.4.3. Teorema de la Divergencia

Sea Ω ⊆ R3 una region. Sea F un campo vectorial continuo y diferenciable en Ω. Entonces˚

Ω

d3x∇ · F =

ˆ

ˆ

δΩ

dS(x) · F (x)

1.4.4. Teorema de Stokes

Sea S una superficie en R3. Sea F un campo vectorial continuo y diferenciable en una regionque contiene a S. Entonces

¨

S

dS(x) ·!

∇ × F (x)"

=

˛

δS

dx · F (x)

donde δS es el contorno de S (una curva en R3)

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