Captulo 1:

Proceso de PoissonProblema 1Suponga que se desea analizar el proceso de bajada y subida de pasajeros de un tren del Metro en la estacin Salvador, en el andn en direccin a Escuela Militar. Cada tren tiene una capacidad mxima de pasajeros. Suponga que el prximo tren pasar en minutos y trae pasajeros . Las personas llegan a ese andn, para tomar el prximo tren, de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa . Suponga que cada pasajero que viene en el tren se baja en la estacin Salvador con probabilidad . Cuando el tren se detiene, primero se bajan los pasajeros que deben hacerlo y luego se suben los que pueden hacerlo. Obtenga una expresin para el valor esperado del nmero de pasajeros que no lograr subir al tren.

Solucin:Sean : el proceso de llegada de personas a la estacin. : el nmero de personas que viene en el tren y se bajarn en la estacin. : el nmero de personas que no lograrn subir al Metro.

El nmero de personas que no lograr subir al Metro depende de la cantidad de personas que vengan en el tren; y la cantidad de personas que estn en la estacin esperando. Luego, como estas cantidades son aleatorias, es necesario condicionar en estas variables para conocer la distribucin de . A continuacin se observa el comportamiento de / = = 0 dependiendo del valor de + > + + y de :

Por otra parte, se sabe que es un proceso de Poisson de parmetro distribuye binomial de parmetro y . Por lo tanto: = = = , = Pr e ! =

y dems es fcil observar que

=

=

0 Pr

+

=

+

+

Pr

=

Y finalmente:

=

=

=

Pr

+

=

e !

1

Suponga que el proceso de llegada de micros a un paradero corresponde a un proceso de Poisson a tasa . El proceso de llegada de pasajeros es un proceso de Poisson a tasa (ambos procesos son independientes). Asuma que cada pasajero que llega al paradero se sube a la primera micro que pasa y que stas tienen suficiente capacidad para llevar a todos los pasajeros presentes. Obtenga la distribucin de probabilidades del nmero de pasajeros que viajan en una micro cualquiera.

Problema 2

Solucin:Debido a la propiedad de incrementos independientes que poseen los procesos de Poisson, que dice que la cantidad + es independiente a ; con , , es posible analizar la distribucin de probabilidades del nmero de pasajeros de cualquier micro. En particular se analizar lo que ocurre con la llegada de la primera micro. En la figura se muestra un diagrama de tiempos que ayuda a comprender el problema:

Figura 1. 1: Llegada de micros y pasajeros

Sea: Luego, Pr

: nmero de personas que se subirn en la prxima micro. = = Pr = = Pr =

: proceso de llegada de pasajeros al paradero ~

: proceso de llegada de micros al paradero ~

=

Pr

=

Pr

=

=

Otra manera de resolver el problema es observar los tiempos entre eventos de los procesos de llegada al paradero. A partir del momento en que llega el primer pasajero = el tiempo hasta la parada de la primera micro sigue siendo exponencial a tasa . Luego, subir una segunda persona a la micro si es menor que esa variable exponencial a tasa .

e !

2

= exponenciales con tasa mayor a una exponencial a tasa . Pr =

En general:

son menores a

exponenciales a tasa Pr exp exp

y una exponencial a tasa

es

Ahora, Pr exp

= Pr exp Pr exp

< exp < exp

> exp =

< exp

=

=

=

Pr exp

>

= x Pr exp

=

+

Finalmente, Pr = = + +

Problema 3Demuestre que: Pr , =2 = 2

Donde 0 < < < proceso de Poisson.

y en que

y

son los instantes en que ocurren el primero y segundo evento de un

Solucin:Usando la definicin de condicionalidad, se obtiene: Pr , =2 = = , Pr Pr 1 Pr , =2 2, Pr =0 = 1, = 0, =2

Ahora:

= 2, =2

=0

Pr 1

Ahora, por las propiedades de incrementos independientes y estacionarios se tiene que lo anterior tiene un valor de:

2, = 2, = Pr = 1, + Pr = 2,

=0 =0

3

Finalmente: Pr ,

=

+

2!

+ 2!

=2 =

2! 2

,

2!

Otra forma de hacerlo es utilizando tiempos uniformes de las llegadas del proceso, as: Pr , = 2 = Pr min = Pr + ; max ,

Condicionando en

se tiene que: Pr = 1

1

Pr =

=

y1 t

+

x1 t

=

1 =

2

+

Pr

Problema 4Considere un proceso de conteo con tiempo entre eventos exponenciales. Demuestre que este proceso cumple la propiedad de orden. (Utilice la serie de Taylor para la funcin exponencial).

Solucin:Un proceso Pr Pr =1 = + 2 = cumple con la propiedad de orden si:

Donde

Esto quiere decir que: Pr

se denomina o chica de h y es una funcin que cumple con: lim

=0 =1 +

Sea

un proceso de conteo con tiempos entre eventos exponenciales, es decir: ~exp

=0

Luego:

Pr

= 1 = Pr =

Pr

,

,

+

+

>

>

=

Pr

=

4

= Expandiendo la funcin

=

Pr

+

=

>

=

en su serie de Taylor, = ! + 2! 3! +

Se tiene que: =1 +

Por lo tanto:

=

= +

2!

Por otra parte:

Pr Pr

=1 = + >

= 0 = Pr =

Con lo que queda demostrado que un proceso de conteo con tiempos entre eventos exponenciales cumple con la propiedad de orden.

2! =1 + =1 +

Problema 5Un peatn dese a cruzar una calle con trfico en un solo sentido. El flujo de vehculos por la calle se comporta como un proceso de Poisson con tasa . Suponga que el peatn necesita de unidades de tiempo para cruzar la calle, y que l puede estimar exactamente los tiempos entre pasadas sucesivas de automviles. Sea el tiempo que debe esperar el peatn hasta que puede empezar a cruzar. a) Obtenga una expresin para .

Indicacin: defina como el nmero de autos que deben pasar hasta que el peatn comienza a cruzar la calle; escriba como: = = = Pr = Pr > , = Pr = = , Pr = =0

Solucin:

14

Por incrementos independientes, se tiene que: = Pr

Por otra parte, la distribucin de

= Pr

=

Pr !

= !

>

Pr =

=0

, se puede calcular como: = Pr = Pr

= 1

Luego,

=0 =

=0

+ Pr +

> , ! !

= !

+

b) Se pide calcular: Pr + =0 = , = . En este problema ya han , llegado cierta cantidad de productos de cada tipo, y hasta el instante ya han salido min productos ensamblados, por lo que puede haber un stock de min 0, productos esperado a que llegue un producto tipo B; o min 0, productos tipo B esperando a que llegue un producto de tipo A; finalmente puede que no existan productos esperando a otros (caso = ). Luego, para calcular las probabilidades se tiene que distinguir los siguientes casos: > As: : en este caso hay que calcular la probabilidad de que no llegue ningn producto tipo B. Pr =0 = , = = Pr = Pr = + =0 =0

Claramente esta distribucin no es de Poisson, por lo que el proceso

no puede ser Poisson.

> : en este caso hay que calcular slo la probabilidad que no llegue ningn producto tipo A. As: Pr + =0 = , = = Pr = Pr = + =0 =0

=

Pr

:

+ = Pr = =

=0

=

,

=

En particular, esta probabilidad es ms fcil de calcular directamente, que aplicando la frmula encontrada en la parte a). As, = 0 Pr 1 + 1 Pr + Pr Pr > 0 + Pr =0 > 0 Pr =0

= Pr = Pr

+ =0

=0

d) Pr

c)

Esta parte tiene igual probabilidad que la parte b) caso 3. > = Pr = =1 +

= 0 . Luego usando la parte b), caso 3, se obtiene: +

Luego, esta variable no puede distribuir exponencial.

16

Problema 13Considere el caso de una ampolleta que se usa en una lmpara de la casa. Se ha observado que el proceso que cuenta el nmero de veces que la ampolleta ha sido encendida en 0, es un proceso de Poisson a tasa (observe que los tiempos entre eventos de este proceso incluyen el tiempo que la ampolleta estuvo encendida y el tiempo desde que se apaga hasta que vuelve a encenderse nuevamente). La intensidad de la corriente que llega a la ampolleta es una v.a. con distribucin F. Asuma que las intensidades de las sucesivas encendidas son independientes entre s. Se sabe que, al momento de encenderla, la ampolleta se quema si la intensidad es . Si la ampolleta se quema se reemplaza instantneamente por una igual a la anterior. Obtenga la distribucin de probabilidades de la vida de la ampolleta. Sea el nmero de veces que se enciende la ampolleta en 0, . Sea ampolleta. Se pide Pr < . = Pr < =

Solucin:

el tiempo de duracin de la primera

Sea:

en que es la intensidad de la ampolleta en una encendida cualquiera. Entonces, Pr Ahora, > = Pr Pr > = Pr > > = ! = = Pr =

Luego,

Por lo tanto,

es una variable exponencial de parmetro

Pr

=

=

= 1

!

=

1

.

Problema 14Suponga que a un camping turstico de la cuarta regin llegan familias a buscar un sitio para acampar de acuerdo un proceso de Poisson a tasa . El camping cuenta con un total de sitios de camping. Si al llegar una familia observa que hay menos de sitios ocupados, siempre ingresa (y ocupa un sitio); si hay sitios ocupados ( ) ingresa con probabilidad . Si estn todos los sitios ocupados, las familias no ingresan al camping. Suponga que cada familia permanece en el camping por un tiempo indefinido. Sea el proceso que cuenta el nmero de sitios que han sido ocupados por familias entre 0 y . a)

Se desea analizar los tiempos entre eventos de ese proceso. Obtenga la distribucin de probabilidades de cada uno de estos tiempos.

17

b) Obtenga una expresin para el tiempo esperado hasta que se copa el camping.

Solucin:a)

Sean , , , , los tiempos ente eventos del proceso y , ,, los instantes en que ocurren dichos eventos. En primer lugar, se observa que hasta que no hay sitios ocupados, los tiempos entre eventos son exponenciales a tasa ya que todas las familias que llegan ingresan al camping. El problema ocurre cuando ciertas familias deciden no ingresar al camping debido a que hay ms de familias en el lugar. Analicemos que pasa con . Pr > = Pr > + = Pr + =

=

Pr

> Pr

= >

Pr =

=

Dado que llegaron ninguna todava es:

familias en un intervalo de largo , la probabilidad que no haya ingresado = 1 Pr 1 =

As, Pr

>

=

=

Esto corresponde a una distribucin exponencial de parmetro Para , se tiene algo similar, es decir, Pr > =

=

=

1

1

=

!

!

.

Luego,

~exp ~exp

para = 1, , 1

b) El tiempo hasta que se copa el camping ser la suma de los tiempos entre eventos. As, = Luego:

para =

+ 1, ,

18

= = =

1

= + +

1

1 1

1 1

+

Problema 15El proceso de fabricacin de cartulinas de la planta de CMPC (Compaa Manufacturera de Papeles y Cartones) de Maule consiste en un proceso en dos etapas: en la primera existe una mquina papelera que fabrica, a partir de pulpa de celulosa, rollos de cartulina. En una segunda etapa del proceso existe una sala de mquinas cortadoras en la que, a partir de un rollo, se cortan trozos rectangulares de cartulina con los cuales se conforma un lote final de productos terminados. En la bodega de productos terminados a la cual ingresan estos lotes se ha observado que el nmero de lotes que ingresan se comportan como un proceso de Poisson; sin embargo, la tasa del proceso, aunque es fija, no es conocida por el administrador de la bodega, ya que depende de la calidad de la celulosa utilizada y de parmetro de control de la mquina papelera. Suponga que la tasa de ese proceso es una v.a. uniforme que distribuye entre 2 y 5 lotes por hora. a) El administrador de la bodega observa que durante la primera hora de operacin del proceso entraron 4 lotes a la bodega. Obtenga una expresin para el nmero esperado de lotes que entrarn a la bodega durante la siguiente hora.

b) Suponga ahora que el primer lote ingres a la bodega a los 10 minutos de operacin del proceso. Encuentre una expresin para el tiempo esperado hasta que ingrese el siguiente lote.

Solucin:a)

Se pide 2 1 1 = 4 . Como la tasa del proceso es aleatoria, el valor esperado no se puede calcular directamente. Es necesario condicionar en la tasa para poder realizar el clculo, esto es: 2 1 1 =4 = 2 1 1 = 4, = Pr = 1 =4

Sin embargo, cul es la distribucin de conociendo que durante la primera hora llegaron 4 lotes? Claramente esta distribucin no es la uniforme debido a que se sabe informacin adicional del proceso. As: Pr = 1 =4 = = , 1 =4 Pr 1 =4 Pr 1 = 4 = Pr = Pr 1 =4 Pr

=

Utilizando el teorema de probabilidades totales, se tiene que:

19

=

Pr

Pr

1 =4 =

1 =4 4!

=

=

Finalmente, se tiene que: 2 1 1 =4 = = 2 4! 4!

4! 1

1 52 3

Pr

Pr

=

=

b) En este caso la informacin tambin altera la distribucin de . As, con siguiendo un procedimiento similar al de la parte a): Pr = = 1 Pr = , = 1 6 = 1 6 Pr = 6 1 Pr = = Pr 6 = 1 = Pr 6 1 3 = 3 1 , = 6 3 =

3

3

1 = 4, =

Pr

=

1 =4

= 10 min

y

=

Ahora: = 1 = 6 =

=

1

Pr

=

=

1 6

3

Problema 16Una empresa pesquera est dedicada a la captura de salmones en una cierta zona pesquera. Las investigaciones efectuadas en este campo permiten concluir que resulta bastante adecuado el supuesto que el nmero de salmones capturados en el intervalo de tiempo 0, se comporta de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa . Sin embargo, la tasa a la que se capturan los salmones depende de la poca del ao y de las condiciones climatolgicas en que se efecta la pesca. Los expertos de la empresa no han podido desarrollar an un modelo cuantitativo que permita relacionar la poca del ao y el clima con la tasa de pesca. Slo han podido acumular informacin histrica de las tasas capturadas en pocas anteriores, la que permite concluir que la tasa de pesca toma dos valores posibles: con probabilidad y con probabilidad 1 (estas probabilidades se han obtenido en base a la frecuencia con que se han observado las valores y en los aos anteriores).

20

Suponga que la empresa inicia la pesca en la zona respectiva y que durante el intervalo de tiempo 0, capturan salmones. a)

se

b) Interesa obtener la distribucin del tiempo que pasar, a partir del instante , hasta la siguiente captura (esto es, la + 1 sima captura).

Interesa obtener la distribucin de probabilidades del nmero de salmones que se capturar en el intervalo , + .

Suponga ahora que la tasa promedio de captura puede tomar los valores de 50 o 100 salmones por hora con igual probabilidad.

c)

Si durante la primera hora de pesca se capturaron 80 salmones, calcule el valor esperado del nmero de peces que se capturar durante la siguiente hora.

d) Suponga ahora que se sabe que durante la primera hora se capturaron 90 salmones y que durante la tercera hora 3 2 se capturaron 40 salmones. Calcule el nmero esperado de peces que se capturar durante la cuarta hora.

Soluciones:a)

Se pide Pr + condicionar en ella: Pr

+

Conocer que

Pr

=

altera la distribucin de probabilidades de la tasa , luego: = = = = Pr = , = Pr = Pr = = Pr = Pr = = Pr = , ! 1 + ! ! 1

= = Pr + Pr

=

= = =

. Como no se conoce la tasa del procesos se = , = = , = Pr Pr = = = =

=

=

= =

Anlogamente, Pr Finalmente, Pr + = =

1+ =

1 1

1+ !

1 1 1

=

=

1+

21

b) Se pide Pr

+ >

De la parte a) con = Pr >

Pr

=

! . As, =

1+ +

1

1 =0 + 1+ =

y

=

= 0, se tiene que: = 1+ 1 1

= Pr

1

c)

Se pide:

1

2

1

De la parte a) se tiene que:

= +

1 = 80 2 2

1 = 80, = 50 Pr = 50 1 = 80 1 = 80, = 100 Pr = 100 1 = 80

Pr Pr

= =Pr

= == 50

= =

1+ 1+

1

11 1+2 1 2

1 1= 0.0043

Reemplazando valores se tiene que:

Pr Adems:

= 100 1

1 = 80 =

1 = 80 =

1+

1

= 0.9957 1 = 50

2 Finalmente, 2

2

1 1

1 = 80, = 50 = = 1 = 80, = 100 = =

2 = 50 2 = 100

1

= 100

d) Se deja al lector como ejercicio.

1 = 80 = 50 0.0043 + 100 0.9957 = 99.78

22

Problema 17A un sistema productivo con dos mquinas en paralelo llegan productos de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa . Al momento de llegar al sistema se toma una decisin respecto a cul mquina dirigir el producto; suponga que con probabilidad se va a la mquina 1, y que estas decisiones son independientes entre s. Los productos que llegan a este sistema vienen de una maquina previa que desarrolla un primer proceso en estos productos. Esa mquina puede estar en dos posibles estados de funcionamiento, cada uno de los cuales define una tasa distinta. Suponga que no se sabe a priori cul es la tasa que est operando en el proceso de Poisson; asuma que esta tasa puede tomar valores y , con probabilidad y 1 respectivamente. Sean y , los procesos que cuentan el nmero de productos que han ingresado a la mquina 1 y 2 respectivamente entre 0 y . Desarrolle las expresiones que sean necesarias para obtener: Pr + = =

Solucin:

En primer lugar cabe mencionar que los procesos y son independientes entre s cuando la tasa del proceso de llegada de productos es conocida. Sin embargo, como la tasa es desconocida, conocer informacin acerca de un proceso en s modifica la distribucin de probabilidades del otro proceso. Luego, Pr + = Pr + Pr = = + + = = = , = = , = Pr Pr = = = =

El resto se deja como ejercicio al lector.

Problema 18Una empresa pesquera ha salido a alta mar con uno de sus barcos pesqueros a pescar jurel. Se sabe que el proceso que cuenta el nmero de toneladas que se capturan es un proceso de Poisson; sin embargo la tasa de pesca es desconocida. Suponga que se sabe a priori que esta tasa puede ser de 5 o 10 toneladas por hora con igualdad de probabilidad. Por cada tonelada capturada la empresa obtiene un ingreso neto de US$10.000. Cada hora de operacin del barco tiene un costo de operacin de US$90.000. Para desarrollar la faena, la empresa he decidido utilizar el siguiente procedimiento: pescar durante una hora y en base a la captura obtenida, decidir si conviene pescar o no en las prximas 10 horas. a) Suponga que durante la primera hora se capturaron 8 toneladas; indique si le conviene o no a la empresa seguir pescando.

b) Cul tendra que haber sido la pesca mnima durante la primera hora para que hubiese sido rentable seguir pescando?

Solucin:a) A la empresa le conviene seguir pescando si es que el valor esperado de las utilidades que cero. As, 1 =8 >0 es mayor

Este valor esperado se calcula como:

1 = 8 = 10

1 = 8 900

23

En que

es la captura en cualquiera de las 10 prximas horas. Luego: 1 =8 >0

Ahora,

1 = 8 > 90 1 =8

1 =8 =

+

As, slo falta calcular las probabilidades de que las tasa sean 5 o 10. Estas se calculan como: Pr =5 1 =8 = = 5, 1 = 8 Pr 1 =8 Pr 1 = 8 = 5 Pr = 5 = Pr 1 =8 = Pr = , 5 8! = 5 10 + 8! 8! 1 = = 0.367 1+2 5 8! 10 8! 10 + 8! = 0.633 Pr

= 50 Pr

1 = 8, = 10 Pr =5

1 = 8, = 5 Pr

=5

1 = 8 + 100 Pr

= 10

1 =8

= 10

1 =8

Similarmente, Pr Luego, =5

1 =8 =

b) Sea 1 = ; queremos encontrar el valor de pescando en las prximas 10 horas. Ahora, sea: = Pr 1 =

Finalmente, como 81.65 < 90 no conviene seguir pescando.

1 = 8 = 50 0.367 + 100 0.633 = 81.65 de modo que a la empresa le convenga seguir

Entonces:

=5

1 =

Queremos que:

= 50 + 100 1 1 = > 90 1 5

Ahora:

50 + 100 1

> 90

=

Por otro lado, para calcular el valor esperado de se necesita saber el tiempo en que estos registros llegaron. Para esto se condicionar en ; usando la tcnica de desordenar los instantes de llegada de estos registros, se obtiene: = =

Donde

es la probabilidad de que un registro cualquiera est vivo en . Esta probabilidad se calcula como: = Pr + exp >

Donde es el tiempo de llegada de un registro cualquiera (distribuye uniforme 0, ). Luego condicionando en , se tiene que:

25

= Obteniendo as:

=

=

Pr exp

Pr

+ exp 1

> =

> 1

Pr

=

1 = =

=

Pr

=

Ahora: = =

=

=

1 Pr =

=

1

1

1 1 =

Con lo que se obtiene:

= +

Pr

1

=

Por otra parte, el nmero de registros totales, es decir, = + tiene como valor esperado los registros iniciales ms el valor esperado de los registros que han llegado de acuerdo al proceso : = +

=

+

1

Finalmente se tiene que: = =

+

+

1

Problema 20La llegada de buses al Museo de Arte del Parque Forestal se comporta como un proceso de Poisson a tasa . Cada bus trae pasajeros con probabilidad ; = 1,2, , . El tiempo que pasa un pasajero en el museo es aleatorio y tiene distribucin . Sea el nmero de pasajeros presentes en el museo en el instante . Obtenga .

Solucin:Sea el proceso de llegada de buses al museo. Entonces:

26

= Si se desordenan los instantes de llegada de estos 0, . = Pr + >

=

Pr

=

buses, cada uno llega en un instante que distribuye

Consideremos ahora uno cualquiera de estos buses y un pasajero cualquiera de un bus. La probabilidad que un pasajero est presente en el museo en el instante es: ;

Luego:

=

=

1

Pr

+

>

=

Pr

=

Luego,

Por lo tanto, el nmero esperado de pasajeros de un bus que estarn presentes en el instante , dado que llegaron pasajeros en ese bus es: , As se obtiene: = = = = Pr = , =

=

Pr

=

Problema 21A un proceso productivo llegan piezas a ser procesadas, de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa . a) Si en el intervalo 0, llegan piezas, cul es la probabilidad que en el intervalo 0 < < < , hayan llegado exactamente de ellas? , , en que

b) Si se sabe que en el intervalo 0, llegaron al menos m piezas, cul es la probabilidad que en el intervalo 0, , en que < , lleguen exactamente piezas?

27

c)

Solucin:Sean a)

Si se sabe que en el intervalo 0, llegarn exactamente el intervalo 0, , en que < , hayan llegado al menos el proceso de llegada de piezas.

piezas, cul es la probabilidad que en piezas?

Dado que se sabe que llegaron piezas en el intervalo 0, , los instantes de llegada tomados desordenadamente distribuyen uniforme dentro del intervalo. Luego, la cantidad de piezas que hayan llegado dentro de cualquier sub-intervalo distribuyen binomial de parmetro , donde es la proporcin que representa un sub-intervalo respecto al intervalo total, en este caso: =

Luego, Pr = = =

b) Se pide calcular Pr Pr c)

Utilizando la propiedad de incremento independiente se tiene que: = Pr = = Pr Pr + =

=

1

Al igual que en a), instantes de llegada distribuye uniforme. Luego, = Pr

Pr

=

=

+

1

Problema 22En Valparaso existe un barco que da paseos tursticos por la baha de dicha ciudad. Los potenciales turistas llegan de acuerdo a Poisson a tasa . El barco inicia el paseo a las unidades de tiempo. Un pasajero potencial que llega al puerto espera al barco con probabilidad y no lo espera con probabilidad 1 , en que es el tiempo que falta para que el barco inicie su recorrido. Suponga que el barco tiene capacidad ilimitada. Suponga que entre 0 y a) llegaron pasajeros al puerto:

Obtenga una expresin para la probabilidad que el primero de ellos haya viajado en el barco

b) Obtenga el nmero esperado de pasajeros que viajaron en el barco.

Solucin:a) La probabilidad de que el primer pasajero que haya llegado al puerto viaje efectivamente en el barco depende del instante en que haya llegado ese individuo. As, se condiciona en el instante de llegada,

28

Dado que llegaron pasajeros entre 0 y , es sabido que los instantes de llegada, tomados desordenadamente, distribuyen uniforme. As, Pr > = Pr > = 1

Sin embargo, Cunto vale Pr

=

= Pr 1

Pr 1

=

= ?

Pr

=

Esto es as ya que se pide que el 1 instante sea mayor que deben ser mayores que . Sin embargo, se necesita Pr = Pr = = = Pr

Pr

= 1 1

luego todos los otros instantes tambin ; esto es:

= 1 Finalmente, = = 1

1 1

1

=

1 1

b) Dado que llegaron pasajeros al puerto, se pide el valor esperado del nmero de pasajeros que viajarn finalmente. ste nmero distribuye binomial de parmetros , donde es la probabilidad de que un pasajero viaje efectivamente. Para el clculo de se sabe que los instantes de llegada distribuyen uniforme y son independientes entre s por lo que: = = Pr Pr Pr

Luego, como el valor esperado de una binomial es es:

=

=

1

=

, el nmero esperado de pasajero que viajar

29

=

=

1

Problema 23A la penitenciara de Santiago llagan personas a cumplir condenas de acuerdo a los dictmenes de los diversos tribunales de la ciudad. Asuma que estas personas llegan a la penitenciara de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa de personas por ao. El tiempo que una persona permanece en la penitenciara es una v.a. con el nmero de personas presentes en la penitenciara al distribucin exponencial con media aos. Sean principio del ao . a) Obtenga un expresin para . qu sucede con esta expresin cuando 1 = = + 1 ?

b) Demuestre que:

Solucin:a)

A partir de la expresin anterior encuentre una expresin para en funcin de 1 . Suponga que en el largo plazo, ambos valores son iguales. Puede obtener de ah una expresin para cuando ? Sea el proceso de llegada de personas a la penitenciara. = 1 = Pr 1 =

La distribucin de 1 = es una binomial. La probabilidad de xito (asumiendo que se desordenan las llegadas): = = Pr Pr exp 1 + exp > > 1 1 1

En que 1 .

1 es el nmero de personas que han llegado desde principio hasta finales del ao est dada por

=

1

El valor esperado de esta binomial es = =

. Luego, Pr

=

=

1

1

1 = =

1 =

Pr 1

1 =

30

Cuando

se tiene que: 1 = =

b) Se tiene que la cantidad i.

= /

: nmero de personas que estaban en la crcel al principio del ao la crcel al principio del ao . Esta variable distribuye binomial de parmetros estando en la crcel. As = Pr = Pr exp , donde

+ , donde:

1 y que continuarn en

es la probabilidad de seguir

donde se ha utilizado la propiedad de falta de memoria de la exponencial. Luego, = =

>1 =

ii.

: nmero de personas, de las que llegaron durante el ao principio del ao .

1, que estarn en la crcel al

Para conocer el valor esperado de estas variables es necesario condicionar en las llegadas ocurridas en el ao , y desordenar las llegadas. = Luego, = Por lo tanto, se demuestra que: 1 = Ahora, = 1 = Pr + 1 = Pr 1 = = + 1 1 = 1 = Pr Pr exp + exp > 1 >1 = 1

=

=

Si

=

=

Pr

+

1

1 , se tiene que:

1

+

1 = 1

Pr

1

1 =

31

1

=

=

1

Problema 24Al hospital clnico de la Universidad Catlica llegan pacientes a solicitar atencin de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa . Se sabe que una proporcin de estos pacientes slo enfrentan males menores, por lo que son atendidos en la posta del hospital y luego son despachados a sus hogares. El resto de los pacientes sufre enfermedades mayores y deben ser hospitalizados. El tiempo que permanece hospitalizado un paciente es una v.a. Asuma que los tiempos de hospitalizacin de los distintos pacientes son v.a. i.i.d. con distribucin exponencial a tasa y que el hospital tiene capacidad ilimitada. a) Sea el nmero de pacientes hospitalizados en el instante probabilidades de . . Obtenga la densidad de

b) Si se sabe que en el intervalo 0, llegaron pacientes al hospital (de cualquier tipo), cul es la probabilidad que ninguno de ellos tenga una enfermedad mayor? c) Si se sabe que entre 0 y llegaron pacientes leves, cul es la probabilidad que en ese intervalo hayan llegado pacientes con enfermedades mayores? En primer lugar se observa que el proceso de llegada de pacientes graves es Poisson 1 debido a que corresponde a un proceso de descomposicin. Llamemos a este proceso.

Solucin:a)

,

Tambin se observa que para conocer el nmero de personas hospitalizadas en el instante se requiere conocer el instante de llegada de las personas al hospital. Podemos condicionar en el nmero de llegadas y desordenar los instantes de llegada. As: Pr = = Pr = = Pr = donde es la probabilidad

Es sabido que = distribuye binomial de parmetros de que la persona est en el hospital en el instante . As, = Luego, Pr = = 1 ! = Pr Pr exp > = Pr > + exp > =

,

1

=

!

!

1

1

1

!

!

32

=

Por lo tanto:

= ~

1

!

!

1

1

^

!

1

1

1 Pr =0 =

=

1

1

b) Sean

llegadas de pacientes leves y

la llegada de pacientes graves. Se pide:

Esto es equivalente decir que slo hayan llegado pacientes con enfermedades menores, por lo que: Se pide Pr = = Pr . =0 = =

c)

La descomposicin de un proceso de Poisson, como en este caso, da como origen a 2 procesos de Poisson independientes entre s. Luego: Pr = = = Pr = = 1 !

Problema 25La empresa EMOS tiene una planta de tratamiento de agua potable en Las Vizcachas. Una parte importante del proceso es el filtrado del agua de ro, previamente decantada, con filtros de arena y carbn. En el proceso de filtrado, el lodo del agua decantada se va adhiriendo a estas filtros, haciendo necesario limpiarlos cada vez que se ha acumulado demasiado lodo. Esto no afecta la produccin debido a que la planta dispone de un gran nmero de filtros. Despus de analizar los datos histricos, se ha concluido que el proceso que cuenta el nmero de filtros que salen de funcionamiento para ser limpiados es Poisson a tasa . Tambin se ha visto que el tiempo que demora la limpieza de un filtro es una v.a. con distribucin exponencial a tasa (independiente del nmero de filtros que salen de operacin). Sea a) el nmero de filtros fuera de funcionamiento en el instante , debido a una limpieza. b) Si se sabe que durante 0, salieron de funcionamiento filtros, cul es la probabilidad que permanezcan menos de filtros en el proceso de limpieza, en el instante ? Obtenga una expresin para la distribucin de probabilidades de .

Solucin:a) Sea el proceso de llegada de filtros al proceso de limpieza. Para calcular la distribucin de es necesario condicionar en . Esto es: Pr = = Pr = = Pr =

33

Se sabe que es un proceso de Poisson de parmetro , por lo que slo resta calcular Pr = = . Los instantes de las llegadas al proceso de limpieza, tomados desordenadamente al estar condicionado en , distribuyen uniforme entre 0, por lo que = es una variable que distribuye binomial de parmetros , , donde es la probabilidad de que un filtro que haya llegado a limpieza antes de todava est siendo limpiado. Para que todava el filtro est siendo atendido, el tiempo de permanencia debe ser mayor a , as la probabilidad es: = Pr Luego, Pr = = = ~ < 1 ! ! + exp > = 1 1

=

!

Por lo tanto:

!

!

1

!

b) Lo que se pide es: Pr

Pr

Pr = > Pr = > = = 0.2 + 0.5 0.7 Pr = 0.7 =

Pr

3

=

3 4

>

.

Dado que han llegado rdenes, el tiempo hasta la primera orden por 4 artculos ser mayor que si y slo si no se ha pedido ninguna orden de 4. Luego,

As,

Pr

>

=

Por lo que el tiempo distribuye exponencial a tasa 0.3 .

=

.

!

Problema 28

Considere un proceso de Poisson no homogneo en que la tasa es igual a 2 para > 4. a) Obtenga la funcin distribucin de . b) Obtenga una expresin para la funcin distribucin de c) = 5.

4, y es igual 8 para

Suponga que el tiempo se mide en horas y que se sabe que en las primeras 4 horas se produjeron 8 eventos; calcule la probabilidad que 4 de ellos se hayan producido durante la primera hora. Se pide calcular Pr

Solucin:a)

. As,

En los procesos no homogneos, se tiene que: Pr = , por lo que:

Pr

>

= Pr = = ,

=0 !,

Donde

En este caso se necesita Para 4

0,

37

Para

> 4,

Pr Pr 0, =

0,

= 2

=0 = =1 ^ + 8 = 8 16

2

=

Por lo tanto, Pr

Pr Pr =

=0 = =1

b) Pr

Por lo que se necesita

>

= 5 = Pr

5, 5 +

5

.

5 =0

1 1

4 >4

5,5 + Pr 5+

= Pr

8

=8

Luego,

c) Pr 1 =4

Pr

=5 =1

5 =0 =

4 =8 =

=

Pr

Por incrementos independientes, se tiene que: Pr 1 =4 4 =8 = Pr

Pr

Luego, basta calcular estas probabilidades. As,

1 = 4 Pr 4 Pr 4 =8 4! 15 4! 16 8!

1 = 4, 4 = 8 Pr 4 =8 1 = 4, 4 1 = 4 Pr 4 =8

1 =4

Pr Finalmente:

4 Pr

1 =4 =

1 =4 =

4 =8 =

38

Pr

1 =4

4 =8 =

15 8! 16 4! 4!

Problema 29A una central telefnica llegan llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson no homogneo con tasa que se mide en minutos. a) Obtenga la probabilidad que durante el primer minuto llegue al menos una llamada a la central. , en

b) Si se sabe que durante los primeros 2 minutos llegaron 40 llamadas a la central, cunto tiempo pasar, desde el final del segundo minuto, hasta que llegue la llamada nmero 41?

Solucin:a) Se pide: Pr 1 > 0 = 1 Pr = 0,1 = 1 =0 =

Como se tiene un proceso de Poisson no homogneo, se debe calcular , Luego, Pr 1 >0 =1 2 2+ 0! 2

,

. As,

b) Sea

el tiempo medio desde el final minuto 2 hasta que llegue la llamada nmero 41. Entonces: Pr > = Pr 2 =0 = 2,

=1

Ahora

2,2 +

Luego:

= Pr

=

2 >

2+

=

4 =

2

4 +

=

39

Problema 30Sean a) los tiempos entre eventos de un proceso de Poisson no homogneo con tasa Encuentre una expresin para la distribucin de . , . ,,

b) Encuentre una expresin para la distribucin de c) Son los

condicionada en

.

d) Considere 2 intervalos contiguos: 0, y , . Suponga que en el primer intervalo ocurrieron evento? eventos; cul es la probabilidad que en el segundo intervalo ocurran e)

s independientes? son idnticamente distribuidos?

Solucin:a)

Suponga que = 5625 ; encuentre la distribucin de probabilidades del tiempo hasta que ocurra el primer evento. Cunto vale esa distribucin evaluada en ?

b)

Pr Pr > = ,,

> =

= Pr = Pr

=0 = + + + + + =0

c)

por lo que no En la parte b) se puede ver que la probabilidad de un depende directamente de pueden ser independientes y tampoco pueden ser idnticamente distribuidos ya que la tasa est en funcin del tiempo.

d) Los procesos de Poisson no homogneos cumplen con la propiedad de incrementos independientes por lo que: Pr = = = Pr = =

e)

Primero se calcular la integral: 0, = 5625 = 5625 9

! +

= 5625 Pr

Reemplazando en a), se tiene que:

3

1

3

3

Cuando

= 1 Pr

Como es de esperar.