Capítulo 3

3

Realizando Computaes

Este captulo discute conceitos-chave relacionados realizao de computaes com Maple. Ele

discute funcionalidades que so relevantes para todos os usurios do Maple. Depois de aprender sobre

esses conceitos, voc aprender, no captulo seguinte, como usar o Maple para resolver problemas em

reas especficas.

3.1 Neste Captulo

Seo Tpicos Computao Simblica e Numrica - Uma viso geral de computao exata e com ponto flutuante

Computaes Exatas Computaes com Ponto-Flutuante Converso de Quantidades Exatas para Valores com Ponto-Flutuante Fontes de Erro

Operaes com Inteiros - Como realizar computaes com nmeros inteiros

Comandos Importantes com Inteiros Nmeros em Base no Decimal Anis e Campos Finitos Inteiros Gaussianos (Gaussian Integers)

Resoluo - Como resolver equaes matemticas bsicas (padro?)

Equaes e Inequaes Equaes Diferenciais Ordinrias Equaes Diferenciais Parciais Equaes com Inteiros Equaes com Inteiros em um Campo Finito

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30/7/2009file://C:\Documents and Settings\Administrador\Meus documentos\e-Books\Manual M...

3.2 Computao Simblica e Numrica

A computao simblica a manipulao matemtica de expresses envolvendo smbolos ou

quantidades abstratas, como variveis, funes e operadores; e nmeros exatos, como os inteiros,

Sistemas Lineares Relaes de Recorrncia

Seo Tpicos Unidades,Constantes Cientficas e Incerteza - Como construir e computar com expresses que tm unidades, constantes cientficas ou graus de incertezas

Unidades

Converses Aplicao de Unidades a uma Expresso Realizao de Computaes com Unidades Trocando o Sistema de Unidades Corrente Extensibilidade

Constantes Cientficas

Constantes Cientficas Propriedades de Istopos e Elementos Valores, Unidades e Incertezas Realizao de Computaes Modificao e Extensibilidade

Propagao de Incerteza

Quantidades com Incerteza Realizao de Computao com Quantidades com Incerteza

Restrio de Domnio - Como restringir o domnio para computaes

Domnio dos Nmeros Reais Suposies sobre Variveis



racionais, e . O objetivo de tais manipulaes pode ser para transformar uma expresso em uma

forma mais simples ou relacionar a expresso a uma outra, frmulas mais compreensveis .

A computao numrica a manipulao de expresses em um contexto de preciso aritmtica

finita. Expresses envolvendo nmeros exatos, por exemplo, so substitudos por

aproximaes usando nmeros com ponto-flutuante, por exemplo 1.141421. Essas computaes

geralmente envolvem algum erro.A compreenso e o controle deste erro freqentemente to

importante quanto o resultado computado.

No Maple, a computao numrica normalmente realizada se voc usar nmeros com ponto-flutuante

(nmeros contendo um ponto decimal) ou o comando evalf. O comando plot (veja Grficos e Animaes

(pg. 157)) usa computao numrica, enquanto que comandos como int, limit, e gcd

(veja Operaes com Inteiros (pg. 60) e Computaes Matemticas (pg. 99)) usam somentea computao simblica para alcanar seus resultados.

Computaes Exatas

No Maple, nmeros inteiros, racionais, constantes metemticas como e e estruturas matemticas como matrizes tendo esses como entradas so tratados como quantidades exatas. Nomes, como ,

, my_variable e funes matemticas como sin(x) e LambertW(k, z) so objetos simblicos.

Os nomes podem ter seus valores designados por quantidades exatas, e funes podem ser avaliadas

nos argumentos simblicos ou exatos.

>



Importante: A no ser quando for pedido para fazer-se de outro modo (veja a seo seguinte), o Maple

avalia expresses contendo quantidades exatas com resultados exatos, assim como voc faria se

estivesse calculando mo e no com aproximaes numricas, como normalmente voc obtm de

uma calculadora manual padro.

>

>

>

Computaes com Ponto-Flutuante

Em algumas situaes, uma aproximao de uma quantidade exata requerida. Por exemplo, o

comando plot requer que a expresso, da qual ele est fazendo o grfico, avalie com valores numricos

que possam ser interpretados na tela: no pode ser interpretado, mas 1.14159 pode. O Maple

(3.1)

(3.2)

(3.3)



distingue

quantidades aproximadas das exatas pela presena ou ausncia de um ponto decimal: aproximada,

enquanto que exata.

Nota: Uma representao alternativa de nmeros com ponto flutuante, chamada notao-e, pode

no incluir um ponto decimal explcito: 1e5 , 3e-2 .

Na presena de uma quantidade com ponto-flutuante (aproximada) em uma expresso, o Maple

geralmente computa usando aproximaes numricas. A aritmtica envolvendo quantidades exatas

e com ponto-flutuante fornece resultados com ponto-flutuante.

>

Se uma funo matemtica passa por um argumento com ponto-flutuante, ela tenta normalmente

produzir como resultado uma aproximao com ponto-flutuante,

>

(3.4)

(3.5)



Converso de Quantidades Exatas para Valores com Ponto-Flutuante

Para converter uma quantidade exata para uma aproximao numrica dessa quantidade, use o comando

evalf ou a operao Approximate do menu de contexto (veja Aproximao do Valor de uma Expresso

(pg. 19)).

>

Por padro, o Maple computa tais aproximaes usando 10 dgitos aritmticos. Voc pode modificar

isto de duas maneiras:

Localmente, voc pode passar a preciso como um ndice para a chamada evalf.

>

Globalmente, voc pode determinar o valor da varivel do ambiente Digits.

(3.6)

(3.7)



>

>

Para mais informaes, veja as pginas de ajuda ?evalf e ?Digits.

Nota: Quando apropriado, o Maple realiza computaes com ponto-flutuante usando diretamente

o hardware fundamental do seu computador

Fontes de Erro

Pela sua natureza, computaes com ponto-flutuante envolvem algum erro. O controle do efeito desses

erros o objetivo da pesquisa em Anlise Numrica (Numerical Analysis).Algumas fontes de erro

so:

Uma quantidade exata que pode no ser representvel exatamente na forma decimal:

e so exemplos.

Pequenos erros podem acumular depois vrias operaes aritmticas.

Subtrao de quantidades aproximadamente iguais pode resultar em uma informao intil. Por

exemplo, considere a computao de para

>

(3.8)



No resta nenhum dgito correto. Se, entretanto, voc usar o Maple para analisar esta expresso

e substituir esta forma por uma representao mais apurada para pequenos valores, um resultado em

dgito-10 bastante preciso pode ser obtido.

>

>

Para mais informaes sobre avaliao de uma expresso em um ponto, veja Substituindo uma

Sub-expresso por um Valor (pg. 280).

Para informaes sobre criao de uma aproximao por srie, veja Sries (pg. 132).

Para mais informaes sobre nmeros com ponto-flutuante, consulte as pginas de ajuda ?float e

?type/float.

3.3 Operaes com Inteiros

(3.9)

(3.10)

(3.11)



Em adio aos operadores aritmticos bsicos, o Maple tem muitos comandos para a realizao de

computaes mais complicadas com inteiros, tais como a fatorao de um inteiro, verificao quanto a

um inteiro ser nmero primo e a determinao do mximo divisor comum (MDC) de um par de inteiros.

Nota: Muitas operaes com inteiros esto disponveis como tarefa templates (Tools>Tasks>Browse).

Voc pode realizar com rapidez muitas operaes com inteiros usando os menus de contexto.

Selecionando um inteiro e ento clicando com o boto direito (para Macintosh, Control-clique) exibe-se

um menu de contexto com comandos para inteiros (integer), por exemplo, Integer Factors, que aplica o

comando ifactor. Veja a figura 3.1.

>

Figura 3.1: O Menu de Contexto para um Inteiro



No modo Planilha, o Maple usa um rtulo de referncia de equao na chamada de seqncia ifactor.

>

>

Para mais informaes sobre rtulos de equao, veja Rtulos de Equao (Equation Labels)

(pg 51).

Para mais informaes sobre o uso de menus de contexto no modo Planilha, veja Menus de

Contexto(pg. 39). Para informaes sobre o uso de menus de contexto no modo Documento, vejaMenus de Contexto (pg. 18).

Voc pode tambm entrar com o comando ifactor e especificar o inteiro a ser fatorado como um

argumento.

>

O Maple tem muitos outros comandos para inteiros, incluindo aqueles listados na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Seleo de Comandos para Inteiros (Select Integer Commands)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

comando Descrio abs valor absoluto (exibe em 2-D math como

) factorial fatorial (exibe em 2-D math como ifactor fatorao



>

>

>

>

Para informaes sobre encontrar solues inteiras para equaes, veja Equaes de Inteiros (Integer

Equations (pg. 78).

Sistemas de Nmeros No-Decimais e outros Sistemas Numricos

igcd mximo divisor comun (greatest common divisor)

iquo quociente de diviso de inteiro (quotient of integer division)

irem resto de diviso de inteiro (remainder of integer division)

iroot aproximao de raiz n-sima de inteiro isprime teste de nmero primo isqrt aproximao de raiz quadrada de inteiro max,min mximum e mnimum de um conjunto mod aritmtica modular (modular arithmetic)

(Veja Campos e Anis Finitos (pg. 63) numtheory[divisors] conjunto de divisores positivos

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)



O Maple d suporte a:

Nmeros com base no-decimal

Aritmtica de campos e anis finitos (Finite ring and field arithmetic)

Inteiros Gaussianos (Gaussian integers)

Nmeros com Base No-Decimal

Para representar uma expresso em outra base, use o comando convert.

>

>

Para informaes sobre palavras-chave entre aspas simples ('), veja Avaliao Posterior (Delaying

Evaluation (pg. 285).

Voc pode tambm usar o comando convert/base.

>

Note: O comando convert/base devolve uma lista de valores de dgitos (digit values) em ordem

significativa decrescente.

Campos e Anis Finitos (Finite Rings and Fields)

O Maple d suporte a computaes com (congruncias lineares de) um inteiro de mdulo m.

O operador mod avalia uma expresso com um inteiro de mdulo m.

(3.19)

(3.20)



>

Por padro, o operador mod usa a representao positiva (comando modp). A representao simtrica

fica disponvel usando o comando mods.

>

>

Para informaes sobre representao simtrica como padro, consulte a pgina de ajuda ?mod .

os operadores de aritmtica modular esto listados na tabela 3.2.

Tabela3.2: Operadores de Aritmtica Modular

(3.21)

(3.22)

(3.23)

Operao Operador Exemplo Adio (Addition)

Subtrao (Subtraction) -

Multiplicao (exibe em 2-D Math como . )

*

Multiplicativo de inverso (exibe em 2-D Math como um sobrescrito)

^(-1)

Diviso (exibe em 2-D Math como )

/

Exponenciao &^



Para informaes sobre resoluo de uma equao mdulo de um inteiro, veja Equaes de Inteiros

em um Campo Finito (Integer Equations in a Finite Field) (pg. 78).

O operador mod d suporte tambm a aritmtica polinomial e matrizes sobre campos e anis finitos. Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?mod.

Inteiros Gaussianos

Inteiros Gaussianos so nmeros complexos em que as partes reais e imaginrias so nmeros inteiros.

O pacote GaussInt contm comandos que realizam operaes de inteiros Gaussianos (Gaussian integer).

O comando GIfactor devolve a fatorao de inteiro Gaussiano.

>

Voc pode entrar com a unidade imaginria usando os seguintes mtodos.

Na paleta Common Symbols, clicar o item i ou j . Veja Paletas (pg. 9).

Entrar com i ou j e, ento,pressionar a tecla de finalizao. Veja Nomes de Smbolos (pg. 14).

Nota: Na entrada 1-D Math, entrar com a unidade imaginria como um i maisculo (I). O comando

GIsqrt aproxima a raiz quadrada nos inteiros Gaussianos.

Para introduzir um circunflexo (^) em 2-D Math, entre com um caractere contrabarra seguido por um circunflexo, isto , \^.

(3.24)



>

Para maiores informaes sobre inteiros Gaussianos incluindo uma lista de comandos do pacote GaussInt, consulte a pgina de ajuda ?GaussInt.

3.4 Resoluo de Equaes Voc pode resolver uma variedade de tipos de equaes, incluindo aqueles descritos na tabela 3.3.

Tabela 3.3: Sumrio dos Mtodos de Resoluo para Importantes Tipos de Equaes

(3.25)

Tipo de Equao Mtodo de Resoluo Equaes e inequaes comandos

solve e fsolve Equaes diferenciais ordinrias (ordinary differential equations)

ODE Analyzer Assistant (e comando dsolve)

Equaes diferenciais parciais (partial differential equations)

comando pdsolve

Equaes de inteiros (Integer equations)

comando isolve

Equaes de inteiros (Integer equations) em um campo finito

msolve command

Sistemas lineares comando LinearAlgebra

[LinearSolve] Relaes de Recorrncia comando

rsolve



Nota: Muitas operaes de resoluo esto disponveis como tarefas templates (Tools>Tasks>Browse)

e em menus de contexto. Esta seo foca sobre outros mtodos.

Resoluo de Equaes e Inequaes

Usando o Maple, voc pode resolver simbolicamente equaes e inequaes. Voc pode tambm

resolver equaes numericamente.

Para resolver uma equao ou um conjunto de equaes usando o menu de contexto:

1. Clicar a equao com o boto direito (para Macintosh, Control-clique).

2. Do menu de contexto, selecionar Solve (ou Solve Numerically). Veja a figura 3.2.

>

Figura 3.2: Menu de Contexto para uma Equao

No modo Planilha, o Maple insere uma chamada de seqncia que resolve a equao seguida pelas

solues.

(3.26)



Se voc selecionar Solve, o Maple computa solues exatas.

>

>

Se voc selecionar Solve Numerically, o Maple computa solues com ponto flutuante.

>

>

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)



Para informaes sobre como resolver simbolicamente equaes e inequaes usando o comando solve,

veja a seo seguinte. Para informaes sobre como resolver numericamente usando o comando fsolve, veja Resolvendo Equaes Numericamente (pg. 70).

Resolvendo Simbolicamente Equaes e Inequaes

O comando solve um resolutor geral que determina solues simblicas exatas para equaes e

inequaes. As solues para uma nica equao ou inequao so devolvidas como uma seqncia

de expresses. Se o Maple no encontra nenhuma soluo, o comando solve devolve uma seqncia

de expresses vazia.

>

Recomenda-se que voc verifique as solues devolvidas pelo comando solve. Para maiores detalhes,

veja Trabalhando com Solues (Working with Solutions) (pg. 71).

Para devolver as solues como uma lista, coloque a chamada de seqncia entre colchetes ([]).

>

Expresses

(3.31)

(3.32)



Voc pode especificar expresses em lugar de equaes. O comando solve automaticamente as iguala

a zero.

>

W representa a funo Lambert W.

Mltiplas Equaes

Para resolver mltiplas equaes ou inequaes, especifique-as como um conjunto ou uma lista.

>

>

Resolvendo para Incgnitas Especficas

Por padro, o comando solve devolve solues para todas as incgnitas. Voc pode especificar as

incgnitas para as quais quer soluo.

(3.33)

(3.34)

(3.35)



>

Para resolver para mltiplas incgnitas, especifique-as como uma lista.

>

Equaes Transcendentais

Em geral, o comando solve devolve uma soluo para equaes transcendentais.

>

>

Para produzir todas as solues, determine a varivel de ambiente _EnvAllSolutions como true.

Nota: Para entrar com o caractere sub-linha (_) no 2-D Math, entre com \_.

(3.36)

(3.37)

(3.38)



>

>

O Maple usa variveis da forma _ZN~, onde N um inteiro positivo, para representar inteiros arbitrrios. O til (~) indica que uma quantidade com uma suposio (assumption). Para informaes

sobre nomes com suposies, veja Suposies sobre Variveis (Assumptions on Variables) (pg. 95).

Estrutura RootOf

O comando solve pode devolver solues, por exemplo, para equaes polinomiais de ordem mais alta,

em uma forma implcita usando estruturas RootOf .

>

Estas estruturas RootOf so lugares de espera (placeholders) para razes da equao

O parmetro index numera e ordena as quatro solues.

Como qualquer expresso simblica, voc pode converter estruturas RootOf para valores com

ponto-flutuante usando o comando evalf .

(3.39)

(3.40)



>

Algumas equaes so difceis de resolver simbolicamente. Por exemplo, equaes polinomiais de

quinta ordem ou de ordem mais alta, em geral, no tm uma soluo em termos de radicais. Se ocomando solve no encontrar nenhuma soluo, recomendado que voc use o resolutor numrico

do Maple , fsolve. Para mais informaes, veja a seo seguinte, Resolvendo Equaes

Numericamente.

Para mais informaes sobre o comando solve, incluindo como resolver equaes definidas como

procedimento e como encontrar solues paramtricas, comsulte a pgina de ajuda ?solve/details.

Para informaes sobre verificao e uso de solues devolvidas pelo comando solve, veja Trabalhando

com Solues (Working with Solutions) (pg. 71).

Resolvendo Equaes Numericamente

O comando fsolve resolve equaes numericamente. O comportamento do comando fsolve similarao do comando solve.

>

>

(3.41)

(3.42)



Nota: Voc pode tambm resolver equaes numericamente usando os menus de contexto. Veja

Resoluo de Equaes e Inequaes (pg. 65).

Recomenda-se que voc verifique as solues devolvidas pelo comando fsolve. Para maiores detalhes,

veja Trabalhando com Solues (pg. 71).

Mltiplas Equaes

Para resolver mltiplas equaes, especifique-as como um conjunto. O comando fsolve resolve para

todas as incgnitas.

>

Equaes Polinomiais a Uma Varivel

Em geral, o comando fsolve encontra uma soluo. Entretanto, para uma equao polinomial a uma

varivel, o comando fsolve devolve todas as razes reais.

>

>

(3.43)

(3.44)



Controlando o Nmero de Solues

Para limitar o nmero de razes, especifique a opo maxsols.

>

Para encontrar solues adicionais para uma equao geral, use a opo avoid para ignorar as

solues conhecidas.

>

Solues Complexas

Para procurar por uma soluo complexa, ou para encontrar todas as razes complexas e reais para um

polinmio a uma varivel, especifique a opo complex.

>

Se o comando fsolve no encontra nenhuma soluo, recomenda-se que voc especifique um intervalo

(range) em que procurar solues ou especificar um valor inicial.

(3.45)

(3.46)

(3.47)



Range (Intervalo)

Para procurar por uma soluo em um intervalo, especifique o intervalo na chamada de

seqncias. O Intervalo pode ser real ou complexo.

>

A sintaxe para uma regio especfica no plano complexo ponto esquerda-abaixo..ponto direita-acima.

(lower-left point..upper-right point).

>

Valores Iniciais

Voc pode especificar um valor para cada incgnita. O comando fsolve os usa como valores iniciais

das incgnitas no mtodo numrico.

>

Para maiores informaes e exemplos, consulte a pgina de ajuda ?fsolve/details.

Para informaes sobre verificao e uso de solues devolvidas pelo comando fsolve, veja a seo

seguinte Trabalhando com Solues.

Trabalhando com Solues

(3.48)

(3.49)

(3.50)



Verificao

recomendvel que voc sempre verifique as solues (que os comandos solve e fsolve devolvem)usando o comando eval.

>

>

>

>

>

>

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)



Para maiores informaes, veja Substituindo uma Sub-expresso por um Valor (pg. 280).

Atribuindo o Valor de uma Soluo a uma Varivel

Para atribuir o valor de uma soluo varivel correspondente como uma expresso, use o

comando assign.

Por exemplo, considere a soluo numrica para equation2 , , encontrada

usando o valor inicial (starting value)

>

>

Criando uma Funo de uma Soluo

O comando assign atribui um valor como uma expresso a um nome. Ele no define uma funo.

Para converter uma soluo para uma funo, use o comando unapply.

Considere uma das solues para q para a equao .

Error, `>` unexpected

(3.55)



>

>

Voc pode avaliar esta funo em valores numricos ou simblicos.

>

>

>

Para maiores informaes sobre definio e uso de funes, veja Operadores Funcionais (Functional

Operators (pg. 267).

Outros Resolutores Especializados

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)



Alm de equaes e inequaes, o Maple pode resolver outras equaes incluindo:

Equaes Diferenciais Ordinrias -EDOs (ODEs)

Equaes Parciais Diferenciais -EDPs (PDEs)

Equaes de Inteiros (Integer equations)

Equaes de Inteiros em um campo finito

Sistemas Lineares

Relao de Recorrncia

Equaes Diferenciais Ordinrias -EDOs (ODEs)

O Maple pode resolver EDOs e sistemas de EDOs, incluindo problemas de valor inicial e valores de

contorno, simbolicamente e numericamente.

ODE Analyzer Assistant

O ODE Analyzer Assistant uma interface apontar-e-clicar para as rotinas de resoluo de

equaes

diferenciais ordinrias (ODEs) do Maple.

Para iniciar o ODE Analyzer:

Do menu Tools, selecionar Assistants e depois o ODE Analyzer.

O Maple insere o dsolve[interactive]() chamando seqncia no documento.O ODE Analyzer Assistant (Figura 3.3) exibido.



Figura 3.3: ODE Analyzer Assistant

Na janela principal do ODE Analyzer Assistant, voc pode definir ODEs, condies de valor inicial

e de contorno e parmetros. Para definir derivadas, use o comando diff . Por exemplo, diff(x(t), t)corresponde a e diff(x(t), t, t) corresponde a . Para mais informaes sobre o

comando

diff , veja O Comando diff (pg. 128).

Aps definir uma equao diferencial ordinria (ODE), voc pode resolv-la numericamente ou

simbolicamente.

Para resolver numericamente um sistema usando o ODE Analyzer Assistant:

1. Assegure-se de que as condies garantam soluo nica.

2. Assegure-se de que todos os parmentros tenham valores fixos.

3. Clique o boto Solve Numerically.

4. Na janela de Solve Numerically (Figura 3.4), voc pode especificar o mtodo numrico e os

parmetros relevantes e tolerncias de erro para resolver o problema.



5. Para computar os valores da soluo em um ponto, clicar o boto Solve.

Figura 3.4: ODE Analyzer Assistant: Dilogo Solve Numerically

Para resolver um sistema simbolicamente usando o ODE Analyzer Assistant:

1. Clicar o boto Solve Symbolically.

2. Na janela de Solve Symbolically (Figura 3.5), voc pode especificar o mtodo e relevantes opes

de mtodo-especfico para usar na soluo do problema.

3. Para computar a soluo, clicar o boto Solve.



Figura 3.5: ODE Analyzer Assistant: Dilogo Solve Symbolically

Ao resolver numericamente ou simbolicamente, voc pode ver um grfico da soluo clicando o boto

Plot .

Para fazer o grfico da soluo de um problema simblico, todas as condies e parmetros devem

estar determinados.

Para personalizar o grfico, clicar o boto Plot Options para abrir a janela Plot Options.

Para ver os comandos Maple correspondentes enquanto voc resolve o problema ou faz o grfico da

soluo, selecione a caixa de seleo do comando Show Maple.

Voc pode controlar a devoluo do valor do ODE Analyzer usando a lista suspensa On Quit,

Return. Voc pode selecionar para nenhuma devoluo o grfico exibido, o procedimento numrico computado



(para solues numricas), a soluo (para solues simblicas) ou os comandos Maple necessrios

para produzir os valores da soluo e o grfico exibido.

O Comando dsolve

O ODE Analyzer prov uma interface apontar-e-clicar para o comando Maple dsolve.

Para ODEs ou sistemas de ODEs, o comando dsolve pode encontrar:

Solues em forma fechada (Closed form)

Solues Numricas

Solues em srie

Alm disso, o comando dsolve pode encontrar:

Solues formais em srie de potncias para ODEs lineares com coeficientes polinomiais

Solues formais para ODEs lineares com coeficientes polinomiais

Para acessar todas as funcionalidades disponveis, use o comando dsolve diretamente. Para maiores

informaes, consulte a pgina de ajuda ?dsolve.

Equaes Diferenciais Parciais (PDEs)

Para resolver uma PDE ou um sistema de PDE simbolicamente ou numericamente, use o comando

pdsolve. Os sistemas PDE podem conter ODEs, equaes algbricas e inequaes.

Por exemplo, resolver simbolicamente a seguinte PDE.

>

>

(3.60)

(3.61)



A soluo uma funo arbitrria a uma varivel aplicada a .

O Maple geralmente imprime somente o valor devolvido, erros e espera durante a computao. Para

imprimir informaes sobre as tcnicas que o Maple usa, aumente o contexto (setting) infolevel para

o comando.

Para devolver toda informao, coloque o infolevel para 5.

>

>

Para mais informaes sobre PDEs, incluindo solues numricas e resolues de sistema PDE, consulte

a pgina de ajuda ?pdsolve.

Equaes de Inteiros (Integer Equations)

Para encontrar solues para uma equao, use o comando isolve. O comando isolve encontra solues

para todas as variveis. Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda ?isolve.

Checking arguments ... First set of solution methods (general or quase general solution)

Second set of solution methods (complete solutions) Trying methods for first order PDEs

Second set of solution methods successful(3.62)



>

Equaes de Inteiros (Integer Equations) em um Campo Finito

Para resolver uma equao mdulo de um inteiro, use o comando msolve. Para mais informaes,

consulte a pgina de ajuda ?msolve. O comando msolve encontra solues para todas as variveis.

>

Resolvendo Sistema Lineares

Para resolver um sistema linear, use o comando LinearAlgebra[LinearSolve]. Para mais

informaes, consulte a pgina de ajuda ?LinearAlgebra[LinearSolve]. O comando LinearSolve devolve o vetor x que satisfaz A . x = B.

Por exemplo, construir uma matriz aumentada usando a paleta Matrix (veja Criando Matrizes e

Vetores (pg. 110)) em que as quatro primeiras colunas contm entradas de A e a coluna final

contm as entradas de B.

>

>

(3.63)

(3.64)



Para mais informaes sobre o uso do Maple para resolver problemas de lgebra linear, veja lgebra

Linear (pg. 110).

Resolvendo Relaes de Recorrncia

Para resolver uma relao de recorrncia, use o comando rsolve. Para mais informaes, consulte

a pgina de ajuda ?rsolve. O comando rsolve encontra o termo geral da funo.

>

3.5 Unidades, Constantes Cientficas e Incerteza

Alm de manipular quantidades simblicas e numricas exatas, o Maple pode realizar computaes

com unidades e incertezas

O Maple suporta centenas de unidades, por exemplo, milhas, coulombs e bars e prov facilidades

para a adio de unidades outras (custom units).

O Maple tem uma biblioteca de centenas de constantes cientficas com unidades, incluindo

(3.65)

(3.66)



propriedades

de elementos e istopos.

Para suportar computaes com incertezas, o Maple propaga erros atravs de computaes.

Unidades (Units) O pacote Units no Maple prov um biblioteca de unidades e facilidades para o uso de unidades em

computaes. E completamente extensvel, tanto que voc pode adicionar unidades conforme sejanecessrio.

Nota: Algumas das operaes esto disponveis como tarefas templates (veja Tools>Tasks>Browse)

e atravs de menus de contexto.

Sumrio de Unidades (Overview of Units)

Uma dimenso (dimension) uma quantidade mensurvel, por exemplo, comprimento ou fora. O

conjunto de dimenses que so fundamentais e independentes so conhecidas como dimenses

bsicas ou fundamentais (base dimensions).

No Maple, as dimenses bsicas (fundamentais) incluem comprimento (length), massa (mass), tempo

(time), corrente eltrica, temperatura termodinmica, intensidade luminosa, informao e circulao

(currency). Para uma lista completa, veja Units[GetDimensions]().

Dimenses complexas (ou dimenses compostas) medem outras quantidades em termos de uma

combinao de dimenses bsicas (fundamentais). Por exemplo, a dimenso composta de fora

uma medida de .

Cada dimenso, fundamental ou composta, tem unidades associadas. (Unidades fundamentais



medem

uma dimenso fundamental. Unidades compostas medem uma dimenso composta). O Maple d suporte a mais de trinta unidades de comprimento, incluindo ps (feet), milhas (mile), metro (meters), angstroms,microns e unidades astronmicas. Um comprimento deve ser medido em termos de uma unidade, por exemplo, um comprimento de 2 parsecs.

Tabela 3.4 lista algumas dimenses, suas dimenses bsicas (fundamentais) correspondentes e exemplo

de unidades.

Tabela 3.4: Amostra de Dimenses

Para a lista completa de unidades (e seus contextos e smbolos) disponvel para uma dimenso,

consulte a pgina de ajuda correspondente, por exemplo, a pgina de ajuda ?Units/length para

as unidades de comprimento.

Cada unidade tem um contexto. O contexto distingue entre diferentes definies da unidade. Por exemplo, a padro e a medida milha do US (US survey miles) so diferentes unidades de comprimento;

e o segundo uma unidade de tempo e de ngulo. Voc pode especificar o contexto de uma unidade

anexando-o como um ndice, por exemplo, mile[US_survey]. Se voc no especificar um contexto, o Maple usa o contexto padro.

As unidades esto coletadas em sistemas, por exemplo, o sistema foot (p)-pound (libra)-segundo (FPS) e o sistema internacional, (SI). Cada sistema tem um conjunto padro de unidades usadas para medidas.No sistema FPS, foot (p), pound (libra) e segundo so usadas para medir as dimenses de

comprimento, massa e tempo. A unidade de velocidade foot/second. No sistema SI, metro,quilograma e segundo so usadas para medir as dimenses de comprimento, massa e tempo. As

Dimenso Dimenso Bsica Exemplos de Unidades Time time segundo, minuto, hora, dia,

semana, ms, ano, milnio, blink, lune

Energia

joule, eletron volt, erg, watt hora, caloria,Calorie, unidade trmica britnica

Potncial Eltrico

volt, abvolt, statvolt



unidades de velocidade, fluxo magntico e potncia so o metro/segundo, weber, e watt.

Converses

Para converter um valor medido em uma unidade para o valor correspondente em uma unidade diferente,

use o UnitsCalculator.

Na planilha, entre com ?UnitsCalculator.

A aplicao Units Calculator abre (Figura 3.6).

Figure 3.6: Assistente Conversor de Unidades

Para realizar uma converso:

1. No campo de texto Convert, entre com o valor numrico a ser convertido.

2. Na lista suspensa Dimension, selecione a dimenso da unidade.

3. Nas listas suspensas From e To, selecione a unidade original e a unidade a que converter.

4. Clique Perform Unit Conversion.



O Maple insere o comando correspondente convert/units no documento.

>

Importante: Usando o Units Calculator, voc converte temperaturas e mudanas de temperatura

(temperature change).

Para realizar uma converso de temperatura, selecione na lista suspensa Dimension, temperature

(absolute).

Para realizar a converso de mudana de temperatura , na lista suspensa Dimension, selecione temperature(relative).

Para converter mudanas de temperatura, o Units Calculator usa o comando convert/units. Por exemplo, um aumento de 32 graus Fahrenheit corresponde a um aumento de pelo menos 18 graus Celsius.

>

Para converter temperaturas absolutas, O Unit Converter usa o comando convert/temperature.Por exemplo, 32 graus Fahrenheit corresponde a 0 graus Celsius.

>

Aplicando Unidades a uma Expresso

Para inserir uma unidade, use as paletas Units. A paleta Units (FPS) (Figura 3.7) contm importantes

unidades do sistema p-libra-segundo (foot-pound-second). A paleta The Units (SI) (Figura 3.8)

(3.67)

(3.68)

(3.69)



contm importantes unidades do sistema internacional de unidades.

Figura 3.7: Paleta Units (FPS) Figura 3.8: Paleta Units (SI)

Para inserir uma unidade:

Em uma paleta Units, clique um smbolo de unidade.

>

Para inserir uma unidade que no est disponvel nas paletas:

1. Em uma paleta Units, clique o smbolo unit (3.71)

(3.70)



O contexto de uma unidade exibido somente se ela no estiver no contexto padro.

Importante: Na entrada em 1-D Math, a quantidade e a unidade (entradas usando o toplevel comando Unit) so um produto, no uma simples identidade.As seguintes chamadas de seqncias definem expresses diferente.

> 1*Unit(m)/(2*Unit(s));

1*Unit(m)/2*Unit(s);

Algumas unidades suportam prefixos. Por exemplo, as unidades SI suportam prefixos para nomes e

smbolo. Voc pode especificar 1000 metros usando kilometer ou km. Para mais informaes, consulteas pginas de ajuda ?Units/prefixes.

>

Realizando Operaes com Unidades

No ambiente padro Maple, voc no pode realizar computaes com quantidades que tm unidades. Voc pode somente realizar converses de unidades. Para mais informaes sobre ambiente padro,

consulte a pgina de ajuda ?Units/default.

Para computar com expresses que tm unidades, voc precisa carregar um ambiente Units, Natural

(3.72)

(3.73)

(3.74)



ou Standard. recomendado que voc use o ambiente Standard.

>

No ambiente Standard Units, os comandos que suportam expresses com unidades devolvem os

resultados com unidades corretas.

>

>

>

? mas se escrevo:

>

(3.75)

(3.76)

Error, (in Units:-Unit) `Units:-Standard:-`*`(m, Units:-Standard:-`/`(s))` is not a recognized unit



>

Para mais informaes sobre derivao e integrao, veja Clculo (pg. 125).

Trocando o Sistema Corrente de Unidades

Se uma computao inclui mltipas unidades, todas as unidades so expressas usando unidades de

um sistema corrente de unidades.

>

Por padro, o Maple usa o sistema de Unidades SI, em que o comprimento medido em metros e o

tempo, em segundos.

>

Para ver o nome do sistema de unidades padro, use o comando Units[UsingSystem].

(3.77)

(3.78)

(3.79)

(3.80)



>

>

Para trocar o sistema de unidades, use o comando Units[UseSystem].

>

>

Extensibilidade

Voc pode estender o conjunto de:

Dimenses bsicas e unidades

Dimenses compostas

Unidades compostas

Sistemas de unidades

Para mais informaes, consulte as pginas de ajuda ?Units[AddBaseUnit], ?Units[AddDimension], ?Units[AddUnit], e ?Units[AddSystem].

Para mais informao sobre unidades, consulte a pgina de ajuda ?Units.

(3.81)

(3.82)



Constantes Cientficas e Propriedades de Elementos

As computaes freqentemente requerem no somente unidades (veja Unidades (pg. 80)), mas

tambm os valores de constantes cientficas, incluindo propriedades de elementos e seus istopos.

O Maple d suporte a computaes com constantes cientficas. Voc pode usar as constantes embutidas e adicionar outras constantes (custom constants).

Sumrio de Constantes Cientficas e Propriedades de Elementos

O pacote ScientificConstants prov os valores de quantidades fsicas constantes, por exemplo, a velocidade da luz e o peso atmico do sdio. O pacote ScientificConstants tambm prov unidadespara os valores das constantes, permitindo maior compreenso da equao, assim como uma associao

de unidades para a verificao de erro da soluo .

As quantidades disponveis no pacote ScientificConstants esto divididas em duas categorias distintas.

Constantes fsicas Propriedades qumicas de elementos (e istopos)

Constantes Cientficas

O Maple contm muitas constantes cientficas embutidas, que voc pode facilmente incluir em suas

computaes.

Lista de Constantes Cientficas

Voc tem acesso s constantes cientficas importantes em engenharia, fsica, qumica e outros campos.

A Tabela 3.5 lista algumas das constantes com suporte. Para uma lista completa de constantes cientficas, consulte a pgina de ajuda ?ScientificConstants/PhysicalConstants.

Tabela 3.5: Constantes Cientficas

Nome Smbolo Newtonian_constant_of_gravitation

Constante de gravitao de Newton

G

Planck_constant h



Voc pode especificar uma constante usando seu nome ou seu smbolo.

Acessando Definio de Constantes

O comando GetConstant no pacote ScientificConstants devolve a definio completa de uma constante.

Para ver a definio da constante gravitacional Newtoniana, especifique o smbolo G (ou seu nome) em uma chamada ao comando GetConstant.

>

>

Para informaes sobre acesso ao valor de uma constante, unidades ou incerteza, veja Valor, Unidades

e Incerteza (Value, Units, and Uncertainty (pg. 89)).

Propriedades de Elementos

O Maple tambm contm propriedades de elementos e istopos.

Constante de Planck elementary_charge (carga elementar) e Bohr_radius (Raio de Bohr) a[0] deuteron_magnetic_moment

Momento magntico do duteron

mu[d]

Avogadro_constant

Constante de Avogadro

Faraday_constant

Constante de Faraday

F

(3.83)



Elementos

O Maple d suporte aos primeiros 112 elementos da tabela peridica, mais os elementos de nmero 114

e 116. Cada elemento tem um nico nome, nmero atmico e smbolo qumico. Voc pode especificarum elemento usando quaisquer destes rtulos. Para uma lista completa de elementos suportados,

consulte a pgina de ajuda ?ScientificConstants/elements.

O Maple d suporte s propriedes chave de elementos (key element properties), incluindo peso atmico

(atomicweight), afinidade eletrnica (electronaffinity) e densidade. Para uma lista completa de propriedades de elementos, consulte a pgina de ajuda ?ScientificConstants/properties.

Istopos

Os Istopos, formas variantes de um elemento que contm o mesmo nmero de prtons mas um nmero

diferente de neutrons, existem para muitos elementos. Para ver a lista de istopos suportados para um

elemento, use o comando GetIsotopes.

>

O Maple d suporte a istopos e tem um conjunto distinto de propriedades para istopos, incluindo

abundncia, energia de ligao (bindingenergy) e excesso de massa (massexcess). Para uma lista

completa de propriedades de istopos, consulte a pgina de ajuda ?ScientificConstants/properties.

Acessando a Definio de Propriedades de um Elemento ou Istopo

(3.84)



O comando GetElement no pacote ScientificConstants devolve a definio completa de um elemento

ou istopo

>

>

Valor, Unidades e Incerteza

Para usar constantes ou propriedades de elementos, voc deve primeiro construir um objeto

Scientific-Constants.

Para construir uma constante cientfica, use o comando Constant.

>

Para construir uma propriedade de elemento (ou istopo), use o comando Element.

>

(3.85)

(3.86)

(3.87)

(3.88)



Valor

Para obter o valor de um objeto ScientificConstants, use o comando evalf .

>

>

Nota: O valor devolvido depende do sistema de unidades corrente. Para informaes sobre controle

de sistemas de unidades, veja Trocando o Sistema Corrente de Unidades (pg. 85).

Unidades

Para obter as unidades para um objeto ScientificConstants, use o comando GetUnit.

>

>

(3.89)

(3.90)

(3.91)

(3.92)



Para informaes sobre a troca do sistema de unidades padro, por exemplo, do SI para p-libra-

segundo (foot-pound-second), veja Trocando o Sistema Corrente de Unidades (pg. 85).

Valor e Unidades

Se estiver realizando computaes com unidades, voc pode acessar o valor e as unidades para um

objeto ScientificConstants especificando a opo units ao construir o objeto e depois avali-lo.

>

>

Incerteza

O valor de uma constante freqentemente determinado pela medio direta ou derivado de valores

medidos. Logo, ele tem associada uma incerteza. Para obter a incerteza no valor de um objetoScientificConstants, use o comando GetError.

>

(3.93)

(3.94)

(3.95)



>

Realizando Computaes

Voc pode usar valores constantes em qualquer computao. Para usar valores constantes com unidades,

use um ambiente Units como descrito no Realizando Computaes com Unidades (pg. 84). Para

informaes sobre computaes com quantidades que tm uma incerteza, veja a seo seguinte.

Modificao e Extensibilidade

Voc pode trocar a definio de uma constante cientfica ou propriedade de elemento (ou istopo).

Para mais informaes, consulte as pginas de ajuda ?ScientificConstants[ModifyConstant] e ?ScientificConstants[ModifyElement].

Voc pode estender o conjunto de:

Constantes

Elementos (e istopos)

Propriedade de Elemento (ou istopo)

Para mais informaes, consulte as pginas de ajuda ?ScientificConstants[AddConstant],

?ScientificConstants[AddElement] e ?ScientificConstants[AddProperty].

Para mais informaes sobre constantes, consulte a pgina de ajuda ?ScientificConstants.

Propagao de Incerteza Algumas computaes envolvem incertezas (ou erros). Usando o pacote ScientificErrorAnalysis, voc pode propagar a incerteza nestes valores atravs da computao para indicar o possvel erro no

(3.96)



resultado final.

O pacote ScientificErrorAnalysis no realiza intervalo aritmtico. Isto , o erro de um objeto no representa um intervalo no qual possveis valores devem estar contidos. (Para realizar intervalo aritmtico, use o pacote Tolerances. Para mais informaes, consulte a pgina de ajuda?Tolerances). Asquantidades representam valores desconhecidos com tendncia central. Para mais informaes sobre tendncia central, consulte qualquer texto sobre anlise de erros para cincias fsicas ou engenharia.

Quantidades com Incertezas

Criando

Para construir quantidades com incertezas, use o comando Quantity. Voc deve especificar o valor e a incerteza. A incerteza pode ser definida absolutamente, relativamente ou em unidades do ltimo dgito.Para mais informaes sobre especificao de incerteza, consulte a pgina de ajuda ?ScientificError

Analysis[Quantity].

A sada exibe o valor e a incerteza da quantidade.

>

>

>

Para especificar o erro em unidades do ltimo dgito, o valor deve ser do tipo com ponto-flutuante

>

Para acessar o valor e a incerteza de uma quantidade com incerteza, use os comandos evalf e ScientificErrorAnalysis[GetError].

(3.97)

(3.98)

(3.99)



>

>

Arredondando

Para arredondar o erro de uma quantidade com incerteza, use o comando ApplyRule. Para uma descrio das regras de arredondamente pr-definidas, consulte a pgina de ajuda

?ScientificErrorAnalysis/rules.

>

Unidades

As quantidades com erros podem ter unidades. Por exemplo, constantes cientficas e propriedade de

elemento (e istopo) nos pacotes ScientificConstants so quantidades com erros e unidades.

Para construir uma nova quantidade com unidades e incerteza, inclua unidades na chamada de seqncia

Quantity.

Para um erro absoluto, voc deve especificar as unidades em ambos: no valor e no erro.

>

>

(3.100)

(3.101)

(3.102)

(3.103)



Para um erro relativo, voc pode especificar unidades somente no valor.

>

Para informaes sobre a correlao entre varincia e covarincia entre quantidades com incerteza,

consulte a pgina de ajuda ?ScientificErrorAnalysis.

Realizando Computaes com Quantidades com Incerteza

Muitos comandos do Maple do suporte s quantidades com incerteza.

>

>

Compute o valor da derivada de em x=sin(/4).

>

>

(3.104)

(3.105)



Para converter a soluo para uma nica quantidade com incerteza, use o comando combine/errors.

>

O valor do resultado :

>

A incerteza do resultado :

>

Informao Adicional

Para informaes sobre tpicos incluindo:

Criando novas regras de arredondamento

Determinando regras padro de arredondamento

Criando uma nova interface para quantidades com incerteza

consulte a pgina de ajuda ?ScientificErrorAnalysis.

3.6 Restringindo o Domnio

Por padro, o Maple computa no sistema de nmeros complexos. A maioria das computaes

realizada sem quaisquer restries ou suposies sobre as variveis. O Maple freqentemente devolve

(3.106)

(3.107)



resultados que so estranhos ou no simplificados ao computar no campo de nmeros complexos.

Usando restries, voc pode mais fcil e eficientemente realizar computaes em um domnio

menor.

O Maple tem facilidades para realizar computaes no sistema dos nmeros reais e para aplicar

suposies para variveis.

Domnio dos Nmeros Reais

Para forar o Maple a realizar computaes no campo dos nmeros reais, use o pacote RealDomain.

O pacote RealDomain contm um pequeno sub-conjunto de comandos Maple relativos a pr-clculo eclculos matemticos bsicos, por exemplo, arccos, limit, e log, e a manipulao simblica de

expresses e frmulas, por exemplo, expand, eval, e solve. Para uma lista completa de comandos, consulte a pgina de ajuda ?RealDomain.

Depois de carregar o pacote RealDomain, o Maple assume que todas as variveis so reais. Os comandos devolvem resultados simplificados apropriados ao campo dos nmeros reais.

>

>

>

Alguns comandos que geralmente devolvem NULL, devolvem um resultado numrico

(3.108)

(3.109)



quando voc usa o pacote RealDomain.

>

Devoluo de valores complexos so excludos ou substitudos por undefined.

>

>

Suposies Sobre Variveis

Para simplificar a soluo do problema, recomendado que voc sempre aplique quaisquer suposies

conhecidas para as variveis. Voc pode impor suposies usando o comando assume. Para aplicar

suposies para uma nica computao, use o comando assuming.

Nota: Os comandos assume e assuming no tm suporte no pacote RealDomain.

O Comando assume

Voc pode usar o comando assume para determinar propriedades de variveis, por exemplo, x::real

e relaes entre variveis, por exemplo, x < 0 or x < y.

(3.110)

(3.111)



Para informaes sobre propriedades vlidas, consulte a pgina de ajuda ?assume. Para informao

sobre o operador dois pontos duplos (::), consulte a pgina de ajuda ?type.

O comando assume permite simplificao melhorada de expresses simblicas, especialmente funes

multi-avaliadas, por exemplo, computao de raiz quadrada.

Psra assumir que x um nmero real positivo, use a seguinte chamada de seqncia. Ento computea raiz quadrada de .

>

O til (~) seguindo o nome x indica que ele carrega suposies.

Quando voc usa o comando assume para colocar a outra suposio sobre x, as suposies anteriores

so todas removidas.

>

Exibindo as Suposies

Para ver as suposies sobre uma expresso, use o comando about.

>

Imposio de Mltiplas Suposies

Para impor simultaneamente mltiplas condies sobre uma expresso, especifique mltiplos argumentos na chamada de seqncia calling.

(3.112)

(3.113)



>

Para especificar suposies adicionais sem substituir as suposies anteriores, use o comando

additionally. A sintaxe da chamada de seqncia additionally a mesma do comando assume.

>

O nico inteiro no intervalo aberto (0, 2) 1.

Testanto Propriedades

Para testar se uma expresso sempre satisfaz uma condio, use o comando is.

>

Os seguintes testes devolvem false porque existem valores de x e y (x = 0, y = 10) que satisfazem

a suposio, mas no satisfazem a relao na chamada de seqncia is.

>

Originally x, renamed x~:

is assumed to be: 1

(3.114)

(3.115)



Para testar se uma expresso pode satisfazer uma condio, use o comando coulditbe.

>

Removendo Suposies

Para remover todas as suposies sobre uma varivel, retire a atribuio (unassign) dada a

seu nome.

>

Para mais informaes, veja Retirada de Atribuies de Nomes (Unassigning Names) (pg. 50).

Para mais informaes sobre o comando assume, consulte a pgina de ajuda ?assume.

O Comando assuming

Para realizar uma nica avaliao sob suposies sobre nomes em uma expresso, use o comando

assuming.

A sintaxe do comando assuming expression assuming . Propriedades e relaes so introduzidas em

O Comando assume(pg. 95).

O comando frac devolve a parte fracional de uma expresso.

>

(3.116)

(3.117)



Usar o comando assuming equivalente a impor suposies com o comando assume, avaliando a expresso e ento removendo as suposies.

>

Se voc no especifica os nomes aos quais aplicar uma propriedade, ela aplicada a todos os nomes.

>

Suposies colocadas sobre nomes usando o comando assume so ignoradas pelo comando assuming, a menos que voc inclua a opo additionally.

>

>

>

O comando assuming no afeta variveis dentro de procedimentos. Para informaes sobre

procedimentos, veja Procedimentos (pg. 301). Voc deve usar o comando assume.

x:

nothing known about this object

(3.118)

(3.119)

(3.120)



>

>

>

Para mais informaes sobre o comando assuming, consulte a pgina de ajuda ?assuming.

(3.121)

(3.122)

(3.123)

