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DISEÑO DE UN SILO CONFORME AL EUROCÓDIGO CAPÍTULO 4: TEORÍA DEL PANDEO DE LÁMINAS. INTRODUCCIÓN

E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 34

CAPÍTULO 4

4. TEORÍA DEL PANDEO DE LÁMINAS. INTRODUCCIÓN

En este capítulo se va a hacer una breve introducción de la Teoría del Pandeo de

láminas que gobierna la respuesta resistente de la estructura del silo frente al estado

límite último de pandeo. Este estado límite suele ser el más restrictivo en el diseño de los

silos.

En este capítulo se busca aclarar algunos aspectos del pandeo de láminas, ya que

las paredes verticales del silo que serán analizadas se comportan como láminas

cilíndricas de pequeño espesor, de ahí el interés en ver las ecuaciones que gobiernan el

fenómeno de pandeo en láminas de revolución.



4.1. PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA DE LÁMINA DE REVOLUCIÓN

Como para todo problema de mecánica de sólidos, las incógnitas son:

• Desplazamientos de tipo lámina, aquí

U!"

= desplazamiento de un punto m de la superficie media

• Esfuerzos (axiles y flectores por unidad de longitud) de tipo lámina

hN dzαβ αβσ= ∫ y

hM z dzαβ αβσ= ∫

• Deformaciones de tipo lámina 0Eαβ y 1Eαβ tales que

( ) ( ) ( )0 11 2 1 2 1 2, , , ,E z E zEαβ αβ αβα α α α α α= +

Los Eαβ son de las grandes deformaciones y se reducirán a los eαβ (que son los

αβε de la elasticidad) en el caso de pequeñas deformaciones. 1α y 2α son las

coordenadas en la superficie media, y z es la coordenada en el espesor.

Las ecuaciones satisfechas por estas incógnitas son como siempre:

• Las relaciones (cinemáticas) desplazamientos-deformaciones (de tipo lámina)

• Las ecuaciones de equilibrio (de tipo lámina)

• Las relaciones tensiones-deformaciones (ley de comportamiento de tipo

lámina)

Antes de establecer estas relaciones, es indispensable ocuparse de las

características geométricas de la superficie media.



Figura 4.1: “Geometría del plano medio”

4.1.1. GEOMETRÍA DE LA SUPERFICIE MEDIA

a. LÁMINA CILÍNDRICA

En este caso usar directamente las fórmulas ya establecidas para las ecuaciones

satisfechas por las incógnitas.

b. OTRO TIPO DE LÁMINA

Ecuación de la superficie media

Es de la forma

( )0 1 2,Om r α α=!!!" !"

(4.1)

donde:

1α =θ =ángulo polar alrededor del eje de revolución xe!!"

,



2α = s =abscisa que recorre la longitud de una generatriz, y que podemos sustituir

por ( ), xn eφ = −" !!"

; dónde n"

es normal a la superficie media.

→ Ejemplo de la lámina toroidal: 1α θ= , ( )2 / 2s Rα φ π= = −

Radios r y ρ

r = distancia de m al eje, ρ = (radio de curvatura en la dirección se!"

)ds

dφ=

→ Ejemplo de la lámina toroidal: cosr a R φ= + ,ds

Rd

ρφ

= = .

4.1.2. RELACIONES CINEMÁTICAS

a. ELECCIÓN DE LA TEORÍA

Para un problema de pandeo o con fuerzas que sigan a la deformación de la

geometría, hace falta utilizar una teoría no lineal, sea la teoría de Sanders o la de Donnell-

Mushtari-Vlasov (llamada teoría de Donnell en el caso de láminas cilíndricas circulares)

que es más simple, y por lo tanto menos precisa, válida en el caso de láminas “poco

profundas” o “rebajadas”, es decir que son casi placas. Si no, podemos utilizar la versión

linealizada de una de estas dos teorías.

Sean sU ve ue wnθ= + +!" !!" !" "

el desplazamiento de un punto m de la superficie media y

V U z= + Φ!" !" !"

el desplazamiento de un punto p cualquiera en el espesor de la lámina. Las

pequeñas deformaciones de la lámina son:

0e e zαβ αβ αβκ= + (4.2)

donde 0eαβ son las deformaciones de membrana y αβκ las deformaciones de flexión.



b. PEQUEÑAS DEFORMACIONES Y ROTACIONES EN EL ENTORNO DE LA

SUPERFICIE MEDIA POR LA TEORÍA DE SANDERS

Tenemos

[ ]0 011

1, cos sine e v u w

rθθ θ φ φ= = + + (4.3)

0 022

1,sse e u wφρ

= = + (4.4)

[ ]0 012

1 1cos , ,

2 2se e v u vrθ θ φφ

ρ= = − + + (4.5)

Las rotaciones 0αβω de la superficie media y iΦ de un segmento normal son tales

que:

[ ]13

1sin ,v w

rθ θω φ= Φ = − (4.6)

023

1,s u w φω

ρ = Φ = − (4.7)

[ ]012

1 1, cos ,

2 2v v u

r θω φ φρ

= − − + (4.8)

0nΦ =

Las deformaciones de flexión son dadas por

,

1cossrθθ θ θκ φ = Φ + Φ (4.9)

,

1ss s φκ

ρ= Φ (4.10)

( ), ,

1 1 1 1 sin 12 cos , cos ,s s v v u

r r rθ θ φ θ θ φ θφκ φ φ

ρ ρ ρ

= Φ + −Φ + Φ + + − −

(4.11)



Hay que recordar que 1

sρ φ∂ ∂=∂ ∂

RELACIONES CINEMÁTICAS DE LA TEORÍA LINEAL DE SANDERS

0E e zαβ αβ αβ αβε κ= = + 3 0iE = (4.12)

El párrafo anterior proporciona un sistema de 6 ecuaciones que expresan las 6

deformaciones 0eαβ , αβκ en función de los 3 desplazamientos , ,v u w .

→ Ejemplo de la lámina toroidal: cosr a R φ= + , Rρ = .

011

, cos sin

sin

v u we

a Rθ φ φ

φ+ +=

+ 0

22

1,e u w

R φ = +

( ) [ ]0 012

1 1cos , ,

2 cos 2se e v u va R Rθ θ φφ

φ= = − + +

+

[ ]1sin ,

cosv w

a Rθ θφφ

Φ = −+

1

,s u wR φ Φ = −

,

1cos

cos sa Rθθ θ θκ φφ = Φ + Φ +

22

1, ,ss u w

R φ φκ = −

( ), ,

1 1 1 1 sin 12 cos , cos ,

cos cos coss s v v uR a R R a R a R Rθ θ φ θ θ φ θ

φκ φ φφ φ φ

= Φ + −Φ + Φ + + − − + + +

RELACIONES CINEMÁTICAS DE LA TEORÍA NO LINEAL DE SANDERS

Las grandes deformaciones de la teoría no lineal de Sanders son

0 1E E zEαβ αβ αβ= + 3 0iE = (4.13)

con



( )20 0 0 0 03 3 122 2E eαβ αβ α β αβω ω δ ω= + + y 1Eαβ αβκ= (4.14)

Otra vez podemos formar un sistema de 6 ecuaciones que expresan las 6

deformaciones 0Eαβ , 1Eαβ en función de los 3 desplazamientos , ,v u w .

RELACIONES CINEMÁTICAS DE LA TEORÍA NO LINEAL DE DONNELL-

MUSHTARI-VLASOV

Las grandes deformaciones de la teoría no lineal de Donnell-Mushtari-Vlasov son

0 1E E zEαβ αβ αβ= + 3 0iE = (4.15)

Como sabemos seguimos teniendo las relaciones

[ ]0 011

1, cos sine e v u w

rθθ θ φ φ= = + + (4.3)

0 022

1,sse e u wφρ

= = + (4.4)

[ ]0 012

1 1cos , ,

2 2se e v u vrθ θ φφ

ρ= = − + + (4.5)

Pero ahora

,13

w

rθ

θω = Φ = − ,023 s

wφωρ

= Φ = − 012 0ω = (4.16)

De donde, teniendo en cuenta la ecuación (4.14) tenemos

[ ] ( )20,2

1 1, cos sin

2E v u w w

r rθθ θ θφ φ= + + + (4.17)

( )20,

1 1,

2ss sE u w wφρ = + + (4.18)



[ ]0, ,

1 1 1cos , ,

2 2 2s sE v u v w wr rθ θ φ θφ

ρ= − + + + (4.19)

Sin olvidar que 1

sρ φ∂ ∂=∂ ∂

. En consecuencia

21

,2 ,

1 cossE w w

r rθθ θθ θ

φκ= = − − (4.20)

21

,ss ss sE wκ= = − (4.21)

1, , 2

1 coss s sE w w

r rθ θ θ θφκ= = − + (4.22)

Lo que nos proporciona otra vez un sistema de 6 ecuaciones que expresan las 6

deformaciones 0Eαβ , 1Eαβ en función de los 3 desplazamientos , ,v u w .

RELACIONES CINEMÁTICAS PARA LAS LÁMINAS CILÍNDRICAS

A partir de una teoría para las láminas de revolución, obtenemos el caso particular

de las láminas cilíndricas de radio R efectuando las siguientes transformaciones:

r R= , r yθ = (abscisa a lo largo de un círculo meridiano), s x= (abscisa a lo

largo del eje)

1r yθ

∂ ∂=∂ ∂

, 1

xρ φ∂ ∂=∂ ∂

, 1

0ρ

= cuando no va delante de φ∂∂

, 2

πφ =

yyE Eθθ = , ss xxE E= ,…



RELACIONES CINEMÁTICAS DE LA TEORÍA NO LINEAL DE DONNELL PARA

LAS LÁMINAS CILÍNDRICAS

0E E zαβ αβ αβκ= + 3 0iE = ( ) ( ), ,y xα β = (4.23)

con

( )20,

1,

2yy y y

wE v w

R= + + (4.24)

( )20,

1,

2xx x xE u w= + (4.25)

0, ,

1 1, ,

2 2yx y x y xE u v w w = + + (4.26)

2,yy ywκ = − (4.27)

2,xx xwκ = − (4.28)

,yx yxwκ = − (4.29)

RELACIONES CINEMÁTICAS DE LA TEORÍA NO LINEAL DE VON KARMAN

PARA LAS PLACAS PLANAS

Son una particularización de las anteriores relaciones de la teoría de Donnell que

se obtienen simplemente haciendo el cambio 1

0R

= en las mismas.

4.1.3. LEY DE COMPORTAMIENTO ELÁSTICA

La ley de comportamiento elástica se traduce en las 6 relaciones que se

establecerán a continuación entre las 6 macro-tensiones Nαβ , Mαβ y las 6 macro-

deformaciones, que serán 0Eαβ , αβκ para una teoría no lineal, o 0eαβ , αβκ para una teoría

lineal.



( )0 011 11 22N K E Eν= + (4.30) ( )11 11 22M D κ νκ= + (4.31)

( )0 022 22 11N K E Eν= + (4.32) ( )22 22 11M D κ νκ= + (4.33)

( ) 012 121N K Eν= − (4.34) ( )12 21 121M M D ν κ= = − (4.35)

donde se ha tomado 21

EhK

ν=

− ( )

3

212 1

EhD

ν=

−

4.1.4. ECUACIONES DE EQUILIBRIO O DE MOVIMIENTO Y CONDICIONES DE

CONTORNO

Si se trata de una lámina cilíndrica y de la teoría no lineal de Donnell, utilizar

directamente los resultados del párrafo a continuación; si no, pasar al párrafo siguiente.

I. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Y CONDICIONES DE CONTORNO DE

LÁMINAS CILÍNDRICAS POR LA TEORÍA NO LINEAL DE DONNELL

Ecuaciones de equilibrio

Sea y x zf p y p x p z= + +!" !" " "

la densidad superficial de fuerzas que se ejercen sobre

la superficie media ∑ de la lámina, donde y eθ=!" !!"

es la dirección tangencial, z n=" "

es la

dirección normal a la superficie media y x"

es la dirección del eje del cilindro. Las 6 macro-

tensiones Nαβ , Mαβ satisfacen las 3 ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

, ,

, ,

, , , , ,, ,, ,, ,

0

0

2 0

xx x xy y x

yy y yx x y

yyxx x yy y xy y xx x xy xy zxx x yy yx yy x

N N p

N N p

NN w N w N w N w M M M p

R

+ + = + + = + + + − + + + + =

Si utilizamos los esfuerzos cortantes xQ , yQ y las rotaciones xΦ , yΦ definidos

por



, ,x xx x xy yQ M M= + ,x xwΦ = −

, ,y yx x yy yQ M M= + ,y ywΦ = −

Entonces podemos escribir la última ecuación de equilibrio de la forma

( ) ( ), , , ,0yy

x x y y xx x xy y yx x yy y zx y

NQ Q N N N N p

R+ − − Φ + Φ − Φ + Φ + =

En el caso frecuente en el que 0x yp p= = la tercera ecuación de equilibrio se

simplifica considerablemente y toma la siguiente forma muy usada:

2 2 ,, ,2 0yy

xx yy xy xy zx y

NN w N w N w D w p

R+ + − − ∆∆ + =

con 2 2

2 2x y

∂ ∂∆ = +∂ ∂

( )3

212 1

EhD

ν=

−

Condiciones de contorno

Supongamos que la estructura estudiada sea una porción de cilindro de longitud l

de la que la superficie media ocupa el dominio { 0 2y Rπ≤ ≤ , }0 x l≤ ≤ .

Las condiciones de contorno deben ser escritas sobre las dos secciones rectas

extremas, que son dos coronas circulares de radio medio R y de espesor h situadas en

( )0,x l= . En ( )0,x l= , hay que imponer los valores de cuatro parámetros:

*xx xN P= o *u u=

*xy yN P= o *v v=

*, , , ,2xx x xy y xx x xy y zM M N w N w P+ + + = o *w w=



*xx xxM M= o *

,x xw w=

Las expresiones del tipo ( )*... son valores dados que son función de y Rθ= .

Resaltar que las dos condiciones *w w= y *,x xw w= son independientes.

II. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Y CONDICIONES DE CONTORNO PARA

OTROS TIPOS DE LÁMINAS Y PARA TEORÍAS LINEALES O NO

Hay que establecer las ecuaciones de equilibrio en el caso preciso estudiado,

utilizando el principio de las potencias virtuales, que va a suministrar de manera

automática las ecuaciones de equilibrio asociadas a las deformaciones que caracterizan a

la teoría utilizada.

Una teoría de láminas está, por tanto, completamente definida por las relaciones

cinemáticas adoptadas para relacionar las deformaciones con los desplazamientos. Una

vez que estas relaciones son elegidas, ya no tenemos ninguna capacidad de intervención

sobre la forma de las ecuaciones de equilibrio, que se derivan mecánicamente de las

relaciones cinemáticas.

A cada variante del conjunto de relaciones cinemáticas corresponde una variante

del conjunto de ecuaciones de equilibrio. Por otro lado, obtener las ecuaciones de

equilibrio con la ayuda del principio de las potencias virtuales utilizando una variante no

lineal de las relaciones cinemáticas nos lleva a escribir el equilibrio de un elemento de

lámina en la configuración deformada y no en la configuración no deformada, como es el

caso para las teorías lineales.

Las etapas que hay que respetar son las siguientes.

a. Velocidades de deformación virtuales

Se obtienen derivando formalmente con respecto al tiempo las deformaciones de

la teoría. Por ejemplo, para la teoría de Donnell:



( )20,

12yy y

v wE w

y R

∂= + +∂

⇒ 0, ,yy y y

v wE w w

y R

∂= + +∂# ## #

,yy yywκ = − ⇒ ,yy yywκ = −# #

b. Potencia de los esfuerzos interiores

Se obtiene mediante la expresión i dS∑

= Π∫P con 0N E Mαβ αβ αβ αβκΠ = +# #

c. Potencia de los esfuerzos exteriores

Sea s s zf p e p e p nθ θ= + +!" !!" !" "

la densidad superficial de los esfuerzos exteriores

aplicados sobre ∑ . Tenemos ' ''e e e= +P P P donde [ ]'

e s zp v p u p w dSθ∑= + +∫ # # #P y

'' .e bordeV TdS= ∫!" !"

P , con .T σ ν=!" "

donde ν"

es la normal unitaria exterior en el borde y

V U z= + Φ!" !" !"

.

Por ejemplo para la teoría de Donnell, tenemos

( )( ) ( )22

02 0

. .x lh

y R z

he y x z y zx

p v p u p w dxdy x U z dydzπ

σ=

= =+

∑ = =−=

= + + + ± + Φ

∫ ∫ ∫

" " "# ## # #P

En x l= , tenemos

( ) ( ) * * * * *2

2

. .h

z

h xx xy x xx x xy yz

x U z dz uN vN wQ M Mσ=+

=−+ Φ = + + + Φ + Φ∫

" " "# # # ## # #

con ,y ywΦ = −# # , ,x xwΦ = −# # , las cantidades de tipo ( )*. son conocidas o están

definidas en el borde x l= . Ahora bien, ( )* * *,,xy y xy xy yy

M M w M wΦ = − +# # # de donde:

2 * * * *, 00

R x l

e y x z x y z x xx xp v p u p w dxdy uP vP wP w M dy

π =

=∑ = + + + + + − ∫ ∫# # # # # # #P



donde las fuerzas por unidad de longitud de círculo medio, aplicadas sobre las

coronas ( )0,x l= son tales que * *x xxP N= , * *

y xyP N= , * * *,z x xy yP Q M= + .

d. Principio de las potencias virtuales: ecuaciones de equilibrio y

condiciones de contorno

Se escribe i e=P P ( ), ,v u w∀ # # # . Hay dos tipos de términos: ∑∫ y borde∫ .

Supongamos que el borde se compone de coronas s =constante ( )1 2,s s= .

Usando integración por partes, nos deshacemos de las derivadas parciales de

( ), ,v u w# # # con respecto a θ y s en ∑∫ de forma que se reduce a una expresión de la forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1

2

,0... ... ... ... ... ... ... 0

s s

s s su v w dS u v w w d

πθ

=

=∑ + + + + + + = ∫ ∫# # # # # # #

Las tres (o más) ecuaciones de equilibrio se obtienen anulando los coeficientes de

, ,u v w# # # en ∑∫ , mientras que las condiciones de contorno en los límites se obtienen

anulando los coeficientes de ,, , , su v w w# # # # en 20π∫ .

e. Ecuaciones de movimiento

Se obtienen a partir de las ecuaciones de equilibrio reemplazando f!"

por

2

2

Uf h

tρ ∂−

∂

!"!", siendo ρ la masa volumétrica del material.

4.1.5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

A partir de las consideraciones precedentes, disponemos a priori de 15 ecuaciones

para las 15 incógnitas ( )0, , ; , ; ,v u w E N Mαβ αβ αβ αβκ . En general eliminamos un cierto



número de incógnitas; por ejemplo, podemos conservar simplemente los tres

desplazamientos ( ), ,v u w que verifican un sistema de tres ecuaciones no lineales

obtenidas partiendo de tres ecuaciones de equilibrio en las cuales expresamos con la

ayuda de la ley de comportamiento ( ),N Mαβ αβ en función de ( )0 ,Eαβ αβκ estos últimos a

su vez expresados en función de ( ), ,v u w por las relaciones cinemáticas.

A continuación se presentan algunos ejemplos de la forma de afrontar y resolver el

problema.

a. LÁMINAS FLEXIBLES PARA UNA TEORÍA LINEAL

En el caso en que los momentos Mαβ son despreciables, las tres ecuaciones de

equilibrio suministran directamente un sistema de tres ecuaciones lineales para las tres

incógnitas Nαβ .

b. PROBLEMA DE PANDEO

Elección de la teoría

La teoría debe ser no lineal. Para una primera estimación de las cargas críticas,

podemos tomar la teoría más simple, es decir, la de Donnell-Mushtari-Vlasov. Para una

mejor precisión, se ha de tomar una teoría más refinada (Sanders, Flügge,

Timoshenko,…).

Solución de prepandeo 0S

La solución de prepandeo es válida cuando la carga es inferior a la carga crítica

más pequeña. Además, posee las mismas propiedades que la forma de carga, lo que la

hace relativamente fácil de determinar. Por ejemplo, si la carga es de revolución, también

lo será para 0S .



Bifurcación

Hay que introducir la solución perturbada 0 1S S S= + en las ecuaciones del

problema.

Linealizar en torno al estado crítico ( )0... con respecto a la perturbación ( )1

... , sin

olvidar que la perturbación no posee las propiedades de la solución de prepandeo (por

ejemplo, no habrá simetría de revolución, incluso si la carga es de revolución).

Perturbación de los desplazamientos

Quedándonos sólo como incógnitas con 1 1 1, ,v u w , obtenemos un sistema

homogéneo y lineal de ecuaciones en derivadas parciales. Las condiciones de contorno

para la solución perturbada 0 1S S+ siguen siendo en general las mismas que para la

solución de prepandeo 0S , la perturbación 1S verifica condiciones de contorno

homogéneas.

Forma de la solución y carga crítica

Buscamos 1 1 1, ,v u w bajo la forma de productos de amplitudes de senos y cosenos

de múltiples variables de espacio caracterizadas por unos enteros ( ),n m , que verifican

las condiciones de contorno. Las amplitudes satisfacen por tanto un sistema lineal y

homogéneo en el que los coeficientes contienen los ,n m y la carga crítica desconocida.

Habrá una solución no nula si el determinante del sistema es nulo, condición que nos

proporciona las cargas críticas en función de n y m . Normalmente nos interesaremos en

el valor de la carga crítica más pequeño.



4.2. PROBLEMA DE PANDEO

4.2.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se trata de la compresión de un cilindro de longitud l , radio R y espesor h , por la

fuerza axial Px"

producida por la tensión normal xxσ σ= − tal que 2P Rhπ σ= , con 0f =!"

Figura 4.2: “Cilindro de radio R y espesor h sometido a compresión”

4.2.2. ESTADO DE PREPANDEO

Para el estado de prepandeo usaremos la siguiente nomenclatura:

Índice ( )0... y 0

y

∂ =∂

, 0v = ⇒ ( )0xx xN N x= , ( )0

yy yN N x= ,

( )0xy xyN N x= , ( )0u u x= , ( )0w w x= ⇒

4

4

ww

x

∂∆∆ =∂

a. ECUACIONES

•••• 0, 0x xN = 0

, 0xy xN = 2 40 0 1 0 0

, ,0x yx x

N w R N Dw−− − =



••••

( )

( )

( )

20 0 0 1 0, ,2

20 1 0 0 0, ,2

0 0,

11 2

1 2

02 1

x x x

y x x

xy x

EhN u w R w

EhN R w u w

EhN v

νν

ννν

ν

−

−

= + + − = + + −

= = +

b. RESOLUCIÓN EN FUNCIÓN DE 0w

Estado de membrana

Asumimos las siguientes hipótesis: 0 0xyN = 0xN hσ= − =constante

Expresión de 0yN en función de 0w

Por eliminación de ( )20 0, ,

1

2x xu w+ , se obtiene:

( )0 0 1 0 22

11y x

EhN N R wν ν

ν−− = −

− ⇒ 0 1 0

yN h EhR wνσ −= − +

Expresión de 0u en función de 0w

De la misma forma que antes, se tiene

( ) ( )( )20 0 2 0 2 0, ,2

11 1

1 2x y x x

EhN N u wν ν ν

ν − = − + − −

de donde se llega a:

( ) ( ) ( )210 0 0 0, ,

1

2x x y xu Eh N N wν−= − −



Ecuación satisfecha por 0w

( )2 40 1 1 0 0

, ,0

x xhw R h EhR w Dwσ νσ− −− + − − =

sea

4 20 0 2 0 1

, ,0

x xDw hw EhR w R hσ ν σ− −+ + − =

Caso particular estudiado

0, 0xw ≡ ⇒ 0 0yN = ⇒ 1 0 0ER w νσ− − =

4.2.3. BIFURCACIÓN

Las perturbaciones en torno al estado crítico ( )0... son designadas por el índice “1”

superior: ( )1...

a. LINEALIZACIÓN EN TORNO AL ESTADO CRÍTICO

Se tiene ( ) ( ) ( )0 0 0 1 1 1, , , , , ,u v w u v w u v w= + , con 0 0v = , y

( ) ( ) ( )0 0 0 1 1 1, , , , , ,xx yy xy x y xy x y xyN N N N N N N N N= + , donde 0 0yN = , 0 0xyN = .

Se linealizan todas las ecuaciones en torno al estado crítico ( )0... , con respecto a

las únicas magnitudes perturbadas ( )1... .

b. ECUACIONES LINEALIZADAS

Ya no se conserva la geometría de revolución en el estado perturbado.



Por tanto, ahora: 0v ≠ , 0xyN ≠ , 0yN ≠ , ( )... 0y

∂ ≠∂

.

Si S es la solución, se toma 0 1S S S= + donde 0S es la solución de prepandeo, y

sólo se conservan los términos lineales con respecto a 1S . Así las ecuaciones quedan

(a) 1 1, , 0x x xy yN N+ = ( )1 1 1 1 1

, ,21x x y

EhN u v w Rν

ν− = + + −

(b) 1 1, , 0yx x y yN N+ = 1 1 1 1 1

, ,21y y x

EhN v w R uν

ν− = + + −

(c) 20 1 1 1 1

,0x yx

N w R N D w−− − ∆∆ = ( )1 1 1

, ,2 1xy y x

EhN u v

ν = + +

c. ECUACIONES EN LOS DESPLAZAMIENTOS PERTURBADOS

Eliminando 1xN , 1

yN y 1xyN , se obtiene

(a) ⇒ 2 21 1 1 1 1

, ,, ,

1 10

2 2 xy xx yu u v R w

ν ν ν −− ++ + + = (a’)

(b) ⇒ 2 21 1 1 1 1, ,, ,

1 10

2 2xy yx yu v v R w

ν ν −+ −+ + + = (b’)

(c) ⇒ 2

21 1 1 1 2 1 1 1 0 1

, , ,0

12x y x x

hR u R v R w w K N wν − − − −− − − − ∆∆ + = (c’)

con 21

EhK

ν=

−

d. CONDICIONES DE CONTORNO EN ( )0,x l= [ ]0, 2y Rπ∀ ∈

Condiciones relativas a w

• Borde empotrado (E) 0w = ; , 0xw =

• Borde apoyado (A) 0w = ; 2 2

2

, ,0

12xx x y

hM K w wν = = − +



Condiciones relativas a u y v

• Carga impuesta: *xx xN P= , *

xy yN P=

La solución de prepandeo 0S debe satisfacer generalmente las mismas

condiciones de contorno que la solución total 0 1S S+ . 1S satisface, por tanto condiciones

de contorno homogéneas.

4.2.4. RESOLUCIÓN DE UN CASO PARTICULAR

Se trata de una lámina apoyada después del prepandeo.

a. CONDICIONES DE CONTORNO EN ( )0,x l=

• Borde apoyado a partir de la bifurcación: 0w w= y 0xxM = ⇒ 2,0

xw = . De

donde se obtiene que para las perturbaciones,

1 0w = y 2,

1 0x

w =

• (P/U) : *xx xN P= y 0v = ⇒ 1 0xN = y 1 0v =

b. ECUACIONES ADIMENSIONALES

Se toma: x Rφ= , y Rθ= , 2 2

2 2φ θ∂ ∂∆ = +

∂ ∂, ( )

3 2

2 1212 1

Eh hD K

ν= =

−,

2

212

hk

R= ,

( )22

3

6 1c

RhRP

D Eh

νλ σ

π−

= = × . De donde se deduce:

0xN hσ= − , 1 0

x cK N kλ− = −



El sistema (a’, b’, c’) se transforma en

2 21 1 1 1 1

, ,, ,

1 10

2 2u u v R wφθ φφ θ

ν ν ν −− ++ + + =

2 21 1 1 1, ,, ,

1 10

2 2u v v wφθ θφ θ

ν ν+ −+ + + =

( )21 1 1 1 1, , ,

0cu v w k w wφ θ φν λ+ + + ∆∆ + =

c. FORMA DE LA SOLUCIÓN

Para restituir la estructura de “puntos de diamante” y verificar las condiciones de

contorno, se toma

1 cos cosm R

u A nl

π φ θ =

1 sin sinm R

v B nl

π φ θ =

1 sin cosm R

w C nl

π φ θ =

mnA A= , mnB B= , mnC C= , ( ), 0,1, 2,...m n =

Por ejemplo, dado que

( )1 1 1 1 1, ,21x x y

EhN u v R wν

ν− = + + −



y que ya se tiene 1 0w = en ( )0,x l= , la condición 1 0xN = en ( )0,x l= se reduce

a 1 1, , 0u vφ θν+ = en 0,

l

Rφ =

, lo cuál se verifica de forma sencilla.

d. SISTEMA HOMOGÉNEO

Se toma ln

Rβ

π= ⇒ ( )

421 2 2 1R

w m wl

π β ∆∆ = +

. A , B ,C son solución del

sistema algebraico homogéneo:

( )

2 22 2

2 22 2

2 422 2

1 10

2 2

1 10

2 2

1 0c

R R Rm A m B m C

l l l

R R Rm A m B C

l l l

R R mR Rm A B k k m C

l l l l

π ν ν π πβ β ν

ν π π ν πβ β β

π π π πν β λ β

− + − + + + =

+ − − + − =

− + − + − + =

Se puede tener una solución no nula si el determinante ∆ del sistema es nulo.

4.2.5. BÚSQUEDA DE LAS CARGAS CRÍTICAS

a. RESOLUCIÓN DE LAS DOS PRIMERAS ECUACIONES CON RESPECTO A A

Y B

( )( )

2 2

22 2

m m lA C

Rm

ν βπβ

−=

+

( )( )2 2

22 2

2 m lB C

Rm

β νπβ

+ +=

+



b. TRATAMIENTO DE LA ÚLTIMA ECUACIÓN

Se toma 2

c c

lk

Rλ

π= . La ecuación se escribe

( )4

22 2 21 c

R lm A B k m k m C

l R

πν β βπ

− = − − +

Se eliminan A y B . Por lo visto en el párrafo anterior, se tiene

( )( )

2 4

22 2

11

m lm A B C

Rm

νν β

πβ

− − = + +

De donde:

( )( )

( )2 4 4

22 2 222 2

1c

m Rk m k m

lm

ν π ββ

− = − − + +

c. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

Se tiene 2

32c

Plk

RDπ= . Se toma

221

lZ

Rhν= − (parámetro de Batdorf). Las cargas

críticas son tales que

( )( )

22 2 2 2

22 42 2

12c

m m Zk

m m

βπβ

+= + ×

+



d. CARGA CRÍTICA MÍNIMA

Se toma ( )22 2

2

mX

m

β+= ⇒

2

4

12 1c

Zk X

Xπ= + . Se tiene que 0cdk

dX= para

22 3c

ZX X

π= = ⇒ ( ) 2min

4 3ck Z

π= . Ahora bien

2

2c

hlk

D

σπ

= y 2

21l

ZRh

ν= − .

De donde se obtiene el valor crítico “clásico”: 2

4 3c DZ

hlσ = , es decir

( )2

1

3 1c

Eh

Rσ

ν=

− (4.36)

e. VALORES PROBABLES DE n Y m

Relación entre m y n para cX X=

m y β se relacionan mediante la expresión ( )22 2 2cm m Xβ+ = , donde

22 3c

ZX

π= ⇒

42 212

m Z mβπ

= −

donde ln

Rβ

π=

Probabilidad más grande de encontrar una pareja ,n m de enteros que

satisfagan la condición

d

dm

β es mínimo cuando

4 122 0Z m

π− $ , siendo

4 122

m Zεπ

=

, donde



( )...ε = Entero más próximo a ( )...

De donde:

4 12

2m Zβ

π= $

Y de ln

Rβ

π= se obtiene n .

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