Capítulo 4 - Derivadas - ritaccs.pro.brritaccs.pro.br/site/wp-content/uploads/2016/11/4-derivadas_parte1... · Onde é o coeficiente angular e 2 é o coeficiente linear. ... aproxima

Cálculo I - �� ℎ� 1

Capítulo 4 - Derivadas

1. Problemas Relacionados com Derivadas

Problema I: Coeficiente Angular de Reta tangente.

Problema II: Taxas de variação.

Problema I) Coeficiente Angular de Reta tangente

I.1) Inclinação da Reta

A Inclinação de uma reta (�) é o ângulo � formado entre o eixo das abscissas (�) e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti-horário. I.2) Coeficiente angular da Reta

O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao eixo das abscissas é o valor real (�) obtido no cálculo da tangente trigonométrica do ângulo �.

� = tan(�) ��0° ≤ � ≤ 180° Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo � (tan(�)) como sendo o quociente entre o cateto oposto a �e o cateto adjacente a �.

�� = � ��!�"�� #$� �

Como � = tan(�), tem-se:

Se 0° < � < 90° então � > 0 (função crescente). Se 90° < � < 180° então � < 0 (função decrescente). Se � = 0° ou � = 180°então � = 0 (função constante). Se � = 90° então � = ∄ (não é função).

0° ≤ � ≤ 180° �

�

*

�


Muitas vezes a inclinação � da reta é desconhecida, mas podemos determinar o valor o coeficiente angular (�) se forem conhecidas as coordenadas de dois pontos sobre ela.

Seja �uma função linear de equação * = �(�) cujo gráfico é uma reta no plano �. Considere dois pontos �+(�+,*+) e �,(�,, *,)sobre a reta e denote por ∆� a diferença entre as coordenadas � destes pontos (∆� = �, − �+) e por ∆* a diferença entre as coordenadas * destes pontos (∆* = *, − *+). Sabendo que a tangente trigonométrica da inclinação � da reta é igual ao coeficiente angular � tem-se:

� = tan(�) = ∆*∆� = ∆�

∆� = *, − *+�, − �+

Observe que, por semelhança de triângulos, qualquer que seja o valor de ∆�, encontraremos por correspondência da função linear � valores para ∆* tais que a relação � = ∆/

∆0 não se altera. Fazendo ∆� = 1 tem-se

� = ∆*, assim, o coeficiente angular ou declividade da reta pode ser representado geometricamente por um triângulo retângulo de cateto adjacente unitário e cateto oposto igual a �.

I.3) Equação da Reta na forma reduzida:

A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo: * = �(�) + 2 Onde � é o coeficiente angular e 2 é o coeficiente linear. A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos:

• Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular

• Dois pontos sobre a reta

�+(�+, *+)�,(�,, *,) *+ = �(�+)*, = �(�,)

* = �(�)

�+

�,

�

�

*

�

∆�

∆*

�+ �,

*+

*,

1

�

* * = �(�) �


a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular

Considere conhecidas as coordenadas de um ponto �+(�+,*+) sobre uma reta. Imagine outro ponto qualquer �(�, *), também sobre a reta, de forma que a coordenada � de � difere da coordenada �de �+ por uma quantidade ∆� e que a coordenada * de � difere da coordenada *de �+ por uma quantidade ∆* . Então a coordenada � de � é �+ + ∆� e a coordenada * de � é *+ + ∆*.

Considere conhecida a inclinação � da reta ou o seu coeficiente angular � = tan(�). Então, � = Δ*

Δ� = * − *+� − �+

* − *+ = �(� − �+) ∴ * = �� + (*+ −��+)

b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela

Se as coordenadas de dois pontos �+(�+,*+) e �,(�,, *,) sobre uma reta são conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular (�). Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o procedimento descrito anteriormente. Assim,

� = Δ*Δ� = *, − *+�, − �+

* − *+ = �(� − �+) ∴ * = �� + (*+ − ��+)

�+(�+,*+)

�(�, *) = �(�+ + ∆�, *+ + ∆*)� = �+ + ∆� ∴ ∆� = � − �+

* = *+ + ∆* ∴ ∆* = * − *+

�+

�

� �

*

�

∆�

∆*

�+ �+ + ∆�

*+

*+ + ∆*


I. 4) Retas Secantes e Reta Tangente

Seja � uma função cujo gráfico * = �(�) encontra-se representado na figura abaixo. Considere �(�+,*+) e 5(�,, *,) dois pontos sobre o gráfico da função, de forma que a coordenada � de 5 difere da coordenada �de � por uma quantidade ∆�. Assim,

�, = �+ + ∆� ∴ ∆� = �, − �+ Como os pontos � e 5 pertencem ao gráfico da função �.tem-se:

*+ = �(�+) *, = �(�,) = �(�+ + ∆�) Assim as coordenadas de � e 5 são dadas por:

�(�+,*+) = �(�+, �(�+)) 5(�,, *,) = 5(�+ + Δ�, �(�+ + 6�)).

O segmento de reta �58888 que liga dois pontos de uma curva é chamado secante e a linha reta 9 contendo � e 5 é chamada de reta secante. O coeficiente angular da reta secante (�:)é igual ao coeficiente do segmento secante, portanto pode ser calculado por:

�: = Δ*Δ� = *, − *+�, − �+ = �(�+ +∆�) − �(�+)∆�

Considere que o ponto � esteja fixo e o que ponto 5 move-se, ao longo da curva da função �, na direção de �. Observe na figura que, à medida que o ponto 5 se aproxima do ponto � (pontos 5; e Q’’), a reta secante 9 se aproxima da reta < (retas 9′ e 9′′). A reta < é uma reta que tangencia o gráfico da função no ponto � e é chamada de reta tangente ao gráfico da função no ponto �.

�

5

�

1

∆*

�+ �, = �+ + ∆�

*+ = �(�+)

*, = �(�+ + ∆�) > (reta secante)

*

∆�

�:


À medida que o ponto 5 se aproxima de � a diferença ∆� entre as coordenadas � destes pontos tende a zero (∆� → 0). Nestas condições, a reta secante tende a coincidir com a reta tangente ao gráfico da função no ponto �. Portanto, o coeficiente angular da reta secante tende a se igualar com o coeficiente angular da reta tangente, quando ∆� → 0. Assim, o coeficiente angular (�@) da reta tangente ao gráfico da função no ponto � pode ser calculado como sendo o limite do coeficiente angular (�:) da reta secante quando 6�→0. Então,

�@ = lim∆0→+�: = lim∆0→+ Δ*Δ�

�@ = lim∆0→+�(�+ +∆�) − �(�+)∆�

Observe que o valor do coeficiente angular da reta secante que contém dois pontos � e 5 do gráfico da função depende da posição destes pontos. O valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto � depende da posição do ponto �.

Exemplos:

1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função � dada pela equação * = �D quando � = 1.

A equação de uma reta no plano é completamente determinada quando sabemos o seu coeficiente angular e as coordenadas de um ponto sobre ela. Precisamos, então, determinar as coordenadas do ponto �(�, �(�)) quando � = 1 e a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa � = 1. Quando � = 1 tem-se que * = �(1) = 1. Assim a reta desejada tangencia o gráfico da função no ponto �(1,1). O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função num ponto genérico �(�, �(�)) é dado por:

�@(�) = lim∆0→+�(� + ∆�) − �(�)

∆� ��* = �(�) = �D

�

5

�

∆�

�+

*+ = �(�+)

>

>′ >′′ E

5′ 5′′

*

�+ + ∆�


�@(�) = lim∆0→+(� +∆�)D −�D

∆�

�@(�) = lim∆0→+�D + 2�∆� + ∆�D −�D

∆� = lim∆0→+2�∆� + ∆�D

∆�

�@(�) = lim∆0→+2� + ∆� = lim∆0→+2� = 2�

�@(�) = 2�

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função quando � = 1 é: �@(1) = 2.1 = 2

A reta desejada passa pelo ponto �(1,1), �+ = 1 *+ = 1, e possui coeficiente angular � = 2 e sua equação é dada por:

* − *+ = �(� − �+) * = *+ + �(� − �+) = 1 + 2(� − 1) * = 2� − 1

Problema II) Taxas de Variação:

Seja � uma função de equação * = �(�) cujo gráfico encontra-se representado na figura abaixo. Considere �(�+, *+) e 5(�,, *,) dois pontos sobre o gráfico da função de forma que a coordenada � de 5 difere da coordenada �de � por uma quantidade ∆�.

�

5

�

1

∆*

�+ �, = �+ + ∆�

*+ = �(�+)

*, = �(�+ + ∆�) > (reta secante)

*

∆�

�:


Quando a coordenada � sofre uma variação ∆� de �+para �, , * sofre uma variação ∆* de*+ � ��+�para *, � ��,� � ��+ 1 ∆��.

A taxa de variação em * para a variação em �que é formada é chamada de taxa de variação média de * por unidade de variação em � ou taxa de variação média de * em relação a � e é definida por:

<GH �6*6�

��,� . ��+�

�, .�+

Alternativamente, fazendo �, � �+ 1∆�, tem-se:

<GH �6*6�

��+ 1∆�� . ��+�

∆�

Se a taxa de variação média de * em relação a � tende a um valor limitado quando ∆� → 0, parece razoável nos referirmos a este valor como taxa de variação instantânea de * em relação a� no instante em que � � �+, a qual é calculada como:

<GI�0J� � lim∆0→+

Δ*Δ�

� lim∆0→+

��+ 1∆�� . ��+�∆�

Exemplos:

1) Um móvel desloca-se numa estrada reta a partir de uma cidade A tendo como destino final uma cidade C situada a 504 km. Após 2 horas de viagem o veículo passa pela cidade B, situada a 148 km da cidade A, e atinge o destino final 6 horas após sua partida. Neste problema, estamos relacionando a distância percorrida �"� com o tempo ��, ou seja, " e uma função de , " � "��

� 0� � 2� � 6�

"�0� � 0L�"�2� � 148L�"�6� � 504L�

Com base nestas informações responda os itens abaixo:

a) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e B? Sabe-se que velocidade é a taxa de variação da distância �∆"� em relação à variação do tempo �∆�, então:

GOPQ �∆"∆

�148. 02 . 0

�1482

� 74L�/�

A B C

Cálculo I - �� 8

b) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades B e C?

GOQT �∆"∆

� 504. 148

6 . 2�

3564

� 89L�/�

c) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e C?

GOPT �∆"∆

� 504. 06 . 0

�5046

� 84L�/�

d) O motorista percebeu que com 3 h e com 5 h de viagem sua velocidade foi anotada pela polícia rodoviária. Sabendo que a velocidade máxima da estrada é de 90 km/h, deseja-se saber se motorista corre o risco de ter sido multado.

� 0� � 2� � 3� � 5� � 6�

As velocidades médias calculadas não ultrapassam o limite de velocidade média permitida na estrada. Porém, não interessa saber as velocidades médias. Desejamos estimar as velocidades nos instantes que o móvel passou pela polícia rodoviária, ou seja, desejamos saber as velocidades nos instantes em que � 3� � 5�(velocidade instantânea).

Construindo um gráfico de dispersão distância ( " ) versus tempo ( ) e utilizando um método numérico de aproximação, podemos estimar uma equação para a função "��.

"�� 2,5D 1 69

GI�� lim∆@→+

∆"∆

A velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da distância em relação ao tempo, assim para um tempo genérico temos:

GI�� lim∆@→+

∆"∆

� lim∆@→+

"� 1∆� . "��∆

��"�� 2,5D1 69


GI�� lim∆@→+2,5( + ∆)D + 69( + ∆) − (2,5D + 69)

∆ =

= lim∆@→+2,5(D + 2∆ + (∆)D) + 69 + 69∆ − 2,5D − 69

∆ =

= lim∆@→+2,5D + 5∆ + 2,5(∆)D + 69∆ − 2,5D

∆ = lim∆@→+5∆ + 2,5(∆)D + 69∆

∆ =

= lim∆@→+∆(5 + 2,5∆ + 69)

∆ = lim∆@→+( 5 + 2,5∆ + 69) = 5 + 69

GI() = 5 + 69

Desejamos saber o valor da velocidade instantânea nos instantes que o automóvel passou pela polícia rodoviária = 3ℎ e = 5ℎ.

GI(3) = 5. (3) + 69 = 15+ 69 = 84L�/ℎ, pode não ter sido multado

GI(5) = 5. (5) + 69 = 25+ 69 = 94L�/ℎ, pode ter sido multado. 2) Uma partícula se move de modo que no final de segundos, sua

distância ", em metros, do ponto de partida é dada por "() = 3D + . Calcule a velocidade da partícula no instante = 2". A velocidade é a taxa de variação da distância (") em relação ao tempo (). A velocidade da partícula no instante = 2 " � é a taxa de variação " em relação a no instante em que = 2" � , ou seja, é a taxa de variação instantânea.

GI() = lim∆@→+∆s∆t = lim∆@→+

"( +∆) − "()∆ =

= lim∆@→+ 3( + ∆)D + ( + ∆) − (3D + )

∆ =

= lim∆@→+ 3(D + 2∆ + (∆)D) + ∆ − 3D

∆ = lim∆@→+ 6∆ +3(∆)D +∆

∆ =

= lim∆@→+6 + 3∆ + 1 = 6 + 1

GI() = 6 + 1

No instante = 2" GI(2) = 6(2) + 1 = 12 + 1 = 13�/" �

No instante = 2", a velocidade da partícula é 13�/", ou seja, para cada 1 segundo de acréscimo no tempo, a partícula percorre 13 m no sentido positivo do percurso.


2. Definição

A derivada de uma função �, denotada por�’, é uma função tal que seu valor em qualquer número �de seu domínio é dado por:

� ;�� lim∆0→+�(� +∆�) − �(�)

∆� , desdequeestelimiteexista OBS: Quando o limite existe dizemos que � é diferenciável ou derivável em �, ou que � tem derivada em �. Seja � uma função definida em um intervalo aberto que contém �+, então a derivada da função� no ponto em que � = �+,denota-se � ;(�+), é dada por:

� ;(�+) = lim∆0→+�(�+ +∆�) − �(�+)∆� �]� ;(�+) = lim0→0J

�(�) − �(�+)� − �+ � � ;(�) é uma função � �’(�+)é o valor da derivada de �quando � = �+.

*;; � ;(�);_0(*);_0(�);#*#� ;

#�#�

Outras Notações:

Seja * = �(�) uma função com derivada, denotaremos tal derivada por:

lim∆0→+Δ*Δ� = lim∆0→+

�(�+ +∆�) − �(�+)∆�

Relação entre Taxa de Variação Instantânea e Coeficiente Angular

de Reta Tangente

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico * = �(�) num ponto �(�+,�(�+))e a taxa de variação instantânea de * em relação a � no instante em que � = �+ são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite.

Limites nesta forma aparecem com tanta frequência que é necessário uma terminologia especial que é a DERIVADA.

A operação de calcular a derivada ( �′) de uma função � chama-se derivação ou diferenciação.


Exemplo:

Seja � uma função dada pela equação * � �D/2. Na figura abaixo foram representados os valores do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função em alguns pontos de seu domínio. Os valores �`��, juntamente com os valores da função ��, encontram-se indicados na tabela.

Encontre a equação da função � ; que é a derivada de � e trace seu gráfico.

Sabe-se que o valor da derivada de uma função em um determinado ponto de seu domínio � � �+ é igual ao valor do coeficiente angular da reta tangente ��`� ao gráfico da função no ponto ��+,��+��, então � ;�� `��. Assim, podemos construir uma tabela relacionando os valores de � e �′��.

O gráfico da função �′ é uma reta de coeficiente angular igual a 1 que passa pela origem �+�0,0�. A equação desta reta é *; � �, então � ;�� .

� ;�� `��

Interpretação Geométrica da Derivada

Seja * � �� uma função derivável.

O valor da derivada da função � em um determinado ponto de seu domínio � � �+, denota-se �′��+�, é igual ao valor do coeficiente angular ��`� da reta tangente ao gráfico da função no ponto ��+, ��+��.

Genericamente, para um ponto � qualquer do domínio tem-se:

� * � ��

�D

2

�`��

-4 8 -4 -2 2 -2 0 0 0 1 0,5 1 3 4,5 3

� *; � � ;�� `�� -4 -4 -2 -2 0 0 1 1 3 3


Outra forma de encontrar a equação da função � ; é calcular o limite:

� ;�� lim∆0→+�(� +∆�) − �(�)

∆� ��(�) = �D2

� ;(�) = lim∆0→+a(� + ∆�)D2 b− a�D

2 b∆� = lim∆0→+

(�D+ 2�∆� + (∆�)D) − �D2∆� =

= lim∆0→+2�∆� + (∆�)D

2∆� = lim∆0→+� + ∆�2 = lim∆0→+� + lim∆0→+

∆�2 = �

� ;(�) = �

3. Diferenciabilidade

Exemplo:

Verificar se �(�) = |� + 1| é derivável em � = −1. A função � pode ser descrita por duas equações equivalentes:

�(�) = |� + 1| = d� + 1," � + 1 ≥ 0,�]" $, " � ≥ −1−(� + 1), " � + 1 < 0,�]" $, " � < −1

Se � é uma função diferenciável num ponto � = �+ de seu domínio, então � é contínua em � = �+

�f′ (�+) = lim0→0Jg�(�) − �(�+)� − �+ �h′(�+) = lim0→0Ji

�(�) − �(�+)� − �+

Se � é uma função contínua num ponto de seu domínio � = �+, então � ;(�+) existe, se e somente se, as derivadas à direita e à esquerda de � = �+

existirem e forem iguais.

Se �f′ (�+) = �h′(�+) então � ;(�+) existe.


Para ser derivável em � � �+, uma função � tem que ser contínua em � � �+ e as derivadas à direita j�f;��+�ke à esquerda j�h;��+�kde �+ devem ser iguais, isto é, �f;��+� � �h;��+�. A função l�m� é contínua emm � mn se:

lim0→0J

�� +�

a) Verificação da existência do limite da função quando � → .1

lim0→h,g

�� lim0→h,g

� 1 1 � lim0→h,g

� 1 lim0→h,g

1 � .1 1 1 � 0

lim0→h,i

�� lim0→h,i

. �� 1 1� � lim0→h,i

. � 1 lim0→h,i

. 1 � 1 . 1 � 0

lim0→h,g

�� lim0→h,i

�� 0 ∴ lim0→,

�� 0

b) Cálculo do valor da função em � � .1

�� |� 1 1| ∴ ��.1� � |.1 1 1| � 0

Como lim

0→h,�� .1� a função é contínua em � � .1

Se função l�m� é contínua emm � mn, l�m� será derivável emm � mn se:

�f′ ��+� � �h′��+�

�f′ ��+� � lim0→0Jg

�� . ��+�� . �+

� lim0→h,g

�� 1 1� . 0� . �.1�

� lim0→h,g

�� 1 1�� 1 1�

� lim0→h,g

1 � 1

�h′�.1� � lim0→0Ji

�� . ��+�� . �+

� lim0→h,i

.�� 1 1� . 0� . �.1�

�

� lim0→h,i

.�� 1 1�� 1 1�

� lim0→h,i

.1 � .1

Como �f;��+� o �h;��+� a função � não é derivável em � � .1, apesar de ser contínua em � � .1.


4. Técnicas de Diferenciação

1) Regra da Constante: Derivada de uma constante é zero

Exemplos:

�� p → � ;(�) = #�#� = 0

2)* = 3 → *; = 0

2) Regra da Função Potência: Derivada da função potência

Exemplos:

)�(�) = � → � ;(�) = 1. �,h, = 1 2)q() = r → q;(�) = 3. rh, = 3D �)* = 1

sD = shD → #*#s = −2shDh, = −2shr = − 2

sr

#)s = √ = ,/D → #s# = 1

2,D h, = 1

2 h,D = 1

2,/D =1

2√

3) Regra da Homogeneidade: Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função

9 $��]��"� �(�)]��]�çã�# ��á� " �(�) = ��(�)então�;(�) = �. � ;(�)

" * = �(�)então ##� (�. *) = �. #*#�

9 �é]��ú� �� (� ≠ 0) �(�) = �{ �ã� � ;(�) = ��{h,; ##� (�{) = ��{h,

OBS: � pode ser um número inteiro, racional, positivo ou negativo

9 �é]��"� �(�) = �então�′(�) = 0

##� (�) = 0


Exemplos:

�� p� → � ; = ##� (p�) = p #

#� (�) = p

2)s = √3|D = √3|hD

s ; = #s#| = #

#| j√3|hDk = √3 ##| (|hD) = √3(−2)|hr = −2√3|r

�)* = 12√� = 1

2�h,D #*#� = #

#� a12�h,Db = 12

##� a�h,Db = 1

2a−12b�h,Dh, = −1

4�hrD = − 14√�r

4) Regra da Soma: Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções

Exemplos: )�(�) = 4�r + 3�D − � + 5

�;(�) = ##� (4�r) + #

#� (3�D) − ##� (�) + #

#� (5) �;(�) = 4 #

#� (�r) + 3 ##� (�D) − 1 + 0 = 12�D + 6� − 1

2)* = √2]} + ]~p +pD − √3

√]r = √2]} + ]~p +pD − √3]h,r

*; = #*#] = #

#] j√2]}k + ##] �]~

p � + ##] (pD) − #

#] a√3]h,rb

*; = √2 ##] (]}) + 1p

##] (]~) + 0 − √3 ##] a]h,rb

*; = √2(5]~) + 1p (4]r) − √3 a− 1

3]h~rb

*; = 5√2]~ + 4]rp + √3

31

]~/r = 5√2]~ + 4]rp + √3

3 √]~r

9 $�] = �(�) � = �(�)�]�çõ "# ��á� �"

" ℎ(�) = �(�) + �(�)entãoℎ′(�) = � ;(�) + �;(�) ##� (] ± �) = #]

#� ± #�#�


5) Regra do Produto: Derivada do produto de duas funções é a primeira multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela derivada da primeira

Exemplos: �* � ��r . ��2− �) *; = #*

#� = (�r − �) ##� (2 − �) + (2 − �) #

#� (�r − �) *; = (�r − �) � ##� (2) − #

#� (�)� + (2 − �). � ##� (�r) − ##� (�)�

*; = (�r − �). (−1)+ (2 − �). (3�D − 1) *; = −�r + � + 6�D − 2− 3�r + � =−4�r + 6�D + 2� − 2

2)| = (3sD + 1)(7sr +s) |; = #|

#s = (3sD + 1)�7sr +s�; + (7sr + s). �3sD + 1�′ |; = (3sD + 1). (21sD + 1)+ (7sr +s). (6s) |; = 63s~ + 3sD + 21sD + 1 + 42s~ + 6sD = 105s~ + 30sD + 1

6) Regra do Quociente: Derivada da divisão de duas funções é a função

do denominador multiplicada pela derivada da função do numerador menos a função do numerador multiplicada pela derivada da função do denominador dividido pela função do denominador elevada ao quadrado

9 $�] = �(�) � = �(�)�]�çõ "# ��á� �"

" ℎ(�) = �(�)�(�) ��(�) ≠ 0entãoℎ;(�) = �(�). � ;(�) − �(�). �;(�).

��(�)�D

##� �

]�� = �. #]#� − ]. #�#��D

9 $�] = �(�)e� = �(�)�]�çõ "# ��á� �"

" ℎ(�) = �(�). �(�)entãoℎ′(�) = �(�). �;(�) + �(�). � ;(�) ##� (]. �) = ]. #�#� + �. #]#�


Exemplos:

�* ��D

�r 1 7

*; = #*#� = (�r + 7). ##� (�D) − (�D). ##� (�r + 7)

(�r + 7)D

*; = (�r + 7). (2�) − (�D). (3�D)(�r + 7)D = 2�~ + 14� − 3�~

(�r + 7)D = 14� − �~(�r + 7)D

2)q() = 2D + 1

q;() = (D + 1). �2�; − (2). �D + 1�;(D + 1)D = (D + 1). (2) − 2. (2)

(D + 1)D

q;() = 2D + 2 − 4D(D + 1)D = 2− 2D

(D + 1)D

5. Aplicação das Derivadas: Taxas de Variação Instantânea e Coeficiente Angular

1) De acordo com a Lei de Ohm, a voltagem G (em volts), a correnteI (em amperes) e a resistência� (em ohms, Ω) de um circuito elétrico estão relacionadas pela equação:

I = G�

Considere um circuito de voltagem G = 100�� " e determine:

a) A taxa de variação da corrente em relação à resistência.

Desejamos calcular �� , então estamos considerando a corrente elétrica

(I) com uma função da resistência do circuito (�), ou seja, I(�) = G

� = 100� = 100�h,

#I#� (�) = #

#� (100�h,) = 100 ##� (�h,) = −100�hD = −100

�D �/Ω b) A taxa de variação da corrente em relação à resistência, quando a

resistência é de 20Ω #I#��D+ = −100

20D = −14 = −0,25�/Ω

c) Qual o significado da taxa encontrada?

Significa que num circuito elétrico de voltagem 100�� ", se a resistência for de 20Ω, a corrente decrescerá de 0,25� para cada 1Ω de acréscimo na resistência.


2) Sabe-se que a tensão circunferencial (�emMPa ) de um duto de parede fina, fechado nas extremidades e submetido à pressão interna uniforme (� em MPa) é:

� = ��

onde � e ( ��) são o raio externo e a espessura do duto, respectivamente.

a) Qual a taxa de variação da tensão � em relação à pressão � de um

duto de raio= 250�� e = 10��? O que esta taxa significa? Desejamos calcular �� , então estamos considerando a tensão (� ) com uma função da pressão interna (�), ou seja, �(�) = ��

= �25010 = 25�

�;(�) = #�#� = #

#� (25�) = 25 ##� (�) = (25)(1) = 25O� O�⁄

Significa que para uma duto de � = 250�� e = 10�� a tensão circunferencial aumenta de 25O� para cada 1O� de aumento na pressão interna. b) Qual a taxa de variação da pressão � em relação ao raio de um duto

de espessura = 8�� cuja tensão circunferencial é de 600O�? O que esta taxa significa?

Desejamos calcular ��, então estamos considerando a pressão interna (�) com uma função do raio do duto (�), ou seja, �(�) = � 1� = (600.8)�h, = 4800�h, �;(�) = #�

#� = ##� (4800�h,) = 4800 #

#� (�h,) = −4800�hD �;(�) = −48000

�D O� ��⁄

Neste caso, a taxa de variação instantânea também depende do valor do raio. Por exemplo,

9 � = 100�� ã��;(10) = −4800100D = −0,48O�/��

Isto significa que para uma duto de � = 100��, = 8��e � = 600O� a pressão diminui de 0,48O� para cada 1�� de aumento no seu raio.

9 � = 200�� ã��;(10) = −4800200D = −0,12O�/��

Isto significa que para uma duto de � = 200��, = 8��e � = 600O� a pressão diminui de 0,12O� para cada 1�� de aumento no seu raio.


3) Uma flecha é atirada do nível do solo da lua para cima, com uma velocidade inicial �+ � 58�/" . A equação da altura ℎ (em metros) atingida pela flecha, após segundos de seu lançamento é dada pela equação: ℎ() = �+ − 0,83D

a) Encontre a equação da velocidade da flecha em função do tempo t.

Sabe-se que a velocidade é a variação da distância percorrida em relação ao tempo.

�() = #ℎ# ��# ℎ() = 58 − 0,83D

�() = #ℎ# = #

# (58 − 0,83D) = 58 − 1,66

�() = 58 − 1,66 b) Encontre a velocidade da flecha após 1 segundo de seu lançamento.

Queremos saber o valor da velocidade quando = 1, ou seja, �(1) �(1) = 58− 1,66(1) = 56,34�/"

c) Determine o tempo após o lançamento necessário para a flecha atingir o solo. Quando a flecha atinge o solo, a função altura ℎ() deve ser nula. A altura da flecha em relação ao solo também é nula no momento do seu lançamento = 0, mas este momento não nos interessa. Devemos ter:

ℎ() = 0 ≠ 0 ℎ() = 58 − 0,83D = 0 58 − 0,83D = 0 ∴ (58− 0,83) = 0 = 0�]58 − 0,83 = 0,�� ≠ 0, �− " 58− 0,83 = 0 ∴ = 58

0,83∴ ≅ 69,88" Levará aproximadamente 69,88" para a flecha atingir novamente o solo.

d) Com que velocidade a flecha atinge o solo?

A flecha atinge o solo no instante = 69,88". Então queremos saber o valor de �(69,88)

�(69,88) = 58 − 1,66(69,88) ≅−58�/"


4) Seja �� 3�D − 12� + 8: a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto �(3,−1)

Cálculo do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:

�(�) = � ;(�) = ##� (3�D− 12� + 8) = 6� − 12

��,� = 3 → �(3) = � ;(3) = 6(3) − 12 = 6 A equação da reta que passa por um ponto �(�+,*+) de coeficiente angular � conhecido pode ser dada como: * − *+ = �(� − �+) �(3,−1) ∴ �+ = 3 *+ = −1 � = 6 quando �+ = 3 portanto * = *+ +�(� − �+) = (−1) + 6(� − 3) = −1 + 6� − 18 = 6� − 19 * = 6� − 19

b) Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto �(3,−1) A reta normal ao gráfico de � no ponto � é a reta perpendicular à reta tangente. Se o valor do coeficiente angular de uma determinada reta é �,então o valor do coeficiente angular da reta normal a ela é − ,

�. Como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto �(3,−1) é �` = 6, o coeficiente angular da reta normal (��) ao gráfico da função no ponto �(3,−1) é: �� = − 1

�` = −16

A equação da reta é:

* − *+ = �(� − �+) A reta desejada passa pelo ponto �(3,−1) e seu coeficiente angular �� = − ,

� . Então,

* = *+ +��(� − �+) = (−1) − 16(� − 3) = −1 − �

6 + 12 = −�

6 − 12

* = −�6 − 1

2

c) Determine o ponto do gráfico no qual reta tangente ao gráfico é horizontal.

Se a reta tangente é horizontal então �(�) = � = 0, logo, � ;(�+) = 0 � ;(�+) = 6�+ − 12 = 0 ∴ �+ = 2 �(�+) = 3.2D− 12.2 + 8 = −4 Portanto, o ponto do gráfico onde a reta tangente é horizontal é

�(2,−4).


6. Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica

Função Exponencial: A função exponencial é uma função do tipo

* � 0�� ( 0 o 1

0 & & 1 ( 1 Função Logarítmica: A função logarítmica é uma função do tipo

* � log�� ( 0, o 1 � ( 0

0 & & 1 ( 1

As funções exponencial e logarítmica são funções inversas:

" * � log�� então/ � �

" * � 0então log��*� � �

Das propriedades das funções inversas tem-se

1�� 0� � �2� log��0� � �


Lei dos Expoentes Lei dos Logaritmos

1)0f/ = 0. /

2)0h/ = 0/

3)(0)/ = 0./ 4)(. 2)0 = 0. 20

1)log�(�. *) = log�(�) + log�(*) 2)log�(�/*) = log�(�) − log�(*) 3)log�(�¡) = !log�(�) 4)log� � = log¢ �log¢

Logaritmos Naturais: Os logaritmos na base e (e = 2,71828..., número de Euler) são chamados de logaritmos naturais e recebem uma notação especial. log£(�) = ln(�) 1)" * = ln(�) entao / = �; " * = 0 �ã� ln(*) = � 2)��!�� ## "#�]�çã�� ": �¥(0) = �; ln( 0) = � 3)O]#�ç# 2" ∶ log�(�) = log£(�)log£( ) =

ln( �)ln()

9 > 0, ≠ 1, � > 0 �(�) = log�(�) �ã�� ;(�) = 1�. ln() #

#� (log�(�)) =1

�. ln() §�!��] �,�(�) = ln(�) �ã��;(�) = 1

�

##� (ln(�)) =

1�

Derivada da Função Logarítmica

9 > 0, ≠ 1 �(�) = 0 �ã�� ′(�) = 0. ln() ##� (0) = 0. ln()

§�!��] �,�(�) = 0 �ã�� ′(�) = 0 ##� ( 0) = 0

Derivada da Função Exponencial


Exemplos: Calcule a derivada das funções

1)�(�) = 0 − �r + logD(�) � ;(�) = #

#� ( 0) − ##� (�r) + #

#� (logD �) = 0 − 3�D + 1� ln(2)

2)s = 30 ln(�) + p�r + p0 + pD

#s#� = #

#� (30 ln(�)) + ##� (p�r) + #

#� (p0) + ##� (pD)

#s#� = �30. ##� (ln(�)) + ln(�) . ##� (30)� + p. ##� (�r) + p0. ln(p) + 0

#s#� = �30. 1� + ln(�) . 30. ln(3)� + p. (3�D) + p0. ln(p) #s#� = 30

� + 30 ln(3) ln(�) + 3p�D + p0 ln(p)

3)] = logD() @

#]# = #

# alogD( ) @ b =

@. ## (logD()) − logD() . ## ( @)( @)D

#]# =

@. � 1. ln(2)� − logD() . @( @)D =

@. ln(2) − @ ln()ln(2)( @)D

#]# =

@ − @ ln() ln(2)( @)D = @ − @ ln()

ln(2)( @)D = @(1 − ln()) ln(2)( @)D

#]# == 1 − ln()

ln(2) @


7. Derivadas de Funções Trigonométricas

Uma vez conhecida as derivadas das funções seno e co-seno, podemos deduzir a derivada de outras funções trigonométricas.

a) Derivada da Função Tangente * � tan(�) #*#� = #

#� (tan(�)) =##� asen(�)cos(�)b

##� (tan(�)) = cos(�) . ##� j" �(�)k − sen(�). ##� (cos(�))

�cos(�)�D

##� (tan(�)) = cos(�) . cos(�) − " �(�). (−sen(�))

�cos(�)�D = cosD(�) + senD(�)cosD(�)

##� (tan(�)) = 1

cosD(�) = secD(�)

b) Derivada da Função Co-Tangente * = cot(�) #*#� = #

#� (cot(�)) =##� acos(�)sen(�)b

##� (cot(�)) = sen(�) . ##� jcos(�)k − cos(�). ##� (sen(�))

�sen(�)�D

##� (cot(�)) = sen(�) . j−sen(�)k − cos(�) . (cos(�))

�sen(�)�D = −senD(�) − cosD(�)senD(�)

##� (cot(�)) = −1

senD(�) = −��" �D(�)

9 �(�) = cos(�) �ã�� ;(�) = −sen(�) ##� jcos(�)k = −sen(�)

Derivada da Função Co-Seno

9 �(�) = sen(�) �ã�� ;(�) = cos(�) ##� jsen(�)k = cos(�)

Derivada da Função Seno


c) Derivada da Função Secante * � sec(�) #*#� = #

#� (sec(�)) = ##� a 1

cos(�)b

##� (sec(�)) =

cos(�) . ##� (1) − (1). ##� (cos(�))�cos(�)�D

##� (sec(�)) =cos(x) . (0) − (−sen(�))

�cos(�)�D = sen(�)cos(�) . cos(�) = asen(�)cos(�)b . a

1cos(�)b

##� (sec(�)) = tan(�) . sec(�)

d) Derivada da Função Co-Secante * = cosec(�) #*#� = #

#� (cosec(�)) =##� a

1sen(�)b

##� (cosec(�)) = sen(�) . ##� (1) − (1). ##� (sen(�))

�sen(�)�D

##� (cosec(�)) = −cos(�)

�sen(�)�D = −a cos(�)senD(�)b . a

1sen(�)b

##� (cosec(�)) = − cot(�) . cosec(�)

Exemplo

Calcule a derivada da função

s = " �(). (1 + 3 cos(t)) #s# = #

# �sen(). (1 + 3 cos(t))� #s# = sen(). ## (1 + 3 cos()) + (1 + 3 cos()). ## (sen()) #s# = sen(). � ## (1) +

## (3 cos())� + (1 + 3 cos()). cos()

#s# = sen(). (0 − 3 sen()) + (1 + 3 cos()). cos() #s# = −3" �D() + (1 + 3 cos()). cos()

Documents

Capítulo 4 - Derivadas - ritaccs.pro.brritaccs.pro.br/site/wp-content/uploads/2016/11/4-derivadas_parte1... · Onde é o coeficiente angular e 2 é o coeficiente linear. ... aproxima