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Capítulo 4- Estudios, Ensayos y Cálculos Mecánicos


4.1- Introducción

El objetivo de este capítulo es la obtención de las ecuaciones que modelan el comportamiento mecánico de la estructura. Para ello en el capítulo anterior se describió la parte estructural de la máquina.

Las dos herramientas que se van a utilizar para alcanzar este objetivo son un

programa de elementos finitos, en concreto Ansys, y ensayos de laboratorio realizados sobre la máquina. En el programa de elementos finitos se realizará un análisis modal de la estructura para obtener sus frecuencias naturales y los modos de vibración. También se calcularán los desplazamientos teóricos debidos a las cargas estáticas introducidas en la máquina durante el primer ensayo. Este primer ensayo servirá para comprobar que el modelo funciona bien estáticamente. Con el segundo ensayo se hallarán, de forma más exacta, las frecuencias naturales.

Las ecuaciones que modelan el sistema mecánico proporcionarán una relación

entre la fuerza aplicada por el pistón en la probeta y el desplazamiento de este, como se muestra en la figura 4.1. En realidad lo que se hace es ‘cortar’ el sistema de ensayo por el punto donde el pistón se une a la pieza de agarre inferior de la probeta, pieza 1 de la figura 4.1. Entonces el sistema mecánico a estudiar es la estructura, el cilindro y la parte del sistema de ensayo que se dibuja en dicha figura. El pistón no se considerará como parte de la estructura. Se estudiará en los capítulos posteriores. Todo esto se expondrá en los siguientes apartados.

En el apartado 4.2 se describirá el ensayo estático realizado. En el 4.3 se

expondrá el modelo realizado en el programa de elementos finitos y en el 4.4 se compararán los resultados del ensayo estático con los del modelo numérico. En el apartado 4.5 se mostrarán las frecuencias naturales y los modos de vibración obtenidos del modelo numérico. En el apartado 4.6 se describirá el ensayo realizado sobre la estructura para hallar las frecuencias naturales. Por último, en el apartado 4.7, una vez que se tienen los modos de vibración y las frecuencias naturales, se deducirán y

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expondrán las ecuaciones que relacionan la fuerza ejercida por el pistón con el desplazamiento del mismo, es decir: Fp = Fp(xp).

Figura 4.1. Esquema del modelo mecánico

4.2- Ensayo Estático de la Máquina La realización de este ensayo consistió en montar una probeta en la máquina y someterla, mediante control de fuerzas, a distintas cargas estáticas de tracción y compresión. Todo esto mientras se medía la deformación del marco entre ambos tochos, superior e inferior (ver plano 2), con un reloj comparador. El resultado de dicho ensayo se recoge en dos tablas de datos (tablas 4.1 y 4.2), en las que se miden deformaciones de 0.01 a 0.1 mm con sus respectivas fuerzas aplicadas entre 185 y 2000 kg en tracción y en compresión. Lo que se pretende con este ensayo es calcular la rigidez del marco frente a las fuerzas provocadas por los ensayos, es decir, fuerzas iguales y de sentido contrario en los tochos de la estructura. Una vez estimada esta rigidez se puede comprobar si el modelo numérico es acertado o no, desde el punto de vista estático.

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Se ha de hacer notar que el ensayo de tracción de la probeta es de compresión sobre el marco. Al revés, la compresión de la probeta es la tracción del marco. Por esta razón, para evitar confusiones, cuando se habla de ensayo de tracción o compresión se hace referencia a la tracción o compresión de la probeta. Se definen los desplazamientos y fuerza como positivas cuando son de tracción. Resultados de los Ensayo:

Ensayo de Tracción

Desplazamiento Fuerza

mm kg

0,01 200

0,02 400

0,03 600

0,04 800

0,05 1000

0,06 1150

0,07 1350

0,08 1550

0,09 1750

0,1 1950

Tabla 4.1. Ensayo de tracción

Ensayo de Compresión

Desplazamiento Fuerza

mm kg

-0,01 -185

-0,02 -370

-0,03 -525

-0,04 -705

-0,05 -890

-0,06 -1060

-0,07 -1230

-0,08 -1400

-0,09 -1580

-0,1 -1740

Tabla 4.2. Ensayo de compresión

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Como se puede observar, en las tablas 4.1 y 4.2 los resultados no son lineales. Esto es debido a las no linealidades presentes en toda estructura. Sin embargo el modelo numérico será lineal, con lo que aquí se tendrá una hipótesis de cálculo, consistente en realizar un modelo lineal de la estructura real no lineal. Dado que el modelo numérico será lineal, no se puede pretender que siga una curva no lineal como la presentada arriba. Por ello se va a hallar la recta que minimice la suma de los cuadrados de los errores en cada punto ensayado. Dicha recta además ha de pasar por el punto [0,0] de la gráfica Fuerza-Desplazamiento. Esto es debido a que el programa numérico siempre producirá un desplazamiento cero cuando la fuerza aplicada sea nula.

Con la limitación planteada arriba, la pendiente de la recta que minimiza los errores es de 18514 N/m. La suma de los errores al cuadrado es 74909, lo cual es elevado. Sin embargo, dividiendo esta cantidad por la suma de los valores experimentales al cuadrado produce un error del 0.28%.

La figura 4.2 muestra la aproximación experimental no lineal frente la lineal adoptada, es decir, la recta calculada.

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000Puntos experimentales no lineales frente a la aproximación lineal

Desplazamiento en mm

Fuer

za e

n N

Figura 4.2. Aproximación lineal frente a los datos experimentales no lineales

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Para la comparación con el modelo numérico se tomará el siguiente dato, que

será un punto de la recta: para un desplazamiento entre los tochos del marco de 0.05 mm se precisa realizar una fuerza de 925.7 Newton.

4.3- Modelado de la Estructura Mediante un Programa de Elementos Finitos

Todo cálculo estructural queda perfectamente definido si se conocen la geometría de la estructura, las cargas y las condiciones de contorno. En un cálculo mediante un programa de elementos finitos se precisa además conocer el tipo de elemento con el que se va a modelar y como estos se disponen para simular la estructura.

La definición de la geometría de la estructura ya se realizó en el apartado 3.2. En

este apartado se estudiará, por tanto, el resto de los asuntos referidos en el párrafo anterior. Así, este apartado se va a estructurar de la siguiente forma:

El subapartado 4.3.1 describirá la geometría del modelo y la distribución de los

elementos. Las cargas y condiciones de contorno aplicadas se verán en el subapartado 4.3.2. En el subapartado 4.3.3 se estudiará el tipo de elemento utilizado y el proceso de elección realizado. Por último en el subapartado 4.3.4 se explicará someramente la estructura del fichero de entrada que se introduce en el programa de elementos finitos para su ejecución. 4.3.1- Geometría del Modelo Cuando se quiere modelar una estructura se han de tener en cuenta una serie de consideraciones y decisiones. Es muy importante el hecho de que es muy difícil que el modelo sea geométricamente igual a la estructura real. En este caso, por el tipo de elemento utilizado, no se podrá conseguir esta igualdad geométrica.

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En la creación de la geometría del modelo se han realizado los siguientes pasos: a) Estudio de la estructura real. b) Decidir la geometría de la estructura simulada y la forma de construirla. c) Definición de los puntos del modelo. d) Definición de las líneas. e) Creación de los elementos a partir de las líneas.

Con estos cinco puntos se define la geometría del modelo. A continuación se desarrollan: a) Estudio de la estructura real: como se ha dicho, es el estudio de la geometría de la

estructura, vista en el apartado 3.2. b) Decidir la geometría de la estructura simulada y la forma de construirla: se ha visto

que el tipo de modelo que más conviene realizar es un modelo de barras. Para ello se han tomado las líneas neutras de cada barra de la estructura real para que sean las líneas que formen las barras del modelo.

c) Definición de los puntos de la estructura: estos son los puntos necesarios para poder

definir las líneas. Es lo primero que se define en la creación de la geometría del modelo. En el apéndice se lista el fichero del programa donde se definen los estos puntos. Aquí solo decir que los puntos definidos se dividen dos tipos según sus finalidades, los primeros se crean para definir la geometría de las líneas que luego serán malladas. Con los segundos, denominados auxiliares, se define la orientación de las secciones de los elementos.

d) Definición de las líneas: Se crean a partir de los puntos para luego ser malladas y

obtener así los elementos. En la figura 4.3 se muestran las líneas. Recordar que se han definido para que vayan por las líneas neutras de las vigas de la estructura.

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Figura 4.3. Líneas del modelo

e) Creación de los elementos a partir de las líneas: consiste en atribuir a cada línea su

tamaño y tipo del elemento, material y sección. El tipo de elemento será igual para todas las líneas, el elemento tipo barra Beam

189, excepto para aquellas que definen los soportes antivibratorios, línea 27, 30, 33 y 36, para las cuales se utilizará elementos tipo muelle, en concreto Combin 14.

El tamaño del elemento es importante para el resultado del modelo. Al ser un

problema numérico la exactitud del modelo crece conforme se toman tamaños más pequeños del elemento.

El proceso seguido aquí para definir la cantidad de elementos es ir aumentando

el número de divisiones de las líneas hasta que prácticamente no se aprecie diferencia en los resultados. Esta convergencia se consigue con relativamente pocos elementos, en concreto 218 elementos. El número de divisiones tomados en cada línea se puede ver en el listado del programa.

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El material para todo el modelo es el acero A42, excepto para la probeta que es de aleación de aluminio Al 7075 T 651. Las características de ambos se mostraron en el apartado 3.2.

Por último sólo queda definir las secciones. Para la completa definición

estructural de la máquina se precisan 15 secciones. Aquí se ha de tomar la decisión de qué sección se adjudica a cada barra, lo cual, en muchos casos es trivial. Sin embargo, en otros casos no es así, ya que como se ha dicho, la geometría de la estructura no es posible modelarla exactamente con elementos tipo barra. A veces, incluso se ha visto conveniente crear barras ficticias, con sus respectivas secciones, para el mejor modelado de la estructura.

En la siguiente tabla se especifican las secciones utilizadas para cada barra y las

líneas a las que se asocia.

Número de Sección

Sección Barras que modela

1 Rectangular de sección

llena: 165x20 mm Barras laterales del marco.

Líneas 7, 8, 17 y 18


llena: 180x80 mm Tochos superior e inferior del marco. Líneas 1, 2, 12 y 13

3 Tubo rectangular

φ170x70x20 mm

Barras de arriba y abajo del marco exceptuando los tochos.

Líneas 3, 4, 11, 14, 21 y 22

4 Tubo rectangular

φ180x140x20 mm Barras verticales de las patas de

la máquina. Líneas 22 y 24

5 Tubo redondo φ60 mm Barras que simulan la célula de

carga, el sistema de alineamiento y el pistón. Líneas 42, 43 y 47

6 Sección cuadrada de 10

mm de lado Probeta. Línea 45

7 Tubo rectangular 180x70x20 mm

Sección ficticia de transición entre las barras verticales y

horizontales de las patas. Líneas 25, 28, 31 y 34

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8 Rectangular de sección llena de 255x200 mm

Simula el tocho de materia que hay entre el cilindro y el tocho inferior del marco. Línea 37

9 Tubo circular φext =

140mm, φint = 32.4 mm

Primera parte del cilindro hidráulico. Línea 38


95mm, φint = 62.7 mm

Segunda parte del cilindro hidráulico. Línea 39


95mm, φint = 80 mm

Tercera parte del cilindro hidráulico. Línea 40


llena 150x150 mm

Vigas ficticias que unen las barras laterales del marco con las partes superior e inferior. Líneas

5, 6, 9, 10, 15, 16, 19 y 20

13 Tubo rectangular

φ161x70x20 mm Barras horizontales de las patas.

Líneas 26, 29, 32 y 35

14 Tubo redondo de φ45 mm Piezas de las cogidas de la

probeta al resto del sistema de ensayo. Líneas 44 y 46


llena 255x200 mm

Tocho de transición entre la célula de carga y el tocho

superior del marco. Línea 41

Tabla 4.3. Secciones del modelo La geometría del modelo se muestra en la figura 4.4.

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Figura 4.4. Geometría del modelo

A continuación, en las figuras 4.5, 4.6, 4.7 y 4.8, se detallan las distintas partes

modeladas de la estructura, señalando cada una de las secciones.

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Figura 4.5. Detalle 1 del modelo


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4.3.2- Condiciones de Contorno y Acciones Aplicadas

a) Condiciones de contorno

1. Lo primero y más evidente es fijar los nodos de la parte inferior de los elementos muelle, que simulan el suelo del laboratorio y que se suponen perfectamente fijos. De esta forma se tienen cuatro puntos de empotramiento.

2. Se tuvieron que imponer otras cuatro condiciones de contorno en los puntos

superiores de los elementos muelle, no permitiéndoseles otro movimiento que el vertical. Esto no es exactamente real, pero si muy aproximado.

3. La última condición de contorno se impone sobre el punto más bajo del sistema

de ensayo. En realidad, la barra que en el modelo se corta, continúa hacia abajo con el pistón del cilindro hidráulico, que impone unas restricciones al movimiento. Estas se han simulado imponiendo a este punto el mismo desplazamiento y giro que al tocho inferior del marco, excepto lógicamente el movimiento vertical. Esto es un aproximación asumible ya que los movimientos en ‘x’, y rotaciones en ‘x’, ‘y’ y ‘z’ del cilindro serán casi las mismas que las del tocho de abajo, por la unión tan rígida que existe entre ellos.

b) Acciones aplicadas

1. Para el cálculo de las frecuencias naturales se tendrá en cuenta la gravedad.

2. En al apartado 4.2 se describe el ensayo estático realizado. Este ensayo se ha de comparar con el modelo realizado en el programa de elementos finitos, para ver la fiabilidad de este. Por lo tanto en el programa numérico de comprobación del modelo, se aplicarán dos fuerzas de igual magnitud, dirección vertical y sentido contrario una de la otra. Una se aplicará en el tocho inferior del marco y la otra en el punto inferior del sistema de ensayo, como muestra la figura 4.9, con F = 925.7 N. Esto modelará de forma apropiada el ensayo de tracción-compresión.

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Figura 4.9. Cargas estáticas y puntos de medida de los desplazamientos.

4.3.3- Descripción y Justificación de los Tipos de Elemento Como ya se ha dicho, el tipo de elemento empleado en la estructura es el Beam 189 y el Combin 14 para los soportes antivibratorios. A continuación se describen y caracterizan ambos elementos y por último se justificará su elección. a) Descripción y caracterización del elemento Beam 189

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El elemento Beam189 es adecuado para análisis desde elementos delgados hasta gruesos. Está basado en la viga de Timoshenko, por lo que los efectos de la deformación cortante son considerados. La figura 4.10 muestra los nodos y el sistema de referencia local del elemento.

Figura 4.10. Elemento Beam 189

Beam 189 es un elemento barra 3-D cuadrático. Tiene seis grados de libertad en cada nodo. Estos son desplazamientos en las direcciones x, y, z, y rotaciones sobre los ejes x, y, z

b) Descripción y caracterización del elemento Combin 14

Se utiliza para los suportes antivibratorios. El elemento Combin 14 (figura 4.11) posee capacidad longitudinal o torsional en aplicaciones de 1-D, 2-D, o 3-D. Con la opción muelle longitudinal con amortiguamiento se tiene un elemento que funciona de forma uniaxial a tracción-compresión, con tres grados de libertad en cada nodo: translaciones en las direcciones nodales x, y, z. Ni la flexión ni la torsión serían consideradas en este caso. Con la opción muelle amortiguado en torsión es un elemento puramente rotacional con tres grados de libertad en cada nodo: rotaciones sobres los ejes nodales x, y, z . No se consideran las cargas axiales ni de flexión.

En este caso se utilizará como elemento uniaxial a tracción-compresión.

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Figura 4.11. Elemento Combin 14

El elemento muelle-amortiguado se considera sin masa. La capacidad de rigidez o la de amortiguamiento pueden ser anuladas. En este caso solo se va a considerar la rigidez longitudinal del elemento; por lo tanto ni el amortiguamiento ni la torsión serán utilizados.

c) Justificación de la elección de ambos elementos

Una de las decisiones más importantes a tomar en este modelado es el tipo de

elemento que se ha de utilizar para la estructura, ya que tanto el resultado, como el proceso de construcción del modelo van a depender radicalmente de esta elección. En un principio se pensó que dada la compleja geometría de la máquina, realizada a base de chapa de 20 mm, tochos y barras de sección de tubo cuadrada de acero, lo mejor sería realizar el modelo con elementos Solid 45. Estos permiten una construcción modular a base de ‘ladrillos’, con lo que el modelo se podría adaptar, en principio, a cualquier geometría. Además es un elemento bastante fiable si se utiliza en la suficiente cantidad a lo largo de los espesores. La figura 4.12 muestra las características del elemento Solid 45.

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Figura 4.12. Características del elemento Solid 45

Dada la complejidad de la estructura, la construcción del modelo mediante elementos Solid 45, precisa de la definición de una serie de puntos (keypoints), líneas y volúmenes, mallándose estos últimos para definir los elementos. Los volúmenes definidos para el modelado del marco con este elemento, se muestran en la figura 4.13. Al intentar mallar estos volúmenes, se vio que la geometría era incompatible con el tipo de elemento. Lo que pasa es que las caras de los volúmenes, paralelepípedos, que colindan entre si, deben ser iguales, es decir, que se ha de realizar en la estructura una división en volúmenes en los que cuando estos compartan una cara, esta ha de ser igual para ambos volúmenes. Esto ciertamente es posible de realizar, pero realmente sería costosísimo en tiempo y en recursos informáticos, pues se tendría un número muy alto de elementos. En último caso se podría haber utilizado este procedimiento pero se encontraron otras soluciones más satisfactorias.

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Figura 4.13. Modelo volúmenes con Solid 45

Otra solución que se intentó fue utilizar elementos tetraédricos Solid 92 y pedirle al programa de elementos finitos un mallado automático, aprovechando los mismos volúmenes que para el caso anterior (Solid 45). Se consiguió realizar el mallado, pero daba problemas de convergencia en los elementos, provocando este hecho que los resultados no fueran fiables.

La figura 4.14 describe el elemento Solid 92 y la figura 4.15 muestra la distribución de estos elementos sobre el marco, que resultan no ser convergentes.

Figura 4.14. Elemento Solid 92

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Figura 4.15. Imagen de los elementos del modelo con Solid 92

La tercera y última opción probada y la que se adoptó, fue un modelo de barras,

beams, fácil de construir y computacionalmente rápida, pero más difícil de adaptar a la estructura real. Para ello se eligió el elemento ‘Beam 189’ por sus buenas propiedades y convergencia.

La elección del elemento Combin 14 fue fácil, dado que sólo existe este tipo de elemento muelle en el programa de elementos finitos utilizado. 4.3.4- Estructura del Fichero del Programa La realización del modelo en el programa de elementos finitos se efectúa mediante un fichero que se ejecuta en el programa. Aquí se va a mostrar la estructura de este fichero. El programa de elementos finitos se divide en tres partes o procesadores. En el primero, el preprocesador, se define principalmente la geometría del modelo. En el

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segundo, las condiciones de contorno y las cargas aplicables y en el último se extraen los resultados del análisis. A continuación se detallan y explican brevemente las acciones que se realizan en cada procesador. a) Preprocesador General

• Definición de los elementos utilizados: se especifica los tipos de elementos que se van a utilizar en el modelo.

• Constantes reales: solo tienen sentido para el elemento muelle. Define la constante elástica del mismo.

• Propiedades de los materiales empleados: aquí se especifican las características del acero y de la aleación de aluminio empleados.

• Definición de las secciones: se introducen en el programa las quince secciones empleadas en el modelo.

• Keypoints: definición de los puntos utilizados en la construcción del modelo.

• Líneas: definición de las líneas del modelo a partir de los keypoints definidos anteriormente.

• Creación de los elementos mediante el mallado de las líneas: se especifica para cada línea el tipo y número de elementos con que se realizará la malla, así como el material y sección de estos.

b) Solución

• Condiciones de contorno: aplicación de las condiciones de contorno vistas en el apartado 4.3.2.

• Acciones aplicadas: aplicación de las cargas del apartado 4.3.2

• Tipo de análisis: En el cálculo de las frecuencias naturales y de los modos de vibración será un análisis modal. En el cálculo estático, un análisis estático.

• Resolución del problema: se ordena que se resuelva el modelo. c) Postprocesador General

• Adquisición de los resultados: de aquí se obtienen los resultados del análisis modal, las frecuencias naturales y los modos de vibración y los del ensayo estático, los desplazamientos en los centros de ambos tochos.

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4.4- Comparación de los Resultados Numéricos Estáticos con los Resultados Experimentales Como se dijo en el apartado anterior hay secciones que son fáciles de modelar y otras que no. Estas últimas son las que se ajustan aprovechando este ensayo. En concreto, las secciones 2 y 3 se ajustaron para conseguir que el modelo se parezca lo más posible a la máquina real.

Al modelo de elementos finitos que simula este ensayo no se le aplica la gravedad, dado que se parte de la posición de equilibrio estático.

El cálculo numérico del ensayo estático se realiza aplicando unas fuerzas al modelo que simulen la tracción del marco que se produjo durante el ensayo, esto es, la compresión de la probeta. Estas fuerzas se muestran en la figura 4.16.

Figura 4.16. Modelado del ensayo

El uso de estas fuerzas para simular la carga del ensayo se justifica a

continuación: Está claro que toda fuerza que se ejerce en la máquina es producida por el

cilindro. Este a su vez actúa sobre el sistema de ensayo hasta la probeta y el tocho

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superior. Por otro lado la reacción del pistón contra el cilindro actuará sobre la sujeción de este al tocho inferior del marco. Dado que en el modelo mecánico no se simula el pistón, se ha de aplicar la acción de la fuerza que este produce en el primer punto al que se transmite que se halla modelado. El pistón transmite su fuerza a la pieza inferior de sujeción de la probeta, por lo tanto se aplicará en la parte inferior de esta, una fuerza vertical hacia arriba y por otro lado una fuerza vertical hacia abajo sobre el tocho inferior del marco en el punto central que es donde se sujeta el cilindro. Aquí conviene recordar que el cilindro no se ha simulado desde un punto de vista estructural, sino sólo para tener en cuenta su peso e inercia. En realidad el cilindro sufrirá unos esfuerzos, pero estos siempre se transmitirán al tocho inferior, por lo que la simulación del ensayo se puede considerar válida.

Dado que el objetivo principal del análisis estático es la determinación de la

rigidez del modelo numérico y su comparación con la realidad, se ha tomado para la comprobación el desplazamiento de los tochos superior e inferior. En concreto, los puntos 1 y 2 de la figura 4.16. Durante el ensayo estático se colocó un reloj comparador entre estos dos puntos. En el modelo numérico se restará el desplazamiento del punto 2 al del punto 1. Esta diferencia es el desplazamiento relativo entre ambos tochos.

La tabla 4.4 muestra el valor obtenido en el modelo ante la fuerza indicada

comparado con el valor experimental. Fuerza aplicada: 925.7 N en compresión (de la probeta).

Valor experimental frente al modelado Desplazamiento relativo de los tochos

Valor experimental 0.0494 mm

Valor obtenido con el modelo numérico 0.05 mm

Tabla 4.4. Valor modelado del ensayo estático frente al experimental La tabla 4.4 muestra que la ‘abertura’ del marco en el modelo numérico es de 0.0494 mm. El valor medido en el ensayo es 0.05 mm de desplazamiento, por lo tanto se tiene un error en el modelo menor del 1.2%, que se considera válido para este proyecto.

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Aquí se aplicó la fuerza en compresión, pero lo mismo da en tracción, puesto que el modelo de elementos finitos es lineal. Para ver esto basta con aplicar las fuerzas en sentido contrario.

Por último, la figura 4.17 muestra la deformada del modelo ante la fuerza

estática aplicada. Como es lógico, al comprimir la probeta, el marco se ‘abre’.

Figura 4.17. Modelo del ensayo estático. Desplazamientos en el marco de las líneas del

modelo

4.5- Estudio Numérico de las Frecuencias Naturales y los Modos de Vibración Como se ha dicho, el capítulo 4 tiene como objetivo la obtención de las ecuaciones que simulan el comportamiento mecánico de la estructura. Para ello es imprescindible hallar las frecuencias naturales y los modos de vibración, lo cual se realiza aplicando el modelo numérico de elementos finitos descrito en el apartado 4.3. Tras ejecutar el fichero de cálculo de los modos, que se detalla en el anexo del proyecto, se obtienen las primeras diez frecuencias naturales.

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Frecuencias Naturales en Hz.

Modo Frecuencia (Hz)

1 2.81

2 3.38

3 7.88

4 22.19

5 23.75

6 79.97

7 80.80

8 105.52

9 105.53

10 109.04

Tabla 4.5. Frecuencias naturales

A continuación se representan los desplazamientos de la estructura para cada modo, con el objetivo de analizarlos y así tener en cuenta solo los significativos. Modo 1: Frecuencia 2.81 Hz. Se puede observar que en este modo toda la estructura se mueve como sólido rígido, excepto por los muelles, en la dirección y. Al no deformarse el marco, no se tendrá en cuenta este modo, ya que no influirá en el movimiento de vibración de los ensayos de fatiga. En las siguientes figuras se dibuja en negro la estructura no deformada y en amarillo la deformada.

Figura 4.18. Modo 1

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Modo 2: Frecuencia 3.38 Hz. Al igual que en el caso anterior, se trata de un movimiento de la estructura como sólido rígido respecto a los soportes antivibratorios, de forma que no se deforma la estructura. Así, este modo no influirá en las ecuaciones del problema. Ahora el movimiento es en dirección x principalmente.

Figura 4.19. Modo 2

Modo 3: Frecuencia 7.87 Hz. Al igual que en los casos anteriores, no influirá.

La vibración se producirá ahora en la dirección z sobre los soportes antivibratorios, sin deformación de la estructura.

Figura 4.20. Modo 3

Modo 4: Frecuencia 22.18Hz. En este caso el marco ya si se deforma, por lo

tanto el modo va a ser significativo, a lo que hay que añadir que la frecuencia natural no está lejos de las frecuencias utilizadas en la máquina (0.1-20 Hz). El movimiento se produce principalmente como una flexión alrededor del eje x.

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Figura 4.21. Modo 4

Modo 5: Frecuencia 23.75 Hz. La vibración es aquí una torsión de la parte

superior del marco. Por ser baja la frecuencia, este modo será también importante.

Figura 4.22. Modo 5

Modo 6: Frecuencia 79.97 Hz. Es una torsión de la parte inferior del marco. Será

también considerada aunque la frecuencia empieza a ser elevada.

Figura 4.23. Modo 6

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Modo 7: Frecuencia 80.797 Hz. Flexión en x del cilindro y de la parte inferior del marco. Como el movimiento casi no da componente en z y la frecuencia es elevada, no será muy relevante en las ecuaciones.

Figura 4.24. Modo 7

Modo 8: Frecuencia 105.52 Hz. Flexión hacia fuera del las barras de la izquierda

del marco. Por idénticas razones tampoco será importante.

Figura 4.25. Modo 8

Modo 9: Frecuencia 105.53 Hz. Flexión hacia fuera del las barras de la derecha

del marco. Al igual que los dos caso anteriores, se desprecia.

Figura 4.26. Modo 9

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Modo 10: Frecuencia 109.04 Hz. Esta deformación dará una componente importante en las fuerzas en z, pero al ser tan elevada la frecuencia natural, no se considerará.

Figura 4.27. Modo 10

Como se ha dicho, los modos de vibración 1, 2 y 3, al ser movimientos como

sólido rígido de toda la estructura, excepto los soportes antivibratorios, no producirán deformación alguna del marco. Por lo tanto no influirán en el movimiento de vibración de los ensayos de fatiga. Debido a esto, dichos modos no se tendrán en cuenta en las ecuaciones del modelo.

Los modos de vibración 4, 5 y 6 además de deformar el marco, no tienen una

frecuencia natural demasiado grande, por lo que serán considerados. Los modos 7 al 10 se deprecian por tener una frecuencia natural mucho mayor que las que se utilizan en el ensayo. El programa de elementos finitos proporciona los modos de vibración en forma de desplazamiento de los nodos. En este trabajo solo se necesitan las componentes verticales de los nodos donde se aplican las fuerzas, tal y como exige el cálculo modal. Estos nodos serán, el del final del sistema de ensayo, donde se aplica la fuerza del pistón (nodo del pistón), y el del medio del tocho inferior del marco. La normalización

de los modos φ escogida, es la que hace identidad la matriz de masas:

IMT =φφ .. (4.5.1)

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Componentes de los modos 4, 5 y 6 en los puntos de aplicación de las fuerzas: Modo 4: Nodo del tocho inferior: Uz = -5.988244750E-09 m Nodo del Pistón: Uz = 1.591259052E-08 m

Modo 5: Nodo del tocho inferior: Uz = 3.682403236E-09 m Nodo del Pistón: Uz = 6.917070220E-08 m Modo 6: Nodo del tocho inferior: Uz = -9.140150693E-10 m Nodo del Pistón: Uz = 5.177718117E-09 m

4.6- Ensayo para la Comprobación de las Frecuencias Naturales Para estar seguro de la validez de las frecuencias naturales halladas mediante el modelo numérico, se decidió realizar un ensayo para el cálculo de dichas frecuencias. Este ensayo se realizó debido a la importancia del valor de las frecuencias y de los modos de vibración en el modelo de la máquina. Esta experiencia se basa en golpear con un martillo la estructura y recoger las aceleraciones producidas mediante acelerómetros en las direcciones x e y, que son en las que principalmente vibrará la estructura. Dichas aceleraciones son tratadas realizándoles la transformada de Fourier mediante un programa en Lab-view. El resultado es un fichero de datos, que convenientemente tratados proporciona la respuesta en frecuencia de la estructura ante una entrada golpe.

La representación en frecuencias de un golpe, matemáticamente una delta de Dirac, es una recta de pendiente cero (constante con la frecuencia). Como la respuesta a un sistema es el resultado de multiplicar la entrada por la función de respuesta en frecuencia de dicho sistema (ecuación 4.6.1), se tendrá que la salida, la aceleración, es una curva proporcional a la función de respuesta en frecuencia del sistema. Los máximos de esta curva serán las frecuencias naturales de la estructura de la máquina.

S(ω) = G(ω).E(ω) (4.6.1)

56


Donde S(ω) es la transformada de la salida del sistema recogida por los

acelerómetros. G(ω) la función de trasferencia que modela la estructura y E(ω) la entrada, que en este caso será una función aproximada a una delta de Dirac. El proceso a seguir será entonces el siguiente: realización del ensayo, tratamiento matemático de los resultados y obtención de los máximos de la curvas a partir de las gráficas. Hasta aquí la teoría del ensayo, sin embargo, la ejecución práctica conlleva una serie de problemas que se comenta a continuación:

• Cerca de la frecuencia cero las curvas invariablemente experimentaban un máximo desproporcionado al igual que cada múltiplo de 50 Hz, debido a la frecuencia de la red.

• Normalmente en este tipo de ensayos se utiliza un pequeño martillo de cera para excitar la estructura. Pero debido al peso de la misma este no lograba excitar las frecuencias naturales, para las que son precisos movimientos que engloban a toda la estructura.

• Por último en el primer ensayo, a la hora de dar los golpes, no se tuvieron en cuenta los modos de vibración determinados numéricamente. Sin embargo en una estructura de la complicación de la que se estudia, se han de aplicar los golpes teniendo en cuenta los modos, tal y como se hizo en el segundo ensayo .

En el segundo ensayo se tuvieron en cuenta los modos de vibración

especialmente buscados (modos 4, 5 y 6). Estos modos son los que más influirán, a la hora de golpear en los lugares adecuados para que excitar cada modo lo más claramente posible. En vez de con martillo se golpeó en el ensayo con un mazo de madera de unos 5 kg, procurando que el golpe fuera lo más puntual posible en el tiempo y en el espacio. Los puntos donde se dieron los golpes para excitar cada modo se presentan a continuación en la figura 4.28.

57


Figura 4.28. Situación y sentido de los golpes del ensayo de frecuencias naturales

En la realización del ensayo, aparte de donde dar los golpes, hay que decidir cuantos golpes se dan en cada punto y el espectro de frecuencias que se va a estudiar, ajustando los filtros alto y bajo. A mayor número de golpes (registros), en un punto, más fiabilidad tendrá el ensayo. En este ensayo se realizaron diez golpes (con sus registros correspondientes) para cada uno de los tres puntos señalados en la figura 4.28, que buscan excitar los modos de vibración 4, 5 y 6. Por otro lado el espectro donde se obtienen las gráficas se tomaron entre 5 y 120 Hz, ya que las frecuencias naturales que se quieren estudiar están entre 22 y 80 Hz, de acuerdo con los resultados numérico. Llegando hasta 120 Hz es seguro que se cubre este rango y además se llega hasta una frecuencia que influirá ya poco en el comportamiento dinámico de la estructura. Por debajo se toman 5 Hz, suficientemente alejado de la frecuencia del modo 4 y de 0 Hz donde se tienen los problemas de máximos en la curva mencionados arriba.

Al salir erróneas las gráficas del primer ensayo no se representan. Seguidamente se representan dos curvas de ensayo para cada modo (ver figura

4.28). En total seis curvas, figuras 4.29, 4.30, 4.31, 4.32, 4.33 y 4.34, que permitirán obtener el valor de las frecuencias naturales. Estas curvas han sufrido un proceso de normalización, consistente en dividir cada una por su máximo. Esto se hace por que las magnitudes de cada curva sólo representan una forma integrada de las aceleraciones, que dependerán de la magnitud de cada golpe, los cuales, en la práctica, no son controlables. Los valores significativos para cada gráfica son las frecuencias que dan los

58


máximos relativos, no el valor de estos máximos, por lo tanto para poder comparar de forma adecuada las curvas han de normalizarse.

Las frecuencias naturales 4, 5 y 6 calculadas numéricamente son: 22.19, 23.75 y

79.97 Hz. Sin embargo, el programa de elementos finitos empleado solo tiene en cuenta efectos de primer orden. Las uniones son completamente rígidas, las barras y el material perfectos y todo esto sin considerar las simplificaciones evidentes realizadas durante la modelización como la aproximación de las secciones, vistas en el apartado 4.3.2. Con todas estas aproximaciones es fácil entender que no es posible fiarse de estas frecuencias. Por ello se realizó este ensayo. Como puede observarse en las gráficas, las frecuencias 4, 5 y 6 que lógicamente serán las excitadas, resultan y en adelante se van a tomar:

Frecuencia natural del modo 4: 15 Hz Frecuencia natural del modo 5: 44 Hz Frecuencia natural del modo 6: 70 Hz

Curvas del modo 4:

RM4G5 NORMALIZADA

00,20,40,60,8

11,2

5

10,9

16,8

22,7

28,6

34,5

40,4

46,3

52,2

58,1 64

69,9

75,8

81,7

87,6

93,5

99,4

105

111

117

hz

Figura 4.29. Modo 4. Ensayo 5

59


RM4G10 NORMALIZADO

00,20,40,60,8

11,2

4,95

11,2

17,5

23,8 30

36,3

42,6

48,8

55,1

61,4

67,6

73,9

80,2

86,5

92,7 99 105

112

118

hz

Y


Curvas del modo 5:

RM5G5 NORMALIZADO

00,20,40,60,8

11,2

4,86 11

17,1

23,2

29,3

35,5

41,6

47,7

53,8

59,9

66,1

72,2

78,3

84,4

90,5

96,7

103

109

115

hz

Y


60


RM5G10 NORMALIZADO

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

5

11,

17,

23,

29,

36 42,

48,

54,

60,

67 73,

79,

85,

91,

98 104

110

117

hz

Y


Curvas del modo 6:

RM6G5 NORMALIZADO

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

4,94 12,9 20,8 28,7 36,7 44,6 52,5 60,5 68,4 76,3 84,2 92,2 100 108 116

hz

Y


61


RM6G9 NORMALIZADO

00,20,40,60,8

11,2

4,93

11,1

17,2

23,3

29,4

35,5

41,7

47,8

53,9 60

66,1

72,3

78,4

84,5

90,6

96,7

103

109

115

hz

Y


4.7 Ecuaciones que Modelan el Sistema Mecánico Como todo sistema que posee rigidez y masa sometido a fuerzas exteriores armónicas, las ecuación que modela el sistema son de segundo orden. En principio el número de grados de libertad en un sistema estructural continuo es infinito. Pero al ser modelado mediante elementos finitos se realizó una discretización adoptando n nodos, con lo que el número de grados de libertad será ahora de 6x(nº de nodos). Así, el sistema de ecuaciones es de la forma:

(t)xK+(t)x C+(t)x M &&& = Fext(t) (4.7.1)

Gracias al estudio de las frecuencias naturales y los modos de vibración se puede realizar la siguiente discretización en función de los desplazamientos ‘yk’ en dichos modos (ecuación 4.7.2), más exacto cuantos más modos se utilicen. Por las razones que se vieron en el apartado anterior, se desprecian los modos 1, 2, 3, 7, 8 y 9 y se tienen en cuenta del 4 al 6. Esta discretización se realiza de la siguiente forma:

X(t) = ∑=

6

4kkk

yφ (4.7.2)

X es un vector columna cuyas componentes son los desplazamientos y giros de

todos los nodos de la estructura, es decir, el valor de todos los grados de libertad. ‘ kφ ’

62


es el vector del modo de vibración ‘k’, e ‘yk’ la respuesta del modo de vibración k, de 1 grado de libertad. Como se consideran 3 modos, se tendrán otras tantas ecuaciones de segundo orden de un grado de libertad, de la forma:

ky&& (t) + 2ηk ωnk ky& (t)+ ωnk2yk (t) = φk

T Fext(t) (4.7.3)

Con ηk el amortiguamiento modal, ωnk la frecuencia natural k y Fext(t) un vector formado por la fuerza aplicada en cada nodo y según cada dirección lineal y de giro. Calculando la transformada de Laplace de la ecuación 4.7.3 y dejándola en

función de la variable ‘s’, con s = iω (i= 1− ), se tiene:

s2yk(s) + 2.s.ηk.ωnk.yk(s) + ωnk2yk (s) = (φk

T)Fext(s) (4.7.4) Despejando yk(s):

yk(s) = [ 1 /( s2+ 2.s.ηkωnk+ωnk2)]. (φk

T) Fext(s) (4.7.5)

Con ηk el amortiguamiento modal, muy difícil de calcular. En la práctica solo es

posible estimarlo. Aquí se toma un valor típico del 15%, es decir ηk = 0.15. ‘ωnk’ es la

frecuencia natural del modo k, que se introducen en rad/s y φk es el modo k.

Teniendo en cuenta que:

X(t) = [∑=

6

4kφk yk (t)] o X(s) = [φ∑

=

6

4kk yk (s)] o xj(s) = [φ∑

=

6

4kkj yk (s)] (4.7.6)

Donde φkj es el componente j del vector del modo k. Conviene recordar que en este capítulo se está buscando la ecuación que

relaciona la fuerza y el movimiento del pistón. Por ello de todas las componentes del vector X, solo interesa la componente j, correspondiente al movimiento de traslación vertical en el punto final del sistema de ensayo.

63


Sustituyendo yk de la ecuación 4.7.5 en la ecuación de xj de 4.7.6 se obtiene la ecuación 4.7.7 del movimiento del pistón.

xpiston= xj = {φ∑=

6

4kkj(φk

T) Fext(s)} /( s2+ 2.s.ηkωnk+ωnk2)]} (4.7.7)

La única fuerza exterior armónica ejercida sobre la estructura es la que realiza el pistón. Por un lado actuará sobre el sistema de ensayo y por otro, a través de la carcasa del cilindro, sobre el tocho inferior del marco (ver figura 4.35). Ambas fuerzas tendrán un valor igual Fp. Por lo tanto, el vector Fext(s) únicamente depende de Fp. Expresando Fext(s) como:

Fext(s)=ψ.Fp(s) (4.7.8)

Con ψ un vector columna con todos sus valores 0 menos un 1 en la posición correspondiente al nodo final del sistema de ensayo en dirección ‘z’ y –1 en la misma dirección en el nodo central del tocho inferior. Para simplificar a partir de ahora a xpiston se denota por xp. Sustituyendo 4.7.8 en 4.7.7 se obtiene la ecuación 4.7.9.

Fp(s)= xp(s)/ {φ∑=

6

4kkjφk

T ψ /( s2+ 2.s.ηkωnk+ωnk2)} (4.7.9)

Donde ya se conocen todos los parámetros. Se recuerda aquí que los modos 4, 5 y 6 son los realmente significativos y por lo tanto se tendrán en cuenta sólo estos.

Se va a calcular numéricamente el término φkjφkT ψ /( s2+ 2.s.ηkωnk+ωnk

2) para cada modo k. Para ello se tomarán las frecuencias naturales obtenidas en el ensayo del apartado anterior 4.6, dado que son más exactos que los hallados en numéricamente. Modo 4:

φ4j = 1.591259052E-8;

64


φ4T ψ = [1.591259052E-8, -5.988244750E-9].

−11

ωn4 = 2 π (15 Hz) = 92.25 rad/s; η4=0.15

φ4jφ4T ψ /( s2+ 2.s.η4ωn4+ωn4

2) = 3.485E-16/(s2+28.27 s +8882.64) (4.7.10) Modo 5:

φ5j = 6.917070220E-08;

φ5T ψ = [6.917070220E-08, 3.682403236E-09].

−11

ωn5 = 2 π (44 Hz) = 276.46 rad/s; η5=0.15


2) = 4.52987E-15/(s2+82.94 s +76430.22) (4.7.11) Modo 6:

φ6j = 5.177718117E-09;

φ6T ψ = [5.177718117E-09, -9.140150693E-10].

−11

ωn6 = 2 π (70 Hz) = 439.823 rad/s; η6=0.15


2) = 2.987E-17/(s2+131.9469 s +193444.246) (4.7.12)

Sustituyendo 4.7.10, 4.7.11 y 4.7.12 en la ecuación 4.7.9 se obtiene la ecuación 4.7.13. Esta es la ecuación que simula el comportamiento dinámico de la estructura de la máquina. Relaciona el desplazamiento del pistón con la fuerza que se aplica sobre la estructura en función del parámetro ‘s’ (figura 4.35)

)(

193444.246 s 131.9469s17-2.987E

76430.22 s 82.94s15-4.52987E

8882.64 s 28.27s16-3.485E

1)(

222

sxsF pp

+++

+++

++

=

(4.7.13)

65


Figura 4.35. Desplazamiento xp y fuerza aplicada Fp

66

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