Capitulo 4 nf

397pág.

Introducción

La trigonometría es una rama de las matemáticas que fue desarrollada por astrónomos griegos, quienes consideraban al cielo como el interior de una esfera. Aún cuando su significado etimológico nos indica que se relaciona con la medición de los triángulos, sus aplicaciones son muy diversas ya que estas técnicas son usadas para medir distancias a estrellas próximas, entre puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites.

El traslado de la trigonometría astronómica a las matemáticas fue realizado por Regiomontano y mejorado por Copérnico y su alumno Rheticus. En la obra de Rheticus se definen las seis funciones trigonométricas como razones entre las longitudes de los lados de los triángulos, aunque no les dio sus nombres actuales. El mérito de esto se lo lleva Thomas Fincke, aunque la notación que utilizó no fue aceptada universalmente. La notación que quedó establecida fue la de Leonard Euler.

Desde entonces, la trigonometría ha venido evolucionando, siendo utilizada por agrimensores, navegantes e ingenieros, hasta las aplicaciones actuales como el movimiento de las mareas en el océano, la variación de los recursos alimenticios bajo ciertas condiciones ecológicas, el movimiento pendular, patrones de ondas cerebrales, latidos del corazón, corrientes eléctricas, temblores y otros fenómenos.

En el desarrollo de las funciones trigonométricas se han contemplado dos aspectos fundamentales. El primero está relacionado con el empleo de circunferencias; y, el segundo está basado en triángulos rectángulos.

Capítulo 4Trigonometría

398pág.


4.1 Ángulos y sus medidas

Iniciaremos esta sección describiendo un elemento importante para la definición de ángulo, éste es la semirrecta.

Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ángulo, mientras que la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se intersecan las semirrectas se denomina vértice del ángulo.

Se puede designar a los ángulos, por medio de puntos de las semirrectas o utilizando solamente el vértice, si es que no hay confusión. Por ejemplo:

Definición 4.1 (Semirrecta)

Una semirrecta es la parte de una recta que está a un lado de la misma, desde un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola dirección.

Definición 4.2 (Ángulo)

Es la unión de dos semirrectas que se intersecan en su extremo.

Figura 4.1: Ángulo.

La medida de un ángulo se denota por m, representa la abertura entre las dos semirrectas; y, es una relación de A en , siendo A el conjunto de los ángulos.

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

* Explicar con sus propias palabras la diferencia entre ángulo y medida de un ángulo.

* Relacionar las medidas de los diferentes tipos de ángulos que existen.

* Dada la medida de un ángulo en grados sexagesimales, convertirla a radianes y viceversa.

* Dada la medida de un ángulo, indicar su ubicación en el plano cartesiano.

C

B A

ABC = B


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Un ángulo se encuentra en posición normal o estándar si su vértice está ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el semieje X positivo. Si el lado terminal del ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, se denominará ángulo del segundo cuadrante y análogamente para los otros cuadrantes.

Figura 4.3: Signos de las Medidas de los Ángulos.

Si se considera una región del plano con un recorrido desde el lado inicial del ángulo hasta el lado final, siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj, por convención la medida del ángulo es positiva. Si dicho recorrido se realiza en sentido de las manecillas del reloj, la medida es negativa.

Se acostumbra designar a la medida de los ángulos con letras del alfabeto griego: α, β, γ, θ, ω entre otras.

a) Ángulo en posición normal del segundo cuadrante, cuya medida es positiva.

b) Ángulo en posición normal del cuarto cuadrante, cuya medida es negativa.

mAB m (B) = α

Figura 4.2: Signos de las Medidas de los Ángulos.

α

Lado final

VérticeLado inicial

a) Medida positiva de un ángulo

β

VérticeLado inicial

Lado final

b) Medida negativa de un ángulo

x

y

α

II cuadrante I cuadrante

Lado final

Lado inicialVértice

III cuadrante IV cuadrante

y

xβ

Vértice Lado inicial

Lado final

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4.1.1 Unidades angularesPara la localización exacta de una estrella o la posición de un barco, se utilizan las unidades de medida más conocidas, como son los grados sexagesimales, minutos y segundos; tales unidades están basadas en la división en partes iguales de una circunferencia.

Algunas equivalencias importantes son las siguientes:

360º representan un giro completo alrededor de una circunferencia.

180º representan 12 de vuelta alrededor de una circunferencia.

90º representan 14 de vuelta.

1º representa 1360 de vuelta.

1º representa 60 minutos (‛). 1‛ representa 60 segundos (‛‛). Es de observar que para generar un ángulo se puede dar más de un giro completo; por ejemplo, si damos dos giros completos se tendrían 720º; si se dan 10 giros se tendrían 3600º.Para propósitos de cálculo, los grados son transformados en radianes, puesto que el radián es mucho más práctico en las aplicaciones físicas.

A continuación, se interpreta el significado de un radián:

Considerando una circunferencia de radio r y centro O, se construye un ángulo de medida α cuyo vértice esté ubicado en O, y cuyos lados inicial y terminal subtienden sobre la circunferencia un arco de longitud igual a r, tenemos que α constituye un radián.

Es de notar que la medida de un ángulo es independiente de la longitud del radio. Por ejemplo, al dividir una pizza en 8 partes iguales, la medida del ángulo de cada pedazo permanece igual, independientemente si la pizza es pequeña, normal o familiar.

La medida de un ángulo permite calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; sólo basta multiplicar la longitud del radio por la medida del ángulo en radianes.

Figura 4.4: Interpretación de un Radián.

1 radián ≈ 57º 17' 44.8''α = 1 radiánO

r

rα

Longitud de un arco de circunferencia (Medida del ángulo en radianes)(Longitud del radio)=


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Para medidas mayores a 2π radianes o 360º, se debe dividir esta medida para 2π o 360º, según sea el caso; el cociente indicará la cantidad de giros o vueltas y el residuo de la división indicará la ubicación del lado terminal del ángulo.

Ejemplo 4.1 Ubicación de los ángulos.

Se requiere ubicar un ángulo cuya medida es 410º. Si se divide para 360º, se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo. Esto quiere decir que el ángulo ha dado una vuelta completa de 360º y su lado terminal se ha ubicado en 50º. Por tanto, es un ángulo del I Cuadrante.

1 vuelta

r L = 2�r

Figura 4.5 Longitud de la Circunferencia.

Es importante reconocer la medida de un ángulo, ya sea que esté expresada en radianes o grados sexagesimales, porque ésta indica la ubicación del ángulo en uno de los ejes o cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares. Así, las diferentes ubicaciones del lado terminal de un ángulo en términos de su medida se resumen en el Cuadro 4.1.

Medida en Radianes

Medida en Grados Sexagesimales

Ubicación del Lado Terminal

(0, �2) (0º, 90º) I Cuadrante

(�2, �) (90º, 180º) II Cuadrante

(�, 3�2 ) (180º, 270º) III Cuadrante

(3�2 , 2�) (270º, 360º) IV Cuadrante

0, �2, �, 3�

2 , 2� 0º, 90º, 180º, 270º, 360º Semieje: X +, Y +, X -, Y -, X +, respectivamente.

Cuadro 4.1: Ubicación de los Ángulos respecto a su Medida.

402pág.

Capítulo 4TrigonometríaDefinición 4.3 (Coterminales)

Son aquellos ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal.

4.1.2 Clases de ángulos

Definición 4.4 (Consecutivos)

Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos cuando sólo tienen un lado en común.

αβ

Definición 4.5 (Adyacentes)

Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma dirección, pero en sentido contrario. La suma de las medidas de éstos ángulos es 180º.

α β

Ejemplo 4.2 Ángulos coterminales.

Sean α = π3 y β = - 5π

3 . Graficando se observa que los ángulos son

coterminales.

x

y

β α �3

5�3-


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4.1.3 Relación entre grados sexagesimales y radianes

Ya hemos visto que la longitud de una circunferencia es 2πr, y para el caso de una vuelta completa, hemos indicado que el ángulo mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia entre las medidas en grados sexagesimales y radianes.

Definición 4.6 (Complementarios)

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de un ángulo recto: α + β = 90º.

αβ

Definición 4.7 (Suplementarios)

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos ángulos rectos: α + β = 180º.

α β

Definición 4.8 (Opuestos por el vértice)

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro, verificándose que α = β.

α β

404pág.


A partir de la igualdad 2� radianes = 360º, determinamos que:

180º = � radianes

90º = �2 radianes




Ejemplo 4.3 Conversión de unidades angulares.

Grados sexagesimales a radianes.

a) 15ºb) 390ºc) -75ºd) -150º

Podemos observar estas y otras equivalencias en la siguiente figura:

Figura 4.6: Equivalencias de Unidades Angulares.

330º 611�

315º 47�

300º 35�

270º 23�240º 3

4�

225º 45�

210º 67�

150º 65�

135º 43�

120º 32�

0º, 360º, 2π 180º, π

30º 6�

45º 4�

60º 3�

90º 2�


405pág.

a) 5�12

b) 7�12

c) - 3π

d) - 13�4

Radianes a grados sexagesimales.

Solución:

a) 15º x � radianes


b) 390º x � radianes

180º = 13�6 radianes

c) -75º x � radianes

180º = - 5�12 radianes

d) -150º x � radianes

180º = - 5�6 radianes

Solución:

a) 5�12 radianes x 180º

� radianes = 75º

b) 7�12 radianes x 180º

� radianes = 105º

c) -3� radianes x 180º� radianes = - 540º

d) - 13�4 radianes x 180º

� radianes = - 585º

406pág.


4.2 Funciones trigonométricas elementales

Objetivos


* Dado un ángulo, explicar sus seis relaciones trigonométricas mediante la circunferencia de radio unitario.

* Dados varios ángulos notables en grados sexagesimales o radianes, indicar el valor de sus seis relaciones trigonométricas.

* Dado un ángulo del primer cuadrante, deducir los valores de las relaciones trigonométricas de ángulos asociados a él, ubicados en los otros cuadrantes.

* Calcular el valor de expresiones trigonométricas empleando las relaciones de los ángulos notables.

A partir de la circunferencia unitaria de la figura 4.7, se pueden establecer los valores de las seis relaciones trigonométricas de cualquier ángulo, con las cuales, y escogiendo los dominios adecuados en , se definen las seis funciones trigonométricas que se estudiarán en este capítulo.

Figura 4.7: Circunferencia de Radio Unitario.

Si utilizamos una circunferencia de radio unitario, cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas rectangulares, podemos definir las coordenadas de cualquier punto P(a,b) perteneciente a la circunferencia en el plano. Estas coordenadas dependerán de la medida del segmento que une el origen de coordenadas y el punto P, que en este caso es 1; y, de la medida del ángulo, a la cual se denominará x de aquí en adelante en el texto, cuyo valor se mide por la amplitud que dicho segmento forma con respecto al semieje X positivo.

P(a,b)

x'

y'

x

1

O


407pág.

Definición 4.9 (Funciones trigonométricas)

Sea P(a,b) un punto sobre la circunferencia de radio unitario y x el ángulo en posición estándar que forma el segmento OP, con el semieje X .

La función seno está definida por:

sen(x) = b1 . Es una función de en .

Función Seno

La función coseno está definida por:

cos(x) = a1 . Es una función de en .

Función Coseno

Función Tangente Si (a ≠ 0), la función tangente está

definida por: tan(x) = ba . Es una función

de - {(2n + 1) π2 , n ∈ } en .

Si (b ≠ 0), la función cotangente está

definida por: cot(x) = ab . Es una función

de - {(nπ), n ∈ } en .

Función Cotangente

Si (a ≠ 0), la función secante está

definida por: sec(x) = 1a . Es una función

de - {(2n + 1) π2 , n ∈ } en .

Función Secante

Si (b ≠ 0), la función cosecante está

definida por: csc(x) = 1b . Es una función

de - {(nπ), n ∈ } en .

Función Cosecante

408pág.


Observe que si a = 0, esto es, se generan puntos de coordenadas P(0,b) localizados sobre el eje Y, las funciones tangente y secante no están definidas, lo cual se denota con ∞. Mientras que si b = 0, obtenemos puntos de coordenadas P(a,0) localizados sobre el eje X, las funciones cotangente y cosecante no están definidas, lo cual también se denota con ∞. De aquí que el dominio de estas funciones tiene las restricciones mencionadas.

Por haber utilizado la circunferencia de radio unitario en esta definición, las funciones trigonométricas también se suelen denominar funciones circulares.

Estas funciones pueden extenderse periódicamente, considerando giros completos que determinan coincidencia en la posición final del segmento OP.

Por lo visto en la circunferencia de radio unitario, se puede concluir que las funciones trigonométricas son positivas para todo ángulo del I Cuadrante; sólo son positivas el seno y la cosecante para ángulos del II Cuadrante; sólo son positivas la tangente y la cotangente para ángulos del III Cuadrante; y sólo son positivas el coseno y la secante para ángulos del IV Cuadrante.

Una regla práctica para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas para ángulos del II, III o IV Cuadrante, es relacionar el ángulo con uno asociado del I cuadrante. Así, si x es la medida de un ángulo (en grados sexagesimales o radianes) del I Cuadrante, un ángulo que tendría los mismos valores absolutos de sus seis funciones trigonométricas mide:

180º - x o � - x en el II Cuadrante.

180º + x o � + x en el III Cuadrante.

360º - x o 2� - x en el IV Cuadrante.

El signo se lo determina dependiendo de la ubicación del ángulo.

Ejemplo 4.4 Funciones trigonométricas.

Se conoce que el coseno de π4 es 2

2 y se requiere el coseno de

3π4 , de

5π4

y de 7π4

.

Solución:

Se verifica que efectivamente estos ángulos estén relacionados con el de π

4. En este caso se cumple que:

3π4 = π - π

45π4 = π + π

47π4 = 2π - π

4


409pág.

Por lo tanto, todos estos ángulos tienen el mismo coseno de π4

en términos de valor absoluto.

Como 3π4 pertenece al II Cuadrante, su coseno es - 2

2.

Como 5π4

pertenece al III Cuadrante, su coseno es - 22

.

Como 7π4

pertenece al IV Cuadrante, su coseno es 22

.

Ejemplo 4.5 Valores de las funciones trigonométricas.

Sea x un número real y P 23, - 1

2 un punto sobre la circunferencia

de radio unitario, determine los valores de las seis funciones

trigonométricas, evaluadas en x.

Solución:

Si localizamos el punto P en el plano cartesiano, podremos notar que

se encuentra en el IV Cuadrante, tal como se muestra en la figura.

1O x'

y'

x

P 23 , - 1

2

sen(x) = - 12 cos(x) = 2

3 tan(x) = - 13

= - 33

csc(x) = - 2 sec(x) = 23

= 332 cot(x) = - 3

410pág.


Figura 4.8: Triángulo Rectángulo con Medidas de Ángulos �6 y �3 .

Es útil y necesario conocer los valores de las funciones trigonométricas para las medidas de los ángulos más utilizados: π

6, π

4 y π

3.

Tomando como referencia la circunferencia de radio unitario y dibujando un triángulo equilátero cuyos lados también tienen longitud unitaria, se puede deducir que el eje X divide a dicho triángulo en dos triángulos rectángulos.

O x

y

P1

P2

π3

π6π6

Figura 4.9: Triángulo Rectángulo con Medida de Ángulo �4 .

Con un procedimiento similar y dibujando un triángulo isósceles en el interior de la circunferencia de radio unitario, tenemos:

xO

y

π4

P1

1

cot π6 = 3 cot π

3 = 33

sec π6 = 3

32 sec π3 = 2

csc π6 = 2 csc π

3 = 332

tan π6 = 3

3tan π

3 = 3

cos π6 = 2

3cos π

3 = 12

sen π6 = 1

2sen π

3 = 23

Las coordenadas del punto P1 son 32

, 12

, cuya ordenada puede ser obtenida

en base a las condiciones del triángulo y la abcisa puede ser obtenida aplicando

el teorema de Pitágoras. En base a las definiciones previas, se tiene que:


411pág.

En el Cuadro 4.2 se muestran los valores de las funciones trigonométricas de las medidas de los ángulos más conocidos, que son convenientes recordar:

Cuadro 4.2: Valores de las Funciones Trigonométricas de Ángulos Notables.

Medida del ángulo (x) sen(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x)

0 = 0º 0 1 0 ∞ 1 ∞π6 = 30º 1

2 23

33

3 332 2

π4 = 45º 2

222 1 1 2 2

π3 = 60º 2

3 12 3 3

3 2 332

π2 = 90º 1 0 ∞ 0 ∞ 1

π = 180º 0 -1 0 ∞ -1 ∞

3π2 = 270º -1 0 ∞ 0 ∞ -1

2π = 360º 0 1 0 ∞ 1 ∞

Ejemplo 4.6 Expresiones trigonométricas.

Determine el valor de la expresión: tan π

62

+ sen π6

-2

csc π4

2 + csc π

62

Se puede deducir por el teorema de Pitágoras, que tanto la abcisa como

la ordenada de P1 tienen la misma longitud, es decir, sus coordenadas son 2

2, 2

2. En base a las definiciones previas, se tiene que:

sen π4 = 2

2

cos π4 = 2

2

tan π4 = 1

cot π4 = 1

sec π4 = 2

csc π4 = 2

412pág.


Objetivos


* Dada la gráfica estándar de una función trigonométrica (seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante), aplicar técnicas de graficación para obtener nuevas funciones trigonométricas.

* Dada la regla de correspondencia de una función trigonométrica, analizarla gráficamente especificando dominio, rango, período fundamental, cotas, asíntotas, intervalos de monotonía y otras características gráficas.

* Realizar composiciones con funciones trigonométricas, identificando la gráfica y sus principales características.

* Realizar demostraciones empleando propiedades de las funciones trigonométricas.

4.3 Gráficas de funciones trigonométricas

Solución:

tan π6

2 + sen π

6-2

csc π4

2 + csc π

62 = 3

3 2 + 1

2-2

( 2 )2 + (2)2 =

13 + 4

2 + 4 = 13

18

Ejemplo 4.7 Expresiones trigonométricas.

Determine el valor de la expresión: sen π

6 + sen π3

-2

sen 3π4 + cos π

3-

Solución:

sen π6 + sen π

3-2

sen 3π4 + cos π

3-= =

12 + 4

3

22 + 1

2

3 + 86

22 + 1

= 113 ( 2 - 1)

= 2 - 12 - 1

113( 2 + 1)


413pág.

La gráfica de la función f (x) = sen(x), tiene las siguientes características:

dom f = .

rg f = [-1, 1].

f es impar.

f es acotada, | f (x)| ≤ 1.

f es periódica, su período fundamental es T = 2�.

Las intersecciones con el eje X están en el conjunto {x/x = n�, n∈ }.

Función Seno

f (x) = sen(x)

x

y

-2π 3π2- - π

2

1

-1

-2

π2- π

2 π 3π2 2π

x f (x)

π2 1π 0

2π 0

3π2 -1

00

Ejemplo 4.8 Aplicación de las funciones trigonométricas.

sen π2 - π

3 + π4 - π

6 + π8 - π

12 + ...Determine el valor de la expresión:

Solución:

Analizando el argumento de la función seno:π2 - π

3 + π4 - π

6 + π8 - π

12 + ...

Podemos notar que los términos impares corresponden a una progresión

geométrica infinita con a = π2 , r = 1

2 y cuya suma es P1 ≈ π2

121 -

≈ π.

414pág.


La gráfica de la función f (x) = cos(x), tiene las siguientes características:

dom f =

rg f = [-1, 1].

f es par.

f es acotada, | f (x)| ≤ 1.


Las intersecciones con el eje X están en el conjunto {x/x = (2n +1) �2 , n∈ }.

Mientras que los términos pares del argumento de la función corresponden

a una progresión geométrica infinita con a = - π3 , r = 1

2 y cuya suma es:

Con lo cual, la expresión se reduce a sen (P1 + P2 ).

sen (P1 + P2 ) = sen π - 2π3 = sen π

3 = 23

P2 ≈ π3121 -

- ≈ - 2π

3

Función Coseno

y

x

f (x) = cos(x)

-2π 3π2-

- π

2

1

-1

-2

π2- π

2π 3π

2 2π

x f (x)

π -1

10

2π 1

0π2

03π2


415pág.

Determine el valor de la suma: cos(1º) + cos(2º) + cos(3º) + ... + cos(360º)Solución:

Al observar detenidamente la gráfica de f (x) = cos(x), se puede deducir que evaluando todos los valores de x entre 1º y 90º, más los que se encuentran entre 270º y 360º, resultan positivos, mientras que los valores de x entre 90º y 270º resultan negativos.

Tales resultados positivos se van a cancelar completamente con todos los valores negativos. Por lo tanto, el valor de la suma es 0.

Ejemplo 4.9 Aplicación de las funciones trigonométricas.

Se puede observar en las gráficas de las dos primeras funciones trigonométricas, que - 1 ≤ sen(x) ≤ 1 y - 1 ≤ cos(x) ≤ 1, es decir, f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen una cota superior en y = 1 y una cota inferior en y = - 1, valores que definen su amplitud. Sin embargo, se puede definir una amplitud diferente con las reglas de correspondencia f (x) = A sen(x) y g(x) = A cos(x) .

Este valor A provoca un alargamiento vertical de las gráficas de las funciones cuando |A| > 1 ; o, una compresión vertical cuando |A| < 1, tal como se puede notar en la figura 4.10:

El período fundamental de estas funciones también puede ser modificado.

Las funciones f (x) = sen(Bx) y g(x) = cos(Bx) con B >0, tienen un período

T = 2πB . Esto representa una compresión horizontal para ambas funciones

cuando B > 1; o, un alargamiento horizontal cuando 0 < B < 1, los cuales se

pueden observar en la figura 4.11:

Figura 4.10: Alargamiento o Compresión Vertical de Funciones Senoidales o Cosenoidales.

f (x) = 4 sen(x)

x

y

-2π 3π2- -π

2

π2-

4

-2

-4

π2 π 3π

22π

A = 4 A = 12

g (x) = 12 cos(x)

x

y

-2π 3π2- -π π

2-

21

-2π2 π 3π

2 2π-1

416pág.


Si el signo de B es negativo, se verifica el mismo cambio en el período fundamental de la función, pero adicionalmente se aplica un efecto de reflexión respecto al eje Y.

Ahora analizaremos las gráficas de f (x) = Asen(Bx + C) y g(x) = Acos(Bx + C), las

cuales tienen amplitud A, período 2πB y un desfase (desplazamiento horizontal)

de CB unidades.

El sentido del desplazamiento depende del signo de CB . La figura 4.12 ilustra

tal efecto sobre las gráficas del seno y del coseno, respectivamente.

Si a las funciones anteriores se les suma algebraicamente un valor , se definen las siguientes reglas de correspondencia f (x) = A sen(Bx + C) + D y g(x) = A cos(Bx + C) + D.

El efecto de este valor D consiste en un desplazamiento vertical cuya dirección dependerá de su signo, es decir, si D > 0 la gráfica se desplazará D unidades hacia arriba; y, si D < 0 la gráfica se desplazará D unidades hacia abajo. En la figura 4.13 se presenta tal efecto.

Figura 4.11: Compresión o Alargamiento Horizontal de Funciones Trigonométricas Senoidales o Cosenoidales.

B = 2, período T = π

f (x) = sen(2x)y

x-π π

2- π2 π

B = 12 , período T = 4π

f (x) = cos(x2)

x

y

-3π -2π -π π 2π 3π

Figura 4.12: Desplazamiento Horizontal de Funciones Senoidales o Cosenoidales.

y

x

f (x) = 2sen x - �4

-2

-3

-1

2

1

3

3π2- -π π

2- π2 π 3π

2

A = 2, B = 1, período T = 2π,CB = π4 unidades a la derecha.

yg(x) = 3cos 2x + π

3π2- -π π

2- π2 π 3π

2

x

2

1

3

-2

-3

-1

A = 3, B = 2, período T = π,CB = π2 unidades a la izquierda.


417pág.

Las cotas de estas funciones trigonométricas presentan cambios. En la figura 4.13 (a), las cotas inferior y superior son 0 y 4, respectivamente. En la figura

4.13 (b), las cotas inferior y superior son - 92 y 3

2 , respectivamente.

Cuando se combinan varios efectos sobre la gráfica, es recomendable hacer los cambios en el siguiente orden: reflexión horizontal, cambio del período, desfase, cambio en la amplitud, reflexión vertical y desplazamiento vertical.

Figura 4.13: Desplazamiento Vertical de las Funciones Senoidales o Cosenoidales.

a) D = 2

y

x

f (x) = 2sen(3x) + 2

-π π2-

4

3

2

1

-1

-2

-3

π2 π

b) D = - 32

g (x) = 3cos x2 + �

4 - 32

y

x-3π

1

-2π -π π 2π 3π

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Ejemplo 4.10 Gráfica de funciones trigonométricas.

Si f es una función de en , tal que f (x) = 2sen x + π2 + 1, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) rg f = [ -2, 2]b) ∀x ∈ [ f (- x) = f (x)]c) ∃x ∈ [ f (x) < - 1]Solución:

Con la regla de correspondencia dada, podemos concluir que:

Su amplitud es | A| = 2.

Su período fundamental es T = 2π . Su desplazamiento horizontal es π

2 unidades hacia la izquierda.

Su desplazamiento vertical es de 1 unidad hacia arriba.

418pág.



a) ∀x, | f (x)| ≤ 12

b) ∀x1, x2 ∈ π4 , π

2 , [(x1 < x2 ) ⇒ ( f (x1) ≤ f (x2))]

c) ∀x, [ f (x + 2π) = f (x)]

Si f es una función de en , tal que f (x) = 12 cos(4x) + 2, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Solución:

Con la regla de correspondencia dada, podemos concluir que:

Su amplitud es |A| = 12 .

Su período fundamental es T = π2 .

Su desplazamiento vertical es 2 unidades hacia arriba.

Analizando las opciones:

a) Se puede observar que rg f = [-1, 3]. Por lo tanto, esta proposición es falsa.

b) La definición dada corresponde a la de una función par. Efectivamente, f es par, lo cual convierte esta proposición en verdadera.

c) El valor mínimo de f es -1. No existe la posibilidad de obtener un valor menor que éste. Esta proposición es falsa.

La gráfica de f es:

f (x) = 2sen x + π2 + 1

x

y

-1

1

2

3

4

-2π -π π 2π 3π 4π 5π


419pág.

Analizando las opciones:

a) Se puede observar que rg f = 32 , 5

2 . Por lo tanto, esta proposición es falsa.

b) La definición dada corresponde a la de una función creciente. Efectivamente, f lo es en el intervalo π

4 , π2 , lo cual convierte a

esta proposición en verdadera.

c) El período fundamental de f es T = π2 , por lo tanto, T = 2π también

es otro período de la función. Esta proposición es verdadera.

La gráfica de f es:

f (x) = 12 cos(4x) + 2y

x

-1

1

2

3

4

3π4

π2- ππ

4- π4

π2

3π2


Determine una regla de correspondencia para la función trigonométrica f : [-π, π] → , cuya gráfica se adjunta:

y

xπ2--π 3π

4- π4- π

4π2

3π4 π

π

420pág.


Solución:

Se puede observar que la amplitud es |π|.

Como la función siempre es positiva, se deduce que se ha aplicado el valor absoluto a una función cuyo período fundamental era π, la cual podría ser f (x) = sen(2x).

Con estas observaciones, podemos concluir que una posible regla de correspondencia para f es: f (x) = π|sen(2x)|.

También se podría considerar la regla de correspondencia de la función cos(2x), con amplitud π y desplazamiento de π

4 unidades hacia la derecha.

Esto es, f (x) = π cos 2x - π2 .

Ejemplo 4.13 Gráfica de funciones de variable real.

Se puede observar que:

dom f = .

rg f = (-∞, 4].

Bosqueje la gráfica de f (x) =

x + 4 , x ≤ - 4

- (x - 4)2 + 4 , x > 22cos π

4 x , -4 < x ≤ 2 y adicionalmente

indique sus características.

Solución:

x

y

f4

2

-2

1-6 -5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7-7


421pág.

f es creciente en (- ∞, - 4) ∪ (- 4, 0) ∪ (2, 4).

f es decreciente en (0, 2) ∪ (4, + ∞).

f está acotada superiormente por la recta y = 4.

f tiene una discontinuidad en x = - 4.

Ejemplo 4.14 Gráfica de funciones de variable real.

Bosqueje la gráfica de la función de variable real cuya regla de correspondencia es:

f (x) = ln (-x + 1) , x < 0sen π

2 x , 0 ≤ x ≤ 8

Adicionalmente:

a) Indique sus características.

b) Calcule f (1), f (1 - e).

Solución:

El período de f (x) = sen π2 x es T = 2π

π2

= 4, cuando 0 ≤ x ≤ 8.

Construir la gráfica de f (x) = ln[- (x - 1)] implica desplazar ln(-x) una unidad hacia la derecha.

f

-2

-1

1

2

-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 6 7x

8

y

422pág.


a) Se puede observar que:

dom f = (- ∞, 8].

rg f = [- 1, + ∞).

f es creciente en (0, 1) ∪ (3, 5) ∪ (7, 8).

f es decreciente en (- ∞, 0) ∪ ( 1, 3) ∪ (5, 7).

f está acotada inferiormente por la recta y = -1.

f es continua, ∀x ∈dom f.

b) f (1) = sen π2 = 1

f (1- e) = ln [-(1 - e) + 1]= ln (e) = 1.

Función Tangente

La gráfica de la función f (x) = tan (x), tiene las siguientes características:

dom f = - {(2n + 1) π2 , n∈ }.

rg f = .

f es impar.

x

y

f (x) = tan(x)

1

-1

π2--π

2

3

4

5

-2

-3

-4

-5

π2 π


423pág.

f es periódica, su período fundamental es T = π.

Las intersecciones con el eje X están en el conjunto {n�, n∈ }.

Tiene asíntotas verticales ∀x ∈{(2n + 1) π2 , n∈ }.

Función Cotangente

La gráfica de la función f (x) = cot(x), tiene las siguientes características:

dom f = - {n�, n∈ }.

rg f = .

f es impar.

f es periódica, su período fundamental es T = �.

Las intersecciones con el eje X están en el conjunto {(2n + 1) π2 , n∈ }.

Tiene asíntotas verticales ∀x ∈{n�, n∈ }.

y

x

f (x) = cot(x)

1

π2--π

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

π2 π

424pág.


Ejemplo 4.15 Valores de las funciones trigonométricas.

Si f (x) = tan x2 cot x

2 , ∀x∈ 0, π2 , determine el valor de f π

2 + f π3 .

Solución:

Aplicando la identidad cociente, f (x) = 1, ∀x∈ 0, π2 ⇒ f π

2 + f π3 = 2.

Lo cual el lector también puede confirmar, evaluando x = π2 y x = π

3 en la función original.


Su dominio es todo número real, menos los impares multiplicados por el

factor 14 , lo cual puede ser expresado así:

Bosqueje la gráfica de f (x) = tan (2πx), especifique su dominio y sus características.

Solución:

El período fundamental de esta función es T = π2π = 1

2 .

Su gráfica es:

dom f = - 14 (2k + 1) ; k ∈ .

f es sobreyectiva, impar, periódica y estrictamente creciente por intervalos.

f (x) = tan (2πx)

34- 1

2- 14- 1

412

34

x

y

2

-2

4

6

8

-4

-6

-8


425pág.

Ejemplo 4.18 Propiedades de funciones trigonométricas.

Proporcione un contraejemplo para la siguiente proposición: “Si f y g son funciones periódicas de en , con período fundamental T, entonces la función f g también es periódica con período fundamental T ”.

Solución:

Para f (x) = sen(x), su período fundamental T = 2π.

Para g(x) = cos(x), su período fundamental T = 2π.

El producto entre las funciones f y g es:

( fg) (x) = f (x) g(x) = sen(x) cos(x)

En la sección 4.5 se demostrará que sen(x) cos(x) = 12 sen(2x).

Podemos notar que la función (fg)(x) = 12 sen(2x) tiene período

fundamental T = π, lo cual verifica que la proposición dada es falsa; es

decir, y = 12 sen(2x) constituye un contraejemplo para la proposición dada.


Proporcione un contraejemplo para la siguiente proposición: “Si f y g son funciones periódicas de en , con período fundamental T, entonces la función f/g también es periódica con período fundamental T ”.

Solución:

Para f (x) = sen(x), su período fundamental T = 2π.

Para g(x) = cos(x), su período fundamental T = 2π.

La división entre las funciones f y g es:

Podemos notar que la función fg (x) = tan(x), tiene período fundamental

T = π, lo cual verifica que la proposición dada es falsa; es decir, y = tan(x) constituye un contraejemplo para la proposición dada. Observe además que esta función no está definida ∀x ∈ .

fg (x) = f (x)

g(x) = sen(x)cos(x) = tan(x)

426pág.



a) f (x) = sen x2 , x ∈(- 2π, 2π).

b) g(x) = µ tan x4 , x ∈(- 2π, 2π).

c) h(x) = sgn cos x2 , x ∈(- 2π, 2π).

Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:

Solución:

a) La función y = sen x2 tiene período fundamental 4�, y su gráfica es:

Al aplicar la definición de la función entero mayor, se obtiene:

12

32

1

12-

32-

1-

y = sen x2

x

y

-2π -π 2ππ

12

32

1

f (x) = sen x2

x

y

-2π -π π 2π12-

32-

-1


427pág.

Al aplicar la definición de la función escalón, se obtiene:

b) La función y = tan x4 tiene período fundamental T = 4π, y su gráfica es:

-2π -π

1

-1

y = tan x4

x

y

23456789

-2-3-4-5-6-7-8-9

π 2π

x

y

-2π -π π 2π

1

g(x) = µ tan x4

428pág.


c) La función y = cos x2 tiene período fundamental T = 4π, y su gráfica

es:

y = cos x2

x

y

-2π -π

1

-1

π 2π

Al aplicar la definición de la función signo, se obtiene.

h(x) = sgn cos x2

x

y

-2π -π

1

-1

π 2π


429pág.

La gráfica de la función f (x) = sec(x), tiene las siguientes características:

dom f = - {(2n + 1) π2 , n∈ }.

rg f = - (-1, 1). f es par.


No tiene intersecciones con el eje X.

Tiene asíntotas verticales ∀x ∈ {(2n + 1) π2 , n∈ }.

Función Secante

x

y

5

-1π2--π

f (x) = sec(x)

π2 π

4

3

2

1

-2

-3

-4

-5

Función Cosecante

x

y

f (x) = csc(x)

1

-1π2--π

2

3

4

5

-2

-3

-4

-5

π2

π

430pág.


La gráfica de la función f (x) = csc(x), tiene las siguientes características:

dom f = - {n�, n∈ }. rg f = - (-1, 1). f es impar.


No tiene intersecciones con el eje X.

Tiene asíntotas verticales ∀x ∈{n�, n∈ }.

Objetivos


* Dada una función trigonométrica, determinar el dominio, rango, asíntotas, monotonía y otras características de su función inversa.

* Dada la gráfica estándar de una función trigonométrica inversa, aplicar técnicas de graficación para obtener nuevas funciones.

* Encontrar relaciones trigonométricas de ángulos, dado su argumento con relaciones trigonométricas inversas.

4.4 Funciones Trigonométricas Inversas

Si restringimos el dominio de f (x) = sen(x) al intervalo - π2 , π

2 y el conjunto

de llegada al intervalo [- 1, 1] , obtenemos una función biyectiva. A la función

inversa del seno se la denota por sen-1(x) o arcsen(x).

En la sección 3.11, analizamos que si una función es biyectiva es posible obtener su función inversa. Como ya se ha podido notar, las funciones trigonométricas no son inyectivas y no todas son sobreyectivas. Sin embargo, podemos restringir sus dominios y conjuntos de llegada de manera adecuada para obtener las funciones trigonométricas inversas.

Función seno inverso

f (x) = arcsen(x)

x

y

1-1

π2-

π4-

π2

π4

Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante también pueden experimentar desplazamientos horizontales y verticales, así como compresiones o alargamientos horizontales.


431pág.

Si restringimos el dominio de f (x) = cot(x) al intervalo (0, π), obtenemos una función biyectiva. A la función inversa de la cotangente se la denota por cot-1(x) o arccot(x)

Si restringimos el dominio de f (x) = tan(x) al intervalo - π2 , π

2 , obtenemos

una función biyectiva. A la función inversa de la tangente se la denota por

tan-1 (x) o arctan(x).

Función tangente inversa

x

y

2-2

π2

π4 f (x) = arctan(x)

π4-

π2-

-4-6-8-10 4 6 8 10

Función cotangente inversa

Si restringimos el dominio de f (x) = cos(x) al intervalo [0, π] y el conjunto de llegada al intervalo [-1, 1], obtenemos una función biyectiva. A la función inversa del coseno se la denota por cos-1 (x) o arccos(x).

Función coseno inverso

f (x) = arccos(x)

x

y

1-1

π2

π4

3π4

π

- π4

432pág.


f (x) = arccot(x)

x

y

2-2

3π4π2

π

π4

-4-6-8-10 4 6 8 10- π4

Si restringimos el dominio de f (x) = csc(x) al intervalo - π2 , π

2 -{0} y el

conjunto de llegada al intervalo - (- 1, 1), obtenemos una función biyectiva.

A la función inversa de la cosecante se la denota por csc-1(x) o arccsc (x).

Función cosecante inversa

f (x) = arccsc(x)

x

y

2-2

π2-

π4-

π4

π2

-4-6-8-10 4 6 8 10

Función secante inversa

Si restringimos el dominio de f (x) = sec(x) al intervalo [0, �] - π2 y el conjunto

de llegada al intervalo - (- 1, 1), obtenemos una función biyectiva. A la

función inversa de la secante se la denota por sec-1(x) o arcsec(x).

f (x) = arcsec(x)

x

y

2-2

3π4π2

π

π4

-4-6-8-10 4 6 8 10- π4


433pág.

Ejemplo 4.21 Relaciones trigonométricas inversas.

Si 0 ≤ θ ≤ π2 y θ = arccos(3x), encuentre expresiones para sen(θ) y cot(θ).

Solución:

θ = arccos(3x) ⇒ cos(θ) = 3x

Ejemplo 4.20 Relaciones trigonométricas inversas.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Determine el valor de tan(x), tal que x = arcsen - 1517 , 3π

2 ≤ x ≤ 2π.

Solución:

a = (17)2 - (- 15)2

a = 289 - 225

a = 8

tan(x) = - 158

a = 64

y'

x'

x

17

P (a, -15)

a

434pág.


Ejemplo 4.22 Funciones trigonométricas inversas.

Sea f (x) = arcsen(3x - 2) una función de variable real cuyo rango es - π2 , π

2 ,

determine, el dominio de f.

Solución:

La función f (x) = arcsen(3x - 2) también puede ser graficada así:

-1 ≤ 3x - 2 ≤ 1

1 ≤ 3x ≤ 313 ≤ x ≤ 1

∴ dom f = 13 , 1

A partir de la definición de la función seno inverso, se deduce que:

La gráfica correspondiente en el plano cartesiano es:

h = (1)2 - (3x)2


h = 1 - 9x2

Los valores solicitados son:

sen(θ) = h1 cot(θ) = 3x

h

sen(θ) = 1 - 9x2 cot(θ) = 3x1 - 9x2

Note que por ser θ la medida de un ángulo del I cuadrante, sus funciones trigonométricas poseen signos positivos.

y'

x'(3x)

θ

1 h


435pág.

Con esta última gráfica, se puede notar que efectivamente dom f = 13 , 1 .

Paso 3: Desplazamiento 23 unidades a la derecha, f (3x - 2) = arcsen 3 x - 23 .

Paso 1: Función original f (x) = arcsen (x).

1-1

f (x) = arcsen(x)y

x

π2-

π2

Paso 2: Compresión horizontal f (3x) = arcsen (3x).

x

y

f (3x) = arcsen (3x)

π2-

13

13-

π2

x

y

f (3x - 2) = arcsen (3x - 2)

π2-

23

13

π2

1

436pág.


Objetivos


* Demostrar identidades trigonométricas empleando identidades de seno, coseno y tangente.

* Deducir identidades para el ángulo suma, ángulo doble, ángulo mitad y de suma a producto.

* Identificar identidades trigonométricas analítica y gráficamente.

* Obtener relaciones trigonométricas de ángulos compuestos, a partir de otras relaciones conocidas.

4.5 Identidades Trigonométricas

En esta sección veremos que dada una expresión trigonométrica, es posible simplificarla o transformarla en otra expresión equivalente a la original, empleando las principales identidades trigonométricas del seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, ángulo doble, ángulo medio, productos de seno y/o coseno.

Así mismo, se dará una interpretación gráfica de algunas identidades, lo cual es más eficiente en algunos casos.

Para poder alcanzar los objetivos precedentes, se usarán propiedades de gran importancia en trigonometría. Así, en esta sección se analizarán varias de las denominadas identidades trigonométricas.

El procedimiento para demostrar identidades es:

Empezar con el miembro que tenga la expresión más compleja.

Preferir el uso de funciones senos y cosenos.

Trabajar en el miembro seleccionado de la expresión teniendo en cuenta la expresión del otro miembro.

Identidades Cocientes

tan(x) = sen(x)cos(x) ∀x∈ - (2n + 1) π

2 , n∈

cot(x) = cos(x)sen(x) ∀x∈ - {nπ, n∈ }

Identidades Recíprocas

cot(x) = 1tan(x) ∀x∈ - {(2n + 1) π

2 , n∈ } ∪ {nπ, n∈ }

sec(x) = 1cos(x) ∀x∈ - (2n + 1) π

2 , n∈

csc(x) = 1sen(x) ∀x∈ - {nπ, n∈ }


437pág.

Identidades Pitagóricas

sen2 (x) + cos2 (x) = 1 ∀ x∈

A partir de esta identidad y dividiendo por cos2 (x) y sen2 (x), se obtiene:

tan2 (x) + 1 = sec2 (x) ∀ x∈ - (2n + 1) π2 , n∈

1 + cot2 (x) = csc2 (x) ∀ x∈ - {nπ, n∈ }

Identidades Pares o Impares

En base a las gráficas de las seis funciones trigonométricas, se puede deducir que:

sen(-x) = - sen(x) ∀ x∈

cos(-x) = cos(x) ∀ x∈

tan(-x) = - tan(x) ∀ x∈ - (2n + 1) π2 , n∈

cot(-x) = - cot(x) ∀ x∈ -{nπ, n∈ }

sec(-x) = sec(x) ∀ x∈ - (2n + 1) π2 , n∈

csc(-x) = - csc(x) ∀ x∈ -{nπ, n∈ }

Ejemplo 4.23 Demostración de una identidad trigonométrica.

Demostrar la identidad: (sen(x) + cos(x))2 + (sen(x) - cos(x))2 = 2 Solución:

(sen(x) + cos(x))2 + (sen(x) - cos(x))2 =

= (sen2(x) + 2sen(x) cos(x) + cos2(x)) + (sen2(x) - 2sen(x) cos(x) + cos2(x)) Productos notables.

= 2sen2(x) + 2cos2(x) Simplificación de términos.

= 2(sen2(x) + cos2(x)) Factor común.

= 2 Identidad pitagórica.

438pág.



Demostrar la identidad: sec2(x) + csc2(x) = sec2(x)csc2(x).Solución:

Identidades cocientes.sec2(x) + csc2(x) = 1cos2(x) + 1

sen2(x)

m.c.m. del denominador.= sen2(x) + cos2(x) cos2(x)sen2(x)

Identidad pitagórica= 1cos2(x)sen2(x)

Propiedad de las fracciones.= 1cos2(x) 1

sen2(x)

Identidades recíprocas.sec2(x) + csc2(x) = sec2(x)csc2(x)


Demostrar la identidad: tan(x) + tan(y) cot(x) + cot(y) = tan(x) tan(y).

Solución:

Identidades cocientes.tan(x) + tan(y) cot(x) + cot(y)

sen(x)cos(x) + sen(y)

cos(y) cos(x) sen(x) + cos(y)

sen(y)

=

m.c.m. del denominador.

sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x)cos(x) cos(y)

sen(y) cos(x) + sen(x) cos(y)sen(x) sen(y)

=

Simplificación de términos.sen(x) sen(y)cos(x) cos(y)=

Propiedades de las fracciones.sen(x)cos(x)

sen(y) cos(y) =

Identidades cocientes.tan(x) + tan(y) cot(x) + cot(y) = tan(x) tan(y)


439pág.


Demostrar la identidad: 1 + cos(-x) - sen(-x) 1 + cos(-x) + sen(-x) = sec(x) + tan(x).

Solución:

1 + cos(-x) - sen(-x) 1 + cos(-x) + sen(-x)

Identidades pares o impares.= 1 + cos(x) + sen(x) 1 + cos(x) - sen(x)

Multiplicación por el conjugado del denominador.= 1 + cos(x) + sen(x)

1 + (cos(x) - sen(x)) 1 - (cos(x) - sen(x)) 1 - (cos(x) - sen(x))

= 1 - cos(x) + sen(x) + cos(x) - cos2(x) + sen(x)cos(x) + sen(x) - sen(x)cos(x) + sen2(x) 1 - (cos(x) - sen(x))2

Simplificación de términos.= 1 - cos2(x) + 2sen(x) + sen2(x) 1 - (cos2(x) - 2sen(x)cos(x) + sen2(x))

Identidad pitagórica.= sen2(x) + 2sen(x) + sen2(x) 2sen(x) cos(x)

Simplificación de términos.= 2sen2(x) + 2sen(x) 2sen(x) cos(x)

Propiedades de las fracciones.= 2sen2(x)

2sen(x)cos(x) + 2sen(x)

2sen(x)cos(x)

Propiedades de las fracciones.= sen(x)cos(x) +

1cos(x)

Identidades cociente y recíproca.= tan(x) + sec(x)

Propiedad conmutativa.= sec(x) + tan(x)

440pág.


La longitud del segmento P1P2 es:

P1P2 = (cos(b) - cos(a))2 + (sen(b) - sen(a))2

P1P2 = 2 - 2cos(a)cos(b) - 2sen(a)sen(b)

(cos2(b) - 2cos(b) cos(a) + cos2(a)) + (sen2(b) - 2sen(b) sen(a) + sen2(a)) =

Si designamos por P1' y P2' las posiciones de los vértices luego de la rotación, y observando que las coordenadas de P2' son (1, 0), podemos calcular la longitud del segmento P1'P2':

P1'P2' = (cos(a - b) - 1)2 + (sen(a - b) - 0)2

P1'P2' = 2 - 2cos(a - b)

cos2(a - b) - 2cos(a - b) + 1 + sen2(a - b)=

Hagamos rotar el triángulo OP1P2 de manera tal que el punto P2 se sitúe sobre el eje horizontal.

P1' (cos(a-b), sen(a-b))

a - bP2' (1, 0)

x

y

O

Identidades de suma y diferencia de medidas de ángulos

En esta sección vamos a demostrar las identidades correspondientes a cos(x+y), cos(x-y), sen(x+y) y sen(x-y).Sean los ángulos cuyas medidas son a, b y a-b, representados en la siguiente circunferencia de centro O y radio 1:

P1 (cos(a), sen(a))

P2 (cos(b), sen(b))

x

y

a - b

a bO


441pág.

Desde luego,

P1P2 = P1'P2'

y así:

2 - 2cos(a - b) = 2 - 2cos(a)cos(b) - 2sen(a)sen(b)

Finalmente:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

El procedimiento anterior puede repetirse para un par de ángulos completamente arbitrarios x, y:

cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) ∀x, y∈

A partir de este resultado, se puede obtener cos(x + y).

cos(x + y) = cos[x - (- y)]

cos(x + y) = cos(x)cos(- y) + sen(x)sen(- y)

Puesto que cos(y) es par y sen(y) es impar,

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y) ∀x, y∈

Si tomamos y = π2 ,

cos x + π2 = cos(x) cos π

2 - sen(x) sen π2

Esto es:

cos x + π2 = - sen(x)

Si tomamos x + π2 = z,

x = z - π2

Del resultado anterior:

cos(z) = - sen z - π2

442pág.


sen (x - y) = sen(x) cos(y) - cos(x) sen(y) ∀x, y ∈

sen (x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y) ∀x, y ∈

sen (x + y) = cos (x + y) - π2

= cos x + y - π2

= cos(x) cos y - π2 - sen(x) sen y - π

2= cos(x) sen(y) - sen(x)(- cos(y))

Podemos ahora calcular sen (x + y):

sen (x - y) = sen[x + (- y)]= sen(x) cos(- y) + cos(x) sen (- y)

A partir de este resultado, se puede obtener sen (x - y).

sen(x + y) =tan (x + y)

cos(x + y) sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)

= cos(x) cos (y) - sen(x) sen(y)sen(x)

=cos(x) +

sen(y) cos(y)

sen(x) cos(x)

sen(y) cos(y) 1-

Podemos ahora calcular tan(x + y):

Por otra parte:

cos x - π2 = cos(x) cos π

2 = sen(x) sen π2

cos x - π2 = sen(x)

Resumiendo:

cos x + π2 = - sen(x)

cos x - π2 = sen(x)

cos(x) = - sen x - π2

cos(x) = sen x + π2

tan (x + y) = tan (x) + tan (y) 1- tan (x) tan (y) ∀x, y∈ -{(2n + 1) π

2 , n∈ }


443pág.

Demostrar la identidad sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y).Solución:

sen(x + y) + sen(x - y) = (sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)) + (sen(x) cos(y) - cos(x) sen(y))sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)


A partir de este resultado, se puede obtener tan (x - y).

tan (x - y) = tan (x + (- y))

= tan (x) + tan (- y) 1- tan (x) tan (- y)

tan (x - y) = tan (x) - tan (y)

1+ tan (x) tan (y) ∀x, y∈ -{(2n + 1) π2 , n∈ }

También se puede demostrar que:

x + y = π2 ⇒ sen (x) = cos (y)

cos (x) = sen (y)

Se pueden comprobar estas últimas identidades con ángulos notables:

sen π3 = cos π

6

sen π6 = cos π

3

sen π4 = cos π

4


Demostrar la identidad: sen(x + y) sen(x - y) = sen2(x) - sen2(y).Solución:

sen(x + y) sen(x - y) = [sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)][sen(x) cos(y) - cos(x) sen(y)]= sen2(x) cos2(y) - cos2(x) sen2(y)= sen2(x)[1 - sen2(y)] - sen2(y)[1 - sen2(x)]= sen2(x) - sen2(x) sen2(y) - sen2(y) + sen2(x) sen2(y)

sen(x + y) sen(x - y) = sen2(x) - sen2(y)

444pág.



= 1

tan (x - y)

Demostrar la identidad: cot(x - y) = cot (x) cot (y) + 1cot (y) - cot (x) .

Solución:

cot (x) cot (y) + 1cot (y) - cot (x) =

1tan (x)

1tan (y) + 1

1tan (y)

1tan (x)-

=

1 + tan (x) tan (y)tan (x) tan (y)

tan (x) - tan (y)tan (x) tan (y)

cot (x) cot (y) + 1cot (y) - cot (x) = cot (x - y)

Ejemplo 4.30 Identidades trigonométricas.

Si tan(x) = - 75 , 3π

2 ≤ x ≤ 2π, determine el valor de cos x + π3 .

Solución:


h = (5)2 + (-7)2

h = 25 + 49

h = 74

x'

y'

P(5, -7)

x

h

5


445pág.

Ejemplo 4.31 Identidades trigonométricas y funciones inversas.

Sean los ángulos α, β ∈ 0, π2 , donde α = arccos 3

10 y β = arccos 25 ,

determine (α + β).

Solución:

Se tiene que cos(α) = 310 y cos (β) = 2

5 .

Pero sen(α) = ± 1 - cos2(α) . Y, puesto que α, β, ∈ 0, π2 :

sen(α) = 1 - 910 = 1

10 y sen(β) = 1 - 45 = 1

5 .

Como: cos(α + β) = cos(α) cos(β) - sen(α) sen(β).

Entonces: cos(α + β) = 310 2

5 - 110 1

5 = 12 .

Por lo tanto, (α + β) = π4 .

tan(x) = - 75 ∧ 3π

2 ≤ x ≤ 2π ⇒ cos(x) = 574 ∧ sen(x) = - 7

74

cos x + π3 = cos(x)cos π

3 -sen(x) sen π3 = 5

74 12 - - 7

74 23

cos x + π3 = 5 + 7 3

742

Ejemplo 4.32 Aplicación de identidades trigonométricas.

Sin utilizar calculadora, determine el valor de:

a) sen(75º) b) cos(105º)

446pág.


Solución:

a) sen(75º) = sen(30º + 45º)

= sen(30º) cos(45º) + cos(30º) sen(45º)

= 12 2

2 + 23 2

2

= 42 + 4

6

sen(75º) = 462 +

b) cos(105º) = cos(45º + 60º)

= cos(45º) cos(60º) - sen(45º) sen(60º)

= 22 1

2 - 22 2

3

= 42 - 4

6

cos(105º) = 462 -

Identidades de ángulo doble

Con la identidad pitagórica y esta última, se puede deducir que:

Además:

cos(2x) = cos(x + x) cos(2x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x)

sen(2x) = sen(x + x) sen(2x) = sen(x)cos(x) + cos(x)sen(x)

cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) ∀x∈

cos(2x) = 1 - 2sen2(x) ∀x∈

cos(2x) = 2cos2(x) - 1 ∀x∈

sen(2x) = 2sen(x) cos(x) ∀x∈


447pág.

El signo del radical debe escogerse en relación con la ubicación de x2 . Si se

encuentra en el primer cuadrante, cos x2 > 0 y así sucesivamente.

tan(2x) = sen (2x)cos (2x)

tan(2x) = 2sen(x) cos(x)cos2(x) - sen2(x)

tan(2x) = 2tan(x)1 - tan2(x)

∀x∈ - {(2n + 1) π2 , n∈ } ∪ {(2n + 1) π

4 , n∈ }


Demostrar la identidad: sen3(x) + cos3(x)sen(x) + cos(x) = 1 - 1

2 sen(2x).

Solución:

sen3(x) + cos3(x)sen(x) + cos(x) = (sen(x) + cos(x)) (sen2(x) - sen(x) cos(x) + cos2(x))

(sen(x) + cos(x))

= (sen(x) + cos(x)) (1- sen(x) cos(x))(sen(x) + cos(x))

= 1 - 12 sen(2x).

cos(2x) = 2 cos2(x) - 1

De donde:

cos2(x) = 1+ cos(2x) 2

y así:

cos(x) = ± 1+ cos(2x) 2

Identidades de ángulo mitad

cos x2 = ± 1+ cos(x)

2 ∀x∈

448pág.



Demostrar la identidad:sen(3x) sen(x) -

cos(3x) cos(x) = 2.

Solución:

sen(3x) sen(x) -

cos(3x) cos(x)

= sen(2x + (x))sen(x) -

cos(2x + (x))cos(x)

= sen(2x) cos(x) + cos(2x) sen(x)sen(x) -

cos(2x) cos(x) - sen(2x) sen(x)cos(x)

= 2sen(x) cos2(x) + (2cos2(x) - 1) sen(x) sen(x) -

(2cos2(x) - 1) cos(x) - 2 sen2(x) cos(x)cos(x)

= 2sen(x) cos2(x) + 2cos2(x) sen(x) - sen(x)sen(x) -

2cos3(x) - cos(x) - 2 sen2(x) cos(x)cos(x)

= sen(x) (2cos2(x) + 2cos2(x) - 1)sen(x) -

cos(x) (2cos2(x) - 1 - 2sen2(x))cos(x)

= 2cos2(x) + 2cos2(x) - 1 - 2cos2(x) + 1 + 2sen2(x)

= 2(sen2(x) + cos2(x))

= 2

cos(2x) = 1 - 2 sen2(x)

sen2(x) = 1- cos(2x) 2

sen(x) = ± 1- cos(2x) 2

sen x2 = ± 1- cos(x)

2 ∀x∈

tan x2 = ± 1- cos(x)

1+ cos(x) ∀x∈ - {(2n + 1) �, n ∈ }


449pág.


Demostrar la identidad: csc2 x2 = 2

1 - cos(x).

Solución:

csc2 x2 = 1

sen2 x2

= 1

1 - cos2 x2

Ejemplo 4.35 Aplicación de identidades trigonométricas.

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

Si π2 < x < π, y cos(x) = - 4

7 , determine el valor de tan(2x + π).

Solución:

a = (4)2 - (- 7)2

a = 16 - 7 a = 3

tan(x) = - 37

tan(2x + π) = tan(2x) = 2tan(x)1 - tan2(x) =

2 - 37

1 - 97

= - 6

7- 2

7tan(2x + π) = 3 7

a

y'

x'

4

x

P(- 7, a )

450pág.


= 1

1- 1 + cos(x) 2

2

= 21 - cos(x)


Determine si las siguientes expresiones constituyen identidades trigonométricas.

a) cos2 x3 = 1

2 1 - cos 2x3

b) sen (3x) = 2sen 3x2 cos 3x

2

c) cos (x) = cos2 x2 - sen2 x

2

Solución:

a) cos x2 = ± 1 + cos(x)

2

cos x3 = ±

1 + cos 2x3

2

cos2 x3 =

1 + cos 2x3

2

∴ La expresión dada no es una identidad trigonométrica.

b) sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

sen(3x) = 2sen 3x2 cos 3x

2

∴ La expresión dada sí es una identidad trigonométrica.

c) cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)

cos(x) = cos2 x2 - sen2 x

2

∴ La expresión dada sí es una identidad trigonométrica.


451pág.

Identidades de suma a producto

El lector puede verificar que:

sen(x + y) + sen(x - y) = 2sen(x) cos(y)cos(x - y) - cos(x + y) = 2sen(x) sen(y)cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos(x) cos(y)sen(x + y) - sen(x - y) = 2cos(x) sen(y)

Es frecuente utilizar estas fórmulas de otra manera. Si hacemos:

x + y = u x = u + v2

x - y = v y = u - v2

sen(u) + sen(v) = 2sen u + v2 cos u - v

2

cos(v) - cos(u) = 2sen u + v2 sen u - v

2

cos(u) + cos(v) = 2cos u + v2 cos u - v

2

sen(u) - sen(v) = 2cos u + v2 sen u - v

2

Las cuales pueden ser expresadas como:

sen(x) + sen(y) = 2sen x + y2 cos x - y

2 ∀x, y ∈

sen(x) - sen(y) = 2sen x - y2 cos x + y

2 ∀x, y ∈

cos(x) - cos(y) = -2sen x + y2 sen x - y

2 ∀x, y ∈

cos(x) + cos(y) = 2cos x + y2 cos x - y

2 ∀x, y ∈

452pág.


Identidades de producto a suma

sen(x) cos(y) = 12 sen(x + y) + sen(x - y) ∀x, y ∈

sen(x) sen(y) = 12 cos(x - y) - cos(x + y) ∀x, y ∈

cos(x) cos(y) = 12 cos(x + y) + cos(x - y) ∀x, y ∈

cos(x) sen(y) = 12 sen(x + y) - sen(x - y) ∀x, y ∈


Demostrar la identidad: sen(4x) + sen(8x)cos(4x) + cos(8x) = tan(6x).

Solución:

sen(4x) + sen(8x)cos(4x) + cos(8x) =

2sen 4x + 8x2 cos 4x - 8x

2

2cos 4x + 8x2 cos 4x - 8x

2

= 2sen(6x) cos(-2x)2cos(6x) cos(-2x)

= tan(6x)


Demostrar la identidad:

sen(x) (sen(3x) + sen(5x)) = cos(x) (cos(3x) - cos(5x))

Solución:

sen(x) (sen(3x) + sen(5x)) = sen(x) 2sen 3x + 5x2 cos 3x - 5x

2

= sen(x) [2sen(4x) cos(-x)]

= 2cos(x) [sen(4x) sen(x)]

= 2cos(x) 12 [cos(4x - x) - cos(4x + x)]

= cos(x) (cos(3x) - cos(5x))


453pág.


Demostrar la identidad: cos(x) + cos(y) cos(x) - cos(y) = - cot x + y

2 cot x - y 2 .

Solución:

cos(x) + cos(y) cos(x) - cos(y) =

2cos x + y

2 cos x - y

2

-2sen x + y

2 sen x - y

2

= - cot x + y 2 cot x - y

2


Demostrar la identidad: sen 3π2 + x = - cos(x).

Solución:

sen 3π2 + x = sen 3π

2 cos(x) + cos 3π2 sen(x)

= (-1)(cos(x)) + (0)(sen(x))

= - cos(x)

Ejemplo 4.42 Interpretación gráfica de una identidad trigonométrica.

sen x + π2 = sen(x) cos π2 + cos(x) sen π

2 Se desarrolla el primer miembro.

sen x + π2 = (sen(x)) (0) + (cos(x)) (1) Reemplazando valores conocidos.

sen x + π2 = cos(x) Simplificando.

Con lo cual se demuestra la identidad.

Se requiere establecer si la igualdad sen x + π2 = cos(x) es una

identidad.

Solución:

454pág.


En la siguiente figura se observa que el sen x + π2 es la gráfica estándar

de f (x) = sen(x) desplazada π2 a la izquierda, lo cual corresponde a la

gráfica de f (x) = cos(x). Con esto se verifica la identidad.

x

y

1

-1

y = sen x + π2 = cos(x)2

-2

-2π 3π2- -π π

2- π2 π 2π3π

2

Identificar gráficamente identidades trigonométricas es práctico cuando las gráficas no son muy complicadas de construir o cuando no se dispone de un software graficador.

Una identidad se la puede considerar como una ecuación que se satisface para todos los elementos del referencial.

En caso de tener una igualdad que no represente una identidad trigonométrica, las gráficas serán diferentes y puede ocurrir que se intersequen en algunos puntos o que la intersección no exista, tal como se ilustra en la Figura 4.14.

a) Intersección ocurre en algunos puntos.

x

y

3

-1

3π2- π

2--2π

g(x) = 3cos(x)

f (x) = sen(x)

2

1

-2

-3

-π π2 π 3π

2 2π


455pág.

La Figura 4.14(a) puede interpretarse como una igualdad que se cumple sólo para ciertos elementos del dominio de las funciones, mientras que en la figura 4.14(b) se puede notar que las dos funciones trigonométricas no tienen puntos en común. Para algunas aplicaciones es necesario obtener estos puntos de intersección entre gráficas, lo cual conlleva a resolver ecuaciones trigonométricas tal como se estudiará en la siguiente sección.

Objetivos


* Dada una ecuación trigonométrica, transformarla y despejar su incógnita, empleando despeje directo o factorización.

* Dada una ecuación trigonométrica, transformarla y despejar su incógnita, empleando algún cambio de variable adecuado.

* Dada una inecuación trigonométrica, encontrar gráficamente su solución.

4.6 Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas

En esta sección veremos que las ecuaciones o inecuaciones que involucran funciones trigonométricas pueden ser resueltas utilizando las identidades estudiadas en la sección anterior, las gráficas de estas funciones y sus respectivas inversas.

Figura 4.14: Interpretación Gráfica de Identidades Trigonométricas

b) Intersección no existe.

g(x) = cos(x) + 2

f (x) = sen(x)

x

y

1

-1

3π2- π

2--2π

2

3

-2

-π π2

π 3π2

2π

456pág.


Ejemplo 4.43 Ecuaciones trigonométricas.

Por lo tanto:

Ap(x) = π6 , 5π

6

La suma de los elementos de Ap(x) es π.

Sea Re = [0, 2π] y p(x): sen(x) = 12 . Encuentre la suma de los elementos

de Ap(x):

Solución:

Comprobando:

x = arcsen 12

x = π6 ∨ x = 5π

6

p π6 : sen π

6 = 12 ∴p π

6 ≡ 1

p 5π6 : sen 5π

6 = 12 ∴p 5π

6 ≡ 1


Sea Re = [0, 2π] y p(x): 2cos2(x) - cos(x) -1 = 0. Encuentre la suma de los elementos de Ap(x) .

Solución:

Sea u = cos(x)

2u2 - u - 1 = 0 (2u - 2) (2u + 1)

2 = 0

(u - 1) (2u + 1) = 0

(u - 1 = 0) ∨ (2u + 1 = 0)

(u = 1) ∨ u = - 12

(cos(x) = 1) ∨ cos(x) = - 12

x = arccos(1) ∨ x = arccos - 12

(x = 0) ∨ (x = 2π) ∨ x = 2π3 ∨ x = 4π

3


457pág.


Sea Re = [0, 2π] y p(x): tan(2x) + 2sen(x) = 0, encuentre la suma de los elementos de Ap(x).

Solución:tan(2x) + 2sen(x) = 0

sen(2x)cos(2x) + 2sen(x) = 0

2sen(x)cos(x)2cos2(x) - 1 + 2sen(x) = 0

2sen(x)cos(x) + 2sen(x) (2cos2(x) - 1)2cos2(x) - 1 = 0

2sen(x)(cos(x) + 2cos2(x) - 1)2cos2(x) - 1 = 0

(2sen(x) = 0) ∨ (2cos2(x) + cos(x) - 1 = 0)

x = arcsen(0) ∨ x = arccos(-1) ∨ x = arccos 12

(x = 0) ∨ (x = π) ∨ (x = 2π) ∨ (x = π) ∨ x = π3 ∨ x = 5π

3

Por lo tanto:

Ap(x) = 0, 2π3 , 4π

3 , 2π .

La suma de los elementos de Ap(x) es 4π.

Comprobando:

p (0) : 2cos2(0) - cos(0) - 1 = 2(1) - 1 - 1 = 0 ∴ p (0) ≡ 1

p (2π) : 2cos2(2π) - cos(2π) - 1 = 2(1) - 1 - 1 = 0 ∴ p (2π) ≡ 1

p 2π3 : 2cos2 2π

3 - cos 2π3 - 1 = 2 1

4 + 12 - 1 = 0 ∴ p 2π

3≡ 1

p 4π3 : 2cos2 4π

3 - cos 4π3 - 1 = 2 1

4 + 12 - 1 = 0 ∴ p 4π

3≡ 1

458pág.


Por lo tanto: Ap(x) = 0, π3 , π, 5π

3 , 2π .

La suma de los elementos de Ap(x) es 5π.

Comprobando:

p(0) : tan(0) + 2sen(0) = 0 ∴ p(0) ≡ 1

p(π) : tan(2π) + 2sen(π) = 0 ∴ p(π) ≡ 1

p(2π) : tan(4π) + 2sen(2π) = 0 ∴ p(2π) ≡ 1

p π3 : tan 2π

3 + 2sen π3 = - 3 + 2 2

3 = 0 ∴ p π3 ≡ 1

p 5π3 : tan 10π

3 + 2sen 5π3 = 3 + 2 - 2

3 = 0 ∴ p 5π3 ≡ 1

Ejemplo 4.46 Ecuaciones Trigonométricas.

Sea Re = [-2π, 0] y p(x): sec 2x - π2 = 2

3 , determine Ap(x).

Solución:

sec 2x - π2 = 2

3 ≡ cos 2x - π2 = 2

3

cos 2x - π2 = cos(2x) cos π

2 + sen(2x) sen π2 = sen(2x)

sen (2x) = 23 ∧ x ∈[-2π, 0] ⇒

2x = - 2π + π32x = - 2π + π3 - 2π

2x = - 2π + π - π32x = - 2π + π - π3 - 2π

⇒

2x = - 5π3

2x = - 11π3

2x = - 4π3

2x = - 10π3

⇒

x = - 5π6

x = - 11π6

x = - 2π3

x = - 5π3


459pág.

Comprobando:

p - 5π6 : sec - 5π

3 - π2 = sec - 13π

6 = sec - π6 = sec π

6 = 23

∴ p - 5π6 ≡ 1

p - 11π6 : sec - 11π

3 - π2 = sec - 25π

6 = sec - π6 = sec π

6 = 23

∴ p - 11π6 ≡ 1

p - 2π3 : sec - 4π

3 - π2 = sec - 11π

6 = sec π6 = 2

3

∴ p - 2π3 ≡ 1

p - 5π3 : sec - 10π

3 - π2 = sec - 23π

6 = sec π6 = 2

3

∴ p - 5π3 ≡ 1

Ap(x) = - 11π6 , - 5π

3 , - 5π6 , - 2π

3


Sea Re = [0, π] y p(x): sen(3x) + sen(x) = 0 , determine Ap(x).

Solución:

sen(x + 2x) + sen(x) = 0 Descomponiendo 3x.sen(x) cos(2x) + cos(x) sen(2x) + sen(x) = 0 Aplicando identidad sen(x + y).sen(x) cos(2x) + 2sen(x) cos2(x) + sen(x) = 0 Aplicando identidad sen(2x).sen(x) [cos(2x) + 2cos2(x) + 1] = 0 Factorizando.

[sen(x) = 0] ∨ [4cos2(x) = 0] Igualando a cero cada factor.

[x = arcsen(0)] ∨ [x = arccos(0)] Obteniendo las funciones inversas.

[(x = 0) ∨ (x = π)] ∨ x = π2 Encontrando los valores de x.

460pág.


Comprobando:

p(0): sen(0) + sen(0) = 0 + 0 = 0 ∴ p(0) ≡ 1

p(π): sen(3π) + sen(π) = 0 + 0 = 0 ∴ p(π) ≡ 1

p π2 : sen 3π

2 + sen π2 = - 1 + 1= 0 ∴ p π

2 ≡ 1

Ap(x) = 0, π2 , π


Sea Re = 0, π2 y p(x): 8sen2(x2) = 2 2 , determine Ap(x).

Solución:

Igualando bases y exponentes:

23sen2(x2) = 232 ⇒ 3sen2(x2) = 3

2

Encontramos los valores de x:

sen2(x2) = 12 ∧ x ∈ 0, π

2 ⇒ sen(x2) = 22 ⇒ x2 = arcsen 2

2

⇒ x2 = π4 ∨ x2 = 3π

4 ⇒ x = 2π ∨ x = 2

3π

Comprobando:

p 2π : 8sen2 π

4 = 8 12

2 = 812 = 2 2 ∴ p 2

π ≡ 1

p 23π : 8sen2 3π

4 = 8 12

2 = 812 = 2 2 ∴ p 2

3π ≡ 1

Ap(x) = 2π , 2

3π

Ejemplo 4.49 Ecuaciones Trigonométricas.

Sea Re = [0, 2π] y p(x): sen2(2x) - sen (2x) - 2 = 0, determine la suma de los elementos de Ap(x).

Solución:

Sea z = sen(2x)z2 - z - 2 = 0 ⇒ [(z - 2) (z + 1) = 0] ⇒ [(z - 2 = 0) ∨ (z + 1= 0)] ⇒ [(z = 2) ∨ (z = -1)]


461pág.

Finalmente, x1 + x2 = 10π4 = 5π

2 .

Descartamos z = 2, porque no es una solución trigonométrica posible. Luego:

sen(2x) = -1 ⇒ 2x = 3π2 ∨ 2x = 7π

2 ⇒ x1 = 3π4 ∧ x2 = 7π

4

p 3π4 : sen2 3π

2 - sen 3π2 -2 = (-1)2 - (-1) -2 = 0 ∴ p 3π

4 ≡ 1

p 7π4 : sen2 7π

2 - sen 7π2 -2 = (-1)2 - (-1) -2 = 0 ∴ p 7π

4 ≡ 1


Sea Re = [0, 2π] y p(x): sen2(3x) - 2cos(2x) + cos2(3x) = 0, determine Ap(x).

Solución:

[sen2(3x) + cos2(3x)] = 2cos(2x) Agrupando términos.

cos(2x) = 12 Identidad pitagórica.

2x = arccos 12 Resolviendo la ecuación.

2x = π3 ∨ 2x = 5π

3 ∨ 2x = 7π3 ∨ 2x = 11π

3 Determinando los valores de x.

x = π6 ∨ x = 5π

6 ∨ x = 7π6 ∨ x = 11π

6

Comprobando, tenemos que:

p π6 : sen2 π

2 - 2cos π3 + cos2 π

2 = (1)2 - 2 12 + 0 = 0

∴p π6 ≡ 1

p 5π6 : sen2 5π

2 - 2cos 5π3 + cos2 5π

2 = (1)2 - 2 12 + 0 = 0

∴p 5π6 ≡ 1

462pág.


Por lo tanto: Ap(x) = π6, 5π

6 , 7π6 , 11π

6

p 7π6 : sen2 7π

2 - 2cos 7π3 + cos2 7π

2 = (-1)2 - 2 12 + 0 = 0

∴p 7π6 ≡ 1

p 11π6 : sen2 11π

2 - 2cos 11π3 + cos2 11π

2 = (-1)2 - 2 12 + 0 = 0

∴p 11π6 ≡ 1


Sea Re = [-π, π] y p(x): 3sen(x) + cos(2x) = 2 , determine Ap(x) .Solución:

Comprobando, tenemos que:

p π2 : 3sen π

2 + cos (π) = 3(1) + (-1) = 2 ∴ p π2 ≡ 1

p π6 : 3sen π

6 + cos π3 = 3 1

2 + 1

2 = 2 ∴ p π6 ≡ 1

p 5π6 : 3sen 5π

6 + cos 5π3 = 3 1

2 + 1

2 = 2 ∴ p 5π6 ≡ 1

Por lo tanto: Ap(x) = π6 , π

2 , 5π6

3sen(x) + cos(2x) = 2

3sen(x) + 1 - 2sen2(x) = 2 Aplicando identidad cos(2x).

2sen2(x) - 3sen(x) + 1 = 0 Obteniendo la ecuación cuadrática.

Sea u = sen(x) Efectuando un cambio de variable.

2u2 - 3u + 1 = 0 Transformando en una ecuación cuadrática.

(2u - 2) (2u - 1) 2 = 0 Resolviendo la ecuación.

(u = 1) ∨ u = 12Obteniendo los valores de u.

[sen(x) = 1] ∨ sen(x) = 12Realizando nuevamente el cambio de variable.

[x = arcsen(1)] ∨ x = arcsen 12 Obteniendo los valores de x.

x = π2 ∨ x = π6 ∨ x = 5π6 Expresando las soluciones.


463pág.

Sea Re = [0, 2�] y p(x): µ(ln(cos(x))) = 0, determine Ap(x).

Solución:

Para que la función escalón tome el valor de 0, su argumento debe ser negativo o cero, es decir: ln(cos(x)) ≤ 0

Para que la función logaritmo natural tome valores negativos o cero, su argumento debe ser mayor que cero y menor o igual que uno, es decir: 0 < cos(x) ≤ 1

Empleando la definición de la función coseno, gráficamente se determina la solución de esta inecuación.

Ejemplo 4.53 Inecuaciones trigonométricas.


Sea Re = [-2�, 2�] y p(x): sgn (sen(x)) = 1, determine Ap(x).

Solución:Para que la función signo tome el valor de 1, su argumento debe ser positivo.Es decir, sen(x) > 0. Gráficamente se observa los intervalos de x entre [-2�, 2�], en los cuales se cumple esta condición:

f (x) = sen(x)y

x

Ap(x) = { x/x ∈(-2�, -�) ∪ (0, �)}.

1

-2

3π2- π

2-

2

-1-2π -π π

2 π 3π2 2π

464pág.


y = ln (cos (x))y

xπ2 π 3π

2 2π

x

y

1

y = cos(x) 2

π2

3π2

π 2π

Por lo tanto:

Ap(x) = x/x ∈ 0, π2 ∪ 3π

2 , 2� .x

y

2π3π2

π2

π

y = µ ln cos(x)


Sea Re = [0, 2�] y p(x): sgn 2sen x2 -1 = 1, determine Ap(x).

Solución:

Se debe cumplir lo siguiente:

2sen x2 -1 > 0 ⇒ sen x

2 > 12 ⇒ π6 < x2 < 5π

6 ⇒ π3 < x < 5π

3

En la gráfica de la función mostrada a continuación, se ha sombreado el

intervalo para el cual sen x2 > 12 .

y = sen x2

5�3

3�2

x

y

112

- 1

π3

π2 π 2π 5�

23π 7�

24π 9�

2


465pág.


Sea Re = [-2�, 2�] y p(x) = sen(x) cos(x) = 0, determine Ap(x).

Solución:

Para que se cumpla sen(x) cos(x) = 0, se debería resolver la siguiente inecuación:

0 ≤ sen(x) cos(x) < 1

0 ≤ 12 sen(2x) < 1

Si construimos la gráfica de f (x) = 12 sen(2x), tenemos:

Podemos notar que para que 0 ≤ f (x) < 1, debe cumplirse que:

2x ∈[-4π, - 3π] ∪ [-2π, -π] ∪ [0, π] ∪ [2π, 3π] ∪ {4π}

Por lo cual:

Ap(x) = -2π, - 3π2 ∪ -π, - π

2 ∪ 0, π2 ∪ π, 3π

2 ∪ {2π}

Otra manera de resolver este mismo problema, sería graficar las funciones estándares f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) y verificar que se cumple:

f (x) = 12 sen(2x)

x

y

112

12-

-1

- 4π - 3π - 2π - π π 2π 3π 4π

466pág.

Se puede observar que Ap(x), efectivamente corresponde al conjunto previamente encontrado.

0 ≤ f (x) g(x) < 1

x

y

1f (x) = sen(x)

- 2π 3π2- - π π

2-

(-)

(+) (+)

(-)

π2 π 3π

2 2π

12

12-

-1

g(x) = cos(x)

x

y

- 2π 3π2- - π π

2-

(-)

(+)

1

12

12-

-1

π2

(-)

(+)

π 3π2

2π

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Capitulo 4 nf