Capitulo 6 nf

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Capítulo 6Números Complejos

Introducción

El matemático Diofanto (275 d. C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos equidistantes. Las longitudes de los lados medían 3, 4 y 5 unidades. El triángulo es rectángulo porque cumple el teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52. Al ser un triángulo rectángulo, es fácil comprobar que el área de la superficie es 6 unidades cuadradas.

Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo, de forma que su área fuese 7 unidades cuadradas. Su planteamiento fue el siguiente:

De donde se llega a la siguiente ecuación cuadrática: 6x2 - 43x + 84 = 0.

Cuya solución, Diofanto expresó como: 43 ± √167 √-112

.

Pero no conocía número alguno que elevado al cuadrado fuese igual a -1; por tanto, el problema no tenía solución.

Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. Descartes, en 1637, puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son números de la forma a+ bi, con a y b reales.

▪ Un cateto mediría x.

▪ Como el área de la superficie del triángulo debería ser 7 unidades

cuadradas, el otro cateto mediría 14x .

▪ La hipotenusa h debería cumplir el teorema de Pitágoras: x2 + 14x

2= h2 .

▪ Por otra parte, la suma de las longitudes de sus lados debería ser 12 unidades:

x + 14x + h = 12 .

▪ Por lo tanto, se debería cumplir la ecuación: x2 + 196x2 = 12 - x - 14

x2

.

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En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas. A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos, comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:

En 1777, Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra i (por imaginario).

Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas de corriente o de voltaje. El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica, en la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas

para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

6.1 Números Complejos

Objetivos

Al finalizar esta sección el lector podrá:

* Dado un número complejo, expresarlo como par ordenado o en forma rectangular empleando la constante imaginaria i.

* Calcular potencias de la unidad imaginaria i.* Simplificar expresiones complejas empleando potencias de i y

propiedades algebraicas de los números reales.

* Dado un número complejo, determinar su conjugado.

* Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos.

Se puede considerar que los números complejos son de la forma x + iy, donde i = √-1, lo cual puede interpretarse diciendo que x + iy es un polinomio de variable imaginaria y coeficientes reales, con la particularidad de que i 2 = -1.

Para resaltar que x, yi tienen naturaleza diferente, usaremos la siguiente definición para los números complejos.

Gauss,matemático, astrónomo

y físico alemán.(1777-1855)

(5 + √-15) (5 - √-15)


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Definición 6.1 (Números complejos)

tal que:(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); y,

(x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1)se denomina conjunto de números complejos.

Al conjunto de pares ordenados:

Este comportamiento es cíclico, es decir, se repite cada cuatro potencias enteras. De aquí que i 5, i 6, i 7 e i 8 tendrán estos mismos valores, respectivamente. Como se analizará más adelante, i 0 es 1.

Un número complejo puede representarse en forma de par ordenado z = (x, y) o en forma rectangular también llamada estándar z = x + yi . En esta última expresión, x representa la parte real, y la parte imaginaria y al valor i = √-1 se lo denomina unidad imaginaria.

De esta forma, el número complejo z = (-1, 4) también puede escribirse como z = -1 + 4i.

El número complejo x + 0i generalmente se escribe como x y constituye un número real puro.

El número complejo 0 + yi generalmente se escribe como yi y constituye un número imaginario puro.

También se suele denominar a la parte real del número complejo simplemente como Re y a la parte imaginaria como Im.

El conjugado de un número complejo z, se obtiene cambiando el signo a la parte imaginaria de dicho número. Se lo denota por z.

De aquí, si z = 2 - 6i, su conjugado es z = 2 + 6i.

Para efectos de operaciones, es muy útil conocer como se comportan las potencias de la unidad imaginaria i . Al elevar i a las potencias enteras 1, 2, 3, 4, se obtiene:

= {z = (x, y) /x ∈ ∧ y ∈ }

Re (z) = xIm (z) = y

i 1 = ii 2 = -1i 3 = -ii 4 = 1

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Ejemplo 6.1 Potencias de i.

Calcule el valor de las siguientes expresiones: i 21, i 62, i 91, i 96.

Solución:

i 21 = i 20i 1 = (i 4) 5i = ii 62 = i 60i 2 = (i 4) 15(-1) = -1i 91 = i 88i 3 = (i 4) 22i 3 = -ii 96 = (i 4) 24 = 1

Una forma práctica de deducir el valor de la potencia i n, con n > 4 , es dividiendo n para 4 y trabajar con el residuo de esta división. El lector puede verificar que esta regla se cumple para todos los números del ejemplo 6.1.


Determine el valor de la expresión: (2 - i)2

3 - 4i.

Solución:(2 - i)2

3 - 4i =4 - 4i + (i)2

3 - 4i =4 - 4i - 1

3 - 4i =3 - 4i3 - 4i

(2 - i)2

3 - 4i = 1


Determine el valor de la expresión: i + i 2 + i 3 + ... + i 10.

Solución:

Se trata de una progresión geométrica con a = i, r = i y n = 10.

La suma de sus términos viene dada por: P10 = i ( i 10 - 1)

i - 1P10 =

i ( i 2 - 1)i - 1 = i ( i + 1) = i 2 + i = - 1 + i

Otra manera de resolver este mismo problema sería:

i + i 2 + i 3 + i 4 = 0 i 5 + i 6 + i 7 + i 8 = 0Es decir, los 8 primeros términos se anulan entre sí por la periodicidad anotada de las potencias de i.Por lo tanto:

i + i 2 + i 3 + ... + i 10 = i 9 + i 10 = i + i 2 = -1 + i


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Ejemplo 6.4 Expresiones algebraicas con números complejos.

Encuentre la forma rectangular del número complejo z =

1 + i i1 -

1 + i1 - i.

Solución:

Debido a que el resultado de la simplificación es el número complejo 0, su forma rectangular sería: z = 0 + 0i.

z =

1 + i i1 -

1 + i1 - i

=

1 + i 1 + i - i

1 + i1 - i

=

1 + i 1

1 + i1 - i

= 1 + i (1+ i)1 - i

= 1 + i (1+ i) 1 + i (1+ i) - i

= 1 + i + i2 1 + i + i2 - i

z = 0

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Ejemplo 6.5 Igualdad entre números complejos.

Sean z1 = (1, 2) y z2 = (a + b, a - b); para que z1 = z2 debe cumplirse que:

a + b = 1a - b = 2

el cual constituye un S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Al resolver el sistema se obtiene que a = 32 y b = - 1

2 ; con estos valores el número complejo z2 es igual a z1.

Ejemplo 6.6 Igualdad entre números complejos.

Determine α ∈ y β ∈ para que se cumpla la siguiente igualdad:

2α - 3 + α i = α + β - 2β i - i - 1Solución:

(2α - 3) + α i = (α + β - 1 ) - (2β + 1)iCon lo cual se puede construir el S.E.L.:

2α - 3 = α + β - 1α = - 2β - 1

α - β = 2α + 2β = - 1

⇒

Al resolver el S.E.L., se obtiene que α = 1 y β = - 1 y se puede comprobar que con estos valores se cumple la igualdad planteada.

6.2 Operaciones

Objetivos


* Dados dos o más números complejos, realizar y verificar propiedades de las operaciones de suma, producto y división entre ellos.

* Demostrar propiedades de las operaciones entre números complejos.

* Aplicar las propiedades de la suma y producto para realizar operaciones con números complejos.

Dos números complejos z1 y z2 son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias coinciden, respectivamente.


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La resta de números complejos se realiza como la suma algebraica del minuendo más el inverso aditivo del sustraendo.

La suma de números complejos z1, z2, z3 cumple con las siguientes propiedades:

La suma entre dos números complejos z1 y z2 es otro número complejo, cuya parte real es la suma de las partes reales de ambos; y, cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los referidos números.

Esta operación se puede representar así:

Ejemplo 6.7 Demostración de propiedades de Números Complejos.

Demuestre que: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, ∀z1, z2, z3 ∈ .

Solución:

▪ Multiplicación de un número complejo por un valor realSean α ∈ y z ∈ , esta operación se define como:

Sean α, β ∈ y z, z1, z2 ∈ , entonces se cumple que:

Cuadro 6.1: Propiedades de la Suma entre Números Complejos.

Cuadro 6.2: Propiedades de la Multiplicación de un Número Complejo por un Escalar.

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

∀z1, z2 ∈ [z1 + z2 = z2 + z1] Conmutativa

∀z1, z2, z3 ∈ [z1 + (z2 + z3)] = [(z1 + z2) + z3] Asociativa

∃ (0, 0) ∈ ∀ (x, y) ∈ [(x, y) + (0, 0) = (0, 0) + (x, y) = (x, y)] Elemento neutro

∀ (x, y) ∈ ∃ (x*, y*) ∈ [(x, y) + (x*, y*) = (0, 0)] Elemento inverso aditivo

z1 + (z2 + z3) = (x1 , y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] Definición de números complejos.

= (x1 , y1) + (x2 + x3 , y2 + y3) Suma de complejos z2 y z3.

= [x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)] Suma de complejos z1 y (z2 + z3).= [(x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3] Ley asociativa de números reales.

= (x1 + x2, y1 + y2) + (x3 , y3) Suma de complejos (z1 + z2) y z3.

z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

α z = α (x, y) = (αx, αy)

1. α z = z α2. α (β z) = (α β) z3. 0 (z) = (0, 0)

4. (α + β) z = αz + βz

5. α(z1 + z2) = αz1 + αz2

▪ Suma entre números complejos

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Definición 6.1 (Números complejos)


Demuestre que: α (β z) = (α β) z, ∀ z ∈ , ∀α, β ∈ .

Solución:Definición de un número complejo.

Producto de un número complejo por un valor real β.

Producto de un complejo (βz) por un valor real α.

Producto de un complejo z por un valor real (αβ).

En la última propiedad, el elemento inverso multiplicativo es:

▪ Multiplicación entre números complejos

Esta operación para los números complejos z1, z2, z3 cumple con las siguientes propiedades:

Resulta de mucha utilidad saber cómo se comportan estas operaciones sobre los números complejos y sus respectivos conjugados. Así, si z = x + yi, se tienen las siguientes propiedades:

Sean z1= (x1, y1) y z2= (x2, y2). El producto entre z1 y z2 está dado por:


Demuestre que: z1 z2 = z2 z1, ∀z1, z2 ∈ .

Solución:

Definición de números complejos.

Definición de producto entre números complejos.

Propiedad conmutativa del producto de números reales.

Definición de producto entre números complejos.

z1 z2 = z2 z1 Conmutativa

z1(z2 z3) = (z1 z2) z3 Asociativa

∃(1, 0) ∈ ∀ (x, y) ∈ [(x, y)(1, 0) = (1, 0) (x, y) = (x, y)] Elemento neutromultiplicativo

∀(x, y) ∈ - {(0, 0)} ∃(x*, y*) ∈ [(x, y) (x*, y*) = (1, 0)] Elemento inversomultiplicativo

Cuadro 6.3: Propiedades de la Multiplicación entre Números Complejos.

z = (x, y)β z = (β x, β y)

α (β z) = (α β x, α β y)= (α β) (x, y)

α (β z) = (α β)z

z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1)

xx 2 + y 2

yx 2 + y 2

, -

z1 z2 = (x1 , y1) (x2, y2)= (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1) = (x2x1 - y2y1 , y2x1 + y1x2) = (x2 , y2) (x1 , y1)

z1 z2 = z2 z1


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▪ División entre números complejos

La propiedad 4 se emplea para el elemento inverso multiplicativo de z.

Para hallar el cociente entre dos números complejos, con denominador no nulo, se debe multiplicar y dividir por el correspondiente complejo conjugado del denominador de la fracción, a fin de expresar como un número real el denominador de dicha fracción.


Demuestre que: z1 + z2 = z1 + z2 , ∀z1, z2 ∈ .

Solución:

Cuadro 6.4: Propiedades del Conjugado de Números Complejos.

z1 + z2 = (x1, y1) + ( x2, y2) Definición de números complejos.

= (x1 + x2 , y1 + y2) Definición de suma de números complejos.

= (x1 + x2 , - (y1 + y2)) Definición del conjugado de un número complejo.

= (x1 + x2 , - y1 - y2) Destrucción del signo de agrupación.

= (x1 , - y1) + (x2 , -y2) Definición de suma de números complejos.

z1 + z2 = z1 + z2 Definición del conjugado de un número complejo.

1. z + z = 2x2. z - z = 2yi3. z z = x2 + y2

4. = = zx2 + y2

z1zz

1z

5. (z) = z6. z1 + z2 = z1 + z2

7. z1 z2 = z1 z2

=z2

z1z2

z1z2

z2 ; z2 ≠ (0, 0)

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Ejemplo 6.11 Operaciones entre números complejos.

Sean z1 = (1, -1) y z2 = (-3, 4), realice:

Solución:

Ejemplo 6.12 Expresiones algebraicas.

Determine el valor de la expresión: +3 - 2i3 + 2i

3 + 2i3 - 2i

.

Solución:

Se podría definir el número z = (3, - 2).

Su conjugado sería z = (3, 2).

La expresión original se convierte en: z + =z z

z z2 + z2

z z .

Pero:

a) 2z1 + 3z2

b) z2 - z1

c) z1 z2

d) z1z2

a) 2z1 + 3z2 = 2(1, -1) + 3(-3, 4) = (2, -2) + (-9, 12) = (-7, 10)

b) z2 - z1 = (-3, 4) - (1, -1) = (-3, -4) - (1, -1) = (-4, -3)

c) z1 z2 = (1, -1) (-3, 4) = (-3 + 4, 4 + 3) = (1, 7)

d) z1z2

1 - i-3 + 4i= 1 - i

-3 + 4i= -3 - 4i-3 - 4i = (-3)2 - (4i)2

(-3 - 4) + (-4 + 3)i

z1z2

-7 - i9 + 16= 7

25= - 125 - i

z2 = ((3) (3) - (-2) (-2), (3) (-2) + (-2) (3)) = (9 - 4, -6 -6) = (5, -12)z2 = (5, 12)z z = 32 + 22 = 13

+zz z

z = (5, - 12) + (5, 12)13 = 10

13


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6.3 Representación geométrica

Objetivos


* Dado un número complejo, expresarlo en notación polar.

* Dado un número complejo, representarlo gráficamente en el plano complejo, identificando su módulo y su argumento.

* Demostrar propiedades del módulo y el argumento respecto a las operaciones entre números complejos.

* Aplicar las propiedades del módulo y el argumento para realizar operaciones con números complejos.

Todo número complejo puede ser considerado como un par ordenado (x, y); x ∈ , y ∈ ; así mismo, todo punto en el plano se puede representar mediante pares ordenados, de aquí podemos representar los números complejos mediante puntos en el plano.

Por convención, el eje horizontal del plano se emplea para representar la componente real del número complejo, y el eje vertical se emplea para representar la componente imaginaria.

Al unir el punto que representa al número complejo con el origen de coordenadas, se forma un segmento cuya longitud se denomina r. Este segmento forma con el eje horizontal positivo un ángulo θ, denominado argumento.

El plano usado para esta representación se conoce como plano complejo.

Puesto que los pares ordenados de la forma (x, 0) siempre se encuentran en el eje horizontal, éste se denomina eje real. De manera análoga, los que tienen la forma (0, y) se encuentran sobre el eje vertical, al cual se denomina eje imaginario. Por geometría de triángulos rectángulos, se puede observar además que:

x = r cos (θ)y = r sen (θ)

EjeImaginario

Eje Real

P(x,y)

r

θ0

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El módulo o valor absoluto de un número complejo x + yi es la longitud r del segmento dirigido desde el origen de coordenadas hasta el punto P(x, y) en el plano complejo.

La medida del ángulo θ se denomina argumento de z y se denota por θ = arg(z). Además:

El argumento de los números complejos z1, z2 cumplen con las siguientes propiedades:

▪ Módulo y argumento de un número complejo

El módulo de los números complejos z, z1, z2 cumple con las siguientes propiedades:

6.4 Notación de Euler

Objetivos


* Dado un número complejo, expresarlo en notación de Euler.

* Dados dos o más números complejos, realizar operaciones de multiplicación, división y potenciación empleando la identidad de Euler.

* Dado un número complejo, hallar sus n raíces y explicar la relación geométrica entre ellas.

Cuadro 6.6: Propiedades del Argumento de los Números Complejos.

Cuadro 6.5: Propiedades del Módulo de Números Complejos.

r = |z| = |x + yi| = √x2 + y2 = √z z

tan(θ0) = yx , 0 ≤ θ0 ≤ 2�, x ≠ 0, donde los signos de x, y determinan el

cuadrante de θ0; y,

θ = θ0 + 2k�, k ∈ , donde θ0 es el argumento fundamental.

1. arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)

2. arg z1z2

= arg(z1) - arg(z2) ; z2 ≠ (0, 0)

1. |z| = |z|

2. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

3. |z1 z2| = |z1 z2|

4. zz = |z|2

5. |z1| |z2| = |z1 z2|6. |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2|


567pág.

Para simplificar la notación de esta representación se usa la fórmula o identidad de Euler:

De acuerdo a lo que se estudió en la sección anterior, el número complejo z = x + yi, expresado en forma rectangular, también puede ser expresado como sigue:

De hecho, Euler, en un manuscrito fechado en 1777, el cual no se publicó hasta 1794, le aseguró un puesto definitivo en la historia de las notaciones matemáticas a los tres símbolos e, i y π, de los que Euler fue en gran medida responsable, y, que se relacionan con los dos enteros más importantes 0 y 1, por medio de la famosa igualdad:

eiπ + 1 = 0en la que figuran los cinco números más importantes con las más relevantes operaciones y la más trascendente relación de toda la matemática. Lo equivalente a esta igualdad, en forma generalizada, aparece en el más famoso de todos los textos de Euler, “Introductio in analysin infinitorum”, publicado en 1748.

Pero el nombre de Euler no aparece hoy asociado a ninguno de los símbolos que intervienen en esta relación, sino a la llamada “constante de Euler”, la que recibe este honor y se la considera una sexta constante matemática importante.

Es decir, el número complejo z puede definirse en función de su módulo, su argumento y del número irracional e, lo cual permite obtener reglas para calcular productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos.

la cual puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unitario en el plano complejo, dibujada por la función eiθ al variar θ sobre los números reales. Así, θ es la medida del ángulo en posición estándar de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia de radio unitario. La fórmula sólo es válida si el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.

Con lo cual, el número complejo z en forma polar puede ser expresado como:

Leonard Euler,matemático suizo

(1707-1783)

z = r cos (θ) + i r sen (θ)

z = r (cos (θ) + i sen (θ))

eiθ = cos (θ) + i sen (θ)

z = reiθ = |z| eiθ

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Ejemplo 6.13 Demostración de propiedades de argumentos de Números Complejos.

Demuestre que: arg (z1 z2) = arg (z1) + arg (z2), ∀z1, z2 ∈ .

Solución:Expresamos z1 y z2 en forma polar:z1 = r1eiθ1 ⇒ |z1| = r1 ∧ arg (z1) = θ1

z2 = r2eiθ2 ⇒ |z2| = r2 ∧ arg (z2) = θ2

Realizando el producto z1 z2, tenemos:

z1 z2 = r1r2 ei(θ1 + θ2)

Luego:arg(z1 z2) = θ1 + θ2

arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2)

Sean los números complejos z1 y z2, su producto puede ser encontrado de la siguiente manera:

Si n es un entero positivo, aplicando multiplicaciones sucesivas se tiene: zn = zz...z (n factores).Aunque también se puede utilizar la identidad de Euler:

Sean los números complejos z1 y z2, su cociente puede ser encontrado de la siguiente manera:

z1 = r1eiθ1 ∧ z2 = r2eiθ2

z1 z2 = (r1eiθ1) (r2eiθ2)= r1r2ei(θ1 + θ2)

z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)]

z1 = r1eiθ1 ∧ z2 = r2eiθ2 ; r2 ≠ 0z1z2

=r1eiθ1

r2eiθ2

=r1r2

ei(θ1 - θ2)

=r1r2

[cos(θ1 - θ2) + i sen(θ1 - θ2)]z1z2

zn = (reiθ)n

zn = rneinθ

▪ Multiplicación entre números complejos

▪ División entre números complejos

▪ Potenciación de números complejos


569pág.

Ejemplo 6.14 Módulo de Números Complejos.

Sean los números complejos z1 = 1 - 3i y z2 = 2 + i, determine el módulo del número ei z1z2.Solución:Realizamos la división

z1z2

, así:

Luego reemplazamos este cociente en el número dado:

Dado que todo complejo z se puede representar en forma polar como z = r eiθ, podemos concluir que: r = e 75, donde r es el módulo del número complejo dado.

Ejemplo 6.15 Multiplicación y división de complejos.

Solución:

Obteniendo los módulos de cada número complejo.Obteniendo los argumentos de cada número complejo.Definición del producto entre números complejos.

Producto en forma polar.

Expresando el producto en forma rectangular.

Simplificando el producto.

Dados los números z1 = i y z2 = 1 + i, realice las siguientes operaciones:a) z1 z2

b) z1z2

z1z2

=(1 - 3i)(2 + i)

(2 - i)(2 - i)

= 2 + 3i2 - i - 6i4 - i2

= - 1 - 7i

5z1z2

= - 15 - 7

5 i

ei z1z2 = ei(- 15 - 7

5i)= e- 1

5i e- 75i2

ei z1z2 = e 75 e- 1

5i

a) z1 z2

z1 = 0 + i, z2 = 1 + ir1 = √0 + 1 = 1, r2 = √1 + 1 = √2 tan(θ1) = 10 → θ1= �2 ∧ tan(θ2) = 11 → θ2= �4

z1 z2 = r1r2ei(θ1 + θ2)

= (1) (√2) ei(�2 + �

4 )

= √2 ei(3�4 )

= √2 [cos 3�4 + i sen 3�

4 ]= √2 (- 2

√2 + 2√2 i)

z1 z2 = -1 + i

570pág.

Simplificando el cociente.

Aplicando la definición de la división.

Cociente en forma polar.

Expresando el cociente en forma rectangular.

b) z1z2

z1z2

=r1eiθ1

r2eiθ2

= ei(�2)

√2ei(�4)

= 1√2

ei(�2 - �

4)

= 1√2

ei(�4)

= 1√2 [cos �

4 + i sen �4 ]

= 1√2

√22 + i √2

2

z1z2

= 21 + 2

1 i

Ejemplo 6.16 Potenciación de números complejos.

Solución:

Dado el número complejo z = - √32 - 2

1i, calcule z 6.

Encontrando la representación polar del número complejo.

Encontrando la representación rectangular de z 6.

Módulo de z.

Argumento de z.

Potenciación del número complejo.

z = - √32 - 2

1i

r = - √32

2+ - 2

1 2

r = 1

tan(θ) = √32-

21-

tan(θ) = √31

θ = 67�

z = ei 7�6

z 6 = (ei(7�6 ))6

z 6 = ei7�

z 6 = cos(7�) + i sen(7�)z 6 = -1 + 0i


571pág.


Solución:

Dado el número complejo z = 1 + i √31 - i √3

, calcule z10.

Utilizando la notación de Euler, el número complejo dado puede

escribirse como: z = z1z2

.

Donde:

Luego:

Ya que la medida del ángulo - 40�3 coincide con la de - 4�

3 ; y, por

ángulos coterminales coincide con 2�3 , tenemos:

a) z1 = 1 + i √3

r1 = √(1)2 + (√3)2 tan (θ1) = √31

r1 = √1 + 3 = 2 θ1 = 3�

z1 = 2ei �3

b) z2 = 1 - i √3

r2 = √(1)2 + (-√3)2 tan (θ2) = √3-1

r2 = √1 + 3 = 2 θ2 = 35�

z2 = 2ei 5�3

z = 2ei �3

2ei 5�3

= ei(- 4�3 )

z10= (ei(- 4�3 ))10

z10= ei(- 40�3 )

z10 = cos 2�3 + i sen 2�

3

z10 = - 12 + 2√3i

572pág.

Partiendo de la representación polar, y si hacemos r = 1, obtenemos el teorema propuesto por Abraham De Moivre:

Esta expresión es importante porque relaciona a los números complejos con la trigonometría. La expresión “ cos(θ) + i sen(θ)” puede abreviarse como cis(θ).Desarrollando el segundo miembro mediante el teorema del binomio, reduciéndolo a la forma x + yi e igualando partes reales y partes imaginarias, se deducen ciertas expresiones para cos(nθ) y sen(nθ) como polinomios de grado n en cos(θ) y sen(θ).


Solución:

Calcule el valor de la siguiente expresión: (1 + i)100i.

Obtenemos el módulo del número complejo z = 1 + i.

Expresando z en forma polar:

Realizando la potenciación:

Realizando el producto por i, tenemos:(1 + i)100 i = -250i.

Ejemplo 6.19 Identidades Trigonométricas con De Moivre.

Empleando el teorema de De Moivre, deduzca una expresión para cos(2θ) y otra para sen(2θ).Solución:

Si n = 2 en la expresión del teorema de De Moivre, se obtiene:

r = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2

tan (θ)= 11θ = �4

z = √2ei �4

z100 = (√2ei �4)100

= (2 12 ei �4)100

= 250 ei25�

= 250 ei�

= 250 [cos(�) + i sen(�)]z100 = -250

[cos(θ) + i sen(θ)]n = cos(nθ) + i sen(nθ) ∀θ ∈ ∀n∈

[cos(θ) + i sen(θ)]2 = cos(2θ) + i sen(2θ)


573pág.

Desarrollando el primer miembro de esta igualdad:

En base a la expresión encontrada e igualando cada término con el segundo miembro de la igualdad original, la parte real y la parte imaginaria nos indican respectivamente que:

Si z = r eiθ es un número complejo diferente de cero y n un entero positivo, existen precisamente n diferentes números complejos w0, w1, ..., wn-1 que son las raíces n-ésimas de z. Sea w = δeiβ una raíz n-ésima, debe cumplirse que w n = z.Esto es: δ n einβ = r eiθ, con lo cual δ = n√r .

El cis de los ángulos nβ y θ deben tener la misma medida, por lo cual sus periodicidades han de diferir en un múltiplo entero de 2�. Es decir:

nβ = θ + 2k�, k ∈Por lo tanto, todas las raíces n-ésimas de z = r eiθ vienen dadas por la expresión:

Radicación de números complejos

Estas raíces pertenecen a una circunferencia centrada en el origen de radio

igual a la n-ésima raíz real positiva de r. El argumento de una de ellas

es β = θn y las demás están uniformemente distribuidas a lo largo de tal

circunferencia, separadas un ángulo cuya medida es 2�n .

Ejemplo 6.20 Radicación de números complejos.

Solución:

Dado el predicado p(x): x4 + 1 = 0, determine Ap(x) .

El problema se reduce a extraer las raíces cuartas de - 1.

[cos(θ) + i sen(θ)]2 = cos2(θ) + 2i cos(θ) sen(θ) + i2 sen2(θ)= cos2(θ) + i2 sen2(θ) + 2 [cos(θ) sen(θ)]i = [cos2(θ) - sen2(θ)] + 2 [sen(θ) cos(θ)]i

cos(2θ) = cos2(θ) - sen2(θ)sen(2θ) = 2 sen(θ) cos(θ)

wk = n√r eiθ = n√r ei( nθ + 2k�); k = 0, 1, 2, ..., n - 1

574pág.

Expresando en forma rectangular el número complejo.

Forma rectangular de la primera raíz.

Calculando su segunda raíz.

Forma rectangular de la segunda raíz.

Calculando su tercera raíz.

Forma rectangular de la tercera raíz.

Forma rectangular de la cuarta raíz.

Expresándolo en forma polar.

Calculando su primera raíz.

Calculando su cuarta raíz.

k = 0

k = 1

k = 2

k = 3

z = -1 + 0i

tan (θ) = 0-1 → θ = �

z 14 = r 14 ei(�4 + 4

2�k); k = 0, 1, 2, 3.

w0 = 1ei(�4)

w0 = cos(�4) + i sen(�

4)

w1 = 1ei(�4 + 2�

4 )

w1 = cos(3�4 ) + i sen(3�

4 )

w2 = 1ei(�4 + �)

w2 = cos(5�4 ) + i sen(5�

4 )w2 = ei(5�

4 )

w3 = 1ei(�4 + 6�

4 )

w3 = cos(7�4 ) + i sen(7�

4 )w3 = ei(7�

4 )

r = √1 + 0 = 1

z = ei�

w0 = 2√2 + 2

√2 i

w1 = - 2√2 + 2

√2 i

w2 = - 2√2 - 2

√2 i

w3 = 2√2 - 2

√2 i


575pág.

Ejemplo 6.21 Radicación de números complejos.

Solución:

Determine el número complejo z, tal que 2(√3-i) es una de sus raíces cúbicas y calcule sus otras 2 raíces.

Puesto que 2(√3 - i) es un raíz cúbica de z, se cumple que:

z = [2(√3 - i)]3

Comprobación:

Si graficamos las cuatro raíces obtenidas en el plano complejo, se comprueba que las mismas están localizadas sobre una circunferencia de radio r = 1, centrada en el origen, y están separadas �2, tal como se muestra en la siguiente figura:

w0 = 2√2 , 2

√2w1 = - 2√2 , 2

√2

w2 = - 2√2 , - 2

√2 w3 = 2√2 , - 2

√2

EjeImaginario

Eje Real

�2

�2

�2

�2

576pág.

Observe que w2 es una de las raíces especificada en el problema.

Luego:

k = 0

k = 1

k = 2

z = (2√3)3 - 3(2√3)2 (2i) + 3(2√3)(2i)2 - (2i)3

= (8)(3) √3 - (3)(4)(3)(2i) + (3)(2)(√3)(4)i2 - 8i3

= 24 √3 - 72i - 24√3 + 8iz = 0 - 64i

w0 = 4ei�2

w0 = 4 [cos(�2) + i sen(�

2)]

w1 = 4ei(�2 + 2�

3 )

w1 = 4 [cos(7�6 ) + i sen(7�

6 )]

w2 = 4ei(�2 + 4�

3 )

w2 = 4[cos(11�6 ) + i sen(11�

6 )]

w1 = 4 - 2√3 - 2

1 i

r = 64θ = 3�

2

w0 = 4i

w1 = - 2√3 - 2i

w2 = 4 2√3 - 2

1 i

w2 = 2√3 - 2i

z 13 = wk = √3 64ei(�2 + 3

2k�); k = 0, 1, 2.


577pág.

En el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente e x.

Funciones Hiperbólicas

6.5 Aplicaciones

Objetivos


* Definir y analizar gráficamente las funciones hiperbólicas.

* Deducir identidades hiperbólicas empleando propiedades de los números complejos.

* Resolver ecuaciones polinomiales con raíces complejas, empleando el teorema fundamental del Álgebra.

* Resolver logaritmos de números complejos.

* Resolver ángulos de medida compleja.

e x - e -x

2senh (x) = e x + e -x

2cosh (x) = tanh (x) = e x - e -x

e x + e -x

Comprobación:Si graficamos las tres raíces obtenidas en el plano complejo, se verifica que las mismas están localizadas sobre una circunferencia de

radio r = 4, centrada en el origen, y están separadas 2�3

, tal como se muestra en la figura:

w0 = (0, 4)

w1 = (- 2√3 , - 2)

2�3

2�3

2�3

w2 = (2√3 , - 2)

EjeImaginario

Eje Real

578pág.

Ejemplo 6.22 Aplicación de números complejos.

Bosqueje las gráficas de las funciones hiperbólicas:

Solución:

y

x

y = senh (x)

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

1 2 3 4-1-2-3-4

a) f (x) = senh (x)

b) g(x) = cosh (x) y

x

y = cosh (x)

7654321

-1-2

1 2 3 4-1-2-3-4

c) h(x) = tanh (x)y

y = tanh (x)2

1x

-1

-2

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7


579pág.

Las funciones hiperbólicas se relacionan con las funciones trigonométricas mediante las siguientes identidades:

Para las funciones hiperbólicas, se cumple la identidad:

Cuando analizamos los ceros o raíces de las funciones cuadráticas y en general de las funciones polinomiales en el capítulo 3, habíamos observado que para ciertas situaciones dichos valores no son reales.

Con la definición de los números complejos, es posible encontrar las referidas raíces.

Funciones Polinomiales

Teorema 6.1 (Teorema fundamental del Álgebra)

La ecuación polinómica:

tiene n raíces o ceros complejos, contando la multiplicidad algebraica.


cosh (ix) = cos (x)senh (ix) = i sen (x)

cosh2 (x) - senh2 (x) = 1

anxn + an -1xn -1 + ... + a1x + a0 = 0; ai ∈ ∧ an ≠ 0

Encuentre las raíces de la siguiente función:

Solución:La función dada tiene cuanto mucho 3 raíces o ceros.

∴ 2 es un cero de f .

Resolviendo la ecuación cuadrática.

Obteniendo las raíces complejas.

f (x) = x3 - 10x2 + 33x - 34

(2)3 - 10(2)2 + 33(2) - 34 = 01 -10 33 -34 2 2 -16 341 - 8 17 0x2 - 8x + 17 = 0

x = 28 ± √(- 8)2 - 4(1)(17)

x = 8 ± √-42

x1 = 4 + i ∧ x2 = 4 - i

580pág.

Anteriormente habíamos indicado que no podíamos encontrar logaritmos de números negativos, ni medidas de ángulos cuyos senos o cosenos excedan la unidad. Sin embargo, con los números complejos podemos encontrar tales valores.

Por la identidad hiperbólica, cos(x) = cosh(ix):

La medida del ángulo puede ser encontrada resolviendo la última ecuación cuadrática.

Con lo cual:

Si z = cos (θ), entonces θ = arcos (z).

En general, se toma el valor para k = 0, el cual se conoce como valor principal de la función.Realizando un procedimiento similar, podemos encontrar que:

Si z = sen(θ), entonces θ = arcsen(z).

Otras Aplicaciones

Al multiplicar se obtiene:

Por lo tanto, los ceros de f son:

Comprobación:Se puede construir f (x) expresándola como el producto de los siguientes factores:

que corresponde a la función polinomial dada.

Note que si z es una raíz de la ecuación polinómica f (x) = 0, su conjugado z también lo es.

2, 4 + i, 4 - i

f (x) = (x - 2)(x2 - 8x + 17) f (x) = x3 - 10x2 + 33x - 34

f (x) = (x - 2)[x - (4 + i)][x - (4 - i)]

La proposición -1 = ei(� + 2k�) es verdadera ∀k ∈ .

e iθ + e -iθ

2z =

e iθ + e -iθ - 2z = 0e2 iθ - 2zeiθ + 1= 0

e iθ = 22z ± √(-2z) 2 - 4 (1)(1)

e iθ = z ± √z 2 - 1

θ = arccos (z) = 1i [ln (z ± √z 2 - 1)]+ 2k�i; k ∈


581pág.

Con la identidad hiperbólica sen(x) = senh(ix)

i :

Solución:

Encuentre los siguientes valores:a) ln ( -1)b) ln (1 - i)c) arccos (2)d) arcsen (3)


θ = arcsen (z) = 1i ln [zi ± √1 - z 2 ]+ 2k�i; k ∈Con lo cual:

La medida del ángulo θ puede ser determinada resolviendo la última ecuación cuadrática.

e iθ - e -iθ

2iz =

e iθ - e -iθ - 2zi = 0e2 iθ - 2zieiθ - 1 = 0

e iθ = 22zi ± √(-2zi) 2 - 4 (1)(-1)

e iθ = zi ± √1 - z 2

a) ln (-1) = ln (eiπ + i2kπ)ln (-1) = �i + 2k�i, k ∈

b) ln (1 - i) = ln (√2ei74π + i2kπ)

ln (1 - i) = 74�i + 2k�i + ln√2, k ∈

c) arccos (z) = 1i ln (z ± √z 2 - 1) + 2k�i

arccos (2) = 1i ln (2 ± √3) + 2k�i, k ∈

d) arcsen (z) = 1i ln (zi ± √1 - z 2 ) + 2k�i

arcsen (3) = 1i ln [(3 ± 2√2)i] + 2k�i, k ∈

582pág.


Si z = ln (1 + i), determine Re(z) e Im(z) .Solución:

Representando el número complejo z* = 1 + i en forma polar:

z* = r eiθ, donde:

Reemplazando z* en z, tenemos:

Aplicando la propiedad del logaritmo del producto.

Luego:

z = ln (z*)z = ln (√2e i �4 + i2kπ); k ∈

r = √(1)2 + (1)2 tan (θ) = 1r = √1 + 1 = √2 θ = 4

�

z* = √2e i �4

z = ln√2 + ln(ei �4 + i2kπ)z = ln √2 + �4i + 2kπi

Re(z) = ln√2Im(z) = �

4 + 2kπ ; k ∈

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Capitulo 6 nf