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CAPITULO 6

DESARROLLO DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS

INTRODUCCIÓN

El trabajo en matemáticas se realizó en los departamentos de Arauca, Vichada, Vaupés, Guavlare, Amazonas y Guarnía, con un grupo de docentes que se desempeñan en los niveles de Básica Primaria y Básica Secundarla; en un alto porcentaje los profesores participantes son originarios de otras reglones del país, entre las que se destacan Chocó y Valle del Cauca. Es de anotar que solamente en Leticia hubo una participación Importante de educadores indígenas nativos de la región. En cuanto a los niveles de formación pr imaron profesores con título de Bachiller Pedagógico y tan sólo un número reducido de los participantes tienen formación en el nivel de licenciatura, aunque no todos en el área específica de matemáticas.

Paralelo a la realización del proceso y como punto de apoyo para orientar nuestras intervenciones exploramos en el grupo algunos aspectos relativos a las concepciones en matemáticas y el hacer matemático escolar, contrastando estos con elementos de su saber profesional. Ya en investigaciones (nacionales e internacionales) realizadas con grupos de docentes de matemáticas se han identificado diversas concepciones sobre la natura leza de las matemát icas y la naturaleza del conocimiento matemático escolar. Con respecto al conocimiento matemático en ocasiones éste es asumido, por ejemplo, como un cuerpo estático y unificado de nociones y en otras como un conjunto de estructuras, métodos, reglas o procedimientos. Las concepciones en cuanto al hacer matemático escolar están centradas fundamentalmente en el desarrollo de habilidades y destrezas para resolver problemas cotidianos y usar ágilmente el lenguaje simbólico, los procedimientos y los algoritmos, o en el desarrollo del pensamiento lógico formal.

En el grupo de docentes participantes se detectaron algunos elementos de las concepciones anteriormente descritas, como no tener formación matemática en un nivel superior y que prevalezcan en sus desempeños concepciones de carácter instrumentalista; esto se infiere de sus prácticas y de sus propuestas de trabajo en el aula centradas inlcialmente en la aplicación mecánica de algoritmos, reglas y procedimientos y, en contraste con lo anterior, los docentes que tienen formación en el área orientan usualmente su quehacer hacia el formalismo; su énfasis está centrado fundamentalmente en las definiciones, en

12 4 COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

enunciados verbales, en la descripción de las estructuras, etc. Es usual encontrar además en los grupos de docentes una tendencia a mencionar teorías pedagógicas o didácticas, como por ejemplo la teoría constructivista, pero sin involucrarlas realmente ni en las prácticas de aula ni en la estructuración de las propuestas.

Acerca de la p ropues ta en el á r e a de ma temát icas : Avances y desarrollo

Respecto a la propuesta planteada para el área de matemáticas (cf. La educación en los territorios de f rontera , Bogotá, U.N., 1998) consideramos que se avanzó considerablemente. Se profundizó en el estudio de conceptos básicos de la matemática escolar en los tópicos de aritmética, álgebra, geometría, algunos elementos de estadística y medición, haciendo una mirada analítica de éstos en los diferentes niveles de la educación básica; a través de esta profundización se generó una reflexión sobre el saber pedagógico de los docentes. Se iniciaron además procesos de innovación en las aulas de los profesores participantes, a partir de la construcción de proyectos, que en un período más largo podrían culminar en investigaciones más sistemáticas.

Como se expresó en el documento de la propuesta, el trabajo con los docentes se orientó inlcialmente a identificar situaciones problemáticas detectadas en las aulas, que sirvieran como punto de part ida en la construcción de proyectos de investigación pertinentes al contexto institucional y regional y a los intereses e Inquietudes de los profesores. La discusión y análisis de documentos y el desarrollo de los talleres fueron fundamentales en el propósito de fortalecer el saber profesional de los docentes, fortalecimiento que les permitió estructurar posteriormente sus proyectos de aula. Es de anotar, por ejemplo, que la discusión y el análisis de documentos sobre currículo constituyeron el punto de partida para el diseño de proyectos dirigidos hacia la construcción de propuestas currlculares para Básica Primaria y Secundaria (propuesta de geometría en San José del Guaviare y de Aritmética en Gravo Norte, Arauca). El análisis de las pruebas en la laevaluación de la calidad de la educación, el estudio de elementos teóricos acerca del planteamiento y resolución de problemas y la ilustración de estos elementos en los talleres desarrollados con los profesores les permitieron reconocer este aspecto como eje o contexto fundamental del currículo y centrar varios de sus proyectos en él. El trabajo en los talleres y los materiales de apoyo sobre el concepto del número racional, la fracción y sus diferentes significados motivaron la estructuración de proyectos sobre estos tópicos, los cuales tradicionalmente han sido de gran importancia por las dificultades que en ellos presentan los estudiantes. El análisis acerca del significado y modelación de la variable y el problema de la apropiación del lenguaje algebraico generaron a su vez la construcción de propuestas de trabajo en álgebra para los grados octavo y noveno. Finalmente la discusión acerca de la relación matemática -cotidianidad, ilustró la posibilidad de desarrollar la matemática escolar en el contexto regional y de utilizarla como elemento para comunicar e interpretar información. Al respecto, son de destacar el proyecto "Elementos geométricos presentes en la cestería vaupense", de Milu, en el que se evidencia claramente la

CULTURAS Y ESCOLARIDAD 125

articulación entre la geometría y elementos culturales de la región, y el proyecto "Suma de números enteros", de Puerto Inírida, en el que se involucran elementos geográficos de la región.

Los talleres trabajados en las Jornadas presenciales se orientaron a enriquecer tanto el pensamiento como el conocimiento matemático básico de los docentes y a generar reflexiones sobre sus prácticas con objeto de que posteriormente ellos potencien matemáticamente a sus estudiantes. Las siguientes son algunas de las características con que fueron diseñados los talleres:

1. Presentan situaciones hipotéticas de aula. Por ejemplo, el docente debe analizar y discutir la pertinencia de los planteamientos y soluciones presentadas por los estudiantes con objeto de determinar estrategias que le permitan abordar posibles errores y profundizar en los conceptos.

Un es tud ian te de nivel bás ico an te la pregunta : adic ione las fracciones responde : V2 +

3/3 = 3/s

porque 1 + 2 = 3 y 2 + 3 = 5

Para explicar al estudiante que la solución y argumentación presentadas son incorrectas usted sugiere:

a) Hacer énfasis sobre el algoritmo de la adición. b) Usar la calculadora. c) Apoyarse en la representación. d) Encontrar los cocientes y luego sumar.

Jus t i f ique su respues ta

2. Exploran el nivel de conocimiento que el docente tiene de la matemática escolar.

En 5° de básica primarla se trabajan los números decimales y las fracciones. ¿En qué forma modela usted este trabajo en el aula? ¿Qué dificultades tiene? ¿Con qué tipo de ilustración gráfica cree que se podría explicar a los estudiantes, por ejemplo, cómo ordenar de mayor a menor los siguientes números e identificar entre estos el que está más próximo a 1 y el que está más próximo a 0?

0,033 x 102 0,3 x l O 2 0,0333 x 103 3 / 1 0


3. Plantean situaciones que enfrentan al docente a la reelaboración o reconstrucción de conceptos.

Las figuras que aparecen dibujadas sobre la cuadrícula tienen 12 unidades de perímetro. Dibuja otras figuras que tengan el mismo perímetro. ¿Cuántas puedes construir? Determina el área de cada una de las figuras que construíste. ¿Tienen todas la misma área? ¿Se puede construir sobre esta cuadrícula un triángulo de 12 unidades de perímetro? (los vértices de la figura deben coincidir con puntos de la cuadrícula).

La actividad anterior puede ser propuesta a los niños de 4o o 5°. Considera usted que fundamentalmente esta actividad puede tener significado para: a) Reforzar las fórmulas de área y perímetro. b) Diferenciar entre perímetro y área. c) Reconocer figuras geométricas. d) Trabajar propiedades de polígonos regulares.

Estructure ahora usted actividades adecuadas pa ra introducir en los niveles básicos la noción de patrón de medida.

4. Modelan un mismo concepto de diferentes formas.

i) Observa la siguiente secuencia: 2, 4, 6, 8, . . . a. ¿Qué número ocupa el décimo término de esta secuencia? b. ¿El número 15 pertenece a esta secuencia?

ii) En una heladería se dispone de tres sabores diferentes y de 4 dulces para preparar helado. Cada helado se prepara con un solo sabor y un tipo de dulce. ¿Cuántos tipos de diferentes helados puede ofrecer la heladería?

Las anteriores situaciones, planteadas a los estudiantes, son ejemplos de diferentes tipos de modelación de la multiplicación. ¿Qué estrategia cree usted que utilizarían los estudiantes para responder las preguntas planteadas en cada modelación?

V

CULTURAS Y ESCOLARIDAD 12 7

5. Plantean situaciones en las que se debe construir y manipular. A partir de la reflexión sobre estas actividades el docente debe determinar la pertinencia y potencia de éstas en el aula.

Actividades como las planteadas a continuación pueden ser propuestas a los estudiantes de Educación Básica.

Construye en car tu l ina u n t r iángulo equi lá tero ABC y divídelo en cua t ro par tes tal como se mues t r a en la figura, t en iendo en cuen ta que :

AP=BP, CQ=BQ,AR= lÁAC; CS= V4CA

PM y SN perpendicu la res a RQ.

Recorta las cuat ro p iezas y forma con ellas u n cuadrado .

Recorta u n a cruz como la de la figura. Divídela con dos cor tes rect i l íneos en cua t ro par tes de m a n e r a que , con las cuatro piezas resul tantes se pueda formar u n cuadrado .

O ¿En qué niveles de la Educación Básica considera usted que pueden realizarse act ividades como las an te r io rmen te desc r i t a s? ¿Qué conceptos pueden profundizarse a través de ellas? Sugiera preguntas que puedan formularse a partir de esta actividad.

6. Presentan información a través de gráficas o tablas que puede ser interpretada y utilizada en la solución de diferentes problemas.

En un diario de circulación nacional apareció la siguiente tabla de tarifas p a r a publicación de avisos limitados:

128 COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

r Valor por pa labra

Lunes a sábado Domingo

Normal S400 $600

Negrilla $800 $1200

Nota: Un número es considerado como una palabra

• ¿Cuál es el costo del siguiente aviso que se publicó un miércoles en este diario?

"Laboratorio nacional requiere PERSONAL FEMENINO BIEN PRESENTADO, EMPAQUETADORAS, TIQUETEADORAS, excelentes ingresos, afiliación al ISS y SUBSIDIO FAMILIAR. Interesadas presentarse con hoja de vida en la Avenida 68 # 12-00". • ¿Qué costo tendría el aviso anterior si se publicara de lunes a viernes y

cuál si se publicara de viernes a domingo? • Si quisieras publicar un aviso el sábado, domingo y lunes, cuyo costo

estuviera entre $9.000 y $10.000 ¿Qué número máximo de palabras podrías incluir en él? y ¿en qué tipo de letra?

ACERCA DE LOS PROYECTOS DISCIPLINARIOS DE AULA

En términos generales el grupo de profesores participantes demostró interés por reorientar sus prácticas de aula mediante la construcción e implementación de proyectos disciplinarios. Los profesores asistieron y participaron en las jornadas presenciales y se comunicaron permanen temente pa ra repor ta r sus avances. Como se comentó anteriormente, la construcción y desarrollo de los proyectos de aula estuvo apoyada fundamentalmente en la lectura y análisis de artículos de interés general, lectura de artículos específicos para cada proyecto, en la discusión de los talleres y en la reflexión sobre las problemáticas más relevantes. Algunas de las propuestas fueron estructuradas Individualmente y otras en grupo; en esta última categoría se ubican las que tienen carácter de propuesta curricular general.

En general las propuestas aún se encuentran en desarrollo; en las versiones iniciales se detectaron problemas de aplicación de actividades y referentes teóricos y de profundidad conceptual; problemas que algunos de los docentes han superado en sus últimas versiones. En algunos casos es muy destacable el nivel de desarrollo de los trabajos y son precisamente éstos los que consideramos susceptibles de ser publicados.

Las instituciones localizadas en la zona urbana de las diferentes regiones fueron visitadas según aparece relacionado en los informes. Durante estas visitas se hizo acompañamiento en el aula a los profesores aprovechando para discutir y orientar elementos relativos a la implementación de los proyectos. Mediante diálogo con las directivas de las instituciones visitadas fue posible tener un conocimiento global del PEÍ de la institución así como de sus instalaciones, laboratorios, salas de cómputo y bibliotecas.

MUESTRA DE PROYECTOS DE AULA EN MATEMÁTICAS

INTERPRETACIÓN Y SIMBOLIZACIÓN DE ENUNCIADOS QUE CONDUCEN AL PLANTEO

DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓNGITA

Carlos A. Osuna Ja i ro Cruz C.

Colegio INEM: Leticia - Amazonas (P.D.A.). Noveno Grado

PRESENTACIÓN

Este proyecto se desarrollará en la sección 901 de La Normal Superior de Leticia debido a que en esa sección nos encontramos trabajando en la actualidad y hemos detectado a través del tiempo y la experiencia problemas como los enunciados anteriormente; la sección 901 está conformada por:

• 32 estudiantes • 20 varones y 12 mujeres • edades que oscilan entre los 13 y los 17 años • clasificados en estratos sociales bajo y medio-bajo

Como en todos los establecimientos educativos de Leticia hay una gran variedad étnica y cultural, pues se encuentran estudiantes indígenas, brasileros, peruanos, del interior del país, además de las mezclas propias de la ciudad, colombo-brasllero, colombo-peruano, etc. todo esto influye en sus costumbres y en el uso del lenguaje, presentando una gran dificultad de aprestamiento en el aula.

JUSTIFICACIÓN

La humanidad ha creado una Inmensa variedad de elementos de comunicación llamados "símbolos", que son primordiales para manifestar nuestras ideas o introducir aspectos de la realidad en nuestra mente. Empleando los símbolos se han creado estructuras de comunicación más complejas que han generado diferentes gamas del lenguaje que se utilizan hoy en día. Entre estas gamas del lenguaje se encuentran el área de matemáticas, que constituye uno de los elementos de comunicación, expresión y comprensión más poderosos que ha creado el hombre

13 O COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

Es natural que muchos estudiantes no sientan atracción por las matemáticas. Esta actitud negativa tiene sin lugar a dudas diferentes fuentes, entre ellas, se destacan por su enorme importancia la naturaleza del pensamiento matemático y las formas de comunicar y expresar las matemáticas, que dificultan la comprensión de la misma.

El álgebra es una disciplina muy importante, ya que es un núcleo esencial en la comunicación y expresión de las matemáticas; pero hemos notado con enorme preocupación la dificultad que presentan los estudiantes de nuestra reglón en estos tópicos y en particular en la representación y simbolización de problemas que conducen al planteo de ecuaciones.

Es así como en los análisis y resultados de las pruebas de matemáticas del "Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias" (Timss), en el cual Colombia ocupó el penúltimo lugar entre más de cuarenta países y bastante distanciado de las medias, concluyen que: "el desempeño en álgebra de los estudiantes colombianos es deficiente cuando responde a situaciones problema expresados en forma verbal" (Timss 1997: pág. 96); en otro aparte manifiestan que "los estudiantes colombianos tienen deficiencias al pasar de una situación problema expresada en forma verbal o en tablas a otro modo de representación, eminentemente algebraico y estas deficiencias se hacen particularmente agudas si la situación no es directa e involucra varias relaciones u operaciones" (Timss 1997: pág. 98).

En diferentes oportunidades al trabajar con los estudiantes de los grados octavos y novenos hemos encontrado una gran dificultad para interpretar y simbolizar problemas que conducen a un planteo de ecuaciones, tanto de primer como de segundo grado.

Estas dificultades tienen que ver entres otras con lo siguiente: 1. Una mala comprensión de lectura 2. Interacción entre lenguaje matemático y lenguaje común 3. Deficiente interpretación de términos como: reduce, el cuadrado de, exce

de, disminuye, duplica, la mitad de..., la tercera parte de..., seml-suma, etc. 4. Deficiente interpretación gráfica Hemos notado además que la resolución de problemas es esperada por los

e s tud ian tes con m u c h a expectativa, a la gran mayor ía les gus ta por su aplicabilidad pero a medida que se adentran en el tema se presentan enormes dificultades para enfrentar este tipo de ejercicios y desisten con la misma rapidez con que lo esperaban, terminando por no querer saber nada de ellos.

Vemos ahí, la necesidad de crear una verdadera propuesta metodológica que nos permita reducir esa ineficacia para interpretar y simbolizar ecuaciones de segundo grado en una variable.


METODOLOGÍA

Diseño de talleres con énfasis en los siguientes aspectos: 1. Comprensión de lectura e interpretación de términos 2. Interacción entre lenguaje común y lenguaje matemático 3 . Interpretación gráfica Iniclalmente diseñaremos una prueba diagnóstica, en la cual exploraremos

el nivel de conocimiento que los estudiantes tengan acerca de la interpretación, simbolización y construcción de enunciados matemáticos.

Luego de evaluar la prueba diagnóstica y hacer los ajustes necesarios, diseñamos actividades o talleres tendentes al manejo de lectura comprensiva y analítica de diferentes enunciados.

PRUEBA DIAGNÓSTICA

El objetivo fundamental de esta prueba es explorar el nivel de conocimientos que los e s tud ian te s t ienen acerca de la in te rpre tac ión , cons t rucc ión y simbolización de enunciados matemáticos que conduzcan a plantear ecuaciones de segundo grado con una variable. Para lo cual dividiremos la prueba en tres partes:

1. Para cada una de las siguientes palabras los estudiantes deben construir enunciados matemáticos o plantear situaciones problemáticas que involucren dicha palabra.

SUMA, MAYOR QUE, CUADRADO EXCEDE, ÁREA, PERÍMETRO, RAÍZ CUADRADA RECÍPROCO, MÚLTIPLO,

RADIO.

2. Exprese simbólicamente cada uno de los siguientes enunciados: a. J u a n tiene tres años más que Pedro. b . El cuadrado de un número es 324. c. El largo de un campo rectangular es el doble del ancho. ¿Cuál es el perí

metro? d. Encontrar dos enteros pares consecutivos cuyo producto sea 158. e. La suma del cuadrado de un número con su triplo es 10.

3. En cada caso construya un problema que involucre las expresiones dadas. a. X2 - X = 20 b. 2X + 2Y =56 c. (2n + l ) 2 + (2n + 3)2 =514. d. Perímetro 56 e. Área= 128


TALLER N° 1

SIMBOLIZACIÓN DE ENUNCIADOS QUE GENERAN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

OBJETWO: Simbolizar enunciados matemáticos que generan ecuaciones de segundo grado. Para desarrollar esta actividad dividiremos el taller en tres momentos.

1. Pasar a lenguaje simbólico los siguientes enunciados: El área de un cuadrado es 225; hallar el lado. La suma de un número consigo mismo es igual a su cuadrado. Repartir 21 en dos partes cuyo producto sea 104. La suma de un número y su recíproco es 3.

2. En cada caso, invente un problema cuya solución se pueda hallar con la ecuación dada.

• X2 = 100 • X2 + X = 0 • X2 + 5X 4- 6 = 0 • X2 + 16 = 0

3 . Apareamiento Para esta actividad, dividiremos el curso en dos grupos. A cada estudiante

del pr imer grupo se le entregará un cartel con un enunciado. A cada estudiante del segundo grupo se le entregará un cartel que contenga la simbolización de algún enunciado. Cada estudiante del primer grupo debe ir al otro grupo y buscar la simbolización correspondiente, analizándola con su compañero. Al final cada pareja explicará los carteles al resto de la clase.

Si se resta cierto número de su cuadrado el resultado es... Hállese el número. La edad de A es 5 años mayor que la de B, y el producto de sus edades es... Encontrar dos enteros pares consecutivos y positivos cuyo producto es... Encontrar dos enteros impares, positivos y consecutivos cuyo producto es... Hallar el número que sumado con él mismo sea igual a su cuadrado. X ( X - 5 ) = 8 4 X + X = 650 X2 - X = 20 2X (2X + 2) = 224 (2X + 1) (2X + 3) = 323 X +X = X2


TALLER Nc 2

SENTIDO Y SIGNIFICADO DE ENUNCIADOS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

OBJETP70: Complementar enunciados matemáücos con sentido para que generen ecuaciones de segundo grado.

En este taller a cada estudiante se le entregará una hoja que contenga diversos enunciados así:

El cuadrado de un número El producto de dos números Longitud de un campo rectangular El área de un lote La suma de los catetos de un triángulo rectángulo El perímetro de un campo La diagonal de un rectángulo

Los estudiantes le agregarán palabras (frases), de tal forma que los enunciados resultantes se puedan expresar matemáticamente mediante ecuaciones cuadráticas en una variable.

Cada estudiante desarrollará esta actividad individualmente. Luego escogeremos 4 o 5 estudiantes para que lean sus trabajos y otro para que escriba en el tablero las ecuaciones correspondientes a cada enunciado.

Se harán correcciones y se aclararán dudas.

TALLER N° 3

SIMBOLIZACIÓN DE ENUNCIADOS QUE GENERAN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

OBJETrVO: Enunciar problemas matemáticos a partir de simbolizaciones de ecuaciones de segundo grado.

En esta actividad trabajaremos con seis grupos de cinco estudiantes cada uno. A cada grupo se le entregará un cartel en el cual aparecerá la simbolización

de una ecuación de segundo grado. Cada estudiante de cada grupo debe construir un enunciado matemático o un problema con sentido, que corresponda a cada una de estas simbolizaciones.

Al final cada uno de los grupos expondrá sus enunciados correspondientes a las simbolizaciones dadas .

1. X ( X - 5 ) = 300 2. ( X + 6) ( X - 4 ) = 144 3. (X + 1)2 = 81


4. 2X = X2 5. X(X + 1) = 240 6. 2X(2X-2) = 1088

TALLER N° 4

INTERPRETACIÓN DE ENUNCIADOS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

OBJETFVO: Objetivo de este taller es permitirle al estudiante plantear las diferentes formas de enunciar el mismo problema.

Repartimos el curso en 45 grupos de 8 estudiantes. La mitad de los grupos trabajan un mismo problema enunciado con diferentes palabras y deben plantear las ecuaciones que dan solución al problema. Los otros 4 grupos hacen un trabajo similar con otro problema, al finalizar hacemos una puesta en común, cada grupo lee el problema y escribe en el tablero las ecuaciones, explicando cada paso.

PROBLEMAS 1. Un trozo de alambre de 100 pulgadas de largo se corta en dos pedazos y

cada uno de éstos se dobla para que tome la forma de un cuadrado. Si las sumas de las áreas formadas es de 397 pulgadas cuadradas, encontrar la longitud de cada pedazo de alambre.

2. Las áreas de dos cuadrados suman 397 pulgadas cuadradas, si sumamos los perímetros de estos cuadrados tenemos 100 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del lado de cada cuadrado?

3. Tengo dos trozos de alambre con los que formo dos cuadrados, las áreas suman 397 pulgadas cuadradas, si la suma de las longitudes de los trozos suma 100 pulgadas. ¿Cuánto mide cada trozo?

4. Las áreas de dos cuadrados construidos con alambre suman 397 pulgadas cuadradas. Si desbaratamos los dos cuadrados y unimos los alambres tendremos un alambre de 100 pulgadas de longitud. ¿Cuáles son las dimensiones de cada trozo de alambre?

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS DE DISTINTOS SIGNOS

Marino Antonio Osorio Henao Colegio Luis Carlos Galán

Inírida - Guainía

PRESENTACIÓN

La planeación de la presente propuesta, se debe a la autonomía que ofrecen la Ley General de Educación, el Decreto 1860 y la Resolución 2343 y los talleres programados por el Equipo Red de la Universidad Nacional, en los cuales nos plantean estrategias metodológicas para la enseñanza de los materiales en los niveles de básica y media, y así crear un cambio de actitud en estudiantes frente a las matemáticas y la importancia de éste en criterio moderno; también se espera responder a los varios interrogantes presentados por los docentes en la enseñanza del área sobre el pensamiento matemático.

DIFICULTADES

• La adición de números enteros de signos distintos sobre la recta numérica. Los desplazamientos en sentidos opuestos.

CARACTERÍSTICAS DE LA INSTITUCIÓN

NOMBRE: Colegio Luis Carlos Galán Sarmiento. LUGAR: Inírida, Dpto. Guainía. NÚMERO DE ALUMNOS: 750 NÚMERO DE DOCENTES: 32 PROCEDENCIA: Comunidades indígenas y de la institución. GRADOS: 701-702. EDADES: 1 0 - M a ñ o s . ENTNIAS: Corniparos, Quinaves, Cabucos.

Blancos y Negros. NÚMERO DE ALUMNOS: 7 0 1 = 3 4 Niños = 16

Niñas = 18 702 = 30 Niños = 11

Niñas = 1 9


JUSTIFICACIÓN

Los primeros hombres que utilizaron los números enteros fueron los hindúes en el siglo VIIA de C. Equiparan la diferencia entre los positivos y negativos y el cero con el haber y el deber y la nada. Estos los relacionaban con operaciones básicas. En la edad media y con la práctica de otras actividades en la cuales no son utilizados estos números, siendo así como se olvidan ya que no los creían como necesarios.

Siglos después reaparecen en el periodo del renacimiento, siendo los europeos hombres interesados en la transmisión de información referente al saber matemático de los árabes hacia Europa, instaurando nuevos caminos en el desarrollo del álgebra y la reaparición de los enteros negativos con un grado de reconocimiento pero sin fortaleza para permanecer presentes.

Años más tarde los enteros negativos son utilizados en el álgebra y es así como plantean propuestas para su reconocimiento en la recta numérica en dos sentidos y el respaldo de éstos en la geometría, luego de ires y venires y gran cantidad de conclusiones sobre la diferencia entre los enteros y los naturales pasan a conformar los conjuntos numéricos y es así como se les da una representación bien estructurada, unificada como lo es en la actualidad.

Debemos tener presente la importancia de la matemática y el estudio de esta ciencia en la educación básica secundaria y su continuación en la educación superior, los avances a través de la historia en todos los aspectos, en especial en el t ra tado con los números enteros, los cuales son de gran utilidad en la secundaria y en estudios superiores como se plantea inicialmente.

El presente está relacionado con la dificultad para adicionar números enteros de signos distintos sobre la recta numérica, aspecto identificado en los alumnos del grado séptimo del Colegio Luis Carlos Galán Sarmiento.

Para la situación presentada se relaciona una pequeña propuesta.

OBJETIVO

Dar significado a la suma de números enteros de signos distintos y su representación en la recta numérica.

METODOLOGÍA

Para desarrollar esta propuesta debemos tener presente aspectos relacionados con el contexto real del sitio donde se va a desarrollar cada taller, desplazamientos, temperaturas, ubicaciones, compras; los talleres presentan los aspectos antes mencionados con la modelación de la suma de enteros de distinto signo, con un grado de complejidad a medida que avanza el alumno o con el fin de desarrollar capacidades de elaboración de hipótesis, crear conjeturas, observar regularidades y así mejorar los avances en el razonamiento de cada una de las situaciones planteadas.

Los talleres serán implementados por niños en edades entre los 10 y los 13 años del nivel de educación básica secundaria, grado séptimo.


POSICIÓN EN UNA RECTA

Tomando como sistema de referencia en su recorrido desde el río Inírida, desde la comunidad indígena de Coayare, hasta la comunidad de Caranacoa y utilizando como punto referenclal el Puerto de Inírida.

Si bajamos por el río Inírida saliendo desde el puerto encontramos a la comunidad del Paujll a 1 kilómetro, siguiendo el recorrido está la comunidad del Coco, a 12 kilómetros de Puerto Inírida más adelante se encuentra la comunidad de Coayare, a 15 kilómetros de Inírida, partiendo en posición contraria a la inicial, o sea hacia arriba, nos encontramos con la comunidad de Almidón a unos 10 kilómetros, continuamos y encontramos a Caranacoa, a 15 kilómetros, más adelante está la comunidad de la Ceiba, a 45 kilómetros.

ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN

BAJANDO DEL RIO INÍRIDA Comunidad del Paujil Comunidad del Coco Comunidad de Coayare

SUBIENDO DEL RIO INÍRIDA Comunidad de Almidón Comunidad de Caranacoa Comunidad de la Ceiba

1. Para organizar esta información procedemos de la siguiente forma: a) La posición de las comunidades que están bajando desde el puerto se les

asigna la letra B y la posición de las que están subiendo la letra S.

LUGAR Coayare COCO PAUJIL INÍRIDA

POSICIÓN 15 B 12 B 1 B 0


ALMIDÓN CARANACOA LA CEIBA

I O S 15 S 45 S

15B 12B 1B 0 almidón Caranaco Ceiba Bajando <-+—¡—+—)—-+—| 1 1 T I t I r~í+Subiendo

Coayare Coco Paujil Im'rida 1"S 15S 45S

b) ¿Cuál es la distancia entre la Ceiba y Almidón? c) ¿Cuál es la distancia entre Coayare y Coco? d) ¿Cuál es la distancia entre Coco y la Ceiba? e) ¿Si existiera una comunidad a 20 kilómetros bajando de puerto Inírida,

en dónde la ubicamos? f) ¿Si existiera de Caranacoa, dónde la ubicamos?

2. Al recorrer la calle principal de Inírida, en el centro, se recuerdan los siguientes lugares: el primer local corresponde a la esquina del Néctar, allí hay venta de abarrotes en general, 10 metros adelante se encuentra la cacharrería Mundilibros y en el puesto siguiente Rapidísimo, a 28 metros de Rapidísimo se encuentra la Meseta, supermercado. Luego 15 metros adelante la ferretería Lara, continuando con el recorrido se encuentran con la familia de doña Nelly a 12 metros de la Ferretería Lara, luego a 18 metros de la familia está el Proveedor, supermercado.

a) Represente la calle principal de Inírida en una recta numérica y encuentre la posición de cada lugar, tome como referencia u origen la Maceta.

3. Crear una historia donde se descubra un lugar que te permita localizar diferentes puntos o lugares.

TALLER N° 2

DESPLAZAMIENTOS

1. SI un cuerpo se desplaza, al moverse cambia de posición. La posición de un hombre en un instante dado es el punto O de la recta

numérica. Si el hombre se mueve 8 unidades hacia la izquierda y a partir de este punto se desplaza 12 unidades hacia la derecha, ¿en qué posición de la recta numérica queda ubicado?

m %

£ •• [Posición Final]

[Posición Inicial!:

9i 8 i 7¡ 6 i 5i 4i 3 i 2 i 1i 0 I d 2d 3d 4 d 5 d 6d 7d 8 d 9 d


2. El punto de partida del viaje de una lancha es O. La lancha se mueve 3 lugares hacia la izquierda y luego se desplaza 9 lugares más en el mismo sentido. Al terminar los dos desplazamientos, en qué lugar se encuentra.

Vos ic ionFú i^ l i \ S 3 £ a ¿ l i c i ó n Iniciall

14i 13i 12M1Í10Í 9i 8i 7i 6i 5¡ 4¡ 3i 2i 1i O í d 2d 3d 4d

3. En la recta numérica de la figura, cada unidad representa un kilómetro. a) Un móvil parte de la posición Inicial 0 y realiza un desplazamiento de 14

kilómetros hacia la derecha; luego se desplaza 5 km. hacia la Izquierda. ¿Al término de los dos desplazamientos el móvil en qué posición se encuentra?

b) Represente en la recta numérica y localice la posición final del móvil, que recorre.

I. 12 km. hacia la izquierda y 5 km. hacia la izquierda II. 9 km. hacia la izquierda y 12 km. hacia la derecha III. 8 km. a la derecha y 14 km. hacia la izquierda. IV 13 km. a la derecha y 7 km. hacia la Izquierda V 3 km. a la izquierda, 2 km. hacia la derecha y 5 a la derecha.

4. Encuentre la distancia y el sentido del desplazamiento que se desconoce; a) Un móvil parte del origen, recorre 8 metros hacia la izquierda, luego rea

liza otro desplazamiento y llega a la posición 7 metros a la derecha. ¿Cuál es la distancia y el sentido del segundo desplazamiento?

b) Un móvil se desplaza 10 metros hacia la izquierda y llega a la posición 3 metros a la izquierda del origen. Si inlcialmente se encontraba en el origen, ¿Cuál fue el primer desplazamiento?

c) Luego de 4 desplazamientos de la misma longitud y sentido, el móvil se encuentra 18 metros hacia la derecha. ¿Cuál es la distancia y el sentido de cada desplazamiento?

140

TALLER N° 3

COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

ADICIÓN DE DESPLAZAMIENTO

Ejemplo Uno:

" U " 1 * ! ^ l i l i l i l i 0 1 2 3

| 1 4

i 1 5

i 1 6

S$«g^ l i l i l i l i 7 8 9 10

Un móvil recorre 3 metros hacia la derecha, luego 7 en la misma dirección. ¿ A cuántos metros se encuentra de la posición inicial? Simbólicamente se representa así: 3 + 7 = 10

RESPUESTA: El móvil se encuentra a 10 metros de la posición Inicial.

Ejemplo Dos: Un globo se desplaza 2 metros hacia la derecha, luego 5 metros hacia la

izquierda. ¿A qué distancia se encuentra del punto de part ida?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

-4-3-2-1 0 1 2 3

Simbólicamente 2 + (-5) = -3 Ejemplo Tres:

Con la ayuda de la recta numérica realiza la operación (-6) + (-8); se representa:

-15-14 -13 -12 11 -10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0

(-6) + ( -8 ) =-14

Primero representamos un desplazamiento de 6 metros hacia la Izquierda y luego 8 metros hacia la Izquierda. El punto de llegada indica el resultado de está operación.


EJERCICIOS

1. Con la ayuda de la recta numérica efectúe las operaciones indicadas:

a) (-3) + (-4)

b) 12 + (-7) c) 2 + (-5) + 9 d) (-5) + (-2) + (-7) + 12

2. Simbolizar como suma y encontrar el resultados de efectuar los siguientes desplazamientos representados en la recta numérica. En todos los casos la posición a inicial es cero.

1 1 0

1 1 1

I I

2

i I

3

i I

4

i I

5

i I 6

i I

7

i I

8

i i I I

9 10

I I

-6

l I

-5

I I

-4

| I

-3

l I

-2

I | I I

- 1 0 1

l I 2

i I 3

l I 4

I I 5

I I 6

l I 7

l I 8

I I 9

-6 -5 | I

- 4 -3

i I

- 2

I i I I

- 1 0 1

i

2

i 1

3 4 5

,

6 7 8 9

EJEMPLO

Un globo se desplaza 9 me t ros a la derecha y luego 9 met ros a la izquierda. ¿ Cuál es el resultado de efectuar estos dos desplazamientos?

RESPUESTA: La posición final es 0. Estos desplazamientos de la misma magnitud pero en sentido contrario, los l lamaremos desplazamientos opuestos o inversos:

9 + (-9) = 0

1. Localizar los opuestos de los siguientes desplazamientos. a) 7 metros a la derecha del origen b) 6 metros a la izquierda del origen c) 12 metros a la derecha del origen d) 25 metros a la izquierda del origen

2. Efectuar y representar en la recta numérica. a) 12 + (-5) + (-7) + 17 b) -8 +9 + (-6) + 14 + (-18) c) 13 + 7 +(-9) + (-3) + 11


TALLER N° 4

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1. Efectuar las siguientes sumas aplicando el método de composición de desplazamiento.

a) (-5) + 6 + 8 + (-2) b) 6 + (-4) + 8 + (-3) + 9 c) 12 + (-7) +6 + (-5) + 10

EJEMPLO a) efectuar 5 + 3 b) Efectuar 8 + 4

1 0

1 1 1

1 1 2

i 1 3

I 1 4

1 1 5

I 1 6

I 1 7

I 1 8

1 1 9

b)

1

- 1

I \ 0

I i 1

I

2

i \ 3

i

4

i • \

5

I

6

i \ 1

i \ 8

i \ 9

i i \ \

10 11

I i \ \

12 13

SUMA: En la recta numérica los números 1,2,3 que representan el punto final de un desplazamiento a la derecha desde el origen los l lamaremos enteros positivos.

2. Efectuar y representar en la recta numérica las siguientes adicclones:

a) 2 + 6 b) 3 + 8 c) 1 1 + 5

d) e) f)

4 + 5 6 + 9 12 + 7

g) h) i)

5 + 6 1 + 8 15 + 4

EJEMPLO: Efectuar y graficar a) (-5) + 9b) (-8) + (-6)

-5

,

-4

,

-3

,

-2

i i 1 1

- 1 0 1 2

l I 3 4

RESTA: Análogamente los números -1,-2,-3 que representan el punto final de un desplazamiento a la izquierda desde el origen, los l lamaremos negativos.


b)

El número 0 que corresponde al origen en la recta numérica es un entero que no es ni positivo ni negativo.

3. Desarrollar las siguientes adiciones y representarlas en la recta numérica:

a) -6 + (-8) = b ) - 1 5 + 12 = c) -28 + (-12) =

d) e) f)

12 + (-19) = 28 + 18 = 48 + (-11) =

fi) h) i)

23 + (-15) = 10 + (-12) = 58 + (-22) =

4. Encuentre los sumandos desconocidos:

a) b) c) d) e) f)

TALLER N

36 + [ ] = 11 -18 + [ ] = -9 [ ] + [ ] = 12 [ 1 + (-28) = 0 -32 + [ ] = 18 0 + [ ] = 40

° 5

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Resolver:

1. En Inírida, el día 18 de agosto a las 6:00 a.m. la temperatura era de 18 grados centígrados. Si entre las 6:00 y las 12:00 m. de ese día la temperatura aumentó a razón de 2 grados por hora. ¿Cuál fue la temperatura a las 8:00 a.m. y cuál a las 10:00 a.m.?

2. Una voladora realizó un desplazamiento de 70 kilómetros a la izquierda del puerto principal de Inírida. Luego retrocede en sentido contrario a razón de 10 kilómetros por hora. ¿A qué distancia se encuentra al cabo de una hora?

Represente esta situación en la recta numérica.

3. A continuación presentamos un cuadro relacionado con las temperaturas de algunas ciudades del territorio nacional un día de este año.

a) Establecer la diferencia entre las temperaturas máximas y mínimas de cada par de ciudades.


b) Determine la diferencia entre la temperatura máxima de Inírida y la temperatura máxima de Bogotá.

c) Encontrar diferencia entre temperatura máxima y mínima de cada ciudad. d) Ordenar de menor a mayor las temperaturas máximas. e) Ordenar de mayor a menor las temperaturas mínimas.

CIUDADES

Inírida Bogotá Cali Medellín Cartagena Barranquilla

TEMPERATURA MÁXIMA

42° 30° 32° 30° 38° 40°

TEMPERATURA MÍNIMA

18° -5 o

12° 8o

14° 10°

4. Los hindúes fueron los primeros hombres en utilizar los números enteros en el siglo VII A. de C. ¿Cuántos siglos hace tal fecha?

5. El río Inírida en época de invierno alcanza su máximo nivel cubriendo el puerto principal; al Iniciarse la temporada de verano el río disminuye diariamente aproximadamente 35 centímetros,

a) ¿En 8 días cuántos centímetros habrá disminuido en su nivel? b) Si después de 2 semanas el río ha disminuido 20 cm en su nivel y cada

día disminuye aproximadamente el mismo número de cm. ¿Cuántos cm. disminuyó diariamente?

6. Un buzo desciende desde una balsa a realizar tareas de minería en el río Inírida; el día lunes desciende 8 metros, el día martes desciende 12 metros, el miércoles desciende 4 metros más que el día anterior, el jueves desciende 12 metros más que el día lunes y llega a la máxima profundidad. ¿Cuántos metros descendía en los 4 días? ¿A qué nivel de la profundidad máxima se encontraba la balsa?

HACIA EL CONCEPTO DE NUMERO ENTERO

Héctor Hugo Valdés Suárez Instituto de Bachillerato Agropecuario

"Custodio García Rouira" Inírida - Guainía

INTRODUCCIÓN

El presente trabaje "HACIA EL CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO" tiene como fin que los e s tud ian tes de grado Sépt imo del Ins t i tu to de Bachi l lerato Agropecuario "Custodio García Rovira" tengan la oportunidad, mediante una serie de talleres, de abordar con diferentes modelaciones este tema, ya que históricamente este sistema de numeración durante siglos ha tenido desde su aparición y aceptación un largo proceso lleno de avances y de retrocesos.

Con estos talleres se pretende que los estudiantes se apropien de los elementos necesarios para construir e interpretar el número entero en diferentes contextos y no solamente se conforme con memorlzar reglas y procedimientos que al final los limitará en su desarrollo.

OBJETWO DEL TALLER

1. Reconocer y manejar el número entero y su aplicación en diferentes contextos.

MARCO

En la actualidad es muy importante que una persona conozca y maneje conceptos y operaciones básicas de matemáticas y su aplicación no solamente en contextos matemáticos, si no también en su cotidianidad y su relación son otras ciencias.

En el Departamento del Guainía se ha detectado durante años que un gran porcentaje de sus estudiantes presentan rechazo en el aprendizaje de las matemáticas. Uno de los factores que ha incidido en esta problemática es que los temas, ejercicios y aplicaciones que se les modela a los estudiantes en el aula se abordan como parte de una programa para llenar y en un contexto puramente matemático, sin tener en cuenta su realidad y el entorno en que interactúa.

Otro factor para tener en cuenta es su interés por parte de los docentes en capacitarse y crear opciones didácticas diferentes a las tradicionales, dirigidas a


fortalecer el proceso de enseñanza - aprendizaje correspondiente al área en particular.

Con esta propuesta se busca que los estudiantes apropien elementos nuevos y necesarios, que les sirvan para desarrollar habilidades, destrezas y capacidades necesarias para afrontar problemas en contextos matemáticos y cotidianos.

Todo lo anterior se enmarca en la normalidad existente principalmente en la propues ta de la Resolución 2343 sobre logros de las diferentes áreas.

CARACTERÍSTICAS DE LA INSTITUCIÓN

NOMBRE : Instituto de Bachillerato Agropecuario "Custodio García Rovira". LUGAR : Barrio la Primavera Inírida - Guainía NÚMERO DE ALUMNOS: 520 INDÍGENAS: 40% BLANCOS: 60% SISTEMA DE ESTUDIO SEMESTRALIZADO NÚMERO DE PROFESORES: 35

LA INSTITUCIÓN PRESENTA UNA PLANTA FÍSICA CONFORMADA POR:

MAULAS 01 SALA DE PROFESORES 01 BIBLIOTECA 01 SALA DE CÓMPUTO 01 BLOQUE ADMINISTRATIVO 01 LABORATORIO DE FÍSICA 01 LABORATORIO DE QUÍMICA 01 SALA ESPECIALIZADA DE IDIOMAS 01 SALÓN DE PUBLICACIONES 01 AULA MÁXIMA 01 EMISORA 01 SALÓN DE PROYECCIONES 02 CANCHAS DE BALONCESTO 01 INTERNADO

Los estudiantes que se matriculan en esta Institución son indígenas que provienen del río (zona cercana), de instituciones urbanas y de hijos de militares.

Los indígenas en su mayoría pertenecen a las etnlas Curripaco y Pulnave. Los estudiantes del grado 701 del Instituto a quienes se les aplicarán los

talleres tienen las siguientes características:

GRUPO: MIXTO EDAD: 11 - 1 6 AÑOS ETNIAS: BLANCOS, PUINAVES, CURRIPACOS, CABUCOS.

GUAJIBOS, CUBEA.


TALLER No. 1

HACIA EL CONCEPTO DE NUMERO ENTERO

A continuación se ilustran diferentes situaciones en las que aparecen ciertos lugares conocidos que están situados en la avenida principal de la ciudad de Inírida - Guainía.

1. En la ciudad de Inírida - Guainía, se realizó una carrera de observación sobre ciertos lugares ubicados en la avenida principal, conocidos por los habitantes que viven en esta ciudad.

Los equipos que participaron en esta carrera de observación se desplazaron a los diferentes lugares, como lo ilustra la siguiente tabla:

L U G A R ALCALDÍA G O B E R N A C I Ó N HOSPITAL C E M E N T E R I O PALO CHISME TINTO FRÍO S U P E R M E R C A D O LA MACETA EL MIRADOR EL PUERTO

P O S I C I Ó N 45 md 100 m d 150 md 4 6 0 m d 0 m (pun to fijo) 120 m i 200 mi

4 0 0 mi 4 5 0 mi

OBSERVACIÓN: md: metros a la derecha mi: metros a la izquierda

Las unidades utilizadas son metros: m.

NOTA: Para el buen desarrollo de este taller los estudiantes deben tener claro el significado de PUNTO FIJO; para nuestro ejemplo el punto fijo hace referencia a un lugar en particular { Palo Chisme), este lugar es nuestro punto de part ida (origen) y le asignamos el número cero (cero unidades de desplazamiento), desde este punto ubicaremos los lugares que estén a la derecha y lugares que estén a la izquierda de nuestro punto fijo (cualquier lugar de nuestro ejemplo se puede considerar como punto de part ida o fijo, pero las distancias de los lugares cambian con respecto al nuevo origen).


CROQUIS DE LA AVENIDA PRINCIPAL

SUPERMERCADO I LA MACETA I 1 GOBERNACIÓN I HOSPITAL

MIRA-1 DOR

V E N I D A P R I N C I P A L

nn PALO TINTO FRÍO ' I CHISME ' ALCAI.MA

a) Localice en la recta numérica las posiciones de los lugares antes mencionados.

IZQUIERDA

r~ c

DERECHA

'

PALO CHISME

b) Entre el Hospital y la Gobernación, ¿cuántos metros hay? c) Entre el supermercado La Maceta y Tinto Frío, ¿cuántos metros hay? d) Entre el puerto y el cementerio, ¿cuántos metros hay? e) ¿Qué lugar está más cerca de Palo Chisme y a cuántos metros? f) ¿Qué lugar está más lejos de Palo Chisme y a cuántos metros?

Si cambiamos de punto de referencia en nuestro ejemplo y tomamos uno nuevo (la Gobernación),

g) Ubique en una recta numérica las posiciones relativas a este nuevo punto que deben tomar los lugares anteriores.

IZQUIERDA DERECHA

O

GOBERNACIÓN

h) ¿Completar la siguiente tabla para el nuevo punto de part ida (origen).


LUGAR HOSPITAL CEMENTERIO GOBERNACIÓN ALCALDÍA PALO CHISME TINTO FRÍO SUPERMERCADO LA MACETA EL MIRADOR EL PUERTO

POSICIÓN 50 md 100 md 0 m (punto fijo) 55 mi

120 mi 200 mi

500 mi

i) ¿Qué lugares se encuentran a la derecha de la Gobernación? j) ¿Qué lugares se encuentran a la Izquierda de la Gobernación? k) ¡La Alcaldía se encuentra a la izquierda o a la derecha del Mirador? 1) Si estuvieras en un lugar ubicado a 40 metros a la izquierda de Tinto Frío. ¿A cuántos metros estarías de la Gobernación?

TALLER No. 2

DESPLAZAMIENTO

La siguiente actividad está relacionada con los diferentes cambios de posición que sufre un cuerpo, móvil, objeto, etc., cuando se desplaza de un lugar a otro.

Cuando un cuerpo cambia de posición se produce un desplazamiento; para representar los desplazamientos utilizaremos una recta numérica con respecto a un punto inicial (origen) y most raremos las diferentes situaciones que puede presentar un cuerpo cuando cambia de posición.

Utilizaremos vectores dir igidos para representar los desplazamientos ya que éstos son cantidades vectoriales. Un vector es una flecha que nos indica en qué dirección, magnitud y sentido se realiza un desplazamiento.

VECTOR

(a) CABEZA DEL VECTOR

CABEZA DEL VECTOR (b)

a) El vector del ejemplo (a) nos indica que se realiza un desplazamiento de 4 unidades a la derecha de un punto. b) El vector del ejemplo (b) nos indica que se realiza un desplazamiento de 4 unidades a la izquierda de un punto.


A continuación se ilustran las situaciones que se presentan al realizar dos desplazamientos consecutivos en una recta numérica.

NOTA: Un desplazamiento es consecutivo de otro, cuando desde la posición donde queda el primer desplazamiento se realiza el otro desplazamiento.

1) Dos desplazamientos consecutivos, a la derecha del punto de part ida (origen), se ilustra en la figura, inicialmente un desplazamiento de 4 unidades a la derecha del origen y a continuación uno de 3 unidades a la derecha.

IZQUIERDA l i l i DERECHA

Desplazamiento total = 4 u.d. + 3 u.d. Desplazamiento total = 7 u.d.

2) Dos desplazamientos consecutivos a la Izquierda del pun to de par t ida (origen).

Se i lustra en la figura, inlcialmente un desplazamiento de 3 un idades a la izquierda y a continuación un desplazamiento de 2 un idades a la izquierda.

IZQUIERDA J DERECHA

Desplazamiento total = 3 u.i. + 2 u.l. Desplazamiento total = 5 u.i.

3) Dos desplazamientos consecutivos, uno a la izquierda y otro a la derecha. Se ilustra en la figura, Inicialmente un desplazamiento de 4 unidades a la

Izquierda del origen, seguido de un desplazamiento de 3 unidades a la derecha.

- •

IZQUIERDA I i ¡ n DERECHA

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4


Desplazamiento total = 4 u.i. + 3 u.d. Desplazamiento total = 1 u.i

En la combinación de desplazamientos consecutivos se debe tener en cuenta que siempre el segundo desplazamiento parte de la posición del primer vector, desplazamiento a la derecha o a la izquierda, según lo indique el segundo desplazamiento y así sucesivamente. Ejemplo: Realizar los siguientes desplazamientos consecutivos en una recta numérica.

3 u.i. , 2 u.i. , 8 u.d.

I C l f l i l i a | ^

1 o—I o I 1 1 1 1 o—I 1 • 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Para realizar este ejercicio nos ubicamos en la recta numérica en el origen, nos desplazamos 3 unidades a la izquierda quedando ubicados en la posición p, a continuación y a partir de la posición p, avanzamos 2 unidades a la izquierda quedando ubicados en la posición C, avanzamos 8 unidades a la derecha de la posición C, ubicándonos en la posición q.

NOTA: Las posiciones p, c y q, representan el lugar donde se ubican los diferentes desplazamientos.

PREGUNTAS

1) Al realizar dos o más desplazamientos consecutivos a la derecha del origen, la posición final estará a la del origen.

2) Al realizar dos o más desplazamientos consecutivos a la izquierda del origen, la posición final estará a la del origen. 3) Un ciclista se desplaza desde un punto por una carretera recta de 5 km a la izquierda, descansa y después regresa por la misma carretera y recorre 6 km. ¿A qué distancia del punto de part ida? 4) Realizar los siguientes desplazamientos consecutivos en una recta numérica.

• Utilice una recta numérica para ilustrar cada uno de los ejercicios.

a) 0

3 u.i. 5 u.d.

y y

5 u.d. 2 u.d.

b) d)

2 u.i. 3 u.i.

y y

4 u.i. 5 u.d.


TALLER No. 3

OTRAS SITUACIONES

Este taller tiene como objeto familiarizar al estudiante con nuevas situaciones como temperaturas y alturas; para realizar el desarrollo de este taller utilizaremos una recta numérica.

A continuación construiremos una recta numérica y la orientamos vertical-mente.

ABAJO

EJE VERTICAL

ARRIBA

En los ejercicios que desarrollaremos en este taller utilizaremos términos como: arriba, abajo, sobre el nivel, bajo el nivel, ascender, descender, mayores de, menores de, etc.

1) En la siguiente tabla se presenta una serle de temperatura de diferentes partes del mundo, tomadas a la misma hora, el día 25 de mayo de 1998.

CIUDAD

A

B*

C

D*

E*

F

TEMPERATURA

10° C

5 o C

4 o C

9 o C

2 o C

8 o C


NOTA: Las ciudades que tienen un asterisco ( * ), ejemplo la ciudad B, su temperatura está por debajo de cero grados centígrados.

a) Represente en una recta numérica ésta información b) Ordenar las ciudades según su temperatura de mayor a menor c) Indicar la diferencia de temperatura entre las ciudades

1) 2) 3)

A y B C y D E y F

DESARROLLO

A. Representación de la información en una recta numérica.

Construimos una recta numérica, la orientamos vertlcalmente y ubicamos las ciudades según su temperatura.

Temperatura en grados centígrados

° C A o

F c

C (

MENORES DE 0o C E c

B (i

D o

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

4 5 6 7 8 9

10

MAYORES DE 0o C

B) Ordenamos las ciudades según su temperatura de mayor a menor.

Si observamos en la recta numérica del ejercicio anterior, cuando ubicamos las ciudades según su temperatura, podemos ver que la ciudad A es la que presenta una mayor temperatura y en orden descendente podemos ordenar las demás ciudades de mayor a menor temperatura.


A F C E B D

i

C) Para hallar la diferencia de temperatura que hay entre dos ciudades, ubicamos las ciudades en una recta numérica según su temperatura y medimos cuántos grados centígrados hay entre una ciudad y la otra.

Representamos esta diferencia por medio de un segmento de recta como lo ilustra la figura.

A !

B *

12 I 1 10

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12

D

Ubicamos las ciudades según su temperatura:

Ciudad A = 10° C Ciudad B* = 5 o C

Diferencia = 15° C

Ciudad C = 4 o C Ciudad D* = 9o C

Diferencia = 13° C

Ciudad E* Ciudad F

2 o C 8 o C

Diferencia = 10° C

EJERCICIOS

En la siguiente tabla de datos se suministra información sobre las temperaturas de ciudades reportadas el día 15 de octubre, a las 05:00 de la mañana de 1998.

NOTA: Las ciudades que aparezcan con asterisco representan temperaturas por debajo de cero grado centígrados.


CIUDAD

A

B*

C*

D

E

TEMPERATURA

5 o C

3 o C

7 o C

8 o C

2 o C

PREGUNTAS

a) ¿Representar en una recta numérica vertical la información dada b) ¿Qué ciudad reportó la temperatura más alta? c) ¿Qué ciudad reportó la temperatura más baja? d) ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura más alta y la más baja? e) ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las ciudades B y A?

2) Si después de reportar las temperaturas de las ciudades a las 05:00 de la mañana, se empezó a observar un incremento de temperatura de 2 grados centígrados (2o C), por hora durante la mañana en cada una de las ciudades.

a) Se desea saber qué temperaturas reportaron estas ciudades a las 10:00 de la mañana de ese día.

Nota: Registrar la información que se obtenga en una tabla de datos. b) El reporte de alturas respecto al (sobre o bajo) nivel del mar es otra situa

ción nueva para los estudiantes. A continuación se ilustran unos ejemplos para indicar reportes de al turas que están por encima y por debajo de una línea horizontal imaginarla.

Ejemplo: a) Ubicar en una recta numérica vertical las siguientes al turas de sitios geo

gráficos de nuestras regiones.

A) Nevado del Hulla B) Nevado del Tolima C) Nevado del Ruiz

5.750 m 5.620 m 5.400 m


Estas alturas son tomadas desde el nivel del mar.

SOBRE EL NIVEL DEL MAR

i LiNI-A IMAGINARIA

- 6.000

- 4.000

- 3.000

V- 2.000

- 1.000

„

- 1.000

- 2.000

T

NIVEL DEL MAR

i DEBAJO DEL NIVEL DEL MAR

5.000

b). En la tabla siguiente se suministra información respecto a alturas relativas al nivel del mar.

Nota: Los sitios que tengan un punto antes del valor de su altura corresponden a sitios ubicados bajo el nivel del mar.

SITIO A B C D E F

ALTURA o 30 m

25 m 15 m 10 m

o 10 m o 5 m

a) Ubicar en una recta numérica vertical los sitios que aparecen según su altura.

LA UNIDAD

ES IGUAL A

A O

C D

35 30 25 20 15 10 5

- 0 ~ 3 5 3 10

15 20

lo 25

NIVEL DEL MAR

b) Ordenar según su altura los sitios de menor a mayor.


Como rodemos observar en el ejercicio anterior el sitio B es el oue presenta la menor altura, y en orden ascendente podemos ordenar los demás sitios de menor a mayor.

A C D F E B i

c) Hallar la diferencia de altura entre los sitios que tienen mayor y menor altura.

Ubicamos los sitios que tienen la mayor y la menor altura en una recta numérica vertical, según la Información del ejercicio anterior, y por medio de un segmento de recta de igual unidad medimos la distancia que hay de un sitio a otro.

LA UNIDAD ES IGUAL A 5 m.

-A --

_

_ --•"

----

-

_ --

' " B - 1

• 40 35

- 30 - 25

- 20 - 15 - 10 - 5

- 5

- 10 - 15

- 20 - 25

' 30

30 m

NIVEL DEL MAR

B 25 m

DIFERENCIA= 55 m.

EJERCICIOS

1. Ubicar en una recta numérica vertical un lugar que esté 8 m bajo el nivel del mar y otro que esté 5 m sobre el nivel del mar.

2. ¿Dónde se ubicará un lugar que está 10 m bajo el nivel del mar? ¿Dónde otro que esté 5 m más bajo del lugar anterior? 3. Un buzo en el mar desciende a razón de 40 metros por minuto. A los 10 minutos, ¿a qué profundidad se encontrará del nivel de mar?

4. Una persona se encuentra en una montaña, si desciende 1.180 metros estará a una altura de 3.820 metros sobre el nivel del mar. A qué altura se encontraba la persona en la montaña antes del ascenso?


5. Un alpinista se encuentra en un lugar 3.500 metros sobre el nivel del mar y de ahí asciende a otro lugar ubicado a 5.200 metros sobre el nivel del mar. ¿Cuántos metros ascendió el alpinista para llegar al lugar que está ubicado a 5.200 metros sobre el nivel del mar?

TALLER No. 4

EL SIGNO DEL NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA

En los talleres vistos anterlomente utilizamos la recta numérica (horizontal y vertical) para representar situaciones de ubicación y desplazamientos a partir de un punto fijo (origen).

Para representar y hacer más sencilla la interpretación de todas aquellas situaciones (matemáticas, cotidianas, etc.), donde se utilicen desplazamientos o ubicaciones a partir de un punto de part ida (origen) y diferenciar los resultados obtenidos, le daremos un resultado.

CARÁCTER:

a) POSITIVO: Cuando la situación parcial o final obtenida siempre se realice hacia la derecha, arriba, por encima, etc., del punto fijo (origen), representaremos estas situaciones por medio de cantidades positivas.

Cantidad positiva: un número procedido del signo + (más).

b) NEGATIVO: Cuando la situación parcial o final obtenida se realice a la izquierda, abajo, etc., del punto fijo (origen), representaremos estas situaciones por medio de cantidades negativas.

Cantidad negativa: un número precedido del signo - (menos).

Por eso todas aquellas cantidades negativas las representaremos en una recta numérica hacia la izquierda del origen.

Las situaciones anteriores las representaremos en la siguiente recta numérica.

NEGATIVO

-5 -4 -3

1

1 -2

fe, -3

P •

"Vi" i 1 1 1 -1 0 +1

• + « +3

— * + 2 -1

POSITIVO

+2 +3 +4 +5 ORIGEN

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Representar en la recta numérica los siguientes desplazamientos, a) Un desplazamiento de 5 unidades a la derecha del origen.


b) Un desplazamiento de 3 unidades a la Izquierda del origen. c) Dos desplazamientos consecutivos uno a 4 unidades a la izquierda y otro

de 5 unidades a la derecha. A continuación se ilustran las situaciones y el significado del resultado obtenido.

a)

I 1 \-*SA 1 — •

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 origen

(+5) significa que el desplazamiento que se realizó es positivo y está ubicado a 5 unidades a la derecha del origen.

b)

i I I I I I I I I l I I

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 origen

(-3) significa que el desplazamiento que se realizó es negativo y está ubicado 3 unidades a la izquierda del origen.

*. +5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 4 origen

(+1) significa que después de realizar los dos desplazamientos consecutivos el desplazamiento total es positivo y se encuentra ubicado a 1 unidad a la derecha del origen.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Realizar los siguientes desplazamientos consecutivos y justificar la respuesta.

a) 3 u.i. y 4 u.i. b) 7 u.d. y 3 u.d. c) 8 u.i. y 10 u.d. d) 5 u.i. y 8 u.d.

16 O COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

TALLER No. 5

EL ORDEN

Este taller tiene como objetivo que los estudiantes ubiquen en la recta numérica cantidades positivas y cantidades negativas y encuentre la relación del orden que existe entre las cantidades.

A continuación se ilustran ejemplos con números naturales ya que este sistema numérico y su relación de orden ha sido trabajado antes.

1. Ubicar en la recta numérica los números naturales 3 y 5, y hallar la relación de orden.

Ubicamos en la recta numérica la posición que ocupan 3 y 5.

1 1 1 e 1 e 1 1 1 • 1 2 3 4 5 6 7 8

De esto podemos concluir que 5 es más que 3 ó que 3 es menos que 5; para simplificar estas situaciones utilizaremos los símbolos > mayor que y < menor que.

Ejemplo: 3 < 5 ó 5 > 3

2. Ubicar en la recta numérica los números naturales 2 y 8 y hallar la relación de orden.

Ubicamos en la recta numérica las posiciones que ocupan los números naturales 2 y 8.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

De esto concluimos que 8 es más que 2 ó que 2 es menos que 8. Ejemplo: 2 < 8 ó 6 > 2

Con estos dos ejemplos podemos visualizar que en ambos casos el número que se encuentra a la derecha de otro siempre es mayor.

5 se encuentra a la derecha de 3 6 se encuentra a la derecha de 2 entonces: 5 > 3 y 6 > 2

De esto podemos concluir que cuando un número se encuentre a la derecha de otro, éste es mayor.

También podemos visualizar lo contrario que los que están a la izquierda de otro siempre es menor.


3 se encuentra a la izquierda de 5 4 se encuentra a la Izquierda de 8 entonces: 3 < 5 4 < 8

A conünuación se hará un trabajo similar con cantidades positivas y negativas, aplicando el mismo concepto de relación de orden visto con números naturales.

3. Ubicar en la recta numérica las cantidades +3 y -5 y hallar la relación de orden.

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Ubicamos en la recta numérica las cantidades +3 y -5; observamos que -5 se encuentra a la izquierda de +3, por lo cual podemos concluir que -5 < +3, o también observamos que +3 se encuentra a la derecha de -5, por lo cual podemos concluir que +3 > -5.

4. Ubicar en la recta numérica las siguientes cantidades ; +2, -3, +5, 0, -7 y ordenarlas de menor a mayor.

- © - -©-

-7 -6 -5 -4 -3 •1 0 +1 +2 +3 + 5

Ubicamos en la recta numérica las posiciones que ocupan las cantidades y observemos que -7 se encuentra a la izquierda de las otras cantidades, por lo consiguiente -7 es el menor de las cantidades que ubicamos en la recta numérica.

Como -7 es el menor de las cantidades ubicadas, ordenamos en orden ascendente las otras cantldade, como lo podemos visualizar en la recta.

-7, -3, 0, +2, +5. -7 < -3 < 0 < +2 < +5

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Ubicar en la recta numérica cada una de los siguientes ejercicios y escribir el signo < ó > corresponda:

a)

b)

0

-3

-8

3

-5

-2

4

d)

e)

-2

5

2

-5


2) Ubicar en la recta numérica las siguientes cantidades y ordenarlas de mayor a menor -5, +2, +4, -3, 8, 0.

3) Se desea saber el número de estudiantes matriculados en el grado noveno del Instituto de Bachillerato Agrapecuario "C.G.R."; para eso se da la siguiente información: los estudiantes del grado 901 son 32, el grado 902 tiene 4 estudiantes menos que el grado 901, el grado 903 tiene 7 estudiantes más que el grado 902 y el grado 904 tiene 3 estudiantes menos que el grado 902. ¿Cuántos estudiantes hay en el grado noveno? Ordenar las grados de mayor a menor según el número de estudiantes.


PROBLEMAS QUE INVOLUCREN NÚMEROS NATURALES CON LA ADICIÓN

Y LA SUSTRACCIÓN

Walter Sepúlveda García Instituto Los Liber tadores

Inírida - Guainía (Grado 10)

OBJETIVO: Trabajar problemas de suma y resta en el grado primero.

Descripción de la población: Este proyecto fue diseñado con base en el grado pr imero C.

Número de alumnos: 30. Edad: 8 a 9 años. Etnia: 40 % indígena, 40 % cabucos y 20 % colonos.

El 60% son repitentes.

REFERENTE CONCEPTUAL

Si analizamos el problema de los niños con relación a las matemáticas, observamos que su aprendizaje es mecánico o memorístico, que nada se relaciona con la realidad donde el alumno analice, exponga sus propias ideas y que lo interprete con el mundo que lo rodea, que busque alternativas de solución.

Por tal motivo es importante iniciar esta sensibilización desde los grados inferiores, si tenemos en cuenta que todo estudiante debe tener la oportunidad de resolver y plantear problemas, razonar, representar y comunicar sus descubrimientos y experiencias.

Este proyecto lo he planteado con distintas clases de problemas de suma y resta que le sirven al niño para razonar de manera lógica ante unas matemáticas que lo conduzcan a analizar, Investigar y plantear sus propias alternativas de solución.

Al diseñar estos problemas se ha tenido en cuenta, coherencia en su enunciado y relación en la representación de las cantidades dentro del problema.

Para la resolución de estos problemas se tiene en cuenta la observación, manipulación y la representación gráfica y simbólica.


I. DESCRIPCIÓN DE ACIWIDADES

Se plantean unos primeros ejercicios donde se hace uso de la observación para llegar a la noción de cantidad y relación de orden.

Árbol 2

CONTENIDO

Hojas

Naranjas

Gusanos

Ramas

Pájaros

Árbol 1

6

7

4

3

3

Árbol 2

5

5

2

4

4

Los niños observan los dibujos de los dos árboles y llenan la tabla con relación a lo observado.

De lo relacionado en la tabla podemos plantear algunas preguntas como las siguientes

a. ¿Cuál es el árbol que tiene mayor cantidad de hojas? b. ¿Qué árbol tiene menos gusanos? c. En total, en los dos árboles ¿Cuántas naranjas hay?

Esto le facilita al niño para que determine la cantidad de dibujos de cada uno de los árboles y entable relaciones de orden.


Otra clase de ejercicios a. Si en el árbol amarillo hay 4 gusanos y en el rojo 2 ¿Cuántos hay en total

entre los dos árboles? b . En el árbol amarillo hay 3 pájaros y en el rojo uno más que en el amarillo

¿Cuántos pájaros tiene el árbol rojo? c. El árbol amarillo tiene 7 naranjas y el rojo tiene 5 ¿Cuántas naranjas más

tiene el árbol amarillo? d. En el árbol rojo hay cuatro pájaros y se volaron 3 ¿Cuántos quedaron? e. Se cayeron 4 manzanas del árbol amarillo ¿Cuántas quedaron en el árbol?

Al plantear estos problemas matemáticos de adición y sustracción el alumno tiene muchas maneras de solucionarlos, bien sea en conteo, gráfica o numéricamente, así:

a: b :

v f Y,

c.

d.

6

7

D O

O D

O O

O D

O O

O o c >.

? / / / o

Todos estos problemas van relacionados con la observación para que el niño vaya teniendo una mejor comprensión. Esta práctica se hace consecutiva y lenta hasta que él haya determinando claramente la intencionalidad del problema.

H. ANÁLISIS DEL TRABAJO CON CADA UNA DE LAS ACTIVIDADES

1. Al plantear esta clase de ejercicios: María tiene 7 muñecas y Jul ia 4. ¿Cuántas muñecas más tiene María que

Jul ia?


El niño deducía así: 7 + 4 = 11 Entonces opté por hacer la explicación de la siguiente forma:

María

Julia

Con este ejemplo los niños hicieron un mayor análisis y pudieron sacar otras conclusiones como:

Relación entre suma y resta, solución de ecuaciones sencillas, encontrar números escondidos y la posibilidad de encontrar situaciones con más de una solución.

A continuación, ejemplos planteados con diferentes formas de solución.

7

4 ?

7 - 4 =

4 +

2. Se continuó trabajando donde el niño hace uso de la manipulación con objetos del medio como: palitos, fichas, bolinchas, lápices, botones, granos de frijol, de maíz, tapas, etc. Aquí el niño trabaja haciendo uso de estos objetos en una mesa de trabajo donde plantea su solución y luego la demuestra en el tablero. En este caso se plantean primero ejercicios de suma y luego de resta.

a. Tienes 7 tapas y te dan 8 más. ¿Cuántas tienes en total? b. En el pupitre tenías algunos cuadernos, te regalaron 5 más. Ahora tienes

9 en total. ¿Cuántos tenías en el pupitre? c. Tenías 6 bolinchas y te regalan varias más. Ahora tienes 10 en total.

¿Cuántas te regalaron?

Con la ayuda del trabajo que desarrolle en la mesa el niño va a tener mayor claridad de entender e interpretar el problema así:

a:

+


Al principio + 5

+ 5 r = l ' .1 l ' I I ' I

9 al final

9 9 9 9 9 9 6 + = 10

10

PROBLEMAS DE SUSTRACCIÓN

a. J u a n tenía 8 fichas y perdió 3. ¿Cuántas fichas tiene ahora? b. Mario tiene 9 botones y Juan 5. ¿Cuántos botones más tiene Mario que

Juan? c. Hay 4 lápices y 6 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos más hay?

a.

X X X X X ¿ ¿ ¿

©©©©©©©©(0)

+ 2

3. Luego pasamos a otra clase de ejemplos, utilizando una tabla de precios, en este caso dulces.


ARTÍCULOS Bombón Galletas Prunas Chicles Confites Chitos Papilas Chocolatinas Nucitas

PRECIOS $200 $150 $100 $100

$50 $300 $500 $250 $300

Con relación a la anterior tabla podemos plantear problemas como: a. ¿Cuánto vale un bombón en la tienda escolar? b . ¿Vale más un bombón que una fruna?

Siguiendo el orden de complejidad podríamos plantear ejercicios que lo coloquen a pensar más .

c. Compra con 800 pesos los productos que más te gusten. d. Qué puedes comprar en la tienda si puedes gastar más de 400 pesos y

menos de 500 pesos. En esta clase de ejercicios el niño plantea sus ejemplos e Ideas de la manera

que a él le parecen más razonables.

c.

d.

200 + 500

100 800

150 + 300

galleta chitos

200 500 100

450

4. Por último se le plantean distintos problemas de mayor complejidad, donde se Involucre la suma y la resta.

a. Tienes 5 bolinchas y te regalan 3 más. En el descanso pierdes 4. ¿Cuántas tienes ahora?

99999999 5 + 3 = 8

8 + 4 = ?

4 pierdes


TALLER No 1

Árbol 2

Contenido Hojas

Árbol 1 6

Árbol 2 5

Observa los dibujos de cada árbol y complete la tabla anterior. Según la tabla realiza los siguientes ejercicios

1. Cuál es el árbol que tiene mayor cantidad de hojas 2. Qué árbol tiene mayor cantidad de gusanos 3. Cuál de ellos tiene más pájaros 4. De cuál de los dos árboles recojo más naranjas 5. En total cuántas naranjas hay en los dos árboles 6. Si llegan 6 pájaros más al árbol rojo ¿Cuántos hay en total? 7. El árbol amarillo tiene 7 naranjas y el rojo hay 5. ¿Cuántas naranjas más tiene el árbol amarillo? 8. En el árbol rojo hay 4 pájaros y se volaron 2. ¿Cuántos quedaron? 9. En total en los dos árboles hay 7 pájaros y 6 gusanos. ¿Cuántos pájaros más hay? 10. Se secaron 4 hojas del árbol amarillo. ¿Cuántas quedaron sin secarse?


TALLER No 2

1. Tienes 4 tapas y te regalan 3 más. ¿Cuántas tienes en total? 2. Camilo compra 6 bolinchas y Rubén 7. ¿Cuántas han comprado en total los dos niños? 3. En la mesa hay 12 reglas y el profesor coloca 5 más. ¿ Cuántas reglas hay en total en la mesa? 4. Tenías varios botones y te dan 8 más . Al final tienes 14 botones. ¿Cuántos tenías antes? 5. Tenías 12 fichas y te dan varias más . Al final tienes 15 fichas. ¿Cuántas te dieron? 6. En el salón había varios pupitres y trajeron 12 más. Ahora hay 32 ¿Cuántos había al principio? 7. J u a n tenía 8 fichas y perdió 3. ¿Cuántas fichas tiene ahora? 8. Hay 10 niños de pie, si 3 se sientan. ¿Cuántos siguen de pie? 9. Liliana tiene 4 muñecas y Nancy 3. ¿Cuántas más tiene Liliana? 10. Adivina los números desconocidos

a. c. e.

ft i.

LL1

7 6

+ + + --

í R N o 3

4

12 3 2

= = = = =

10 15 11 2

b. d. f. h. J.

9 7 13 9

+ + ---

3 5 5

—

= = =

8

6 3

En la tienda de la escuela apareció la siguiente tabla de precios.

Observa la tabla y responde. 1. ¿Cuánto vale un bombón en la tienda escolar? 2. ¿Vale más un bombón que una fruna? 3. Qué dulces valen lo mismo? 4. Si compras una galleta y una fruna. ¿Gastas más de 300 pesos o menos? 5. Si tienes 500 pesos ¿qué puedes comprar en la tienda? 6. ¿Qué puedes comprar con el dinero que te dieron? 7. Mario compró una bolsa de chitos y Pedro una de papita ¿Quién gastó más? 8. Compra con 800 pesos los productos que más te gusten.

9. ¿Qué puedes comprar en la tienda si puedes gastar más de 400 pesos y menos de 500 pesos. 10. Si pagas con 200 pesos un paquete de frunas. ¿Esperas la devuelta? ¿Cuánto? 11. Si compras una fruna, un chito y una galleta. ¿Cuánto debes pagar?

ARTÍCULOS

Bombón Galletas Frunas Chicles Confites Chitos Papltas Chocolatinas Nucltas

PRECIOS

$ 200 S 150 $ 100 $ 100 S 50 $ 300 $ 500 $ 250 $ 300

SISTEMA NUMÉRICO Y MEDIDAS DE LONGITUD DE LOS GRUPOS ÉTNICOS TUCANO Y CUBEO

Luz Marina Bolaños L. Román Rodríguez Ramírez

Mitú - Vaupés

MARCO

Partiendo de nuestro quehacer pedagógico con grupos étnicos de la Amazonia Colombiana, específicamente los TUCANOS y CÚBEOS, que son las dos ramas lingüísticas fundamentales de la reglón y que encierran a las 23 comunidades indígenas del resguardo del Vaupés y enfocamos a nuestro objeto de trabajo en la Normal ENOSIMAR.

Buscamos con este tipo de talleres rescatar entre otros, aplicaciones en contextos significativos, como por ejemplo las transacciones comerciales (trueque) y el conteo de sus pertenencias. Además pretendemos que los estudiantes recuerden, conozcan y valoren estos sistemas que aún existen y que aún más , los ancianos lo practican diariamente en su pueblo.

Después de un diálogo sobre la procedencia, las prácticas culturales más relevantes de aspectos importantes de los patrones culturales de cada uno de los estudiantes, se retomarán los números en CUBEO y se desarrollarán los talleres.

De esta misma manera se tomarán los números en TUCANO, lo mismo que las medidas de longitud. Después de lo visto planteamos las siguientes inquietudes.

1. Los programas curriculares nacionales traen los sistemas de numeración egipcios, chino, japonés, y otros. ¿Por qué en las investigaciones sobre pensamientos matemáticos en el país no se han logrado que éstos sean tenidos en cuenta?

2. Desde muchos años atrás se viene hablando de etnoeducación para grupos étnicos. ¿Por qué no se ha logrado un currículo especial para estas zonas del país?

3. ¿Será que toda la vida tendremos que someternos a la sociedad hegemónlca dominante?

4. ¿ Cuándo será que las minorías de las negritudes, los amazónicos y llaneros gozarán de un currículo propio avalado por el MEN?


SISTEMA DE NUMERACIÓN CUBEO

Entre los indígenas cúbeos del Vaupés moradores en su gran mayoría en los caños (riachuelos), Cudullarl, Querari, existen sólo tres números el 1,2, 3. Se representan así:

1 el dedo pulgar de la mano.

2 el dedo pulgar y el índice.

3 el dedo pulgar, índice y corazón.

De aquí en adelante se asocian estos dígitos para tomar otras cantidades.

4


10

Estos n ú m e r o s se leen

1 Guiñaron (un dedo)

2 Pucadoa (dos dedos)

3 Yubecurioa (tres dedos)


4 Yobecurloa cuinado ini (tres dedos más uno)

5 Culna puru caino (cinco dedos, la mano)

6 Cuina puru caino apedore cuinaro ini (una mano más un dedo)

7 Cuina puru caino a peruru pucadoa ini (una mano más dos dedos)

8 Cuina puru caino apepurure yobecurlo ini (una mano más tres dedos)

9 Cuina puru caino yobecurloa aru cuinado ini (una mano más tres dedos más un dedo)

10 Caipuca purua (dos manos completas)


Sistema ae numeración uuoeo

176

8

COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

10

TALLER N° 1

1. Tome la tabla N° 1 coloque el símbolo en cubeo a cada cifra del sistema decimal.

a. 4

b . 8

c. 10


d. 2

e. 7

f. 8

2. Coloque él número decimal al número expresado en cubeo.

a.

b .

c.

d.


e.

3. Tome las 2 tablas y solucione los siguientes planteamientos.

a. Si un cubeo hace un trueque de [ iCj gallinas por [ ^67 matafríos.

¿Cuántos matafríos debe recibir?

b. En el sistema de numeración cubeo sólo existen 3 símbolos numéricos, representados en 3 dedos. ¿Cómo forman un número 9? ¿Cómo se traduce en su lengua?

c. Si un cubeo desea decirle a sus paisanos que trajo 7 pacas muquecadas. ¿Cómo se hace entender si no existe grafía entre ellos?

d. Yo deseo cambiar 5 cachuchas deportivas por 1 gallina entre la comunidad cubea y no sé su dialecto. ¿Qué debo hacer?

e. Las pepas más apetecidas por los cúbeos son la de ibapi chuna ya que son permanentes por la región. "El caño Cuduyary". Ellos cambian un patura


por z Kilos ae sai. ¿ t o m o se nara para representarlo en el sistema de numeración cubeo?

SISTEMA DE NUMERACIÓN TUCANO

1. Nlcáplca.

2. Puapica.

3. Itiapica.

4. Büpari tisepicarl.

5. Nica mucá picar i.

6. Nica muca picari ajpepica nica mucarl néoró.


7. Nica mucá picarl puaplca ajpemlcá ñeora.

8. Nica mucá plcari itlapica ajpemucá ñeoró.

9. Nica muca picari baparitice ajpemucá neoro.

10. Nicámucá picarl ajpemucarí ñeoró.

TALLER N° 2

Problemas

1. Se reúnen todos los cuadernos del aula, los alumnos deben contar en el s istema tucano. ¿Cuántos hay?

Ejemplo: Hay 8 cuadernos. Los alumnos pueden tomar cualquiera de estas alternativas.

a. Formar grupos de 5 en representación de la mano. b . Formar grupos de 10 en representación de 2 manos. c. En grupos de 9, o sea una mano completa más 4 dedos. d. Otras.

2. En un baturá (canasto de bejuco) hay 200 canicas. Utilizando el sistema numérico Tucano los alumnos formarán grupos hasta lograr que éstos sean iguales.

Tienen las siguientes alternativas. a. Grupos de 2 elementos. b . Grupos de 5 elementos. c. Grupos de 10 elementos.


3. Manducury tiene una dificultad, no sabe español, pero tiene 5 vacas y desea venderlas a un comerciante. ¿Qué puede hacer?

a. Lleva una vaca y muestra con su mano que tiene 4 más . b . Pinta en un papel una vaca y lo muestra con la mano que tiene 5 para

vender. c. Trae un par de cuernos y los muestra al comerciante señalando que tiene

5 de esas. ¿Cuál de estas opciones escogería usted?

4. María recibió plata por la venta de sus atados de sardinas muqueadas , y una pava gorda. Ella va al restaurante a almorzar, pero no sabe el nombre de ningún plato de los que allí venden y no hay carta de presentación. ¿Qué puede hacer María para poder almorzar?

a. Mira a la mesa vecina y señala que desea 3 platos, 1 para ella y los otros para sus hijos.

b . Va a la cocina y pide lo que desea señalando con los dedos de su mano. c. Se para con tristeza y se marcha para otro lugar más popular. d. Sale del restaurante furibunda de rabia, compra una lata de sardinas y se

sienta en el parque a comerla con fariña. e. Ninguna de las anteriores.

SISTEMAS MULTIPLICATrVOS DE VALOR RELATIVO

Otras culturas han utilizado, y aún utilizan, un sistema de numeración basado en el sistema multiplicativo que consiste en escoger símbolos para el 1, 2, 3, etc., hasta la base y otros símbolos para representar potencias de base.

El principal de estos tipos de numeración es el chino-japonés. Entre otros números tenemos.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 100 1000

La escritura china-japonés es vertical en lugar de horizontal.

Ejemplo: Escribir 12 del sistema decimal al sistema chino-japonés. Se escribe primero el 10 y debajo el 2.


Escribir 60. Se escribe primero el 6 y debajo el 10.

Escribir el 57. Se escribe primero el 5 y debajo el 7.

Escribir 3.472 Se escribe 3.000 (3 y debajo 1.000), luego 400 (4 y debajo 100), después 70

(7 y debajo, 10), finalmente el 2.

Con la información antes obtenida desarrollar los siguientes enunciados.

1. Expresar los siguientes números en el sistema chino-japonés,

a. 13 b. 25 c. 42

d. 83 e. 105 f. 2.402

g. 370 h. 3.720 1. 231

2. Expresar los siguientes números del sistema chino-japonés en decimales.


• j . j^n^Li^iiLi t; IUO i i u m c i u o I JUC iicttjcii icxixjcx a c g u i i ici s e n e

4. Hallar 2 series que se encuentran en los siguientes signos chino-japonés.

5. Utilizando 3 serles de números chino-japonés forma la figura animal en puntos.

SISTEMA DE LONGITUDES

Un sistema de medición muy particular entre los Tucanos y Cúbeos es el tendido, la vuelta, el paso, la mano entera, los dos dedos índice y pulgar y los cuatro dedos; estas medidas son catalogadas así:

- El tendido son longitudes extensas en los riachuelos y ríos que van desde media hora hasta 2 o 3 horas.

- Una vuelta un recodo de los ríos o riachuelos oscilan entre 20 y 40 minutos, con motores fuera de borda. A remo el tiempo se triplica.

- Un paso se utiliza para la construcción de viviendas y mide más o menos entre 80 y 90 cm.


- Una mano más o menos 18 y 20 cm. (cuarta). - Dos dedos entre 10 y 12 cm. (geme). - Cua t ro dedos ent re 6 y 8 cm. p a r a med idas m á s pequeñas , se utiliza

1 dedo, 2 dedos, etc.

TALLER N° 3

1. Para recorrer un tendido de 2:30 horas, se gastan 1 1/4 de galón de gasolina. ¿Cuanta gasolina se gastará para ir de Mitú a San Javier que tiene 9 tendidos de 3, 2, 2, 4 1/4, 1, 2, 1 Vi, de horas?

2. ¿Qué relación hay entre las comunidades de Mitú - Yurupari y Mitú -Hitapinima?. Observa.

Para ir de Mitú a Yurupari se pasa por Mitú-cachlvera, Puerto Vaupés, Puerto Corroncho, Bocas del Yí, Santa Rosa, Los Cerros y Caño Ti. Cada comunidad está a un promedio de 12 Km. Para Ir de Mitú a Hitapinima hay 84 Km

3 . Mariquina desea su casa de 12 X 7 m. que corresponde al espacio que puede cubrir con 70 laminas de zinc que le regalo Inurbe ¿ qué debe hacer?

a. Pide el favor a su esposo de medir el terreno con sus pasos. b . Coloca la lamina en el suelo de tal forma que cubra el espacio que desea. c. Mide en cuartas el terreno. d. Deja el zinc, has ta que su hijo que solo tiene tres años aprenda alguna

manera de medir. e. Ninguna de las anteriores. 4. Juancho a pesar de que es paisano (indio) le gustan las casas pulidas.

Armó su casa con pasos, cuartas y nivelo a ojo. Ahora desea hacer unas ventanas grandes y lujosas con vidrios y todo. Pero no tiene una medida exacta para que le quede bien. ¿Qué hacer?

a. Mide cada palo, lo marca con un carbón y lo aplana con el machete. b . Mide con sus 2 dedos los cuatro palos de la ventana y los pule según su

medida. c. Pide ayuda a Estanislao su padre para que lo oriente. d. Finalmente saca una medida patrón en un trozo de palo de 6 dedos y

comienza a aplicarla como medida estándar.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS PRESENTES EN LA CESTERÍA VAUPENSE

J o s é Barboza González - Mario Ramírez Bonilla Mitú - Vaupés

TALLER N° 1

TRASLACIÓN Y SUS PROPIEDADES

Una traslación de una figura en un plano es un deslizamiento que consiste en empujar la figura desde una posición a otra sin dejarla girar al mismo tiempo. Para trasladar una figura deben tenerse en cuenta los siguientes elementos:

1. La dirección del desplazamiento es representado por un segmento orientado. 2. La magnitud del desplazamiento es el número de unidades desplazzadas.

A d W I D A D E S 1. Desplazar el rombo de la figura 6 unidades a la derecha.

2. Trasladar el triángulo cuyos vértices son: A (1 , 3), B ( 3 , 5 ) , C ( 2 , 7 ) cinco unidades hacia la izquierda, y determinar cuáles son las coordenadas del triángulo imagen.


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3. Trasladar el polígono de la figura 3 unidades hacia arr iba y 4 unidades hacia la izquierda.

7

6

5

4

3

2

1

i k

1 2 3

~

4 6

I -

7

-L

8 9

-i

10 1 12

-

13 14

¿Cuáles son las coordenadas de la pr imera traslación de la figura? ¿Las coordenadas obtenidas por la segunda traslación? ¿Existe una traslación equivalente a las dos traslaciones?

4. Ahora traslade el polígono de la figura, primero 4 unidades hacia la izquierda y luego 3 unidades hacia arriba.

¿Qué puede concluirse del orden en que se efectúan las traslaciones?

La composición de traslaciones es una operación, si V y T son traslaciones, la composición se denota por V o T, y significa que primero se ha de realizar la traslación T y luego la traslación V

5. En el triángulo de vértices A (1,3), B(3,5) , C(2,7), considere las siguientes traslaciones:

T,: 4 unidades a la derecha T2: 2 unidades hacia abajo T • 2 unidades hacia la derecha

Efectúe las siguientes traslaciones:

a. ( T, o T2 ) o T3 (significa que al resultado de efectuar las traslaciones T1 y T2 se le debe aplicar la traslación T3.


T n I ^ L 3 J

¿Qué puede concluirse de la forma en que puede efectuarse la composición de más de dos traslaciones?

6. Traslade el triángulo cuyos vértices son: A (1,3), B (3,5), C (2,7) cero unidades hacia la derecha y cero unidades hacia arriba. ¿Cuáles son sus nuevos vértices?

La traslación anterior se denota por T , se denomina traslación nula, porque se deja la figura en el mismo lugar.

7. Traslade el triángulo cuyos vértices son: A (1,3), B (3,5), C (2,7) 3 unidades hacia la izquierda. ¿Cuáles son los vértices del triángulo imagen? ¿Qué traslación devuelve el triángulo a su posición inicial?

Esta traslación se denomina traslación inversa de T y se denota por T ' . Además cumple la propiedad T ' o T = T o T ' = T

8. Trasladar el triángulo de la figura mediante T} o T2 y determinar sus coordenadas.

¿Cuál es la traslación resultante d e T l D T 2 ?

La composición de traslaciones produce otra traslación, luego la composición es una operación cerrada.

El conjunto de las traslaciones es un conjunto infinito y la composición de t ras laciones que cumple con las p rop iedades clausurat ivas , modulat iva, asociativa, tiene es t ructura de grupo. Como además cumple la propiedad conmutativa se le llama grupo abeliano.



TALLER N° 2

ROTACIÓN Y SUS PROPIEDADES

Dibuje un triángulo ABC en una hoja de papel, que l lamaremos M, y luego cálquelo en otra hoja de papel, que l lamaremos N, superponga las dos hojas M y N colocando encima una de otra.

Marque el punto A del triángulo (punto fijo durante la rotación ) y clave la punta del compás en dicho punto. Gire N hacia la Izquierda alrededor de A (sentido contrario de la agujas del reloj). Marque los puntos A, B, C, a través del papel N y dibuje el triángulo imagen A'B'C.

Mediante este movimiento, ¿qué punto no cambia de posición?

Este deslizamiento que se ha realizado en el plano para obtener el triángulo A'B'C a partir del triángulo ABC. se denomina una rotación.

Una rotación es un tipo de desplazamiento que consiste en girar la figura alrededor de un punto fijo que se llama centro de rotación; para rotar una figura deben tenerse en cuenta tres elementos:

1. Locallzación del centro de giro o de rotación. 2. Amplitud del ángulo de giro o de rotación. 3. Sentido del giro o de la rotación. (En el sentido de las manecillas del reloj,

negativo -, en el sentido contrario a las manecillas del reloj, positivo + ).

ACTnriDAD 1

Considerar el triángulo ABC de la figura, y el punto C del triángulo fijo, rotar el triángulo ABC con una amplitud de 30° en el sentido positivo. Con el compás haciendo centro en C se trazan círculos consecutivos que pasan por los puntos A y B de la figura. Se toma el segmento AC y con el t ransportador se mide un ángulo de 30° a partir del segmento AC, para localizar A. Del mismo modo, se encuentra B'.

En la actividad mediante una rotación R de 30° respecto a un determinado punto, puede hallarse la imagen del triángulo dado. Es posible encontrar una rotación que regrese la figura imagen a la posición inicial.

¿Con respecto a la actividad, cuál sería la amplitud y sentido de esta rotación?


Esta rotación con respecto al mismo punto, pero girando 30° en sentido negativo se denomina la rotación inversa y la denotamos por R.

La rotación que deja la figura igual, de amplitud 0o se denimina rotación nula o idéntica, y se denota por RQ.

ACTIVIDAD 2

A partir del triángulo ABC de la figura y tomando un punto fijo R trace las rotaciones:

Rj: 45° en el sentido positivo y luego en la imagen obtenida. R2: 90° en el sentido positivo. ¿El resultado final lo podrías hallar mediante una sola rotación? ¿Cuál serla

la magnitud y sentido de esta rotación? El resultado de efectuar la rotación R¡ y a

contunuación la rotación R2 es otra rotación llamada la compuesta de Rl Y R2 y se denota por R2

o R r si R3: giro de 135° en el sentido positivo entonces R2 o Rj = R3.

oR 2 . Halle Rt

¿Cómo son R„ o R , y R, o R2?

ACTFVIDAD 3 • P

Considerar el polígono ABCD de la figura y como centro de giro el punto B, R v

R2, y R3 las siguientes rotaciones. Rj¡ Una rotación de 70° en el sentido negativo. R2: Una rotación de 30° en el sentido negativo. R3. Una rotación de 120° en el sentido positivo.

¿Cuál es la magnitud y sentido de R3 o R2? Halle (R3 o R2) o R1

¿Cuál es la magnitud y sentido de R2 o RL? Halle R3 o (R2 o Rt) ¿Cómo son las imágenes obtenidas aplicando (R3 o R2) oRj y R3 o (R2 o R J ?

Estas propiedades nos permiten decir que el conjunto de todas las rotaciones con un mismo centro en el plano, es un conjunto infinito. Este conjunto junto con la operación composición de rotaciones (que cumple las propiedades clausurativa, asociativa, modulativa e invertiva) tiene estructura de grupo. Además cumple la propiedad conmutativa, por tal razón el grupo es abaliano o conmutativo.

7

6

5

4

3

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B

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A

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TALLER N° 3

ACTIVIDAD 1

REFLEXIONES Y SUS PROPIEDADES

Tome una hoja de papel y dibuje en la mitad de la hoja una figura como la siguiente:

Doble la hoja y con la punta del compás perfore los puntos A,B,C,D,E,F obteniendo al otro lado los puntos A',B',C",D',E',F'. Únalos y obtenga la figura A'B'C'D'E'F'.

Este tipo de movimiento se denomina un areflexión, con respecto a la línea de doblez.

Ejemplo: Encontrar la imagen del triángulo ABC tomando como eje de reflexión la recta 1 dada (esto se denota r^

F

/ A

C

B

E

D

A par t i r de los pun tos A,B,C se t razan rectas perpendiculares a la recta 1 y sobre el otro lado se toman dis tancias iguales a las que tiene en el lado Izquierdo.

r1(ABC)=A B' C


ACTIVIDAD 2

Encontrar la imagen de la figura mediante la reflexión con respecto a 1, es decir ríABCD).

ACTIVIDAD 3 1 1

Hallar la imagen del triángulo ABC luego de aplicársele r( y rm

La imagen obtenida se denota por (rm o rl )(ABC) = A"B"C". ¿Hay alguna reflexión que nos lleve el triángulo ABC sobre A"B"C"?

ACTIVIDAD 4

Reflexionar la figura ABCD mediante r, y r ,

1 J m '

es decir, hallar (r o r, ) (ABCD)


¿Hay alguna reflexión que nos lleve de la figura ABCD a A"B"C"D"? ¿Se podría afirmar que ' 'la composición de dos reflexiones de ejes paralelos

es una traslación? ¿Se podría afirmar que ' 'la composición de dos reflexiones de ejes no para

lelos es una rotación"? ¿Cumple la composición de dos reflexiones la propiedad clausurativa? ¿Puede ser el conjunto de las reflexiones en el plano un grupo?

ACTHflDAD 5

Hallar rl (ABC) según la figura

¿Hay alguna reflexión que devuelva el triángulo A'B'C a su posición inicial?

i

La llamamos la reflexión Inversa y la denotamos por r ' Hallar (r,'o r,)(ABC)


Teniendo en cuenta la figura, hallar: r, o (r o r. )

1 v m t '

( r , o r ) o r v 1 m ' ¿Cómo son r, o (r o r ) y (r, o r ) o r ?

1 m t J v 1 m ' t

ACTIVIDAD 7

Teniendo en cuenta la figura, hallar. a) r. o r b) r o r,

m 1

¿Son iguales r, o r y r o r,? £> 1 m J m 1

t 1

¿El conjunto de las traslaciones con la operación composición tiene estructura de grupo?

1 9 8 COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

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TALLER No 4

SIMETRÍAS ACTIVAS Y SUS PROPIEDADES

ACTIVIDAD 1

En una cartulina recorte un cuadrado de lado 5 cm, trace sus diagonales y determine el centro O, marque sus vértices con A,B,C, y D. En un papel trace la silueta del cuadrado ABCD, haga coincidir el cuadrado dibujado con el cuadrado recortado, superponiéndolos. Coloque la punta del compás en el punto O, gire el cuadrado superpuesto así:

Rj¡ Un cuarto de vuelta en el sentido positivo. ¿Coincide el cuadrado girado con el dibujado? ¿Coinciden los vértices del cuadrado girado con el dibujado? R2: Media vuelta en el sentido positivo. ¿Coincide el cuadrado girado con el dibujado? ¿Coinciden los vértices del cuadrado girado con el dibujado? R3: Tres cuartos de vuelta en el sentido positivo. ¿Coincide el cuadrado girado con el dibujado? ¿Coinciden los vértices del cuadrado girado con el dibujado? R4: Un octavo de vuelta en el sentido positivo. ¿Coincide el cuadrado girado con el dibujado? ¿Coinciden los vértices del cuadrado girado con el dibujado? ¿Que pasaría con el giro R0 de una vuelta completa? Realícelo. ¿Coincide el cuadrado girado con el dibujado? ¿Coinciden los vértices del cuadrado girado con el dibujado? ¿Es R2 o R, R

3 ?

Calcule a) R 2 o R 3

b) R, o R,

De acuerdo con lo anterior complete la siguiente tabla:

O

Ro

Ri

R2

R3

Ro

Ro

Ri

R2

R3

Ri

Ri

R2

R2

R2

R3

R3

R3

Ro


ACTIVIDAD 2

En el cuadrado de cartulina trace las rectas señaladas en el dibujo adjunto, y superpóngalo en el dibujo luego de aplicar:

Rd (Reflexión sobre la diagonal dj) ¿Coincide el cuadrado reflexionado y el dibujado? ¿Coinciden sus vértices? b) Rd2 (Reflexión sobre la diagonal d2) ¿Coincide el cuadrado reflexionado y el dibujado? ¿Coinciden sus vértices? Rtl (Reflexión sobre la vertical t t) ¿Coincide el cuadrado reflexionado y el dibujado? ¿Coinciden sus vértices? Rt2 (Reflexión sobre la horizontal t¡) ¿Coincide el cuadrado reflexionado y el dibujado? ¿Coinciden sus vértices?

Rt3 (Reflexión sobre la horizontal t3) ¿Coincide el cuadrado reflexionado y el dibujado? ¿Coinciden sus vértices?

A las rotaciones o reflecclones que hacen que una figura caiga exactamente sobre la figura en la posición inicial, las l lamamos simetrías activas

ACTIVIDAD 3

Determinar si las siguientes parejas de figuras son o no simétricas entre si, identificando los ejes de simetría si los hay.

\

n \

A

i

1

K

r

c

B

ch

di

b

t2


Dos figuras son simétricas entre sí cuando una puede obtenerse como el resul tado de haber aplicado un movimiento a la otra.

ACTIVIDAD 4

Dibuje 5 figuras que tengan al menos dos simetrías activas. Dibuje dos figuras que no tengan simetrías activas.

ACTIVIDAD 5

Considerar todas las simetrías activas de un cuadrado, dadas por las siguiente figura:

Reflexiones: rd l . rd2, r t l. r a

Rotaciones: R0 : Idéntica Rj : Un cuarto de vuelta en el sentido positivo. R„ : Media vuelta en el sentido positivo. RQ : Tres cuartos de vuelta en el

X D

A

i

\

i*>

'

1tAl

C

B

di sentido positivo.

De acuerdo con lo anterior calcular:

a ' r d i o r d 2

b) R0 o R, c ) r d i ° r t i d) Rj o r t2

¿Es clausurativa la composición de simetrías activas? Completar la tabla de la derecha:

¿Es la composición de simetrías activas, invertlva, asociativa, modulativa, conmutativa? ¿El conjunto de simetrías activas con la operación composición forman un grupo?¿El conjunto de las simetrías activas con la composición forman un grupo abellano?

O

Ro

Ri

R2

R3

rdi

Td2

r t i

Xa

Ro

Ro

Ri

R2

Rs

rdi

Ri

Ri

R2

R2

R2

R*

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2 0 4 COMPETENCIAS Y PROYECTOS DE AULA

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TALLER 5

SIMETRÍAS ACTIVAS EN FIGURAS GEOMÉTRICAS DE LA CESTERÍA VAUPENSE

ACTIVIDAD

En un papel cuadriculado dibuje las figuras geométricas presentes en las artesanías entregadas a su grupo.

Encuentre la imagen de las figuras dadas mediante las rotaciones: R0 : Una vuelta en el sentido positivo, y centro en R Rx : Un cuarto de vuelta en el sentido positivo, y centro en R R2 : Media vuelta en el sentido positivo, y centro en R R3 : Tres cuartos de vuelta en el sentido positivo, y centro en R

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Figura 1 Figura 2

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Figura 3 Figura 4


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Figura 5 Figura 6

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Figura 7

Encuentre la imagen de las figuras dadas mediante las reflexiones señaladas.

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Figura 1 Figura 2


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F4

Figura 5 Figura 6

k\

X 1 X

; /

v

1/ 1 rz

N. i

x̂ r<

Figura 7


Para cada figura establezca cuáles reflexiones y rotaciones son simetrías activas. EJEMPLO: Figura 1 : r2

¿Cuál de todas las figuras tiene mayor número de simetrías activas? Con base en la figura 7, complete la tabla:

O

Ro

Ri

R2

R3

Tdl

Td2

n i

rt2

Ro

Ro

Ri

Ri

R3

Tdl

Ri

Ri

R2

Ri

R2

R3

R3

R3

Ro

Fdl

Tdl Rd2 r t i

r t2

ri2

R3

¿El conjunto de las simetrías activas de la figura 7 con la operación composición forman un grupo?

¿Forman un grupo conmutativo?

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CULTURAS Y ESCOLARIDAD 2 0 9

TALLER N° 6

ELEMENTOS DE ALGEBRA PRESENTES EN LA CESTERÍA DEL VAUPÉS

ACTIVIDAD 1

Hallar el área y el perímetro de las figuras 1 a 7 (tómese como unidad de área un cuadrado de la cuadrícula y como unidad de longitud su lado).

H] L\

Figura1 Figura 2

i*

i_r H J

Figura 3 Figura 4


I i !

[ J \ j [ __̂

i |__4 <° } ' x ,

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i | J ~ | i f l ¡ l ' |

1

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' | \

1

Figura 5 Figura 6

1 j l l 1 ! ! ! i J 1 i

^ ^ H ; k

1 , 1 i L J

E X

ACTIVIDAD 2

Figura 7

Si definimos el orden de las figuras siguientes como el número de unidades cuadradas en la fila mayor, establezca una expresión algebraica para determinar el área de la figura en función del orden.

Establezca una expresión algebraica para determinar el perímetro en función del orden.


i i

1 1 1 1

I : \ \ 1 n n n F N i O R D E N

1 1 1 . , i |l 1 i 1 i

1 1 1

1

OBDFN 5

1 1

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j

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1

X

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i | i

i i

J ORÍ FN7

J)EN 4

1 •


ACTIVIDAD 3 Si definimos el orden de las figuras anteriores como el número de unidades

cuadradas en la fila mayor, establezca una expresión algebraica para determinar el área de la figura en función del orden.

Establezca una expresión algebraica para determinar el perímetro en función del orden.


TALLER N° 7

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN UN MOTIVO ARTESANAL DE LA CESTERÍA DEL VAUPÉS

D o

ORDEN? ORDEN 11

Si definimos el orden de las figuras anteriores como el número de unidades cuadradas en la fila mayor, establezca la relación existente entre el área de la figura y su orden.

ACTIVIDAD 1

- Elabore una tabla de valores con el orden de las figuras dadas y la medida del área correspondiente.

- Trace la gráfica del área de las figuras dadas en función del orden. - Elabore una tabla de valores con el cuadrado del orden de las figuras

dadas y su área. - Trace una gráfica del área de las figuras dadas en función del cuadrado

del orden.


ACTIVIDAD 2

Resuelve las siguientes preguntas: - ¿El gráfico del área de las figuras dadas en función del orden representa

una función? En caso afirmativo. ¿Qué tipo de función? - ¿El gráfico del área de las figuras dadas en función del cuadrado del orden

representa una función? En caso afirmativo. ¿Qué tipo de función? - ¿Cuál es la ecuación que define la gráfica del área de las figuras dadas en

función del cuadrado del orden?

ACTIVIDAD 3

- ¿Cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas y por qué? a) f(x) = x2

b) y = 3 x - l c) f(x) = 4x2 + 1 d) f(x) = 5 e) y = 5 / 2 x 2 - l / 2 x - l - Gráfica la función h(x) = -3x2 +4x - 1

lü


FUNCIÓN LINEAL EN UN MOTIVO ARTESANAL DE LA CESTERÍA DEL VAUPÉS

ORDEN 1

ORDEN 3

a OREEN 2

n r

ORDEN 4

1 —1

Si definimos el orden de las figuras anteriores como el número de unidades cuadradas de la fila mayor, establezca la relación existente entre el orden de las figuras y su perímetro.

ACTIVIDAD 1

a) Elabore una tabla de valores con el orden y el perímetro respectivo de las figuras dadas.

b) Realice una gráfica con la tabla de valores obtenida, donde relacione el perímetro y el orden de las figuras dadas. ¿La gráfica obtenida representa una función? En caso afirmativo. ¿Qué tipo de función?

c) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál la independiente? d) ¿Cuál es el valor de m (pendiente) y cuál el valor de b (intersecto con la

ordenada)? e) ¿Cuál es la ecuación que define la gráfica de la ecuación obtenida?


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CAPITULO 6 DESARROLLO DE COMPETENCIAS EN … · pantes tienen formación en el nivel de licenciatura, ... los procedimientos y los algoritmos, o en el desarrollo del ... son de destacar