capítulo 6 segunda parte

1

ASIGNATURA TOPOGRAFÍA APLICADA A LA INGENIERÍA

TEMA 6Planimetría de obrasPlanimetría de obras

CLOTOIDESCLOTOIDES

E.T.S.I. TOPOGRAFÍA, GEODESIA Y CARTOGRAFÍA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

GRADO EN INGENIERÍA GEOMÁTICA Y TOPOGRAFÍA

�� Tema 6Tema 6�� Planimetría de obrasPlanimetría de obras

�� Sistema de coordenadas de un proyectoSistema de coordenadas de un proyecto�� Estado de Estado de alineaciones.Encajealineaciones.Encaje planimétricoplanimétrico de de

una planta.una planta.�� Curvas circularesCurvas circulares. Aplicación y cálculo.. Aplicación y cálculo.�� Curvas de transición. Curvas de transición. ClotoidesClotoides.Aplicación.Aplicación y y

cálculo.cálculo.�� Cálculo de coordenadas absolutas de un trazado . Cálculo de coordenadas absolutas de un trazado .

MetrificaciónMetrificación�� Datos finales de replanteo Datos finales de replanteo planimétricoplanimétrico

ACUERDOS EN PLANTA.ACUERDOS EN PLANTA.INTRODUCCIÓN. IDEAS GENERALESINTRODUCCIÓN. IDEAS GENERALES

A partir de la Norma 3.1 A partir de la Norma 3.1 –– IC,Instrucción de CarreterasIC,Instrucción de Carreteras introducimos algunas introducimos algunas definiciones cuyo conocimiento es aconsejable para el estudio podefiniciones cuyo conocimiento es aconsejable para el estudio posterior de sterior de los acuerdos planimétricos.los acuerdos planimétricos.

�� Clases de carreteras. Clases de carreteras.

11 Según su definición legal, atendiendo a sus características esenSegún su definición legal, atendiendo a sus características esenciales, se ciales, se distinguen los siguientes tipos de carreteras:distinguen los siguientes tipos de carreteras:

�� Autopistas ( AP ) Autopistas ( AP ) –– 120, 100, 80 120, 100, 80 ( Las cifras representan la velocidad ( Las cifras representan la velocidad de Proyecto, a definir posteriormente ).de Proyecto, a definir posteriormente ).

�� Autovías ( AV ) Autovías ( AV ) –– 120, 100, 80120, 100, 80�� Vías rápidas ( R ) Vías rápidas ( R ) –– 100, 80100, 80�� Carreteras Convencionales ( C ) Carreteras Convencionales ( C ) –– 100, 80, 60, 40100, 80, 60, 40

22 Por el número de calzadas:Por el número de calzadas:�� Con Calzadas separadas Con Calzadas separadas �� Autopistas y AutovíasAutopistas y Autovías


�� Clases de carreteras.Clases de carreteras.

33 Según el grado de control de accesos :�� Sin acceso a propiedades colindantesSin acceso a propiedades colindantes�� Con acceso limitado a propiedades colindantesCon acceso limitado a propiedades colindantes�� Con accesos directos autorizadosCon accesos directos autorizados

44 Según las condiciones orográficas :Según las condiciones orográficas :�� Llano : menos del 5%Llano : menos del 5%�� Ondulado : entre el 5% y el 15%Ondulado : entre el 5% y el 15%�� Accidentado : del 15% al 25%Accidentado : del 15% al 25%�� Muy Accidentado : más del 25%Muy Accidentado : más del 25%

55 Según las condiciones de entorno :Según las condiciones de entorno :�� Tramos urbanosTramos urbanos�� Tramos interurbanosTramos interurbanos


�� Tipos de Proyectos :Tipos de Proyectos :�� Nuevo trazadoNuevo trazado�� Duplicación de calzada ( Desdoblamiento )Duplicación de calzada ( Desdoblamiento )�� Acondicionamiento = Acondicionamiento = ModfModf. . caractcaract. Geométricas. Geométricas�� Mejoras locales = Mejoras locales = ModfModf. . caractcaract. . geométgeomét. de . de

elemen.aisladoselemen.aislados

�� Velocidad de TrazadoVelocidad de Trazado = f (velocidad a la que se desea que = f (velocidad a la que se desea que circulen los vehículos con seguridad y comodidad )circulen los vehículos con seguridad y comodidad )

Los factores esencialmente variables son: Los factores esencialmente variables son: �� Composición del tráfico.Composición del tráfico.�� Relación intensidad de la circulación.Relación intensidad de la circulación.�� Capacidad carretera.Capacidad carretera.


�� Velocidad específica de UN ELEMENTO DE TRAZADO (Ve)Velocidad específica de UN ELEMENTO DE TRAZADO (Ve)::Máxima velocidad que puede mantenerse a lo largo de un elemento Máxima velocidad que puede mantenerse a lo largo de un elemento de de trazado considerado aisladamente, en condiciones de seguridad y trazado considerado aisladamente, en condiciones de seguridad y comodidad, cuando, encontrándose el pavimento húmedo y los comodidad, cuando, encontrándose el pavimento húmedo y los neumáticos en buen estado, las condiciones meteorológicas, del tneumáticos en buen estado, las condiciones meteorológicas, del tráfico y ráfico y legales son tales que no imponen limitaciones a la velocidad.legales son tales que no imponen limitaciones a la velocidad.

�� Ejemplo de elemento , una curva circular.Ejemplo de elemento , una curva circular.

�� Velocidad de proyecto DE UN TRAMO (Velocidad de proyecto DE UN TRAMO (VpVp)):: Velocidad que permite Velocidad que permite definir las características geométricas mínimas de los elementosdefinir las características geométricas mínimas de los elementos de de trazado, en condiciones de comodidad y seguridad.trazado, en condiciones de comodidad y seguridad.

�� Ejemplo de tramo , rectas enlazada con curvas circulares y Ejemplo de tramo , rectas enlazada con curvas circulares y clotoidesclotoides

�� La velocidad de proyecto de un tramo se identifica con la La velocidad de proyecto de un tramo se identifica con la velocidadvelocidad específica mínimaespecífica mínima del conjunto de elementos que lo del conjunto de elementos que lo forman.forman.



�� Velocidad de planeamiento de un tramo (V)Velocidad de planeamiento de un tramo (V):: Media armónica de las velocidades Media armónica de las velocidades específicas de los elementos de trazado en planta de tramos homoespecíficas de los elementos de trazado en planta de tramos homogéneos, de longitud superior géneos, de longitud superior a 2 Km., dada por la expresión:a 2 Km., dada por la expresión:

��

�� donde : donde : lKlK = longitud del elemento k = longitud del elemento k �� vekvek = velocidad específica del elemento k= velocidad específica del elemento k

�� Al estudiar el trazado de un tramo se calculará la velocidad de Al estudiar el trazado de un tramo se calculará la velocidad de planeamiento y se comparará planeamiento y se comparará tanto con la velocidad de proyecto como con las velocidades de ptanto con la velocidad de proyecto como con las velocidades de planeamiento de los tramos laneamiento de los tramos adyacentes, para estimar la homogeneidad de la geometría del traadyacentes, para estimar la homogeneidad de la geometría del tramo.mo.

�� Las velocidades de proyecto y de planeamiento que se adopten estLas velocidades de proyecto y de planeamiento que se adopten estarán, en general, definidas arán, en general, definidas por los estudios de carreteras correspondientes, en función de lpor los estudios de carreteras correspondientes, en función de los siguientes factores:os siguientes factores:

�� Las condiciones topográficas y del entorno.Las condiciones topográficas y del entorno.�� Las consideraciones ambientales.Las consideraciones ambientales.�� La consideración de la función de la vía dentro del sistema de tLa consideración de la función de la vía dentro del sistema de transporte.ransporte.�� La homogeneidad del trayecto.La homogeneidad del trayecto.�� Las condiciones económicas.Las condiciones económicas.�� Las distancias entre accesos y el tipo de los mismosLas distancias entre accesos y el tipo de los mismos..

∑

∑

=

ke

K

K

vl

l v


�� TRAZADO EN PLANTATRAZADO EN PLANTA:: Se compone de tramos rectos, curvas Se compone de tramos rectos, curvas circulares y de transición. La definición del trazado en planta circulares y de transición. La definición del trazado en planta se se referirá a un eje, que define un punto en cada sección referirá a un eje, que define un punto en cada sección transversal. Salvo excepciones, se adoptará para la definición transversal. Salvo excepciones, se adoptará para la definición del eje:del eje:

�� En carreteras de calzadas separadas: En carreteras de calzadas separadas: �� El centro de la mediana, si es de anchura constante ó con El centro de la mediana, si es de anchura constante ó con

variación de anchura simétrica.variación de anchura simétrica.�� El borde interior de la calzada a proyectar en el caso de El borde interior de la calzada a proyectar en el caso de

duplicaciones.duplicaciones.�� El borde interior de cada calzada en cualquier casoEl borde interior de cada calzada en cualquier caso..

�� En carreteras de calzada única:En carreteras de calzada única:�� El centro de la calzada, sin tener en cuenta eventuales carrilesEl centro de la calzada, sin tener en cuenta eventuales carriles

adicionales.adicionales.


�� Alineaciones rectasAlineaciones rectas:: Para evitar problemas relacionados con el cansancio, Para evitar problemas relacionados con el cansancio, deslumbramientos, excesos de velocidad, etc., es deseable limitadeslumbramientos, excesos de velocidad, etc., es deseable limitar las r las longitudes máximas de las alineaciones rectas, y para que se prolongitudes máximas de las alineaciones rectas, y para que se produzca una duzca una acomodación y adaptación a la conducción es deseable establecer acomodación y adaptación a la conducción es deseable establecer unas unas longitudes mínimas de alineaciones rectas,longitudes mínimas de alineaciones rectas,

�� Las expresiones que dan los valores mínimo y máximo, en función Las expresiones que dan los valores mínimo y máximo, en función de la de la velocidad de proyecto, son los siguientes:velocidad de proyecto, son los siguientes:

��

�� siendo :siendo :

�� Lmin.SLmin.S = longitud mínima, en metros, para trazados en S. = longitud mínima, en metros, para trazados en S. Lmin.OLmin.O = longitud mínima, en metros, para el resto de los casos.= longitud mínima, en metros, para el resto de los casos.LmáxLmáx = longitud máxima.= longitud máxima.VpVp = velocidad de proyecto (= velocidad de proyecto (VpVp ) en ) en kmkm/h./h.

P máx.

PO min.

PS min.

V 16.70 L

V 2.78L

V 1.39L

===


�� CURVAS CIRCULARESCURVAS CIRCULARES::�� La velocidad, el radio, el peralte y el coeficiente de rozamientLa velocidad, el radio, el peralte y el coeficiente de rozamiento transversal o transversal

se relacionan por la formula:se relacionan por la formula:�� siendo :siendo :

�� V = velocidad, en V = velocidad, en kmkm / h/ h�� R = radio de la circunferencia, en metrosR = radio de la circunferencia, en metros�� ftft = coeficiente de rozamiento transversal movilizado= coeficiente de rozamiento transversal movilizado�� p = peralte, en %p = peralte, en %

�� En general, el desarrollo En general, el desarrollo mínimo mínimo de la curva se corresponderá con una de la curva se corresponderá con una variación de azimut entre sus extremos mayor o igual a 20 gradosvariación de azimut entre sus extremos mayor o igual a 20 gradoscentesimales (g), pudiendo aceptarse valores entre 9g y 20g, y, centesimales (g), pudiendo aceptarse valores entre 9g y 20g, y, sólo sólo excepcionalmente, valores inferiores a 9g.excepcionalmente, valores inferiores a 9g.

+=

100p

fR 127V t

2

ACUERDOS EN PLANTA.ACUERDOS EN PLANTA.

�� EL PROBLEMA DE LA TRANSICIÓNEL PROBLEMA DE LA TRANSICIÓN..�� Las curvas de transición difieren de las curvas circulares en quLas curvas de transición difieren de las curvas circulares en que e

su radio varía constantemente. Sus fórmulas son más su radio varía constantemente. Sus fórmulas son más complejas que las usadas en las curvas circulares, así como su complejas que las usadas en las curvas circulares, así como su diseño y replanteo.diseño y replanteo.

�� Los efectos de la Los efectos de la fuerza centrífuga fuerza centrífuga ( ( FcFc)) sobre un vehículo sobre un vehículo que circule por una vía en curva. Un vehículo, de masa que circule por una vía en curva. Un vehículo, de masa mm, que , que circule, a una velocidad constante circule, a una velocidad constante vv, a lo largo de una vía , a lo largo de una vía circular de radio circular de radio rr, está sometido a una fuerza , está sometido a una fuerza

��

�� que trata de hacer seguir al vehículo una trayectoria recta.que trata de hacer seguir al vehículo una trayectoria recta.�� En el caso de una recta, donde r = , En el caso de una recta, donde r = , = 0= 0

�� En el caso de una curva de radio , En el caso de una curva de radio ,

r

mvF

2

c =

∞=

2mv Fc∞

∞≠r kr

mv Fc

2

==

CURVAS DE TRANSICIÓNCURVAS DE TRANSICIÓN

�� NECESIDAD DE TRANSICIÓN CUANDO EXISTEN CAMBIOS NECESIDAD DE TRANSICIÓN CUANDO EXISTEN CAMBIOS BRUSCOS EN LA FUERZA CENTRÍFUGA DE UN MÓVILBRUSCOS EN LA FUERZA CENTRÍFUGA DE UN MÓVIL

�� FcFc = M . V= M . V 22 / R/ R�� UTILIZACIÓN EN CARRETERAS , FERROCARRILES , CANALES .UTILIZACIÓN EN CARRETERAS , FERROCARRILES , CANALES .�� CURVAS QUE CAMBIAN SU CURVATURA ( RADIO ) DE FORMA CURVAS QUE CAMBIAN SU CURVATURA ( RADIO ) DE FORMA

PROGRESIVA DESDE UN RADIO INFINITO A UN RADIO DADO PROGRESIVA DESDE UN RADIO INFINITO A UN RADIO DADO EXACTO.EXACTO.

�� PERMITE UNA MARCHA REGULAR Y CÓMODAPERMITE UNA MARCHA REGULAR Y CÓMODA�� MEJORA LA VISIBILIDAD DEL TRAZADOMEJORA LA VISIBILIDAD DEL TRAZADO�� SE ADAPTA MEJOR AL PAISAJE QUE LAS CURVAS CIRCULARES Y SE ADAPTA MEJOR AL PAISAJE QUE LAS CURVAS CIRCULARES Y

RECTASRECTAS�� REDUCE EL MOVIMIENTO DE TIERRAS EN LOS TRAZADOSREDUCE EL MOVIMIENTO DE TIERRAS EN LOS TRAZADOS�� REDUCE EL IMPACTO MEDIOAMBIENTALREDUCE EL IMPACTO MEDIOAMBIENTAL�� MEJORA LA ATENCIÓN DEL CONDUCTOR AL NECESITAR MOVER EL MEJORA LA ATENCIÓN DEL CONDUCTOR AL NECESITAR MOVER EL

VOLANTE CONSTANTEMENTEVOLANTE CONSTANTEMENTE

CURVAS DE TRANSICIÓNCURVAS DE TRANSICIÓN�� LONGITUD DE TRANSICIÓNLONGITUD DE TRANSICIÓN�� LONGITUD DE ARCO UTILIZADO PARA PASAR DE UN RADIO LONGITUD DE ARCO UTILIZADO PARA PASAR DE UN RADIO

INFINITO A UNO DADO.INFINITO A UNO DADO.�� SE SUELE OBTENER DE UNA NORMATIVA DE CARRETERAS QUE SE SUELE OBTENER DE UNA NORMATIVA DE CARRETERAS QUE

CONTIENE COMO DATOS DE ENTRADA :CONTIENE COMO DATOS DE ENTRADA :�� VELOCIDAD ESPECÍFICA DEL TRAMOVELOCIDAD ESPECÍFICA DEL TRAMO�� RADIO FINALRADIO FINAL�� PERALTEPERALTE�� TIPO DE CALZADATIPO DE CALZADA

�� NECESIDAD DE TRANSICIÓNNECESIDAD DE TRANSICIÓN�� EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA CURVA Y DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA CURVA Y DE LA VELOCIDAD

ESPECÍFICA DEL TRAMOESPECÍFICA DEL TRAMO�� POR TANTO EN VIALES DE VELOCIDAD REDUCIDA ( 50KM/H POR TANTO EN VIALES DE VELOCIDAD REDUCIDA ( 50KM/H

ZONAS URBANAS ) NO SE APLICAN ( CIUDADES Y ZONAS URBANAS ) NO SE APLICAN ( CIUDADES Y URBANIZACIONES )URBANIZACIONES )

�� EN TRAMOS CON CURVAS DE RADIO MUY GRANDE NO SON EN TRAMOS CON CURVAS DE RADIO MUY GRANDE NO SON NECESARIAS.NECESARIAS.

ACUERDOS EN PLANTA.ACUERDOS EN PLANTA.�� vv es la velocidad de proyecto definida para ese es la velocidad de proyecto definida para ese tramotramo, y suele ser , y suele ser

respetada por el 85% de los vehículos que circulan por ese tramorespetada por el 85% de los vehículos que circulan por ese tramo, , pudiéndose considerar, pues, una valor constante.pudiéndose considerar, pues, una valor constante.

�� Así pues, diremos que Así pues, diremos que FcFc es proporcional a es proporcional a 1/r1/r ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ si si r r →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞ , Fc , Fc →→→→→→→→ 00�� Consecuentemente, un vehículo que se encuentre circulando por unConsecuentemente, un vehículo que se encuentre circulando por un tramo tramo

recto está sometido a una recto está sometido a una FcFc = 0;= 0;en el punto en el punto �� T T –– dx : Fc = 0dx : Fc = 0��

T + dx : Fc = kT + dx : Fc = k

��

�� en en TT el vehículo pasa de no estar sometido a ninguna fuerza centrífuel vehículo pasa de no estar sometido a ninguna fuerza centrífuga (en ga (en T T –– dxdx), a estar sometido a un cierto valor de ), a estar sometido a un cierto valor de FcFc (en (en T+dxT+dx), produciendo ), produciendo una variación, importante en las condiciones de marcha del vehícuna variación, importante en las condiciones de marcha del vehículo, ulo, fundamentalmente en la seguridad y en el confort.fundamentalmente en la seguridad y en el confort.

T

T – d x

T + d x

ACUERDOS EN PLANTA. ACUERDOS EN PLANTA. CURVAS DE TRANSICIÓNCURVAS DE TRANSICIÓN

�� ““CURVAS DE TRANSICIÓN”CURVAS DE TRANSICIÓN” , , entendiendo por tal entendiendo por tal aquéllasaquéllas cuyo radio cuyo radio varía constantemente, desde r = ∞, a un valor de r = kvaría constantemente, desde r = ∞, a un valor de r = k

�� Si en Si en CC, punto de tangencia de una alineación recta y una curva, el rad, punto de tangencia de una alineación recta y una curva, el radio de io de ésta es ésta es r = ∞, r = ∞, en ese punto en ese punto Fc = 0Fc = 0; en un punto ; en un punto A A tal que tal que rA <rC, rA <rC, pero pero aún muy grande,aún muy grande,⇒⇒FcA ≠ 0FcA ≠ 0, pero de valor muy pequeño; igualmente, si en , pero de valor muy pequeño; igualmente, si en BB,, rB < rArB < rA⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

�� FcBFcB = k,= k, tanto más pequeño cuanto mayor sea tanto más pequeño cuanto mayor sea rBrB..

�� Vemos así cómo las Vemos así cómo las radioidesradioides permiten una permiten una “incorporación”“incorporación” paulatina y paulatina y uniforme de la uniforme de la FcFc a la marcha del vehículo que circula por un tramo a la marcha del vehículo que circula por un tramo compuesto de recta y curva, sin los efectos perniciosos vistos ecompuesto de recta y curva, sin los efectos perniciosos vistos en el caso n el caso recta recta –– curvacurva circularcircular, mejorando sensiblemente las condiciones de , mejorando sensiblemente las condiciones de seguridad y comodidad.seguridad y comodidad.

C A

B

rC

rA

rB


�� Sin embargo, para conseguir Sin embargo, para conseguir éstoésto las curvas deben tener una propiedad :las curvas deben tener una propiedad :�� Para una velocidad constante, Para una velocidad constante, vv, ,

�� ; puesto que cada curva está diseñada para una velocidad específ; puesto que cada curva está diseñada para una velocidad específica y la ica y la masa del vehículo se puede considerar constante, podemos decir qmasa del vehículo se puede considerar constante, podemos decir que .ue .

�� Si la fuerza centrífuga ha de ser introducida uniformemente, a lSi la fuerza centrífuga ha de ser introducida uniformemente, a lo largo de la o largo de la curva de transición, aquélla ha de ser proporcional a la longitucurva de transición, aquélla ha de ser proporcional a la longitud d ll de curva de curva entre el punto de tangencia y el punto en cuestión; es decir .entre el punto de tangencia y el punto en cuestión; es decir .

r

mvFc

2

=

)r

1k(Fc =

lk'Fc =


�� La combinación de estas dos condiciones hacen que La combinación de estas dos condiciones hacen que

�� ⇒⇒ ; y si a ; y si a ⇒⇒ r l = Kr l = K

�� Si Si l = Ll = L, siendo , siendo LL la longitud total de la transición, y si la longitud total de la transición, y si r = Rr = R, siendo , siendo RR el el radio en el punto final de la transición, tendremos radio en el punto final de la transición, tendremos

�� R L = KR L = K�� Por tanto, si la curva de transición ha de introducir la Por tanto, si la curva de transición ha de introducir la FcFc de manera de manera

gradual y uniforme, se ha de cumplir que :gradual y uniforme, se ha de cumplir que :��

CA CA rArA = CB = CB rBrB = …… = K= …… = K�� que es la ecuación de una curva espiral.que es la ecuación de una curva espiral.

C

B

rB

l

lk'r

1k =

r

1

k'

k l = K

k'

k =


�� Generalmente la transición se realiza por medio de dos arcos de Generalmente la transición se realiza por medio de dos arcos de radioideradioideunidos por un arco de curva circular, de radio unidos por un arco de curva circular, de radio RR, y generalmente, las , y generalmente, las longitudes longitudes LL de ambos arcos de de ambos arcos de radioideradioide son iguales; los puntos de son iguales; los puntos de tangencia entre el arco circular y los de la tangencia entre el arco circular y los de la radioideradioide se denominan se denominan F F y y F’F’. .

�� También se admite, aunque la normativa de carreteras en España aTambién se admite, aunque la normativa de carreteras en España aconseja conseja el uso de arco circular entre los arcos de radioide, realizar elel uso de arco circular entre los arcos de radioide, realizar el acuerdo con acuerdo con sólo dos arcos de radioide, tangentes entre sí en un punto que, sólo dos arcos de radioide, tangentes entre sí en un punto que, en este en este caso, se denomina caso, se denomina FF≡≡≡≡≡≡≡≡F’F’..

�� En el primer caso el valor de En el primer caso el valor de FcFc es es máximo a lo largo de todo el máximo a lo largo de todo el elemento circularelemento circular, ya que , ya que RR adquiere ahí el valor mínimo a lo largo del adquiere ahí el valor mínimo a lo largo del acuerdo, y en el segundo, el valor acuerdo, y en el segundo, el valor máximo de máximo de FcFc se limita al punto de se limita al punto de tangencia entre los dos arcos de tangencia entre los dos arcos de radioideradioide ( F( F≡≡≡≡≡≡≡≡F’ )F’ ), creciendo desde , creciendo desde Fc Fc = 0= 0 en el punto de tangencia en el punto de tangencia CC hasta hasta Fc máximoFc máximo en en FF≡≡≡≡≡≡≡≡ F’F’, y decreciendo , y decreciendo desde ahí hasta el punto de tangencia de salida desde ahí hasta el punto de tangencia de salida C’C’..

CLOTOIDESCLOTOIDES

�� Enlace con círculo Enlace con círculo central de forma central de forma simétrica.simétrica.

�� Enlace con círculo Enlace con círculo central de forma central de forma asimétrica.asimétrica.

CLOTOIDESCLOTOIDES

�� Enlace de vértice, o Enlace de vértice, o sin círculo central, sin círculo central, de forma simétrica.de forma simétrica.

�� Enlace de vértice, o Enlace de vértice, o sin círculo central, sin círculo central, de forma asimétrica.de forma asimétrica.

CLOTOIDESCLOTOIDES �� Distintas formas de Distintas formas de enlacesenlaces

�� 1 Enlace de curva y 1 Enlace de curva y contracurva pasando por contracurva pasando por radio radio ∞∞∞∞∞∞∞∞

�� 2 Enlace de dos curvas 2 Enlace de dos curvas en el mismo sentido con en el mismo sentido con radios diferentesradios diferentes

�� 3 Enlace de varias 3 Enlace de varias clotoides consecutivas clotoides consecutivas acabando en curva de acabando en curva de radio fijoradio fijo

TIPOS DE CURVAS USADAS PARA TIPOS DE CURVAS USADAS PARA

TRANSICIÓNTRANSICIÓN

�� Dentro de las Dentro de las radioidesradioides usadas para transición, tres son usadas para transición, tres son las más conocidas :las más conocidas :

�� Lemniscata de Lemniscata de BernouilliBernouilli u u Óvalo de Óvalo de CassiniCassini�� ClotoideClotoide�� Parábola cúbicaParábola cúbica

�� La diferenta entre ellas estriba no sólo en la forma de las La diferenta entre ellas estriba no sólo en la forma de las mismas, sino también en la forma de variar su curvatura.mismas, sino también en la forma de variar su curvatura.

TIPOS DE CURVAS USADAS PARA TRANSICIÓNTIPOS DE CURVAS USADAS PARA TRANSICIÓN

TIPOS DE CURVAS USADAS PARA TIPOS DE CURVAS USADAS PARA TRANSICIÓN.TRANSICIÓN.LEMNISCATALEMNISCATA

�� La primera de ellas, La primera de ellas, la la lemniscatalemniscata, es una , es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano tales que los puntos del plano tales que el producto el producto de sus distancias a otros dos fijos es de sus distancias a otros dos fijos es igual a una constante igual a una constante KK, tal que , tal que K = C2 K = C2 , , siendo :siendo :

��

��

��

�� Para replantear un punto Para replantear un punto PP, de cuya , de cuya posición conocemos el ángulo polar posición conocemos el ángulo polar αα : :

�� ρ = OP = Kρ = OP = K�� La La lemniscatalemniscata es simétrica respecto a los es simétrica respecto a los

ejes AA’ y BB’ejes AA’ y BB’�� -- Su radio de curvatura disminuye desde Su radio de curvatura disminuye desde OO

a a P1P1, proporcionalmente a su , proporcionalmente a su desarrollo, alcanzando en desarrollo, alcanzando en P1 P1 su valor su valor mínimomínimo

�� -- La variación de curvatura es menor que La variación de curvatura es menor que en la en la clotoideclotoide hasta un valor de hasta un valor de αα = 50g= 50g

�� -- Se empleó en ferrocarriles, algo en Se empleó en ferrocarriles, algo en carreteras y hoy está en desusocarreteras y hoy está en desuso

2C FF'2

FF'

2

fijos punos entre dist. C =⇒==

αα 2 senC 2 sen 2=

lemniscatalemniscata

TIPOS DE CURVAS USADAS PARA TRANSICIÓN.TIPOS DE CURVAS USADAS PARA TRANSICIÓN.PARÁBOLA CÚBICAPARÁBOLA CÚBICA

FÓRMULA DE CÁLCULO

Y = X3 / 6RL

TIPOS DE CURVAS USADAS PARA TRANSICIÓNTIPOS DE CURVAS USADAS PARA TRANSICIÓN..CLOTOIDECLOTOIDE

rN

N

V

dθrM

dl

σ

θθ+dθ

Tang. N

Tang. M

C

dθ

x

y

dxdy

θM

N’

Se ha expuesto anteriormente que la ecuación general que debiera satisfacer una curva de transición viene dada por le expresión rl = K ; es decir, que el radio de curvatura debe disminuir en proporción a la longitud de curva considerada; es decir, se ha de cumplir : r1l1 = r2l2 =r3l3=rl=RL = KLa clotoide es la curva de transición que cumple fielmente esta condición, por lo que es considerada la curva ideal de transición.

ELEMENTOS DE LA CLOTOIDEELEMENTOS DE LA CLOTOIDECPF = ARCO DE CLOTOIDE = L (DESARROLLO DE LA CLOTOIDE)

R = RADIO DEL CÍRCULO A ENLAZAR

F= PUNTO FINAL DE LA CLOTOIDE.TANGENTE CLOTOIDE-CÍRCULO

El radio de la clotoide (rp) en este punto coincide con R

C= PUNTO INICIAL

Tangente recta-clotoide

El radio de la clotoide en este punto es infinito

O= CENTRO DEL CÍRCULO DE ENLACE

M=PUNTO INTERSECCIÓN DE LAS TANGENTES A LAS CURVAS EN C Y F

CH= X ABCISA DE F

HF= Y ORDENADA DE F

ELEMENTOS DE LA CLOTOIDEELEMENTOS DE LA CLOTOIDECN= Xo ABCISA DE O

NO= Yo ORDENADA DE O

QN= ∆R RETRANQUEO

MF= Tc TANGENTE CORTA

CM= Tl TANGENTE LARGA

ج = ÁNGULO QUE FORMAN

LAS DOS TANGENTES EN EL

PUNTO M

CF=Sl CUERDA DEL PUNTO F

σ =ÁNGULO POLAR DEL PUNTO F

l = DESARROLLO DEL ARCO CP

θ = ÁNGULO QUE FORMAN LA RECTA CM Y LA TANGENTE A LA CLOTOIDE EN UN PUNTO CUALQUIERA P

Rp = RADIO DE CURVATURA EN P. RADIO DE LA CURVA CIRCULAR QUE SERÍA TANGENTE EN ESE PUNTO

FF´= ARCO DE CÍRCULO TANGENTE A LA CLOTOIDE DE ANGULO ω

ELEMENTOS DE LA CLOTOIDEELEMENTOS DE LA CLOTOIDEECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA CLOTOIDE LR = A2

SE CUMPLE EN CUALQUIER PUNTO DE LA CLOTOIDE LR= lr=l1r1=l2r2=A2

r

l

rl

l

22

2

====2RL

l

2K

l

22

θ τθ ====2R

L

2RL

L

2RL

l 22

máx

máx

ج es el valor máximo de θ , ambos siempre se expresan en radianes

ELEMENTOS DE LA CLOTOIDEELEMENTOS DE LA CLOTOIDECálculo de las coordenadas locales x e y de un punto P de la clotoide respecto a la semirecta CVLos valores que se introducen son el desarrollo parcial lp y el radio y desarrollo final R y L respectivamentey= ___l3 - ___l7 + ____l11 - _____l15 _

3(2RL) 42(2RL)3 1320(2RL)5 75600(2RL)7

x= l -___l5 - ____l9 + ____l13 - ____l15 ___ 10(2RL)2 216(2RL)4 9360(2RL)6 75600(2RL)7

El desarrollo l del punto p se convierte en L , cuando llega al punto F , final de la clotoide

LR= l r = l1r1= l2r2= A2

L / 2R =ج ج expresado en radianes

CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDECÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE�� Cálculo de σ :Cálculo de σ :��

�� Cálculo de SL :Cálculo de SL :�� SS22L = XL = X22 + Y+ Y22

�� ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

��

�� ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

�� Cálculo de Cálculo de XoXo ::Xo = CN ; CN = CH Xo = CN ; CN = CH –– NH ; CH = X ; NH ; CH = X ; GF = NH = R sen GF = NH = R sen ττττττττ ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒XoXo = X = X –– R sen R sen ττττττττ

��

Cálculo de Cálculo de ∆∆∆∆∆∆∆∆R :R :��

�� ∆∆∆∆∆∆∆∆R = QN; QN = ON R = QN; QN = ON –– OQ ; OQ = R ; OQ ; OQ = R ; �� OA + FH = OA + AM = ONOA + FH = OA + AM = ON�� ON = R cos ON = R cos ττττττττ + Y+ Y∆∆∆∆∆∆∆∆R = R cos R = R cos ττττττττ + Y + Y –– R = Y + R (cos R = Y + R (cos ττττττττ -- 1)1)

X

Y tang =σ

LS

Y sen =σ σ sen

YSL =

LS

X cos =σ

σ cos

XSL =

Xo = X – R sen ττττ

CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDECÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDECálculo de TC : TC = FM ; Y / FM = sen ττττ TC = Y / sen ττττTangente cortaCálculo de TL : TL = CM ; CM = CH – MH = X – TC cos ττττTangente larga MH = Y / tang ττττ

TL = X – TC cos ττττ TL = X – ( Y / tang ττττ )

ENCAJE DE CLOTOIDESENCAJE DE CLOTOIDES�� CASO1 CASO1 Encaje con círculo central, de forma Encaje con círculo central, de forma simétricasimétrica

ENCAJE DE CLOTOIDESENCAJE DE CLOTOIDES�� CASO2 CASO2 Encaje con círculo central, de forma Encaje con círculo central, de forma asimétrica.asimétrica.

ENCAJE DE CLOTOIDESENCAJE DE CLOTOIDES�� CASO3 CASO3 Encaje sin círculo central (Encaje sin círculo central (clotoideclotoide de vértice), de de vértice), de

forma forma simétrica.simétrica.

ENCAJE DE CLOTOIDESENCAJE DE CLOTOIDES�� CASO4 CASO4 Encaje sin círculo central (Encaje sin círculo central (clotoideclotoide de vértice), de de vértice), de

forma forma asimétrica.asimétrica.

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capítulo 6 segunda parte