Capítulo 6 - crodzmate3131.files.wordpress.com · Una justificación para el algoritmo de división • La definición de división de números racionales nos asegura que el cociente

Capítulo

Números racionales y

razonamiento

proporcional

Multiplicación y

división de números

racionales

6

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Multiplicación de números

racionales

Multiplicación como una suma repetida



racionales

Multiplicación como una suma repetida


4 ×2

3=

2

3+2

3+2

3+2

3=

8

3 = 2

2

3

Si a es un entero, a ≠ 0 y 𝑐

𝑑 es cualquier

número racional, entonces


racionales


a ×𝑐

𝑑=

𝑎

1×𝑐

𝑑 =

𝑎 ∙ 𝑐

𝑑


racionales Multiplicación como parte de un área

3

5×1

2=

3

10

1

2𝑑𝑒

3

5

1

10𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜


racionales Multiplicación como parte de un área

5

8×1

3=

5

24

5

8 5

8

1

3

𝟓

𝟖𝒅𝒆

𝟏

𝟑

1

24𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜

Si son números racionales entonces,


racionales


Ejemplos

Hallar la expresión mínima de los productos.

10 21

7 100

10 21

7 100

3

10

10710

1073

(a)

11 4

12 3

11 4

12 3

11

3 3

11

9

433

411

(b)

Profa. Yuitza T. Humarán

(c) 2 9

3 5

= 2 9

3 5

= 2 3 3

3 5

= 6

5

Escoges el signo del

producto con las reglas

de signo.

5

32

Ejemplos (cont.)

Elemento de identidad multiplicativa

El número 1 es el número único tal que para

cada número racional ,

Propiedades de la multiplicación de

números racionales


Inverso multiplicativo (recíproco)

Para cualquier número racional , existe un

número racional único, , tal que


números racionales


Propiedad de la igualdad de la multiplicación

Si son números racionales tal que

, entonces


números racionales


𝟑

𝟒 partes de los estudiantes que tomaron un

examen lo aprobaron. En total aprobaron 21

estudiantes. ¿Cuántos estudiantes tomaron el

examen?

Solución:

Sea x la cantidad de estudiantes que tomaron el

examen entonces sabemos que

Ejemplo


𝟑

𝟒𝒙 = 𝟐𝟏

𝟒

𝟑∙𝟑

𝟒𝒙 =

𝟒

𝟑∙ 𝟐𝟏 (𝟏)𝒙 =

𝟒 × 𝟕 × 𝟑

𝟑 𝒙 = 𝟐𝟖


números racionales

Si son números racionales, entonces

Propiedad distributiva de la multiplicación

sobre la suma


Multiplicación con números mixtos

Uso la propiedad distributiva para determinar

el producto de

Con fracciones impropias


−21

3−3

1

4= 2

1

3× 3

1

4=

7

3×13

4 =

91

12= 7

7

12

3 42

3= 3 4 +

2

3

= (3)4 + (3)2

3

= 12 + 2 = 14

División de números racionales

¿Cuántas mitades hay en 3 enteros?



¿Cuántos octavos hay en ¾ partes de un entero?


Hay 1 barra de longitud ¾ en la longitud de

tamaño 7 8 , pero hay un sobrante.


¿Qué fracción de una segunda barra de longitud ¾ sobra ?

𝟑𝟒 𝟑

𝟒

¿Cuántas barras de tamaño 3 4 hay en una

longitud igual a 7 8 ?

𝟕𝟖


Como la barra de longitud ¾ se divide en 6 partes

equitativas, la parte que sobra es equivalente a 1 6 parte de una segunda barra del mismo tamaño.

Por lo tanto:


Ejemplo

Usar la recta numérica para determinar:


5

6÷1

3=

𝟓𝟔

𝟏𝟑 𝟏

𝟑

?

Como la longitud ⅓ se divide en 2 partes equitativas, la parte

que sobra es equivalente a la 1 2 de una tercera barra del

mismo tamaño.

Por lo tanto:

5

6÷1

3=

5

2= 2

1

2

Definición de división de números

racionales Si son números racionales y NO es

igual a cero, entonces si y solo si

es un número racional único tal


7

5÷2

5=

7

2

Ejemplo: Demostrar que la siguiente

aseveración es cierta.

Usando multiplicación tenemos que

2

5×

7

2=

7

5

Si son números racionales y no es

igual a cero, entonces



Ejemplo

Una estación de radio provee 72 minutos de

anuncios públicos por cada 24 horas de transmisión.

a. ¿Qué parte del día se separa para anuncios de

servicios públicos?

Existen 60 · 24 = 1440 minutos en el día. Por

lo tanto, la fracción del día es


72

1440 =

72 × 1

72 × 20 =

1

20

Ejemplo (cont.)

b. ¿Cuántos anuncios públicos de minutos se

permiten en 72 minutes?


72 ÷3

4= 72 ×

4

3= 72 × 4

3=

3 × 24 × 4

3= 96 𝑎𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑠

Una justificación para

el algoritmo de división • La definición de división de números racionales nos

asegura que el cociente de dos números racionales

existe 𝑎

𝑏÷𝑐

𝑑= 𝑦 si y sólo si

𝑐

𝑑∙ 𝑦 =

𝑎

𝑏

• La propiedad del inverso multiplicativo y la de la

igualdad de la multiplicación, nos permiten despejar

para hallar el valor de y.

𝑑

𝑐∙𝑐

𝑑𝑦 =

𝑎

𝑏∙𝑑

𝑐 1 ∙ 𝑦 =

𝑎

𝑏∙𝑑

𝑐 𝑦 =

𝑎

𝑏∙𝑑

𝑐

Por lo tanto: 𝒂

𝒃÷𝒄

𝒅=𝒂

𝒃∙𝒅

𝒄

Ejemplo

Hay yardas de material están disponibles

para hacer toallas. Cada toalla requiere 5

8 de

material. a. ¿Cuántas toallas se pueden preparar del

material disponible?

Sólo nos interesa la parte entera del resultado.

Se pueden preparar 56 toallas. Copyright © 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

351

2÷5

8=

71

2÷5

8=

71

2×8

5=

71 × 4 × 2

2 × 5= 284

5 = 56

4

5

Ejemplo (continuación)

b. ¿Cuánto material sobra?

Como cada by toalla necesita 5

8 de material


4

5𝑑𝑒

5

8=

4

5×5

8=

4 × 5

5 × 4 × 2=

1

2 𝑦𝑎𝑟𝑑𝑎

y sobró material para preparar 4

5 de otra toalla,

la cantidad de material sobrante se calcula

Estime los productos o cocientes

a.

b.

El producto exacto estára entre 21 y 32.


Si ignoramos las partes fraccionarias, 3 × 7 = 21.

El producto es más grande que 21.

Un sobre estimado se consigue con el producto 4 × 8 = 32.

El cociente exacto estára entre 5 y 6.

Si ignoramos las partes fraccionarias, 24 ÷ 4 = 6.

El cociente es más grande que 6.

Otro estimado se consigue con dividiendo 25 ÷ 5 = 5.

Extendiendo la noción de

exponentes 1.

2.

3.


Donde a es cualquier número

racional y m cualquier número

natural.

Donde a ≠0 y m y n son

enteros.

Para a ≠ 0.


exponentes

4.

5.

6.


Para a ≠ 0.


racional diferente de 0 y m y n

son enteros.


racional diferente de 0 y m y n

son enteros.

Ejemplos


c. 2

9

−1

= 9

2

b. 106

102= 106−2 = 104

a. −2

3

23

= −2

3

6

= 64

729


exponentes

7.

9.

8.


Donde 𝑎

𝑏 es cualquier número racional

diferente de 0 y m es cualquier entero.

Donde a y b son números racionales

diferentes de 0 y m es cualquier

entero.

Donde 𝑎

𝑏 es un número racional

diferente de 0 y m es cualquier entero.

Ejemplos


c. 3

5

−3

= 5

3

3

= 125

27

b. −21

2

−1

= −5

2

−1

= −2

5

a.

Ejemplos

Escribir cada uno en la forma más simple. Su

respuesta final debe tener exponentes positivos.

a.

b.


92 ∙ 27−2 = 𝟑𝟐𝟐∙ 𝟑𝟑

−𝟐= 𝟑 𝟒 ∙ 𝟑 −𝟔

= 𝟑 −𝟐

=𝟏

𝟑𝟐 =

𝟏

𝟗

Ejemplos (cont.)

c.

d.


2−1 + 5 ∙ 2−2 + 3 ∙ 2−3 ∙ 24

= 𝟐−𝟏 ∙ 𝟐𝟒 + 𝟓 ∙ 𝟐−𝟐 ∙ 𝟐𝟒 + 𝟑 ∙ 𝟐−𝟑∙ 𝟐𝟒

= 𝟐𝟑 + 𝟓 ∙ 𝟐𝟐 + 𝟑 ∙ 𝟐

= 𝟖 + 𝟐𝟎 + 𝟔 = 𝟑𝟒

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