2. CAPITULO II 2.1. Mediciones con Cinta 2.1.1. Elementos Necesarios Cinta Mtrica: Las cintas usadas actualmente estn hechas de diferentes materiales, las hay de diferentes longitudes y de diferentes pesos. Las ms comunes son las de fibra de vidrio y las de tela, aunque tambin las hay de acero. Las de tela estn hechas de material impermeable y estn provistas de un refuerzo delgado de acero o de bronce para impedir que se alarguen demasiado con el uso. Las hay de 10, 20, 30 50 m, su ancho es de 5/8 de pulgada. Tambin existen cintas de invar, hilo sinttico, bronce y fsforo entre otras.

Figura 2.1 Cinta Mtrica. Pines o Piquetes: Son varillas de 25 a 30 cm. de longitud provistas de un extremo en punta y el otro de una argolla que le sirve de cabeza. Son usados para localizar puntos momentneos o definir alineamientos temporales.

Figura 2.2 Piquetes y Jaln.

Jalones o Baliza: Son unas varas de metal o de madera de 2 a 3 m de longitud provistas de

una punta de acero que se clava en el terreno para indicar la localizacin de un punto o la direccin de una recta. Estn pintados en franjas de 20 cm. de color rojo y blanco alternadamente. Tamanu o Escuadra de Agrimensor: Consiste en una caja metlica o de madera ensamblada en un palo o bastn para apoyarla. La caja tiene dos ranuras a 90 grados por medio de las cuales se pueden trazar alineamientos perpendiculares entre s. Algunas tienen una ranura a 45 grados para lanzar visuales en esta direccin. Su seccin es cuadrada u octogonal. Ver grfico siguiente.

Figura 2.3 Tamanu o escuadra de Agrimensor.

-Medicin de distancia entre dos puntos fijos: 2.2. En un Terreno Plano: Los elementos necesarios son dos o ms jalones, un juego de pines y una cinta. Se colocan los jalones en los puntos extremos para mantener el alineamiento. Se procede entre dos cadeneros a medir: uno lleva los ceros de la cinta (cadenero segundo

o trasero) y el otro la toma por el lado del carrete (cadenero primero o delantero) El cadenero segundo coloca la cinta haciendo coincidir los ceros de la cinta con el punto de

partida o punto inicial. El cadenero primero estira la cinta cuidando de permanecer siempre sobre el alineamiento

entre los dos jalones para lo cual el cadenero segundo le indica hacia donde debe moverse (izquierda o derecha) con tal de conservar el alineamiento.

Suponiendo que se vaya a medir de 10 en 10 m se procede a tensionar la cinta de forma tal que no se presente una catenaria es decir que la cinta este horizontal al momento de ubicar el punto que esta 10 m adelante. En este momento el cadenero primero clava un pin o estaca en el punto donde la cinta marca los 10 m.

Se procede a revisar la horizontalidad de la cinta y a repetir la medicin para verificar el dato.

Se anota la medida en un papel para ir llevando el resultado de la medicin de forma consecutiva; a este sistema de acumulacin de distancias se le conoce como abscisado.

Una vez medidos los primeros 10 m se procede a medir los siguientes 10 para lo cual el cadenero segundo avanza hacia donde quedo el pin o estaca y se repite el procedimiento para la siguiente medida.

2.3. En Terreno Inclinado

Figura 2.4 Terreno inclinado

Cuando el terreno es inclinado es necesario mantener siempre la cinta horizontal. Entonces se usa la plomada para proyectar el cero o extremo de la cinta sobre el punto donde debe ir el pin o la estaca. Cuando no se requiere demasiada precisin basta con utilizar un jaln en vez de plomada cuidando que este permanezca vertical. Cuando el terreno es muy inclinado se mide por partes fraccionando la distancia y llevando el abscisado acumulado en una cartera de notas o cartera topogrfica; teniendo como criterio bsico el hecho de que la cinta debe permanecer horizontal entre dos puntos: Esta horizontalidad por experiencia se cuantifica a ojo sin embargo hay quienes aconsejan utilizar un nivel de mano para tal efecto. El procedimiento de medicin es el mismo que se describi para terreno plano pero con las consideraciones aqu previstas. 2.4. Precisin de las mediciones 2.4.1. Errores en la medicin

Es importante que el topgrafo conozca las fuentes de error en la medicin para que pueda manejarlas y evitar que estos errores se presenten. Entre los errores ms comunes cometidos en la medicin tenemos: Cinta no estndar: Cuando la cinta no tiene realmente la medida que indica. Se evita

patronndola en una base medida con precisin y aplicando una correccin. Alineamiento Imperfecto: Cuando se hace una mala alineacin pueden entonces resultar

medidas de la longitud mayores a la real. Falta de Horizontalidad de la Cinta: Es importante mantener la cinta horizontalmente ya que

si no se tiene en cuenta esto lo que estamos midiendo es un longitud inclinada que nos va dar mayor que la realmente requerida, suele utilizarse un nivel de mano para controlar este error.

Que la Cinta no Quede Recta: esto se presenta debido al viento o algn obstculo (rama, rbol, etc.) debe evitarse este tipo de situacin puesto que incrementa la longitud medida. La cinta debe estar recta al tensionarse.

Errores Accidentales: Suelen presentarse al leer la cinta, al colocar la plomada o los pines y se pueden evitar solo con la concentracin durante la ejecucin del trabajo.

Variacin en Longitud de la Cinta debido a la Temperatura: La cinta se expande cuando la temperatura sube y se contrae cuando la temperatura baja.

Las cintas vienen patronadas a una temperatura dada , si se anota la temperatura a la cual se realizo la medicin se puede posteriormente hacer la correccin por temperatura. Variaciones de Tensin: Las cintas estn calibradas para una determinada tensin y siendo

elsticas, se acortan o alargan segn la tensin aplicada sea menor o mayor que la tensin de patronamiento estndar. Este error solo se tiene en cuenta en mediciones de alta precisin.

Formacin de una Catenaria: Debido al peso de la cinta esta se flecta formando una curva; haciendo que la distancia leda sea mayor que la distancia real.

Esto se evita aplicando una tensin tal que produzca horizontalidad de la cinta. 2.4.2. Precisin de las mediciones con cinta La calidad de una medicin va en razn al control que tengamos sobre los errores posibles; sin embargo nunca una medida ser lo suficientemente precisa o real. Podemos asegurar que una medida esta al rededor de un valor promedio dado si efectuamos mltiples tomas de su valor y obtenemos la media de estos. 2.5. Conceptos elementales de probabilidad Supngase que se desea determinar, de manera aceptable, quien saldr favorecido dentro de un grupo de cinco individuos para que realice una tarea especfica. Primero se escriben los cinco nombres en papeles idnticos y se colocan dentro de una caja mezclndolos bien para luego extraer el nombre de alguno de ellos que ser el elegido. Esta operacin es un simple experimento y el nombre elegido ser un consecuencia. La seleccin de la persona se hizo de manera aleatoria y cada participante tuvo igual oportunidad de ser seleccionado. Cada persona ha tenido una oportunidad entre cinco para ser seleccionada, es decir una probabilidad de 1/5 = 0.2. Este numero se obtiene de dividir uno por el numero total de aspirantes que tengan las mismas caractersticas, en este caso cinco (5).

Otro ejemplo sencillo consiste en lanzar un dado, y seis candidatos con las mismas caractersticas tienen una probabilidad de 1/6 o de 0.166 de sacar determinado nmero. En muchos casos se estar interesado no solo en una consecuencia sino en un conjunto de consecuencias que se conoce como un evento. Por ejemplo, al lanzar el dado el evento que se tenga un nmero menor a cuatro puede ser de inters. As cualquier resultado con uno, dos, o tres puede ser una consecuencia favorable. Por lo tanto se tienen tres consecuencias, lo que da una probabilidad de 3/6 = 0.5. Si se llama E a un evento determinado y P (E) es su probabilidad, para este caso se tiene P (E)= .De manera general se puede formular la probabilidad: P (E) {Probabilidad de un resultado favorable} = f {numero de resultados favorables} / n {numero total de resultados posibles}.

n

f)( =EP

Las mediciones realizadas en un levantamiento topogrfico como el hecho de medir una distancia o un ngulo, despus de eliminar las equivocaciones y corregir los errores, son una variable aleatoria del mismo tipo de las que se presenta al lanzar un dado. Para comprender la naturaleza aleatoria de un valor obtenido al medir, por ejemplo un ngulo, en la realizacin de un levantamiento, se puede repetir la medicin varias veces y luego estudiar su distribucin de frecuencias que describe las variaciones aleatorias; veamos: Supngase que se mide varias veces los segundos de un ngulo, por ejemplo n = 177 veces. Supongamos tambin que todas las mediciones estn libres de equivocaciones y que todos los errores se han corregido. La siguiente tabla lista los datos de las mediciones. Lecturas realizadas con un teo wild t-2 LECTURA VALOR LECTURA VALOR LECTURA VALOR LECTURA VALOR NUMERO DEL

ARCO NUMERO DEL

ARCO NUMERO DEL

ARCO NUMERO DEL

ARCO 1 10.3 45 8.5 89 9.5 133 3.2 2 10.2 46 7.9 90 10.5 134 4.8 3 10.3 47 9.1 91 8 135 6.1 4 10.2 48 8.3 92 9 136 6.5 5 10.4 49 8.3 93 10.5 137 7 6 11.9 50 11 94 7.5 138 6.2 7 9.2 51 10 95 8.2 139 7.5 8 10.2 52 8.2 96 7 140 8.2 9 10.4 53 9.1 97 9.9 141 6.5 10 10.9 54 11.6 98 7.4 142 7.2 11 4 55 7.9 99 6.8 143 6.9 12 4.9 56 7 100 8.9 144 5.5 13 13.1 57 8.1 101 9.2 145 6 14 12.7 58 8.8 102 8.5 146 6.2 15 7 59 8.5 103 9.5 147 5 16 7.9 60 5 104 7.2 148 8 17 8 61 7 105 11.9 149 6.2 18 7.8 62 11.1 106 9.1 150 7.5

19 8.8 63 12 107 10 151 6.9 20 5.1 64 8.8 108 12.1 152 7.2 21 7.3 65 6.2 109 7 153 7.2 22 6.4 66 7 110 6 154 5 23 6.2 67 11 111 7.3 155 3.6 24 10.9 68 7.5 112 8.5 156 4.8 25 3.1 69 7.8 113 7 157 5.1 26 7.3 70 10.2 114 7.2 158 4.8 27 7.1 71 11 115 8.4 159 7.2 28 8 72 7.8 116 10.2 160 8 29 7.8 73 10.1 117 8.8 161 7.8 30 8.3 74 9.2 118 6.9 162 8 31 7 75 5.7 119 10.1 163 8.9 32 7.2 76 7.9 120 8.2 164 8 33 8.3 77 6.2 121 6.4 165 8 34 7.5 78 5 122 10.4 166 7.2 35 7.2 79 8.5 123 7.8 167 8 36 8 80 11 124 6.9 168 5.2 37 8.1 81 11.9 125 5.6 169 7 38 7.8 82 6.9 126 4.6 170 7.2 39 10 83 9.8 127 2.9 171 9.3 40 8.2 84 8.3 128 6.5 172 6.8 41 8.5 85 8.5 129 6.1 173 6.1 42 7.9 86 7.2 130 8.9 174 6.9 43 8.9 87 9.5 131 11.3 175 8.2 44 9.2 88 8.9 132 6.9 176 8.2 177 9.1 Valor medio = 1413.6 / 177 = 8 Los grados y los minutos se han omitido para simplificar la presentacin. Luego de buscar por toda la tabla se ve que el rango de valores se encuentra entre 2.9 y 13.1 seg. Sin embargo tambin se puede observar que existen muy pocas observaciones prximas a los valores extremos y que casi todas giran en torno a 8 seg. Es un tanto difcil estudiar las distribuciones de los valores observados cuando se hace un listado. Por lo tanto, si se representa mediante un diagrama resultara ms fcil de evaluar. En el diagrama que haremos, en lugar de graficar cada valor observado se establece un intervalo de valores y se cuenta el nmero de observaciones que se encuentren en dicho intervalo. Por ejemplo tomando intervalos de variacin igual a 1 seg. Para los datos de la tabla anterior. Al iniciar por el intervalo de 2 a 2.9 inclusive, se tiene una sola observacin 2.9; en el intervalo de 3 a 3.9 inclusive se tienen tres 3 observaciones (3.1, 3.2 y 3.6) y as sucesivamente. En la tabla siguiente se muestra el agrupamiento de intervalos y la frecuencia con que se presentan ciertos rangos de valores

RANGO DEL 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 INTERVALO DE

a a a a a a a a a a a a

ARCO 2.9 3.9 4.9 5.9 6.9 7.9 8.9 9.9 10.9 11.9 12.9 13.9 . N DE OBS. EN CADA INTERVALO

1 3 6 10 25 43 41 15 19 10 3 1 177

FRECUENCIA RELATIVA 0.01 0.02 0.03 0.06 0.14 0.24 0.23 0.08 0.1 0.06 0.02 0.01 1

Para corregir el efecto del nmero real de observaciones realizadas se dividen los valores de las frecuencias entre 177 es decir la segunda lnea de la tabla anterior se divide por el numero total de observaciones. Los nuevos valores obtenidos se denominan frecuencias relativas y aparecen en la tercera lnea de la tabla anterior. La suma de todas las frecuencias relativas debe ser igual a la unidad. La frecuencia relativa para cada intervalo indica la probabilidad, tal como aparece en la ecuacin antes descrita. Por ejemplo para el intervalo de 6 a 6.9 se tiene f= 25 observaciones y la frecuencia relativa es f/n = 25/177 = 0.14. Con los intervalos de clase dados y sus correspondientes frecuencias relativas, el diagrama citado anteriormente se puede construir ver figura siguiente. de modo que describa las distribuciones de frecuencia. A este se le llama HISTOGRAMA O DIAGRAMA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS. y es un dibujo en el cual sobre cada intervalo se traza un rectngulo cuya rea es igual a la frecuencia correspondiente.

HISTOGRAMA DE LAS LECTURAS DEL TEODOLITO

f(X) media

F 0.24 R R 0.22 E E 0.2 C L 0.18 U A 0.16 E T 0.14 N I 0.12 C V 0.1 I A 0.08 A S 0.06 S 0.04 0.02 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

SEGUNDOS, PARTE DE LAS LECTURAS SOBRE EL TEODOLITO

La distribucin de frecuencias representada en la figura anterior tiene un valor central muy prximo a 8 seg. pues las mayores frecuencias se presentan en el valor central o cerca a el. Si las 177 lecturas se suman y se dividen por 177 se obtiene un valor medio de 8 .Es interesante observar que este valor medio tiene la mayor frecuencia relativa. Por lo tanto se acepta que dicho valor es el ms cercano a la realidad de la medicin. 2.6. Correcciones a las mediciones con cinta 2.6.1. Correccin por Temperatura : Viene dada por una formula que considera que las cintas se dilatan al subir la temperatura y se contraen al bajar la misma.

)(** oTTLCt = Donde: Ct: correccin por temperatura ( m ) : Coeficiente de dilatacin trmica del material de cual esta hecha la cinta para el Acero = 0.0000116 ( m/m) / 1 C L : Longitud medida en metros. To: Temperatura de patronamiento de la cinta. (C) T : Temperatura a la cual se tomo la medicin. ( C) 2.6.2. Correccin por Tensin: Si la tensin que se aplica a la cinta es mayor o menor que la tensin a la cual esta est patronada, la cinta se alargara o se acortara y debe corregirse la distancia medida en un valor Cp.

E

LPPCp o

*a

*)( =

Donde: Cp : Correccin por tensin en metros P : Tensin aplicada (kg.) (lb) Po : Tensin de patronamiento (kg.) (lb) L : Longitud medida (m) (ft) a : Area de la seccin transversal de la cinta (mm2) (in2) E : Modulo de elasticidad del acero = 24.000 kg./mm2 30000.000 (lb/in2) 2.6.3. Correccin por Catenaria: Cuando la cinta se extiende entre los puntos de apoyo toma la forma de una catenaria. La correccin que debe aplicarse es igual a la diferencia entre el arco y la cuerda que lo subtiende.

2

2

24

*

P

LWCs =

Donde: Cs : Correccin por catenaria (m) (ft) W : Peso total de la cinta entre los apoyos W = w*L w = Peso de la cinta por unidad de longitud (kg./m) (lb/ft) L : Distancia entre apoyos (m) (ft) P : Tensin aplicada (kg.) (lb) 2.7. Medicin de angulos con cinta

Figura 2.5 Medicin de Angulos con Cinta.

Se trata de medir el ngulo BAC. Entonces haciendo centro en el vrtice A, con un radio de 20 m ( con el radio ms conveniente segn el caso) se traza por medio de la cinta el arco cb que corta los lados AB y AC en b y c respectivamente. Luego se mide la longitud de la cuerda bc y con estos datos se calcula el ngulo as:

20

2/)2/(

bcSen =

)40/(2/ bcarcsen=

)40/(2 bcarcsen= Note que la formula cambia segn el valor del radio escogido. Preguntas: 1. Como sera el proceso inverso, es decir localizar un ngulo dado con vrtice en A? 2. Como trazara una perpendicular a una recta dada por medio de la cinta. 2.8. Medicin de distancias cuando se presenta un o bstculo Se trata de medir el alineamiento AB. Se traza AO y desde B se traza una perpendicular a

AO. Obtenindose BC. Se mide BC y AC y se calcula por Pitgoras.

Figura 2.6 Presencia de Obstculos (A)

Otra forma: Se levantan perpendiculares en A y B tales que AA = BB. Se mide AB que es

igual a la longitud deseada AB.

Figura 2.7 Presencia de Obstculos (B).

Empleando relacin de tringulos semejantes: Sea C un punto desde el cual se ven A y B. Se mide AC y BC. Los puntos D y E se localizan de forma tal que:

1/3 1/2 CE/CB DC/CA ==

Figura 2.8 Presencia de Obstculos (C).

Se procede a calcular CD y CE y se localizan. Luego se mide DE y se calcula AB por semejanza de tringulos.