18

CAPÍTULO 2 Modelos para la Predicción de Vida a Fatiga El objetivo principal es determinar de forma teórica el número total de ciclos hasta la rotura por fatiga de la probeta estudiada mediante el modelo de elementos finitos y establecer una comparación con lo obtenido en el ensayo de laboratorio. Esto permitirá hacerse una idea del grado de confianza que se tiene en la predicción teórica del fenómeno.

Los modelos teóricos que serán referidos en este trabajo se dividen en dos bloques principales; uno general para “Fatiga con entallas y sin contacto” y el otro que recoge más concretamente el problema de “Fatiga por Fretting”.

Se estudiará el modelo de Fatiga Simple (Fatiga con entallas y sin

contacto) por dos motivos principales:

1. El procedimiento para analizar el caso de Fatiga por Fretting tiene muchas similitudes con el de Fatiga Simple.

2. Se buscará hacer una comparativa del número de ciclos que soporta

hasta la rotura la misma pieza con y sin contacto para hacerse una idea de la influencia del fretting en la vida a fatiga. Cada uno de los bloques se divide a su vez en dos modelos que se

basan en las fases del proceso de fatiga: iniciación de la grieta y propagación de ésta hasta la rotura. Como ya se ha mencionado en apartados anteriores, existe un gran problema a la hora de delimitar de forma adecuada la frontera entre ambas fases de forma que se aproxime a lo que ocurre en la realidad.

En el caso de probetas sin entallas, se habría de emplear un método

basado únicamente en iniciación puesto que en general será esta fase donde se consuma la mayor parte de la vida; por lo que la fase de propagación se podría considerar despreciable.

19

Si el cálculo es solo elástico se puede utilizar la curva S-N:

( )´ 22

b

f fNσ σ∆ = ⋅ ⋅

Si existe una parte plástica significativa se debe recurrir a la curva ε-N:

( ) ( )´

´2 22 2 2

b cp fef f fN N

E

ε σεε ε ∆∆∆ = + = ⋅ ⋅ + ⋅

Donde ∆σ representa las tensiones producidas en la superficie (zona

más desfavorable), ∆ε las deformaciones producidas en la superficie y Nf el número de ciclos hasta el fallo. El resto de parámetros son constantes propias del material. DATOS DE PARTIDA. Acero ASTM A36.

Las principales características mecánicas del acero considerado en este proyecto son las siguientes:

PARÁMETRO VALOR Módulo de Young E= 209 GPa.

Ley de Crecimiento de Grieta de Paris

( )mdaC K

dN= ⋅ ∆

C= 3.8 10-12 m= 3

(datos tal que si ∆KI en MPa m0.5 se tiene da/dN en

m/ciclo) Tensión de rotura σu=414 MPa Límite de fatiga σFL=149 MPa

Límite de fatiga a torsión 3

FLt σ=

Curva σ-N (parte elástica) '

2b

f Nσ σ∆ = ⋅

σf’=925 MPa b= -0.132

NOTA: el Factor de Intensidad de Tensiones debe ser calculado a partir de la integración de las tensiones a lo largo de la grieta corregidas mediante una función de peso que depende de la geometría de la probeta y de la propia entalla. La obtención de dichas tensiones se hará a partir del Modelo de Elementos Finitos desarrollado.

20

2.1. Modelos para Fatiga con Entallas y sin Contacto

La presencia de entallas supone la existencia de concentración de tensiones en la superficie del elemento. Este hecho también aparece cuando se tienen dos superficies en contacto; por lo que ambos procedimientos estarán en la misma línea de resolución.

Sin embargo, cabe destacar que una de las diferencias fundamentales reside en el hecho de que mientras que el caso de una probeta con entalla (sin contacto) se puede resolver a partir de la geometría de ésta, para un problema de fretting fatiga hay dependencia tanto de la geometría como de la distribución de tensiones en la zona de contacto (que tendrá una ley de variación compleja).

Dentro de este caso para probetas con entallas y sin contacto se tienen 3 modelos de cálculo: el basado en iniciación, el basado en propagación y el que presenta una combinación de los dos anteriores. Modelos Basados en Iniciación Son usados en los casos donde se establece que la vida del elemento está dominada por el periodo de tiempo transcurrido en la iniciación de la grieta; siendo despreciable la etapa de propagación. Cuenta a su vez con dos modelos de cálculo:

• Modelo basado en las Tensiones (Strees-based Approach). Curva S-N. Ésta se construye a partir de los datos de resistencia a fatiga y carga de rotura teórica para el tipo de material empleado.

• Modelo basado en las Deformaciones Locales (Strain-based

Approach). Combinación de la Curva Neuber y la Ley de Comportamiento.

Esto plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas que se resolverá numéricamente (usando Matlab).

o Una vez calculada la variación de deformaciones, se plantea la Ecuación Deformación-Vida para obtener el Número de Ciclos correspondientes a la Etapa de Iniciación.

21

Modelos Basados en Propagación

Son usados en los casos donde se considera que la etapa de iniciación es despreciable. Estos modelos utilizan la Mecánica de la Fractura.

• Ley de Crecimiento de Paris para la determinación del Número de Ciclos asociados a la Etapa de Propagación.

Modelos Basados en la combinación de Iniciación & Propagación

• Se aplican de forma independiente las ecuaciones que modelan tanto

la etapa de iniciación como la de propagación y se combinan para obtener el número total de ciclos hasta el fallo. Su principal problema reside en la dificultad de establecer una barrera adecuada entre hasta dónde se considera la iniciación y dónde empieza la propagación.

22

2.1.1. Modelos Basados en Iniciación Strees-based Approach. Curva S-N

Se trata de obtener la curva S-N a partir de las características mecánicas del material del que está hecha la probeta y en función del tipo de carga (en este caso axial).

Figura 16: esquema de la forma típica de una Curva S-N

( ) ( ) ( )( ) ;10

1000ln

ln

1010:

3

10

'10

6'3

10

3

3

3

b

f

f

f

b

f

b

f

b

Scte

S

S

bSScteNSNSCurva

⋅=

=⇒⋅=⋅⇒=⋅−

Una vez calculada la curva S-N, se puede estimar teóricamente el número de ciclos que resultaría para la carga aplicada en el ensayo:

b

nom

bcte

S

cteN

/1

max_

/1

=

=σ

El problema fundamental reside en el cálculo de Kf, que recoge el efecto que la entalla tiene en la reducción de la resistencia a fatiga:

´f

ff

Kσ

σ=

Donde σ’f es el nuevo límite de fatiga debido a la presencia de la entalla.

Para calcular Kf hay que obtener primero el valor del concentrador de tensiones teórico (Kt) y el coeficiente de sensibilidad de la entalla (q). Ambos dependen de la geometría de la entalla y del propio material.

1

1f

t

Kq

K

−=

−

Por último, hay que destacar que este método es tanto mejor cuanto mayor sea el número de ciclos hasta el fallo ya que esto implica que se tienen tensiones no muy grandes; por lo que estamos lejos de deformaciones plásticas.

23

Strain-based Approach

Este método, también llamado de las “Deformaciones Locales”, recoge el efecto de deformaciones plásticas que tienen lugar de forma local en el fondo de grieta. Por tanto, es apropiado para problemas de fatiga a bajos números de ciclos, es decir, para elementos sometidos a elevadas tensiones (ya que esto se traduce en altas deformaciones).

Para calcular dichas tensiones y deformaciones en el fondo de grieta se recurre a la Regla de Neuber:

2t

nom nomK K Kε σ

ε σε σ

∆ ∆= ⋅ = ⋅ ∆ ∆

Donde Kε es la relación entre deformaciones locales y globales (o nominales) y Kσ la relación entre tensiones locales y globales. Para resolver la ecuación se asume un comportamiento elástico de las tensiones/deformaciones nominales tal que: ∆σnom= E ∆εnom.

La Regla de Neuber junto con la Ley de Comportamiento Cíclica Tensión-Deformación permite el cálculo de las tensiones locales producidas en el fondo de grieta. De nuevo con la Regla de Neuber se calcula la deformación local asociada y a partir de este valor se entra en la Ecuación Deformación-Vida para el cálculo del número de ciclos finales hasta el fallo (Ni). Véase a continuación todo el sistema de ecuaciones necesario:

Curva Neuber + Ley Comportamiento & Ecuación Deformación-Vida

2

1/

:

:2 2 2

t nom nom

nc

Neuber K

LeyComportamientoE H

ε σ ε σ

ε σ σ

∆ ∆ = ∆ ∆

∆ ∆ ∆ = +

EC

K

HECombinando

E

HE

C

K

nom

S

t

nc

nomnom

nc

nomnomS

t

22/1/1

2

22:

222

σσσσ

σε

σσε

σεσε

∆⋅

=∆⋅

⋅∆⋅+∆

⇒

∆=∆

∆+∆=∆

∆∆

=∆∆

( ) ( )cif

bi

f NNE

VidanDeformacióEcuación

entoComportamiLeyNeuber

⋅⋅+⋅⋅=∆−

∆⇒∆+

222

:

:

''

εσε

εσ

( )

1

'

'

1: 2

2 2

b

bfi i

f

Parte Elástica N NE

E

σε εσ

∆ ∆= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Nota: estas ecuaciones no recogen el efecto de tensión media no nula.

24

Efecto de la Tensión Media en el Cálculo del Número de Ciclos

La idea principal es buscar una tensión alterna equivalente (Sa(-1)) que presente la misma vida que el conjunto de tensión alterna (Sa) y tensión media (Sm). Se denomina “Sa

(-1)” puesto que dicha tensión equivalente es para tensión media nula (Sm=0), es decir, tiene un coeficiente de asimetría del ciclo (R=σmin/σmax) de valor R=-1. De esta manera, una vez se obtiene “Sa

(-1)” ya se puede entrar en la curva S-N con dicho valor para calcular la vida del elemento.

Si se representa gráficamente esta forma de proceder se podrá entender esto con mayor facilidad. En primer lugar se define como “Rectas Isovida” aquéllas rectas que pasando por la tensión de rotura (Su) representan estados de carga con igual vida.

Figura 17: Curvas “Isovida”

Las rectas “isovida” consideradas en este apartado corresponden al

modelo de Godmann. Un punto de la recta se define a partir de la tensión alterna (Sa) y la tensión media (Sm) que se esté considerando. El segundo punto es obviamente la tensión de rotura Su. Por tanto, si calculamos la recta que pasa por dichos puntos se obtendrá el valor de “Sa

(-1)” .

Figura 18: Determinación de la Tensión Alterna Equivalente Sa

(-1).

La ecuación de la recta de Godmann es: ( 1)

1a m

a u

S S

S S− + =

Despejando: ( 1)

1

aa

m

u

SS

S

S

− =−

Por último, se aplica la curva S-N para calcular el número de ciclos: 1

( 1)

b

a

cteN

S −

=

25

2.1.2. Modelos Basados en Propagación

En este caso se considera que la mayor parte de la vida del componente se consume en la etapa de propagación. Se apoya en la Mecánica de la Fractura para su resolución.

Como ya ha sido comentado, su principal problema reside en la definición de la longitud de grieta inicial que se debe considerar en la ley de crecimiento. Una definición deficiente de este valor dispara los errores en el cálculo de vida; por lo que constituye un elemento muy a tener en cuenta. MODELOS DE CRECIMIENTO

En primer lugar es necesario definir dos elementos que influyen de manera significativa en la velocidad de crecimiento; secuenciación y cierre de grieta:

Figura 19: Curva de Velocidad de Crecimiento

1. Secuenciación: el orden de aplicación de los bloques de carga

(dependiendo de las amplitudes de los ciclos que los forman) tiene efecto sobre la vida a fatiga del elemento donde se aplican. Se explica a través del Cierre de Grieta.

Figura 20: Efecto de la Secuenciación en el nº de ciclos hasta la rotura

26

2. Cierre de grieta: la propuesta de Elber en 1971 sobre este fenómeno se puede explicar en base a la siguiente figura:

Figura 21: esquema modelo de cierre de grieta propuesto por Elber. En el “Punto D” la grieta ya ha pasado provocando una deformación plástica que deriva en un incremento de distancia ∆δ. Pero esos puntos están rodeados de material que no ha plastificado; por lo que el resto de la probeta “empujará” a modo de fuerza de recuperación que tenderá a cerrar la grieta. Debido a dicha fuerza, hay un primer tramo (tramo DC) en el que el material no presenta una discontinuidad que de lugar a tensiones y deformaciones singulares que favorezcan el crecimiento de la grieta. Esto continuará así hasta que se hace una fuerza tal que se separan los bordes de la grieta. En este momento, el comportamiento ya no es elástico lineal (tramo CB). Una vez se ha abierto del todo la grieta, el material sigue un comportamiento lineal pero con menos rigidez que si no tuviera la grieta (tramo BA).

27

Modelos Sin Efecto de Secuencia Ley de Paris Ecuación Básica (Región II de la Curva de Velocidad de Crecimiento):

( )ndaC K

dN= ⋅ ∆

Ley de Forman Incluye el efecto de “R” (Coeficiente de Asimetría del Ciclo) y de “Kc” (Factor de Intensidad de Tensiones Crítico):

( )( )1

n

c

C Kda

dN R K K

⋅ ∆=

− ⋅ − ∆

Ley Global Incluye R, Kc y el efecto de umbral:

( )( ) max1

n

th

c

C K Kda

dN R K K

⋅ ∆ − ∆=

− ⋅ −

Modelos Con Efecto de Secuencia Se define un ∆K efectivo y se representa la ley de crecimiento en función de éste: Modelos basados en tensiones residuales (Método de Willemborg)

( )( )1

n

eff

i eff c eff

C Kda

dN R K K

⋅ ∆=

− ⋅ − ∆

Modelos basados en tensiones de cierre

( )m

eff

daC K

dN= ⋅ ∆

28

2.1.3. Modelos Basados en la Combinación de Iniciación & Propagación.

Estos modelos resultan en general los más adecuados para calcular el número de ciclos totales hasta el fallo. Se estudian por separado ambas fases, iniciación y propagación, para luego combinarlas.

Como inconveniente principal se repite el mencionado para el Modelo basado en Propagación, es decir, la dificultad para establecer una correcta definición de la longitud de grieta frontera entre iniciación y propagación.

El cálculo del Factor de Intensidad de Tensiones también presenta peculiaridades en función del valor relativo de la longitud de la grieta respecto al de la propia entalla.

• Para una longitud de grieta pequeña respecto a la entalla:

( )12

Ia tK f K aσ π= ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅

• Para una longitud de grieta significativa respecto a la entalla:

( )12

IbK aσ π ρ= ∆ ⋅ ⋅ +

Donde ρ es el radio de la entalla, a la semilongitud de la grieta superficial y Kt el factor de concentración de tensiones.

Se integra desde la longitud inicial de grieta hasta la final pero considerando para cada tramo la Ley de Variación del Factor de Intensidad de Tensiones adecuada resulta (aplicando la Ley de Paris como ley de crecimiento…) lo siguiente:

[ ] ( )[ ]∫∫+⋅∆

+⋅∆⋅⋅

= 2

1

1

0

f

f

f a

a n

a

a n

t

paC

da

aKfC

daN

ρπσπσ

Finalmente, se suman los ciclos obtenidos tanto en la etapa de

Iniciación como en la de Propagación y se comparan con el valor real obtenido en el ensayo. Nota: a0 define el valor del tamaño inicial de la grieta desde el que se va a considerar la etapa de propagación mientras que af1 es el valor de “a” para el que KIa= KIb. Por otra parte, af2 es el valor de “a” para el que KIb=KI crítico, es decir, af2 es el tamaño de grieta que provoca el fallo final.

El número de ciclos en iniciación (Ni) se calculan a partir de la Ecuación Deformación-Vida tensiones y deformaciones en la superficie (o en a0). Por último, el valor del número de ciclos totales (NT) será el correspondiente a la suma de los obtenidos en iniciación (Ni) y en propagación (NP).

NT= Ni + NP

29

2.2. Modelos para Fatiga por Fretting

Como ya se ha comentado, la similitud de un problema de fatiga por fretting con un problema de fatiga simple afectado de entallas hace que los procedimientos de resolución sean muy parecidos.

Un proceso de fatiga por fretting también se suele dividir en dos

etapas:

• Iniciación de la grieta. • Propagación hasta la rotura final.

Los métodos de cálculo estarán basados en cada una de estas etapas

y uno de ellos en la combinación de iniciación y propagación. Serán tanto mejores cuanto más predomine la etapa en cuestión respecto al total de la vida del elemento.

El principal inconveniente de los métodos de cálculo para el

problema de fatiga por fretting es la obtención de las tensiones en la superficie de contacto (o a cierta profundidad de ésta); lo cual es tremendamente complejo.

Estos modelos necesitan un criterio de fatiga multiaxial [7] para determinar el plano donde alguna componente de las tensiones (que dependerá del criterio elegido) llegue a su valor máximo puesto que la iniciación de la grieta se iniciará con mayor probabilidad en tal punto máximo.

También se asume que la zona de tensión más alta, que como se ha dicho favorecerá la iniciación de las grietas, estará en el límite del área de contacto. Este hecho se intentará apreciar en el apartado de simulaciones.

30

2.2.1. MODELOS BASADOS EN INICIACIÓN Obviamente, estos métodos resultan muy útiles cuando la mayor parte de la vida se consume en la etapa de iniciación. Al igual que en caso de fatiga simple, el procedimiento requiere el cálculo previo de tensiones para la obtención del número de ciclos en iniciación usando la curva S-N o la curva ε–N. Puesto que dichas tensiones pertenecen a un estado multiaxial debido a la presencia de contacto, se deberá aplicar un Criterio de Fatiga Multiaxial que permita deducir una “Tensión Equivalente”. Criterio de Fatiga Multiaxial de McDiarmid

De los numerosos criterios de fatiga multiaxial, se elige el Criterio de McDiarmid puesto que se trata de un criterio ampliamente utilizado que funciona bien con este tipo de materiales.

Es un criterio de plano crítico, es decir, busca el plano donde alguna

componente de las tensiones tangenciales alcanza el valor máximo; lo que en general se encuentra en sintonía con el fenómeno de iniciación de la grieta (así como el plano en el que se da).

En definitiva, se asume que la iniciación está gobernada por las

tensiones tangenciales y que el plano crítico es aquel donde el rango de tensión tangencial en un ciclo de carga es máximo:

eqmaxTS

max t σσσ

τ=+

∆22

donde ∆τmax es el máximo incremento de las tensiones tangenciales, σmax es la tensión normal máxima en la dirección perpendicular al plano donde ∆τ es máxima, t es el límite de fatiga a torsión y σTS es la tensión de rotura. Si se combina este criterio con la curva ε–N se podrá obtener el número de ciclos en iniciación Ni.

31

Como ejemplo, se le va a aplicar un ciclo de tracción-compresión de valor σ± a una probeta sin entalla. El plano donde se dan las mayores tensiones tangenciales es el que forma 45º con la dirección de aplicación de la carga. En tal plano la amplitud de las tensiones tangenciales es σ/2 y la máxima tensión normal en la dirección perpendicular al plano es σ/2. Por tanto, se obtiene una tensión equivalente de:

2 2 2eqTS

tσ σσσ

= + ⋅ ⋅

ya que: ∆τmax= σ , σmax= σ/2.

12 2

11

2 2

eqTS

TS

tf

tf

σσ σσ

σ

= ⋅ + = ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅

Ecuación εεεε-N

( ) ( )´

´2 22b cf

i f iN NEσε ε ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅

Combinando las ecuaciones de tensión equivalente y ε-N para resolver el ejemplo planteado:

( ) ( )´

´2 22b cf eq

i f iN NE E E fσ σε σε ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ = = ⋅

2eq

E fσε∆ = ⋅

σeq = (E f) [(σ∋

f/E) (2Ni)b + ε‘f (2Ni)c]

( ) ( )´ ´2 2b c

eq f i f if N E Nσ σ ε = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

32

Con ánimo de presentar otro criterio distinto al de McDiarmid, se va a definir en qué consiste el Criterio de Fatemi-Socie. En resumen, se trata también de un criterio de plano crítico basado en las deformaciones tangenciales (a diferencia del criterio de McDiarmid que se basaba en las tensiones tangenciales). Criterio de Fatiga Multiaxial de Fatemi-Socie

El criterio de Fatemi y Socie, también de plano crítico, sugiere las deformaciones tangenciales como factor contribuyente en el inicio de la grieta; a diferencia del criterio de Mc Diarmid donde éste estaba gobernado por las tensiones tangenciales.

El fundamento físico es que las grietas tienen una forma

normalmente irregular, lo que origina la aparición de fuerzas de fricción entre las superficies de la grieta durante los ciclos aplicados [9]. Por tanto, la fuerza conductora del crecimiento de la grieta se ve reducida y la vida a fatiga incrementada.

Sin embargo, una tensión perpendicular a las superficies de la grieta

tiende a separar éstas (apertura de grieta), y reduce las fuerzas de fricción. Así, una tensión normal al plano de la grieta (cuyo efecto se recoge en el segundo término de la ecuación FS) aumenta la fuerza conductora del crecimiento de ésta y reduce la vida a fatiga. La relación parámetro de daño vida propuesta es:

( ) ( )

,maxmax

''

12

2 2

n

y

b cff f f

FS k

FS N NG

γ γ

σγσ

τγ

⋅ ⋅

∆= ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Donde ∆γmax/2 es la máxima amplitud de deformación tangencial y σn,max es la máxima tensión normal que actúa sobre el plano que experimenta ∆γmax/2. Por otra parte, k es el factor que representa la influencia de la tensión normal sobre el crecimiento de la grieta y σy es el límite de fluencia.

Este modelo ha sido desarrollado sobre todo para materiales en los que el mecanismo de fallo principal es en Modo II.

Por tanto, una vez que se determinen las tensiones máximas de

acuerdo a este criterio se calcula la tensión equivalente y se entra en la última ecuación para obtener el número de ciclos de la vida en iniciación.

33

Modelo de Cálculo de Tensiones usado en el Criterio de McDiarmid

Para calcular el parámetro de tensión equivalente de McDiarmid se necesita conocer el estado tensional en el plano que contiene la grieta (plano YZ, véase la figura 22).

Por tanto hay que obtener de cada simulación de Abaqus (asociada a

un estado de carga y un cierto coeficiente de rozamiento) las 3 componentes significativas ( , ,yy zz yzσ σ σ ) en todos los puntos del plano YZ en

el camino de la grieta (situado en el límite de la zona de contacto y creciendo en la dirección del espesor de la probeta, véase la figura 22).

Figura 22: Izqda: Plano que contiene la grieta Drcha: Detalle camino grieta

Todo esto permitirá determinar en qué punto se da el máximo rango de tensión tangencial que es en definitiva lo que se debe conocer, dado que con este criterio se asume que la iniciación de las grietas está controlada por las tensiones tangenciales. Las ecuaciones son [8]:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

* *

2 cos 22

2 cos 22

/

cos 22 2

yy zz

yz

yy zz

yz

tracción compresión

tracción tracción

tracción tracción

compresión compresión

compresión compresión

máximo

yy zz yy zzyz

sen

sen

se

τ α τ τ

σ στ α α τ α

σ στ α α τ α

α τ α τ

σ σ σ σσ α α τ

∆ = −

−= ⋅ − ⋅

−= ⋅ − ⋅

∆ = ∆

+ −= + ⋅ + ⋅ ( )2n α

34

Se obtiene el valor de ( )* */ máximoα τ α τ∆ = ∆ . Una vez conocido este

valor, se necesita calcular la tensión normal al plano definido por *α :

( ) ( ) ( )* * *cos 2 22 2

yy zz yy zzyz sen

σ σ σ σσ α α τ α

+ −= + ⋅ + ⋅

Nota: min maxτ τ∆ = −∆ . Además, se tiene que ( ) ( )min max 90ºα τ α τ∆ = ∆ + . Es

decir, los planos de tensión tangencial máxima/mínima son perpendiculares entre sí:

( )

( ) ( )

22

2 2 180

2 2 180

90

yy zz

yz

tg

tg tg

τ

τ τ

τ τ

τ τ

σ σα

τ

α αα α

α α

−= −

= + ⇒

→ +→ +

Cálculo de ∆τ∆τ∆τ∆τ en función de αααα. Obtención de ∆τ∆τ∆τ∆τmax

Para ilustrar la forma en la que se calcula el ángulo donde se obtiene el mayor rango de tensiones tangenciales (para un determinado estado de carga y de fricción) y el valor que toma, se representa una figura en la que se observa gráficamente todo el desarrollo teórico anteriormente comentado.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

ángulo (deg)

DT

(M

Pa)

Evolución DT según ángulo del Plano. P=200MPa&N=200MPa&m=0.3

T(P1)

C(P1)

P1

T(Pmedio

)

C(Pmedio)

Pmedio

T(Pf inal

)

C(Pf inal)

Pf inal

Figura 23: Evolución del rango de tensiones tangenciales para establecer

dónde se da su valor máximo. {T=Tracción, C=Compresión}. {P1, Pmedio y Pfinal corresponden al primero, medio y último punto en el

camino de la grieta respectivamente}.

35

2.2.2. Modelos Basados en Propagación

Al igual que en caso de fatiga simple, estos modelos se basan en la Mecánica de la Fractura Elástica Lineal (MFEL) para el cálculo del número de ciclos correspondientes a la propagación.

Este método será tanto mejor cuanto mayor sea la proporción de vida

empleada en la propagación de la grieta (desde una longitud inicial hasta el fallo) respecto al total.

Como ya se ha comentado en varias ocasiones, el principal problema de este método reside en la dificultad de definir de forma adecuada la longitud inicial de la grieta desde la que se va a propagar hasta el fallo final. Influencia de la Definición del Tamaño Inicial de Grieta en la Ley de Paris

Dado que a lo largo del Apartado 2 se ha enunciado varias veces la dificultad para establecer una longitud de grieta inicial a considerar en la Ley de Crecimiento, se ha decidido hacer un pequeño estudio para una grieta en un medio infinito con la intención de determinar cuál es la penalización (sobreestimación de ciclos hasta la rotura) por subestimar dicha longitud inicial. Para ello, se resuelve la Ley de Paris y se establece una relación entre el número de ciclos que se obtienen para longitud de grieta inicial ai y los que se obtendrían al cambiar ai por ai-∆ai; siendo ∆ai muy pequeña en comparación con ai.

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

1 12 2

11 22

:

2

2

2

2

n

n n

i fn

i i i i

nn

i i i fn

daC K Integrando

dN

N a an C

a a a N N N

N N a a an C

σ π

σ π

− −

−−

= ⋅ ∆ →

= − − ⋅ ⋅ ∆ ⋅

→ − ∆ ⇒ → + ∆

+ ∆ = − ∆ − − ⋅ ⋅ ∆ ⋅

36

( )( ) ( )

[ ]

( ) ( )

11 22

1 1 1 22 2 2( 1)

2

2

( ) :

11 1

12

1 11

1 1: ;

2

2

i i

i

nni

i i in n nn

ii

i

m m m

i

Haciendoun desarrollo deTaylor a a

a

ana a a

aa

a

a bDebido a que m parab a

a aa b

N Nn C σ π

−−

− − − + −

+

∆∆ ⋅ − ∆ = ≅ ⋅ + − ⋅

∆ ⋅ −

⋅≅ + ⋅−

+ ∆ ≅− ⋅ ⋅ ∆ ⋅

≪

≪

( ) ( )1 12 2

2

12

n ni

i fn n

i

ana a

a

− −

∆ − + − ⋅ ⇒

( ) ( ) 2

21

22

ii n n

i

anN

n C aσ π

∆ ∆ ≅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ∆ ⋅

Todo este planteamiento se programa en Matlab y se recoge en la siguiente gráfica:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

Dai/ai (%)

DN

i/N (

%)

Análisis de Sensibilidad. Influencia de las variaciones de ai sobre N

af=10ai (exacto)

af=20ai (exacto)

af=30ai (exacto)

af=40ai (exacto)

af=50ai (exacto)

af=10ai (Taylor)

af=20ai (Taylor)

af=30ai (Taylor)

af=40ai (Taylor)

af=50ai (Taylor)

Figura 24: Penalización en el nº ciclos en propagación por una

incorrecta definición del tamaño inicial de grieta

37

Donde puede observarse que iniciar la longitud de grieta un 5% antes

del tamaño considerado como “central” puede suponer un aumento en el número de ciclos hasta la rotura del orden del 3% respecto a su correspondiente valor “central”.

Esta sobreestimación del número de ciclos es altamente peligrosa porque nos encontramos al margen de la seguridad; ya que esto podría significar en la práctica que una pieza fuera sustituida más tarde de lo que debiera (se establece mayor vida para la misma…) gracias a una mala definición en el parámetro longitud de grieta inicial.

Las curvas generadas a partir de un desarrollo de Taylor de la

expresión se separan obviamente de las reales puesto que para usar Taylor se establece como hipótesis que ∆ai<<ai (que deja de ser cierto para ∆ai mayores al 4-5% de ai).

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Cálculo del Factor de Intensidad de Tensiones

La determinación del factor de intensidad de tensiones requiere en este caso de un modelo teórico que incluye la integración de la distribución de tensiones normales (en la dirección perpendicular al plano de la grieta) modulada por una función de peso que depende de la geometría tanto de la probeta como del propio contacto.

En base a lo recogido en el artículo [10], sólo se calculará la

contribución del Modo I en el crecimiento de la grieta puesto que ésta progresa prácticamente perpendicular a la superficie (salvo al principio donde crecen con cierto ángulo). Por tanto, se puede asumir que el factor de intensidad de tensiones del Modo II es pequeño comparado con el del Modo I.

Figura 25: Representación Modos de Fallo asociados al crecimiento de grieta.

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Un modelo de función de peso para una grieta en un problema plano es la propuesta por Bueckner:

( ) ( )2

1 2

1( ) 1 t tw t m ma at

= ⋅ + ⋅ + ⋅

donde a, t y W se muestran en la figura inferior y m1 y m2 son funciones que dependen del cociente a/W.

Figura 26: Representación de probeta, grieta y elemento de contacto.

Con esta función de peso el factor de intensidad de tensiones se puede obtener de la expresión:

0

2( ) ( )

a

I xK w t t dtσπ

= ⋅ ⋅ ⋅∫

donde σx es la tensión normal en la dirección perpendicular al plano de la grieta.

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2.2.3. Modelos Basados en la Combinación de Iniciación & Propagación

En este caso, para el cálculo de la vida a fatiga se emplean ambos procesos (iniciación y propagación) para obtener una estimación de los ciclos asociados en cada uno. Posteriormente se suman ambos valores para obtener el número final de ciclos hasta la rotura.

Al igual que en el caso de Fatiga Simple, parece el método más adecuado para deducir de forma más precisa el número de ciclos totales que puede soportar la pieza. Sin embargo, se vuelve a plantear el problema de definir de forma conveniente la longitud inicial de la grieta que se debe considerar en la ley de crecimiento. Dicho parámetro es esencial puesto que una mala definición del mismo puede alterar sensiblemente la predicción del número de ciclos hasta la rotura; lo cual puede derivar en una situación catastrófica.

En primer lugar, la vida en iniciación (Ni) se obtiene a partir del cálculo mediante elementos finitos de las tensiones axiales en el espesor de la probeta a la altura del camino hipotético de la grieta. Posteriormente se debe aplicar un criterio de fatiga multiaxial (en este proyecto se ha elegido McDiarmid). Una vez calculadas dichas tensiones, se aplica la curva σ–N y se obtiene el número de ciclos en la etapa de iniciación.

En segundo lugar, para calcular la vida en propagación (Np) se debe estimar (hay dos formas posibles de realizar este cálculo) el tamaño inicial de grieta desde el que se va a considerar esta etapa y se aplica la ley de crecimiento que se considere más oportuna (incluyendo o no el umbral de crecimiento, el factor de intensidad de tensiones crítico, etc.).

Por último, para calcular la vida total (NT) se suman los ciclos en iniciación (Ni) y en propagación (Np):

NT= Ni + Np

El procedimiento de cálculo de la vida total de la probeta se detallará en el apartado siguiente.