Capítulo 5 - uncor€¦ · cargas de la misma naturaleza física que deben ser consideradas en forma simultánea. Entre los estados de carga básicos se incluye, por ejemplo, a las

CAPITULO 5 ESTADOS BÁSICOS Y ESPECIALES DE CARGA _____________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-

Capítulo 5

Estados básicos de carga, Combinaciones de carga,

Estados especiales de carga.

5.1- Estados básicos de carga

En esta sección se analizan en primer lugar la definición de los distintos estados básicos

de carga que se considerarán en el diseño o verificación de la estructura, y en segunda instancia

las combinaciones de dichos estados de carga conformando lo que habitualmente se denominan

"Combinaciones de Cargas".

Se define como Estado Básico de Carga sobre una estructura al conjunto de todas las

cargas de la misma naturaleza física que deben ser consideradas en forma simultánea. Entre los

estados de carga básicos se incluye, por ejemplo, a las Cargas Gravitatorias (peso propio de la

estructura y de los elementos no estructurales), a las Cargas Útiles o Sobrecargas, Cargas de

Viento, Cargas de Sismo, Cargas o Efectos Térmicos, Desplazamientos de Apoyos, y otras

cargas específicas que puede ser necesario tener en cuenta según la estructura, tales como Cargas

de Frenado en los puentes, Cargas de Muchedumbre en estadios y edificios públicos, etc.

Un Estado Básico de Carga se caracteriza por incluir todas las fuerzas exteriores de igual

naturaleza. Si bien es habitual aplicar el Principio de Superposición de los Efectos para el cálculo

de esfuerzos y deformaciones de estructuras de comportamiento lineal elástico, resulta necesario

considerar que, a los efectos de definir la “Capacidad Resistente” de la estructura, los Estados

Básicos de Carga deben ser “Combinados”, o sea sumados algebraicamente, teniendo en cuenta

la posibilidad de que varios estados de carga básicos actúen simultáneamente.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-

Los aspectos a tener en cuenta para caracterizar los estados de carga básicos son los siguientes:

1) Naturaleza física de las cargas

En función de este criterio, las cargas pueden ser clasificadas en dos tipos:

- Cargas Principales, y

- Cargas Secundarias.

Las cargas gravitatorias (peso propio de la estructura y de los elementos no estructurales)

provienen de un potencial que es el Campo Gravitatorio. Estas cargas son tales que su intensidad

y dirección no dependen de las deformaciones que sufre la estructura para resistirlas. Las cargas

de este tipo constituyen las que a veces se denominan “Cargas Principales”.

Por otro lado están los estados básicos de carga vinculados a deformaciones impuestas

(efectos térmicos, retracción de fragüe, cambios de humedad), desplazamientos impuestos

(asentamientos diferenciales entre apoyos), o esfuerzos de compatibilidad de deformaciones.

Este tipo de cargas se caracteriza por el hecho de que los esfuerzos que ellas producen se anulan

si el sistema entra en fluencia o pierde rigidez. Estas cargas suelen denominarse “Cargas

Secundarias”. Por lo tanto, si el sistema entra en fluencia por las cargas secundarias el sistema

no colapsa, mientras que el colapso puede sobrevenir si las cargas principales superan las

condiciones necesarias para llegar a la fluencia.

2) Frecuencia de ocurrencia de las cargas

En función de este criterio, las cargas pueden ser clasificadas en:

- Cargas Permanentes

- Cargas Inusuales

- Cargas Extremas

Las cargas gravitatorias, o las cargas de flujo inducidas por una corriente de agua sobre

una pila de puente son consideradas cargas “Permanentes”.

Por el contrario, las cargas de viento de diseño no son permanentes, debido a que su

probabilidad de ocurrencia resulta relativamente baja, al menos con los valores de velocidad de

viento típicamente adoptados para diseño. Si bien estas cargas pueden ser supuestas como cargas

provenientes de un potencial (es decir que no dependen de las deformaciones de la estructura), se

distinguen de aquellas (permanentes) en que su valor suele ser muy variable en el tiempo y la

intensidad de diseño ocurre con períodos de recurrencia del orden de 20 a 50 años. Las cargas de

viento suelen ser consideradas como eventos “Inusuales”.

Las acciones sísmicas de diseño corresponden a eventos cuyo período de recurrencia es

de 200 a 400 años, y por lo tanto son consideradas cargas de tipo “Extremo”. Además de la

diferencia en los períodos de recurrencia del viento y del sismo, las acciones sísmicas no son


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-

estrictamente fuerzas exteriores sino desplazamientos impuestos a través del movimiento de las

fundaciones. Estos movimientos son dinámicos, es decir, ocurren con una amplitud y variación

en función del tiempo que deben ser definidos no sólo por la amplitud sino también por el

“contenido de frecuencias” del sismo.

3) Incertidumbres

Las incertidumbres en los valores de las cargas son tenidas en cuenta en el diseño a través

de los factores de carga.

Las incertidumbres en los valores de las cargas gravitatorias dependen de la variabilidad

de la densidad de los materiales (hormigones entre 2.25 y 2.40 t/m3) y de las dimensiones

geométricas. Estas variabilidades dependen de la calidad de la construcción y están normalmente

consideradas por los Reglamentos de Diseño asignando a cada tipo de carga un Factor de Carga

por el cual se debe multiplicar el valor nominal o teórico de la carga (y sus efectos, es decir sus

desplazamientos, esfuerzos internos y reacciones).

Los factores de carga suelen tomar valores próximos a la unidad, a veces mayores que 1 y

otras veces menores, dependiendo de la combinación de carga considerada, y según la naturaleza

e incertidumbre de la carga. Por ejemplo, al peso propio de una estructura suele aplicársele un

factor de carga de entre 1.15 y 1.40. Los efectos térmicos (como estado básico de carga) suelen

estar afectados de un factor de carga próximo o igual a 1. A las cargas útiles de un puente

(vehículos carreteros y ferroviarios) suele asignárseles un factor de carga mayor que el peso

propio, por ejemplo 1.50, debido a la mayor variabilidad de dichas cargas.

Estos factores de carga forman parte de lo que tradicionalmente se designa como

“Coeficientes de Seguridad”. Los factores de carga proporcionan una idea del margen de

seguridad que se adopta respecto a los valores nominales de las cargas. Sin embargo, los factores

de carga representan sólo una parte de los Coeficientes de Seguridad, dado que estos últimos

también involucran las reducciones que deben aplicarse por las incertidumbres en la resistencia

de los materiales.

5.2- Combinaciones de carga

La Tabla 5.1 contiene los factores de carga adoptados en las combinaciones de carga para

el diseño del Puente Principal de la Conexión Rosario-Victoria sobre el Río Paraná. El título de

esta tabla indica que los factores de carga dados corresponden a las distintas combinaciones de

carga a considerar en la “Verificación a Rotura” de las distintas partes de la estructura. El Estado

de Rotura se define como el estado de máxima resistencia o de agotamiento de la sección o

parte considerada, y suele también ser designado como Estado Límite Último.


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Los estados de carga básicos están definidos en las filas de la tabla, mientras que las

combinaciones de carga se indican, junto a los factores de carga, en las columnas de esta tabla.

Si no se indica el factor de carga significa que ese estado de carga básico no debe ser incluido en

esa combinación de carga.

Los factores de carga de la Tabla 5.1 son típicos de la forma actual de realizar los diseños

estructurales, en función del Estado Límite Último. El diseño frente a un Estado Límite Último

tiene por objeto garantizar la seguridad de la estructura frente al colapso. Si bien este análisis es

indispensable, con frecuencia resulta necesario verificar la estructura no sólo en lo relativo a su

seguridad frente a la rotura sino también a otros factores como las deformaciones máximas

permitidas, el grado de fisuración, etc. Estos estados de deformaciones máximas, fisuración

máxima, tensiones máximas de tracción en el hormigón, etc., suelen ser denominados “Estados

Límites de Servicio”; ellos tienen por objeto verificar que bajo las cargas normales de servicio

no se producen desplazamientos o fisuras excesivas. La Tabla 5.2 contiene los factores de carga

para las combinaciones adoptadas para verificar los estados límites de servicio para el Puente

Rosario-Victoria. Como se puede apreciar, los factores de carga en esta tabla son iguales o

aproximadamente iguales a la unidad.

Naturalmente, los factores de carga dependen de los controles que se ejerzan de la calidad

de la construcción. En este ejemplo, el factor de carga del peso propio de la estructura es de 1.20

porque se trata de una obra muy controlada. En casos en los que el control de la calidad de la

construcción es menos intenso, los factores de carga para el peso propio deben ser mayores a los

indicados en las Tablas 5.1 y 5.2.

Algunas reglamentaciones no utilizan factores de carga diferentes de la unidad, y Tablas

de Combinaciones de cargas similares a las Tablas 5.1 y 5.2 sólo contienen factores de carga

iguales a 1 ó 0 según que las cargas deban ser combinadas o no. En estos casos se determina el

Coeficiente de Seguridad a Rotura que corresponde a cada sección y tipo de solicitación (flexión,

flexo-compresión, flexo-tracción, corte, torsión). En tales casos, el Coeficiente de Seguridad no

es sinónimo del Factor de Carga descripto anteriormente y definido en las Tablas 5.1 y 5.2, dado

que el Coeficiente de Seguridad tiene en cuenta también las incertidumbres propias de la calidad

de los materiales y de la mano de obra, cosa que no contemplan los Factores de Carga, sino que

son tenidos en cuenta en Factores de Minoración de Resistencia. Por lo tanto, es de esperar que

los Coeficientes de Seguridad sean números más altos que los factores de carga. Típicamente, el

coeficiente de seguridad a flexión es igual a 1.75, y a flexión compresión oscila entre 1.75 y 2.10

según la relación entre los términos de flexión y de fuerza normal.


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Actualmente, los reglamentos CIRSOC (Centro de Investigaciones de los Reglamentos

Nacionales de Seguridad para Obras Civiles) tienen implementadas combinaciones de cargas con

Factores de Cargas. Por ejemplo, para el caso particular de estructuras metálicas, de acuerdo a

reglamento CIRSOC 301, las combinaciones son:

1) 1.4 D

2) 1.2 (D + F + T) + 1.6 (L + H) + (f1 Lr ó 0.5 S ó 0.5 R)

3) 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (f1 L ó 0.8 W)

4) 1.2 D + 1.5 W + f1 L + (f1 L ó 0.5 S ó 0.5 R)

5) 1.2 D + 1.0 E + f1 (L + Lr) + f2 S

6) 0.9 D + 1.5 W ó 1.0 E + 1.6 H

donde:

f1 = 1 para áreas con concentración de público, áreas donde la sobrecarga sea mayor a

5,0 kN/m2, garajes o playas de estacionamientos, cargas de puentes grúas y

monorrieles y otras cargas concentradas mayores a 50 kN.

f1 = 0.5 para otras cargas.

f2 = 0.7 para configuraciones particulares de techo que no permitan evacuar la nieve.

f2 = 0.2 para otras configuraciones de techo.

D : Cargas permanentes

F : Líquidos de presencia continua y altura definida

T : Autotensiones, soldaduras, cedimientos de apoyos

Lr : Cargas útiles, de mantenimiento y de montaje de techos o cubiertas

L : Cargas útiles, sobrecargas o montajes en pisos

S : Carga de nieve

W : Carga de viento

R : Carga de agua de lluvia o hielo sin considerar efectos de acumulación de agua

E : Acción sísmica

H : Peso o empuje lateral del suelo


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-

Tabla 5.1. Factores de carga para Estado Límite Último (Puente Rosario-Victoria, 1999)

Carga fL en combinación

1 2 3 4 5 6 7 8

1. carga permanente hormigón1) 1,15 1,15 1,15 1,15 1,15 1,0 1,0 1,0

2. cargas permanentes secundarias 2)

carpeta asfáltica 1) 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0

otros elementos 1) 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0

extra espesor (2 cm) carpeta asfáltica 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0

movimiento de agua 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,0 1,0 1,0

3. sobrecarga útil 1,5 1,25 1,25 1,25 - - - 1,0

4. Viento

durante la construcción (estático) - 1,1 - - - - - -

durante la construcción (dinámico) - 1,0 - - - - - -

en comb. con cargas perm. solo - 1,4 - - - - - -

en comb. con cargas permanentes, útiles y otras cargas

- 1,1 - - - - - -

efectos aliviadores - 1,0 - - - - - -

viento con efectos dinámicos - 1,0 - - - - - -

5. Temperatura

variación de temperatura - - 1,3 - - - - -

fricción - - - - 1,3 - - -

gradiente de temperatura - - 1,0 - - - - -

6. Frenado - - - 1,25 - - - -

7. Asentamiento 1,20 1,20 1,20 1,20 1,20 1,0 1,0 1,0

8. Cargas excepcionales

sísmo - - - - - 1,0 - -

impacto de embarcaciones - - - - - - 1,0 -

pérdida de un cable - - - - - - - 1,0

9. Cargas de construcción - 1,15 1,15 - - - - - Nota: para verificaciones en ELU se aplica un factor general adicional fL = 1,10 excepto para

combinaciones 6, 7 y 8, donde se considera fL = 1,0

1) factor intermedio fL = 335·1,15+38,3·1,20/(335+38,3) = 1,155 2) ver nota 1 en ELS


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Tabla 5.2. Factores de carga para Estados Límites de Servicio (Puente Rosario-Victoria, 1999)

Carga fL en combinación

1 2 3 4 5

1. Carga permanente hormigón 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

2. Cargas permanentes secundarias1):

carpeta asfáltica 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

otros elementos 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

extra espesor (2 cm) carpeta asfáltica 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

movimiento de agua 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

3. Sobrecarga útil 1,22) 1,0 1,0 1,0 -

4. Viento

durante la construcción - 1,0 - - -

en combinación con carga útil - 1,0 - - -

en combinación con cargas permanentes, útiles y otras cargas

- 1,0 - - -

efectos aliviadores - 1,0 - - -

5. Temperatura

variación de temperatura - - 1,0 - -

fricción - - - - 1,0

gradiente de temperatura - - 0,8 - -

6. Frenado - - - 1,0 -

7. Asentamiento 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

8. Cargas excepcionales, sismo, Impacto de embarcaciones, pérdida de obenque No se consideran

9. Cargas de construcción - 1,0 1,0 - -

1) según [11], párrafo 5.2.2.1 se considera un factor fL reducido con la condición de que las cargas permanentes secundarias nunca sobrepasen el valor de cálculo durante la vida útil del puente. El sobreespesor de la carpeta asfáltica se aplica al sistema elástico como una sobrecarga útil.

2) para obenques fl = 1,0 según [17]


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5.3- Esfuerzos y deformaciones en vigas con cables postensados

5.3.1. Introducción El objetivo tanto del pretensado como del postensado consiste en la reducción de las

tensiones en las zonas traccionadas de las estructuras de hormigón para compensar la reducida

resistencia a la tracción del hormigón. Esto se consigue sometiendo a los elementos estructurales

a compresión, mediante una tensión previa, de modo tal que los esfuerzos que actúen en zonas

traccionadas deban primero anular estas tensiones de compresión antes de producir tensiones de

tracción en el hormigón.

Los fenómenos de retracción y fluencia lenta deben ser cuidadosamente considerados

dado que producen acortamientos en función del tiempo de las fibras de hormigón a lo largo de

los elementos tensores. Por ejemplo, la pérdida de una parte de la deformación previa del acero

produce pérdidas de los esfuerzos de tesado entre 5 y 20% para aceros de alta resistencia.

El movimiento de los cables de acero dentro de las vainas de deslizamiento origina

resistencias de rozamiento que actúan sobre el hormigón en la dirección del tesado.

Las principales ventajas del hormigón pretensado son:

1) El pretensado permite cubrir mayores luces y utilizar estructuras más esbeltas

con un menor peso propio que el hormigón armado.

2) El pretensado mejora la capacidad de servicio dada una reducción considerable

de la fisuración del hormigón que permite aumentar su durabilidad.

3) Las deformaciones se reducen apreciablemente para las estructuras sometidas a

cargas de servicio.

4) Las estructuras de hormigón pretensado tienen una elevada resistencia a la

fatiga dado que las amplitudes de oscilación de las tensiones en aceros de alta

resistencia se mantienen muy por debajo de la resistencia a la fatiga.

5) Las estructuras de hormigón pretensado pueden soportar excesos de carga

importantes sin sufrir degradaciones permanentes.

Existen distintos grados de pretensado:

1) Pretensado total. Para la carga de servicio total no existen en el hormigón

tensiones de tracción por flexión según la dirección portante principal.

2) Pretensado limitado. Para la carga de servicio total, las tensiones de tracción en

el hormigón no sobrepasan un valor considerado admisible en la dirección

portante principal.


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3) Pretensado parcial. Para la carga de servicio total, las tensiones de tracción que

aparecen en la dirección portante principal no están restringidas. La reducción

de fisuras se asegura mediante una armadura de acero convencional.

La determinación de los esfuerzos y deformaciones en vigas y pórticos debidas a fuerzas

en cables postensados resulta un aspecto de especial importancia en el diseño de estructuras de

hormigón armado postensadas.

A diferencia de lo que ocurre con cargas que provienen de un campo potencial (peso

propio, acciones gravitatorias) las cargas generadas sobre la estructura de hormigón por la fuerza

axial en cables postensados son autoequilibradas; es decir, no requieren para su equilibrio de

reacciones exteriores. A pesar que no requieren reacciones para garantizar el equilibrio del

sistema, en el caso que la estructura sea hiperestática pueden generarse reacciones para cumplir

con las condiciones de compatibilidad en los vínculos.

Los esfuerzos y deformaciones provocados por la fuerza axial en cables postensados

constituyen un estado especial de carga en una estructura. Este tipo de solicitaciones se analiza a

veces estableciendo una analogía con los esfuerzos y deformaciones por acciones térmicas, pero

esta comparación debe hacerse con cuidado ya que las acciones térmicas no producen esfuerzos

si la estructura es isostática, mientras que las fuerzas de postensado producen solicitaciones en

todos los casos, cualquiera sea la condición de sustentación o de hiperestaticidad de la estructura.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-

Para analizar la mecánica involucrada en la determinación de los esfuerzos en las

estructuras de hormigón debidos al postensado en cables, resulta necesario tener en cuenta las

condiciones de equilibrio de un cable como se ilustra en la Figura 5.1.

Figura 5.1. Posición de un cable dentro de una viga de hormigón.

La ecuación diferencial del equilibrio del cable surge de plantear la ecuación de equilibrio

de fuerzas en la dirección normal al eje del cable. La premisa básica en esta formulación es que

el cable no tiene rigidez flexional apreciable, por lo que los momentos flectores en el cable son

nulos en todo su desarrollo, y consecuentemente los esfuerzos de corte en la sección transversal

del cable son también nulos. De esto resulta que el equilibrio de fuerzas en la dirección normal al

eje del cable es:

p = T · (Ec. 5.1)

donde T es la fuerza axial de tracción en el cable en la sección considerada, p es la fuerza

distribuida normal al eje del cable ejercida por el hormigón sobre el cable y es la curvatura del

cable en la sección considerada. En general, la curvatura del cable varía a lo largo de su

desarrollo y puede calcularse, en forma analítica o numérica, a partir del trazado que se adopte.

Habitualmente, las vigas en las que se colocan cables postensados presentan ciertas

relaciones de esbeltez entre la altura de la sección y la luz libre entre apoyos. En vigas

simplemente apoyadas, la relación entre la luz y la altura de la sección suele encontrarse entre

15/1 y 20/1. Por este motivo, el ángulo entre el eje longitudinal de la viga y el eje del cable en

cualquier sección suele no superar los 15 º y la fuerza distribuida p que el cable ejerce sobre la

viga suele aproximarse como una fuerza perpendicular al eje de la viga. Esto implica un error de

aproximación normalmente aceptable.

En los extremos del cable donde se produce el anclaje del mismo, la fuerza que transmite

el cable al hormigón es una fuerza de compresión igual y opuesta a T. Dicha fuerza tendrá en

general una componente axial y otra transversal al eje de la viga, además de una cierta

excentricidad respecto al eje baricéntrico de la sección transversal de la viga.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-

En una viga postensada, el cable y la viga constituyen dos sistemas que se brindan apoyo

mutuo tanto a lo largo del desarrollo como en los extremos. La Figura 5.2 muestra las fuerzas

que actúan sobre el cable y las opuestas (reacciones) que transmite el cable a la estructura de

hormigón.

p

p

TT

T TFuerzas actuantes sobre el cable

Fuerzas actuantes sobre el hormigón

Figura 5.2. Fuerzas actuantes sobre la viga de hormigón y el cable.

5.3.2. Esfuerzos debidos a las fuerzas de postensado Sea la viga simplemente apoyada de la Figura 5.3 con un cable postensado con fuerza

axial T. En una sección transversal cualquiera, la resultante de todas las fuerzas de interacción

entre el cable y la estructura pasa por el eje del cable, y por lo tanto el momento flector en la viga

debido al postensado es igual a H · e , donde e es la excentricidad del cable respecto al eje

baricéntrico de la sección transversal de la viga, y H es la componente axial de la fuerza T . En

general, H es muy próximo a T por la reducida inclinación de esta fuerza (considerar que por

razones de visualización las escalas vertical y horizontal de las figuras de las vigas son bastante

diferentes). De esta manera, trazando el diagrama de momentos del lado de la fibra comprimida,

éste coincide con la excentricidad del cable multiplicada por H, que es la componente horizontal

(axial) de la fuerza T.

HH

Diagrama de momentos flectores ( H . e )

Figura 5.3. Diagrama de momentos flectores de la viga.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-

Este momento flector también puede ser determinado tomando momentos de las fuerzas

que el cable transmite a la viga a través de las componentes axial y transversal de fuerzas que

actúan en los extremos (incluyendo el momento exterior aplicado, igual a H · e0, donde e0 es la

excentricidad del cable en los extremos de la viga), más el momento que produce la fuerza

distribuida transversal p. El momento flector calculado de esta manera es idéntico al producto de

la componente horizontal de la fuerza T por la excentricidad del cable en la sección considerada,

momento que se denomina habitualmente Momento Isotático de Pretensado (nótese que se

denomina como Pretensado, a pesar que en rigor el esfuerzo se ha aplicado con posterioridad a la

construcción de la viga, o sea que se trata de una fuerza de Postensado).

Sea ahora el caso de la viga continua indicada en la Figura 5.4. El Momento Isostático de

Pretensado en cualquier sección de la viga estará dado por H · e , siempre y cuando la estructura

sea transformada en isostática mediante la eliminación de un vínculo interno, por ejemplo

introduciendo una articulación, o un vínculo externo (una de las reacciones de apoyo). También

se puede aplicar el camino alternativo para calcular el momento flector isostático, es decir

considerando las fuerzas ejercidas por el cable sobre la viga, siempre que se haya transformado

al sistema en isostático.

En la Figura 5.5 se indican las cargas transferidas por el cable sobre la estructura. Si se

procede a calcular el momento flector en la configuración hiperestática aplicando los métodos

generales de análisis estructural (método de las fuerzas, método de rigidez) se obtiene el

Momento Total de Pretensado. Siguiendo esta secuencia de análisis, el Momento Hiperestático

de Pretensado se define entonces como la diferencia entre el Momento Total de Pretensado y el

Momento Isostático de Pretensado.

Figura 5.4. Viga continua de dos tramos.

T T

ppp

Figura 5.5. Fuerzas actuantes sobre el hormigón.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-

Los diagramas de distribución de momentos flectores y de esfuerzos de corte debidos a

las fuerzas de postensado en el cable se trazan en la Figura 5.6. En esta figura se indican los tres

diagramas: Isostático, Total e Hiperestático.

Momento Hiperestático de Pretensado

Momento Isostático de Pretensado

Momento Total de Pretensado Corte Total de Pretensado

Corte Hiperestático de Pretensado

Corte Isostático de Pretensado

Figura 5.6. Esfuerzos producidos por fuerzas de postensado.

Para la verificación de las tensiones en el hormigón en estado de servicio son los

Esfuerzos Totales de Pretensado (o Postensado) los que interesan. Las tensiones en la cara

superior e inferior de la viga en las secciones más críticas se calculan con el momento flector

total y el esfuerzo axial, y se verifica que sean iguales o inferiores a las admisibles. Además, se

deben verificar las tensiones en el alma de la viga determinando las tensiones principales,

incluyendo el efecto de los esfuerzos de corte por las cargas exteriores y las cargas de

pretensado.

Por otra parte, para la verificación a rotura de las estructuras de hormigón pre o

postensado, el coeficiente de seguridad a flexión tendrá en cuenta todas las solicitaciones de las

cargas exteriores multiplicadas por los respectivos factores de carga o de mayoración, a los que

se les sumará el Momento Total de Pretensado (factor de carga igual a la unidad) o el Momento

Isostático de Pretensado, según el que resulte más desfavorable. Para la verificación de la

seguridad al corte en rotura se tomarán los esfuerzos de corte debidos a todas las fuerzas

exteriores multiplicados por los respectivos factores de mayoración y se le sumará el Corte Total

de Pretensado. Esto se justifica considerando la formación de rótulas para las cargas de rotura

que convierten a la estructura en isostática en el límite de su capacidad resistente.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

5.3.3. Ejercicios de aplicación

Ejercicio 5.1. Trazar diagramas de momento flector y corte, y calcular las máximas

tensiones que ocurren en la viga simplemente apoyada.

p

TT

15.00 m

0.80 m 0.10 m

0.10 m

yx

La carga axial del cable es T = 165 tn.

Las dimensiones de la viga son

L 15 m Longitud

h 0. 80 m Alturad 0. 30 m Ancho

A 0.24 m2 Area seccional

W d h2

6 0. 032 m3 Momento resistente

a) Procedimiento analítico

Este procedimiento se aplica cuando la posición del cable se describe en forma analítica.

En este caso, se cuenta con una función parabólica

ex a b x c x 2

a 0. 1 mb 0. 10667

c 0. 007111 1m

En los extremos el cable presenta una excentricidad respecto al eje baricéntrico de la sección de

la viga

e0 |ex|x0 |a|

0. 1 m

El ángulo que forma el cable con el eje de la viga en los extremos es relativamente pequeño

(considerar que la escala vertical de los gráficos está distorsionada para mayor claridad) y puede

calcularse como su pendiente


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

0 tan0 sin0

|ex|x0 |b|

0. 10667

La curvatura del cable tiene en este caso valor constante a lo largo de la viga y se calcula como

1

2

0.014222 m

x e x c

Las cargas que produce el cable sobre el hormigón resultan

0

0

165

16.50

17.60

2.347

o

o

o

H T tnM T e tnm

V T tntnp x T xm

p M°H°

V°M° V°H°

El Momento Isostático de Pretensado puede calcularse aplicando sobre la viga este sistema de

cargas autoequilibradas

MIx Mo Vo x 12 p x 2

16. 50 17. 60 x 1.173 x 2

aunque también se verifica que

MIx T ex

16. 50 17. 60 x 1.173 x 2

El Corte Isostático de Pretensado se expresa como

QIx Vo p x 17.60 2. 347 x

o simplemente

QIx T ex

17.60 2. 347 x


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

M omento Isostático de Pretensado

49.50 tnm

C orte Isostático de Pretensado

16.50 tnm16.50 tnm

17.60 tn17.60 tn

Las tensiones que se calculan a continuación corresponden sólo a las cargas de postensado en el

estado de servicio. Las máximas tensiones de compresión ocurren en la sección central

maxC Mmax

W Ho

A 1547 tn

m2 687 tnm2

2234 tnm2

al igual que las máximas tensiones de tracción

maxT Mmax

W Ho

A 1547 tn

m2 687 tnm2

860 tnm2

Las máximas tensiones cortantes se encuentran en las secciones de los extremos

max 32

Qmax

d h

32

17. 600. 30 0.80

110 tnm2

b) Procedimiento numérico

Habitualmente, resulta más adecuado describir la posición del cable en forma discreta

para coordenadas equidistantes de la viga (primeras 2 columnas de Tabla 5.3). La geometría del

cable puede entonces asumirse como una poligonal con cargas concentradas ( P i ) actuando

sobre el hormigón en nudos con una separación x .


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

T T TT

TT

P i-1 P i

P i+1

T nP

x x

La pendiente del cable (3ra columna) se calcula para nudos intermedios como

i 12 ei1 ei

x

Las cargas sobre el hormigón a través de la vaina (4ta columna) se obtienen como la diferencia

entre las proyecciones verticales de la fuerza del cable a ambos lados del nudo considerado

P i T i 12 T i 1

2

El Corte Isostático de Pretensado (5ta columna) se calcula para nudos intermedios como el

producto entre la carga y la pendiente del cable

QIi 1

2 T i 12

mientras que el Momento Isostático de Pretensado (6ta columna) resulta de multiplicar la carga

y la excentricidad del cable

MIi T ei

Los diagramas de esfuerzos son casi idénticos a los obtenidos con el procedimiento analítico. Las

tensiones máximas se calculan en forma análoga una vez identificadas las secciones críticas.

Notar que realizando el cociente entre P i y x se obtiene la carga uniformemente distribuida

antes utilizada.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

Tabla 5.3. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga simplemente apoyada.

x i ei i 12 P i QI

i 12 MI

i

0.00 0.100 16.72 16.500.1013 16.72

0.75 0.024 1.76 3.96

0.0907 14.961.50 0.044 1.76 7.26

0.0800 13.202.25 0.104 1.76 17.16

0.0693 11.443.00 0.156 1.76 25.74

0.0587 9.683.75 0.200 1.76 33.00

0.0480 7.924.50 0.236 1.76 38.94

0.0373 6.165.25 0.264 1.76 43.56

0.0267 4.406.00 0.284 1.76 46.86

0.0160 2.646.75 0.296 1.76 48.84

0.0053 0.887.50 0.300 1.76 49.50

0.0053 0.888.25 0.296 1.76 48.84

0.0160 2.649.00 0.284 1.76 46.86

0.0267 4.409.75 0.264 1.76 43.56

0.0373 6.1610.50 0.236 1.76 38.94

0.0480 7.9211.25 0.200 1.76 33.00

0.0587 9.68

12.00 0.156 1.76 25.740.0693 11.44

12.75 0.104 1.76 17.160.0800 13.20

13.50 0.044 1.76 7.260.0907 14.96

14.25 0.024 1.76 3.960.1013 16.72

15.00 0.100 16.72 16.50


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

c) Cálculo de desplazamientos

Los siguientes parámetros complementan los datos de la viga

E 3 106 tnm 2 Módulo de elasticidad longitudinal

I d h3

12 0. 0128 m4 Momento de inercia

EI 38400 tn. m2 Rigidez flexional

2.5 tnm 3 Peso específico

A 0. 24 m2 Area seccional

qd A 0. 600 tnm Carga distribuida por peso propio

A los efectos del cálculo de desplazamientos al centro de la viga se consideran solamente las

deformaciones flexionales. Las reacciones y el diagrama de momento flector para peso propio

resultan

0.600 tn/m

4.5 tn 4.5 tn

Reacciones

Diagrama de Momento Flector

16.875 tn.m

La expresión analítica del momento flector se obtiene como

Mdx qp L

2 x 12 qp x 2

4. 5 x 0. 3 x 2

El cálculo del desplazamiento al centro de la viga requiere el planteo del siguiente Estado

Auxiliar


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

1 tn

0.5 tn 0.5 tn

Reacciones

Diagrama de Momento Flector

3.75 tnm

El momento flector puede expresarse analíticamente como

Mx 0. 5 x para 0 x 7. 5

3. 75 0. 5 x 7. 5 para 7. 5 x 15

La flecha producida por el peso propio resulta entonces

d 2EI 0

7.5Mdx Mx dx

2EI 0

7.54. 5 x 0.3 x 2 0. 5 x dx

1EI 0

7.54.5 x 2 0. 3 x 3 dx

1EI 4.5 x 3

3 0. 3 x 4

4 0

7.5

0.0103 m

La expresión analítica del momento flector para el caso del efecto de postensado se reescribe a

continuación

Mpx 16. 50 17. 60 x 1.173 x 2

La contraflecha producida por el cable de postensado se obtiene como

p 2EI 0

7.5Mpx Mx dx

2EI 0

7.516.50 17. 60 x 1.173 x 2 0. 5 x dx

1EI 0

7.516.50 x 17. 60 x 2 1. 173 x 3 dx

1EI 16. 50 x 2

2 17.60 x 3

3 1. 173 x 4

4 0

7.5

0. 0282 m


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

De esta forma el desplazamiento total al centro de la viga resulta

d p

0. 0103 m 0.0282 m 0. 0179 m

La fuerza en el cable que sería necesaria para compensar el desplazamiento producido por el

peso propio en el centro de la viga se calcula de la siguiente forma. La expresión analítica del

momento flector producido por una fuerza genérica T del cable de postensado es la siguiente

MpTx T ex

T 0. 1 0.10667 x 0.007111 x 2

La contraflecha producida por la fuerza T se calcula como

pT 2

EI 0

7.5Mp

Tx Mx dx

2EI T

0

7.50. 1 0. 10667 x 0. 007111 x 2 0.5 x dx

TEI 0

7.50. 1 x 0. 10667 x 2 0. 007111 x 3 dx

TEI 0. 1 x 2

2 0.10667 x 3

3 0. 007111 x 4

4 0

7.5

0. 0001709 T

Imponiendo la condición de que el desplazamiento total sea nulo

d pT 0

0. 0103 0. 0001709 T 0

se obtiene la fuerza de postensado que contrarresta la flecha producida por el peso propio

T 0. 01030. 0001709

60. 27 tn


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-


tensiones que ocurren en la viga con restricción al giro en ambos extremos. Tomar los

mismos datos del Ejercicio 5.1.

p

TT

15.00 m

0.80 m 0.10 m

0.10 m

yx

En este caso, los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado EsfHx pueden evaluarse

explícitamente recurriendo al Método de las Fuerzas, superponiendo los estados auxiliares

escalados con sus respectivas incógnitas hiperestáticas. En casos más complejos, donde no

resulta práctico aplicar el Método de las Fuerzas por el elevado número de incógnitas

hiperestáticas, se utiliza el Método de Rigidez para calcular los Esfuerzos Totales EsfTx ,

mientras que los Esfuerzos Isostáticos Esf Ix se evaluan directamente con la geometría del

cable. Los Esfuerzos Hiperestáticos se computan luego como la diferencia entre los esfuerzos

totales y los esfuerzos isostáticos

EsfHx EsfTx Esf Ix


A los fines de ilustrar el procedimiento de cálculo por el Método de las Fuerzas se utiliza

un enfoque analítico, aunque sería igualmente válido operar en forma numérica tal como se

procede más adelante.

Se define al Isostático Fundamental tomando las condiciones de borde del Ejercicio 5.1. Por lo

tanto, el Estado 0 queda definido con los valores ya calculados. Aprovechando la condición de

simetría se plantea un único estado auxiliar (Estado 1) donde la incógnita hiperestática

(momento de empotramiento) producirá los Esfuerzos Hiperestáticos de Prestensado.

11

Estado '1'


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-

La ecuación de compatibilidad se plantea como

10 M111 0

La incógnita hiperestática se evalúa considerando sólo las deformaciones flexionales

10 1EI 0

1516.50 17. 60 x 1.173 x 2 1 dx

1EI 412.50

11 1EI 0

151 2 dx

1EI 15.00

por lo tanto

M1 1011

27. 50 tnm

El Momento Hiperestático de Pretensado MHx es constante e igual a M1 . En este caso, no

hay Corte Hiperestático de Pretensado.

27.50 tnm

M om ento Hiperestático de Pretensado

27.50 tnm

El Momento Total de Pretensado se calcula entonces como

MTx MIx MHx

44. 00 17.60 x 1.173 x 2

El Corte Total de Pretensado coincide con el del ejercicio anterior.

M omento Total de Pretensado

22.00 tnm

C orte Total de Pretensado

44.00 tnm44.00 tnm

17.60 tn17.60 tn


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -24-

Las máximas tensiones de compresión ocurren en las secciones extremas

maxC Mmax

W Ho

A 1375 tn

m2 687 tnm2

2062 tnm2

al igual que las máximas tensiones de tracción

maxT Mmax

W Ho

A 1375 tn

m2 687 tnm2

688 tnm2

Las máximas tensiones cortantes se producen también en las secciones extremas

max 32

Qmax

d h 3

217. 60

0.30 0.80 110 tnm2


El Método de Rigidez estudiado más adelante recurre habitualmente a procedimientos

numéricos que se adaptan naturalmente al esquema de discretización propio de este método con

fuerzas en los nudos.

Aplicando las cargas concentradas calculadas en el Ejercicio 5.1 a la viga con las

presentes condiciones de borde se obtienen los Esfuerzos Totales de Pretensado (7ma y 8va

columna de Tabla 5.4). Dado que el grado de precisión pretendido requiere una discretización

fina, las operaciones se realizan con un programa de cálculo computacional (SAP2000).

Los Esfuerzos Hiperestáticos (9na y 10ma columna) se obtienen descontando los

esfuerzos isostáticos a los totales. Se observa que el Corte Hiperestático resulta nulo al igual que

el obtenido con el procedimiento analítico, y el Momento Hiperestático es también constante y

ligeramente inferior debido a efectos de la discretización.

Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior,

mientras que las tensiones máximas casi no difieren a las ya calculadas.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -25-

Tabla 5.4. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga con restricción al giro

x i ei i 12 P i QI

i 12 MI

i QTi 1

2 MTi QH

i 12 MH

i

0.00 0.100 16.72 16.50 43.89 27.390.1013 16.72 16.72 0.00

0.75 0.024 1.76 3.96 31.35 27.39

0.0907 14.96 14.96 0.001.50 0.044 1.76 7.26 20.13 27.39

0.0800 13.20 13.20 0.002.25 0.104 1.76 17.16 10.23 27.39

0.0693 11.44 11.44 0.003.00 0.156 1.76 25.74 1.65 27.39

0.0587 9.68 9.68 0.003.75 0.200 1.76 33.00 5.61 27.39

0.0480 7.92 7.92 0.004.50 0.236 1.76 38.94 11.55 27.39

0.0373 6.16 6.16 0.005.25 0.264 1.76 43.56 16.17 27.39

0.0267 4.40 4.40 0.006.00 0.284 1.76 46.86 19.47 27.39

0.0160 2.64 2.64 0.006.75 0.296 1.76 48.84 21.45 27.39

0.0053 0.88 0.88 0.007.50 0.300 1.76 49.50 22.11 27.39

0.0053 0.88 0.88 0.008.25 0.296 1.76 48.84 21.45 27.39

0.0160 2.64 2.64 0.009.00 0.284 1.76 46.86 19.47 27.39

0.0267 4.40 4.40 0.009.75 0.264 1.76 43.56 16.17 27.39

0.0373 6.16 6.16 0.0010.50 0.236 1.76 38.94 11.55 27.39

0.0480 7.92 7.92 0.0011.25 0.200 1.76 33.00 5.61 27.39

0.0587 9.68 9.68 0.00

12.00 0.156 1.76 25.74 1.65 27.390.0693 11.44 11.44 0.00

12.75 0.104 1.76 17.16 10.23 27.390.0800 13.20 13.20 0.00

13.50 0.044 1.76 7.26 20.13 27.390.0907 14.96 14.96 0.00

14.25 0.024 1.76 3.96 31.35 27.390.1013 16.72 16.72 0.00

15.00 0.100 16.72 16.50 43.89 27.39


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -26-


tensiones que ocurren en la viga continua de dos tramos.

T T

ppp

yx

15.00 m 4.75 m

0.80 m

0.10 m

10.25 m

0.30 m

0.30 m

La carga axial del cable es T 165 tn y se toman las dimensiones de sección del Ejercicio 5.1.

De la posición del cable se conocen algunos puntos de su trayectoria: en el extremo arranca a

10cm sobre el eje de la sección, desciende en forma suave hasta 10cm del borde inferior, corta al

eje baricéntrico a 4.75m del apoyo central y pasa sobre éste a 10cm del borde superior. El resto

de la trayectoria posee simetría respecto al apoyo central, y por lo tanto es conveniente sólo

analizar una mitad de la estructura (se elige la mitad derecha).


Una alternativa para analizar el problema es trazar parábolas sobre los puntos conocidos

de la posición del cable y realizar un tratamiento analítico. En este caso

e1x a1 b1 x c1 x 2

a1 0. 3 mb1 0

c1 0. 013296 1m

x 0 ; 4.75

e2x a2 b2 x c2 x 2

a2 0. 9 mb2 0. 25263

c2 0. 013296 1m

x 4.75 ; 15

El cable posee en el extremo una excentricidad

e0 |e2x|x15

0. 1022 m

El ángulo del cable en el extremo puede calcularse como su pendiente

0 |e2 x|x15

b2 2 c2 xx15

0.14625


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -27-

La curvatura del cable se calcula como

1 1

2 2

12 0.026592 0 ; 4.75

12 0.026592 4.75 ; 15

x c xm

x c xm

Las cargas actuantes sobre el hormigón resultan

0

0

1 1

2 2

165

16.85

24.133

4.388 0 ; 4.75

4.388 4.75 ; 15

o

o

o

H T tnM T e tnm

V T tntnp x T x xm

tnp x T x xm

yx

V°M°H°

V°M°

H°p p

p

Los Esfuerzos Isostáticos de Pretensado (Estado 0) se obtienen resolviendo la viga con este

sistema de cargas y removiendo cualquiera de los apoyos, ya que las fuerzas de postensado son

autoequilibradas y no generan reacciones en los apoyos remanentes.

El Momento Isostático de Pretensado debe calcularse por tramos.

MIx T ex

49.50 2. 194 x 2 x 0 ; 4.75

148.50 41. 68 x 2. 194 x 2 x 4. 75 ; 15

Alternativamente,

para x 0 ; 4.75

MIx Mo Vo 15 x p 10. 25 5. 125 4. 75 x 12 4. 75 x2

49. 50 2. 194 x 2

para x 4.75 ; 15

MIx Mo Vo 15 x 12 p 15 x2

148. 50 41. 68 x 2. 194 x 2


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -28-

El Corte Isostático de Pretensado también se calcula por tramos.

QIx T ex

4. 388 x x 0 ; 4.75

41. 68 4. 388 x x 4. 75 ; 15

Alternativamente,

para x 0 ; 4.75

QIx Vo p 4. 75 x 10. 25

4.388 x

para x 4.75 ; 15

QIx Vo p 15 x

41.68 4. 388 x

Momento Isostático de Pretensado

Corte Isostático de Pretensado

49.50 tnm

49.50 tnm

16.85 tnm

20.84 tn

24.13 tn

Eligiendo como incógnita hiperestática la reacción del apoyo central se plantea el Estado 1, que

comprende en este caso los Esfuerzos Hiperestáticos de Pretensado. Las expresiones de corte y

momento flector para la mitad derecha resultan

Q1x 0.50

M1x 7.50 0. 50 x

Estado '1'

1

7.50 tnm


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -29-

La ecuación de compatibilidad se plantea como

10 R111 0

Considerando sólo las deformaciones flexionales a los efectos de evaluar la incógnita

hiperestática se encuentra

4.75 2

010 15 2

4.75

15 211 0

49.50 2.194 7.50 0.52

148.50 41.68 2.194 7.50 0.5

2 175.72

2 7.50 0.5

2 281.25

x x dx

EI x x x dx

EI

x dxEI

EI

por lo tanto

R1 1011

0.625 tn

El Corte y el Momento Hiperestático de Pretensado resultan

QHx R1Q1x 0. 312

MHx R1M1x

4. 69 0. 312 x

Momento Hiperestático de Pretensado

Corte Hiperestático de Pretensado

0.312 tn0.312 tn

4.69 tnm

Sumando los esfuerzos isostáticos y los hiperestáticos se obtienen el Corte y el Momento Total

de Pretensado.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -30-

para x 0 ; 4.75

QTx 0. 312 4.388 xMTx 44. 81 0.312 x 2.194 x 2

para x 4.75 ; 15

QTx 41. 37 4. 388 xMTx 143. 81 41. 37 x 2. 194 x 2

Momento Total de Pretensado

Corte Total de Pretensado

20.53 tn

44.81 tnm16.85 tnm

51.20 tnm

0.312 tn

24.45 tn

Las máximas tensiones normales de compresión resultan

maxC Mmax

W Ho

A 1600 tn

m2 687 tnm2

2287 tnm2

Las máximas tensiones normales de tracción resultan

maxT Mmax

W Ho

A 1600 tn

m2 687 tnm2

913 tnm2

Las máximas tensiones cortantes (extremo) resultan

max 32

Qmax

d h

32

24. 450. 30 0.80

153 tnm2


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -31-


La posición del cable se describe en forma discreta para nudos separados x 0.75m .

En primer término, se calculan la pendiente entre nudos y las cargas concentradas aplicadas en

los nudos. Luego se computan los Esfuerzos Isostáticos en función de la pendiente (Corte) y la

excentricidad (Momento) del cable, mientras que los Esfuerzos Totales de Pretensado se

obtienen utilizando alguna implementación computacional del Método de Rigidez.

Los Esfuerzos Hiperestáticos resultan de descontar los esfuerzos isostáticos a los totales.

Se observa que el Corte Hiperestático resulta constante mientras que el Momento Hiperestático

varía linealmente. Para comparar los resultados con los obtenidos con el Método de las Fuerzas

deben valuarse las expresiones analíticas de momento en las coordenadas de los nudos y las

fórmulas de corte en coordenadas intermedias. Por tal motivo, no es estrictamente posible

conseguir los valores de corte en los extremos para ser comparados con los calculados

analíticamente. Sin embargo, para una adecuada discretización esta cuestión no resulta relevante.

Los diagramas presentan iguales características a los obtenidos con el método anterior,

mientras que las tensiones máximas casi no difieren a las ya calculadas.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -32-

Tabla 5.5. Cálculo de Esfuerzos de Pretensado en la viga continua de dos tramos.

x i ei i 12 P i QI

i 12 MI

i QTi 1

2 MTi QH

i 12 MH

i

0.00 0.300 1.65 49.50 44.86 4.640.0100 1.65 1.34 0.31

0.75 0.293 3.29 48.27 43.86 4.41

0.0299 4.94 4.63 0.311.50 0.270 3.29 44.56 40.39 4.17

0.0499 8.23 7.92 0.312.25 0.233 3.29 38.39 34.45 3.94

0.0698 11.52 11.21 0.313.00 0.180 3.29 29.76 26.04 3.72

0.0897 14.81 14.50 0.313.75 0.113 3.29 18.65 15.16 3.49

0.1097 18.10 17.79 0.314.50 0.031 1.83 5.07 1.82 3.25

0.1208 19.93 19.62 0.315.25 0.060 2.93 9.87 12.89 3.02

0.1031 17.00 16.69 0.316.00 0.137 3.29 22.63 25.41 2.78

0.0831 13.71 13.40 0.316.75 0.199 3.29 32.91 35.46 2.55

0.0632 10.42 10.11 0.317.50 0.247 3.29 40.73 43.04 2.31

0.0432 7.13 6.82 0.318.25 0.279 3.29 46.07 48.16 2.09

0.0233 3.84 3.53 0.319.00 0.297 3.29 48.95 50.80 1.85

0.0033 0.55 0.24 0.319.75 0.299 3.29 49.37 50.98 1.61

0.0166 2.74 3.05 0.3110.50 0.287 3.29 47.31 48.69 1.38

0.0366 6.03 6.34 0.3111.25 0.259 3.29 42.79 43.94 1.15

0.0565 9.32 9.63 0.31

12.00 0.217 3.29 35.79 36.72 0.930.0764 12.61 12.92 0.31

12.75 0.160 3.29 26.33 27.03 0.700.0964 15.90 16.21 0.31

13.50 0.087 3.29 14.41 14.87 0.460.1163 19.20 19.50 0.30

14.25 0.000 3.29 0.00 0.24 0.240.1363 22.49 22.79 0.30

15.00 0.102 22.49 16.85 16.85 0.00


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -33-

5.4- Líneas de Influencia En el curso de Estática se utiliza el Principio de Trabajos Virtuales (PTV) para determinar

las líneas de influencia de sistemas isostáticos. En esta sección se desarrolla un planteo similar

aplicando el Teorema de Reciprocidad, visto en la sección 3.5 del capítulo 3, y se extiende el

concepto de líneas de influencia al caso de estructuras deformables. Se comienza determinando

las líneas de influencia de desplazamientos y giros, y se continúa con las líneas de influencia de

reacciones y esfuerzos internos en sistemas hiperestáticos.

5.4.1. Introducción El concepto de la línea de influencia resulta útil para establecer las condiciones más

desfavorables de solicitación en estructuras que presentan un comportamiento lineal y soportan

cargas móviles. En el caso de puentes, una aplicación corriente consiste en el uso de líneas de

influencia cualitativas para la identificación de los tramos donde deben colocarse (o no) las

sobrecargas que estipulan los reglamentos que rigen la verificación de estas estructuras.

A medida que un automóvil se mueve de un lado a otro del puente reticulado mostrado en

la Figura 5.7, los esfuerzos en los miembros de la estructura varían con la posición x de aquél. El

diseño estructural de cada miembro debe basarse en los esfuerzos máximos que se desarrolla en

ese miembro a medida que un vehículo de referencia se mueve de un lado a otro del puente. Por

lo tanto, el análisis de la estructura comprende la determinación de la posición del vehículo para

la que los esfuerzos de cada elemento estructural se hacen máximos y, a continuación, el cálculo

del valor de estos esfuerzos máximos.

Figura 5.7. Esquema de un puente simple

Los casos analizados para la definición de los conceptos básicos son vigas simplemente

apoyadas y vigas continuas, que una vez asimilados pueden extenderse sin dificultad a otros

tipos de estructuras. Debe destacarse que durante la construcción de líneas de influencia no se

consideran los efectos dinámicos de las cargas móviles que, por ejemplo, suelen ser relevantes en

puentes de tramos cortos con camiones circulando a velocidades normales.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -34-

Una carga móvil produce en la estructura sobre la cual actúa distintos efectos tales como:

desplazamientos, reacciones, esfuerzos internos (Mf, Mt, N, Q), etc. El efecto considerado en

cada caso se designa incógnita X y varía de acuerdo a la posición de la carga. En el caso lineal

resulta suficiente determinar el valor i(x) de la misma para una carga unitaria 1(x) actuando en la

posición genérica definida por la coordenada x, de forma que el valor de la incógnita producida

por una carga móvil P actuando en x se obtenga como:

Xx P ix # (Ec. 5.2)

donde:

X(x): valor de la incógnita X producido por la carga P actuando en x.

i(x): coeficiente de influencia que depende de la coordenada x.

Se denomina línea de influencia η(x) de una incógnita X a un diagrama cuyas ordenadas

en una cierta escala representan al coeficiente de influencia i(x) definido en la Ec. (5.2). La línea

de influencia η(x) se obtiene habitualmente a través del cálculo de una elástica de la estructura, y

su forma (variación respecto a x) es idéntica a la de i(x) y X(x). Por lo tanto, la única diferencia

entre estas 3 variables radica en el factor de escala.

5.4.2. Líneas de Influencia para desplazamientos En la viga simplemente apoyada de la Figura 5.8 interesa determinar el coeficiente de

influencia i(x) del descenso del punto central C.

Figura 5.8. Determinación de la línea de influencia de un desplazamiento

Siguiendo el esquema del Teorema de Reciprocidad, el Estado I corresponde a la carga P

colocada en la posición genérica x. El Estado II se plantea con una carga unitaria en el punto para

x

A B

C

P

δC

η(x)

P

1

Estado I

Estado II


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -35-

el cual interesa determinar la línea de influencia del desplazamiento. Supóngase conocida, por

cualquier procedimiento de cálculo, la elástica η(x) correspondiente al Estado II. El Teorema de

Reciprocidad establece que:

1 c xP

(Ec. 5.3)

La incógnita, que en este caso es el desplazamiento en la sección central C, se define como:

cx xX P i (Ec. 5.4)

por lo que, para este caso, el coeficiente de influencia coincide con la línea de influencia:

x xi (Ec. 5.5)

En definitiva, la línea de influencia del desplazamiento de un punto coincide con la elástica

asociada a una carga unitaria aplicada en dicho punto.

5.4.3. Líneas de Influencia para reacciones (estructuras hiperestáticas) El procedimiento de cálculo de la línea de influencia de una reacción se desarrolla para la

viga continua de 3 tramos de la Figura 5.9. La obtención de la línea de influencia de la reacción

del apoyo A en base al Método de las Fuerzas se realiza eligiendo una estructura isostática

equivalente que posea como una de sus incógnitas hiperestáticas a esta reacción. En el caso

particular de esta viga con 2 grados de hiperestaticidad, es necesario además agregar un “corte”

adicional a los efectos de transformarla en isostática. Una alternativa intuitivamente simple sería

eliminar alguno de los restantes apoyos (B, C ó D).

Figura 5.9. Determinación de la línea de influencia de una reacción

A los efectos de aplicar el Teorema de Reciprocidad, se define un Estado I que consiste

en una estructura isostática equivalente con la carga P aplicada en una sección genérica x. El

Estado II consiste en la misma estructura isostática equivalente, pero relajando la condición de

P A B C D

RA

Estado I

x

η(x)

1 Estado II

δA II


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -36-

compatibilidad de desplazamiento nulo en correspondencia con el apoyo A, donde se coloca una

fuerza unitaria en el sentido positivo (hacia arriba). De esta forma:

1II I

A A AxII II II PP

R P

(Ec. 5.6)

Téngase en cuenta que las demás incógnitas hiperestáticas (en este caso sólo una) no producen

trabajo dado que en ambos estados se satisfacen las restantes condiciones de compatibilidad. A

los efectos de satisfacer compatibilidad en la estructura isostática equivalente del Estado I debe

verificarse que δA I = 0, por lo que el segundo miembro de la Ec. (5.6) se anula, obteniéndose:

xA II

AR P

(Ec. 5.7)

En este caso, el coeficiente de influencia resulta:

x

x IIA

i

(Ec. 5.8)

siendo la inversa del desplazamiento en el denominador un factor de escala. En definitiva, la

línea de influencia de la reacción RA resulta igual a la elástica de la viga η(x) en el Estado II

producida por una fuerza unitaria aplicada en correspondencia con dicha reacción donde se ha

suprimido este vínculo.

5.4.4. Líneas de Influencia para esfuerzos (estructuras hiperestáticas) La determinación de la línea de influencia de un momento flector se explica utilizando la

misma viga continua de 3 tramos de la sección anterior. En la Figura 5.10 se desarrolla el

procedimiento para obtener la línea de influencia del momento flector en el centro del tramo AB

(tramo de la izquierda), donde se elige una estructura isostática equivalente con una articulación

en la sección E ubicada en el centro de dicho tramo. De esta forma, el momento flector para el

cual se desea obtener la línea de influencia se define explícitamente como una incógnita

hiperestática.

En el caso particular de esta viga continua, que posee dos grados de hiperestaticidad, es

necesario agregar un “corte” adicional a los efectos de transformarla en isostática. La alternativa

operativamente más conveniente sería articular la viga sobre el apoyo C. Luego se define un

Estado I que consiste en una estructura isostática equivalente con la carga P aplicada en una

sección genérica x. El Estado II consiste en la misma estructura isostática equivalente, pero

relajando la condición de compatibilidad respecto a la continuidad de los giros en la articulación

introducida en la sección E, donde se colocan dos momentos unitarios iguales y opuestos.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -37-

Figura 5.10. Determinación de la línea de influencia de un momento flector

De esta forma:

1II II I IE i d i dx

II II II PP

M P

(Ec. 5.9)

donde los giros se consideran positivos cuando poseen sentido anti-horario. Obsérvese que la

restante incógnita hiperestática no produce trabajo debido a que en ambos estados se sigue

satisfaciendo la condición de compatibilidad asociada a dicha incógnita. A los efectos de

satisfacer compatibilidad en la estructura isostática equivalente del Estado I debe verificarse que

θi I = θd

I, por lo que el segundo miembro de la Ec. (5.9) se anula, obteniéndose:

x

E II IIi d

M P

(Ec. 5.10)

El coeficiente de influencia resulta entonces:

x

x II IIi d

i

(Ec. 5.11)

siendo la inversa del giro relativo en el denominador un factor de escala. En definitiva, la línea

de influencia del momento flector ME resulta igual a la elástica de la viga η(x) en el Estado II

producida por momentos unitarios aplicados a ambos lados de la articulación introducida en la

sección de interés. El signo positivo de los momentos flectores (tracción en la fibra inferior)

coincide con el signo positivo de dicha elástica. Desde el punto de vista operativo sólo es

necesario entonces determinar la elástica η(x), dado que las deformaciones correspondientes al

Estado I se cancelan durante la aplicación del Teorema de Reciprocidad.

Obsérvese que imponiendo un giro relativo unitario sobre la articulación introducida en el

Estado II, en lugar de colocar momentos unitarios y opuestos, tanto el coeficiente de influencia

η(x)

1 Estado II

θd II θi

II

P A B C D

E

ME Estado I

x


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -38-

i(x) como la línea de influencia η(x) del momento flector ME serían directamente igual a la elástica

producida para este estado de carga alternativo. A su vez, recordando que la impocisión de un

desplazamiento generalizado (en este caso, un giro relativo) equivale a agregar una condición de

vínculo, esto permitiría extender el cálculo de la línea de influencia del momento para el caso de

estructuras isostáticas ya que se recuperaría la estabilidad perdida al introducir la articulación.

La Figura 5.11 presenta un procedimiento análogo para la determinación de la línea de

influencia del esfuerzo de corte en la sección E, ubicada en el centro del tramo AB, de la misma

viga contínua de 3 tramos. En este caso, la estructura isostática fundamental debe tener como una

de sus incógnitas hiperestáticas al esfuerzo de corte en la sección elegida. Esta condición se

materializa a través de un vínculo deslizante que permite que los extremos de las barras que

concurren al mismo posean diferentes desplazamientos pero manteniendo el mismo giro.

Figura 5.11. Determinación de la línea de influencia de un esfuerzo de corte

El Estado I se define como una estructura isostática equivalente cuyas incógnitas

hiperestáticas satisfacen todas las condiciones de compatibilidad para una carga P aplicada en

una sección genérica x. El Estado II consiste en la misma estructura isostática equivalente, pero

relajando la condición de compatibilidad respecto a la continuidad de los desplazamientos en el

vínculo deslizante introducido en la sección E, donde se colocan dos fuerzas unitarias iguales y

opuestas. De esta forma:

1II II I IE d i d ix

II II II PP

Q P

(Ec. 5.12)

donde los desplazamientos se consideran positivos hacia arriba. Recuérdese que las demás

incógnitas hiperestáticas (en este caso sólo una) no producen trabajo dado que en ambos estados

P A B C D

E

QE Estado I

x

η(x)

1 Estado II

δd II

δi II

1


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -39-

se siguen satisfaciendo las restantes condiciones de compatibilidad. A los efectos de satisfacer

compatibilidad en la estructura isostática equivalente del Estado I debe verificarse que δd I = δi

I,

por lo que el segundo miembro de la Ec. (5.12) se anula, obteniéndose:

x

E II IId i

Q P

(Ec. 5.13)

En este caso, el coeficiente de influencia resulta:

x

x II IId i

i

(Ec. 5.14)

siendo la inversa del desplazamiento relativo en el denominador un factor de escala. La línea de

influencia del esfuerzo de corte QE resulta igual a la elástica de la viga η(x) en el Estado II

producida por fuerzas unitarias aplicadas a ambos lados del vínculo deslizante introducido en la

sección de interés.

5.4.5. Líneas Cualitativas de Influencia

En muchas aplicaciones prácticas, como durante el diseño de vigas continuas o pórticos

de edificios sujetos a sobrecargas uniformemente distribuidas, suele resultar suficiente trazar

sólo líneas “cualitativas” de influencia para decidir dónde colocar las sobrecargas a fin de

maximizar las funciones de respuesta que interesan. En esencia, el procedimiento comprende:

a) la eliminación en la estructura dada de la restricción correspondiente a la función de

respuesta que interesa para obtener la estructura liberada,

b) la aplicación de un desplazamiento (o giro) a la estructura liberada en el lugar y en la

dirección positiva de la función de respuesta, y

c) el trazado de la deformada de la estructura liberada, coherente con sus condiciones

de apoyo y de continuidad (en general, las líneas de influencia para estructuras

hiperestáticas resultan curvas).

En la viga contínua de 4 tramos que se muestra en la Figura 5.12 (a) interesa trazar las

líneas cualitativas de influencia para las reacciones verticales en los apoyos A y B, el momento

flector en el punto B, y la fuerza cortante y el momento flector en el punto C. Luego se buscan

las disposiciones de una carga viva hacia abajo, wl, uniformemente distribuida, que causan las

máximas reacciones positivas en los apoyos A y B, el máximo momento flector negativo en B, la

máxima fuerza cortante negativa en C y el máximo momento flector positivo en C.

La determinación de la línea cualitativa de influencia para la reacción vertical Ay en el

apoyo A requiere la eliminación de la restricción vertical en A de la viga real y, a la viga liberada,

la imposición de un desplazamiento en la dirección positiva de la propia Ay. La deformada


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -40-

obtenida de este modo (Figura 5.12 (b)) debe resultar consistente con las condiciones de apoyo

de la viga liberada: los puntos B, D, E y F no se desplazan. A los efectos de maximizar el valor

positivo de Ay, la carga viva wl se coloca sólo sobre los tramos AB y DE de la viga, donde las

ordenadas de la línea de influencia para Ay son positivas. La línea cualitativa de influencia para

By así como la disposición de la carga viva para obtener el valor máximo positivo de esta By se

determinan de forma análoga y se muestran en la Figura 5.12 (c).

Figura 5.12. Determinación de líneas cualitativas de influencia de reacciones

La determinación de la línea cualitativa de influencia para el momento flector en B (MB)

requiere la introducción de una articulación en la sección correspondiente de la viga real y, a la

viga liberada, la imposición un giro en la dirección positiva de MB, girando la parte a la izquierda


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -41-

de B en sentido antihorario y la parte a la derecha del mismo punto en sentido horario, tal como

se indica en la Figura 5.13 (a). El máximo momento flector negativo en B (tracción en la fibra

superior) se produce colocando la carga viva wl sobre los tramos AB, BD y EF de la viga, donde

las ordenadas de la línea de influencia para MB son negativas.

Figura 5.13. Determinación de líneas cualitativas de influencia de esfuerzos La línea cualitativa de influencia para el esfuerzo de corte SC se determina cortando la

viga real en C y dando a la viga liberada un desplazamiento relativo en la dirección de la propia

SC, moviendo el extremo C de la parte izquierda de la viga hacia abajo y el extremo C de la parte

derecha hacia arriba, como se ilustra en la Figura 5.13 (b). La máxima fuerza cortante negativa

en C (de acuerdo a la convención de signos adoptada para la elástica) se obtiene colocando la


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -42-

carga viva sobre el tramo DE, y sobre la parte BC del tramo BD de la viga, donde las ordenadas

de la línea de influencia para SC son negativas.

La línea cualitativa de influencia para el momento flector en C, así como la disposición de

la carga viva para obtener el valor máximo positivo de MC, se muestran en la Figura 5.13 (c).

5.4.6. Comentarios finales

La propia definición del coeficiente de influencia proporciona una forma simple de

calcularlo. Reescribiendo la expresión (5.2):

Xx P ix #

se observa que para una carga unitaria P el coeficiente de influencia es igual al valor de la

incógnita. Por lo tanto, la colocación de una carga unitaria P = 1 en una posición genérica x

permite obtener el valor de la incógnita por cualquier método (trabajos virtuales, tres momentos,

Castigliano, etc.).

El método basado en la elástica (Teorema de Reciprocidad) tiene una importancia

conceptual relevante ya que permite anticipar sin ningún cálculo y en forma aproximada donde

debe actuar una carga para producir la máxima influencia. Sin embargo, el uso de programas

computacionales de cálculo permite automatizar la obtención de líneas de influencia. En el caso

de un reticulado para el que resulta necesario trazar una línea de influencia para cada barra, se

puede utilizar un programa para determinar el esfuerzo en todas las barras para varias posiciones

de la carga móvil y finalmente seleccionar la máxima solicitación en cada barra. En el caso de

una viga continua, el programa puede calcular el momento flector y el corte en el centro de cada

tramo y sobre los apoyos para varias posiciones de la carga, y luego determinar los valores

máximos de las solicitaciones en los puntos prefijados listándolos con los resultados finales. El

cálculo manual de las líneas de influencia requiere un trazado para cada incógnita de interés

mientras que un programa de cálculo puede proporcionar simultáneamente todas las incógnitas

prefijadas.

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Capítulo 5 - uncor€¦ · cargas de la misma naturaleza física que deben ser consideradas en forma simultánea. Entre los estados de carga básicos se incluye, por ejemplo, a las