Casa abierta al tiempo

UNIVERSIDAD AUT6NOMA METROPOLITANA UNIDAD ETAPALAPA

PROYECTO TERMINAL

" TEORíA Y DESARROLLO DE

GRAFICACIÓN POR COMPUTADORA "

I .'

ASESOR :

LIC. ALEJANDRO MARTINEZ YAÑE

ALUMNO :

i PEREZ - AVILA ARMANDO

PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Y VlSUALlZACIÓN

La tecnologia de imagenes complementa las graficas por computadora. Para trabajar con imhgenes es necesario interrelacionar varias tecnologías de la ciencia computacional; ademas de las gdficas por computadora disefiadas para procesar o generar imhgenes.

La reconstruccidn de imhgenes se utiliza principalmente en medicina, donde los usuarios pueden elaborar imfrgenes de calidad a partir de rayos-x. La visualizacidn trata de acelerar el proceso de analisis de datos cientificos a travbs de su representacidn gdfica. Tambi6n hay reconstruccidn de volúmenes a partir de ciertos datos .

TECNOLOGíA DE PROCESAMIENTO DE IMÁGENES

En muchas aplicaciones el procesamiento de imagenes y las grhficas por computadora son tecnologias que se acompafian.

Generalmente el termino grdficas se refiere a imagenes generadas por una computadora. Mientras que procesamiento de imagenes se refiere a fotos obtenidas de fuentes externas ( datos digitales o imagenes físicas que deben ser convertidos a datos digitales que representen una imagen en la pantalla de la computadora ). Por ejemplo fotografias tomadas por naves espaciales robots, datos de censores remotos ( satblites, imagenes abreas ) , tomografía axial computarizada, imagenes de resonancia magn6tica y ultrasonido.

En el procesamiento de imagenes hay que modificar datos visuales, para mejorar o clarificar imagenes y asl lograr un analisis mas profundo, un ejemplo de lo anterior son los datos que mandan las naves espaciales.

Los datos de imagenes son colecciones de valores, la relacidn bit-pixel representa uno de muchos valores que al ser combinados correctamente forman una imagen en la pantalla. Por ejemplo una imagen geom6trica se define por sus vbrtices y puede ser manipulada al hacer transformaciones únicamente sobre esos v6rtices; por otro lado una imagen similar digitalizada es representada por una gran cantidad de pixeles.

El volumen de los datos que describen imagenes escaneadas es mucho mas grande que los datos necesarios para que una computadora genere una imagen similar. por esto mismo, el procesamiento de imhgenes digitalizadas requiere gran poder de computo ( aceleradores grhficos ).

APLICACIONES Y FUENTES DE LAS MAGENES

Cualquier imagen puede ser digitalizada en datos binarios y despues mostrada en un monitor; este tipo de imagenes se utiliza en publicidad , planeacidn urbana, manufactura de mapas. Cada vez mas los equipos de censores remotos, producen directamente datos digitales y las aplicaciones donde se utilizan estas imhgenes son por ejemplo: el estudio de la radiaci6n y el calor provenientes de la tierra o el oc6ano, los cambios en regiones skmicas, el estudio de la capa de ozono, vigilancia militar, etcetera.

En el campo de la medicina, los rayos-x son la fuente mas común de imhgenes, la tomografía axial computarizada ( TAC ) produce imagenes de dos dimensiones que representan rebanadas de cierto tejido u 6rgano; las imagenes de resonancia magnetica son otro ejemplo donde despues de aplicar radiaci6n electromagnetica se pueden detectar c4lulas anormales en imhgenes secci6nales de musculos, tejidos y huesos. Los m6dicos pueden asl analizar los 6rganos internos sin necesidad de hacer una cirugía exploratoria y en caso de ser necesario la cirugia sera mas precisa y con mayores probabilidades de 6xito.

RECONSTRUCCldN DE MAGENES

La reconstruccidn de imagenes se realiza principalmente en el campo medico. Los datos de la imagen son reunidos al emitir radiaci6n a traves de un objeto y proyectar los rayos hacia un detector. Las proyecciones reunidas forman un patr6n bidimensional que puede ser reconstruido en una rebanada seccional.

Fuente Detectores F

7 h a d a s

de datos

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RESTAURAC16N DE IMAOENES Estas t6cnicas reparan imdgenes degradadas o dafiadas, hasta tener una

aproximacih de la apariencia ideal de la imagen. La degradaci6n es inevitable mientras las imdgenes son capturadas y transferidas al medio electrdnico o impreso. Mayor degradacidn ocurre cuando la &mara no esta enfocada, si el objeto se esta moviendo, si la actividad atmosferica causa distorsidn. Una de las tbcnicas mds comunes es el filtrado.

MEJORAR LA IMAGEN

Las t6cnicas de mejoramiento de imagenes no necesariamente reflejan el ideal original de la imagen. Usualmente lo que se desea es modificar una imagen y que ciertas caracterlsticas sean mds prominentes, que el color sea mds notorio. En medicina se utiliza para que el medico pueda analizar la estructura vascular, muscular o esquel6tica mas ficilmente y asl detectar anormalidades. Otra t6cnica es crear grandes contrastes en la imagen para eliminar caracterlsticas que no es importante analizar

HARDWARE NECESARIO PARA EL PROCESAMIENTO DE IMAGENES

Ya que las imagenes no esMn predefinidas en t6rminos de primitivas geom6tricas que pueden ser transformadas aisladamente; mostrar y manipular imdgenes exige grandes capacidades de computo y mucha rapidez.

Las computadoras utilizadas para estas tareas han sido las "Super computadoras" y estaciones de trabajo dedicadas al procesamiento de imijlgenes. Actualmente la tendencia es utilizar estaciones de trabajo con capacidades de multiproceso, alta resoluci6n y alta calidad en el manejo de grandes volúmenes de datos.

TECNOLOGíA DE VISUALIZACIÓN CIENTíFICA

Se utilizan ghficas y otras imagenes para ayudar a los científicos a analizar datos complejos.

Los científicos reúnen datos de investigaci6n. De exploraciones espaciales, experimentos de laboratorio, censores de movimientos slsmicos, muestras oceijlnicas, de suelos, etcetera. El analizar estas grandes cantidades de datos es una tarea muy laboriosa, todos esos datos no tienen un significado claro. La visualizaci6n comunica eficientemente las ideas y resume el significado de patrones repetitivos en datos num6ricos; así el usuario puede eliminar rapidamente de las consideraciones, los datos de poca importancia y concentrarse en los datos que presentan informacidn concreta y relevante.

SIMULACI~N

Es una visualizaci6n cientlfica usada en ambientes de prueba y entrenamiento, por ejemplo, animaci6n de movimientos mechnicos, flujo de fluidos, sirnulaci6n de reacciones qulmicas, simulaci6n de vuelos.

AI estar disefiando y trabajar con modelos físicos es muy costoso en tiempo y dinero; la simulaci6n computarizada permite seleccionar opciones de diseno y examinar los resultados; finalmente seh necesario construir un modelo y probarlo pero se habran eliminado muchos pasos intermedios. Esto es de gran importancia en costo, calidad, tiempo de mercado y competitividad.

RECONSTRUCC16N DE VOLúMENES

Es un campo nuevo que introduce modelos y graficas en ( 3-D ) para visualizar datos volum6tricos de investigaciones científicas, que pueden ser obtenidos al combinar rebanadas bidimensionales y construir volúmenes 3D

VOXELS

En reconstruccibn de volúmenes, un volumen 3-D es una estructura compuesta de elementos de volumen (voxels) ; los voxels son andlogos a los pixeles. Para mostrar los voxels 3-D que son visibles, deben ser mapeados a los pixeles correspondientes. En forma deben ser mapeados a los pixeles correspondientes. En forma similar a la proyeccidn de grhficas 3-0 en superficies 2-D.

MODELO DE SUPERFICIE

La superficie de un volumen 3-0 es reconstruida de las rebanadas 2-D existentes. Primero se detectan las orillas (aristas) , para definir la estructura; despues se definen superficies tridimensionales y contornos basados en aristas de diversas formas; despues las superficies pueden ser descritas en terminos de primitivas geom4tricas.

RECONSTRUCCI~N DIRECTA DE VOL~MENES

Este m6todo crea un volumen 3-D sblido en lugar de una superficie que define un volumen. Los voxels son tratados como cblulas ocupadas o desocupadas. Aquellas que son parte de la imagen es th ocupadas y son visibles las otras no son mostradas.

Con este metodo es posible cortar el volumen en cualquier hngulo y ver su composicibn interna, es útil en medicina, tambien se usa para analizar regiones sísmicas.

AI volumen se le pueden ahadir apariencias por ejemplo (colores) para representar datos de otras variables y serlan imagenes ghficas de cuarta o hasta quinta dimensibn.

APLICACIONES

Las sofisticadas bibliotecas graficas, grhficas interactivas, procesamiento de imagenes y las herramientas de visualizacibn; permiten a los usuarios de sistemas grhficos resolver muchos problemas de diseno, ingenierla y de analisis cientlfico.

PUBLICIDAD ELECTR6NICA

La publicidad electrbnica se utiliza en muchas industrias, en empresas de publicidad, peribdicos, revistas, industrias de alta tecnología aerospacial, automotriz, de manufacturas y telecomunicaciones.

El diseno asistido por computadora ( ECAD ) se usa en muchas industrias; el diseno electrdnico automatizado ( EDA ) se usa en el diseno de chips y placas de circuitos. Los ambientes EDA y ECAD se basan principalmente en primitivas de dos dimensiones ( 2-D vectores, 2-D pollgonos y texto ). El realizar diseAos por computadora permiten probar la viabilidad antes de que el diseno sea implementado.

Las industrias de arquitectura, ingeniería y construccidn ( AEC ) utiliza los sistemas grdficos para el diseno de interiores, estructuras comerciales, edificios, redes de telecomunicacibn, autopistas, vías, aeropuertos, presas, etcetera.

Las aplicaciones AEC necesitan sofisticadas bibliotecas grdficas y bases de datos con gran capacidad de almacenamiento; la mayoría de las aplicaciones AEC usan primitivas 2-Dl pero al bajar el costo del software y de los sistemas grdficos. Los sistemas tridimensionales se esan usando cada vez mas, el usuario puede tener vistas de la estructura interior y exterior desde muchos dngulos.

Aplicaciones mecimicas CAD simplifica el proceso mechico de diseno, el disenador puede construir eficientemente nuevos productos a partir de modelos establecidos y proponer nuevas dimensiones y características.

ANIMACION Y GRAFICAS

Se utiliza en publicidad, arte comercial y no comercial, tecnología de vídeo, caricaturas y simulacidn cientlfica. Para las caricaturas primero se crean todos los dibujos y despues se pasan en cierto orden rdpidamente, en la pantalla de la computadora. Por el contrario los modelos de simulacidn ( de vuelo ) requieren mucho poder de computo, ninguno de los movimientos son precalculados.

SISTEMAS DE INFORMAClbN GEOGRAFICA

Incluyen bases de datos; combinan datos de censos, informacibn demogrdfica y geoghfica, por ejemplo encontrar el mejor lugar para ubicar un hospital de emergencia. Bdsicamente utilizan bibliotecas 2-Dl pero los ambientes 3-D se esthn incrementando; tambien se utilizan en investigaciones culturales, arqueoldgicas.

RECURSOS DE LA TIERRA

El estudio de recurso naturales e interpretaci6n de datos sísmicos y geol6gicos son los mas comunes. Datos de mapas combinados con la informacidn de bases de datos le dan al usuario la posibilidad de analizar grandes cantidades de datos. Muchas aplicaciones requieren del procesamiento de imhgenes y datos grhficos. Se utiliza en estudios ambientales, por ejemplo el calentamiento terrestre debido al exceso de bi6xido de carbono y otros contaminantes y variables.

MEDICINA

Un radiologista puede usar grhficas por computadora para modelar una irradiacibn; sobreponer el modelo del rayo sobre el modelo del volumen del tumor y analizar donde debería dar el rayo y con que intensidad.

Un centro medico plantea tratar el chncer con aceleradores de protones que utilizan radiaci6n para destruir un tumor sin dafiar el tejido que lo rodea. El doctor utilizaría el sistema grhfico para posicionar el hngulo del rayo y aplicar la dosis apropiada basada en la simulaci6n y en el tratamiento.

INQENIERCA QU~MICA

Los químicos analizan las reacciones de las moleculas a varias sustancias y con equipos de alta calidad ( software y hardware ) pueden modelar estar reacciones. Con t6cnicas de animacibn el qulmico puede efectuar enlaces moleculares y con cambios de color en el modelo molecular simular las reacciones. Debido a los archivos de datos que se utilizan y a las transformaciones que hay que hacer sobre las animaciones, la modelaci6n molecular es el campo que requiere el software mhs sofisticado y el hardware mhs rhpido. Una aplicaci6n típica en esta Brea es la cristalografía ( cristaIizaci6r1, formas y estructuras de cristales normalmente usados en investigaci6n farmaceutica ) tambien en genetical en modelacibn molecular y en disefio de drogas.

MEDIDAS DE DESEMPERO

Es importante que las aplicaciones descansen sobre un hardware adecuado a sus demandas. El analisis de datos cientificos en modelos volum6tricos necesitan nivel de procesamiento de alto nivel, asl como excelente software de visualizaci6n.

Requerimientos de software de las aplicaciones.

'A 'B 'c I n A. Gráficas denegocios E. Mapas g e a g r ~ c o s I. &nimación 3D B. Diseño electrhico F. Remsta delatierra J. Modelaciónmdedx C. bnimacibn en 2D G. Ardectura en 3D K. Imhaenesmbdicas D. CAD 2D H. C A b dcarrico L. vidzaciirn cimrifica

Requerimientos de hardware de las aplicaciones.

i Aceleraciún alta

n U o

A B C D E F G H I . J K L A. Gráficas denegocios E. Mapas geográhcos L Akación 3D B. Diseño electrónico F.Remsos delatima J. Modelacimmolecular C. Anhacih en 2D G. Arouitema en 3D K. Imáoenesmédicas D CAD2D K Cab micmico L. V i d z & a c a

Es importante analizar las capacidades del CPU y el acelerador, pues si uno de los componentes es lento y no puede manejar la cantidad de datos que van siendo generados, se forma un cuello de botella y el sistema completo se vuelve lento.

BIBLIOTECAS GRAFlCAS

Una biblioteca grdfica es la herramienta que el desarrollador de aplicaciones utiliza para hacer software para el usuario. Una API ( Interface del programador de aplicaciones ) es una coleccidn de rutinas que dibujan elementos geombtricos llamados ( primitivas ) , que se utilizan para construir dibujos, así el desarrollador no tiene que escribir cddigo de bajo nivel ( decirle a la computadora como dibujar primitivas simples ) y puede concentrarse en construir software de alta calidad.

La biblioteca de grhficos trabaja muy de cerca con el hardware, calcula el tamafio y la posicidn de las primitivas, algunas bibliotecas trabajan exclusivamente con 2-D 6 3-D y otras con ambas; algunas bibliotecas es th disefiadas para trabajar con determinado tipo de hardware. Ya que la aplicacidn terminada no requiere de todas las herramientas que el desarrollador necesito para crearla, va acompafiada de un sub conjunto de la biblioteca ( biblioteca de tiempo de corrida ) , la cual habilita al usuario a utilizar las rutinas de dibujo.

Las transformaciones de imhgenes requieren actualizaciones a los datos que describen a la imagen. Los deben permanecer intactos en alguna parte del sistema, hasta que la actualizacidn ocurre, los datos son revisados y la nueva imagen es dibujada. Aunque los datos de la imagen siempre son almacenados en la base de datos de la aplicacidn, algunas bibliotecas gdficas tambih guardan copias de actualizaciones intermedias.

A las bibliotecas gdficas que guardan una copia de los datos de la imagen se les conoce como bibliotecas de retencidn a las otras se les conoce como bibliotecas de modo inmediato.

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Modo Inmediato Modo Retención

Aplicación

. . . . . . . . . . . .

Biblioteca : Gráfica

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Hardware de : Desplegado

...

. . . . . . . . . . . . . . .

Hardware de Desplegado

. . . . .

En las bibliotecas de retencidn se encuentran la lista de aristas para un modelo de estructura o la lista de caras para un modelo de volumen, así como caracteristicas de la imagen. Son convenientes cuando se interactua con la base de datos de la aplicacidn y no se quiere accesarla cada vez que el usuario hace un cambio a la imagen.

Cuando los cambios a los datos de la imagen son tan extensos que una forma es completamente diferente de otra, es necesario accesar la base de datos para actualizar u obtener nuevos datos.

Algunas librerfas tienen los dos sistemas, el de retencidn seria adecuado para el diseAo industrial y mecanico y analisis de programas. El sistema inmediato seria adecuado para aplicaciones de animacidn.

LA BIBLIOTECA GRAFlCA GKS

Se usa en aplicaciones 2-D. Relaciona primitivas con atributos de la imagen en segmentos que pueden ser escalados, rotados y trasladados; pueden formar un objeto completo. Cuando hay que trasladar un objeto de una parte de la pantalla a otra, cada segmento debe ser trasladado individualmente. Se puede controlar la visibilidad, prioridad, detectabilidad, brillo. Los segmentos no pueden ser editados. La GKS puede operar en modo de retencibn y en inmediato al mismo tiempo.

LA BIBLIOTECA GRAFlCA PHlOS

Da numerosos servicios a aplicaciones 2-D y 3-D , incluso entrada y archivo de datos, organiza los datos en estructuras jehrquicas que contienen primitivas y atributos que describen la imagen. Estas estructuras pueden ser agrupadas, compartidas. Una vez que la estructura esta definida se le puede tratar como una unidad y ser referenciada para múltiples apariciones.' Reduciendo la cantidad de datos necesarios para dibujar una imagen.

Las estructuras PHIGS son almacenadas en una base de datos llamada estructura central de almacenamiento CSS. Las sub estructuras heredan las características de sus ancestros. PHIGS se utiliza en programas de simulaci6n, modelaci6n molecular y en aplicaciones de diseno asistido (CAD). Las estructuras pueden ser editadas y modificadas interactivamente.

QUIEN NECESITA DE GRÁFICAS POR COMPUTADORA

Las graficas por computadora eran accesibles solo a algunos individuos con muchos recursos, ahora cada vez es mas accesible para muchos usuarios. Las graficas por computadora ayudan a los usuarios en los campos tbcnicos, científicos y creativos a representar informaci6n por vasta que esta sea.

Se utilizan por ejemplo para acelerar la fase de diseno del desarrollo de un producto. El uso de las graficas por computadora es muy amplio, pero ayudan a comunicar ideas visualmente. El usuario provee las ideas y la informaci6n y la computadora usa estos datos para construir una representacidn visual las graficas por computadora son magnificas para el trabajo de diseno y simulaciones, por ejemplo el usuario puede mover el objeto a distintas posiciones, rotarlo, moverlo desde distintos hngulos.

Las graficas por computadora nos dan la magia de probar nuestras ideas y tratar nuevas soluciones antes de moldearlas en acero.

La televisi6n es un medio común para las graficas por computadora, por ejemplo la gran variedad de caricaturas, los logotipos que vuelan por la pantalla; las graficas por computadora se emplean para elaborar impresiones, revistas y peri6dicos, tambien los artistas ghficos las utilizan.

Los científicos generan grandes volúmenes de datos por medio de investigaciones climaticas y atmosfericas, exploraci6n geol6gica y astrofísica, etc.; pero los datos no son claros si permanecen en forma numerics, si estos datos son visualizados el analisis se simplifica muchisimo.

Las gritficas por computadora y el procesamiento de imagenes nos permiten visitar lugares distintos, muy pequenos, muy calientes, muy fríos o inaccesibles a los humanos.

Para acabar pronto las graficas por computadora son mas que bellas imagenes y mucho mas que un campo elitista para quienes pueden pagar su costo.

Los programas grhficos van desde elaboradas caricaturas, hasta modelados para medicos e investigaci6n farmaceutica. Las grhficas por computadora en todas sus formas esthn teniendo un papel preponderante en la forma de ver nuestro ambiente y en como hacer negocios en el mundo moderno.

LOS SISTEMAS GFtAFlCOS

Estos sistemas se componen de hardware y programas grhficos que juntos producen imhgenes; el hardware representa el potencial del sistema, el software representa la orquestaci6n de ese potencial..

El hardware lo constituyen dispositivos como los siguientes : monitor de alta resolucidn con memoria especial de pantalla, para que pueda reproducir imhgenes complejas, teclado, ratdn, uno o mds procesadores, dispositivos de almacenamiento (discos), etcetera.

Las estaciones de trabajo grhficas tienden a ser considerablemente mhs poderosas que las PCs. Muchos programas gr6ficos son muy sofisticados y requieren hardware poderoso para correr eficientemente. Mientras mhs rapidos y especializados sean los componentes de la computadora, las grhficas de la computadora serhn desplegadas mhs rhpidamente.

LA PANTALLA

El monitor es como una televisi6n que muestra imhgenes gMcas, la mayoría de estas pantallas son tubos de rayos cat6dicos CRTs. Dentro del CRT un caA6n de electrones emite un rayo controlado de estos electrones y al impactarse por dentro con la superficie de la pantalla, su capa de f6sforo se ilumina.

Los monitores de color muestran imdgenes con la combinaci6n de tres colores primarios; rojo, verde y azul. El metodo de combinaci6n es el mismo con el que se combina la luz de colores, es el metodo RGB de coloraci6n. Porciones de los tres colores primarios se anaden para conseguir el color indicado.

PIXELES Y PUNTOS DE FbSFORO

La capa de f6sforo de la pantalla se compone de pequenos puntos, cada uno de estos puntos es una triada de f6sforo que emite l u z roja, verde y azul.

Debido a que las triadas son muy pequeAas y cercanas entre si los ojos del observador ven el resultado correcto. Las triadas de f6sforo se agrupan y a estos elementos visibles de dibujo se les conoce como pixeles. El resultado final es una imagen compuesta de patrones de puntos en un enrejado rectangular llamado ( raster ) . Las estaciones de trabajo grhficas normalmente tienen mejor resolucidn que los monitores de televisi6r1, por lo tanto los pixeles son mhs pequenos y mas numerosos que los de una pantalla normal.

La resoluci6n es el numero de pixeles a lo ancho y a lo alto de la pantalla y hay muchas combinaciones posibles.

CONVERS16N Y REFRESCADO

Determinar el color, monocromo o escala de grises de cada uno de los pixeles involucra un proceso llamado ( scan conversion ) . La imagen a dibujar en la pantalla debe de ser mapeada para determinar la posicibn de los pixeles en la pantalla. El rayo de electrones se desliza por la superficie de la pantalla a lo largo de cada línea de pixeles, el valor ( en memoria ) de cada pixel es transformado a un valor andlogo ( voltaje ) y así determinar la intensidad del rayo de electrones.

Ya que el fbsforo brilla muy brevemente, la pantalla debe de ser refrescada, para esto el rayo de electrones barre secuencialmente todas las líneas, el rayo de electrones refresca la pantalla entre 30 y 1 O0 veces por segundo.

En el metodo entrelazado el rayo recorre cada una de las líneas y despues regresa a la parte superior de la pantalla. El metodo no entrelazado ( el preferido para sistemas grhficos ) recorre todas las líneas de pixeles, de una sola vez, este metodo requiere de una raz6n de escaneo de aproximadamente 60 ciclos por segundo.

CALCULOS PARA LAS GRAFlCAS

Los procesadores de las computadoras son maquinas que interpretan y transforman las ideas almacenadas a algún tipo de acci6n. El hardware de un sistema grhfico puede incluir muchos procesadores que desarrollan distintas actividades. Estos procesadores deben manejar todos los datos que representan las imhgenes que transformaran y mostraran.

EL CPU desarrolla actividades de calculo de todo tipo, maneja las entradas del usuario desde el teclado u otros dispositivos, así como la salida a la pantalla o a la impresora, las actividades relacionadas a la comunicacibn, un buen sistema grdfico debe incluir por lo general un segundo procesador llamado acelerador grhfico.

El acelerador grhfico permite mejorar la velocidad con que se dibuja la imagen y libera al CPU y al software de la pesada tarea de dibujar imhgenes. En general el acelerador actúa como esclavo del CPU, procesa los datos que el CPU le pasa ( usualmente realiza las conversiones que transforman los datos de la imagen a pixeles de la pantalla ) . Hay varios niveles de aceleracibn grhfica, depende del grado de sofisticaci6n deseada en el desempefio del sistema.

EL AMBIENTE DE VENTANAS

La mayoria de las estaciones grdficas de trabajo cuentan con tecnología de ventanas; las ventanas operan como dispositivos separados, cada ventana puede correr su propio programa grhfico y pueden correr simultílneamente, se pueden cerrar ventanas que no estíln en uso, para liberar recursos del sistema, otras ventanas que no se usan frecuentemente pueden permanecer en forma de icono. Es sistema de ventanas maneja en coordinaci6n con el sistema operativo los múltiples programas que pueden correr en un sistema grdfico, por ejemplo un programa de diseno, calendario, correo electrdnico, un programa de publicidad, etcetera.

EL RAT6N

AI tener varias ventanas es importante poder apuntar a varios lugares de la pantalla y seleccionar areas de trabajo; el rat6n es el apuntador mas común, una bolita rodante le da informaci6n de movimiento y direcci6n a la computadora, tiene dos o tres botones.

El rat6n manda mensajes a un controlador ( device driver ) cddigo de software que maneja interacci6n entre el hardware y el software, a la flecha que representa el rat6n se le llama cursor; el apuntar y hacer click con el rat6n puede significar distintas acciones, dependiendo de la aplicaci6n.

El sistema de ventanas es la interface de la computadora con el usuario, debe de ser intuitivo y fhcil de usar. Usualmente con menús, barras de deslizamiento y botones el usuario manipula aspectos de la imagen rapida y fdcilmente.

LA APLICACI~N

Una aplicacidn es un paquete de software disenado para cumplir con ciertos requerimientos del usuario, ademas de almacenar y recuperar informaci6n rapidamente, debe de tener la habilidad de corregir o modificar material existente.

Toda la informaci6n que debe de ser accesada cuando la aplicacidn se utiliza constituye la base de datos de la aplicacidn. Datos para controlar las ventanas, las llamadas a rutinas de dibujo de primitivas, algunas representaciones de imagenes y sus atributos se guardan en la base de datos así como sus actualizaciones.

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INTERACClbN DEL SOFTWARE Y DEL HARDWARE

El usuario se comunica con el software de la aplicaci6n via el hardware de entrada ( el teclado, el ratbn, etc. ) estas entradas son interpretadas por la aplicaci6n y la biblioteca gr&fica, la cual utiliza al procesador para hacer los calculos de tamafio, color y orientaci6n de la imagen y guarda todos los datos que representan a esta imagen.

Hardware de entrada . . . .

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~ ~ i ó t l . . . . .

Biblioteca Gráfica de tiempo de miida

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hardware de desplegado

y / o Acebadw gráfico

Sistema de

Gráticas

Muchos de estos procesos ocurren simulthneamente y describen simplificada mente, en forma general como ocurren las cosas.

DISPOSITIVOS PERIFERICOS

Las cajas de botones, activan funciones especificas disparadas al apretar cierto bot6n (rotaciones o movimientos predefínidos, por ejemplo ).

La tableta grafica, primariamente se utilizo en ambientes de disefio, es una superficie plana con alambrado interior electr6nico, a veces esta tarjeta tiene un menú impreso; tiene dos dispositivos de entrada, ( el puck ) es como un ratt5n pero mas preciso, el stylus es como una pluma. Para digitalizar una imagen esta se

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coloca sobre la tableta y el stylus se mueva sobre la imagen, transmitiendo estos datos a la aplicacibn.

L

Tableta de datos Pluma

i

c Estación Gráfica

SCANNER

Convierte imdgenes impresas a informaci6n digital, el scanner dirige el rayo de luz a la imagen y la cantidad de luz reflejada por las partes del documento es medida por una foto celda. Los datos resultantes son una imagen electrbnica del documento.

VIDEO

La tecnología de multimedia hace posible capturar sefiales de vídeo para mostrarlas en un monitor ( se usa en publicidad y teleconferencias ) . Las imagenes de vldeo que serhn transferidas a el sistema grdfico son transformadas por un hardware especial, de sefial analbgica a una sefial digital; son almacenadas en memoria y posteriormente pueden ser mostradas. Las peliculas suelen ser usadas para producir imdgenes de alta calidad en el sistema grhfico.

IMPRESORAS

Las impresoras de matriz de puntos a color utilizan cintas con los colores ( clan, magenta y amarillo ) son los colores opuestos a los colores rojo, verde y azul, son sus complementos. AI afiadir en partes iguales los colores CMA , el color resultante es el negro; la combinaci6n de los colores RGB por el contrario da blanco. Por lo tanto para obtener el color deseado en la impresibn, se realiza una substracci6n de colores.

Tanto la pantalla como la impresora utilizan enrejados ( grids ) para definir sus imggenes y el sistema grhfico debe realizar una conversibn para poder imprimir esas imagenes.

Las impresoras laser reproducen las imhgenes desde su memoria, utilizan los llamados toners de impresibn y el rayo lhser recorre el papel calent6ndolo con distintas intensidades para producir la imagen, que es por mucho de mejor resolucidn que las de matriz de puntos.

Los ploters son sofisticados dispositivos de impresidn que tienen sus propio microprocesador el cual traslada las rutinas de dibujo a movimientos de la pluma del ploter, las impresiones resultantes son muy precisas. Se utilizan principalmente en diseno mecanico y arquitectura; los ploters de inyeccidn de tinta a color producen imdgenes de alta calidad. Los ploters tambi6n utilizan un enrejado para determinar la posici6n de la imagen.

GRAFlCAS EN UNA RED

El sistema de archivos de red permite que múltiples usuarios de la misma red puedan intercambiar datos y recursos como soffware, espacio en disco y dispositivos de impresidn. Aplicaciones con requerimientos intensivos pueden ser manejadas por un servidor; mientras que las estaciones de trabajo y las PCs que actúan como clientes del servidor hacen uso de alguno recursos del servidor y mejoran su propio desempeno.

El arreglo cliente/servidor es útil en grupos de trabajo donde la misma aplicacibn grafica es utilizada por muchos miembros del grupo. Las maquinas

TECNOLOG¡A RASTER

Esta tecnología permite simular efectos de color, luz y sombra en objetos que parecen reales, esto se logra gracias a un controlador de video. La memoria de pantalla ( frame buffer ) contiene todos los valores de los pixeles de la imagen a desplegar en la pantalla.

Canon de Electrones CRT

Imagen en memoria

1 i

La memoria de pantalla del sistema grhfico ( frame buffer ) contiene el estado o valor de los pixeles de el enrejado ( raster ) en cualquier momento. Y pasa esta informaci6n al rayo de electrones quien rhpidamente mapea y refresca la pantalla; cuando el dibujo cambia, la memoria de pantalla es actualizada y el rayo de electrones ilumina los pixeles del nuevo patrt5n de dibujo. La informaci6n de los pixeles es almacenada en bits de la computadora que pueden ser encendidos o apagados.

Un monitor monocromhtico es el dispositivo mhs simple, puede tener combinaciones de negroherde 6 negro/hmbar en lugar de negro/blanco.

AI arreglo de valores de los pixeles del dibujo, en la memoria de pantalla, se le llama mapa de bits.

ESPACIO 2-D Y DIRECCIONES DE PIXELES

Cada pixel tiene una direccibn en el enrejado de la pantalla, cada direccibn es un punto coordenado.

Y

t (3.41

La coordenada en X es siempre el primer numero en la direccibn del pixel y la coordenada Y es el segundo nirmero. Teniendo identificada la direccibn de un pixel, el sistema gritfico puede iluminarlo. En la mayoría de las computadoras la numeracibn del enrejado comienza de arriba a abajo para la coordenada Y, ya que el barrido del rayo de electrones comienza por a línea superior de pixeles.

ESPACIO 3-D Y DIRECCIONES DE PIXELES

El espacio tridimensional es artificialmente creado con geometrla; el volumen es representado con un tercer eje ( 2 ). Los dibujos que aparentan estar en tres dimensiones tambien pueden ser rotados en tres dimensiones y vistos desde distintos hngulos.

Y

3

PANTALLAS DE SISTEMAS MULTlBlTS

Los monitores de color y de escala de grises, tienen asignados para cada pixel varios bits. el numero de colores que la pantalla puede reproducir depende del numero de bits por pixel; normalmente hay 8 6 24 bits por pixel, pero los sistemas mds sofisticados pueden tener hasta 100 bits por cada pixel.

TRUE COLOR

Tambi6n llamado RGB color puede combinar mds colores de los que el ojo puede distinguir. El modelo para este sistema es un cubo de tres dimensiones ( tres primitivas de color) . Seis colores son los principales mas el blanco, el negro y una escala de grises. Cada uno de los seis colores puede mezclarse directamente con el blanco o el negro cambiando así la brillantes.

Las combinaciones posibles son 256 x 256 x 256

Si se tuviera un sistema de tres bits por pixel los posibles colores serian los siguientes 2 x 2 x 2 = 8

Composici6 en bits n

Color del pixel

Rojo 1

Azul Verde Blanco 1 1

O Rojo O O 1 Negro O O

Io I1 Io I Verde 1 I

L

O Cian 1 1 O Azul 1 O

1 Amarillo O 1 1 Magenta 1 O

AI combinar un color con su complemento se obtiene gris o blanco; con un mayor numero de bits por pixel los posibles colores aumentan en forma exponencial. Si se tuvieran seis bits por pixel serian 26 = 64 colores, el ojo puede detectar mhs de 64 colores; por lo tanto con este sistema no se obtendrían grhficos de apariencia real. Entonces el sistema debe de tener por lo menos 8 bits por pixel 28 = 256 colores, ya que n se acostumbran números impares.

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CURVAS PLANAS

INTRODUCCI~N

una gran cantidad de tbcnicas para dibujar y disenar curvas manualmente. Una amplia variedad de Idpices, plumas, brochas, cuchillos, etc., junto con reglas, compases, plantillas y otras herramientas propias del dibujo t6cnico son utilizadas para auxiliar al disefiador. Cada herramienta tiene su propio uso y su funci6n. Una sola herramienta no es suficiente para todas las tareas. En forma similar, una gran cantidad de tecnicas y herramientas se usan para disefiar y generar curvas en grdficas por computadora. Las tbcnicas de generaci6n de curvas en dos dimensiones se encuentran por completo en un solo plano. La discusi6n sobre curvas se limitara a secciones c6nicas.

REPRESENTACldN DE CURVAS

Los capítulos anteriores han tratado sobre transformacidn de puntos. Una curva puede ser representada por una coleccidn de puntos. Con tal de que los puntos esten adecuadamente espaciados, la conexi6n entre puntos por medio de segmentos pequenos (líneas rectas) producen una adecuada representaci6n visual de la curva. La figura 1 muestra dos representaciones por puntos de la misma curva plana. Los puntos a lo largo de la curva en la figura l a se encuentran igualmente espaciados a lo largo de la misma. La conexi6n de puntos por medio de pequenos segmentos de línea produce una representaci6n pobre de la curva y es especialmente pobre cuando el radio de la curva es pequefio. Incrementando la densidad de puntos en estas regiones, como se muestra en la figura 1 b, la representacibn mejora.

Sin embargo, como se muestra en la figura, las curvas pueden ser representadas adecuadamente como una colecci6n de puntos, una representacibn analítica tiene varias ventajas; algunas de estas con precisi6n, almacenamiento reducido, facilidad para calcular puntos intermedios. Con una representacidn analítica, las propiedades de la curva como pendiente y el radio de curvatura se determinan Mcilmente; sin embargo, con una representaci6n de puntos, la diferenciacidn num4rica es un procedimiento notablemente inexacto. Contrasta tambibn el almacenamiento requerido para una representacidn de puntos, por ejemplo de un circulo con 32 puntos en su circunferencia, a el almacenamiento necesario para el punto que es el centro del circulo y el radio correspondiente en una representaci6n analltica. Cualquier punto en una curva representada analíticamente puede ser determinado con exactitud.

Cuando la curva se representa por una colecci6n de puntos, los puntos intermedios se obtienen usando la interpolacibn; en general, el punto resultante no se encuentra en la curva.

La experiencia ha mostrado que los dibujos de curvas representadas analíticamente se producen mhs Mcilmente. Una representacidn analfiica tambien ha probado ser m& útil cuando se requieren continuas alteraciones de la forma de la curva para cumplir con algunos criierios de diseno.

Varias tbcnicas para representar analíticamente curvas en dos dimensiones se consideran en seguida.

Representaciones anallticas de curvas originalmente definidas por puntos, frecuentemente son necesarias. Desde un punto de vista matemhtico, el problema de definir analíticamente una curva a partir de un conjunto de puntos conocidos, es un problema de interpolacidn. Una curva que pasa por todos los puntos es una que se ajusta a los datos.

Una tecnica común para ajuste de curva es la aproximacidn polinomial acorde a la figura. Para esta tecnica se requiere determinar los coeficientes de un polinomio de algún grado.

La forma que se consigue a partir del conjunto de puntos depende del grado del polinomio y de las condiciones de frontera (límite) impuestas. La aproximacidn polinomial acorde a la figura se tratah en el siguiente capitulo.

Alternativamente, si los datos de los puntos &lo son aproximaciones a algunos valores desconocidos, valores obtenidos de medidas experimentales o datos observados, entonces se requiere una curva que muestre la tendencia correcta de los datos. En general, la curva podría no pasar por ninguno de los puntos. Se dice que la curva es para validar los datos.

Una tecnica común de validacibn es el metodo de aproximacidn de mínimos cuadrados. Este metodo produce una curva de la forma y = qx) que minimiza la suma de las desviaciones cuadradas en (y) entre los datos y la curva derivada. La forma escogida y = qx) se basa usualmente en el conocimiento del fendmeno que producen los datos.

Las curvas usadas en la tbcnica de los mínimos cuadrados son típicamente la funcidn potencia, exponencial y polinomial.

y = a # y = a e bx y c~+c~x+ c&++ C,,+I$

Donde a, b y crS son constantes. Sin tomar en cuenta la forma de curva escogida la tecnica de los minimos cuadrados requiere resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simubneas para determinar las constantes desconocidas.

en curvas (a) Puntos de igual Figura 1. Representaciones de puntos magnituden la curva de la derecha (b)-Los puntos incrementan su radio en la curva de la izquierda.

CURVAS NO PARAMETRIZADAS

Maternaticamente, es frecuente representar una curva con cualquiera de las siguientes formas, la parametrica y la no param6trica. Una representacidn No para - metrica o no parametrizada puede ser explícita o impllcita. Para una curva en el plano, una forma no parametrizada explícita esta dada por

Y = 0 )

Un ejemplo de esto es la ecuacibn de una línea recta, y = mx + b. En esta forma, para cada valor de ‘x‘ se obtiene un dnico valor de ‘y’. Consecuentemente, para curvas cerradas o multivaluadas, por ejemplo, un círculo, no puede ser representado de manera explicita. Las representaciones implícitas son de la forma

f(x,ul = 0

en donde no se tiene esta limitaci6n.

Así, una ecuacidn general de segundo grado de forma explícita es escrita como sigue:

Ésta provee una gran variedad de formas de curvas en dos dimensiones, llamadas secciones cdnicas. Los tres tipos de secciones cdnicas son la padbola, la hiperbola y la elipse, como se muestran en la figura 2. Un circulo es un caso especial de la elipse.

Por otro lado, definiendo las coeficientes constantes a, b, cy d, e, y f se obtienen varios tipos diferentes de secciones chicas. Ahora, si la seccidn c6nica es definida en relacidn a un sistema de coordenadas local y pasa a traves del origen, entonces se tiene que f = O.

Las condiciones geom4tricas de frontera son usadas para establecer una curva en particular a travbs de puntos específicos.

Si c = 1.0 en la ecuacidn general, entonces, para definir un segmento de curva entre dos puntos, deben ser especificados cinco condiciones independientes para determinar los valores de los cinco coeficientes restantes a, b, d, e, y f. Una opci6n es especificar la posici6n de los dos puntos extremos, la pendiente del segmento de curva para cada uno de estos puntos y punto intermedio a traves del cual la curva debe pasar.

Si por el contrario, b = O y c = í - O , entonces la descripcidn analítica de la curva resultante esM dada al especificar sdlo cuatro adicionales, por ejemplo los dos puntos extremos y las pendientes correspondientes a estos segmentos. Una curva simple es definida estableciendo a = í .O, b = O y c = 1.0. Entonces la forma de la curva es

Las tres condiciones requeridas para fijar d, e y f son, por ejemplo, los dos puntos extremos y cualquiera de las pendientes del segmento curvo, ya sea el inicio o el final. Una opci6n alterna es especificar los dos puntos extremos y un tercer punto intermedio a traves del cual la curva debe pasar.

Así, una línea recta es obtenida estableciendo a = b = c = O. De esta forma, tenemos la siguiente ecuacidn

dx+ey+f=O

O

y = - (d/e)x - (f/e) = mx + b’

en donde, como es usual, ‘m’ es la pendiente de la línea y ‘b’ es la ordenada al origen.

Ambas representaciones de curvas no parametricas, la expllcita e implfcita, son de pendientes del eje. Mhs aún, cuando los puntos de una curva paramhtrica sobre un eje dependiente son calculados incrementos iguales en ‘x’ o en ‘y‘, estos no son eventualmente bien distribuidos a lo largo de la curva. EsM distribuci6n desigual de puntos afecta la calidad y precisidn de la representacidn de la grhfica. A pesar de todas estas limitaciones, las representaciones no parametricas son bastante usadas.

L

5 CkCUb

Figura 2. Secciones C6nicas.

CURVAS PARAMETRICAS

En la forma parametrizada cada coordenada de un punto sobre una curva es representada como una funci6n de un parametro simple. El vector de posici6n de un punto sobre la curva esM dado por el valor del parttmetro. A s í , para una curva en dos dimensiones cuyo pardmetro es Y', las coordenadas cartesianas de un punto sobre la curva son:

x = x(0

Y = Y(t)

El vector de posicidn de un punto sobre la curva es entonces:

Asl, la forma no parametrica es obtenida de la forma parambtrica eliminando el pardmetro para obtener una ecuaci6n sencilla en terminos de 'x'y 'y'.

La forma parametrizada es apropiada para la representacibn de curvas cerradas y multivaluadas. La derivada o el vector tangente sobre una curva parametrizada esu dada por

& La pendiente de la curva, - es: &

N6tese que cuando xyt) = O la pendiente es infinita. de aqul que una pendiente infinita estd dada al dejar que un componente del vector tangente sea cero. A s í , tenemos que las dificultades computacionales que esto acarrea, son evitadas usando la derivada de la forma parametrica.

Ya que un sdlo punto sobre la curva parametrica es especificado mediante un solo valor del parametro, dicha forma parametrica es independiente del eje. Los puntos extremos de la curva y el largo son fijados por el rango del pahmetro para el segmento de curva de inter& a O S t II f. Debido a que una curva parametrica es independiente del eje, es f;lcilmente manipulada usando transformaciones.

La representaci6n parametrica de una curva m& simple es para una linea recta. Para dos vectores de posici6n P y P una representacidn parametrica del segmento recto entre ellos es :

P(t) = PI +(P2'Pf)t ; O l f l f

Ya que P(t) es un vector de posici6n, cada componente de P(t) tiene una representaci6n parametrica x(t) y y(t) entre P2 y Pí, por ejemplo:

x(@ = xí + (x2 - x,)t ; P2 - Pf

Y(t) = Yí + ( Y 2 - Y í ) t

Ejemplo 1. Representación paramétrica de una línea recta.

Para los vectores de posici6n p,(l.. 2) y pz (4 .. 3) determine la representaci6n parametrica del segmento de llnea entre ellos. Ademas determine la pendiente y el vector del segmento lineal.

Una representaci6n parametrica es:

P(t) '..PI..+.. ( p 2 - Pl)t = (1..2)..+.. (4..3)..-..(1..2)t ....; .... 0 I t I 1 P(t) =..(1..2@.+..(3..l)t ....; ..... 0 5 t 5 1

Las representaciones parametricas de los componentes 'x' y "son:

x(t) = x1 + (x2 - x1)t = I + 3t ; o 5 t 5 I

Y(t) = Yf + (y2-yd t = 2 + t

El vector tangente es obtenido diferenciando p(t). Específicamente,

P'o = (xJ(t) y'o ) = (3 I )

O

Vt = 3i+j donde vt es el vector tangente e i, j son vectores unitarios en las direcciones x, y; respectivamente.

La pendiente del segmento lineal es:

Tdt x ' ( t ) 3

Una comparacibn de presentaciones parametricas y no parametricas para un círculo en el primer cuadrante es mostrada en la figura 3. La representacibn no param6trica del círculo unitario en el primer cuadrante estd dada por:

y = 111 - x z ...,... o 5 x I 1

La cual se muestra en la figura 3a. incrementos iguales en 'x' fueron usados para obtener los puntos sobre el arco. Note que las longitudes del arco resultante a lo largo de la curva no son iguales. De esta manera, resulta una representacibn visual pobre del círculo. AdemBs, el calculo de la ralz cuadrada es computacionalmente caro.

La forma parametrica esandar para un círculo unitario es:

x = cose......o 5 e I 2.n y = sen8

p(~) = (x..y) = (cose ... sene) ...... os es 2.n

't

1- t2 2t 1+ t2 1+ t2

x=- Y=- O l t l l

Figura 3. Representaciones de un círculo para el primer cuadrante.

donde el pardmetro 0 est6 asociado con el dngulo medido en direccibn contraria a las manecillas del reloj a partir del eje 'x' positivo. Se usaron incrementos iguales en el pardmetro 0 para el rango O I 6 I n/z para obtener los puntos sobre el arco mostrado en la figura 3b. Ya que para esta representaci6n geometrica los incrementos en el pardmetro fueron iguales, &tos produjeron longitudes de arco iguales a lo largo de la circunferencia del circulo, logrando así que la apariencia del círculo sea bastante buena. Sin embargo, la computaci6n de funciones trigonombtricas es tambibn cara. (Una tbcnica computacionalmente menos cara ).

No hay una representacibn única para una curva. Por ejemplo:

(1 - t2) 2t p(t) = ~ ..... -

1 - t 2 1 + t 2 .....;.... o I t I 1

representa el arco circular unitario en el primer cuadrante como se muestra en la figura 3c. La correlaci6n entre la representaci6n parambtrica de la ecuaci6n (3) y la representaci6n parametrica estfrndar en la ecuacidn (2) se muestra en la figura 4. Esta figura muestra la representaci6n de un círculo unitario que esta definido por:

1-t2 1- t2

x = cose= - ; orer7d2 ; Ortrl.

2t l + t

y = c o s e = ~ ; o I e I 7 c / 2 ; Ortrl.

Figura 4. Una correlacith entre representaciones parambtricas.

el hecho de que la ecuaci6n (3) representa un arco circular unitario es tambi6n confirmado, ya que puede observarse lo siguiente:

1- t2 2

y2 = x2 + y2 = +(+) = 1 - 2t2 + t4 + 4t2 - (I+ t2)2 1- t 1+ t

- (1+ t2 )2 (1+ t2)2

= 1

donde Yes el radio unitario.

La figura 3c. ilustra los resultados para incrementos iguales en 't'. como puede ob&arse, resultan longitudes de perlmetro desiguales a lo largo de la circunferencia. Los resultados son mejores que para la representacih no parambtrica explícita (ecuaci6n 1)' pero no tan buenos como la representacidn parambtrica esttmdar (ecuacibn 2). Sin embargo, la ecuacibn (3) es computacionalmente menos cara. Lo cual es un compromiso.

Ejemplo 2. Determinación de un punto sobre una curva paramétrica.

Considere el problema de determinar el valor de 'y' para un valor dado 'x,. Como un ejemplo, asúmase que x = 5 y que se requiere determinar 'y' sobre un clrculo unitario. Para la determinacibn explicita (ecuaci6n 1)' tenemos:

Para una representaci6n parametrica es primero necesario resolver para el padmetro ‘t‘ en terminos de ‘x’ y entonces usar este valor para obtener ‘y’. Específicamente, la representacibn parametrica de la ecuacibn (2), es:

U B = cos” (x) = cos” (O. 5) = 60” y = sen(60’) = 0.866

Alternativamente, de la ecuaci6n (3), se tiene:

1- t2 1+ t2

x = -

2t

Resolviendo la primera de estas ecuaciones para ‘t‘, obtenemos:

t = /- = - = 0.57735 1-x 1 1+x 45

y así:

Para representaciones parametricas mhs complejas, una tecnica iterativa puede ser mas conveniente para encontrar los valores desconocidos de una variable explícita.

Finalmente, podemos decir que, las representaciones parametricas de las secciones cbnicas son independientes al eje y nos proporcionan representaciones visualmente mas aceptables que las representaciones no parametricas. Sin embargo, ni las representaciones parametricas ni las no param4tricas son una panacea. Ambas tienen ventajas y desventajas, y ambas encuentran aplicaciones útiles en graficas computarizadas.

REPRESENTAClbN PARAMETRICA DE UN CIRCULO

Un circulo centrado en el origen de radio r es parambtricamente representado por

donde 8 es el parametro.

Se cuenta con un algoritmo eficiente que no requiere de varios cdlculos de funciones trigonombtricas y que produce una excelente salida visual aunque se apliquen incrementos iguales en e.

Observemos que un circulo esta completamente fuera del alcance para un rango del pahmetro 8 de O a 2 n y asumiendo que un número fijo de puntos uniformemente espaciados sobre la circunferencia son calculados, entonces 68, el pardmetro incremento entre puntos es una constante. Las coordenadas cartesianas de cualquier punto sobre el clrculo centrado en el origen son

x i+l =rcos(ei +6e)

y =wen(@ +6e)

donde e y es el valor del pardmetro que produce el punto en xi yi.

Usando la f6rmula de suma de los dngulos tenemos:

y =r(cose sen68+cos6esene ¡)

pero renombrando utilizando la ecuacit5n (A), 8 = ei:

x = rcose

y = rsene

dando las siguientes ecuaciones de recursi6n:

Xi+l = xi cos83 - y sen68

y i+t = x i senm + y cos68

las cuales representan la rotacidn del punto x ¡, y i por una cantidad 68.

Puesto que 68 es constante e igual a 2d(n-.I), donde n es el número de puntos uniformemente espaciados sobre el círculo, los valores de sen68 y cos68 necesitan ser calculados solamente una vez. El algoriimo resultante requiere solo 4 multiplicaciones, una suma y una substraccidn en el ciclo. Es un algoritmo muy eficiente y los resultados se muestran en la figura 5.

+

Figura 5. Circulo parambtrico unitario con n = 8.

Un círculo no centrado en el origen se obtiene trasladando un círculo centrado en el origen del radio apropiado. Aqul es generado un círculo unitario centrado en el origen. Clrculo de radio arbitrario I y centro (h,k) son obtenidos por combinaci6n de escala y translacidn.

Ejemplo 3. Generación de un círculo paramétrico.

Generar un círculo de radio 2 con centro localizado en (2,2). considerar dos aproximaciones. La primera, generar un clrculo centrado en el origen de radio 2 y entonces trasladar el resultado 2 unidades en X y Y, Alternativamente, generar un círculo unitario centrado en el origen, entonces escalarlo por un factor de 2 y finalmente trasladando por 2 unidades en X y Y. El segundo, es el ilustrado a continuacih Normalmente se requiere un mayor número de puntos. De hecho, el número de puntos depende del radio del círculo.

Así un círculo es una curva cerrada, el primer punto @=O) y el último punto ( 8=211) coinciden. Entonces, para obtener n puntos únicos sobre el círculo es necesario calcular n+l puntos. Para curvas abiertas esto no es necesario.

tenemos que S0 es:

se = 27r 27r 2n 7r

(n+1-1) n 8 4 - - - " - - - -

Utilizando la ecuacidn (A) y comenzando e=o se inicializan los valores para X ycomo

x1 = rcosel = (l)cos(O) = 1

y1 = rsen€+ = (l)sen(O) = O

Usando la ecuacih (B) los siete puntos únicos son obtenidos por, primero

X J Z senm=sen-=- 4 2

X & cosm = cos- = - 4 2

Y

los resultados para los otros puntos se muestran en la tabla l.

3 0 1

7 0 -1

9 1 O

Tabla 1. Resultados para el cfrculo unitario.

Recordando los resultados para transformaciones en dos dimensiones, la transformaci6n combinada 3x3 que primero escala localmente este resultado por un fáctor de 2 y entonces transada el centro del cfrculo al punto (2,2):

2 0 0 1 0 0 2 0 0 (T)=(S)(Tr , )= o 2 o o 1 o = o 2 o

[o o J2 2 3 [2 2 J Aplicando la primera de estas transformaciones al grupo (x,y)

(x1 y* 1)(T) =(1 o 1 o 2 o = (4 2 1) i: 1 3 Los demas resultados son los siguientes (Ver la Tabla 2 y la Figura 5)

4 3.414

2 0.586

O

0.586

2 3.414

4

i XI Y1

CI L

3.414 4

3.414 2

0.586

O

0.586

2

Tabla 2. resultados para el circulo de radio 2 con centro en (2,2)

Por restringir el rango del parametro 8, el algoritmo genera arcos circulares. Por ejemplo, para O I 8 I d2 el cuarto de círculo en el primer cuadrante es generado. Similarmente, ‘IE I 8 I 3d2 se obtiene el cuarto de círculo en el tercer cuadrante.

REPRESENTACbN PARAMETRICA DE UNA ELIPSE

Para una elipse, si iguales incrementos en dngulo son usados para calcular la distribucibn de los puntos, un resultado inaceptable es obtenido, como el que se muestra en la figura 6.

n I I b

Figura 6. Representacibn de igual dngulo para una elipse.

Aqui los puntos finales no esMn representados adecuadamente. Esto es porque cerca de los puntos finales de una elipse la curvatura es grande para ser representada por pocos puntos.

Un metodo alternativo es usar incrementos iguales a lo largo del perfmetro. Para un nomero suficiente de incrementos da una mejor representacibn. Ahora, la elipse es sobre especificada a los lados, donde la Curvatura es pequefia. Ademds, la determinacidn de longitudes iguales envuelve cdlculos de integral ellptica caros computacionalmente. Son necesarios incrementos pequeAos en longitud del perlmetro cerca de los finales, donde la curvatura es grande y mayores incrementos a los lados, donde la curvatura es pequefia.

El punto de distribucibn deseado es obtenido por considerar la representacibn pardm6trica de una elipse centrada en el origen del semieje mayor a y semieje menor b dados por:

x = UCOSB

y = b s m B ( A )

donde 9 es el parhmetro. Variando 9 entre O y 2n se extiende fuera de la elipse. Un número especificado de puntos a lo largo del perímetro de la elipse es obtenido por llevar incrementos uniformes en el pardmetro 9.

Examinando las derivadas de X y Y

muestra que los incrementos son obtenidos automaticamente. Cuando 9 esu cerca de O o n, es decir, cerca del final, I dx I O y I dy 1 x bd9. Cuando 0 estA cerca de n /2 o 3d2, es decir, cerca de los lados, I dxl w ad0 y I dy 1 w O. Entonces, cerca de los finales, donde la curvatura es grande, mds puntos son generados; mientras que cerca de los lados, donde la curvatura es menor, pocos puntos son generados. De hecho, el radio del perimetro incrementa el tamatlo en el final para que a lo largo de los lados sea aproximadamente b/a. Notar que en el caso de un circulo donde b = a resulta la representacidn dptima, es decir, igual perímetro o incrementos de angulos iguales.

Asumiendo otra ves un número fijo de puntos sobre el perímetro de la elipse se muestra un algoritmo eficiente usando las fdrmulas de suma de ttngulos. Las coordenadas cartesianas de cualquier punto sobre la elipse centrada en el origen son entonces

Con 9 = 8i estas ecuaciones se reescriben como:

x =x icos69 - (a /b)yisen69

yi+1 = (b/ a)xisen% + ~ $ 0 ~ 6 9 (B)

Entonces, 8 8 , a y b son constantes, un algoritmo eficiente es obtenido y utiliza otra vez cuatro multiplicaciones, una suma y una resta dentro del ciclo interno, como el algoritmo anterior. Ver la fig. 7

Figura 7. Representaci6n parametrica de una elipse.

Las elipses no centradas en el -origen con ejes mayores inclinados hacia la horizontal son obtenidos por, primero, rotando alrededor del origen al angulo deseado y entonces, trasladando el origen al lugar escogido.

Ejemplo 4. Generación de una elipse paramétrica

Generar una elipse con semieje mayor a = 4 y semieje menor b = 1, inclinada 30' de la horizontal con centro en (2,2).

Primero es generada una elipse centrada en el origen. Para ilustrar los resultados, 32 puntos únicos sobre la elipse son generados requiriendo n = 33 porque el primero y el último puntos son coincidentes. Ahora, para conservar el espacio s6lo se muestra el primer cuadrante. Entonces, el intervalo del parametro es05e1d2.

Primero

Utilizando la ecuacidn (A) y comenzando con e O, se inicializan valores para X y Y, que son

xi = acosel = &OSO = 4 y1 = bsene, = IsenO = O

Entonces a l b = 4, b/ a = % y

sen60 = send1 6 = 0.1 95 cos¿% = cosdl6 = 0.981

para el segundo punto tenemos que usando la ecuaci6n (B)

los demas resultados se muestran en la tabla 3 y en la figura 7

1 x, Y1

1 4 O 2 3.923 0.195 3 3.6% 0.383 4 3.326 0.556 5 2.828 0.707 6 2.222 0.831 7 1531 0.924 8 0.780 0.981 9 0 1.0

Tabla 3.

Recordando los resultados para dos dimensiones tenemos las siguientes matrices ( ver figura 8 )

(T)= (R)(Trv) =

Aplicando esta transformaci6n para (xl , yl) y (xz , yz) tenemos:

0.866 0.5 O

(= 3 (')= (3.z23 0.195 1 -0.5 0.866 O 1 = (5'ly 4.1431 i)

2 2 1

LOS resultados para rotar y trasladar la elipse se muestran en la siguiente tabla.

i Xi Yi

1 5.464 4.0 2 5.3 4.131

3 5.009 4.179 4 4.603 4.144

5 4.096 4.027 6 3.509 3.831 7 2.864 3.565

8 2.185 3.240 9 15 2.866

Tabla 4.

Figura 8. Rotaci6n y translaci6n de la elipse

REPRESENTACldN PARAMETRICA DE UNA PARABOlA

Considerando una parabola centrada en el origen abriendo a la derecha, es decir, con el eje de simetrfa en el eje x positivo. El brazo superior de una parabola es mostrado en la figura 9. En coordenadas rectangulares la parabola es representada en forma no param6trica por

y 2 = 4 m Una representacibn param6trica esta dada por

X = t a n 2 $

donde O I + I d 2 . Aunque esto provee una adecuada representacibn de una pahbola, esta representacibn no produce una figura con el maximo de area inscrita y esta no es la manera mas eficiente de una representacibn visual. Una representacibn param6trica alterna la cual produce un mAximo de area inscrita es

x =Ed2 y = 2a8

f o c o /

Figura 9 Parabola

donde O S 8 I 00 barre el brazo entero de la pahbola. la pahbola, no obstante, es diferente a la elipse, ya que esta no es curva cerrada. Así, la cantidad de la parabola que se despliega se limita por la eleccibn de un mlnimo o maximo valor para 8. Esto puede hacerse en coordenada x es limitada, entonces

una variedad de formas. Si el rango de la

si el rango de la coordenada y es limitado, entonces

e & " - - YIoin &U- e - = 2a 2a

teniendo establecidas y10 emax, la pardbola dentro del primer cuadrante se puede generar. Las pardbolas dentro de otros cuadrantes, con los centros desplazados o en otras orientaciones son obtenidas usando reflexi6t-1, rotaci6n y translacibn.

Esta pardbola puede tambibn generarse incrementada. Asumiendo un número fijo de puntos sobre la padbola produciendo un incremento fijo en 9. Para

9j +M, la ecuaci6n (9) con 9 = 9j reescribiendo estas ecuaciones tenemos

Aquí un nuevo punto sobre la par2hola es obtenido con el costo de 3 adiciones y una multiplicaci6n en el ciclo interior del algoritmo. La figura ( IO) muestra un ejemplo de una padbola generada usando la relaci6n de recursi6n en la ecuaci6n (1 2).

Figura I O. Parhbola generada parambtricamente.

Ejemplo 5. Oeneración de una parábola paramétrica.

generara el segmento parabdico en el primer cuadrante con 1 I x 5 4 para la pardbola dada por

x = ag2 = 9 2 y = 2a9 = 29

es decir, para a = 1.

Primero es necesario determinar los limites de 9. usando la ecuaci6n (IO) determint, Omin y Om, produciendo

para 1 O puntos sobre el segmento parabdico

se= e,-e, - 2 - 1 1 - ” - -

n - 1 10-1 9

comenzando en el = ernin, xi = 1, la ecuaci6n (9) produce

y1 = 2 a91 = (2)(1) = 2

de la ecuaci6n (1 2)

X2 = XI + y169 + (69)’ = I + (2)(1/9) + (1 /Q)2 = I .235

Los resultados completos son mostrados en la tabla 5 y en la figura 11

i Xi Y ,

1 1.0 2.0 2 1.235 2.222 3 1.494 2.444 4 1778 2.667 5 2.086 2,889 6 2.420 3.111 7 2.778 3.333 8 3.160 3.556 9 3.568 3.778 10 4.0 4.0

Tabla 5. Resultados para el segmento parabblico

Figura 11. Segmento Parabdlico.

Para un prop6sito especifico, otra representacidn parametrica puede ser mas útil. La representacidn especifica depende de la aplicacidn y la informacidn específica sobre la que serd usada. por ejemplo, si un arco parabdico esta siendo dibujado entre dos puntos, y el control de la inclinacidn final es necesaria, se sugiere la siguiente forma:

~ ( t ) = (Q, - 2R, + P,)t2 + 2(R, - P,)t + P,

~ ( t ) = (ey - 2Ry + Py )t2 + 2(Ry - Py )t + Py

Aquí el pardmetro es t, y los puntos finales de la pardbola son P = ( Px Py) y Q = ( Qx Qy.) El punto R = ( Rx Ry ) es el punto de interseccidn de los puntos y la tangente. los v6rtices P, Q, R definen la pardbola como se muestra en la figura (12)

Figura 12. Definici6n de los vertices de una parabola parametrica

REPRESENTACIbN PARAMeTRICA DE UNA HIPERBOLA

Vamos ha generar una hiperbola centrada en el origen con el eje x como el eje de simetrla. la representaci6n en coordenadas rectangulares no parametricas de esta hiperbola es

x* y 2 "- a' b'

= 1

que implica que el vbrtice esta en (a,O) y las inclinaciones asint6ticas son +b/a. Una representaci6n parambtrica dada por

x = kasec6 y = +btanB

donde O I 0 I d2 producen la hiperbola deseada. Con esta representaci6n el pollgono inscrito no es de area maxima. Sin embargo, es una area maxima cercana. y las fbrmulas de sumas de angulos pueden s e r usadas produciendo un algoritmo eficiente. Recordemos que

sec(8 + se = 1 1 - -

COS(^+ 68) COS~COS- S ~ I I ~ S ~ I I S B Y

sustituyendo en la ecuacidn (I 4) produce

Una representacidn parametrica alterna de una hiperbola la cual produce el pollgono con la maxima area inscrita es

x = acoshe y = bsenhB

las funciones hiperbdlicas esMn definidas como coshe = (eg + e-' )/2 y senhe = (e

+ e-' )/2. Como 9 varia de O a 00 la hip4rbola puede ser trazada fuera (es como la partibola, una curva no cerrada). Las f6rmulas de suma de tingulos para cosh y senh son

cosh(8 + 60) = coshe cosh60 + senh9 senh66

senh(9 + r;e) = senhe cosh68 + coshe senh69

Reescribiendo la ecuaci6n (1 6) tenemos

q+1 = a (cosh9 coshm + senhe senh69)

yi+1 = b(senh9 coshm + coshe senh69)

O

q+l = q coshm + (Q/b)yi senh68

yi+l = (b/Q) q senh69 + yi cosh69 (1 7)

Otra vez los valores maxim0 y mlnimo de 8 se determinan con el fin de limitar la extensibn de la hiperbola. Considerando el brazo de la hiperbola en el primero y cuarto cuadrantes y dibujando la porcibn de la hiperbola para x,,,¡” 5 x 5

& a X l

8, = cosh” (5)

donde la inversa del coseno hiperb6lico es obtenido de

cosh” x = ln(x + 4 x 5 ’ )

Otros limites son similarmente determinados. Un ejemplo de la porcibn del primer cuadrante de una hiperbola generada usando esta t6cnica es mostrada en la figura 13.

Figura 13. Hiperbola parametrica.

Ejemplo 6. hiperbola parametrica.

Usando la representacidn dad en la ecuacidn (16)generar 8 puntos sobre el segmento de hiperbola dentro del primer cuadrante con a=2, b=l para 4 I x I 8.

Primero, los limites de los parametros son determinados. Usando la ecuacidn (1 8) y (I 9) tenemos

similarmente,

tambih,

edn = 1.317

%laL -%I - 2.063 - 1317 se = - = 0.107 n-1 7

Y

senh(S9) = senh(0.107) = (e - e-O-lo7 )/2 = 0.107

cosh(S9) = cosh(0.107) = - )/2 = I .O06

0.1 07

Usando la ecuaci&n (16) con el = tenemos

x1 = acosh(9d = (2)cosh(l.317) = 4.000

y1 = bsenh(e,,,,,J = (l)senh(l.317) = 1.732

De la ecuaci&n (1 7) tenemos

x2 = xlcosh(83) + (u/b)yi senh(S9) = (4)(1.006) + (2)(1.732)(0.107) = 4.4.393

y2 = ( W u ) x l senh(80) + y1 cosh(S9) = (1/2)(4)(0.107) + (I .732)(1 .m) = 1.956

Los resultados completos son mostrados en la tabla 6 y en la figura 13

i xi Yi

1 4 1.732 2 4.393 1.956 3 4.836 2.201 4 5.334 2.472 5 5.892 2.771 6 6.518 3.102 7 7.218 3.468 8 8 3.873

Tabla 6. Resultados para el segmento hiperb&lico.

PROCEDIMIENTO PARA UTILIZAR SECCIONES CONICAS

Un gran número de aplicaciones comunes en ghficas por computadora involucran construcciones geometricas planas. Por ejemplo diseno de partes de maquina y sistemas de bosquejo por computadora. Los problemas particulares que surgen son determinar la posici6n de una secci6n c6nica y su intersecci6n y/o punto de tangencia con otra seccidn cdnica o con una línea. En primera instancia el problema parece ser trivial o relativamente simple. Sin embargo si los elementos geometricos est6n arbitrariamente localizados en el plano bi-dimensional, varias soluciones podrían existir, la selecci6n de la soluci6n adecuada podría no ser obvia y la metematica resultante frecuentemente no es lineal. La tbcnica que se discute en seguida elimina las matematicas no lineales y simplifica la matematica lineal resultante. Aun mas, cuando soluciones múltiples existen, la estructura Idgica necesaria para seleccionar una soluci6n particular es mas fkil de distinguir.

La filosofía basica es utilizar tbcnicas de manipulaci6n de graficas por computadora, en particular, rotaciones y translaciones bidimensionales, colocar la geometría en el primer cuadrante si se tiene una configuracidn esundar. si la geometría involucra secciones c6nicas, uno de los centros(en el caso de una priibola o hip&rbola, el v4rtice) se coloca en el origen del sistema de coordenadas. En general, formas no parametricas de las ecuaciones se utilizan para encontrar los centros, v4rtices, puntos de tangencia o de interseccibn. Una forma parambtrica se utiliza para dibujar las secciones cbnicas. Esto divide el procedimiento de dibujo, se utilizan los aspectos m& eficientes de ambas representaciones.

El poder y la filosofla de esta tecnica se ilustra mejor con un ejemplo detallado. Uno de los requerimientos geom6tricos m& simples y comunes es dibujar un circulo utilizando tres puntos. La geometría se muestra en la figura 16, donde los puntos son Pl(xl ,yl), P2(x2,y2), P3(x3,y3). la posici6n del centro y del radio del círculo seran determinados. Una tecnica directa de soluci6n es escribir las tres ecuaciones no lineales simultheas de h, k, (las coordenadas (x) y (y) del centro del círculo) y del radio R.

(x2 - h)2 + (y2 - k)2 = R2

(X3 - h)’ + (y3 - k)2 = R2

El algoritmo soluci6n primero resta la ecuaci6n 20b de las ecuaciones 20a y 20c reduce la soluci6n a un problema lineal.

Especlficamente el algoriimo soluci6n es ( (a) - (b) )(x3 - x2) - ( (c) - (b) ) (xi - x2) donde las letras entre parentesis se refieren a las ecuaciones 20?.

La ecuacibn resultante para (k) es:

R se obtiene de cualquier ecuaci6n 20?.

AI revisar las ecuaciones (21 y 22) se encuentran algunas dificultades, en particular, si el denominador de alguna es cero, entonces en metodo alternativo debera usarse. Inclusive, la condicibn de revisar un radio infinito o puntos colineales no se ven inmediatamente.

La complejidad de las ecuaciones resultantes para h y k se reduce primeramente al trasladar los tres puntos de tal forma que Pi se encuentre en el origen del sistema de coordenadas (ver figura 14). Las ecuaciones correspondientes serlan

hg2 + k2 = R2 (23a)

( ~ 2 ’ - h1)2 + ( ~ 2 ’ - k q 2 = R2 (23W

Restando (a) de (b) y (c) se obtienen dos ecuaciones lineales simultheas.

El algoritmo soluci6n es [(b) - (a)p3’ - [(c) - ( a ) l ~ ~ ’ ~ el cual produce

Al trasladar h’ y k‘ de regreso al sistema original de coordenadas se obtiene h y k. Esta tbcnica tambien tiene sus dificultades o sea si el denominador de cualquier ecuaci6n (24) o (25) es cero. Ademas, la condici6n para un radio infinito o para puntos colineales tampoco inmediatamente es obvia. Para sobre llevar estas dificultades se sigue el siguiente procedimiento soluci6n:

Realizar una traslaci6n tal que uno de los puntos se encuentre en el origen del sistema de coordenadas.

Rotar alrededor del origen hasta que uno de los puntos se encuentre sobre la parte positiva del eje (x).

Revisar puntos colineales.

Resolver para el nuevo sistema de coordenadas el centro y el radio del circulo.

Realizar una rotacidn inversa a la que se hizo anteriormente.

Trasladar de regreso al sistema original de coordenadas para obtener el centro del circulo en el sistema de coordenadas original.

La figura I 6 muestra esta tbcnica donde PI ha sido trasladado al origen y P2 rotado a el eje positivo (x) las ecuaciones correspondientes en el sistema coordenado y”) son las siguientes

h”2 + = R2 (27a)

(x2’’ h”)2 + k‘I2 R2 (27b)

(x3‘’ - h”) + (yi’ - k‘’) =: R2 (27c)

Restando la ecuaci6n 27a de la ecuacidn 27b se obtiene

Restando la ecuaci6n 27a de la ecuaci6n 27c y sustituyendo la ecuaci6n 28 se obtiene

AI revisar la ecuaci6n 29 se nota que si y3" = O entonces k es infinita. Sin embargo, y3" solamente puede ser cero si los tres puntos son colineales. Asi, S610 hay que hacer una revisibn para el caso colineal.

Figura 14 Circulo que pasa por tres puntos.

El circulo que pasa por los tres puntos es un ejemplo simple. No es necesario un &bol de decisiones para seleccionar la soluci6n deseada de entre las múltiples soluciones. Sin embargo, la mayoria de las construcciones geombtricas que involucran Ilneas de intersecci6n. Adentro y afuera con respecto a un clrculo.

Estos conceptos son los mismos de acuerdo a la orientaci6n del usuario, en cualquier posici6n del espacio geom6trico y en la configuraci6n soluci6n esundar en el primer cuadrante. Un ejemplo simple para determinar la posici6n del centro y de los puntos de tangencia de un circulo de radio R conocido, tangente a dos llneas que se intersectan P y L, se utiliza para mostrar los conceptos de izquierda-derecha y cerca-lejos. En la practica este problema surge cuando se requiere un medio

círculo o una esquina-radio. Hay cuatro soluciones, cualquiera puede ser velida para un radio dado.

La estrategia de solucibn es:

Resolver para el punto de interseccibn de las dos líneas . Si no hay solucibn, las llneas son paralelas.

Realizar una traslacibn tal que el punto de interseccibn este en el centro del sistema de coordenadas.

Rotar alrededor del nuevo origen de tal forma que una de las líneas coincida con el eje (x).

Determinar el dngulo entre la otra llnea y el eje positivo (x).

Rotar alrededor del nuevo origen tal que el eje positivo (x) sea la bisectriz de las líneas que se intersectan.

Resolver la transformacibn de regreso a la posicibn original.

La figura 15 muestra este caso en la configuracidn estandar. Las dos líneas que se intersectan son P y L con puntos terminales PI, PZl Ll I L2 respectivamente. para cada una de las posibles soluciones una de las coordenadas del centro del círculo (h,k) se encuentra sobre uno de los ejes coordenados.

La solucih adecuada se selecciona al definir si se encuentra en el lado cercano o lejano de la línea P viendo desde Pi o P2 o si se encuentra en el lado cercano o lejano de la línea L observando desde PI a P2. En la figura 15 c1 esta a la derecha y lejos y c3 esta a la izquierda y cerca. por geometría el centro de ci es

h = Wsene. k=O

donde 8 es el dngulo agudo entre el eje x positivo y la línea P. Los puntos de tangencias con las llneas P y L son

q = h-Rsene

Los resultados completos se dan en la tabla 7. Construcciones mes complejas ilustrarían la aplicacibn de los conceptos adentro. Es posible hacerlo extensivo a otras secciones cbnicas.

.

Figura 15 Circulo tangente de dos líneas intersectadas

Orientación con Orientación con Centro Puntos de Tangencia respecto a la línea P respecto a la línea L

Izquierda

Izquierda

Derecha

Derecha

Lejos h=O X, = * R c ~ ( 9 0 - 8 )

k=R/sen(90-9)=R/cose = 'RsenB yt = k- R w s B

cerca

Lejos

cerca

h= - Wsen9 x = + sen

k=O y = k cos

h= - Wsen(9) x = - sen

k=O y = * cos

h=O . . . . , .

k= - R/sen(sw) . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . = - R/cose

Tabla 7 Tangentes de círculo a dos líneas que se intersectan.

LAS ECUACIONES C6NICAS GENERALES

Las curvas cbnicas discutidas en las secciones anteriores son casos especiales de las curvas descritas por la ecuacibn general de segundo grado

donde A, B, C, D, E, F son constantes. Una cbnica es alguna curva plana que satisface esta ecuacibn. La ecuacibn general no solo es de inter& por si misma, pero tambiEtn como base para posteriores discusiones de curvas chicas racionales y de superficies cuadraticas. Una aproximacibn por el Blgebra de matriz es usada por falta de completes y conveniencia.

Las curvas o secciones chicas son centrales o no centrales. Las formas centrales son esas con un centro, especificamente la elipse y la hip&bola.(un circulo es un caso especial de una elipse.). La parabola es la única cbnica no central, ya que carece de centro. Ademas de estas formas chicas ya conocidas hay varias formas degeneradas. Todas las formas degeneradas son centrales. El objetivo aqul es determinar, para valores especlficos de las constantes A hasta F, Si la eq(31) representa una cbnica central o no central, es decir, Si representa una elipse, una hiperbola o una parabola. Ademas requiere identificacih de todas las formas degeneradas.

Comenzando, note que eq(31) puede ser escrita en forma de matriz como

/ / / / / /

que es

Nbtese tambkn que (S) es sim6trico a la diagonal principal.

La primer tarea es transformar la c6nica en forma esthndar. Para una c6nica central (elipse o hiperbola) la forma esundar coloca el centro de la cbnica en el origen con su eje x alineado con las coordenadas x. Para una cbnica no central (parabola) la forma estimdar es con el eje de simetrla de la parabola coincidiendo con el eje x positivo, con el vbrtice en el origen y la parabola abierta a la derecha. Translaciones y rotaciones son usadas por transformar la cbnica general a la forma esundar.

Si la c6nica es central, los tbrminos lineales son eliminados de las Eqs(31) o (32) por al trasladar e l centro de la cdnica a el origen. Despues de la traslacidn la Eq(32) se vuelve

Donde la matriz translacidn (T,) es

Despues concatenando las matrices de translacidn y coeficientes, la ecuacidn transformada se convirti6 en

donde

Y

A'=A B'= B C'= c D'= 2Am+Bn + D E'= Bm+2Cn+E 2F' = mD' + nE' + (Dm + En +2F)

note que (S') es tambien simetrica.

Por lo tanto Eq(31) se transforma en

Los factores de translaci6n m y n requeridos para eliminar los tbrminos lineales son obteniendos por asignar D' = E' = O. Por lo tanto

2Am+Bn+D = O Bm+2Cn+E = O

Que puede ser escrito como (M)(L)=(Q).

Si (L) es invertible, una solucidn para (M) existe y es chica central, es decir, una elipse o una hiperbola. si (L) es no invertible, es decir, singular, una solucidn para (M)no existe y es chica no central, es decir, una parhbola. si (L) es singular, su determinante es cero. por lo tanto

" I I (37)

O

De este modo, Eq (31) representa una parabola si B2 - 4AC = O y una c6nica central si B2 - 4AC # O. si la cdnica es central y si B2 - 4AC O, entonces Eq (31) representa una elipse, y si B2 - 4AC > O, una hip4rbola.

Si [L] es invertible o no, los ejes de la c6nica se pueden hacer paralelos a los ejes coordenados por rotacidn. Regresando a Eq (32) y aplicando una matriz general de rotaci6n bidimesional en coordenadas homogeneas [R] produce

donde para una rotacien un hngulo 9

Concatenando las matrices producen

(39)

donde

, . _.".,_ . . , . .. ". """, - '. ~. . , . .

Y A ' = Acos29 + Bcos9sen9 + Csen28 B" = 2(C-A)cos9sen9 + B(cos28 - sen28) C" = Asen28 - Bcos9sen0 + Ccos28 D" = Dcos9 + Esen9 E" = Ecos9 - Dsen9 F" = F

De nuevo note que [S"] es simetrica. Si los ejes de la cdnica son paralelos a a los ejes coordenados, entonces el termino producto cruz Bxy en Eq (31) no se presenta. De este modo, el coeficiente B" = O produce la rotacidn en el dngulo requerido. especffkamente,

2(C-A)co&sen9 + B(cos28 -sen29) = O

O

(C-A)sen28 + Bcos28 = O

solucionando para 9, el Bngulo de rotacidn, da

Para este dngulo de rotacidn, S" se vuelve

Ecuacidn (37) determina si la cdnica es central o no. Si la cdnica es central, entonces es colocada en la forma esthndar por una combinacidn de translacidn y rotacidn. La translacidn seguida de rotacidn produce.

Concatenando las matrices centrales producen

la matriz anterior es la (42)

A“’ = Acos20 + Bcosesene + Csen20 B”’ = 2(C-A)cosesene + B(cos20 - sen20) C”’ = Asen20 - Bcosesene + Ccos20

&cos0 + qsen0 E”’ = qcose - &sene F ” ’ = ( m ~ + q n + < ) / 2

DI*’ =

donde

&=2Am+Bn+D q=Bm +2Cn+E <=Dm +En+2F

N6tese que esta es una matriz diagonal, es decir, toda la matriz en la diagonal tiene ceros. La explicacidn es que la rotaci6n elimin6 el termino producto cruz (B”’ = O) y la subsecuente translacibn elimina los t4rminos lineales (D”’ = E”’ = O ) de la c6nica central. El angulo de rotaci6n dado por Eq (40). Como arriba, los factores de translaci6n m, n son obtenidos por asignar D”’ = E”’ = O. D”’ y E”’ son cero si E = q = O, es decir, si

2Am+Bn + D = O Bm+2Cn + E = O

producen las siguientes soluciones

Recordando que para una c6nica central B2 - 4AC # O.

Escribiendo fuera de Eq(41) usando la eq (42) produce

La cual es la forma esblndar para la c6nica central. Este residuo investiga sistem6ticamente los resultados para varios valores de a y p.

Asumiendo que K es distinto de cero y positivo, entonces si a y fl son ambos positivos la c&nica, es una elipse.

Si a y p son de signos opuestos y ninguno es cero, entonces la cdnica es una hip6rbola..

Si a y p ambos simulMneamente no son cero la Eq (45) no contiene tbrminos de segundo grado. Sin embargo, cualquiera a y p pueden ser cero. Asumiendo que p = O (si a = O entonces en el intercambio de x y y obtenemos p = O). La ecuacidn (45) entonces se volvid

La solucidn producida en un par de lineas paralelas en x f 4-da proporciona -da >O. Si -da >O, entonces no son solucidn, es decir, la cdnica es el conjunto vaclo.

Si K = O, entonces hay dos posibilidades; Si a y p tienen signos opuestos. Ambos producen soluciones degeneradas. Si a y p tienen los mismos signos, entonces solo el origen, es decir, x = y = O, satisfacen Eq (45). este resultado podrla ser considerado como el caso límite de una elipse.

Si a y p tienen signos opuestos, entonces Eq (45) se vuelve

O

Que representa un par de lineas intersectando al origen. Este resultado es el caso llmite de la hipbrbola.

Finalmente, Si p = O (Si a = O intercambio x y y para obtener p = O), entonces la solucidn es el eje y para todos los valores de a, es decir, el eje y repetido.

Si el cdnico es no central, es decir, una parabola, entonces como mencidn previa los terminos lineales no pueden ser eliminados. Sin embargo, uno de los tbrminos linealmente dependientes a lo largo con uno de los tbrminos cuadraticos cualquiera en x o y puede ser eliminado.

Regresando a la Eq (39), que representa la ecuacidn cudrAtica despubs de una rotacidn general, entonces aplicando una translacidn general produce

donde

El angulo de rotacidn dado por Eq (40) se da por sentado. Aquf cualquiera A' = A" o C' = C" puede ser cero. Cualquiera de los t4rminos en x o y puede ser eliminado por D' o E' igual a cero. Con D' = O produce

Con E' = O produce

Note que si A l = O, entonces m no puede ser determinado. De este modo, solo los terminos lineales en y son eliminados. Si C" = O, entonces n no puede ser determinado y solo los t4rminos lineales en x son eliminados.

Asumiendo que los terminos lineales en y (E' = O) y los terminos cuadraticos en x (A' = O) son eliminados (si p= O, intercambiar x y y para obtener y = O), [S'] volviendose

Escribiendo fuera de la ecuacidn para la cdnica produce

La parabola puede ser colocada en forma esundar con el v6rtice en el origen por translacidn en x por K

Todas las formas degeneradas son cdnicas centrales. Por lo tanto la pahbola es la única cdnica no central. La tabla 8 muestra los resultados

Nombre Ecuacidn Condiciones Tipo Dibujo

Elipse

Hipérbola

Parábola

Conjunto Vacío

Punto

Par de Líneas

Líneas Paralelas

Conjunto Vacío Línea 'repetida'

central

central

No central

central

central

central

central

central central

Tabla 8 resumen de la secci6n cbnica

Un ejemplo muestra m& completamente estos conceptos.

Ejemplo 7. segmento hiperb6lico.

Determine el tipo de c6nico descrito por

2x2 -72xy + 23# + l a - 2Oy +50 = O

YC Sin * dibujo m # + Sin dibujo

y mostrado como una linea sdlida en la fig. 16. Dibujar el segmento para 3 x 5 para ymin. De este modo, el segmento c6nico es dibujado usando representaciones parambtricas desarrollada en las secciones previas. La tbcnica discutida en las actuales secciones usada para determinar los valores apropiados para la representaci6n parambtrica.

Fig. 16 Hiperbola 2x - 72xy + 23# + 14Ox -2Oy + 50 = O . líneas sblidas en la posicibn original. guiando llneas en la posici6n estíindar.

Primero determinando el tipo de cbnico.

B2 - 4AC = (-72)2 - (4)(2)(23) = 5OOO > O

Y el c6nico es una hip6rbola.

Usando Eqs.(40) a la (44) transformar la hiperbola en forma esandar para producir

Para el dngulo de rotacibn.

Note que cose = 4/5, sen9 = 3/5 producen

A" = Acos28 + Bcose sene + Csen28 = (2)(4/5)2 + (-72)(4/5)(3/5) + (23)(3/5)' = -625/25 = -25

C"' = Asen28 - Bcos0sen0 + Ccos28 = (2)(3/5)2 - (-72)(4/5)(3/5) + (23)(4/5)2 = 1250/25 = 50

Los factores de translacidn m y n son entonces

Siendo E = q = O, el termino constante es

La ecuacidn de la hiperbola es entonces

-252 + + 100 = O

En forma esandar od + py' + K = O es el resultado

- 2 + 2 # + 4 = 0 a 2 - 2 9 = 4

En la forma

Nosotros tenemos

que producen 4"

La hiperbola es representada parametricamente por (ver Eq 16).

x = acosh (t) y = bsenh (t)

Donde aqul t es el parametro. Dibujando la hiperbola parametrica requiere determinar los valores de t correspondientes a x = 3.5. Note que las transformaciones usadas al colocar la cdnica en forma esundar transforma los ejes antes que la cbnica, la correspondiente transformacih de los valores de x son obtenidos por usar el inverso de esta transformacih El resultado de la transformaci6n concatenada es.

La coordenadas x transformada es

/ / / /'

Donde las coordenadas (y) tambien han sido incluidas. Los valores parametricos son entonces.

Usando este valor parametrizado para t,,,,,y & produjeron el resultado mostrado en la tabla 9 y en la fig. 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . . . . , . , . . . , . . . .

t X Y 0.349 2.1 23 -0.503 0.438 2.195 -0.640 0.528 2.285 -0.781

0.61 7 2.393 -0.929 0.706 2 S20 -1 .O84 0.796 2.668 -1.248 0.885 2.837 -1.422 0.975 3.028 -1.608 1 .O64 3.244 -1.806 I .I53 3.486 -2.01 9

Tabla 9 segmento hiperbblico en la posici6n esundar

Estos resultados son entonces transformadas a la posici6n original usando la transformaci6n inversa

/ / / /

El resultado es mostrado en la tabla 1 O y en la fig. 16.

t 0.349 0.438 0.528 0.61 7 0.706 0.796 0.885 0.975 1 .O64

. . . . 1 . .I53 . .

X 3.000 3.1 40 3.297 3.472 3.667 3.883 4.1 23 4.387 4.679 5 .. .o00 .,

Y 2.871 2.805 2.746 2.693 2.645 2.602 2 S64 2.531 2 S02 2.476

Tabla 1 O segmento hiperbdlico en la posici6n original

OEOMETRfA PERSPECTIVA Y AFiN

Para desarrollar los teoremas de la geometría se pueden usar tanto la geometría perspectiva, como la geometria afln. Los teoremas de la geometría afín son identicos a los de la geometría Euclidiana. En ambas geometrias el concepto de paralelismo es muy importante. En geometría perspectiva generalmente las líneas no son paralelas.

Una transformaci6n afln es una combinaci6n de transformaciones lineales, por ejemplo, una rotacidn seguida por una translacibn. Para una transformaci6n afín, la última columna en la matriz de transformacidn general de 4x4 es (O O O

1) . En una transformaci6n afln el producto de dos transformaciones tambien es T

afín.

Tanto las transformaciones perspectivas como las transformaciones afines son tridimensionales, es decir, son transformaciones de un espacio tridimensional en otro espacio tridimensional. Sin embargo, tenemos lo que llamamos una proyecci6n geometrica plana, que es la proyecci6n de un objeto en tres dimensiones sobre un plano bidimensional. La figura 10 muestra la jerarquía de las proyecciones geometricas planas. La matriz de proyeccibn de un espacio tridimensional a un espacio bidimensional contiene siempre una columna de ceros. Consecuentemente el determinante de una transformaci6n de proyeccibn es siempre cero.

Las proyecciones geometricas planas de objetos son formados por la intersecci6n de líneas llamadas proyectores con un plano llamado plano de proyecci6n. Los proyectores son líneas desde un punto arbitrario llamado centro de proyecci6n, a traves de cada punto en un objeto. Si el centro de proyeccidn es colocado en el espacio tridimensional, el resultado es una proyecci6n en perspectiva. Si el centro de proyeccidn esta colocado en el infinito, todas las proyectores son paralelos y el resultado es una proyeccibn paralela. La proyeccibn geom6trica plana provee las bases para la geometría descriptiva. Las proyecciones no geometricas y no planas Cambien son útiles, un ejemplo es el uso extensivo en cartografía.

En el desarrollo de varias transformaciones, de las mostradas en la figura 1 O, existen dos enfoques que pueden ser usados. Uno de ellos asume que el centro de proyecci6n es fijo y perpendicular a cada proyector como se muestra en la figura

1 1 a. Entonces el objeto es manipulado obteniendo cualquier vista requerida. El otro enfoque, primero fija el objeto, y el centro de proyeccibn es el que se mueve a cualquier punto en el espacio, y el plano de proyeccidn no necesariamente esM perpendicular a la direccibn de proyeccibn. Un ejemplo es mostrado en la figura 1 I b. Ambos enfoques son matematicamente equivalentes.

Cuando disefiamos o visualizamos un objeto en una computadora, la localizacidn de el ojo y el plano de proyeccidn esMn normalmente fijos, es decir, la cara de el CRT (Tubo de Rayos Catbdicos), es normalmente perpendicular a la direccidn de la vista. Por lo tanto, el primer enfoque es la opcidn mas apropiada. Por otro lado, si el desplegado grdfico es usado para simular el movimiento de un vehículo o de un observador movibndose alrededor de una computadora generando un modelo, como es el caso de los simuladores de vehfculos, el segundo es mas apropiado.

Como inicio de discusidn de las proyecciones geombtricas planas, consideraremos en primera instancia las proyecciones paralelas (geometría afín).

I oblicuas I

cavalier

Figura I O. Jerarqufa de las proyecciones planas.

Y +

Gem de prpyeccibn

Figura 11. Plano de proyeccibn. (a) centro de proyeccidn fijo; (b) objeto fijo.

PROYECCIONES ORTOGRAFICAS

Las proyecciones ottograficas son proyecciones sobre uno de los planos coordenados -0, y=O 6 z=O. Asl, la matriz para la proyeccidn sobre el plano z = O es:

( 1 0 0 0 O 1 0 0 O 0 0 0

( PZ) =

\o o o 1,

Observemos que la tercera columna es toda de ceros, que corresponde a la columna de z. Consecuentemente, el efecto de la transformacidn es el inicializar el vector de posicidn en cero.

En forma similar, las matrices para proyeccibn sobre los planos x=O y y=O son:

(o o o o)

(0 o o 1)

(1 o o o\

Las proyecciones ortogdficas del objeto en la figura 12b sobre los planos -0, y=O y z=O desde los centros de proyeccibn en el infinito en los ejes +x, +y, y +z son mostrados en las figuras 12a, 12c y 12d respectivamente.

Y

Figura.12 Proyecciones ortogrdficas sobre los planos, (a) y = O;(c) z = O y (d) x = O.

Una simple proyeccidn ortogritfica no asegura suficiente informacidn para visualizar y mas o menos reconstruir la forma de un objeto. Entonces, son necesarias mtiltiples proyecciones ortogrdficas. Estas multivistas de proyecciones ortogt4ficas esMn arregladas por convencidn como se muestra en la figura 13

Atras Lado izquierdo Frente Lado derecho

figural 3. Multivistas de proyecciones ortogrdficas.

Las vista de frontal, lateral derecha y de superior son obtenidas por la proyecci6n sobre los planos z=O, PO y y=O desde los centros de proyecci6n en el infinito en los ejes +z, +y y +x. La vista trasera, de lateral izquierda e inferior son obtenidas por proyecci6n sobre los planos =O, x=O, y=O de centros de proyeccibn en el infinito sobre los ejes -2, -x, y -y.

Las vistas m& usadas son la frontal, superior y lateral derecha. Las vistas frontal y laterales son, algunas veces, llamadas elevaciones de frente y laterales. La vista de superior es llamada vista plana.

Es interesante e importante notar que las seis vistas pueden ser obtenidas por combinaciones de reflexibn, rotaci6n y traslaci6r1, seguidas por una proyecci6n sobre el plano z=O de un centro de proyecci6n en el infinito en el eje z+. Por ejemplo, la vista trasera es obtenida por reflexibn a trav6s del plano z=O, seguida por una proyecci6n sobre el mismo plano. Similamente, la vista de lateral izquierda

es obtenida por rotaci6n con respecto al eje y por +mo, seguida por una proyeccibn sobre el plano z=O.

Para objetos con planos que no son paralelos a uno de los planos coordenados, las vistas ortogr4ficas a n d a r e s no muestran la forma correcta de estos planos, asl, las vistas auxiliares son usadas para esto. Una vista auxiliar estd formada por rotaci6n y translaci6n del objeto, tanto que la normal como el plano auxiliar coincidan con uno de los ejes coordenados. El resultado es entonces, proyectado sobre el plano coordenado perpendicular a este eje. La figura 14c, muestra un plano auxiliar ilustrando la forma verdadera de la esquina triangular del bloque visto en la figura 13.

Ejemplo 12 : Vista. auxiliar.

Obtener una vista auxiliar mostrando la forma verdadera de la esquina triangular para el objeto de la figura 14a. El vector de posici6n para el objeto es

' o o 1 1 1 o 1 1 1 0.5 1 1

0.5 1 1 1

o 1 1 1

o o o 1 1 o o 1

1 1 o 1 1 O

1 1 0.5 I

O O 0.6 1 0.25 O 0.6 1 0.25 0.5 0.6 I

O 0.5 0.6 1 O O 0.4 1

0.25 O 0.4 1 0.25 0.5 0.4 1

O 0.5 0.4 1

I

1

Los números de los v6rtices son mostrados en la figura 14 corresponde a los renglones en el vector de posici6n de la matriz PI.

La unidad normal para la cara triangular tiene direcci6n cosenos:

[Cx Cy Cz] = [1/(3)'12 1/(3)'12 1/(3)'12]

a = cos-' (Crld) = COS- I (142) 1 /2 ) = +45 0

seguida por rotacibn con respecto al eje y para un Qngulo

p = cos" (d) = cos" (2/(6)'12) = +35.26'

Aqul, la matriz transformacih concatenada es:

( 0 O 0 1) Los vectores de posicibn transformados son:

-0.408 0.408 0.204 -0.408 -0.8 16

O 0.8 16

0.40 8 -0.408 0.204 -0.24 5 -0.04 1 -0.245 -0.449 -0.163 0.04 1

-0.163 -0.367

-0.707 -0.707 -0.3 5 4

O O O O

0.707 0.707 0.354

-0.424 -0.424 -0.07 1 -0.07 1 -0.283 -0.283 0.07 1

0.07 1

1155 1 1443 1 1443 1 1155 1

o 1 0.577 1

1155 1 0.577 1 1443 1 0.354 1 0.491 1 0.779 1 0.635 1 0.231 1 0.375 1 0.664 1

0.52 I,

0.577 1' 1

1

El resultado se muestra en la figura 14b. La vista auxiliar es entonces creada proyectando este resultado intermedio sobre el plano z = O usando la ecuacidn 27, es decir,

f l o o o* O 1 0 0 O 0 0 0

( Pz) =

lo o o 1,

las matrices de transformacidn [TI y [Pz] son concatenadas resultando lo siguiente

f2/& o o o)

(I-) = (TXPZ) = -I/& I/& o o -l/A -J/& o o

I o o o 1)

Ndtese la columna de ceros. La vista auxiliar es entonces creada por

(X") = ( X X T )

donde [Xll es igual a w], excepto que la tercera columna es toda ceros, es decir, el efecto de la proyeccidn es ignorar la coordenada z. El resultado es mostrado en la figura 14c. Las llneas ocultas son mostradas como sdlidas.

- -" x

'I 8

Figura 14 Desarrollo de una vista auxiliar.(a) vista trimetrica (b) normal coincidiendo con el eje z; (c) proyectada sobre el plano z = O.

Para objetos complejos es frecuentemente necesario mostrar los detalles del interior. Para esto es usada una vista seccional. Una vista seccional es construida pasando un plano, llamado la secci6n plana o plano "cortante", a traves del objeto, removiendo la parte del objeto sobre un lado del plano y proyectando el resto sobre la secci6n plana. Nuevamente, una vista seccional puede ser construida haciendo la normal a la secci6n plana coincidente con uno de los ejes coordenados, recortando el objeto en un lado de la secci6n plana y finalmente, proyectando el resultado sobre el plano coordenado perpendicular al eje.

TRANSFORMACIONES Y PROYECCIONES EN TRES DIMENSIONES

La habilidad para representar un objeto tridimensional es fundamental para entender la forma de ese objeto. Aun mas, la habilidad para rotar, trasladar, y proyectar vistas de ese objeto, es tambi6n en muchos casos, fundamental para entender su forma. Por ejemplo, si tomas un objeto con la mano, extiendes la mano frente a ti y mueves el objeto hacia arriba, hacia abajo, a un lado, hacia adelante, hacia atrhs, etc. y despues de esto podrds comprender y recordar su forma. Para hacer esto con una computadora debemos extender el analisis previo bidimensional a uno de tres dimensiones.

Podemos comenzar inmediatamente con coordenadas homogheas. Un punto en el espacio tridimensional ( x y z) se puede representar por un vector de posici6n en cuatro dimensiones.

(x'y'z'h) = ( x y z 7 ) ( T )

Donde m es alguna matriz de transformaci6n de 4 X 4. La transformaci6n de coordenadas homogeneas a coordenadas normales se hace como antes.

( x *y *z * 7 ) = (x'h y'h z'h 7 ) ... (1)

La matriz general de transformaci6n para coordenadas en tres dimensiones es la siguiente :

(T) =

a b c p

d e f q g i j r l m n s

#..(2)

La matriz de transformacitjn 4 x 4 s8 puede partir en cuatro secciones separadas :

f . . M 3 '

. 3 x 3 . M x

. M 1 L L L M L

\ . 1 x 3 . M 1x1)

La submatriz izquierda superior 3 x 3 produce una transformacidn lineal en forma de ( una combinacidn de vectores se transforma en una combinacidn de vectores transformados ) escalamiento, cizallamiento (rasurado), reflexidn y rotacidn. La submatriz inferior izquierda I x 3 produce traslacidn, la submatriz superior derecha 3 x I produce una transformacibn de perspectiva. La submatriz inferior izquierda I x 1 produce un escalamiento (agrandar o reducir) completo.

A la transformacidn total obtenida despues de operar un vector de posicibn homogeneo con esta matriz de transformacibn 4 x 4 y obtener las coordenadas normales; se le llama transformacidn bilineal ( es el resultado de 2 transformaciones lineales consecutivas) . En general, esta transformacidn produce una combinacidn de cizallamiento (rasuramiento), escalamiento local, rotacibn , reflexibn, traslacidn , perspectiva y escalamiento total.

ESCALAMIENTO EN TRES DIMENSIONES

Los terminos diagonales de la matriz general de transformacidn 4 x 4 producen escalamiento local y total. Para ilustrarlo veamos la siguiente transformacidn que muestra los efectos del escalamiento local.

(a O O O)

O e O O (x)(r)=(x y 2 4 ey j z 1)=(x* y* z* 1) ...( 3) o o j o l o o o 1)

Considera el paralelepipedo rectangular que se muestra en la figura l a con vectores de posicidn homog6neos:

(x)=/o o o 11 o 3 1 1

Para que este objeto se convierta en un cubo con lados de longitud unitarios, se requieren factores de escala 112, 1/3, 1 a lo largo de los ejes X , Y, Z respectivamente. La matriz de escalamiento local es la siguiente:

El cubo que se obtiene tiene vectores de posici6n homogheos

(x*) = (xp) =

0 0 1 1 ' 2 0 1 1 2 3 1 1 o 3 1 1 O 0 0 1

(y2 o o o o u 3 0 0 o o 1 0

1 1 - - 2 0 O l ( O O 0 ,o 2 3 0 j 3 o

Ndtese que, el factor de coordenadas homogbneas de l o s vectores de posici6n transformados.

'Mes unitario para cada uno

El escalamiento completo se obtiene usando el cuarto elemento de la diagonal

I

' 0 0 1 i 1 0 1 1 1 1 1 1 o 1 1 1 O 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 O l O L

(0 o o s.

= (x' y' 2' S) . . . (4)

(1 o o o'

Las coordenadas normales o físicas son ( x * y* z* t 1 = (x% y% 2% 1 1

A s l el siguiente ejemplo ilustrard este efecto.

Para agrandar uniformemente el cubo unitario que se obtuvo anteriormente (fig. 1 b) en un factor de dos, necesitamos la siguiente transformaci6n.

(1 o o o )

( T ) = / O O 0 1 O O o 1 El paralelepipedo resultante con vectores de posicidn hornogeneos es :

( Y ) = (X'XT) =

0 0 1 1 ' 1 0 1 1

1 1 0 1 O l O U

O O 1 0.5 1 O 1 0.5 1 1 1 0.5 O 1 1 0.5 O O O 0.5 1 O O 0.5 1 1 O 0.5

,O 1 O 0.5

Fig. I Escalamiento en tres dimensiones.

N6tese nuevamente, que el factor de coordenadas homogeneas para cada vector de posici6n transformado es h = 0.5 (no es la unidad). Esto debido a que nos encontramos con una transformacidn fuera del volumen físico de h = I. Asl, las coordenadas físicas transformadas se obtienen proyectando lo que resulto al volumen físico h = I, a travbs del centro de coordenadas en cuatro dimensiones.

Por lo tanto para obtener las coordenadas normales o flsicas, cada vector de posicidn debe ser dividido por h; el resultado que se obtiene despues de hacer esta divisidn es:

‘ 0 0 2 i 2 0 2 1 2 2 2 1 o 2 2 1 O 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0 1

, 0 2 0 1

Como conclusi6n tenemos, si S I , lo que resulta es una expansi6n uniforme de los vectores de posici6n, si S > 7 , lo que se obtiene es una reduccibn uniforme de los vectores de posicibn.

Por otro lado, el mismo efecto puede ser obtenido de acuerdo con el significado del escalamiento local. Esto es, dividiendo cada miembro de la diagonal por ‘S’. En este caso, la matriz de transformaci6n sería la siguiente -

(l/s o o o‘ o I / s o o

(T)= o o l/s o \ o o o 1.

En este caso la transformaci6n se lleva acabo en el volumen fisico h = 7 .

Como puede observarse, ahora el factor de coordenadas homogeneas es unitario, h = f. Así, la transformaci6n se lleva acabo en el volumen flsico h = 1.

CIZALLAMIENTO EN TRES DIMENSIONES.

En este punto tomaremos en cuenta los terminos fuera de la diagonal principal de la submatriz superior izquierda 3 X 3, que produce una deformaci6n en tres dimensiones. A s f de la matriz de transformaci6n generalizada, tenemos :

( 1 b c 0)

Y Z 1 i

O

f 1 O

O O

= (x+yd+gz bx+y+iz C X + f i + Z ...( 5 )

El siguiente ejemplo clariificar¿l este resultado :

Consideremos el cubo unitario mostrado en la figura 1 c. Aplicando la matriz de deformaci6n T, se tiene :

( X * ) = (X)(T) =

O O l t 1 0 1 1 1 1 1 1 o 1 1 1 O 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 O l O l ,

1 -0.85 0.25 O -0.75 1

O. 5 1 1 0 O O o 1

- -

O. 5 15

0.75 -0.25

O 1

0.2 5 -0.75

1 1 1' 0.15 125 1 115 195 1 2 17 1 O o 1

-0.85 0.25 1 0.15 0.95 1

1 0.7 1/

El resultado se muestra en la figura ld. Note que en los tres ejemplos el origen no se ve afectado por la transformacidn correspondiente.

ROTACldN EN TRES DIMENSIONES.

Antes de considerar la rotacidn en tres dimensiones alrededor de un eje arbitrario, examinaremos la rotacibn alrededor de cada eje de coordenadas. Para rotaciones alrededor del eje X, las coordenadas 'x' no cambian en el vector de posici6n. En efecto, la rotacidn ocurre en planos perpendiculares al eje X. Similarmente, la rotaci6n a traves de los ejes Y y 2 ocurre en planos perpendiculares al los ejes Y y 2 respectivamente. Asl, la transformacidn del vector de posicidn en cada uno de los planos est& determinada por la matriz general de rotacidn en dos dimensiones :

c o s 0 sene

Reordenando dicha matriz , y tomando en cuenta que para rotacidn a traves del eje X, las coordenadas x del vector de posicidn a transformar no cambian; escribiremos de ahora en adelante, a la matriz de transformacidn de coordenadas homogeneas de 4x4, en funci6n de un angulo 6 como sigue:

. . . . (6)

Una rotacibn es asumida positiva, si esta cumple con la regla de la mano derecha, es decir, se coloca el dedo pulgar de la mano derecha en la direcci6n positiva a lo largo del eje de rotacibn. De esta forma el sentido original de los dedos restantes proporcionan la direccibn positiva de la rotaci6n. Ad, la figura 2b muestra una rotaci6n de - 90" a traves del eje X del bloque rectangular de la figura 2a.

Por otro lado, de manera anhloga la matriz de transformaci6n para realizar rotaciones alrededor del eje 2 en funci6n de un angula y , esu dada por :

( c o s y s e n y O O - s eny cos y O O

o 1 0 I o o o 1

....( 7)

Ahora para rotaciones a traves del eje Y en funci6n de un angulo 4, se tiene la siguiente matrii de transformaci6n :

( c o s + O -sen+ O O 1 0 0

sen4 0 cos 4 0 ( o o o 1

....( 8 )

Note que en la matriz anterior Ec. 8, los signos de los terminos sen # han sido invertidos con respecto a lo determinado por las anteriores matrices de transformaci6n (Ecs. 6 y 7 ) . Esto con el fin de mantener la convencidn positiva de la regla de la mano derecha.

Examinando las matrices de transformacidn anteriores puede observarse que el determinante para cada una de estas es + 1, tal y como lo requiere la condicibn de rotaci6n pura. De esta manera, un ejemplo ilustrae mejor estos resultados.

Consideremos el bloque rectangular mostrado en la figura 2a. La matriz de vectores de posicidn (x) asociada a la figura es :

Aquí, el renglbn etiquetado con la letra A en la matriz de posicibn ( X ) corresponde al punto A en la figura 2. Para una rotacibn de 6 = - 90" a traves del eje X, tenemos que la Ec. 6 es igual a

o 1 o o

Aplicando la transformacibn, resultan los siguientes vectores de posicibn :

0 2 1 1 0 0 - 1 0 O 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 - 2 1

(x*)=(xp)= - -

Note que los componentes 'x' de (X) y (x*) son idhticos como se requería. El resultado se muestra en la figura 2b.

Ahora, para una rotacibn de 4 = 90" a trav6s del eje Y, tenemos que la Ec. 7 es igual a :

(O o -1 o O 1 0 0 1 0 0 0

(T') =

\ o 0 o 1

Nuevamente, aplicando la transformacibn al bloque rectangular original, tenemos los nuevos vectores de posicibn :

(x*) = (x@') =

0 0 1 1 ' 3 0 1 1 3 2 1 1 0 0 - 1 0 0 2 1 1 f - ) 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0

,o 2 o IJ 3 2 0 1

1

- -

1 0 o 1' 1 0 - 3 1 1 2 - 3 1 1 2 o 1 O 0 o 1 0 0 - 3 1 0 2 - 3 1 o 2 o 1

A*

Puede observarse, el caso en el que los componentes 'y de ( X) y ( X* ') son identicos. El resultado se muestra en la figura 2c.

Asl, hemos observado las rotaciones en tres dimensiones que han sido obtenidas usando multiplicaci6n de matrices, las cuales no son conmutativas; es decir, el orden de la multiplicaci6n afecta el resultado final. Por lo que, para mostrar esto considere una rotaci6n a traves del eje X seguida de una rotacibn a traves del eje Y. Usando las Ecs. 6 y 8 con 6 = 9, tenemos :

1 1 0 o cose

(T)= 0 -sen6 O 0

cos 8 sen2 8

cos &en6 O

O

cos6 cos&enB O -sen6 cos2 8 O

O -sene O oj 1

....( 9)

y' t I 't

J

Fig. 2 Rotaciones en tres dimensiones

Por otro lado, la operacibn inversa, se tiene tomando una rotacibn a traves del eje Y seguida de una rotacibn igual a traves del eje X, con 6 = t# :

. " ""

O O 0

o 1

cos 8

O O

....( 10)

Comparando ambos resultados ( Ecs. 9 y 10 ) se observa que estos no son los mismos. El hecho de que las rotaciones tridimensionales no son conmutativas debe tenerse en mente cuando mas de una rotaci6n ser& realizada.

El resultado de la transformaci6n al objeto de la figura 3a consistira de dos rotaciones de 90" usando la matriz producto dada por la ecuaci6n 9, muestra el objeto con llnea interrumpida (oculto por el plano Y = O). Cuando el orden de rotaci6n es opuesto como lo especifica la ecuacibn 10, los resultados que se obtienen son diferentes, dado el cambio en el orden de rotaci6n. Un ejemplo numerico ilustrar& fuertemente este concepto.

El objeto de la figura 3a tiene como vectores de posici6n :

f o o 1 1 ' 2 0 1 1 2 3 1 1 o 2 1 1 O 0 0 1 2 0 0 1 2 3 0 1

\ o 2 0 1

A

La matrii de transformaci6n para una rotaci6n alrededor del eje X de 6 = 90" seguida por una robci6n a traves del eje Y de 4 = 90" e a dada por la Ec.9 como :

(o o -1 0)

(T)= /1 O O o / 0 - 1 0 0

Asl, los vectores de posici6n transformados son :

(0 o 1 1) (0 - 1 o 1' 2 0 1 1 o -1 -2 1

3 -1 -2 2 - 1 0 1

1 A *

O 0 o 1 0 0 - 2 1

2 3 0 1 3 o - 2 1 \ 0 2 0 u \ 2 0 0 1 /

( X * ) = (XXT) = - -

El objeto transformado se muestra con linea interrumpida en la figura 3d.

Finalmente, la matriz de transformaci6n para una rotaci6n alrededor del eje Y con 9 = 90" seguida por una rotacibn a trav4s del eje X con 6 = 90" esa dada por la Ec. 10 como :

(o 1 o o) , O 0 1 0

( T ) = 1 o o o \o o o 1)

El resultado de los vectores de posici6n transformados es :

2 3 1 1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 1 1 0 0 1 0 1 2 3 1 A *

(x*) = (x)(r') = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 O 0 0 1

- -

12 o o lll0 o o 1) 10 2 o 11

El objeto transformado se muestra en linea continua en la figura 3d.

Por lo tanto, comparando ambos resultados numtbricos se observa claramente que la orientaci6n final que obtuvo cada uno de los objetos, es considerablemente diferente. Así que, el orden para la multiplicaci6n de matrices es importante.

[al [ bl

+wo

" x

,F.'

/ 2 1."

ZL

X

/ " Y

+*'

+90'

/

Fig. 3 Rotaciones tridimensionales no conmutativas.

REFLEXION TRIDIMENSIONAL

Algunas orientaciones de objetos en tres dimensiones no pueden ser realizadas usando rotaciones puras; estas requieren de las reflexiones. Para que ocurra una reflexi6n pura el determinante de la matriz de reflexi6n tiene que ser igual a -1. As[, en tres dimensiones las reflexiones Ocurren a traves de un plano. Por lo que, Para una reflexi6n a travbs del plano X Y , &lo los valores de la coordenada z de los vectores de posicibn del objeto cambian.

Por lo tanto, la matriz transformada de reflexi6n en el plano XY es:

(1 o o o)

(r)=jO o 0 - 1 0 O O / ....( 11)

La reflexidn del cubo unitario a trav6s del plano XY se muestra en la figura 4. Para reflexiones a trav6s del plano Y2 tenemos :

(-1 o o O) o 1 0 0

P ) = o o 1 o

(1 o o o\

! o o o d Y para el plano XZ :

0 - 1 0 0 o o 1 o

....( 12)

....( 13)

\o o o 1)

Un ejemplo num6rico muestra este resultado.

El bloque ABCDEFGH que se muestra en la figura 4 con posici6n de vectores:

o -1 1’ o -1 1 1 -1 1 1 -1 1 o -2 1 o -2 1 1 -2 1 1 -2 lJ

Aplicando la reflexidn a traves del plano XY tenemos:

1: : 1: 9 2 1 -1 1 p o o o) 1 1 - 1 1 0 1 o o 1 0 - 2 1 0 0 - 1 0 I/ I=

El resultado es A*B*C*D*€*f-*G*H* mostrada el la fig. 4.

1 0 1 1 ' 2 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 .1 1 2 u

ti

Fig. 4 Reflexi6n en tres dimensiones a traves del plano xy.

TRANSLAClbN TRIDIMENSIONAL

La matriz translaci6n en tres dimensiones es:

(1 o o o) O 1 0 0

(T)= o o 1 o ....( 14)

Esta se obtiene de escribir las coordenadas homogeneas:

(1 o o o' I , O 1 0 0

O 0 1 0 (x' y 2 +(x y 2 111

Cuando expandemos estas coordenadas, tenemos

(x' y' z' h) = ( (x+/) (y+m) (z+n) .I ) .... ( 15)

por lo tanto, las transformaciones basicas de estas coordenadas son:

x* = x + /

z* = z + n y* = y + m

TRANSFORMACIONES MúLTIPLES

Se pueden combinar o concatenar transformaciones sucesivas en una

mumplicacibn de matrices no es conmutativa, e¡ orden de apiicactbn es impohnte

E¡ orden correcto es determinado por la psicibn de la matriz de transformaci6n individual con respecto a la posicidn de la matriz del vector de posicih. La matriz mas cercana a la matriz del vector de posici6n genera la primera transformaci6n individual, y la mas alejada, la llltima transformacidn individual. Matematicamente esto se expresa como

hUn&VWi9I=bftln a H M l l l Y HH 7f O 7f MHS MBnHm El mlQmx m*M"x. ~ ( L I - I r

/nn mnnnrd / A 1 / P I / P I / A I I [WII YPtIwIaI I a / 1 u / c I u / I n//.

y los ( T j ) son cualquier combinacidn de matrices de escalamiento, distorsibn, rotacidn, reflexih, traslacibn, perspectiva y proyeccibn.

Puesto que las transformaciones de perspectiva distorsionan a los objetos geometricos y las transformaciones de proyeccidn resultan en perdida de informacidn, si estas matrices son incluidas, ellas deben aparecer despues de la última y al final en el orden, respectivamente.

El ejemplo siguiente ilustra^ explícitamente este concepto.

Ejemplo 7. Transformaciones Múltiples

Considere el efecto de una traslacibn en las direcciones x, y, z de -1, -1, -1, respectivamente, seguidas sucesivamente por una rotacibn de +W alrededor del eje X, Y una rotacibn de +45* alrededor del eje y sobre l o s vectores de posicidn con coordenadas homogeneas ( 3 2 I 1 ).

Primero derive la matriz de transforrnacidn concatenada. Usando las Ec (1 4), (6) y (8) obtenemos

(T) = ( T , P x ) ( R , )

O 0

O -sen+

O O O

cos + O - sen4 O

senbeno cos e cos h e n 8 O senqkos8 -sen6 cos #cose O Zcos Q + mcos B - -Isen# + 1

- -

+msen&enO+ +?went3 +mcos &en@+ \ +risen+ cos 0 +ncos +cos t9

-sen# O

cos# o o 1

donde 9, Q, son los angulos de rotacibn alrededor de los ejes X, Y, respectivamente; y I, m, n, son los factores de traslaci6n en las direcciones x, y, z, respectivamente.

Para un vector de posicibn general tenemos que

cos # O -sen4 O'

senQlren8 cos 8 cos hen0 O senQIcos8 -sen0 cos qkos 8 O

(XXT)=(x Y 1) l c o s @ + m c o s 8 - -ken# + 1 +msenQlsenO+ +men0 +mcos &en@+ +nsen(cos 8 +ncos +cos e

(x + 2)cos # + ( y + m)cos 8 - -(x + I)sen# + +(y+ m)sen&en0+ +(z+ n)sen8 +(y+ m)cos &en@+ +(z + n)sen#cos 8 +(z+ n)cos #cos 8

Para valores especlficos de 8 = +mo, Q = +45O, I = -1, m = -1, n = -1 el vector de posicibn transformado es (3 2 1 I).

( 0.707 O -0.707 O 0.354 0.866 0.354 O

(XXT)= (3 2 1 0.612 -0.5 0.612 O

\-L673 -0.366 -0.259 1

(XXT)= (L768 0.866 -1061 1)

Para confirmar que las matrices concatenadas generan los mismos resultados como si fueran aplicadas las matrices individuales considere

( 1 o O 0 o 1 O 0 O 0 1 0

( x ) = (XXTr)=(3 2 1 1)

(-1 -1 -1 1

I 1 = (2 1 o 1)

(0.707 O -0.707 O) O 1 0 0

0.707 O 0.707 O (X") = (X")(Ry) = (2 0.866 0.5 1)

{ o o o li

=(1768 0.866 -1061 1)

lo cual confirma nuestro resultado anterior.

ROTACIONES ALREDEDOR DE UN EJE PARALELO A UN EJE COORDENADO

Las transformaciones dadas por las Ec. ( 6 ) a la ( 8 ) causan una rotaci6n alrededor de los ejes coordenados x, y, z. A menudo es necesario rotar un objeto alrededor de un eje distinto a estos. Aquf se considera el caso especial de un eje que es paralelo a uno de los ejes coordenados. La Figura 5 muestra un cuerpo con un sistema de ejes l o c a l x)&' paralelo al sistema de ejes global fijo xyz. La rotaci6n del cuerpo alrededor de cualquiera de los ejes l o c a l e s x', y'o z' individuales se lleva a cabo usando el procedimiento siguiente:

1, Traslade el cuerpo hasta que el eje local coincida con el eje coordenado en

2.Rotese alrededor del eje especificado. 3.Traslade el cuerpo transformado de nuevo a su posici6n original.

la misma direcci6n.

Maternaticamente

(X*) = (X ) (Tr) (Rx) (Trr'

donde ( X*) representa al cuerpo transformado (X) es el cuerpo sin transformar ( Tr) es la matriz de traslaci6n (Rx) es la matriz apropiada de rotacibn ( Tr j' es la inversa de la matriz de traslaci6n

Un ejemplo ilustrativo se da a continuacibn:

Ejemplo 8. Rotación Relativa Sencilla

Considere el bloque de la Fig. 5a definido por los vectores de posicidn

í 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1

(x)=! 1 2 2 1 1 1 1 1

i 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1

A B c D E F G H

respecto al sistema xyz de ejes globales. Permitase rotar el bloque 6 = +30° alrededor del eje local x' que pasa por el centro del bloque. El origen del sistema de ejes locales se considera que es el centro del bloque.

I41

't 'T

Figura 5. Rotacidn respecto a un eje paralelo a uno de los ejes coordenados.

El centro del bloque es ( xc yc zc I ) = ( 3'2 3 2 32 f

), La rotacibn se realiza por (x*) = (X) ( T r ) (Rx) ( Tr)"

donde

Y

(1 o o 0)

(0 -Yc -2, 1)

'1 o O 0 O c o s 6 sen6 O O -sen6 cos 8 O

,o 0 o 1

p o o o O 1 0 0 O 0 1 0

(Tr)-' =

'1 o O 0 O 1 O 0 O 0 1 0

.O -3/2 -3/2 1

O O 0

'1 o

O 0 1 0

,O 3/2 3/2 1

La primera matriz ( T r ) traslada el bloque paralelamente al plano x = O hasta que el eje X' coincida con el eje X. La segunda matriz ( Rx 1 realiza la rotaci6n requerida alrededor del eje X, Y la tercera matriz ( Tr)" traslada el eje X' y, por lo tanto, el bloque rotado, a su posici6n original. Concatenando estas tres matrices se obtiene

f1 O cos 0 -sen6

(0 ~ ~ ( 1 - cos 8)+ zcsen6 ~ ~ ( 1 - cos 6)- y p n 8 1 I Despu4s de sustituir l o s valores num6ricos las coordenadas transformadas son

12 2 2 1 If1 o O O7

O 0.866 0.5 O -0.5 0.866 O

I 2 1 1 1 /\O 0.951 -0.549 1)

í 1 1 0.817 L683 1 A 2 0.817 1683 1 B 2 1683 2.183 1 C 1 1683 2.183 1

E 1 1317 0.817 1 D

I J 2 1317 0.817 1 F 2 2.183 1317 1 G 1 2.183 1317 H

El resultado se muestra en la Fig. 5b.

En el ejemplo anterior sdlo la rotaci6n alrededor de un eje paralelo a uno de los ejes coordenados fue requerida. Asi, solamente fue necesario hacer coincidir al eje de rotaci6n con el correspondiente eje coordenado. Si se requieren mtíltiples rotaciones en un sistema de ejes local y paralelo al sistema de ejes global, entonces el origen del sistema de ejes local debe hacerse coincidir con aquel del sistema de ejes global. Especificamente, las rotaciones pueden ser llevadas a cabo con el procedimiento siguiente:

l. Traslade el origen del sistema de ejes local para hacerlo coincidir con el del

2. Realice las rotaciones requeridas. 3. Traslade el sistema de ejes local de nuevo a su posici6n anterior.

sistema coordenado global.

El ejemplo que sigue ilustrah este procedimiento.

Ejemplo 9. Múltiples Rotaciones Relativas.

De nuevo considere el bloque mostrado en la Fig. 5a. Para rotar el bloque f = - 45' alrededor del eje y', seguida por una rotaci6n de q = +mo alrededor del eje x', se requiere que el origen del sistema de ejes x'y'z' se haga coincidir con el origen del sistema de ejes xyz, se realice la rotacibn y entonces se traslade el resultado a su posicí6n original.

La transformaci6n combinada es

Específicamente,

donde f y q representan los hngulos de rotacibn alrededor del eje y' y x' respectivamente. Concatenando estas matrices obtenemos

senqkene "sen#cos 8 cos e sene

Los vectores de posicibn transformados son entonces:

( 1 1 2 11 2 1 2 1 2 2 2 1

-0.707 -0.354 0.612 O 1 1 1 1 0.866 1 2 2 1

0.707 -0.354 0.612 O

( X ' ) = - -

2 1 1 1 [ :5 L262 -1i7 :: 2 2 1 1

\ 1 2 1 l J

0.793 15 L5

0.793 15

2.207 2.207

15

1067 0.71 3 1579 1933 142 1 LO6 7

L933 2.287

125 1862 2.362 175

0.63 8 L25 175 L138

1) 1 1 1 1 1 1 u

El resultado se muestra en la Figura 6.

Figura 6. Rotaciones múltiples respecto a un sistema de ejes local.

TRANSFORMACIONES EN PERSPECTIVA

Cuando alguno de los primeros tres elementos de la 4' columna de la matriz transformacibn de coordenadas homogeneas de 4x4 es distinto de cero, resulta una transformaci6n en perspectiva. Como se mencionb previamente en las seccidn 1 I , una transformacibn en perspectiva es una transformaci6n de un espacio de tres dimensiones a otro de tres dimensiones. En contraste para las transformaciones paralelas previamente discutida en las transformaciones en perspectiva las Ifneas paralelas convergen, el tamafio del objeto es reducido con el aumento de la distancia del centro de proyeccibn, y el escorzo no uniforme de las lineas en el objeto ocurre como una funcibn de orientacibn y la distancia del objeto hacia el centro de proyeccibn. Todos estos efectos ayudan a la percepcidn del sistema visual humano, pero la forma del objeto no es preservada.

Una transformaci6n en perspectiva de un punto esta dada por:

(1 o o o) O 1 0 0 O O l r

=(x y z rz+l)

\o o o 1)

aquf h = n+l # 1. Las coordenadas ordinarias son obtenidas dividiendo por h, produciendo

Una proyeccibn en perspectiva sobre alguna vista en el plano bidimensional es obtenida por la concatenacibn de una proyeccibn ortogriifica con la transformacibn en perspectiva. Por ejemplo, una proyeccibn en perspectiva sobre el plano z = O es mostrada por

( T ) = (prxPz) =

Y f l o o o\

O 0 0 1

rz + 1)

Las coordenadas ordinarias son:

(x* y* z* 1 = - - o 1) ) (,x+, r z + l Y

Para mostrar que la ecuacibn (47) produce una proyeccibn en perspectiva sobre el plano L = O, considere la fig. 26, que ilustra la geometrla de una proyeccibn en perspectiva del punto tridimensional P sobre un plano z = z* = O a P* de un centro de proyeccibn a sobre el eje z. Las coordenadas del punto proyectado P* son obtenidas usando triangulos similares. De la figura 26.

x * - x - - " - zc 2, - z

6

Y

Jx *2 +ZC2 J.' + (zc - 2) 2

Y y* =

1- gc L* es, por supuesto, cero.

Dejando r = -I/ producen resultados id6nticos para esto usando los obtenidos en la ecuacibn 47. De este modo, la ecuacibn 47 produce una proyecci6n en perspectiva sobre el plano z = O desde un centro de proyeccibn a (- l/r) sobre el eje z. Notase que como LC se aproxima al infinito, r se aproxima a cero y una proyeccibn axonom6trica sobre el plano de z = O nos da estos resultados. Ademas, not6 que para los puntos en el plano de proyeccibn, es decir, z = O la transformacibn en perspectiva no tiene efecto. Tambi6n note que el origen (x = y = L = O) no es afectado. Consecuentemente, si el plano de proyeccibn (z = O) pasa a traves de un objeto, entonces la secci6n del objeto es mostrado en su tamafio y su forma real. Todas las otras partes del objeto son distorsionadas.

Figura 26 Proyecci6n en perspectiva de un punto.

Para ayudar a entender l o s efectos de una transformaci6n en perspectiva considere la fig. 27. La figura 27 muestra la proyecci6n en perspectiva sobre el plano z = O de la línea AB originalmente paralela al eje z sobre la línea A*B* en el plano z = o, de un centro de proyecci6n a -l/r sobre el eje z. La transformaci6n puede ser considerada en dos pasos (ver ecuaci6n. 47). Primero, la transformaci6n en pers-va de la llnea AB produce una transformaci6n tridimensional de la linea AB’ (ver fig. 27).Subsecuentemente la proyeccidn ortogrMka de la llnea AB’ en el espacio perspectivo tridimensional en el plano z = O de un centro de proyecci6n en el infinito en el eje z produce la llnea A*B*.

Examinando la fig. 27 muestra que la línea AB’ intersecta el plano z = O en el mismo punto que la llnea AB. Tambidn intersecta el eje z En 2 = +7/r. Efectivamente entonces, la transformaci6n en perspectiva (vea ecs. 45 y 46) tiene transformado el punto de interseccidn en el infinito de la línea paralela AB al eje z y el mismo eje z dentro del punto infinito. Este punto es llamado punto de desvanecimiento not6 que el punto de desvanecimiento se coloca en distancia igual en el lado opuesto del plano de proyeccibn del centro de proyecci6n, si L = O es el plano de proyecci6n y el centro de proyeccidn es el z = -l/r, el punto de desvanecimiento es z = +l/r.

Para confirmar esta observaci6n consideramos la transformacibn en perspectiva del punto en el infinito sobre el eje +z, es decir,

1 0 0 0

(o o 1 o)b O O l r O o 1 r) ( W

O 0 0 1

Figura 27 Proyecci6n de una linea paralela al eje L.

El punto (x* y* z* 1) = (O O l / r 1), corresponde al punto transformado en el infinito en el eje positivo z, es ahora un punto finito en el eje positivo z.

Esto significa que el espacio entero positivo semi-infinito (O I z I m) es transformado al espacio medio positivo finito 05 z* 4 l/r. Ademas, todas las llneas paralelas originalmente al eje z ahora pasan a traves del punto [O O l / r 11, el punto de desvanecimiento.

Antes de presentar algunos ejemplos ilustrativos del punto de desvanecimiento las transformaciones en perspectiva de un punto con centros de proyecci6n y puntos de desvanecimiento sobre los ejes x y y son dados como complemento.

La transformaci6n en perspectiva de un punto

\o o o 1)

con coordenadas ordinarias Y Z (x* y* z* 1 = - - - 1) ) LXxtl px+l px+l (52)

Tiene un centro de proyecci6n en (-l/p O O 1) y un punto de desvanecimiento localizado sobre el eje x en (l/p O O 1).

La transformacibn en perspectiva de un punto

(1 o o o)

\o o o 1)

con coordenadas ordinarias

Tienen un centro de proyeccidn en (O - l /q O 1) y un punto de desvanecimiento localizado sobre el eje y en (O l / q O I).

Ejemplo 17: Transformación en perspectiva de un línea paralela al eje z.

Considerar el segmento de línea AB en la fig. 27 paralela al eje z con puntos finales A(3 2 4 I) y B(3 2 8 I). Desarrolle una proyecci6n en perspectiva sobre el plano z = O. De un centro de proyeccibn en = -2. La transformacidn en perspectiva de AB a A'B' con r = 0.5 es

1 0 0 o A 3 2 4 1 0 1 0 ( )I O B 3 2 8 1 O O 1

O 0 0 1

la ecuacibn param6trica del segmento de Unea A B es

P(t) (A) + (B'-A)t O I t I 1

O P(t) = 1 0.667 1.333 1) + (-0.4 -0.267 0.267 O)t

la interseccibn de esta línea con los planos x = O, y = O y z = O produce

X(t) = O I - 0.4t -b t = 2.50 y(t) O = 0.667 - 0.267t -b t = 2.50 z(t) = O = 1.333 + 0.267t + t = -5.0

Sustituyendo t = 2.5 en la ecuacibn parametrica de la linea AB' produce

Z(2.5) = 1.333 + (0.267)(2.5) = 2.0

la cual representa la interseccibn de la línea AB ' con el eje z a z = +l/r, el punto de desvanecimiento. Ahora sustituyendo t = -5.0 en la componente de las ecuaciones x y y producen la interseccibn con el plano z = O, es decir,

X(-5.0) = 1 - (0.4)(-5.0) = 3.0

y(-5.0) 0.667 - (0.267)(-5.0) = 2.0

la cual es la misma que en la interseccibn de la línea AB con el plano z = O. La proyeccibn de la línea AB' en la línea A*B* en el plano z = O esta dada por

1 0 0 0 1 0.667 L333 1 )[ O 1 O O I=[ 1 0.667 O l)A*

0.6 0.4 1.6 1 O O O O 0.6 0.4 O 1 B * O 0 0 1

Un ejemplo usando un cubo simple es dado a continuacibn.

, I .. ""

. . " _. . . ,_ . . ... _. . " .

Ejemplo 18: Transformación en perspectiva en un punto de un cubo.

Desarrolle una proyeccibn en perspectiva sobre el plano z = O del cubo unitario mostrado en la figura 28a de un centro de proyeccibn a = 10 sobre el eje 2.

El factor r en la perspectiva en un punto es

r = -l/zc = - l / l O = -0.1

'T r't

. ."_ .... "_." .... -,_,l_.."- -... ....... ... ." ,___" ..."... .'_-.""- """- .......

C.P. = centro de prqeccibn

cm C.P. en z = 10

proyector

.....

c0nC.P. en 2' - 10

- .... . . e.

Figura 28 En la phgina anterior es la proyecci6n en perspectiva en un punto de un cubo unitario.

De la ecuaci6n (48) la transformaci6n es

(1 o o o )

( T ) = I 0 O O 1 o o o -0.1 l o o o 11

(x *) = (XXT) =

0 0 1 1 ’ 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 )

‘O O O 0.9’ 1 o o 0.9 1 1 o 0.9 O 1 O 0.9 O 0 0 1

1 0 0 1 1 1 0 1 .o 1 o 1.

o o o 1

111 o o 1

L11 1.11 o 1

o 1.11 o 1 o o o 1 1 o o 1 1 1 o 1 o 1 o 1

El resultado es mostrado en la figura 28 b. N6tese que desde el centro de proyeccibn est& sobre el eje positivo z la cara de enfrente del cubo ABCD proyectadas mas largos que la cara de atr4s. Fig. 2&, la cual es una proyeccibn paralela del cubo original sobre el plano x = O mostrado. Nbtese tambien el porque de la colocacih del punto de desvanecimiento sobre el eje z de la llnea C*G” en la fig. 28b pasando a traves del origen.

Una alternativa y un enfoque equivalente al anterior es primero desarrollar la transformacibn en perspectiva para obtener un objeto distorsionado en 3 dimensiones y entonces proyectar ortograficamente el resultado sobre algQn plano. El objeto deformado es obtenido por

( X ’ ) = (x)@) =

0 0 1 1 ’ 1 0 1 1

: ; ; :I: ; : :] - 0 0 0 1 0 0 1 - 0 . 1 1 0 0 1 0 0 0

,o 1 o 1, 1 1 0 1

1

-

o o 1 0.9

1 o 1 0.9 1 1 1 0.9 o 1 1 0.9 O 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 O 1 0 1

O 1.1 1

1.1 1

O O

1

1 O

o 1.11 1 o 1.11 1

L11 1.11 1

111 1.11 1 o o 1 o o 1 1 o 1 1 o 1

El resultado es mostrado usando una proyeccibn oblicua en la fig. 28d. N6tese que la cara frontal (AB’C’D’) es mds larga que la cara trasera (E’F’G’H’). Subsecuentemente la proyeccibn ortografica sobre el plano L = O producen el mismo resultado para (x*) como anteriormente e ilustrados en la figura 28c.

La figura 28e, la cual es una proyeccibn ortografica del objeto deformado de la figura 28d sobre el plano x = O, muestra que las orillas del objeto deformado originalmente paralelo al eje z ahora converge al punto de desvanecimiento en z = - 10. La figura 28d no expresa el cardcter tridimensional del cubo. Un resultado mas satisfactorio es obtenido centrando el cubo. Esto es ilustrado en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 19. Transformación en perspectiva en un punto de un cubo centrado.

El cubo mostrado en la figura 28a puede ser centrado sobre el eje z por traslacibn -1/2 unidad en las direcciones x y y. La transformacidn resultante es

o O 0 O 0 0 1 1 0 0

1 0 0 o

O 0 0 -0.5 -0.5 O

El cubo trasladado es mostrado en la figura 29a. Las coordenadas ordinarias transformadas son

-0.5 -0.5 O -0.56 -0.56 O 0.5 -0.5 O 0.56 -0.56 O

1 1 1 1 O 0 0

0.5 -0.5 O 1 0.5 -0.5 O 1 -0.5 -0.5 O 1 -0.5 -0.5 O 1 -0.56 0.56 O 1 -0.5 0.5 O 0.9 0.56 0.56 O 1 0.5 0.5 O 0.9

1 1 0 1 0.5 0.5 O 1 0.5 0.5 O 1 \o 1 o 1) (-0.5 0.5 O 1 ) \ -0.5 0.5 O 11

( X * ) = ( X X T ) = - - - -

El resultado es mostrado en la figura 29b. Ndtese que las llneas originalmente paralelas al eje z conectan las esquinas de las caras del frente y las caras traseras ahora convergen para intersectar el eje z (x = O, y = O) en la fig. 29b.

Desafortunadamente, el resultado muestra no probar una adecuada percepcibn de la forma tridimensional del objeto. Consecuentemente, nosotros tornamos nuestra atenci6n para mas complejas transformaciones en perspectiva.

Si dos tbrminos en las primeras tres renglones de la cuarta columna de la matriz transformaci6n de 4x4 son distintas de cero, el resultado es llamado transformacidn en perspectiva en 2 puntos.

con coordenadas ordinarias

(x* y * z * X Y Z

p x + q y + l p x + q y + l p x + q y + l

tiene dos centros de desvanecimiento: uno sobre el eje x en [-l/p

(56)

O O I] y uno sobre el eje y en [O - l /q O I], y dos puntos de desvanecimientos: uno sobre el eje y en [O l / q O 11 y uno sobre el eje y en [O l / q O 13 note que la transformacibn perspectiva en dos puntos dada por la ecuacibn 55 puede ser obtenida por concatenaci6n de dos transformaciones en perspectiva en un punto, especificamente,

(Ppq) = Pp) (Pq) = (Pq 1 (Pp)

donde [ppq] es dado por la ecuaci6n 55 [Pp] por la ecuacibn 53 y [Pq] por la ecuaci6n 51. El siguiente ejemplo muestra los detalles de una proyecci6n en perspectiva en dos puntos.

Ejemplo 20. Proyección en perspectiva en dos puntos.

Considerando otra vez el cubo descrito en el ejercicio anterior transformado por una transformaci6n en perspectiva en dos puntos con centros de proyecci6n en x = -10 y y = -10 proyectados sobre el plano z = O.

La transformacih es obtenida por la concatenaci6n de las ecuaciones 55 y 27. Específicamente,

( 1 o o p)(l o o d

(o o o l l (0 o o 1, _I l o o p ’ O l O q O 0 0 0 0 0 0 1 ,

r l '

Fig. 29 Proyeccibn en perspectiva en un solo punto de un cubo unitario centrado.

Aquí P Y q son p = -l/(-lO) = 0.1 q = -I/(-IO) = 0.1

Las coordenadas transformadas del cubo son

0 0 1 1 ' 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 . 1 0 1 1 1 0 1 0 0 . 1 0 0 0 1 0 0 0

,o 1 o 1, 1 1 0 1

1 1 0 0 1 0 0 0 o H - -

Los resultados son mostrados en

O 0 0 1' 1 0 0 L 1 1 1 o 1.2 0 1 0 L 1 O 0 0 1 1 0 0 L 1 1 1 o 1.2 .o 1 o 111

- -

O o o 1' 0.909 o o 1 0.833 0.833 O 1

O 0.909 O 1 O o o 1

0.909 O O 1 0.833 0.833 O 1

o 0.909 o 1,

la fig. 3Oa. Los dos puntos de desvanecimiento esun en x = 10 y y = 10. Aparte centrando el cubo sobre el eje z trasladando -0.5 en x y y como fue hecho en el ejercicio 18 produce la transformaci6n de la matriz concatenada.

o o 0.1

donde la proyecci6n sobre el plano z = O ha sido asumida. N6tese que aqul el factor de escalamiento completo (ver ecuaci6n. 4) no es m& grande que la unidad, es decir, hay una escala aparente del cubo causada por la translacibn. Las coordenadas transformadas son

(x *) = (XXT) =

0 0 1 1 ' 1 0 1 1

1 o o 0.1' o 1 0 0 . 1 o o O 0

-0.5 -0.5 O 0.9, 1 1 0 1 0 1 0 1 ,

-0.5 -0.5 O 0.5 -0.5 O 0.5 0.5 O

-0.5 0.5 O -0.5 -0.5 O 0.5 -0.5 O 0.5 0.5 O

-0.5 0.5 O

0.9 1

1.1 1

0.9 1

1.1 1

I' -0.56 0.5

0.46 -0.5 -0.56

- -

0.5 0.46

\ -0.5

-0.56 -0.5 0.46 0.5

-0.56 -0.5 0.46 0.5

o i 01 01 01 01 01 01 o 1,

los resultados son mostrados en la figura 30b.

#

,i* t i t r ? ! i I : c#rP.D.enel+zy f ! 1 1 c o n y = l O

i '1 cmy=lO t i

1

I i cm P.D. en el *y i 1

I

con P.D. en el q e X con x = l O

__.._.. d"-".-

-.""" 2.

Figura 30 Proyecciones en perspectiva en dos puntos. a) no centrado, b) centrado.

Otra vez el resultado expresa no probar una adecuada percepci6n de la forma tridimensional del objeto. Por lo tanto volvemos nuestra atencih a las transformaciones en perspectiva en tres puntos.

Si tres tbrminos en los primeros 3 renglones de la 4' columna, de la matriz transformaci6n de 4x4 son distintas de cero, entonces se obtiene una perspectiva de tres puntos. La transformaci6n en perspectiva en tres puntos.

con coordenadas ordinarias

/ \

(x* y* z* 1)=[ X Y Z

p x + q y + rz+l p x + q y + r z + l p x + q y + rz+l (58)

tiene tres centros de proyecci6n: uno en el eje X en [-l/p O O 11, uno en el eje Y en [O - l /q O 11, y uno en el eje 2 en e[O O -l/r 11, y tres puntos de desvanecimiento: uno en el eje X en [l/p O O 13, uno en el eje Y en [O l /q O 13, y uno en el eje 2 en [O O l / r 11.

Otra vez note como la transformaci6n en perspectiva en tres puntos dada por la ecuaci6n (57) puede ser obtenida por la comatenaci6n de tres transformaciones en un punto, uno para cada eje coordenado. Un ejemplo ilustra la generaci6n de una perspectiva en tres puntos.

Ejemplo 21. Transformación en perspectiva en tres puntos. Considerar el cubo descriio en el ejercicio 18 transformado por una

transformaci6n en perspectiva en tres puntos con centros de proyecci6n en X = -10, Y = -1 O y Z = 10 proyectados en el plano z=O. Los puntos de desvanecimiento esan en X = 1 O, Y = 1 O y 2 = -1 O. La matriz de transformaci6n es

(1 o o 0.1 'I P ) = I o 1 o 0.1

o o o -0.1 l o o o I J

Las coordenadas transformadas del cubo son

(x *) = (XXT) =

o o i i 1 0 1 1 1 1 1 1 o 1 1 1 O 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 ,

1 o o 0.1 o 1 o 0.1 o o o -0.1 ,o o o 1 I - -

O O O 0.9' 1 0 0 1 1 1 0 1 1 O 1 0 1 O 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 o 1.2 o 1 o L l ,

O

1 0.909

O O

0.909 0.833

\ O

O O

0.909 1 O O

0.833 0.909

O 1 O 1 o 1 o 1 o 1 o 1 o 1 o 1.

El resultado es mostrado en la figura 31 b. El objeto deformado, despues de la transfomaci6n en perspectiva, es mostrado en la figura 31 c note la convergencia de las lados.

Otra vez, aunque matematicamente el resultado es correcto vea que no es informativo. La tbcnica apropiada para generar vistas en perspectiva son discutidas en la seccidn 16.

'1 P.D. = Punto de desvanecimiento

?= 1 a'

A", E"

I cony=l0 ! !

I ! ('C

... _.. -.- .- - . _ _

con P.D. en el con x - 1 0

P. B" cm P.D. em z

Figura 31. Perspectiva en tres puntos. a) El cubo original; b) Proyeccidn en Perspectiva sobre el plano z=O; c) El cubo deformado.

TECNICAS PARA LA GENERAC16N DE VISTAS EN PERSPECTIVAS

Las vistas de proyeccidn en perspectiva mostradas en la seccidn previa no proporcionan suficiente informacidn sobre el objeto, porque en cada caso solo una cara de el cubo fue visible, por cada centro de proyeccidn. Para que un observador perciba la figura tridimensional de un objeto en una vista simple, es necesario que múltiples caras de el objeto sean visibles. Para objetos cúbicos, un mínimo de 3 caras deben ser visibles. Para un centro de proyeccidn fijo con el plano de proyeccidn perpendicular a la direccidn de la vista, podemos realizar una proyeccidn en perspectiva en un punto, por la translacidn ylo rotacidn del objeto, para prever las múltiples caras en la vista requerida. Entonces, a condicidn de que el centro de proyecci6n no este pr6ximo al objeto, se tiene una vista m& real.

Primero, considerando una translacidn del objeto seguido por una proyeccidn en perspectiva en un punto desde un centro de proyeccidn en z = zc sobre el plano z = O. La transformacidn requerida es

m o

(59)

donde r = -1Ia

La ecuacidn (S), junto con la figura 32 muestran que la translacidn en las direcciones x y y revelan las caras adicionales de el objeto. La translacibn en x y y es requerida para revelar las tres caras de un objeto cuboidal.

La figura 32 muestra los resultados de la translacidn de un cubo unitario centrado en el origen a lo largo de la llnea y=x, seguido por la proyeccidn en perspectiva en un punto sobre el plano z = O. N6tese que la cara frontal es mostrada en la forma y tarnafio original.

Figura 32. Proyeccidn en perspectiva de un punto simple con translaciones en x y Y.

La ecuacidn 59 tambi6n muestra que la translacidn en la direccidn z, es decir, cerca o lejos del centro de proyeccidn, resulta con un aparente cambio de escala (como es mostrado por el t6rmino 1 - n/zc).

Este efecto corresponde a la realidad física, puesto que un objeto entre mas lejano del observador tiene una apariencia mas pequefia. Note que como el centro de proyeccibn se enfoca al infinito el efecto de escala desaparece. La figura 33 ilustra el esquematicamente el efecto.

Como se muestra en la figura 33, el objeto puede estar sobre cualquier lado del centro de proyeccibn. Si el objeto y el plano de proyeccibn esan sobre el mismo lado de el centro de proyeccibn, como se muestra en la figura 33, entonces resulta una imagen vertical. Sin embargo, si el objeto y el plano de proyeccibn esan sobre lados opuestos del centro de proyeccibn el resultado es una imagen invertida.

La figura 34 ilustra los efectos de translacibn en las tres direcciones. Aqul, un cubo se traslada a lo largo de la línea tridimensional desde -x = -y = -z hasta x =y = z. Not6 el aparente incremento de tamaf7o. Tambi6n not6 que la figura verdadera no tiene el tamafio real en la cara frontal que es mostrada en todas las vistas.

Un ejemplo mas completo ilustra estos conceptos.

Plano de proyexih

+ -Y

Figura 33. Efecto de escala de la traslacibn z por una proyeccidn en perspectiva en un punto.

Ejemplo 22 : Proyección en perspectiva en un punto simple con translación.

Considere un cubo unitario con centro en el origen con vectores de posicibn dados por

(-0.5 -0.5 0.5 1

0.5 -0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 1

-0.5 0.5 0.5 1 -0.5 -0.5 -0.5 1 0.5 -0.5 -0.5 1 0.5 0.5 -0.5 1

\-0.5 0.5 -0.5 1

( X ) =

Trasladando el cubo 5 unidades en la direcci4n y y x, y realizando una proyeccibn perspectiva sobre el plano z = O con un centro de proyeccibn en z = zc = 10.

De la ecuacibn 59 la matriz de transformacibn concatenada es

El resultado de los vectores de posicibn transformados son

(x *) = (XXT) =

4.5 4.5 O 0.95 5.5 4.5 O 0.95 5.5 5.5 O 0.95

4.5 5.5 O 0.95 4.5 4.5 O 1.05 5.5 4.5 O 1.05 5.5 5.5 O 1.05 ,4.5 5.5 O 1.05.

4.737 5.789 5.789

4.737 4.286 5.238 5.238 4.286

4.737 4.737 5.789

5.789 4.286 4.286 5.238 5.238

o i 01 01

01 01 01 01

0 1,

El resultado es mostrado en el objeto de arriba a la derecha en la figura 32.

~ . ...- ~ ."".""1L A /"..ll

Si el objeto original es trasladado por 5 unidades en las direcciones x, y, z, haciendo una proyecci6n perspectiva en un punto sobre el plano z = O con un centro de proyecci6n en z = LC = 20, entonces de la ecuacidn 59 la matriz de transformach concatenada es:

( 1 0 0 o )

(X)=lO O O O O -0.05 O 1 (5 5 O 0.75)

Not6 el escalamiento total indicado por el valor de 0.75, en la parte inferior derecha de la matriz de transformaci6n.

El resultado de los vectores de posici6n transformados son

(x *) = ( X p ) =

4.5 4.5 o 5.5 4.5 o 5.5 5.5 o 4.5 5.5 o 4.5 4.5 o 5.5 4.5 o 5.5 5.5 o 4.5 5.5 o

0.72 5' 0.72 5

0.725

0.72 5 0.77 5 0.77 5

0.775 0.775,

/6.207 7.586

7.586

6.207 5.806 7.097

7.097 ~5 .806

- -

6.207 6.207 7.586

7.586 5.806 5.806 7.097

7 .O9 7

o 1) 01

01

01

01 01

01 o l ,

El resultado es mostrado en el objeto superior derecho en la figura 34

Figura 3 4 . Proyecci6n en perspectiva en un punto con translaciones en x, y y z.

Múltiples caras de un objeto son tambi6n reveladas por la rotaci6n de este. Una rotacibn sencilla revela por lo menos dos caras de un objeto, mientras 2 o mds rotaciones alrededor de ejes separados revelan un mínimo de tres caras.

La matriz de transformaci6n por rotaci6n a traves del eje y en un dngulo a, seguida por una proyecci6n en perspectiva en un punto, sobre el plano z = O con un centro de proyecci6n en z = a, esta dada por

cos# O -sen# d O 1 0 0

sen# O cos# O O 0 0 1,

1 0 0 sen # cos4 o o -

2,

.~ ~ 1 n n -cos4 -1 o 1 0 o I I " JP O O "1 sene, u u -

O 0 0 1 2, o O 0 1

Similarmente, la matriz de transformaci6n para rotar alrededor del eje x en un dngulo 9, seguido por una proyecci6n en perspectiva en un punto sobre el plano z = O con un centro de proyeccidn en z = ZC, es

1 0 o 0 O cose sene O

O 0 o 1 !I 1 0 0 o O 1 0 o

-1 0 0 0 -

2, O 0 0 1

1 0 0 0 sen B

z c o cose o --

cos e O -sen@ O --

O 0 0 1 , zc

61

En ambas ecuaciones 60 y 61 , dos de los t6rminos en la columna cuatro de la matriz de transformacidn no son cero. A s i , una simple rotacidn alrededor de un eje principal perpendicular que sobre el cual el centro de proyeccidn miente, es equivalente a una transformacidn en perspectrva en dos puntos. La rotacidn alrededor del eje sobre el cual el centro de proyeccibn miente no tiene este efecto. Not6 que para una rotacidn sencilla el termino en perspectiva para el eje de rotacidn no cambia, por ejemplo en las ecuaciones 60 y 61 q y p, respectivamente, permanecen en cero.

La rotacidn alrededor de un Único eje principal en general no revela el mrnimo de tres caras para una adecuada representacibn tridimensional. En general, la rotacidn alrededor de un Único eje principal debe ser combinada con la traslacidn a lo largo del eje para obtener una adecuada representacidn tridimensional. El siguiente ejemplo ilustra esto

Ejemplo 23: Proyección en Perspectiva en dos puntos usando rotación alrededor de un eje principal Único.

Considere el cubo mostrado en la figura 35a. rotado alrededor del eje y por + = 60 , revelando la cara izquierda y trasladado -2 unidades en y, revelando la cara superior proyectada sobre el plano z = O con un centro de proyecci6n en z = zc = 2.5.

O

Usando la ecuacidn 38 con 4 = 60 , la ecuacidn 47 con = 2.5 y la O

ecuaci6n I 4 con n = I = O, m = -2 produce :

0.5 O -0.866 o 1 o

0.866 O 0.5 o o o

- - i 0.5 O O 0.346'

o 1 0 o 0.866 O O -0.2

o - 2 0 1 ,

Los vectores de posici6n transformados son:

(x *) = (x@) =

0 0 1 1 '

1 0 1 1

- -

1 0 0 1

1 1 0 1 ,o 1 o 1)

'0.866 -2 O 0.8 '

1.366 -2 O 1.146

1.366 -1 O 1.146

0.866 -1 O 0.8

o - 2 0 1 - -

o - 1 0 1

1.083

1.1 92

1.1 92

1.083

O

0.371

0.371

O

-2.5

-1.745

-0.872

-1.25

-2

-1.485

-0.743

-1

El resultado es mostrado en la figura 35b. La distorsidn es el resultado de que el centro de proyeccibn est6 muy cerca del cubo. Note la convergencia de las llneas originalmente paralelas a los ejes x y z para l o s puntos de desvanecimiento falsos sobre el eje z. Estos puntos de desvanecimiento son determinados en el ejemplo 25 en la seccidn 17.

Similarmente, una transformacidn en perspectiva en tres puntos es obtenida por la rotacidn alrededor de 2 o mhs de los ejes principales y realizando una transformaci6n en perspectiva en un punto. Por ejemplo, la rotaci6n alrededor de el eje y seguida por una rotaci6n alrededor del eje x y una proyecci6n en perspectiva sobre el plano z = O, con un centro de proyecci6n en z = zc produciendo la matriz de transformacih concatenada.

(cos( o -sen( O)(l o O O'1 '1 o o o ' O 1 0 o - o o o -$c

-

, 0 0 0 1 ,

o 1' o 1

o 1 o 1 o 1 o 1 o 1 o 1,

cmp sen/sene o sen(cosB '

=, O cose o -- sene

2, cospcose

z c

sen( -cosq5senB O -

O O O 1

Ndtese los tres tbrminos perspectivos no cero. El objeto puede tambien ser trasladado. Si la transformaci6n ocurre despues de la rotacidn, entonces el resultado es la matriz de transformaci6n concatenada.

cos # senqken8 O sen#cos 8

Z C

I o cos8 o sen8 "

m O I-- J n

Z C

Aquí, note el aparente efecto de escala de la transformaci6n en z. Si el orden de las rotaciones es revertido o si la traslaci6n ocurre antes de la rotacibn, los resultados son diferentes.

-d

I

Figura 35. Proyecci6n en perspectiva en dos puntos con rotaci6n alrededor de un eje Onico.

Ejemplo 24: Proyección en perspectiva en tres puntos con rotación alrededor de dos ejes.

Considere el cubo mostrado en la figura 3%. rotado alrededor del eje y con @ ~~

= -30 , alrededor del eje x por 8 = 45 y una proyecci6n sobre el plano z = O con O O

un centro de proyeccibn en z = = 2.5.

Usando la ecuaci6n 62 tenemos

0.866 -0.354 O -0.141' O 0.707 O -0.283

-0.5 -0.612 O -0.245 O o o 1 ,

Los vectores de posici6n transformados son

(x *) = (xp) =

(0 o 1 1' 1 0 1 1 1 1 1 1 o 1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 o 1

\o 1 o 11

'0.866 4.354 O -0.141) O 0.707 O -0.283

-05 -0.612 O -0.245 I = i o o o 1 )

-0.5 0.366

0.366 -0.5

O

0.866 0.866

\ o

-0.61 2 -0.M -0.259 0.095

O

-0.354 -0.354 0.707

O 0.755' O 0.614 O 0.331

O 0.472 o 1 O 0.859

O 0.576 O 0.717/

"0.662 0596 1.1 07 -1.059

O

1.009 1.504

\ o

El resultado es mostrado en la figura 36.

De estos resultados es claro que transformaciones en perspectiva en uno, dos o tres puntos pueden ser construidas usando rotaciones y traslaciones alrededor y a lo largo de los ejes principales, seguida por una transformaci6n en perspectiva en un punto con un centro de proyecci6n sobre uno de los ejes principales. Estos resultados tambi6n son validos para rotaciones alrededor en un eje general en el espacio.

-0.81 1 -1.574 -0.782 o. 201

O

-0.41 2

0.61 4 0.986

o f o 1 o 1 o 1 o 1 o 1 o 1 o 1,

-6

P.D.

Figura 36. Proyecci6n en perspectiva en tres puntos con rotaci6n alrededor de dos ejes.

Una herramienta comúnmente usada para la construcci6n manual de proyecciones isometricas es escuadra con hngulos de 30' y 60'. Un ejemplo ilustra los detalles.

Fig. 19. Cuatro posibles proyecciones isom6tricas con dngulos de rotacidn $ = k 45 ,0=+35.26 . (a) $=-45 , 0=+35.26 ; (b) $=-45 , 0=-35.26';

(c) $ = + 4501 0 = + 35.26'; (d) $ = + 45 , 0 = -35.26 .

O O O O O

O O

Ejemplo 15: Proyecciones isométricas.

Ahora considerando un cubo con la esquina cortada, determinar la

proyecci6n isometrica para $ = -45 y 0 = + 35.26439 . De la ecuacit5n (32) la O O

transformaci6n de la proyeccidn isometrica es:

0.707 -0.408 O f O 0.816 O 1

-0.707 -0.408 O 1 O o o 1

Retomando l o s vectores de posici6n PI, los vectores de posicibn transformados son:

(x *)= (XXT)=

-0.707 O O

-0.354

-0.707 O

0.707 0.707

O 0.354

-0.40 8 -0.8 16

-0.408

0.204

0.408 O

-0.408 0.40 8 0.816 0.204

0 1 ' 01 01 01

01 01 01 01 01

0 1

El resuttado es mostrado en la fig.19a.

PROYECCIONES OBLICUAS

En contraste a las proyecciones ortogrhficas y axonom4tricas para las cuales los proyectores son perpendiculares al plano de proyeccibn, una proyeccibn oblicua esM formada por proyectores paralelos de un centro de proyecci6n en el infinito, que intersecta el plano de proyeccibn en un hngulo oblicuo. El esquema general es mostrado en la figura 20.

Figura 20. Proyecci6n oblicua

Las proyecciones oblicuas ilustran la sombra de un objeto en tercera dimensibn. De cualquier forma, solo las caras del objeto paralelas al plano de proyeccibn son mostradas en su tamano y forma real, es decir, solamente dngulos y longitudes son preservadas para estas caras. De hecho, la proyeccibn oblicua de estas caras es equivalente a una vista frontal ortogrdfica. Las caras no paralelas al plano de proyeccibn esMn distorsionadas.

Dos proyecciones oblicuas de particular inter& son la proyecci6n "desenvuelta" (cavalier, en ingles) y la proyeccidn de caja (cabinet, en ingles).

Una proyeccibn cavalier es obtenida cuando el dngulo entre los proyectores

oblicuos y el plano de proyeccibn es de 45'. En una proyeccibn cavalier los factores de reducci6n para las tres direcciones principales son iguales. La figura resultante, sin embargo, aparece tosca. Una proyeccibn cabinet es usada para corregir esta deficiencia.

Una proyecci6n oblicua cuyo factor de reducci6n es la mitad para cortes perpendiculares al plano de proyecci6n, es llamada una proyeccibn cabinet. Como

se muestra a continuacidn, para una proyeccidn cabinet, el hngulo entre los proyectores y el plano de proyeccidn es

cot(1/2)-' = 63.43'

Para desarrollar la matriz de transformaci4n para una proyeccidn oblicua, se debe considerar el vector unitario [O O 11 a lo largo del eje L, mostrado en la siguiente figura.

Figura 21. Direccidn de la matriz de proyeccidn oblicua

Para una proyeccidn ortogrMca o axonometrica sobre el plano -0, el vector PO da la direccidn de proyeccidn. Para una proyeccidn oblicua, los proyectores forman un dngulo con el plano de proyeccidn. Los proyectores oblicuos tfpicos, P,O y PP2, son mostrados en la figura 21. P10 y PP2 forman un dngulo p con el plano de proyeccidn z=O. Note que todos los posibles proyectores a traves de P u O forman un dngulo p menor con el plano z= O situado sobre la superficie de un cono con vertice en P u O. Entonces, existe un número infinito de proyecciones oblicuos para un hngulo p dado.

El proyector P i 0 puede ser obtenido de PO trasladando el punto P al punto P i en [-a -b 11. Asl, la matriz de transformaci6n 3x3, en un plano bidimensional a traves de P perpendicular al eje z, es:

-a -b 1 En tres dimensiones esta translaci6n bidimensional es equivalente a un corte

del vector Po en las direcciones x, y. La matriz de transformacidn requerida para esto es

( 1 o o o o 1 0 0 -a -b 1 O

( 0 O 0 1 La proyeccidn sobre el plano r-O es

(T) =

De la figura 21 tenemos:

1 o 0 0 o 1 0 0 -a -b 1 O

o 0 0 1 ,

a = f c o s a b = fsena

donde f es la longitud proyectada del vector unitario del eje z, es decir, el factor de reduccibn, y a es el dngulo entre la horizontal y el eje z proyectado. La figura 21 muestra que p, el dngulo entre los proyectores oblicuos y el plano de proyecci6n es

p = cot- (9 1

Entonces, la transformaci6n para una proyecci6n oblicua es

f 1 o o 0) O 1 O 0

- f cosa - f sena 1 O (T) =

Si f = O, p = 90 , entonces resulta una proyecci6n ortogMka. Si f = 1 , los v6rtices perpendiculares al plano de proyecci6n no son reducidos. Esta es la condici6n para una proyeccibn cavalier. De la ecuaci6n 43 tenemos

O

p = cot' (1) = 45 1 O

Para una proyecci6n cavalier, cabe hacer notar que a es un parbmetro independiente o libre. La figura 22 muestra proyecciones cavalier para algunos

valores de a. Comonmente los valores utilizados de a son 30 y 45 , sin embargo,

valores de 1 8 0 -a son tambibn aceptables.

O 0 O

Una proyecci6n cabinet es obtenida cuando el factor de reduccibn es f = %. Y aquí:

p = cot " (1Q) = 63.435

Otra vez, como se muestra en la figura 23, a es variable. Tambibn, los valores usados son los antes mencionados.

Figura 22. Proyecciones cavalier. De arriba hacia abajo, a = -45'. hasta +45' en intervalos de 15' con p = 45' .

Figura 23. Proyecciones cabinet. De arriba hacia abajo, a = -45'. hasta +45' en intervalos de 15' con f = 0.5.

La figura 24 muestra proyecciones oblicuas para factores de reduccidn f = 1,

7/8,3/4,5/8, W, con a = 45'.

1 3 4 5/8 1 I2

Figura. 24. Proyecciones oblicuas. De izquierda a derecha, f = I , 718, 314, 518, %,

cona=& . O

Debido a que una cara es mostrada en su forma real, las proyecciones oblicuas son particularmente 6ptimas para la ilustraci6n de objetos con caras circulares o de otro tipo de curvas. Cara con estas características deberhn ser paralelas al plano de proyecci6n para evitar distorsiones indeseables. Similarmente, como en todas las proyecciones paralelas, objetos con una dimensi6n paralela al plano de proyeccidn significativamente m& larga que otros, sufren distorsiones significativas de menos longitud. Estos efectos son ilustrados en la figura 25. Un ejemplo a detalle es dado a continuaci6n.

Figura 25. Distorsidn en proyecciones oblicuas, f = 518, a = 45’. (a) cara circular paralela al plano de proyeccidn; (b) cara circular perpendicular al plano de proyeccibn; (c) dimensidn de la longitud perpendicular al plano de proyeccibn; (d) dimensidn de la longitud paralela al plano de proyecci6n

Ejemplo 16: Proyecciones Oblicuas.

Desarrolle proyecciones cavalier y cabinet para el cubo con una esquina cottada.

Recordando que una proyecci6n cavalier es una proyecci6n oblicua con p = 45', es decir, un factor de reducci6n f = 1, y escogiendo un Bngulo de inclinaci6n horizontal a = No, la ecuaci6n 44 nos proporciona la matriz de transformaci6n

( l O O 0 O 1 O 0

- f caaa -fsena! 1 O (*) =

( 0 O o 1

1 o O 0

[-0:66 -:.5

Recordando los vectores de posicibn para el cubo sin esquina D(] (ver ejemplo 13), los vectores de posici6n transformados son

I -0.866 -0.5 O 1 0.134 -0.5 O I

0.134 O O 1

-0.366 0.5 O I

-0.866 0.5 O 1

O o o 1 (x *) = (XXT) =

I 1 o O 1 1 1 o 1 O 1 o 1

0.567 0.75 O 1

El resultado se muestra en la figura 22.

Por otro lado, con la proyecci6n cabinet y recordando que el factor de reducci6n 8s M, de la ecuaci6n 43 tenemos

p = cot-' (1/2) = tan" (2) = 63.435'

Escogiendo otra vez a = 30 I de la ecuaci6n 44 tenemos O

1 O O 0 o O 0 ( T ) = 1-f;os a -f6'"" 1 O 0 a =[-0;33 -0i50

Los vectores de posici6n transformados para la proyeccibn cabinet del cubo sin esquina son

( X * ) = ( X X T ) =

-0.433 -0.25 O 1 0.567 -0.25 O 1 0.567 0.25 O I

0.067 0.75 O 1 -0.433 0.75 O 1

O o o 1 1 o o 1 1 1 o 1 O 1 o 1

0.783 0.875 O 1 El resultado se muestra en la figura 23.

Note que para ambas proyecciones, la esquina triangular no se muestra en su verdadero tamaflo ni en su forma real porque no es paralela al plano de proyecci6n @=O).