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8/17/2019 cátedra métodos numéricos 04
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CATEDRA 0
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METODOSNUMERICOS
Ingeniería CivilING. CRISTIAN CASTRO P.
Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y CivilDepartamento académico de ingeniería de minas y civil
Solución de Ecuaciones No Lineales
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apitulo IV
Ecuaciones Algebraicas
No Lineales
ING. CRISTIAN CASTRO P.
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MÉTODOS NUMÉRICOS
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RAÍCES DE ECUACIONES
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DEFINICIÓN
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ECUACIONES ALGEBRAICAS
• Solución de una ecuación algebraica de primer grado
es solución de:
• Solución de una ecuación algebraica de segundo grado
es solución de:
• Solución de una ecuación trascendente
es solución de:
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BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ
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BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES
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RAÍCES DE POLINOMIOS
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EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN
INGENIERÍA
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RAÍCES DE ECUACIONES
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SUMILLA:ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
- Consideraciones generales- Solución de ecuaciones no lineales
- Separación de raíces- Métodos para ecuaciones con una sola variable:
- Método de búsqueda incremental,- Iteración de punto fijo,
- Método de bisección,- Método del Regula-Falsi,- Método de Newton-Raphson,- Método de la secante,
- Criterios de convergencia- Condicionamiento- Raíces de polinomios- Deflación- Algoritmos.
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Métodos Numéricos paraEcuaciones con una sola Variable
MÉTODOS PARA ECUACIONES CON UNA SOLA VARIABLE
Los métodos descritos en esta sección están orientados a la solución deecuaciones que contienen una sola variable.
Se supondrá que la ecuación por resolver está escrita en la forma:
0 x f La raíz de la ecuación es un valor de “x” que satisface la ecuación; por lo
tanto, los métodos para resolver la ecuación se denominan m ét o d o s p a r aen con t r a r r aíce s .
CONTENIDO
• Antecedentes
• Método para ecuaciones con una sola variable
• Métodos de búsqueda incremental• Método de iteración de punto fijo
• Método de bisección
• Método de Newton-Raphson
• Método de secante
• Método de Muller
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Antecedentes• La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es determinar los
valores de x que cumplan con f(x) = 0. A estos valores se denominaraíces o ceros de la ecuación
• Para polinomios de 1er. a 3er. orden existen fórmulas que permitenlograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores lasituación se complica
• Para la resolución de las expresiones no lineales (ENL) no es posibleresolverlas salvo por aproximaciones sucesivas.
• Se presentarán a continuación procedimientos para encontrar raíces,algunos válidos para cualquier ecuación y otros sólo para polinomios
• Una de las razones para mostrar alternativas es poder responder a lapregunta principal del análisis numérico: cuál de los procedimientosdisponibles puede alcanzar un nivel de deseado de exactitud lo más
rápido posible, mayor certeza y con menos problemas para empezar• Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especial
ayuda par obtener raíces de ecuaciones por simple inspección
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ObjetivoSea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*,tal que se cumple f(x*)=0.
x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)
x* se puede determinar por medios analíticos (soluciónexacta) o por medios numéricos (solución aproximada)
La elección del método numérico depende del problema aresolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones,precisión requerida, rápidez del cálculo,....).
Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable.
Ecuaciones algebraicas no lineales
Métodos acotados (bracketing methods) Métodos abiertos (open methods)
Tipos de métodos
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Ecuaciones algebraicas no lineales
Métodos abiertos
•Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valorestimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)
•Métodos:
•Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)•Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)
•Secante (línea recta empleando dos puntos)
•Muller (aprox. cuadrática empleando tres puntos)
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Convergence Rate
Number of iterations
R e l a t i v e E r r o r s
False-position method
Bisection method
10
1
Ecuaciones algebraicas no lineales
Similaridades:
•Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales
•Requieren un procedimiento para determinar elcambio de signo.
• Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia
Diferencias:
•El cálculo del nuevo punto estimado se hace condiferentes estrategias
•En general el método de la posición falsa convergemás rápido que el de la bisección.
Comparación entre ambos métodos.
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PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0)x(f ).x(f si
3 raíces (o 5, o 7 o …)
hay una raíz
hay un número impar de raíces
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PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0)x(f ).x(f si
3 raíces (1 simple y 1 doble)
hay una raíz
hay un número impar de raíces
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PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0)x(f ).x(f si
2 raíces (o 4, o 6 o …)
no hay raíz
hay un número par de raíces
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PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0)x(f ).x(f si
1 raíz doble
no hay raíz
hay un número par de raíces
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PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
• Los métodos cerrados siempre convergen,
aunque lentamente.• En la mayoría de los problemas el método de
la regla falsa converge más rápido que el debisección.
• Conviene utilizar la calculadora graficadora
o una computadora para graficar la función y realizar acercamientos necesarios hasta
tener claridad sobre su comportamiento.
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Métodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
Análisis Numérico de
Ecuaciones No
Lineales
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MÉTODO GRÁFICOf(x)
x
Visual
xr
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MÉTODO GRÁFICOx f(x)
0 1
0.05 0.90122942
0.1 0.80483742
0.15 0.71070798
0.2 0.61873075
0.25 0.52880078
0.3 0.44081822
0.35 0.35468809
0.4 0.270320050.45 0.18762815
0.5 0.10653066
0.55 0.02694981
0.6 -0.05118836
0.65 -0.12795422
0.7 -0.2034147
0.75 -0.27763345
0.8 -0.35067104
0.85 -0.42258507
0.9 -0.49343034
0.95 -0.563258981 -0.63212056-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
0.57
xe)x(f x
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FUNDAMENTOS CONCEPTUALES:
• Manejar adecuadamente las DEFINICIONES de:
• LÍMITE, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE
FUNCIONES.• SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES.
• INTEGRAL DE RIEMANN.
• SERIES DE TAYLOR Y DE MaCLAURIN.
• TEORÍA DE ERRORES Y TÉCNICAS DE REDONDEO.
• Ejemplificar los siguientes TEOREMAS:
• EL QUE RELACIONA LA DIFERENCIABILIDAD Y LACONTINUIDAD
• DE ROLLE
• DEL VALOR MEDIO
• DEL VALOR INTERMEDIO
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Teorema de ROLLE
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Teorema de ROLLE Generalizado
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Teorema de ROLLE Generalizado
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Teorema del Valor Medio
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Teorema del Valor Medio
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Teorema del VALOR INTERMEDIO
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Teorema del VALOR INTERMEDIO
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Métodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
Método de la
Búsqueda
Incremental
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MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL
Este método es el análogo numérico de la determinación de una raíz de unaecuación al graficar f(x) contra “x” con el propósito de observar el punto en
que f(x) cruza el eje “x”.
ALGORITMO:
Método de Búsqueda Incremental
1) Un contador i se iguala a cero, se elige un valor inicial x 0 , se elige un
incremento h y se calcula un valor de referencia f 0 igula a f(x 0 ).
2) i se incrementa en 1, xi se iguala a (x 0+ih) y se calcula f(x i ).
3) Si 00
i
x f f , se regresa al paso 2; en caso contrario, se continúa
con el paso 4.
4) Se calcula la raíz “x” a partir de h x f x f x f h x x iiii
Método de Búsqueda Incremental
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Ejercicio de Aplicación
Desviación de una viga en voladizo
Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La vigase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). Ladesviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto
(x=αL) está relacionada con δmax mediante:
0/364 max234 f
Aplicar el método de búsqueda incremental para resolver la ecuación para el
valor de al que max es igual a 0.75.
Solución:
A partir del problema físico, se espera que para α entre 0 y 1 exista unasolución y que esté más proxima a 1 que a 0. Por consiguiente, se elige unvalor inicial α0 igual a 1 y se usa un incremeno negativo h = -0.05.
Búsqueda con 10 , 75.00 f y 05.0h
Método de Búsqueda Incremental
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Método de Búsqueda Incremental
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Métodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
Método de
Aproximaciones
Sucesivas
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MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJOTambién denominado m ét o d o d e a p r o x i m a c i o n e s s u c e s i v a s , requierevolver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que esmejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurraconvergencia, la derivada (dg/dx ) debe ser menor que 1 en magnitud. Laconvergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x deuna iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña
cantidad ε.ALGORITMO:Método de Iteración de Punto Fijo1) Se conjetura un valor inicial x 0 y se elige un parámetro de convergencia
.
2) Se calcula un valor mejorado mejorado x a partir de 0 x g xmejorado
3) Si 0 x xmejorado , x 0 se iguala a mejorado x y se vuelve al paso 2; en
caso contrario, mejorado x es la raíz aproximada.
Método de Aproximaciones Sucesivas
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Un punto fijo de una función g( x ) es un número p tal que g( x ) = p.
Dado un problema f ( x ) = 0, se puede definir una función g( x ) conun punto fijo en p de diferentes maneras.
Por ejemplo g( x ) = x – f ( x ).
Método de Aproximaciones Sucesivas
Si g C [a, b] y g ( x) C [a, b] para toda x C [a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b].
Si además g ’( x) existe en (a, b) y una constante positiva k
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Gráfica del algoritmo de punto fijo
y = g ( x)
y
x
y = x
p0
p1= g ( p0)
p3 p2 p1
p2= g ( p1)
p3= g ( p2)
y = g ( x)
y
x
y = x
p0
p1= g ( p0)
p2 p1
p2= g ( p1)
p3= g ( p2)
Método de Aproximaciones Sucesivas
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Casos de no convergencia
y = g ( x)
y
x
y = x
y = g ( x)
y
x
y = x
Método de Aproximaciones Sucesivas
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Método de Aproximaciones Sucesivas
Ejercicio de AplicaciónDesviación de una viga en voladizoUna viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La vigase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La
desviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ
en el punto(x=αL) está relacionada con δmax mediante:
0/364 max234 f
Aplicar el método de aproximaciones sucesivas para resolver la ecuación para
el valor de al que max es igual a 0.75. Empezar con 75.00 y usar elcriterio
50 10
x xmejorado para indicar la convergencia.
Solución:
La ecuación se reescribe como 6/4/3 43max g Luego, 0 g mejorado
La sucesión de valores mejorado se tabula para números de iteraciones
denotadas por i.
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i 0 mejorado i 0 mejorado
1 0.750000 0.776863 9 0.811333 0.811682
2 0.776863 0.791745 10 0.811682 0.811889
3 0.791745 0.800240 11 0.811889 0.812011
4 0.800240 0.805166 12 0.812011 0.812084
5 0.805166 0.808048 13 0.812084 0.8121276 0.808048 0.809743 14 0.812127 0.812152
7 0.809743 0.810742 15 0.812152 0.812167
8 0.810742 0.811333 16 0.812168 0.812176
El último valor calculado de mejorado es la raíz estimada: 812176.0
Método de Aproximaciones Sucesivas
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Métodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
Método de
Punto Fijo
Ecuaciones algebraicas no lineales
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Ecuaciones algebraicas no lineales
Raiz
xxx x
y
y= g(x)
y= x
02 1
xx xx x
y
y= g(x)
y= x
0 23 1
Sustitución sucesiva Problema f(x)=0
1. Transformar a x=g(x)
2. Seleccionar un punto inicial x0
3. Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)
4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
Si:
|g ’(x)|=1 El algoritmo diverge
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
1. Considera la descomposición de la función f(x) enuna diferencia de dos funciones: una primera g(x)
y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es
decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.3. El punto de intersección de las dos funciones, da
entonces el valor exacto de la raíz.4. El método consiste en considerar un valor inicial
x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor
de esta función g(x0), considerando éste comosegunda aproximación de la raíz.5. El proceso se repite n veces hasta que g(x)coincide
prácticamente con x.
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
x
É
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
x
x)x(g)x(f
É
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
• La fórmula de recurrencia para el método del punto
fijo se obtiene de considerar una función que el
resultado de sumar la función f con la funciónidentidad:
g(x) f (x) x
f (x) g(x) x
f(x) 0 g(x) x 0
g(x) x
g(x) f(x) x
f(x) g(x) x
f(x) 0 g(x) x 0g(x) x
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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MÉTODO DEL PUNTO FIJOf(x)
xxr
x
g(x)
f(x)
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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MÉTODO DEL PUNTO FIJOf(x)
xxr
Las funciones x y g(x) se cortanexactamente en la raíz xr
x
g(x)
f(x)
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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MÉTODO DEL PUNTO FIJOf(x)
xx0 x1
g(x0
)
10
x)x(g
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
xx0 x3 x2 x1
Requisito para convergencia
1)x('g
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
• Sólo hay convergencia si la magnitud de la pendientede g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x.• La ecuación de recurrencia es:
• Si x* es el verdadero valor de la raíz:
• Y por el teorema del valor medio:
• Si , los errores disminuyen en cada iteración
• Si , los errores crecen en cada iteración
i 1 ix g(x )
* *x g(x )* *
i 1 ix x g(x ) g(x ) * *
i ig(x ) g(x ) (x x )g '( ) *
i 1 i 1
*i i
x x E
g'( ) x x E
g'(x) 1
g'(x) 1
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
solución monótona
solución oscilante
Convergencia
Divergencia
g'(x)
g'(x)
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
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MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(f x
iteración X i f(X i) g(Xi) e(%) e*(%)
1 0 1 1 100.00
2 1 -0.63212056 0.36787944 76.32 100.00
3 0.36787944 0.32432119 0.69220063 35.13 171.83
4 0.69220063 -0.19172713 0.5004735 22.05 46.85
5 0.5004735 0.10577003 0.60624354 11.76 38.31
6 0.60624354 -0.06084775 0.54539579 6.89 17.45
7 0.54539579 0.03421655 0.57961234 3.83 11.16
8 0.57961234 -0.01949687 0.56011546 2.20 5.90
9 0.56011546 0.01102765 0.57114312 1.24 3.48
10 0.57114312 -0.00626377 0.56487935 0.71 1.93
11 0.56487935 0.00354938 0.56842873 0.40 1.11
12 0.56842873 -0.00201399 0.56641473 0.23 0.62
13 0.56641473 0.0011419 0.56755664 0.13 0.36
14 0.56755664 -0.00064773 0.56690891 0.07 0.20
15 0.56690891 0.00036732 0.56727623 0.04 0.11
16 0.56727623 -0.00020833 0.5670679 0.02 0.06
17 0.5670679 0.00011815 0.56718605 0.01 0.04
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Método de Bisección
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Métodos acotadosBase: Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz
•Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente
al signo de f(b)
a b
f ( x)
xMid-point
Next estimate of Bisection
Bisection Method
f (a)
f (b)
[a,b]
[nuevopunto]
1. Selecciona un intervalo [a,b] donde hallaun cero
2. Calcula el punto medio como nuevo punto
3. Comprueba si hay cambio de signo en
[a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).4. Si el producto es cero, entonces p es una
raíz. Si no es cero volver al punto 2.
Algoritmo
Método de la bisección (o intervalo medio)
Método de Bisección
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MÉTODO DE BISECCIÓNEl método de bisección también se denomina método de b i p a r t i c ión d e li n t e r v a l o porque la estrategia es bisectar o separar a la mitad el intervalo dexa y xb y luego retener el semiintervalo cuyos extremos siguen acotando la
raíz.Este se clasifica como un método de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones dela forma f(x) = 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes xa y xbtales que la función f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo
ba x x x . Por consiguiente, los valores limitantes acotan la raíz.El requisito de que la función cambie de signo sólo una vez constituye unamanera de detrminar cuál semiintervalo retener.
• Este método se basa en encontrar una raíz de (x)=0 empezando con dosvalores que encierran o ponen entre corchetes a la raíz
• Nos damos cuenta que una función está entre corchetes cuando cambiade signo en sus puntos extremos. La función tiene que ser continua
• Se concibe como un método de búsqueda binaria en donde se va buscandola raíz en subintervalos de intervalos
Método de Bisección
Método de Bisección
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Método de Bisección
(xa)0
(x)
Intervalo ori inal 0
raíz
x
(x b)0,1
(xa)1,2
(x b)2
(xm)0
(xm)1
Des ués de la bisección 1
Método de Bisección
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Se trata de encontrar los ceros de
f ( x ) = 0
Donde f es una función continua en [a,b] con f (a) y f (b) con signos
diferentes.
y = f ( x)
x
y
a
b
f (b)
f (a)
Método de Bisección
De acuerdo con el teorema del
valor medio, existe p [a,b] talque f ( p) = 0.
El método consiste en dividir a lamitad el intervalo y localizar lamitad que contiene a p.
El procesos se repite hasta lalograr la precisión deseada.
Método de Bisección
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y = f ( x)
x
y
a
b
f (b)
f (a)
p1=(a+b)/2
f ( p1)
p
Mitad del intervalo que
contiene a p
Primera iteración del algoritmo
MÉTODO DE BISECCIÓN
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f(x)
x
• Consiste en considerar un intervalo (xi,
xs) en el que se garantice que la función
tiene raíz.
MÉTODO DE BISECCIÓN
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xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tiene
raíz.
• El segmento se bisecta, tomando el puntode bisección xr como aproximación de la
raíz buscada.
MÉTODO DE BISECCIÓN
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xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
•Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.
•El segmento se bisecta, tomando el punto
de bisección xr como aproximación de laraíz buscada.
•Se identifica luego en cuál de los dosintervalos está la raíz.
MÉTODO DE BISECCIÓN
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xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
rxx =i
MÉTODO DE BISECCIÓN
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• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el
que se garantice que la función tiene raíz.
• El segmento se bisecta, tomando como el punto debisección xr como aproximación de la raíz buscada
• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos
está la raíz.
• El proceso se repite n veces, hasta que el punto de
bisección xr coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.
MÉTODO DE BISECCIÓN
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xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
ALGORITMO:Método de Bisección
Método de Bisección
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1)
Se eligen los valores limitantes a x y b x (con )ab x x 2) Se calcula
aa x f f o bb x f f
3) Se calcula el punto medio del intervalo 2/bam x x x y se calcula
mm x f f 4)
Se usa (i) o (ii), dependiendo de si fa o fb está disponible a partir del paso (2);
i) Si 0ma f f , recolocar a x en m x ;
En caso contrario, recolocar b x en m x
ii) Si 0mb f f , recolocar b x en m x ;
En caso contrario, recolocar a x en m x
5) Si ab x x es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual quealguna pequeña cantidad prescrita , continuar con el paso (6); en casocontrario, volver al paso (3).
6) Usar interpolacion lineal para estimar la raíz x a partir de una de las dos
expresiones: abaaba x f x f x f x x x x
O bien
abbabb x f x f x f x x x x
Ejercicio de Aplicación
Determinación del Número de Mach Crítico
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El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lavelocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aireacelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es elNúmero de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza lavelocidad del sonido.
El coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica se
define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad delflujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, laexpresión para Cp es:
2
5.32
7.0
14.24.02
M
M C p
Para una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares abajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes.Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujoincompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien:
1
222
112/1
M C M M C C pi pi p Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación deKarman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolveres:
0112/17.014.24.02 122225.32 M C M M C M M M f pi pi
Método de Bisección
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Aplicando el método de bisección, resolver la ecuación cuando Cpi = -0.383.Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y detener las biseccionescuando (Mb-Ma) se vuelve menor o igual que 0.01
Bisección a M b M m M i m M f 1 0.18000 0.98000 0.58000 2.44757
2 0.58000 0.98000 0.78000 -0.15476
3 0.58000 0.78000 0.68000 0.79287
4 0.68000 0.78000 0.73000 0.123135 0.73000 0.78000 0.75500 -0.19607
6 0.73000 0.75500 0.74250 -0.03705
7 0.73000 0.74250 0.73625 0.04284
Después de la bisección, 73625.0a M y 74250.0b M ; así 01.0 Ma MbInterpolando se produce la solución estimada:
73960.0 , en donde 5103062.4 x M f
MÉTODO DE BISECCIÓN
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Iteración X i X s f(x i) f(Xs) Xr f(X r ) e(%) e*(%)
1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84
2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33
3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00
4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11
5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26
6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70
7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37
8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69
9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34
10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17
11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09
12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04
13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02
14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01
Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(f x
MÉTODO DE BISECCIÓN
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0.5
0.75
0.625
0.5625
0.59375 0.578125
0.56640625 0.5703125
0.567143…
0 1
xe)x(f x
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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería
Método de la
Falsa Posición
Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)
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a b
f ( x)
xIntersection point
Next estimate of False-position
False-Position Method
f (a)
f (b)
[nuevopunto]
[a,b]
1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla
un cero
2. Calcula un punto intersección como nuevopunto
3. Comprueba si hay cambio de signo en[a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).
4. Si el producto es cero, entonces p es unaraíz. Si no es cero volver al punto 2.
Algoritmo
( ) ( ) ( )[ ])
( ) ( )
f a f b f b a bm b
m a m b f a f b
-= Þ = -
- - -
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓNEl método de la falsa posición se puede entender como un intento por mejorarlas características de convergencia del método de bisección. Se comienza convalores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo sólo una vez en elintervalo de xa a xb.
Por interpolación lineal se encuentra una raíz aproximada entre xa a xb quesirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raízcomprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento paradeterminar que intervalo se retiene es le mismo que para el método debisección.
Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)
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(xa)0
(x)
Intervalo ori inal 0
raíz
x
(x b)0,1,2
(xa)1
(xa)
2
(xint)0
(xint)1
Des ués de la iteración 1
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
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f(x)
x
• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
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xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.
• Se traza una recta que une los puntos(xi, f(xi)), (xs, f(xs))
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
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xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.
• Se traza una recta que une los puntos
(xi, f(xi)), (xs, f(xs))• Se obtiene el punto de intersección de estarecta con el eje de las abscisas: (xr, 0); setoma xr como aprox. de la raíz buscada.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que
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xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)f(xr)
se garantice que la función tiene raíz.• Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),
(xs, f(xs)) y se obtiene el punto de intersección deesta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma
xr como aproximación de la raíz buscada.• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está
la raíz.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
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xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)f(xr)
rxx =s
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
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• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en elque se garantice que la función tiene raíz.
• Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),
(xs, f(xs))• Se obtiene el punto de intersección de esta recta
con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr comoaproximación de la raíz buscada.
• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos
está la raíz.
• El proceso se repite n veces, hasta que el punto deintersección xr coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
f( )
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xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)f(xr)
)x(f )x(f
)xx)(x(f xx
si
sissr -
--=
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
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91/190
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
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f(x)
x
Caso de convergencia lenta
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
L fó l d i l ét d d l l
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• La fórmula de recurrencia para el método de la reglafalsa se obtiene de comparar dos triángulos semejantes:
si
r i r s
r s i r i s
r i s i r s i s
r i r s s i i s
r i s s i i s
s i i sr
i s
f(x )f(x )
x x x x
(x x )f(x ) (x x )f(x )
x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )
x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )
x [f(x ) f(x )] x f(x ) x f(x )x f(x ) x f(x )
xf(x ) f(x )
ALGORITMO:Método de la Falsa Posición
1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx
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1)
Se eligen los valores limitantes a x y b x (con )ab x x 2) Se calcula aa x f f o bb x f f y un contador i se coloca en cero
3) EL contador i se incrementa en 1 y se calcula el punto ermedio xint a partir
de una de las dos expresiones:
abaabaermedio x f x f x f x x x x int O bien abbabbermedio x f x f x f x x x x int
4) Se calcula ermedioermedio x f f intint 5) Dependiendo de si f a o f b está disponible a partir del paso (2), se usa i o ii
i)
Si 0int ermedioa f f , a x se recoloca en ermedio xint ;
En caso contrario, b x se recoloca en ermedio xint
ii) Si 0int ermediob f f , b x se recoloca en ermedio xint ;
En caso contrario, a x se recoloca en ermedio xint
6) Si ermedio x f int es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual quealguna pequeña cantidad prescrita , o si f alcanza un límite de iteraciónN, ermedio xint se considera como la raíz aproximada; en caso contrario,
volver al paso (3).
Ejercicio de Aplicación
Determinación del Número de Mach Crítico
El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lal id d d l id L i b ó i i t fl j d i
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El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lavelocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aireacelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es elNúmero de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza lavelocidad del sonido.
El coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica se
define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad delflujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, laexpresión para Cp es:
2
5.32
7.0
14.24.02
M
M C p
Para una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares abajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes.Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujoincompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien:
1222 112/1
M C M M C C
pi pi p
Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación deKarman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolveres:
0112/17.014.24.02 122225.32 M C M M C M M M f pi pi
Aplicando el método de falsa posición resolver la ecuación cuando Cpi=-
Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)
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Aplicando el método de falsa posición, resolver la ecuación cuando Cpi0.383. Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y terminar las
iteraciones cuando ermedio M f int se vuelve menor o igual que 10-2.
Iteración a M b M int M i
int M f 1 0.18000 0.98000 0.74306 -0.04414
2 0.18000 0.74306 0.74258 -0.03804
3 0.18000 0.74258 0.74217 -0.03278
4 0.18000 0.74217 0.74181 -0.02825
5 0.18000 0.74181 0.74151 -0.02435
6 0.18000 0.74151 0.74124 -0.02099
7 0.18000 0.74124 0.74101 -0.01809
8 0.18000 0.74101 0.74082 -0.01560
90.18000
0.74082 0.74065 -0.01345
La raíz estimada es:
74065.0 , en donde 01345.0 M f
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
)(fx
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Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(f x
iteración X i X s f(x i) f(Xs) Xr f(X r ) e(%) e*(%)
1 0 1 1 -0.63212056 0.61269984 -0.07081395 8.03
2 0 0.61269984 1 -0.07081395 0.30634992 0.42977907 45.98 100.00
3 0.30634992 0.61269984 0.42977907 -0.07081395 0.45952488 0.17205878 18.98 33.33
4 0.45952488 0.61269984 0.17205878 -0.07081395 0.53611236 0.04890582 5.47 14.29
5 0.53611236 0.61269984 0.04890582 -0.07081395 0.5744061 -0.01136694 1.28 6.67
6 0.53611236 0.5744061 0.04890582 -0.01136694 0.55525923 0.01866424 2.1 3.45
7 0.55525923 0.5744061 0.01866424 -0.01136694 0.56483266 0.0036226 0.41 1.69
8 0.56483266 0.5744061 0.0036226 -0.01136694 0.56961938 -0.00387865 0.44 0.84
9 0.56483266 0.56961938 0.0036226 -0.00387865 0.56722602 -0.00012965 0.01 0.42
10 0.56483266 0.56722602 0.0036226 -0.00012965 0.56602934 0.00174607 0.2 0.21
11 0.56602934 0.56722602 0.00174607 -0.00012965 0.56662768 0.00080811 0.09 0.11
12 0.56662768 0.56722602 0.00080811 -0.00012965 0.56692685 0.0003392 0.04 0.05
13 0.56692685 0.56722602 0.0003392 -0.00012965 0.56707644 0.00010477 0.01 0.03
14 0.56707644 0.56722602 0.00010477 -0.00012965 0.56715123 -1.244E-05 0 0.01
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
MODIFICADO
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MODIFICADO• Las funciones con curvatura significativa hacen
que el método de la regla falsa converja muy
lentamente.• Esto se debe a que con interpolación lineal, uno
de los valores extremos se queda estancado.
• Para tales casos, se ha encontrado un remedio:
el método de la regla falsa modificado, que
reduce a la mitad el valor de la función en el
punto extremo que se repita dos veces, con lo
que la convergencia se acelera significativamente
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
MODIFICADOf( )
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99/190
MODIFICADOf(x)
x
f(xi)
f(xi)/2
f(xi)/4
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100/190
Ecuaciones algebraicas no lineales Problema g(x)=0
1. Seleccionar un punto inicial x02 C l l ( ) ’( )
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Newton Raphson2. Calcular g(xi) y g’(xi)
3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con eleje de abcisas tenemos el nuevo punto estimado
4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
xi+1=xi- g(xi)g’(xi)
xx xx 02 1
g(x)y
•Necesita conocer la derivada de lafunción
•Convergencia cuadrática (rápida)
•Puede no converger (depende de lafunción y de la estimación inicial)
El Método de Newton-Raphson
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0 00 1 0
0 1 0
1
2 1
1
( ) ( )tan '( ) ,
'( )
Se continua el calculo al estimar
( )
'( )
f x f x f x x x
x x f x
f x
x x f x
x0-x1
x1 x0
(x0)
• Es lejos uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones
• Se basa en una aproximación lineal de la función, aunque
aplicando una tangente a la curva
• A partir de una estimación inicial x0 se efectúa un desplazamientoa lo largo de la tangente hacia su intersección con el eje x, y se
toma ésta como la siguiente aproximación
0 0Se calculan ( ) '( )
IF ( ( ) 0) AND ( '( ) 0)
f x y f x
f f
El Método de Newton-Raphson
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Algoritmo
• Este algoritmo al menos en la vecindad converge más rápido quecualquiera de los antes vistos
•
Al ser un método cuadráticamente convergente el resultado neto es queel número de cifras decimales de exactitud casi se duplica en cadaiteración
• Tiene como inconveniente la necesidad de dos evaluaciones funcionalesen cada paso, (xn) y ’(xn) y encontrar la derivada de la función
• El método de Newton se relaciona con la interpolación por la Secante yaque cociente de las diferencias es una aproximación de la derivada
• El método de Newton funciona con raíces complejas si se proporciona unvalor de este tipo para el valor inicial
0 0
1 0
0 0 0 0
0 1 0
IF ( ( ) 0) AND ( '( ) 0)
Repeat
Se Hace
Se Hace ( ) / '( )
Until ( valor de tolerancia 1) OR ( ( ) valor de tolerancia 2)
End IF
END
f x f x
x x
x x f x f x
x x f x
Para determinar una raíz de (x)=0dado un valor de x0 razonablementepróximo a la raíz
El Método de Newton-Raphson
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f ( xn) Pendiente = f ’( xn)
xn xn+1
La ecuación de la recta
tangente es:
y – f ( xn) = f ’ ( xn)( x – xn)
Cuando y = 0, x = xn+1 o sea
0 – f ( xn) = f ’ ( xn)( xn+1 – xn)o
x x f x
f xn nn
n
1( )
'( )
f ( x)
EjemploDeterminar la raíz de la siguiente función (x)=3x + sen x ex=0
El Método de Newton-Raphson
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j pDeterminar la raíz de la siguiente función (x)=3x + sen x – ex=0
Después de 3 iteraciones la raíz es correcta hasta con 7 dígitos significativos
0
01 0
0
12 1
1
4
2
3 22
( ) 3 ,
'( ) 3 cos
0
( ) 1.00.0 0.33333;
'( ) 3.0( ) 0.068418
0.33333 0.36017;'( ) 2.54934
( ) 6.279 *100.36017 0.3604217;
'( ) 2.50226
x
x
f x x senx e
f x x e
x
f x x x
f x f x
x x f x
f x x x
f x
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x) • Consiste en elegir un punto inicial cualquiera
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x1
( )
x
f(x1)
g p qx1 como aproximación de la raíz y obtener elvalor de la función por ese punto.
• Trazar una recta tangente a la función porese punto.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x) • Consiste en elegir un punto inicial cualquierax como aproximación de la raíz
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x1 x
f(x1)
x2
x1 como aproximación de la raíz.
• Obtener el valor de la función por ese punto ytrazar una recta tangente a la función por
ese punto.
• El punto de intersección de esta recta con eleje de las abscisas (xr, 0), constituye unasegunda aproximación de la raíz.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
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x1 x
f(x1)
x2
f(x2)
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x
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• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1como aproximación de la raíz.
• Obtener el valor de la función por ese punto y trazaruna recta tangente a la función por ese punto.
• El punto de intersección de esta recta con el eje de
las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que el punto de
intersección xn coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
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x1x
f(x1)
x2
f(x2)
i+1x f'(xi) xi
f(xi)
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• El método de Newton Raphson se puede deducira partir de la interpretación geométrica que
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a partir de la interpretación geométrica quesupone que el punto donde la tangente cruza al
eje x es una interpretación mejorada de la raíz.i 1 i
i
i 1 i
ii
i 1 i
ii 1 i
i
ii 1 i
i
f(x ) f(x )f '(x )
x x
0 f(x )f '(x )x x
f(x )x x
f '(x )f(x )
x xf '(x )
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
• En realidad, el método de Newton Raphson, que supone laobtención de la raíz de f(x) se obtiene a partir de su desarrollo
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obtención de la raíz de f(x), se obtiene a partir de su desarrolloen serie de Taylor, la cual se puede escribir:
donde, al despreciar el residuo R2, la serie de Taylor truncadaa dos términos, queda:
Y realizando manipulaciones algebraicas:
i+1 i i i+1 i 2f(x ) = f(x ) + f '(x )(x - x ) + R
i i i+1 i0 = f(x ) + f '(x )(x - x )
ii 1 i
i
f(x )x xf '(x )
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
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x1x
f(x1)
x2
f(x2)
f(x3)
x3
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
El é d d N R h á i
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• El método de Newton Raphson converge muy rápi-
damente, pues el error es proporcional al cuadrado
del error anterior:
• La velocidad de convergencia cuadrática se explica
teóricamente por la expansión en serie de Taylor,con la expresión:
• El número de cifras significativas de precisión se
duplica aproximadamente en cada iteración
i 1 2
E R
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
La velocidad de convergencia es muy sensible al valor inicial elegido
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f(x)
x
lento
rápido
Método de Newton-Raphson
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Método de Newton-Raphson
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Newton-Raphson
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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.
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xx3 x1
x2x0
f(x)
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.
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xx1x2x0
f(x)
x3x4
Desventajas f ( x ) f ( x )
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x 0x 1
x 2 x x 0 x 1x 2 x
x 0
x 1
x
f ( x )
raíz cerca de punto de inflexiónmínimo local
varias raíces
x
f ( x )
la iteración en un mínimo
x 0 x 1
Desventajas
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Métodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
Método de la
Secante
Ecuaciones algebraicas no lineales
Problema g(x)=0
1. Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1
2. Calcular la recta que pasa por esos puntos
3 El t l j d b i d l tSecante
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xxx xx 023 1
g(x)y
3. El corte con el eje de abcisas da el nuevo puntoestimado. Volver a calcular la recta.
4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
xi+1=xi- xi+1-xig (xi+1)-g (xi)g (xi+1)
•No Necesita conocer la derivada dela función (la aproxima).
•Necesita dos puntos iniciales.
•Puede no converger.
El Método de la secante
• Se supone que (x) eslineal en la vecindad de la
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(x1)
x2
(x0)
x1 x0
Raíz
0 11 2
1 0 1
0 12 1 1
0 1
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
x x x x
f x f x f x
x x x x f x
f x f x
raíz
• Se eligen puntos próximos
a ésta y se traza una línearecta
• Si bien es cierto (x) no eslineal y x2 no es igual a laraíz debe estar muypróxima. Mejores
estimaciones se lograniterando y reemplazando losvalores xo y x1
Algoritmo
Para determinar una raíz de (x)=0 dados dos valores, x0 y x1 pr óximos a la solución
( ) ( )IF f f
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0 1
0 1
2 1 1 0 1 1
0 1
1 2
2
( ) ( )
Intercambiar .Repeat
Sea ( )*( )/[ ( ) ( )].
Sea .
Sea .
Until ( ) valor de tolerancia
End IF
END
o
IF f x f x
x con x
x x f x x x f x f x
x x
x x
f x
MÉTODO DE LA SECANTE
• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0,x1 para los cuales se evalúan los valores de la función
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1 p
f(x0) = f(x1)
• Se traza una recta secante a la función por esos dospuntos.
• El punto de intersección de esta recta con el eje delas abscisas (x2, 0) constituye una segunda aprox.de la raíz.
• El proceso se repite n veces hasta que el punto de
intersección xn coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.
Secante
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Una de las formas de obtener la fórmula recursiva esencialpara el método de la Secante, es reemplazar por unaexpresión aproximadamente equivalente, en:
N-R modificado o Método de la Secante
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Para ello, basta considerar la expresión matemática de la
Así:
Si |xi - xi-1|
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2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de abscisas
(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.
4. Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1
pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.
5. Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1,
obteniendo una segunda aproximación con x2.
6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersec-
ción x2 coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
MÉTODO DE LA SECANTEf(x)
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x
MÉTODO DE LA SECANTEf(x)
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x0 x1x
f(x0)
f(x1)
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137/190
MÉTODO DE LA SECANTEf(x)
x f(x ) x f(x )
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138/190
x0 x1x
f(x0)
f(x1)
x2
f(x2)
i i 1 i 1 ii 1
i 1 i
x f(x ) x f(x )x
f(x ) f(x )
MÉTODO DE LA SECANTEf(x)
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x0 x1x
f(x0)
f(x1)
x2
f(x2)
x0 x1
f(x0)f(x1)
MÉTODO DE LA SECANTEf(x)
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x0 x
f(x0)
x1
f(x1)
x2
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MÉTODO DE LA SECANTE
xe)x(f x
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Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143
iteración X 0 X 1 f(X 0) f(X1) X2 f(X 2) e(%) e*(%)
1 0 0.4 1 0.27032005 0.54818554 0.02981207 3.34
2 0.4 0.54818554 0.27032005 0.02981207 0.56655382 0.00092388 0.1 3.24
3 0.54818554 0.56655382 0.02981207 0.00092388 0.56714126 3.1783E-06 0 0.10
4 0.56655382 0.56714126 0.00092388 3.1783E-06 0.56714329 3.3904E-10 0 0.00
COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOSESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS
1000.00
xe)x(f x
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0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
iteraciones
E r r o r r e l a t i v o e s t i m a d o p o r c e n t u a l
Bisección Regla falsa Punto fijo Newton-Raphson Secante
COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOSESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS
• Los métodos de bisección, de regla falsa y de punto fijo convergenlinealmente al valor verdadero de la raíz.• El error relativo verdadero es proporcional y menor que el error
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p p y qcorrespondiente de la iteración anterior.
• En bisección y regla falsa, la convergencia está garantizada.• En punto fijo, la convergencia depende de que la pendiente de la
tangente no sobrepase el 1, en positivo o en negativo.
• Los métodos de Newton Raphson y de la secante convergencuadráticamente al valor verdadero de la raíz.• El error relativo verdadero es proporcional al cuadrado del error
correspondiente de la iteración anterior.
• Cuando el error relativo en una iteración es menor que 1 (inferioral 100%), la convergencia está garantizada.
• Cuando el error relativo en una iteración es mayor que 1, ladivergencia está garantizada.
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EjemploF ió d j l
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Función de ejemplo
Archivo: eqn_w3.m
function y = eqn_w3(x)
y = sqrt(x^2 + 1) - tan(x);
)tan(12 x x
>> bisec_n('eqn_w3',0,1.3)
f_name = eqn_w3
Método de bisección:
It. a b c fa=f(a) fc=f(c) abs(fc-fa)
1 0.000000, 0.650000 1.300000, 1.000000, -1.9619810 2.962e+0002 0.650000, 0.975000 1.300000, 0.432482, -1.9619810 2.394e+000
3 0.650000, 0.812500 0.975000, 0.432482, -0.0783150 5.108e-001
4 0.812500, 0.893750 0.975000, 0.232743, -0.0783150 3.111e-001
5 0.893750, 0.934375 0.975000, 0.097080, -0.0783150 1.754e-001
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6 0.934375, 0.954688 0.975000, 0.015409, -0.0783150 9.372e-002
7 0.934375, 0.944531 0.954688, 0.015409, -0.0297840 4.519e-0028 0.934375, 0.939453 0.944531, 0.015409, -0.0067920 2.220e-002
9 0.939453, 0.941992 0.944531, 0.004405, -0.0067920 1.120e-002
10 0.939453, 0.940723 0.941992, 0.004405, -0.0011690 5.574e-003
11 0.940723, 0.941357 0.941992, 0.001624, -0.0011690 2.793e-003
12 0.941357, 0.941675 0.941992, 0.000229, -0.0011690 1.398e-003
13 0.941357, 0.941516 0.941675, 0.000229, -0.0004700 6.987e-00414 0.941357, 0.941437 0.941516, 0.000229, -0.0001200 3.492e-004
15 0.941437, 0.941476 0.941516, 0.000054, -0.0001200 1.746e-004
16 0.941437, 0.941457 0.941476, 0.000054, -0.0000330 8.731e-005
17 0.941457, 0.941467 0.941476, 0.000011, -0.0000330 4.366e-005
18 0.941457, 0.941462 0.941467, 0.000011, -0.0000110 2.183e-005
19 0.941457, 0.941459 0.941462, 0.000011, -0.0000000 1.091e-005
20 0.941459, 0.941460 0.941462, 0.000005, -0.0000000 5.457e-006
21 0.941460, 0.941461 0.941462, 0.000003, -0.0000000 2.729e-006
Se satisface la tolerancia.
Resultado final: Raíz = 0.941461
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Ejemplo
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Sea la función: x3
+ 4 x2
–10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]
Puede despejarse en:
a. x = g 1( x) = x – x3
– 4 x2
+10
b. x = g 2( x) = ½(10 – x3)½
c. x = g 3( x) = (10/(4 + x))½
d. x = g 4( x) = x – ( x3 + 4 x2 – 10)/(3 x2 + 8 x)
Iteraciones de punto fijo
(b)
1.5
1.286953767
1 402540803
(c)
1.5
1.348399724
1 367376371
(a)
1 1.5
2 -0.875
3 6 732421875
(d)
1.5
1.373333333
1 365262014
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150/190
1.402540803
1.3454583741.375170252
1.360094192
1.367846967
1.363887003
1.365916733
1.3648782171.365410061
1.365137820
1.365277208
1.365205850
1.3652423831.365229578
1.365230028
1.365230012
1.367376371
1.3649570151.365264748
1.365225594
1.365230575
1.365229941
1.365230022
1.3652300121.365230013
1.365230013
3 6.732421875
4 -469.720012005 1.02754555E8
6 -1.084933870E24
7 1.277055591E72
8 -2.082712908E216
9 NaN
1011
12
13
14
1520
25
30
1.365262014
1.3652300131.365230013
Funciones graficadas en MatLab
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a) b)
c)d)
Programa en MATLAB
%Objetivo: Encontrar una raíz de una función
%Sintaxis: bisec_n('nombre_f', a, b)
%nombre_f: el nombre de la función entre apóstrofos
% b t d l i t l i i i l
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%a y b: extremos del intervalo inicial
%Ejemplo: bisec_n ('eqn_w3', 0, 1.3)
function bisec_n(f_name, a, c)
f_name
% a, c : extremos del intervalo inicial% tolerance : tolerancia
% it_limit : límite del número de iteraciones
% Y_a, Y_c ; valores y de los extremos actuales
% fun_f(x) ; valor funcional en x
fprintf('Método de bisección:\n\n');tolerance = 0.000001; it_limit = 30;
fprintf(' It. a b c fa=f(a) ');
fprintf(' fc=f(c) abs(fc-fa) \n');
it = 0;
Y_a = feval(f_name, a); Y_c = feval(f_name, c) ;
if (Y_a * Y_c > 0)
fprintf('\n \n Detenido porque f(a)f(c) > O \n') ;else
while 1
it = it + 1;
b = (a + c)/2; Y_b = feval(f_name, b) ;
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fprintf('%3.0f %10.6f, %10.6f', it, a, b) ;
fprintf('%10.6f, %10.6f, %10.6f0', c, Y_a, Y_c) ;fprintf('%12.3e\n', abs((Y_c - Y_a))) ;
if ( abs(c-a)/2it_limit )
fprintf('Se excedió límite de iteraciones.\n');
break
end
if ( Y_a*Y_b
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Métodos Numéricos
Aplicados a la Ingeniería
Problemas
Propuestos de IC343
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I
La profundidad normal “y” del flujo en un canal de sección parabólica abierto de ancho “T” estál i d l d l “Q” l di t d l l “S” l fi i t d f i ió d M i
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relacionada con el caudal “Q”, la pendiente del canal “S” y el coeficiente de fricción de Manning
“n” mediante las ecuaciones:
2/13/21 S ARn
Q 3/23/52/1
P AS
Qn
Determinar “y” usando cualquier método de solución de ecuaciones no lineales para el conjuntode datos:
Caudal (Q) 100.0 m3/s
Coeficiente (n) 0.050
Pendiente (S) 0.0045
Espejo de agua (T) 16.00 m
Foco (K) 8.00 m
16.00
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I
En el gráfico se muestra una sección típica de tipo “Baúl”, en la cual se desea determinar el tirantenormal o calado “Y” que tiene para los datos mostrados en la tabla adjunta. Además es necesario hallar
l áf d l i ió ti t (Y) C d l (Q) id d d P d t i
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el gráfuco de la variación tirante (Y) vs. Caudal (Q), conocida como curva de descarga. Para determinar
“Y” puede utilizar cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I
Imagine una pared de tabique con un espesor de 0.05 m. La temperatura en el lado interior dela pared T0 = 625 ºK, pero se desconoce la temperatura del lado exterior. La pérdida de calorde la superficie exterior se efectúa por convección y por radiación. La temperatura T1 estádeterminada por la ecuación:
01441011 fTThTTTTk
Tf
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011011
f T T hT T T T
x
T f
Donde:k : Conductividad térmica de la pared, 1.2 W/mºK : Emisividad, 0.8
0T : Temperatura del lado interior de la pared, 625ºK
1T : Temperatura del lado esterior de la pared, desconocida en ºK
T : Temperatura del entorno, 298 ºK
T : Temperatura del aire, 298 ºK
h : Coeficiente de transferencia de calor, 20 W/m2ºK
: Constante de Stefan-Boltzmann, 5.67x10-8
W/m2
ºK4
x : Espesor de la pared, 0.05 m
Determine 1T por cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.
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Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.1:
Una artesa de longitud L tiene una sección transversalen forma de semicírculo con radio r (ver figuras). Cuandose llena con agua hasta una distancia h desde la parte
Tarea
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superior, el volumen V de agua es:V=L[0.5πr2 - r2 arcsen(h/r) – h(r2 –h2 )1/2]Suponga que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4 pies3.Encuentre la profundidad ( D ) del agua en la artesa
dentro de 0.01 pie.
TareaUn abrevadero de longitud L tiene una seccióntransversal en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta unadistancia h de la parte superior, el volumen V de
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agua esV = L [ 0.5Πr 2 – r 2 arcsen(h /r ) – h (r 2 – h 2)1/2 ]
Escriba un programa en MatLab amigable para el
usuario que lea los datos de este problema yencuentre la profundidad h del abrevadero. Utiliceel método de bisección para encontrar la solución.
h
r
L
Volumen del abrevadero
r
h sen
h
r
L 2
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r
h
sector area r
r
h sen 1
22
r h senr r /2
sector area 122
2212 /
2
triangular areasector areaA hr hr h senr
22
2
altura base2triangular area hr h
2212 /
2hr hr h senr L LAV
Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.3:
Los problemas relacionados con la cantidad de dinero
Tarea
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requerida para pagar una hipoteca en un periodo fijo(n), involucran la fórmula:
A = [1 – (1 + i )-n]*(p/i)
Donde:A = monto de hipoteca; p = cuota; i = tasa de interésSuponga que se necesita una hipoteca a 30 años parauna casa, por $75000 y que el deudor puede pagar a losumo $625 al mes. ¿Cuál es la tasa de interés máximaque el deudor puede pagar?
TareaEl valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularsecon la ecuación de anualidad vencida
A = P [(1 + i )n - 1 ] / i
En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad
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que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés porperiodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero legustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de$ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dichoobjetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puedeinvertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuestomensual?Escriba un programa en MatLab para este problema, el
programa deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar elmétodo de Newton para calcular el interés a que debeinvertirse el dinero.
Sugerencia:
Para estimar el valor inicial de i podemosdesarrollar el binomio (1 + i )n para aproximarlo ala segunda potencia. El resultado es
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P nn
nP Ai
1
20
Se sugiere validar los datos de entrada. El capitala obtener debe ser mayor que el depósito por elnúmero de abonos, es decir
A > nP
Tarea
La carga en un circuito RLC serie esta dada por
t
Reqt q L Rt
2
)2/(
0
1cos
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L LC 2
Suponga
q 0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.
Encuentre el valor de la Resistencia R usando elmétodo de Newton. Haga un programa en C para
este problema.
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