第4回　複雑な運動方程式物理学概説Ab or 力と運動 (力学)

以下の準備をお願いします

担当講師：桑畑和明

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マイクのミュート、ビデオの停止、 チャットを見れるようにしておいて下さい

http://www.ohno.ynu.ac.jp/kuwahata/index.html に授業のスライド、演習問題、提出フォーム、補助資料 を置いておきます

授業開始は12時50分から、少々お待ちください。

←ホームページには左のQRコードからもアクセス可能

（連絡先：g9501515@yokohama-cu.ac.jp）

講義を録画します

（備忘録）

質問への回答問）　微分に や などの表記を使ってもいいですか？·y y′�

問）　積分定数を使わずに、初期条件から直接解いていいですか？

どの表記を使っても問題ありません

きちんと理解していれば問題ありません

問）　 が自明の場合に、 を省略してもいいか？t > 0 t > 0

の記述はあった方がいいt > 0

問）　Forms で送信ができない

Microsoft のサーバーが混雑している？

方程式の解き方（復習）(1) に力を代入（運動方程式を立てる）m

d2 rdt2

= F

(2) 方程式を解く

(3) 初期条件を代入

(4) 解の吟味

全ての時刻tに対する を代入F (t)

ここが一番難しい。詳しくは次回以降

2つの条件式を代入する

グラフ等を書いて解の妥当性を吟味。 質問に対するの回答になっているか？

いろいろな力

◎束縛力

◎摩擦力・抵抗力

◎重力

◎弾性力（復元力）

◎中心力

（単語は覚える必要はない）

、地球表面の重力加速度 F = GMmr2

g =Fm

=GMr2

= 9.8 m/s2

物体の運動を制限する力

物体の運動を妨げる力

、kはバネ定数（詳しくは第5回単振動、第6回減衰・強制振動）F = − kx

ある一点の方向に働く力（詳しくは第11回角運動量とケプラーの法則）

今日の話のメイン（教科書p50〜p60）

束縛力

≈m g

N

：運動の範囲を制限する

例）滑らかな平面状を運動する物体

y軸成分は変化しない⇔ y = Cons . ⇔ ·y = 0 ⇒ ··y = 0

束縛条件

T

m g

例）糸で吊るされた振り子の運動

が一定l束縛条件

lθ

md2(lθ)

dt2= ml

d2θdt2

= − mg sin θ

xy

：垂直抗力（ ）N N = − m g

：張力T

mgxy

XY N

θ

θmg cos θmg sin θ

束縛力：運動の範囲を制限する例）滑らかな斜面上を運動する物体が初速0で距離 進む時間？l

X : m d2Xdt2 = mg sin θ

Y : m d2Ydt2 = N − mg cos θ

斜面に接して動くので、束縛条件··Y = ·Y = 0 よって　N = mg cos θ··X = g sin θ

{X(t) = 12 g sin(θ)t2 + Vxt + X0

Y(t) = Y0

(1)◎ 新たに斜面と水平をX軸、垂直をY軸

(2)

{·X(t) = g sin(θ)t + Vx·Y(t) = 0

束縛力：運動の範囲を制限する例）滑らかな斜面上を運動する物体が初速0で距離 進む時間？l

mgxy

XY N

θ

θmg cos θmg sin θ

初期条件を代入、また とするX0 = 0(3)·X(0) = Vx = 0

X(t) =12

g sin(θ)t2

距離 を進む時間を とするl t1(4)

X(t1) =12

g sin(θ)t21 = l

より t1 > 0 t1 =2l

g sin θ

いろいろな力

◎束縛力

◎摩擦力・抵抗力

◎重力

◎弾性力（復元力）

◎中心力

（単語は覚える必要はない）

、地球表面の重力加速度 F = GMmr2

g =Fm

=GMr2

= 9.8 m/s2

物体の運動を制限する力

物体の運動を妨げる力

ある一点の方向に働く力（詳しくは第11回角運動量とケプラーの法則）

、kはバネ定数（詳しくは第5回単振動、第6回減衰・強制振動）F = − kx

摩擦力

mg

N

物体の運動を妨げる力

F

R

R

Fx

y

Rmax

R′�

：最大摩擦力Rmax

（ ：動摩擦係数、 ）R′� = μ′�N μ′� μ′� < μ

（ ：静止摩擦係数）Rmax = μN μ：動摩擦力R′�

すべらない

R = F

すべる

◎ 摩擦力

◎ 粗い平面状を運動する物体

例）粗い平面を速度 で進む物体の止まるまでの時間と距離は？v

摩擦力 物体の運動を妨げる力

mg

N x軸 : m d2xdt2 = − R

y軸 : m d2ydt2 = N − mg

v

R

xy

：最大摩擦力Rmax

（ ：動摩擦係数）R′� = μ′�N μ′�

（ ：静止摩擦係数）Rmax = μN μ：動摩擦力R′�

◎ 摩擦力

(1)

束縛条件より ··y = ·y = 0

∴ 0 = N − mg ⇔ N = mg

物体は運動中なので R = μ′�N = μ′�mg

m ··x = − μ′�mg ⇔ ··x = − μ′�g

、·x(t) = − μ′�gt + v

時刻 で止まったとするt1

(2)

初期条件 より·x(0) = v, x(0) = 0(3)

x(t) = −μ′�g2

t2 + vt

(4)·x(t1) = − μ′�gt1 + v = 0 ⇔ t1 =

vμ′�g

よって、x(t1) =v2

2μ′�g

抵抗力 物体の運動を妨げる力

◎ 粘性抵抗：F = − αv

◎ 慣性抵抗：F = − βv2v

y

−αv ・周りの空気を引きずる

・進行方向の空気と圧縮

（注）どちらの式も近似的な式で厳密ではない 　　　どちらの式を使うかは問題文に書いてある

・速度が遅い時に主要

・速度が速い時に主要

空気

・摩擦力：垂直抗力に比例 ・抵抗力：速度に比例

◎ 空気抵抗中の落下運動◎ 抵抗力

◎ 摩擦力と抵抗力の違い

抵抗力 物体の運動を妨げる力例）自由落下している物体に粘性抵抗 がかかる場合の速度の時間変化？−αv

v

y

−αv

md2ydt2

= − mg −αvy

dvy

dt= − (g +

αm

vy)

常にマイナス

∫dvy

g + αm vy

= − ∫ dt

変数分離 （左辺に 、右辺に を集める）vy t

両辺に がある！vy

( は積分定数)mα

log g +αm

vy = − t + C C

( )g +αm

vy = C1e− αm t C1 = e α

m C

( は定数)vy(t) =mα (C1e− α

m t − g) C1

(1)

(2)

は初期条件をから決定するC1

と仮定する|g | >αm

vy

◎ 変数分離dydx

= F(x) G(y)

∫1

G(y)dydx

dx = ∫ F(x)dx + C

∴ ∫1

G(y)dy = ∫ F(x)dx + C

（左辺に 、右辺に を集める）y x

v

y

−αv ( は定数)vy(t) =

mα (C1e− α

m t − g) C1

、 vy(0) =mα (C1 − g) = 0 ∴ C1 = g

よって、vy(t) =mgα (e− α

m t − 1)vy t

−mgα

t

e− αm t

0 → ∞

1 → 0

e− αm t − 1 0 → − 1

終端速度

O

(3)

(4) 時間変化の概要を求める

抵抗力 物体の運動を妨げる力例）自由落下している物体に粘性抵抗 がかかる場合の速度の時間変化？ 　　時刻 で初速度 の時の速度変化の概要を図示せよ

−αv

t = 0 v0 = 0

抵抗力 物体の運動を妨げる力例）自由落下している物体に慣性抵抗がかかる場合で 　　時刻 で初速度 の時の速度変化の概要を図示せよt = 0 v0 = 0

◎ 粘性抵抗：F = − αv

◎ 慣性抵抗：F = − βv2

→ F = − α v

◎ 抵抗力の向きに関する補足

→ F = − β v ⋅ v = − β | v |2

v

y

−βv2

抵抗力 物体の運動を妨げる力例）自由落下している物体に慣性抵抗がかかる場合で 　　時刻 で初速度 の時の速度変化の概要を図示せよt = 0 v0 = 0

◎ 粘性抵抗：F = − αv

◎ 慣性抵抗：F = − βv2

→ F = − α v

◎ 抵抗力の向きに関する補足

→ F = − β v ⋅ v = − β | v |2

→ F = − β | v | v

F = − β |v |vv

y

−β |v |v

(1) md2ydt2

= − mg −β |vy |vy

落下中の運動 なのでvy < 0 md2ydt2

= − mg +βv2y

(2)dvy

dt= − (g −

βm

v2y )

∫dvy

g − βm v2

y

= − ∫ dt

12 g ∫ ( 1

g + βm vy

+1

g − βm vy

)dvy = − ∫ dt

変数分離

抵抗力 物体の運動を妨げる力例）自由落下している物体に慣性抵抗がかかる場合で 　　時刻 で初速度 の時の速度変化の概要を図示せよt = 0 v0 = 0

v

y

−β |v |v

因数分解

v

y

−β |v |v(2)

12 g ∫ ( 1

g + βm vy

+1

g − βm vy

)dvy = − ∫ dt

12

mgβ (log g +

βm

vy − log g −βm

vy ) = − t + C

12

mgβ (log

g + βm vy

g − βm vy

) = − t + C

g + βm vy

g − βm vy

= C1e−γt(ただし、 )C1 = e2C gβ

m

抵抗力 物体の運動を妨げる力例）自由落下している物体に慣性抵抗がかかる場合で 　　時刻 で初速度 の時の速度変化の概要を図示せよt = 0 v0 = 0

( とおいた)γ = 2gβm

> 0

v

y

−β |v |v(2)

抵抗力 物体の運動を妨げる力例）自由落下している物体に慣性抵抗がかかる場合で 　　時刻 で初速度 の時の速度変化の概要を図示せよt = 0 v0 = 0

vy(t) = −mgβ

1 − C1e−γt

1 + C1e−γt

(3) より vy(0) = −mgβ

1 − C1

1 + C1= 0 C1 = 1

vy(t) = −mgβ

1 − e−γt

1 + e−γt

t

e−γt

0 → ∞

1 → 0

0 → 1

(4) 時間変化の概要を求めるvy t

−mgβ終端速度

O

1 − e−γt

1 + e−γt

抵抗力 物体の運動を妨げる力

・ F = − α v

・ F = − β | v | v

◎ 粘性抵抗：F = − αv

◎ 慣性抵抗：F = − β |v |v

・速度が遅い時に主要

・速度が速い時に主要

◎ 解き方：変数分離法

・終端速度：mgα

・終端速度： mgβ

dydx

= F(x) G(y)

∫1

G(y)dy = ∫ F(x)dx + C

複合問題

mg

N

θ

θmg cos θmg sin θ

R

X : m d2Xdt2 = mg sin θ − R

Y : m d2Ydt2 = N − mg cos θ

斜面に接して動くので、束縛条件より

d2Ydt2

=dYdt

= 0 よって　N = mg cos θ

運動中なので

R = μ′�N = mgμ′�cos θ

··X = g sin θ − gμ′�cos θ

(1)

(2)

·X = g(sin θ − μ′�cos θ)t + Vx

X =12

g(sin θ − μ′�cos θ)t2 + Vxt + X0

例）粗い斜面を速度 で降る物体の止まるまでの時間と距離は？v

XY

xy

複合問題

mgxy

XY N

θ

θmg cos θmg sin θ

R

例）粗い斜面を速度 で降る物体の止まるまでの時間と距離は？v

(3) 初期条件より、また とするX0 = 0·X(0) = Vx = v

X(t) =12

g(sin θ − μ′�cos θ)t2 + vt

·X(t) = g(sin θ − μ′�cos θ)t + v

止まるためには 、 sin θ − μ′�cos θ < 0 tan θ < μ′ �

(４) 時刻 で止まったとするt1·X(t1) = g(sin θ − μ′�cos θ)t1 + v = 0

t1 =−v

g(sin θ − μ′�cos θ)

X(t1) =v2

2g(μ′�cos θ − sin θ)