El metodo Monte-Carlo y su aplicacion a nanzasPatriciaSaavedraBarrera1yVctorHugoIbarraMercado21Departamento de Matematicas, Universidad Autonoma Metropolitana-Iztapalapa,psb@xanum.uam.mx2Escuela de Actuara, Universidad Anahuac. ESFM-IPN,vibarra@anahuac.mx2Indicegeneral1. IntegracionnumericaporMonte-Carlo 51.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Integraci onNumerica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. ElmetodoMonte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Integraci onM ultiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Valuaci ondeopcionesporMonte-Carlo 152.1. IntroduccionalasOpciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Valuaci ondeunaopcioneuropea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Valuaci ondeopcionesasiaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Esquemasnumericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5. ResultadosdelasimulacionMonteCarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243. Metodosdereducciondevarianza 273.1. Variabledecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Resultadosnumericosconreducciondevarianza . . . . . . . . . . . . . . . 31A. AnexoI 35A.1. Generadoresden umerosaleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A.2. Pruebasparavalidargeneradoresden umerosaleatorios . . . . . . . . . . . 37A.3. Generacionden umerosaleatoriosconotrasdistribuciones . . . . . . . . . 3934INDICEGENERALCaptulo1IntegracionnumericaporMonte-Carlo1.1. IntroduccionEnnanzasmatematicasunproblemafrecuenteeselvaluarinstrumentosnancieroscuyos rendimientos sonaleatorios. Por ejemplolos instrumentos derentavariable, lasinversiones en la bolsa o los derivados, cuyos rendimientos dependen del comportamientodeunaaccionodeunbiencomoelorooelpetroleo.Lavaluaciondeestos instrumentos sereduce, al calculodeunaesperanzadeunafuncioncontinuadeunavariablealeatoria.Recordemos algunos conceptos de probabilidad. Sea x una variable aleatoria continua,si su funcion de densidad es f(x), en un intervalo [, ], la probabilidad de que la variablealeatoriatomeelvalora [, ]estadadoporP[X a] =_af(x)dx.Laprobabilidadeselareabajolacurvay= f(x)delpuntoalpuntoa.El calculodelaesperanzaydelavarianzadeunavariablealeatoriaxcontinuaconfunciondedensidadf(x)sedenenporE(x) =_xf(x)dx, V ar(x) = E[x2] E[x]2=_x2f(x)dx E[x]2.Deigual formasepuededenirlaesperanzadeunfuncioncontinuadeunavariablealeatoria.Seag:continuaenelintervalo[, ]entoncesE[g(x)] =_g(x)f(x)dx.Confrecuencianoesposibleaplicarunmetododeintegraci onparacalcularenformaexactalaintegral.Enesecasohayqueaproximarlaintegralpormediodeunmetododeintegraci onnumericacomoelmetododeltrapecioodeSimpson.56 CAPITULO1. INTEGRACIONNUMERICAPORMONTE-CARLO1.2. IntegracionNumericaSupongamosquenosinteresacalcularF(x) =12_x0es2/2ds.Estaintegralnopuedecalcularsepormediodeunmetododeintegracionporloquehayqueaproximarlapormediodelaintegraldeunpolinomioqueaproximeaes2/2enelintervalo[0, x].Seaf(x) : [a, b] unafuncionacotadaen[a, b]entonceslaintegraldefsepuedeaproximarintegrandounpolinomioconstante, lineal ocuadraticoqueinterpolaaf en[a, b].1. Laformulael rectanguloseobtieneal interpolaraf(x)pormediodel polinomioconstantep0(x) = f(a+b2)._baf(x)dx (b a)f(a +b2) = R(f).2. La formula del trapecio se obtiene al interpolar a fpor medio de un polinomio linealp1(x) = x +que satisfaga f(a) = p1(a), y f(b) = p1(b). Determinar el polinomiolineal esequivalentearesolverunsistemadeecuacioneslinealesparaycuyasoluciones =f(b) f(a)b a=f(b)a f(a)bb a.Alintegrarp1(x)enelintervalo[a, b]seobtienelaregladeltrapecioconh = b a_baf(x)dx _bap1(x)dx =h2(f(a) +f(b)) = T(f).Elerrorestadadopor_baf(x)dx T(f) = h312(f

()), a < < b.3. Por ultimoalintegrarelpolinomiocuadraticoqueinterpolaafenx = a,x =a+b2,yx = bseobtienelaregladeSimpsonconh =ba2_baf(x)dx _bap2(x)dx =h3(f(a) + 4f(a +h) + f(b)) = S(f).ElerrorquesecometealusarSimpsones_baf(x)dx S(f) =h590(f(4)()), a < < b.Ejemplos1. Seaf(x) =x3,_10x3dx = 0.25;R(f) = 0.125,T(f) = 0.5,yS(f) = 0.25.Enestecaso Simpson es exacta ya que integra en forma exacta a polinomios de grado menoroiguala3.1.3. ELMETODOMONTE-CARLO 72. Seaf(x) =ex2/2estimar_10ex2/2dx. R(f) =0.8824969, T(f) =0.803265yS(f) = 0.856086267.Otro metodo numerico que nos permite aproximar el valor de una integral es el metododeMonte-Carlocuyofundamentomatematicoesprobabilstico.1.3. ElmetodoMonte-CarloSe sabe por la Ley de los Grandes N umeros que un buen estimador del valor esperadode unavariable aleatoriacontinuaXcondistribucionF es el valor promediode unamuestranitadevariablesaleatorias,independientescondistribucionF.EsdecirE(X) 1MM

i=1Xi.Comolaesperanzadeunavariablealeatoriacontinuaesunaintegral,lamediamuestralsepuedeusarparaestimarel valordeunaintegral. EstaeslaideaqueestadetrasdelmetododeMonte-Carlo.Esta idea se puede generalizar para estimar el valor esperado de una funcion G continuacuyoargumentoes unavariablealeatoriacondistribucionF. Si setieneunamuestrade variables aleatorias, independientes, identicamente distribuidas condistribucionF,entoncesE(G(x)) 1MM

i=1G(Xi).AplicacionalcalculodeintegralesEn el caso que nos ocupa, se desea estimar la integral de una funcion G continua, estaintegralpuedeversecomoelcalculodelvaloresperadodelafuncionGcuandoseaplicaaunavariablealeatoriacondistribucionuniforme.Supongamosqueelintervalodeinte-gracion es [0, 1] y sea x1, x2hasta xMuna muestra de variables aleatorias, independientescondistribucionuniformeenelintervalo[0, 1]entonces_10G(x)dx = E(G(x))conxunavariablealeatoriauniformeen[0, 1].Deestaforma, conbaseenlaLeydelosGrandesN umeros, estaintegral sepuedeaproximarpor_10G(x)dx 1MM

i=1G(Xi).Todoel problemase reduce agenerar lamuestra. Por otrolado, observemos quecualquier integral sobreel intervalo[a, b] sepuedetransformar aunaintegral sobreel8 CAPITULO1. INTEGRACIONNUMERICAPORMONTE-CARLOintervalo[0, 1] conel siguientecambiodevariablex=a + (b a)ucondx=(b a)duentonces_baG(x)dx = (b a)_10G(a + (b a)u)du (b a)MM

i=1G(a + (b a)ui),conuivariablesaleatoriasuniformesenelintervalo[0, 1].La mayora de los programas generan variables pseudo-aleatorias con distribucion uni-formeconlainstruccionrand.EjemploUsemosloanteriorparaaproximarelvalordeI=12_2.52.5ex22dx.Transformemosprimerolaintegralalintervalo[0, 1]I =22_2.50ex22dx =52_10e(2.5u)22du 5M2M

i=1e(2.5ui)22,= 1.0066 paraM= 100.Elresultadonoesbuenosicomparamosconelvalorqueseobtienealusarlastablasdelanormalacumuladaqueesiguala0.987580.Contrapecio,querequiere unicamentededosevaluacionesdelafuncionseobtieneel valorde1.041yconSimpson0.955889.Comoserelacionaelerrorquecometemosconeltama nodeMdelamuestra?EstimaciondelerrorEl Teoremadel LmiteCentral nos permiteestimar el error quesecometeal usarMonte-Carlo para estimar una integral. Sean I= E(g(x)) eIM=1M

Mi=1g(Xi) entoncessiesladesviacionestandardeg(X),setienequeMesladesviacionestandardeIM,porloqueP(|I IM| (1.96)2 2104.El algoritmodeMonte-Carloparaestimarunintervalodeconanzadel 95 %delaesperanzade unafuncionF(x), conxunavariable aleatoriauniforme estandar es elsiguiente:1. DenotemosporV arieIialavarianzaacumuladayalpromedioacumuladohastalaiteracioni,respectivamente.2. SeaV ar1= 0; I0= 0;SeaU1unauniformeen(0, 1)yI1= F(U1).3. Parai = 2, . . . , Mgenerarn umerosaleatoriosUiuniformes.4.Ii+1=Ii +F(Ui+1)Iii+1; V ari+1= (1 1i)V ari + (i + 1)(Ii+1Ii)2.5. I [IM 1.96V arMM, IM+1.96V arMM].A continuacion se presentan algunos resultados numericos para distintos valores de M.M Lm.Inf. Aprox. Lm.Sup. Long.Int.10 0.93986596 1.158364144 1.376862327 0.436996367100 0.939873981 1.006610869 1.073347758 0.1334737771000 0.955515509 0.976122422 0.996729335 0.04121382610000 0.981765121 0.988230900 0.994696679 0.012931558100000 0.986738285 0.988788375 0.990838466 0.004100182Figura1.1:AproximacionesmedianteelmetodoMonte-Carloalaintegral.Porloquecon100000evaluacionesdelafuncionseobtieneunaaproximacioncondoscifrassignicativas. EsunhechoqueMonte-CarloconvergelentamenteporloquenopuedecompetirconSimpsonoTrapecioparaelcalculodeintegralesenunavariable,peroparael calculodeintegralesm ultiplessevuelvecompetitivoeinclusivemejorquecualquierotrometododeintegraci onnumerica.10 CAPITULO1. INTEGRACIONNUMERICAPORMONTE-CARLO1.4. IntegracionM ultipleEnlaseccionanteriorseanalizocomoevaluarintegralescondominioenunintervaloreal. Ahorabien, si el dominioesunaregionde 2, enlaquelasfronterasizquierdayderecha sean segmentos de rectas verticales, (x = a y x = b) y la frontera inferior y superiorestendadasporlascurvasy= l(x)yy= s(x),respectivamenteyl(x) < s(x), x (a, b).Laintegraldobleenesedominioes:_ba_s(x)l(x)f(x, y)dydx (1.1)Sibien,losproblemasdeintegralesdoblesnosiempreaparecenenlaforma(1.1),sesupondraqueel problemasepudoreescribir enlaformaanterior, endondequizaseanecesariointercambiarxyy.Elproblemadecalcularlaintegralseresolver aconvirtiendoloalcalculodeintegralesunidimensionales.Paraesto,sedeneJ(x) _s(x)l(x)f(x, y)dy, (1.2)asque(1.1)sepuedeescribircomoI(x) =_baJ(x)dx. (1.3)Sepuedeobtenerunaaproximaci onnumericapara(1.3)aplicandocualquieradelasformulasdeintegraci onnumericaanalizadasenlaseccionanterior, locual sepuedeex-presarcomoI(x) n

i=0wiJ(xi). (1.4)Aqu, las wi son los pesos y las xi los puntos de la formula de integraci on que se utilice.Ahorabien,parax = xilaecuacion(1.2)quedaJ(xi) _s(xi)l(xi)f(xi, y)dy. (1.5)Elanterioresunproblemaunidimensionalysepuedeevaluarmediantealgunadelasformulasdeintegraci onnumerica.EjemploEval uelasiguienteintegral,I=_21_x2x1x +ydydx,utilicelaregladeSimpson.1.4. INTEGRACIONMULTIPLE 11SolucionEnestecaso,a = 1,b = 2,l(x) = x 1ys(x) = x2.Aplicandoel procedimientodescrito, ymediantelaregladeSimpson, laintegral an-teriorsepuedeaproximarporI hx3(H(x0) + 4H(x1) + H(x2)) ,endonde,x0= 1, x1= 1.5, x2= 2,ademas,hx=ba2= 0.5ycadaH(xi)estadadaporH(xi) =_x2ixi1xi +ydy.Porloque,laaproximaciondeIestadadapor:I hx3__1211_1 +ydy + 4_1.521.51_1.5 +ydy +_2221_2 + ydy_,EmpleandolaregladeSimpsonparalaprimeraintegralsetiene,_10_1 +ydy 0.53_1 + 0 + 41 + 0.5 +1 + 1_. 1.218865508Deformaanaloga,paralasotrasintegralesseobtiene,_2.250.5_1 +ydy 2.955468605,_41_1 +ydy 6.333410962.Porlotanto,laaproximacionnaldelaintegralesI 0.53[1.218865508 + 4(2.955468605) + 6.333410962] .= 3.229025149De una forma similar se pueden calcular integrales m ultiples. Pero, entre mayor sea ladimension,mayorseraeln umerodepuntosendondesedebeevaluarlafuncion.Asporejemplo, considereseunaregiondeintegracionrectangular, si encadaejesesubdivideel intervalocorrrespondiente ennsubintervalos, entonces, parael casode laformulaextendida de Simpson se tendran (n+1)2puntos de 2en donde se debe evaluar la funcionf(x, y).Deaqu,esclaroquesiintegramosunafunciong: m,cuyodominioesunrectangulode myencadadireccionsetomannsubintervalos,eln umerodepuntosendondesedebeevaluarlafunciongesdeordennm. Estevalorcrecerapidamenteporlo12 CAPITULO1. INTEGRACIONNUMERICAPORMONTE-CARLOqueunaalternativa util paraaproximarintegralesdedimensionesaltasesel metododeMonteCarlo.Al igual que en el caso de una dimension, supongase que se esta interesado en calcularI=_10_10 _10g(x1, x2, ..., xm)dx1dx2 dxmComosecoment oenlaseccion(1.1), I sepuedeexpresarmediantelaesperanzasi-guiente:I= E[g(U1, U2, ..., Um)],endonde U1, U2, ..., Umsonvariables aleatorias independientes, que se distribuyendemanerauniformeen(0, 1).Ahora, si setomannconjuntos independientes, cadaunodeellos conmvariablesaleatoriasindependientescondistribucionuniformeen(0, 1),setiene(Ui1, Ui2, ..., Uim), i = 1, .., nentonces,yaquelasvariablesaleatoriasg(Ui1, Ui2, ..., Uim), i = 1, .., n,son independientes e identicamente distribuidas con media I, podemos utilizar nuevamentelaleyfuertedelosgrandesn umerosparaestimarI mediantelamediaarimeticaIn=1n

ni=1g(Ui1, Ui2, ..., Uim).Con base en lo anterior, se debe observar que el algoritmo para aproximar la integral ydeterminar los intervalos de conanza, es el mismo al que se dio en el caso unidimensional.Notese que, si es la desviacion estandar de g(U1, U2, ..., Um) entonces se tiene quenesladesviacionestandardeIn,porloqueP_I In 0 la volatilidad del subyacente, Wt es un brownianoestandar.4. ExisteunactivolibrederiesgoS0t= ertparaelperiodoT.5. Sepuedencomprarovenderfraccionesdeactivos.6. Nohaypagodedividendosnicostosdetransaccion.Observaciones:2.2. VALUACIONDEUNAOPCIONEUROPEA. 171. El brownianoesel lmitedeunacaminataaleatoriacuandohacemostendertacero.SatisfacequeWt(0) = 0yquelosincrementosWtWssonindependientesysedistribuyencomounanormalconmediaceroyvarianzat sparas t.2. Latendenciaylavolatilidaddependendel subyacenteypuedenser estimados apartirdedatoshistoricosatravesdelamediayladesviacionestandarmuestral: =1MM

i=1ln_Si+1Si_,y=_1M 1M1

i=1(ln_Si+1Si_)2_1/2.2.2. Valuaci ondeunaopcioneuropea.Supongamosquesetienenunaopcionputconduracionde6mesessobreunaacciondeTelmexaunprecioS0=50. Supongamosqueel preciodeejercicioK=52yquelavolatilidaddel subyacenteesigual al 12 %anual yquelatasadeintereslibrederiesgoesdel 6 %anual. Cual debeserel valordelaprimadel putparaquelaopcionseauncontratojustoparaambaspartes?LaecuaciondiferencialestocasticaS(0) = S0,dSS= dt +dWt,tienencomosolucionexactaaS(t) = S0e(2/2)t+Wt.El hechoqueel mercadoseaviableycompletonospermiteasegurarqueexisteuna unicaprobabilidadP, llamadaprobabilidadderiesgoneutro, paralacual el preciodelsubyacenteesdelaformaSt= S0 exp__r 22_t +Bt_,conBt, t T,unmovimientobrownianoestandardadoporBt= Wt +( r)t.BajolaprobabilidadP,St=Stertesunamartingala.Esdecir,E(St+1 | Ft) =St.18 CAPITULO2. VALUACIONDEOPCIONESPORMONTE-CARLOEsteresultadonospermiteconcluirqueel valordeunaopcioneuropeatambienesunamartingalaysuvalorestadadoporVt= E(er(Tt)h(ST) | Ft),con h(ST) la funcion de pago de la opcion. Por lo que el valor de la opcion europea vainillaVtpuedeobtenerseporVt= F(t, x) = E(er(Tt)h(Ster(Tt)+(BTBt)22(Tt)) | Ft).Vt= E(er(Tt)h(Ste(r22)(Tt)+yTt)),Vt=er(Tt)2_h(Ste(r22)(Tt)+yTt)ey2/2dy.Porloquesih(S) = (ST K)+entoncesF(t, St) = StN(d1) Ker(tt)N(d2), (2.1)conN(x) =12_xey2/2dy,d1=ln(St/K) + (r +122)(T t)T tyd2=ln(St/K) + (r 122)(T t)T t.Alaexpresion(2.1)selellamalaformuladeBlack-Scholes.AplicaciondeMonte-CarloalavaluaciondeopcioneseuropeasEnelcasodelavaluaci ondeopcioneseuropeas,elmetodoMonte-CarloseusaparacalcularlasiguienteintegralVt= E(er(Tt)h(Ste(r22)(Tt)+yTt)).AlgoritmoMonte-CarloparavaluaropcioneseuropeasParavaluarunaopcionaltiempocerooseaV0,denotemosporI=VtyaV ariporlavarianzaacumuladahastalaiteracioni.1. Se toma a rcomo la tasa anual de CETES correspondiente al perodo Ty se estimalavolatilidadanual,coninformacionhistoricadelospreciosdelsubyacente.2.3. VALUACIONDEOPCIONESASIATICAS 192. Seinicializanlasvariables: V ar1=0; I0=0; yI1=h(S0e(r22)T+y1T), cony1unanormalconmediaceroyvarianzauno.3. Para cada trayectoria i, con i = 2, . . . , Mse genera una variable aleatoria yinormalconmediaceroyvarianzaunoysecalculahi= h_S0e(r22)T+yiT_.4. SecalculanIi+1=Ii +hiIii+1,V ari+1= (1 1i)V ari + (i + 1)(Ii+1Ii)2.5. Sedeterminaelintervalodeconanzadel95 %I _IM 1.96V arMM, IM+1.96V arMM_.Acontinuaci onsepresentanalgunosresultadosnumericosparaelcasodeunputcondatos: K=52, S0=50, T =6meses, r =0.06y=0.12. El valorexactodel putes1.9415. LasiguientetablamuestralosvaloresqueseobtienenconMonte-CarloparadistintosvaloresdeM.M Put Lm.Sup. Lm.Inf. Long.Inter.100 2.0498 1.5401 2.5595 1.01941000 2.0213 1.8604 2.1823 0.321910000 1.9509 1.9019 2 0.0981100000 1.9386 1.923 1.9541 0.03111000000 1.9447 1.9398 1.9496 0.0098Figura2.1:EstimacionesdelvalordelaopcioneuropeaPut.2.3. Valuaci ondeopcionesasiaticasLas opciones que se comentaron en la seccion anterior, europeas y americanas, depen-densolodel valorquetieneel subyacente, St, enel instantequeseejerce. Porejemplo,parael casodeunaopcioneuropea, si al nal del tiempodemaduracionel preciosufreuncambiofuerte, laopcioncambiarabruscamentedeestar inthemoneyaestar outthemoney. Unaformadeevitarestoscambiosrepentinosenel preciodelaopcion, essuscribiruncontratosobreelvalorpromediodelpreciodelsubyacente.Porotrolado,elhechodequeunaopcionestebasadaenunamedia, reducecualquierdistorsionposibleenlospreciosdebidaalacarenciadeunmercadosucientementeamplio delsubyacente.Quizaloanteriorseanlasdosprincipalesrazonesporlasquelautilizaciondeestetipodeopcioneshatenidoungranaugeenelambitonancieroenlos ultimosa nos.20 CAPITULO2. VALUACIONDEOPCIONESPORMONTE-CARLOElhechodequeelpagoenelmomentodeejerciciodependadeunamedia,posibilitamuchos usos para este tipo de opciones. Por otro lado, debido a que fue el Banco Trust deTokiolaprimerainstitucionnancieraqueofrecioestetipodeopciones,selesdenominaopciones asiaticas. Ademas comoel precionodependedel preciospot sinodel preciomedio,sonopcionesdependientesdelatrayectoriadelpreciodelsubyacente.Existen diversos tipos de opciones asiaticas y se clasican de acuerdo con lo siguiente.1. Lamediaqueseutilizapuedeseraritmeticaogeometrica. Laquemasseutilizaenlaactualidadeslamediaaritmetica. Porotrolado, si lamediautilizadaeslageometricaelcalculodelpreciodelaopcionesrelativamentefacildecalcular.2. Silamediasecalculaparaelpreciodelsubyacente,entonceslaopcionsedicequetiene precio de ejercicio jo. O bien, si la media se utiliza para el precio de ejercicio,entoncessedicequelaopciontienepreciodeejerciciootante.3. Si laopcionsolosepuedeejercer al nal del tiempodel contratosedicequeesasiaticadetipoeuropeooeuroasiatica, ysi puedeejercer encualquier instante,durantelavigenciadelcontratosedenominaasiaticadetipoamericano.Porloanterior,basicamentelostiposdeopcioneseuroasiaticasson:Callconpreciodeejerciciojo,confunciondepago:(A K)+.Putconpreciodeejerciciojo,confunciondepago:(K A)+.Callconpreciodeejerciciootante,confunciondepago:(S A)+.Putconpreciodeejerciciootante,confunciondepago:(A S)+.En donde, A es el promedio del precio del subyacente. En caso de que el promedio seaaritmetico,setieneque:A =1T_T0Stdt,mientrasquesielpromedioesgeometrico,entonces,A = exp_1T_T0ln(St)dt_.Comosecomentoantes, lavaluaciondeopcionesconmediageometricaesrelativa-mentesencilla,peroelhechodequelamediaseaaritmetica,planteaciertasdicultades.Laprimeraesqueelvalordelaopciondependedelatrayectoria,porloquesiseutilizaunmodelodearbolbinario,sedebentomarencuentatodaslasposiblestrayectorias.Sisetienennnodos,eln umerodetrayectoriasposibleses2n,locual,paravaloresaltosdensevuelvecomputacionalmentedifcildecalcular.2.3. VALUACIONDEOPCIONESASIATICAS 21La segunda es, en el marco de valuaci on de precios de Black y Scholes, que si el procesodelospreciosdel subyacentesigueunprocesodemovimientobrownianogeometrico, lamedia arimetica no se distribuye lognormal. De hecho, su distribucion es muy complicadadecaracterizar,(veaseLinetsky[11]).Enesteparte,seabordaraelcasodelaopcioneuroasiatica,quedeaquenadelantesolosedenominaraopcionasiatica,yenparticularseanalizaraelcallasiatico conpreciodeejerciciojo.Sesupondraunsoloactivoconriesgo,cuyoprocesodeprecios{St|t [0, T]}es un movimiento browniano geometrico, en un mercado que satisface las suposiciones delmodelodeBlackyScholes[1].Bajoestossupuestos,existeunamedidadeprobabilidad,P, denominada de riesgo neutro, bajo la cual el precio del activo, St, satisface la ecuaciondiferencialestocastica.dSt= rStdt +StdWt, 0tT (2.2)endonde,S0> 0,rlatasalibrederiesgo,lavolatilidad,Teltiempodemaduraciony{Wt|t [0, T]}esunmovimientobrownianoestandar.Sesabequelasolucionde(2.2)estadadaporSt2= St1e(r122)(t2t1)+(Wt2Wt1)0t1t2T (2.3)Porotrolado,lafunciondepagoparauncallasiaticodepromedioaritmeticoyconpreciodeejerciciosjo,estadadopormax {A(T) K, 0} = (A(T) K)+.Endonde,A(x) =1x_x0SuduPormediodeargumentosdearbitrajesepuedeverqueel valorenel tiempotdelaopcioncallasiaticaestadadopor:Vt(K) = er(Tt)E[(A(T) K)+|Ft] ,endonde, comoyasehabadicho, Peslaprobabilidadderiesgoneutro. Ycomosedemuestraenlaproposicion1,loanteriorsereduceacalcular:er(Tt)E [(A(T) K)+]Proposicion1.Vt(K) = er(Tt)E [(A(T) K)+] . (2.4)22 CAPITULO2. VALUACIONDEOPCIONESPORMONTE-CARLODemostracion1. VeaseWilmot[13].

Observese que calcular el call en un tiempo posterior que se inicia el calculo del prome-dio, equivale a valuar una opcion call como si se acabase de emitir, pero con un precio deejerciciomodicado.Paraelcasoenquet0= 0yt = 0setiene:V0(K) = erTE [(A(T) K)+] ,V0(K) = ertE__1T_T0Sudu K_+_(2.5)Cuando no haya problema de ambig uedad, denotaremos a V0(K) simplemente con V0.Laexpresion(2.5)eslaqueseutilizaraposteriormenteparael calculodel valordel callasiaticoconpreciodeejerciciojo.Al igual queenel casodelasopcionesestandar, noesrestrictivotratarsoloconelcall, yaqueel valordel put, conlasmismascaractersticas, puedecalcularsepormediodelaparidadput-callparaopcionesasiaticas,vease[3],[11]o[2].Paridadput-callparaopcionesasiaticasertE_1T_T0Stdt K_+ertE_K 1T_T0Stdt_+= ertE_1T_T0Stdt K_.Los metodos paracalcular el preciodelaopcionsepuedenagrupar entres tipos,aquellosqueutilizanunmodelobinomial(arbolesbinarios),losqueplanteanlasoluciondeunaecuaciondiferencialparcialylosqueutilizanmetodosMonteCarlo.2.4. EsquemasnumericosConbaseenlosresultadosdelaseccionanterior, laexpresionquesequierecalculares:V0= erTE_1T_T0Sudu K_+, (2.6)lacualproporcionaelvalordeuncallasiaticoconpreciodeejerciciojo.Con el objeto de hacerlo mediante el metodo Monte Carlo, es necesario que se calculeel promediodeSu, enel intervalo[0, T], yportantoel valordelaintegral enel mismo2.4. ESQUEMASNUMERICOS 23intervalo. Se debe notar que, como se esta suponiendo que el precio del subyacente se rigeporunmovimientobrownianogeometrico,entoncessuvalorsepuedesimulardemaneraexacta.SedesarrollarandosesquemasnumericosparaaproximarelvalordeYT=_T0Sudu. (2.7)Paralodosesquemassedividirael intervalo[0, T] enNsubintervalosdeigual lon-gitud, h =TN, estodeterminalos tiempos t0, t1, . . . , tN1, tN, endonde ti=ihparai = 0, 1, . . . , N.En el primer esquema numerico se tendra como base las sumas de Riemann, ya que laaproximaci onseharadeacuerdocon:_T0Sudu hn1

i=0Sti(2.8)Deestemodo,siconelmetododeMonteCarlosegeneranMtrayectorias,entonceslaaproximaci onestaradadapor:V(1)0=erTMM

j=1_hTN1

i=0StiK_+.Sienlaecuacionanteriorsesustituyeh =TNseobtieneV(1)0=erTMM

j=1_ 1NN1

i=0StiK_+(2.9)La ecuacion (2.9) es el esquema 1 del metodo Monte Carlo que se utilizara para apro-ximarV0.Paraobtenerunasegundoesquema,seaproxima(2.7)delaformasiguiente:_T0Sudu =N1

i=0_ti+1tiSudu,N1

i=0h2_Sti +Sti+1,=h2N1

i=0_Sti +Stie(r122)h+_Wti+1Wti__.SedesarrollaenseriedeTayloryseobtiene:24 CAPITULO2. VALUACIONDEOPCIONESPORMONTE-CARLO_T0Sudu h2N1

i=0Sti_2 +_r 122_h +_Wti+1Wti_+12__r 122_2h2+ 2_r 122_h_Wti+1Wti_+_Wti+1Wti_22_+ Suponiendoquehespeque na, soloseconservanlosterminosdeordenalomashyobservandoquedebidoaquelavariacioncuadraticade12_Wti+1Wti_secancelacon122h,seobtiene:_T0Sudu h2N1

i=0Sti_2 +rh +_Wti+1Wti__.Conbaseenloanterior,setiene:V(2)0=erTMM

j=1_h2TN1

i=0Sti_2 +rh +_Wti+1Wti__K_+. (2.10)Larelacion2.10esel segundoesquema, queseemplearaparaaproximar V0porelmetodoMonteCarlo.En la seccion siguiente se muestran los resultados de las aproximaciones obtenidas conlosesquemasdadosen(2.9)y (2.10).2.5. ResultadosdelasimulacionMonteCarloLos esquemas desarrollados en la seccion anterior se programaron utilizando el lenguajeVBA (Visual Basic for Applications), en una computadora PC con procesador Pentium IVde2.0GHz.Comocasodepruebaseseleccionoeldeuncallasiaticoconprecioinicial,S0= 100,preciodeejercicioK=100, tasalibrederiesgor=0.10, volatilidad=0.20yT=1a no.Cuyoprecioes 7.04.2.5. RESULTADOSDELASIMULACIONMONTECARLO 25S K r T100 100 0.1 0.20 1Tray. N um.pasos Aproxi- Linferior Lsuperior Longitud TiempoMonteCarlo eneltiempo macion al95 % (mm:ss)10 6.5899 6.0893 7.0906 1.0013 < 1s1000 50 6.5080 5.9911 7.0249 1.0338 < 1s100 7.0716 6.5466 7.5966 1.0501 < 1s10 6.4873 6.2693 6.7052 0.4359 < 1s5000 50 6.8459 6.6152 7.0765 0.4613 < 1s100 7.0105 6.7755 7.2455 0.4700 0:0110 6.4025 6.2479 6.5571 0.3092 0:0110000 50 7.0881 6.9203 7.2558 0.3355 0:01100 7.0960 6.9273 7.2647 0.3373 0:0210 6.4079 6.3391 6.4768 0.1377 0:0250000 50 6.8592 6.7860 6.9323 0.1463 0:06100 6.9668 6.8923 7.0413 0.1491 0:1110 6.4427 6.3942 6.4913 0.0971 0:04100000 50 6.8972 6.8452 6.9492 0.1040 0:12100 6.9903 6.9377 7.0429 0.1053 0:2110 6.4192 6.3975 6.4409 0.0434 0:21500000 50 6.9212 6.8979 6.9445 0.0466 0:58100 6.9824 6.9589 7.0060 0.0471 0:4510 6.4182 6.4028 6.4335 0.0307 0:421000000 50 6.9190 6.9025 6.9355 0.0330 1:57100 6.9768 6.9602 6.9934 0.0332 3:34Figura2.2:ResultadosobtenidosalaplicarelesquemasumasdeRiemann.26 CAPITULO2. VALUACIONDEOPCIONESPORMONTE-CARLOS K r T100 100 0.1 0.20 1Tray. N um.pasos Aproxi- Linferior Lsuperior Longitud TiempoMonteCarlo eneltiempo macion al95 % (mm:ss)10 6.4952 6.0186 6.9718 0.9532 < 1s1000 50 7.1938 6.6286 7.7590 1.1303 < 1s100 7.5005 6.9466 8.0544 1.1078 < 1s10 7.0340 6.7996 7.2684 0.4689 < 1s5000 50 6.8884 6.6488 7.1281 0.4793 00:01100 7.1410 6.9008 7.3812 0.4804 00:0110 7.0037 6.8366 7.1708 0.3342 00:0110000 50 7.1240 6.9563 7.2918 0.3355 00:01100 7.1121 6.9426 7.2815 0.3389 00:0210 7.0649 6.9897 7.1401 0.1504 00:0250000 50 7.0722 6.9972 7.1472 0.1500 00:07100 7.0176 6.9426 7.0927 0.1502 00:1110 7.0527 6.9997 7.1058 0.1061 00:04100000 50 7.0234 6.9706 7.0762 0.1057 00:12100 7.0197 6.9668 7.0726 0.1058 00:2310 7.0298 7.0062 7.0534 0.0472 00:22500000 50 7.0417 7.0180 7.0654 0.0474 01:02100 7.0494 7.0256 7.0731 0.0475 01:5410 7.0330 7.0163 7.0497 0.0334 00:441000000 50 7.0435 7.0268 7.0603 0.0335 02:05100 7.0423 7.0255 7.0590 0.0335 03:49Figura2.3:Resultadosobtenidosalaplicarelesquemadeltrapecio.Si sequiereaumentarlaprecision, debeaumentarseel n umerodetrayectoriasenelmetododeMonteCarlo,ytambieneln umerodesubintervalosdetiempo,conloqueeltiempodecomputadoraaumentarademanerasignicativa;porloqueparecenecesarioutilizaralg unmetodoquereduzcalavarianzadelasaproximacionesobtenidasporlosmetodosanteriores.Esoesloquesebuscarahacerenlaseccionsiguiente.Captulo3MetodosdereducciondevarianzaLaprincipaldesventajaelmetodoMonte-Carloeslalentitudconlaqueconverge.Larapidezdeconvergenciadependedel n umerodetrayectoriasquesegeneranparacalcu-larel promedioydelavarianzadelafuncion. Porloquesehabuscadoreducir/Mdisminuyendolavarianza.Comoplantearelproblemadeformadistintaparareducirlavarianzaal mismotiempoqueseobtienelaestimaciondelaesperanzaquenosinteresacalcular? Este problema se ha atacado por distintas tecnicas entre las que destacan: vari-ablesdecontrol,variablesantiteticas,muestreodeimportancia,porcondicionamientoypormuestreoestraticado,entreotras.3.1. VariabledecontrolEsta tecnica consiste en encontrar otra variable que este correlacionada con la variabledeinteres.Supongamos que Xes unavariable aleatoria, paralacual deseamos obtener unaestimacion de E(X). Sea Yotra variabe aleatoria, tal que E(Y ) es conocida. Si denimosunatercervariablealeatoriaZpor:Z= X +_Y E(Y ).Entonces,E[Z] = E_X +_Y E(Y )_.Esfacilverque:E(Z) = E(X).Pero,V ar(Z) = V ar(X) +2V ar(Y ) + 2cov(X, Y ).Comosepuedeapreciar, laV ar(Z)esunafuncioncuadraticade. El valorde,llamemosle,queminimizaelvalordeV ar(Z),es:= cov(X, Y )V ar(Y ).Elvalormnimoestadadopor:2728 CAPITULO3. METODOSDEREDUCCIONDEVARIANZAV ar_X +_Y E(Y )_ = V ar(X) _cov(X, Y )2V ar(Y ). (3.1)La reduccion relativa de la varianza la obtenemos, si dividimos la ecuacion (3.1) entreV ar(X),V ar_X +_Y E(Y )_V ar(X)= 1 _cov(X, Y )2V ar(X)V ar(Y ).= 1 _(X, Y )2.Endonde,(X, Y )eselcoecientedecorrelacionentreXyY yestadadopor:(X, Y ) =cov(X, Y )_V ar(X)V ar(Y ).La ecuacion (3.1) nos dice que la reduccion de varianza obtenida al emplear la variabledecontrolY esde1002(X, Y ) %.Por lo regular, aunque E(Y ) es conocida, los valores de V ar(Y ), de cov(X, Y ), as co-modeV ar(X), nosonconocidos, sinoquesetienenqueestimarapartirdelosdatossimulados.SitenemosMparejasdedatossimulados,(Xi, Yi), i = 1, 2, . . . , M,podemosemplear cov(X, Y ) =M

i=1_XiX__YiY_M 1,yV ar(Y ) =M

i=1_YiY_2M 1,comolosestimadoresdeinteres. Conestopodemosaproximarpormediode, endonde= cov(X, Y )V ar(Y ).Ahorabien,lavarianzadelestimadordeZ= X +_Y E(Y )estadadaporV ar_(X +_Y E(Y )_=1n_V ar(X) cov2(X, Y )V ar(Y )_.CalculodelaesperanzadelavariabledecontrolEnel casode las opciones asiaticas conmediaaritmetica, se sabe que aunque elpreciodel subyacentetengaunadistribucionlognormal, lamediaaritmeticatieneunadistribucion que solo es tratable numericamente, vease Linetsky [11]. Ahora bien, la mediageometricaesunacotainferiorparalamediaaritmetica, yporotroladosuesperanza3.1. VARIABLEDECONTROL 29puede calcularse comose indicaacontinuaci on; por loque se utilizaracomonuestravariabledecontrol.Elvaloresperadodelavariabledecontroles V0= erTE_e_1T

T0ln(St)dt_K_+.SustituyendoSt= S0e(r122)t+Wtenlaecuacionanterior,tenemos:V0= erTE__S0e_r122_T2 +T

T0WtdtK_+_.YcomopuedeverseenLamberton[9],setienequeelvalorde V0estadadoporV0= e12_r+26TS0N(d1) KerTN(d2). (3.2)endonde,d2=ln_S0K_+12_r 22_T_T3,d1= d2 +_T/3AplicaciondereducciondevarianzaConbaseenlaseccionanteriorydeacuerdoconelmetododesarrolladoporKemnayVorst[6], enel queproponenaproximar1T_T0Sudupormediodee1T

T0ln(Su)du. Estasdos variables aleatorias esperamos que sean similares, para valores de ry no demasiadograndes. De hecho la segunda, que es una media geometrica continua, es una cota inferiorparalaprimera.Esfacil verquelavariablealeatoriae1T

T0ln(Su)dutieneunadistribucionnormal ysuesperanzaestadadapor,E_erT_e1T

T0ln(Su)duK_+_ = e12_r+26TS0N(d1) KerTN(d2),quetieneunaformadelestilodelaformuladeBlackyScholes.Por lotanto, podemos emplear comovariabledecontrol alavariablealeatoriaZ,denidaporZ= erT_e1T

T0ln(Su)duK_+.Ahora bien, como podemos sustituir St por S0e_r22_u+Wu, al hacer esto en la ecuacionanterior,tenemosZ = erT_e1T

T0ln_S0e

r22

u+Wu_duK_+,Z = erT_e1T

T0ln(S0)du+

T0

r22

udu+

T0Wudu

K_+,Z = erT_S0e_r22_T2 +T

T0WuduK_+.30 CAPITULO3. METODOSDEREDUCCIONDEVARIANZASe debe notar que la variable de control se calcula conla misma trayectoria delmovimiento browniano, que ya se utilizo para la variableSt. Por lo que debemos adaptarcadaunodelosesquemasparasimularlavariabledecontrol.Entonces, los esquemas para la aproximaci on de la variable de control Zquedan de lamanerasiguiente:ZR,nT= erT_S0e_r22_T2 +T

n1k=0hWtkK_+(3.3)ZT,nT= erT_S0e_r22_T2 +T

n1k=0h2_Wtk+Wtk+1_K_+(3.4)Encadaunodeloscualesutilizamosel mismotipodeaproximaci onpara_T0Wuduquepara_T0Sudu.Enlasiguienteseccionsepresentanlosresultadosdelasaproximacionesobtenidasalaplicarlosesquemasanteriores.3.2. RESULTADOSNUMERICOSCONREDUCCIONDEVARIANZA 313.2. Resultados numericos con reduccion de varianzaAcontinuacionsemuestranlosresultadosqueseobtuvieronparaelcasodeprueba,uncall asiaticoconpreciodeejerciciojoylatecnicadereducciondevarianza, paraaproximarsuvalor.Seaplicaraalavaluaci ondelaopcionasiaticadelcaptuloanterior,losvaloresdelosparametrosson: S0=100, K=100, r=10 %, =20 %yT=1elvalor32 CAPITULO3. METODOSDEREDUCCIONDEVARIANZAS K r T100 100 0.1 0.20 1Tray. N um.pasos Aproxi- Lmite Lmite Longitud TiempoMonteCarlo eneltiempo macion inferior superior al95 % (mm:ss)1000 10 6.7592 6.7761 6.7931 0.0339 < 1s1000 50 6.9823 6.9975 7.0128 0.0305 < 1s1000 100 6.9924 7.0073 7.0222 0.0298 < 1s5000 10 6.7837 6.7911 6.7986 0.0148 < 1s5000 50 6.9875 6.9944 7.0014 0.0139 00:015000 100 7.0085 7.0153 7.0221 0.0136 00:0110000 10 6.7807 6.7860 6.7914 0.0107 < 1s10000 50 6.9909 6.9959 7.0009 0.0100 00:0110000 100 7.0125 7.0175 7.0224 0.0100 00:0350000 10 6.7807 6.7860 6.7914 0.0107 < 1s50000 50 6.9909 6.9959 7.0009 0.0100 00:0150000 100 7.0125 7.0175 7.0224 0.0100 00:03Figura3.1:ResultadosobtenidosalaplicarelesquemasumasdeRiemannconreducciondevarianza.3.2. RESULTADOSNUMERICOSCONREDUCCIONDEVARIANZA 33S K r T100 100 0.1 0.20 1Tray. N um.pasos Aproxi- Lmite Lmite Longitud TiempoMonteCarlo eneltiempo macion inferior superior al95 % (mm:ss)1000 10 7.0367 6.7978 7.2757 0.2390 00:00:001000 50 7.0285 6.7903 7.2667 0.2382 00:00:001000 100 7.0349 6.8003 7.2695 0.2346 00:00:005000 10 7.0435 6.9314 7.1556 0.1121 00:00:005000 50 7.0403 6.9621 7.1185 0.1126 00:01:395000 100 7.0437 6.9320 7.1554 0.1117 00:00:0110000 10 7.0403 6.9604 7.1201 0.0799 00:00:0110000 50 7.0419 6.9625 7.1213 0.0794 00:00:0110000 100 7.0387 6.9586 7.1188 0.0801 00:00:0250000 10 7.0402 7.0049 7.0755 0.0107 00:00:0350000 50 7.0401 7.0047 7.0755 0.0100 00:00:0650000 100 7.0408 7.0057 7.0760 0.0100 00:00:11Figura3.2: Resultados obtenidos al aplicar el esquemadel trapecioconreducciondevarianza.Los resultados anteriores se obtuvieron con la implementacion del algoritmo siguienteparaelcalculodelvalordelaopcionasiatica,I= V0= erTE__1T_T0Sudu K_+_.AlgoritmoMonte-Carloconreducciondevarianzaparavaluarunaopcioncallasiaticaconpreciodeejerciciojo.Denotemoscon:Xialvalorobtenidoparalaopcionmedianteelesquema(2.9)conlatrayectoriai.Yial valor obtenidoparalavariable de control mediante el esquema(3.3) conlatrayectoriai.Xi,Yilas medias aritmeticas del valor de la opcion y de la variable de control, respec-tivamente,hastalaiteracioni.V arXi, V arYi y CovXYi a la varianza del valor de la opcion, la varianza de la variabledecontrolylacovarianzaentreestasvariables,respectivamente,hastalaiteracioni.1. Entrada: Valor inicial del subyacente S0, precio de ejercicio K, tiempo de maduracionT,latasalibrederiesgor,volatilidadanual.2. Inicializarvalores:X0= 0,V arX1= 0,V arY1= 0yCovXY1= 0.34 CAPITULO3. METODOSDEREDUCCIONDEVARIANZA3. CalcularX1conelesquema(2.9)yY1medianteelesquema(3.3)4. HacerX1= X1yY1= Y1.5. Paracadatrayectoriai,coni = 2, . . . , Ma) CalcularXi,Yib) CalcularXi=Xi1 +XiXi1i.,Yi=Yi1 +YiYi1i.c) CalcularV arXi=_1 1i1_V arXi1 +i_ XiXi1_2.d) CalcularV arYi=_1 1i1_V arYi1 +i_YiYi1_2e) CalcularCovXYi=_1 1i1_CovXYi1 +1i_XiXi1__YiYi1_6. ActualizarlosvaloresdeXM,YM, V arXM, V arYMyCovXYM, trayendolosavalorpresente.7. CalcularEY mediantelaformula(3.2)y=CovXYMV arYM.8. CalcularZM=XM+(YM EY )yV arZM= V arXM (CovXYM)2V arYM9. Sedeterminaelintervalodeconanzadel95 %I _ZM 1.96V arZMM,ZM+1.96V arZMM_.ApendiceAAnexoIA.1. Generadoresden umerosaleatoriosUna forma de generar n umeros aleatorios es lanzar una moneda al aire, tirar un dado osacar una carta de una baraja o dando de vueltas a un disco, que tiene inscritos a lo largode la circunferencia n umeros, y que se mueve por medio de una fuerza mecanica no deter-minista. Estos procedimientos son utiles siempre que se desee generar un n umero peque node n umeros aleatorios, pero si se desea generar miles de ellos se requieren procedimientosquepuedanhacerusodelascomputadoras. UnejemploqueilustralaslimitacionesdeestosprocedimientoslodiolaempresaRandqueen1955publicounatabladeunmillonden umerosaleatorios.Enunprincipiofueun exito,peroprontomostrosuslimitacionespara ciertos calculos, en los que se requiere miles y miles de n umeros aleatorios, como porejemploenaplicacionesdelmetododeMonte-Carloendinamicamolecular.El primeralgoritmocomputacional paragenerarn umerosaleatoriosfueel algoritmodecuadradosmediosdeVonNeumannquefuepublicadoanesdelosa noscuarenta.Elalgoritmoconsisteenlosiguiente:Dadounn umeroenteropositivodeNdgitosX0,conNpar, tomarsn umeros, cons 2k1,1serechazalahipotesisdequelasUiseanuniformesen(0, 1)conunniveldeconanza.Observacion: Estas pruebas no son poderosas para n peque nas ni para muy grandesyaquesiempreserechazar alahipotesisporunamin usculadiferencia.3. Vericar si (Ui, Ui+1) son variables aleatorias independientes que se distribuyen uni-formementeenelcuadrado[0, 1] [0, 1].Lapruebaconsisteenlosiguiente:a) Segenerannvariablespseudo-aleatoriasuniformesen[0, 1].b) Dividirelcuadrado[0, 1] [0, 1]enn2rectangulosdelongitudJ1yanchoJ2.c) Seafj1,j2=N um.de(Ui, Uj)talqueUi J1yUj J2.38 APENDICEA. ANEXOId)2=k2nk

j1=1k

j2=1(fj1j2nk2)2e) Si2> 2k21,1serechazalahipotesisnula.Entrelasempricasestaunaparaprobarindependencia,conocidacomopruebadecorri-das.1. Dados n umeros pseudo-aleatorios uniformes Ui, i =1, . . . , nsevancontandoeln umerode Uique satisfacenque Ui 26serechazalahipotesis.Maspruebasdeestetiposepuedenencontrarenenloslibrosde([10])y([8]).A.3. GENERACIONDE NUMEROS ALEATORIOS CONOTRAS DISTRIBUCIONES39A.3. Generacion de n umeros aleatorios con otras dis-tribucionesSepuedengenerarn umeropseudo-aleatoriosparacasicualquierdistribuciondiscretaocontinuaapartirden umerospseudo-aleatoriosuniformes.Enestasnotassepresentanparael casodeladistribucionBernoulli, uniformeynormal, quesonlasdistribucionesmasusadasennanzas.1. Para generar n umeros aleatorios Bernoulli Xi que toman el valor x1 con probabilidadpyx2conprobabilidad1 p,seaplicaelsiguientealgoritmo:a) Segeneraunav.a.uniforme,Ui,en[0, 1].b) SiUi p Xi= x1.c) SiUi> p Xi= x2.2. Si la variable aleatoria Xitoma los valores x1, x2, . . . , xncon probabilidad p1, . . . , pnsehacelosiguiente:a) Segeneraunav.a.uniformeen[0, 1].b)Xi=___x1, 0 Ui p1x2p1< Ui p1 +p2,x3p1 +p2< Ui

3j=1pj,. . .xn

n1j=1pi< Ui.3. Enel casodelasvariablescontinuassepuedeutilizarunmetodogeneral queesel metodoinverso. SeaUunavariablealeatoriauniformeen(0, 1), paracualquierdistribucionFlavariablealeatoriadenidapor = F1(U)tienedistribucionF.Por ejemplo sea Xla variable aleatoria con distribucion exponencial con parametro.SudistribucionestadadaporF(x)=1 ex.SiF(x)=yentoncesy (0, 1)y1 ex=y. Despejandoxseobtienequelavariablealaeatoriaexponencial sepuede construir a partir deX=1ln(1 y) con yuna variable aleatoria uniformeen (0, 1). Observemos que si y (0, 1) tambien lo esta 1 ypor lo que el algoritmopara generar variables pseudo-aleatorias con distribucion uniforme con parametro quedadelasiguienteforma:a) Segeneraunav.a.Uuniformeen(0, 1).b) =1ln(U)esexponencialdeparametro.Tambiensepuedeutilizarestemetodoparalasvariablesnormales.40 APENDICEA. ANEXOI4. Otrometodoparagenerarnormaleseselsiguiente:Sean(x, y) N(0, 1)variablesaleatoriasindependientes,entonceslafunciondedensidadconjuntasedenef(x, y) =12e(x2+y2)/2.Si estasdosvariablessellevanal plano(r, )atravesdel cambiodecoordenadaspolares r =_x2+y2, =Tang1 yxsi (x, y) =(0, 0) yal origenlomandaalorigen. Lapreguntaessi (x, y)sonnormalesindependientes, entoncescual esladensidadde(r, )?g(r2, ) =1212er2/2conr2exponencialconparametro=1/2yuniformeenelintervalo(0, 2).AlgoritmodeBox-Muller1. Segeneradosv.a.uniformesindependientesU1, U2 (0, 1).2. SeaR2= 2 ln(U1), = 2U2.3.x = Rcos =_2 ln(U1) cos(2U2)y= Rsen =_2 ln(U1) sen(2U2)sonnormalesindependientes.SimulaciondeunacaminataaleatoriaydeunbrownianoConsideremoselsiguientejuego:Setienejugadoresquesecolocanenelorigendeunplanocartesiano. Setiraunamoneda, si salesol avanzanhacialaposicion(1, 1), si caeaguilaavanzanhacia(1, 1). Alasiguientetiradasi salesol avanzanhacialaposicion(numjugada, posicionanterior+1)si saleaguilasemuevealaposicion(numjugada,posicionanterior -1) yas sucesivamente. Despues de ntiradas, ganaquientengalacoordenadaymasgrande.Simulemosestejuegoporcomputadora.DenotemosporSij=la coordenada y de la posicion del jugador i en la tirada j. Claramente el resultado de cadamoneda es independiente y se puede representar como una variable aleatoria independientey con distribucion Bernoulli. Toma el valor sol con probabilidad de un medio y el de aguilaconlasmismaprobabilidadparaqueseaunjuegojusto.LasucesionSijparael jugador i formaunasucesiondevariables aleatorias queseconoceconelnombredecaminataaleatoriaydescribeelcomportamientodevariospro-cesosestocasticosdiscretos.Algoritmoparagenerarunacaminataaleatoria1. InicialiceSi0= 0.A.3. GENERACIONDE NUMEROS ALEATORIOS CONOTRAS DISTRIBUCIONES412. Paracadatiradajdesdej= 1, . . . , MsegeneraunavariablealeatoriaBernoulliatravesdeunauniforme. SeaUjunavariableuniformeenel intervalo(0, 1)loquedenotaremosporUj U(0, 1).SiXj=_1 siUj> 1/21 enotrocaso.3. Sij+1= Sij +Xj.Si unimos todas las posiciones del jugador por mediodelneas rectas setieneunaposible trayectoria que puede seguir el jugador j. El n umero de distintas trayectorias quepuedeseguires2M.ObservemosqueE(Xj) = 0yqueV ar(Xj) = 1.Laprobabilidaddequeeljugadoriesteenlan-tiradaenlaordenaday= nes1/(2)n.E(SiM) = E(M

i=1Xi) =M

i=1E(Xi) = 0.V ar(SiM) = E(M

i=1Xi) =M

i=1V ar(Xi) = M.Si Meslosucientementegrandepodemosaplicarel teoremadel lmitecentral quenosdicequeZM=SM E(SM)_V ar(SM)=SM_V ar(SM) N(0, 1).Porlotanto,SMesunanormalparaMgrande.Simulaci ondeunmovimientoBrownianoComosevioenlasopciones,elmovimientobrownianoesunprocesoestocasticocon-tinuoquesatisface:1. W(0) = 02. E(W(t)) =0ylos incrementos W(t) W(s) cont ssonvariables aleatoriasnormalesindependientesconmediaceroyvarianzat s.Haydosformasdesimularunbrowniano.Enamboscasossetienequediscretizareltiempo.Dadounintervalo[0, T], seaN Nyseat=T/N. Denamoslospuntost0=0,ti= itytN= T.Asociadaaestaparticiondelintervalo[0, T]ensubintervalos[ti, ti+1]se puede simular el brownianopor mediode unacaminataaleatoriaopor mediodegaussianas.Algoritmoparagenerarunbrownianopormediodeunacaminataaleatoria1. Dadost0= 0,ti= itytN= TyW0= 0,42 APENDICEA. ANEXOI2. Parai=1, . . . , N, segeneraunavariablealeatoriatipoBernoulli XiysecalculaWi= Wi1 +Xit.3. ParaconstruirunafuncionlinealporpedazosWqueinterpolea estasedeneW(t) = Wj +Wj+1Wjt(t tj) parat (tj, tj+1).AlgoritmoparagenerarunbrownianopormediodegaussianasEn este caso se utiliza el hecho que incrementos de brownianos son variables indepen-dientesquesedistribuyenenformanormalconmediaceroyvarianzat s.1. Dadost0= 0,ti= itytN= TyS0= 0,2. Parai=1, . . . , NsegeneraunavariablealeatoriaYi N(0, 1)ysecalculaWi=Wi1 +Yit.3. Unaaproximaci oncontinuaWdeWestadadaporW(t) = Wj +Wj+1Wjt(t tj) parat (tj, tj+1).AproximaciondelasoluciondeunprocesoestocasticoUnaecuaciondiferencialestocasticaesunaecuaciondelaformadXt= a(t, Xt)dt +b(t, Xt)dWt, X(t0) = X0.dondea, bsonfuncionescontinuasrespectoatyaXt. OtraformadeexpresarlasesenformaintegralX(t) = X(t0) +_tt0a(s, Xs)ds +_tt0b(s, Xs)dWs.La primera integral es una integral de Riemann, pero la segunda es una integral estocasti-ca.EjemploMovimientobrownianogeometricodXt= Xtdt +XtdWt, X(0) = X.EstaecuaciontienesolucionexactaX(t) = Xe(2/2)t+Wt.La aproximacionnumerica implica, como enel caso del browniano, discretizar laecuacion.Paraello,sediscretizaprimeroeltiempo:dadounintervalo[0, T],seaN Nyseah =T/N. Denamos los puntos t0=0, ti=ihytN=T. AsociadaaestaA.3. GENERACIONDE NUMEROS ALEATORIOS CONOTRAS DISTRIBUCIONES43discretizacion, denamoscomoXhi.=X(ti). El segundopasoesdiscretizarlaecuaciondiferencialestocasticapordXi Xi+1Xi= Xih +Xi(Wi+1Wi)yseusaelhechoqueWi+1Wi= Yih,conYi N(0, 1).AlgoritmodeEulerparaaproximarnumericamentelasoluciondelaEDEEnestecasoseutilizaelalgoritmoparasimularbrownianospormediodegaussianasdelincisoanterior.1. Dadost0= 0,ti= ihytN= TyXh0= X,2. Parai=1, . . . , NsegeneraunavariablealeatoriaYi N(0, 1)ysecalculaXhi=Xhi1 +Xhi1h +Xhi1Yih.3. Paradenirunafuncioncontinuaapartirde estaseunenlosvaloresSipormedioderectas,esdecirsedeneXh(t) = Xhi+Xhi+1Xhit(t ti) parat (ti, ti+1).Aldiscretizarunaecuaciondiferencialestocasticaseintroduceunerror.Esteerroresdistinto dependiendo de la medida que se escoja. Para nes del calculo del valor esperadoelerroresdelordenh.EsdecirexisteunaconstanteC> 0talque|E(g(X(T))) E(g(XhT))| Ch.enelcasoquenosintereseaproximaralatrayectoriaenlospuntostientoncesE( max1iN|X(ti) Xhti|) Ch.HayotrosmetodosmasprecisosparaaproximarlasoluciondeunaEDE, sesugiereparaelloconsultar([7]).44 APENDICEA. ANEXOIBibliografa[1] Black,F.yScholes,M.(1973),ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities,Journal ofPolitical Economy.[2] Dufresne, D. (2000), LaguerreSeriesforAsianandOtherOptions, MathematicalFinance,10,407-428[3] Geman, H., yM. Yor. (1993), Bessel Processes, AsianOptionsandPerpetuities,Mathematical Finance,3,349-375[4] GlassermanPaul. Monte-CarloMethods inFinancial Engineering. ComputationalFinance.SpringerVerlag.2004.[5] Hull John. Options, Futures andotherDerivatives. PrenticeHall. Cuartaedicion.2000.[6] Kemna, A.G.Z. yVorst, A.C.F. (1990), Apricingmethodfor options basedonaverageassetvalues.J.BankingFinance14.[7] Kloeden y Platten. Numerical Solution of Stochastic Dierential Equations. SpringerVerlag.1995.[8] Knuth.TheArtofComputerProgramming.Vol.2.Addison-Wesley.1969.[9] Lamberton, Damien y Lapeyre, Bernard. Introduction to Stochastic Calculus. AppliedtoFinance.Chapman&Hall.1996.[10] Law M. A. M. and Kelton W. D., SimulationModelingandAnalysis. Mc. Graw-Hill.1991.[11] Linetsky,Vadim.(2003),SpectralExpansionsforAsian(AveragePrice)Options.OperationsResearch.[12] RossSheldon.Simulation.PrenticeHall.Segundaedicion.1997.[13] Wilmot, P; Howison, S. yDewynne, J., OptionsPricing: Mathematical ModelsandComputation.OxfordFinancialPress.1993.45