Colegio

El Valle Sanchinarro

Dpto. Ciencias

Asignatura: FQ 1Bach

Ficha terica

Movimiento circular

Pginas:

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DESCRIPCIN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Lo mismo que los anteriores movimientos, el circular puede describirse con las coordenadas cartesianas (x,y) y con las coordenadas polares (r,), como cualquier movimiento salvo los de las partculas elementales, que se describen con la mecnica estadstica.

Adems de las dos formas anteriores de descripcin (polares y cartesianas), el movimiento circular permite una tercera debido a su carcter peridico, para lo cual hemos de definir nuevas magnitudes que poseen este carcter de periodicidad.

Recordemos que describir movimiento es construir expresiones que nos permitan conocer (calcular) la posicin del cuerpo en movimiento (mvil) y su velocidad, ambas en funcin del tiempo. A continuacin construiremos las expresiones matemticas que nos describen el movimiento circular, bien sea basndonos en coordenadas cartesianas, angulares o peridicas, pero siempre apoyndonos en la geometra[footnoteRef:1]. [1: A lo largo de toda la historia , desde los orgenes , las matemticas se han desarrollado apoyndose en lo que actualmente son dos de sus ramas, el clculo o anlisis y la geometra. Y cada una de estas ramas se apoya en la otra para comprobar y consolidar sus contenidos.]

Adems del detalle de la geometra, hay otra cuestin fundamental en la que se apoya toda la matemtica y por tanto toda la fsica. Se trata del modo en que se comienzan a construir las expresiones algebraicas o matemticas. Siempre se eligen valores fijos a partir de los cuales se construye todo. Para empezar, lo ms bsico es un sistema de referencia desde el que tomar medidas, que asigna valores constantes a las magnitudes fundamentales, el tiempo y la distancias. Pero aparte de esto hemos de buscar valores fijos de las magnitudes que construimos, por ejemplo la velocidad, que es tpica. Y no perdamos de vista que la velocidad puede cambiar, pero en algunas ocasiones puede ser fija, y eso es lo que aprovechamos para construir las expresiones del MRU.

Descripcin desde la perspectiva angular

En el MC, la velocidad (lineal),, es constante nicamente en mdulo, su direccin no para de cambiar, por tanto no nos sirve para construir expresiones que describan el movimiento. Sin embargo, aparecer en ellas, como veremos.

Lo que s puede ser constante es la variacin del ngulo con respecto al tiempo, y surge de modo natural una nueva magnitud (vectorial), la que relaciona la variacin del ngulo con la variacin del tiempo, la velocidad angular, (omega): (E.1)

Para comenzar, nada mejor que unos buenos dibujos esquemticos para describir el movimiento con imgenes que nos orienten y ayuden a entenderlo.

En estas dos figuras hemos aprovechado para adelantar el criterio de signos para el giro. Se trata de una regla muy prctica y sencilla, la regla del sacacorchos: si el giro hace que el sacacorchos entre, el signo es negativo, y si sale, el signo es positivo. Por tanto, el pen gira en sentido negativo y el disco en sentido positivo. Tambin podemos tomar como referencia el giro de las manecillas del reloj: si coincide, se habla de giro dextrgiro, y el signo es negativo, de lo contrario, se habla de giro levgiro, y se le asigna signo negativo.

Se observa que considerar el eje de giro, el eje en el que se modifica el ngulo, es fundamental para entender el movimiento circular.

Por lo tanto el MCU se caracteriza por constante y y constantes en mdulo.

Desarrollo de las expresiones matemticas que describen el MC en funcin del espacio angular, desde la perspectiva angular

(rA(x1,y1)B(x2,y2)OXOY)Lo mismo que antes, supondremos que la variacin del ngulo es constante con respecto al tiempo, es decir, la es constante:

(E.2)

Donde aprovechando que puede ser constante, construimos una expresin a su alrededor y obtenemos el ngulo en funcin de dicha .

Tal y como hemos dibujado la circunferencia, se debe cumplir para que sea cte.

Podra decirse que ya hemos acabado, pues ya tenemos el valor del ngulo en funcin de la velocidad angular, lo mismo que en el MR. Sabiendo la velocidad angular y el tiempo trascurrido, podramos trazar la semirrecta correspondiente, y dependiendo del valor del radio, que tambin tendramos que saber, deduciramos la posicin del mvil en la trayectoria circular.

Para acabar la descripcin del MC con magnitudes angulares, anotemos la expresin para la velocidad angular en funcin de las coordenadas cartesianas:

La aceleracin angular, en el caso de tratarse de un MCUA, se obtendra al derivar la expresin anterior:

Sin embargo, aunque no siendo demasiado sencillo, podemos medir la velocidad angular, sigamos buscando expresiones que impliquen magnitudes ms sencillas de medir y ms manejables.

Como vemos, estamos desarrollndolo para el movimiento circular ms sencillo, el MC uniforme. Por supuesto que tambin tenemos el MCUA, y lo podemos ver en las siguientes dos figuras (tomadas de la pgina cnice):

MCU

MCUA

Expresiones matemticas que describen el MC en funcin de las coordenadas cartesianas

Como hemos dicho, no es constante, pero la velocidad lineal existe, y es interesante conocerla. Depender de la distancia del punto al centro de la circunferencia, del cual queramos conocerla. Si para un mismo tiempo la no vara, puntos que se encuentran a distancias diferentes recorren el mismo espacio angular y sin embargo distinta distancia, con lo cual la depender de dicha distancia, que es el mdulo del vector posicin, y que a veces se le llama radio vector.

Para desarrollar la velocidad lineal partimos, como siempre, de los vectores posicin, que tienen la forma:.Cualquier punto de la trayectoria definida por la circunferencia queda determinado, descrito, por las dos coordenadas, (x,y).

Para obtener los valores de las coordenadas en funcin del tiempo, y as describir el movimiento, nos apoyamos en la trigonometra y en la relacin que establecemos entre las razones trigonomtricas y el ngulo (hemos desarrollado un archivo para explicarlo: FT.Trigonometra. Apunte.)

(E.6)

Con estas expresiones, deducidas por anlisis y geometra, se consigue tambin, expresar una de las caractersticas esenciales del MC, la de que los valores de las coordenadas de los puntos varan entre r y + r, pues las razones trigonomtricas seno y coseno varan entre +1 y -1. Luego basta multiplicar dichas funciones por el valor del radio de la circunferencia en cuestin y obtenemos las expresiones para las coordenadas del punto o para las componentes del vector posicin.

Sin embargo an no hemos conseguido expresiones en funcin del tiempo (de forma explcita) para las coordenadas. Hemos de seguir construyendo, desarrollando la expresin anterior para el ngulo hasta obtener una expresin que dependa del tiempo:=f(t)

A partir de la definicin de la velocidad angular deducimos las expresiones del ngulo en funcin del tiempo, como ya hemos anotado en la E.1:

(E.1)

De este modo podemos sustituir en la expresin del vector posicin:

(E.2)

El valor angular inicial, 0 con respecto al origen de ngulos, (la semirrecta positiva del eje OX) puede ser nulo o no, pero en las expresiones generales ha de constar, por supuesto.

Esta expresin nos permite obtener la velocidad y la aceleracin lineales por derivacin:

(E.10)

El mdulo de la v lineal ser: v=r, donde se aplic la identidad trigonomtrica: 1=cos2+sen2

Derivando la velocidad lineal obtenemos una expresin que relacionaremos con la aceleracin angular:

(E.11)

El mdulo de la a lineal ser: a=r, donde se aplic la identidad trigonomtrica: 1=cos2+sen2

Observando el vector posicin y el vector aceleracin, deducimos la expresin:

(E.12)

Expresiones matemticas que relacionan las magnitudes lineales con las angulares

Hemos desarrollado el archivo L=2pierre para explicar esta relacin, pero aqu solo recogeremos las expresiones y pequeas explicaciones.

La expresin fundamental de la que partimos es la longitud de la circunferencia, donde vemos que una longitud L, la de la circunferencia, se relaciona con el radio y con una cantidad que ya conocemos como un valor angular de toda la circunferencia:

A partir de ella llegamos a la siguiente expresin general, donde en vez de datos relacionados con la circunferencia completa, contemplamos o relacionamos datos generales, que pueden corresponder a cualquier cantidad:

En esta expresin se relacionan cantidades escalares, realmente mdulos, y se llega a la expresin vectorial general (en el archivo 2pierre damos unas explicaciones de cmo entender mejor este paso, pero no de manera formal)

Es buen momento para recordar que estamos trabajando con vectores. Adems, estos tres vectores son perpendiculares entre s, algo que intuiremos mejor observando el dibujo y la expresin que liga la velocidad lineal con la velocidad angular, que anotamos a continuacin, al lado de la expresin de las aceleraciones:

Los siguientes dibujos esquemticos nos orientarn:

El siguiente esquema nos ayudar a entender las magnitudes vectoriales y cmo son entre s

ES posible que en la expresin (y en el resto de ellas)nos llamase la atencin la x, y adems que se trata de un producto de vectores, una operacin nueva en estos momentos y de la que no hemos hablado. Hemos desarrollado un par de archivos para introducir de manera sencilla los dos modos en que podemos realizar el producto de vectores FT.Producto..escalar. y FT.Producto.x.vectorial.

Aqu nos basta sealar que el resultado del producto vectorial de dos vectores, en este caso el radio vector o vector desplazamiento, y la velocidad angular, es un vector perpendicular a ambos vectores. Por tanto, la velocidad lineal es perpendicular al plano que definen el vector desplazamiento y el vector velocidad angular. Esto se aprecia bien en el dibujo, siempre que nos imaginemos que la velocidad es perpendicular al folio que leemos

CONCLUSINES IMPORTANTES

Antes de anotar la reflexin sobre las direcciones de estos vectores, es

de agradecer un esquema con los vectores protagonistas. El vector velocidad viene hacia nosotros, es perpendicular al plano del folio.

En esta expresin se ve algo muy interesante: la direccin de la aceleracin es justamente la misma que la del vector posicin (cuyo mdulo es el radio), pero con

sentido contrario. Concuerda justamente con lo que ya sabamos, pues en el MCU la aceleracin solo tiene componente centrpeta, y la direccin de esta componente est marcada por la lnea que une el punto mvil con el centro, la direccin radial.

Analicemos los valores de los vectores posicin y velocidad para algunos ngulos, de modo que entendamos mejor el significado de estas expresiones y del propio desarrollo del movimiento circular. La velocidad ha quedado definida con los vectores unitarios i y j, de modo que se encuentra el plano XY. Esto mismo le ocurre al vector posicin. Veamos en qu quedan los vectores posicin y velocidad para los ngulos 0 y 180.

Cuando =0, los vectores posicin y velocidad quedan:

Cuando =180, los vectores posicin y velocidad quedan:

Interesante es considerar el caso de que el MC no fuera uniforme, es decir, que la no fuera constante, pero en mdulo, (vamos a dejar el caso de que cambiase su direccin, pues eso sera un movimiento complicado, como el de un plato girando en el extremo de una varilla que sujeta un malabarista). Para razonar sobre ello hemos de tener presente la expresin . Inmediatamente se nos ocurre pensar que el mdulo del vector posicin (el radio!) puede mantenerse constante o no. Si vara, estamos en casos ms complicados. Veamos el caso de que se mantiene constante. Si vara el mdulo de y el de se mantiene constante, necesariamente vara el mdulo de la velocidad lineal, . Por tanto, existir componente tangencial de la aceleracin adems de la necesaria componente centrpeta (sin no habra MC, sino MR). As, si en el MCU la aceleracin era , en el MCNU queda . La expresin que nos da el mdulo de la , E.8, tambin es muy interesante para sacar conclusiones. Si v, el mdulo de la velocidad lineal vara, y r, el mdulo del vector posicin no lo hace, entonces tambin vara el mdulo de la componente centrpeta de la aceleracin. Sin embargo, la relacin entre ambos mdulos es una constante, el mdulo del vector posicin o el radio: , por tanto, la relacin de mdulos se mantiene constante. Esto merece una interpretacin fsica. La variacin (aumento o disminucin) del mdulo de la velocidad lineal debido a la componente tangencial de la aceleracin se compensa con la variacin del mdulo de la componente centrpeta para que el radio siga mantenindose constante.

Expresiones y magnitudes relacionadas con el carcter peridico

Aprovechando el carcter peridico, vamos a definir magnitudes nuevas relacionadas con la periodicidad, para describir el movimiento circular. Las desarrollaremos razonando su utilidad:

Si un mvil o el punto que le representa repite su posicin cada cierto tiempo, ser interesante conocer este tiempo. En concreto, llamaremos periodo, T, al tiempo empleado en dar una vuelta o en que el ngulo vara o barre 2 radianes o 360.

Por otra parte, tambin parece interesante saber cuantas vueltas se dan en la unidad de tiempo o cuantas veces el mvil ocupa la misma posicin, generalmente en 1s. A este valor le llamamos frecuencia, y se simboliza con la letra griega nu, , que se mide en s-1. o hertzios, Hz en honor al cientfico alemn Hertz.

Si , en un t igual al periodo, dar una vuelta, luego: . Es decir, frecuencia y periodo son magnitudes inversas.

Tambin deducimos el valor del mdulo de la componente centrpeta de la aceleracin:

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES PERIDICAS, VECTORIALES Y LINEALES

No vamos a quedarnos aqu, vamos a aprovechar estas magnitudes para relacionarlas con el resto de magnitudes, con las angulares y las lineales, para desarrollar nuevas expresiones que nos faciliten la descripcin de la posicin y la velocidad de un mvil que describe una trayectoria circular. Sabiendo que una vuelta completa mide 2r unidades de longitud y que la expresin de la velocidad angular es , podremos obtener el mdulo de la velocidad angular relacionando un valor de espacio angular con el tiempo empleado en recorrerlo, por ejemplo el espacio angular correspondiente a una vuelta (dado en radianes, por ejemplo) es 2, y el tiempo empleado ser precisamente el periodo, luego damos con una nueva expresin para hallar el mdulo de la velocidad angular:

w

+

+w

r

r

ac

a

c

v= r x

v

=r

x w

r= ri

r

=ri

v= r j

v

=-rj

r= ri

r

=-ri

v= +r j

v

=+rj

w

v= r x

v

=r

x w

t=

Dq

Dt

=w

w

r

r

v

v

ac

a

c

a= ac

a

=a

c

a= at + ac

a

=a

t

+a

c

ac

a

c

ac =v2

r r = v

2

ac= cte

a

c

=

v

2

r

r=

v

2

a

c

=cte

t

T = t1vuelta

Dt

Dq

T=

Dt

1vuelta

cantidad de vueltas1s

=

cantidad de vueltas

1s

=u

+

+w

n vueltas1s

=

n vueltas

1s

=u

= 1vueltaT

T = 1

u=

1vuelta

T

Tu=1

ac =v2

r= (2r)

2

r= 4

2rT 2

= 4 2r 2

a

c

=

v

2

r

=

(2pr)

2

r

=

4p

2

r

T

2

=4p

2

r u

2

= t

w=

Dq

Dt

= 2T

w=

2p

T

-w

w

v

v

r

r

w

1

q

1

12

Dq

12

2

q

2

w

w

1

t= 2

2t= 12

t=

t== 0 +t

q

1

Dt

=

q

2

2Dt

=

Dq

12

Dt

=

Dq

Dt

=w

q

=q

0

+w

t

w

w

1 =

12 =

122

q

1

=Dq

12

=

1

2

q

2

w

= x i+ y j=cos i

+sen j

=cos(o +t)i

+sen(o +t) j

w

=w

x

i

+w

y

j

=wcosqi

+wsenqj

=wcos(q

o

+wt)i

+wsen(q

o

+wt)j

= x i+ y j= cosi

+sen j

= sen(o +t)i

cos(o +t) j

a

=a

x

i

+a

y

j

=acosji

+asenjj

=wsen(j

o

+wt)i

-wcos(j

o

+wt)j

v

v

w

v

v

r= xi+ y j

r

=xi

+yj

r= xi+ y j x = r cosy = rsen

r= r cos i

+ rsen j

r

=xi

+yj

x=rcosq

y=rsenq

r

=rcosqi

+rsenqj

t== 0 +t

Dq

Dt

=w

q

=q

0

+w

t

r= r cos(o +t)i

+ rsen(o +t) j

r

=rcos(q

o

+wt)i

+rsen(q

o

+wt)j

v=vx i+vy j= vcos i

+ vsen j

= r sen(t +0 )

i r cos(t +0 )

j

v=v

x

i

+v

y

j

=vcosqi

+vsenqj

=rwsen(wt+q

0

)

i-rwcos(wt+q

0

)

j

a= r 2 cos(t +0 )

i r 2 sen(t +0 )

j

a=-rw

2

cos(wt+q

0

)

i-rw

2

sen(wt+q

0

)

j

a= r 2r a = r 2

a=-rw

2

ra=rw

2

L = 2r

L=2pr

s = r

Ds=rDq

r= r x

Dr

=r

x Dq

r

t= r

tdr

dt= r d

dt

v= r x

Dr

Dt

=r

Dq

Dt

dr

dt

=r

dq

dt

v

=r

x w

v

t= r

tdv

dt= r d

dt

a= r x

Dv

Dt

=r

Dw

Dt

dv

dt

=r

dw

dt

a

=r

x a

+

+w

v

v

r

r

v

v

-w

r1

r

1

v

v

r2

r

2

r

r

v1

v

1

v2

v

2

v

v