Cinemática - Fisica Ahoradiapositiva+03+cinematica.pdf · Prof. Marco A. Merma Jara Referencias Estática, Ingeniería Mecánica, 7ma Edición, R.C. Hibeller, Addison Wesley, 1997

Cinemática

Marco A. Merma Jarahttp://mjfisica.netVersión: 08.2013

Prof. Marco A. Merma Jara

Contenido

� Cinemática�Movimiento Unidimensional

� Movimiento Unidimensional con aceleración constante

� Movimiento Bidimensional� Movimiento de Proyectiles� Movimiento Curvilíneo

�Movimiento Relativo�Ejercicios y Problemas


Cinemática

� Estudio del Movimiento de los cuerpos, considerando las relación geométrica entre�Espacio

�Tiempo

� No considera las causas que originan el movimiento


Posición

� Vector Posición r

� Coordenadas (x,y,z)

� Vector OA� 0: Observador X

Z

Y

),,( zyxr�

O

A


Velocidad media

� Movimiento Unidimensional

1 1,x t2 2,x t

t

x

2x

1x

1t 2t

t∆x∆

xv

t

∆< >=∆


Velocidad Instantánea

� Movimiento Unidimensional

1 1,x t 2 2,x t

t

x

2x

1x

1t 2t

t∆x∆

0lim t

x dxv

t dt∆ →

∆= =∆


Velocidad media e instantánea

� Velocidad media�La razón de

cambio de la posición de un cuerpo en un intervalo finito de tiempo (∆t)


Velocidad media e Instantánea

� Velocidad Instantánea�La razón de

cambio del espacio en un intervalo de tiempo muy pequeño (∆t → 0)


Movimiento Unidimensional

� La velocidad media nos indica que un cuerpo se ha movido de un lugar hacia otro

� Es una interpretación de la realidad, el movimiento de un cuerpo


Aceleración media

� Movimiento unidimensional

t

v

2v

1v

1t 2t

t∆v∆

va

t

∆< >=∆

1 1,v t 2 2,v t


Aceleración instantánea

� Movimiento unidimensional

t

v

2v

1v

1t 2t

t∆v∆

0lim t

v dva

t dt∆ →

∆= =∆

2 2,v t1 1,v t


Aceleración media

� La razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo finito (∆t)


Aceleración Instantánea

� Razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo muy pequeño (∆t → 0)


Aceleración instantánea

� Indica que tan rápido o que tan lento ocurre el cambio de velocidad en el tiempo

� Aumenta (+) acelera� Disminuye (-) desacelera


Movimiento de una Partícula

� Cambio de posición en el tiempo en 3D

X

Z

Y),,( 111 zyx

1r�

O

A

B

2r�

r�∆

),,( 222 zyx

),,,( tzyxrr =


Ecuaciones del Movimiento 1D

� Posición )(txx =

� velocidaddt

dxv =

� aceleración

dt

dva =


Ecuaciones del Movimiento 1D

� Posición

� Velocidad ∫+= 2

1

t

to dtavv

∫+= 2

1

t

to vdtxx

111 ,, tvx222 ,, tvx



� Ejemplo: La posición de una partícula en movimiento rectilíneo esta gobernado por la expresión x=3t2+2t-4, donde x está en metro y t en segundo. (a) Determinar la velocidad media entre t=1s y t=2s, (b) Determinar la velocidad instantánea cuando t=4s, ( c) Determinar la aceleración media entre t=3s y t=5s, (d) Determinar la aceleración instantánea para t=6s



� Ejemplo: La posición de una partícula en movimiento rectilíneo esta gobernado por la expresión x=3t2+2t-4, donde x está en metro y t en segundo. (a) Determinar la velocidad media entre t=1s y t=2s, (b) Determinar la velocidad instantánea cuando t=4s, ( c) Determinar la aceleración media entre t=3s y t=5s, (d) Determinar la aceleración instantánea para t=6s

(2) (1)

2 1

x xv

−< >= =−

( ) 2

46 2 26 /

t

dxv t m s

dt == = + =

2 2(3(2) 2(2) 4) (3(1) 2(1) 4)11 /

2 1m s

+ − − + − =−


Movimiento Unidimensional con aceleración Uniforme

� Aceleración Uniforme (constante)

2 2

1 1 2 1 2

1( ) ( )

2lx x v t t a t t= + − ± −

2 1 2 1( )v v a t t= ± −

2 2

2 1 2 12 ( )v v a x x= ± −

212

12

12 vv

tt

xx +=−−

1 1 1, .x t v

2 2 2, ,x t v


Movimiento Unidimensional con velocidad Uniforme

� Espacio recorrido v=cte

2

12 1

t

tx x vdt= + ∫2 1 2 1( )x x v t t= + −

x

t1t 2tx vt=

1 10 0Si x en t= =

2t t=

2x

1x


Movimiento Unidimensional con aceleración Uniforme

� Velocidad

)( 12 ttavv o −+=v

t1t 2t

ov

2 1

ov va cte

t t

− = =−

1v


Movimiento Unidimensional con aceleración uniforme

� Ejemplo 1:Un automóvil se encuentra a 200m de un semáforo. Si la luz roja se activará en 5 segundos. Determinar la aceleración que debe tener el automóvil, tal que llegue exactamente cuando se activa la luz roja

v

200m


Caída Libre de los Cuerpos

� Aceleración constante de la gravedad g

yv

( )y oy ov v g t t= ± − −2 2

0( ) 2 ( )y ov v g y y= ± − −

2

y oyo

o

v vy y

t t

+− =−

g�

oyv

2

0 0

1

2yy y v t gt= ± −

oy

y

ot

t


Caída libre de los cuerpos

� Ejemplo: Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 40m/s desde lo alto de un edificio de 100m. Determinar el tiempo que demora en llegar al suelo (piso 1). h=100m, g=9.8m/s2

h

o yv


Caída libre de los cuerpos

� Ejemplo: Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 40m/s desde lo alto de un edificio de 100m. Determinar el tiempo que demora en llegar al suelo (piso 1), h=100m, g=9.8m/s2

2

0 0

1

2yy y v t g t= + −

2

0

1

2yh v t g t− = + −

2

0

10

2yg t v t h− − =

2 2oy oyv v ht

g

± +=

0 yv

h


Carácter vectorial de la velocidad y aceleración

� Acelerado

1v 2v

v∆



� Desacelerado

1v 2v

v∆



� Acelerado

� Desacelerado

1v 2v

1v 2v

v∆

v∆


Movimiento de Proyectiles

� Movimiento Horizontal� Velocidad

constante

� Movimiento vertical� Aceleración

constante

θθ

22

2

cos2 ov

xgtgxy −=

ov

θ)

g�



� Ejemplo: Un avión que vuela a 300km/h, debe soltar provisiones en un campamento. A qué distancia antes de pasar por el campamento debe soltarse las provisiones tal que estas lleguen sobre el campamento?. Si h= 600m

h

300 /km h

R



� Ejemplo: Determinar la distancia a la cual cae la pelota, sobre el plano inclinado. La pelota es lanzada con rapidez inicial de 50m/s.

0v

) β )αD

g�



� Velocidad Horizontal constante� Aceleración vertical constante, llamado

gravedad�Siempre apunta hacia abajo (nivel de

referencia)

� Válido Para Distancias menores que el radio de la tierra


Movimiento Curvilíneo

� R radio de curvatura

� C centro de curvatura

� T eje tangencial� N eje normal

� T, N ejes móviles

CR

T

�

θ ´�

´T



� Radio y centro de curvatura móviles

'C

Rθ

R

''C

'R'R

''R''R

C



� Aceleración CR

T

�

θ´�

´T

x

y

)θ

v�

ˆTv v u=�

ˆ( )Td v ua

dt=�

ˆˆTT

du dva v u

dt dt= +�

ˆ ˆ ( )T Tu u t=

( )v v t=R


Movimiento curvilíneo

� Vectores unitarios

T

�

x

y

)θˆTu i

j

ˆ�u

ˆ ˆˆ cos�u isen jθ θ= − +θ

ˆ ˆˆ cosTu i j senθ θ= +

ˆ ˆ, :i j const



� Cambio de dirección hacia el centro de curvatura C

ˆT iu

ˆT fu

ˆT iu

ˆT fu ˆ

Tu∆

�

�

�

ˆˆ ˆ( cos )T

�

du d disen j u

dt dt dt

θ θθ θ= − + =

CC



� Aceleración Normal� Cambio de dirección

� Aceleración Tangencial� Cambio de valor

2

ˆ� �

va u

R=�

ˆT T

dva u

dt=�

T� aaa�� +=


Movimiento Circular

� Radio de Curvatura Constante R

� Centro de curvatura Fijo

R

R X

Y

s∆

R∆

θ)


Movimiento Circular

� Ecuaciones � Velocidad

Angular

� Aceleración Angular

dt

dθω =

dt

dωα =

2

2

d

dt

θα =


Movimiento Relativo

� Se mide un evento por dos observadores en movimiento relativo

Evento

AOA rr�� =/

ABr /

�

BOB rr�� =/

B

Ax

y

y

x/B A B Ar r r= −� � �


Movimiento Relativo

� Velocidad relativa

� Aceleración relativa

/B A B Av v v= −� � �

/B A B Aa a a= −� � �

/ /( )B A A B A Ba a a a= − − = −� � � �

/ /( )B A A B A Bv v v v= − − = −� � � �


Movimiento Relativo

� Ejemplo1: Dos automóviles se mueven con velocidades de 20m/s y 30 m/s en las direcciones que se ilustran en la figura. Determinar la velocidad relativa del móvil a medido por el móvil B. Si θ = 30º

)θ

Bv�

Av�

x


Movimiento Relativo

� Ejemplo1: Dos automóviles se mueven con velocidades de 20m/s y 30 m/s en las direcciones que se ilustran en la figura. Determinar la velocidad relativa del móvil a medido por el móvil B. Si θ = 30º

)θ

Bv�

Av�

x

y

(θ

/A B A Bv v v= −� � �

/ˆ ˆ ˆ( ) [( ) cos ( ) ]A B A B Bv v i i v j v senθ θ= − − +�


Movimiento Relativo

� Ejemplo 2: Dos aviones vuelan a la misma altitud, si el avión A tiene una rapidez de 200 km/h, y el avión B con rapidez de 300 km/h. Todo esto en el momento que se ilustra en la figura. Determinar la velocidad del avión B medido por el piloto en el avión A


Referencias

� Estática, Ingeniería Mecánica, 7ma Edición, R.C. Hibeller, Addison Wesley, 1997

� Física, Vol I, Raymond Serway, 4ta edición, McGraw-Hill, 1997� Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Facultad de Ingeniería

Eléctrica y Electrónica FIEE, Universidad Nacional del Callao UNAC, 2003

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