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Unidad 1. Integrales
Actividad 6. Integral indefinida
Calcula las siguientes integrales indefinidas y verifica su resultado por derivación.
a) ∫45
√ x2−1
∫ 45
√ x2−1=45∫ 1
√x2−1=45¿
Derivación:
ddx
(45acosh ( x )+45c )=45( ddx acosh ( x )+ ddxc)= 45
√ x2−1
b)∫√x dx
∫ √x dx=∫ ( x )12dx=
2 x32
3+c
Derivación:
ddx ( 2 x
32
3+c )=23 ddx x 32+ ddx c=23 ( 32 x
12 )=x
12=√x
c) ∫ x+1√x
dx
∫ x+1√x
dx=∫ x
√ xdx+∫ 1
√ xdx
∫√x dx+∫ 1√ xdx=∫ x
12 dx+¿∫ x
12 dx+¿∫ x
12 dx=2
3x32+2x
−12 +c ¿¿
Derivación:
ddx ( 23 x
32+2 x
12+c)=23 ddx x
32+2 d
dxx12+ ddxc=( 23 ) 32 x
12+2 1
2x12
¿ x12+x
−12 =√x+ 1√x
= x+1√x
DELIA KARINA GARCIA GOMEZ MATRÍCULA, AL12513429 Página 1
Unidad 1. Integrales
Actividad 6. Integral indefinida
d)∫sen (x )cos2(x)
dx
∫ sen (x )cos2(x)
dx=∫ sen(x )cos(x )( 1
cos (x ))dx=∫ tg ( x ) sec ( x )dx=sec ( x )+c
Derivación:
ddxsec ( x )+c= d
dxsec x+ d
dxc=sec(x )tg ( x )= sen (x )
cos2(x )
e) ∫(x3+√3+ 1x √x )dx
∫(x3+√3+ 1x √x )dx=∫ x3dx+∫ x
13 dx+∫ x
−32 dx=
x 4
4+3 x
43
4−2x
−12
Derivación:
ddx ( x44 + 3x
43
4−2 x
−12 )=14 ddx x 4+ 34 ddx x 43−2 ddx x−3
2 =144 x3+ 3
4 ( 43 ) x13−2(−12 )x
−32
¿ x3+ x13+x
−32 =x2+ 3√ x+ 1
x √x
f) ∫ x2+x3+3x4
∫ x2+x3+3x4
=∫( x2x 4+ x3
x4+ 3x4 )dx=∫( 1x2+ 1x + 3x4 )dx=∫ 1
x2dx+∫ 1
xdx+3∫ 1
x 4
∫ x−2dx+∫ x−1dx+3∫ x−4 dx=−x−1+ ln ( x )−¿ x−3+c ¿
Derivación:
ddx
(−x−1+ ln ( x )−x−3+c)=−ddxx−1+ d
dxln ( x )− d
dxx−3+ d
dxc
DELIA KARINA GARCIA GOMEZ MATRÍCULA, AL12513429 Página 2
Unidad 1. Integrales
Actividad 6. Integral indefinida
¿ x−2+x−1−(−3 ) x−4= 1x2
+ 1x+ 3x4
= x2+x3+3x 4
g) ∫ (1+3 t ) t 3dt
∫ (1+3 t )t 3dt=¿∫ (t 3+3 t 4 )dt=∫ t 3dt+3∫ t 4dt=∫ t 3+dt+3∫ t 4dt=¿ 3t5
5+ t
4
4+c ¿¿
Derivación:
ddx ( 3 t
5
5+ t
4
4+c)=35 ddx t 5+ 14 ddx t4+ ddx c=35 5 t 4+ 14 4 t 3=3 t 4+t 3=(1+3 t ) t 3
h)∫10dz=10
∫10dz=10∫ dz=10 z+c
Derivación:
ddx
(10 z+c )=10
i) ∫ (7 senθ+cos θ )dθ
∫ (7 senθ+cos θ )dθ=∫ (7 senθ+cosθ )dθ=7∫ senθdθ+∫ cosθdθ
¿−7cosθ+senθ+c
Derivación:
ddx
(−7cosθ+senθ+c )=7 ddxcosθ+ d
dxsenθ+ d
dxc=−7 (−sen θ )+cosθ=7 sen θ+cosθ
DELIA KARINA GARCIA GOMEZ MATRÍCULA, AL12513429 Página 3
Unidad 1. Integrales
Actividad 6. Integral indefinida
j) ∫ senθ
1−( senθ )2dθ
∫ senθ
1−( senθ )2dθ=∫ senθ
(cosθ )2dθ=∫ senθ
cos θ ( 1cosθ )=∫ tgθ secθ=secθ+c
Derivación:
ddx
( secθ+c )= ddxsec θ+ d
dxc=tgθ secθ= senθ
cosθ ( 1cosθ )= senθ
(cosθ )2
¿ senθ
1−( senθ )2
DELIA KARINA GARCIA GOMEZ MATRÍCULA, AL12513429 Página 4