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MEDIDAS DE TENEDENCIA O POSICIN CENTRAL

Un promedio es un valor representativo de un conjunto de datos. Como tales valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados, los promedios se conocen como medidas de posicin o tendencia central.

Existen varios tipos de medidas de posicin central, las principales son:

a) La media aritmticab) La mediana c) La moda

MEDIA ARITMTICA ()

Es la medida de tendencia o posicin central ms conocida, esta es la medida descriptiva que la mayora de personas tienen en mente cuando se habla de promedio.

La media aritmtica, o simplemente media, de un conjunto de datos se define como la suma de todos los valores de la variable dividido ente el nmero de datos.

Caso IMedia aritmtica para datos originales (Datos no agrupados)

Por ejemplo en la Tabla, tenemos 13 observaciones sobre puntuaciones de estudiantes que se les aplic la prueba.

Puntuaciones de 13 estudiantes Individuo12345678910111213

Puntuaciones22211626232723182631222328

Para hallar la media aritmtica de las puntuaciones procedemos de la siguiente manera:

Luego el puntaje promedio en la prueba, de ese grupo de estudiantes es: 23, 54 (24)

En este caso se esta usando la siguiente frmula:

: es el nmero de datos.

: Valores que toma la variable X.

Con calculadora:

1. MODE STAT1. ESCOGER 1-VAR1. Ingresar los valores en la columna aperturada1. SHIFT 1 y escogemos la opcin VAR1. Si no sale nada digitar 2 veces AC y repita el paso anterior1. Escoger

Caso IIMedia aritmtica para datos agrupados sin intervalos

Si los datos estn agrupados en una tabla de frecuencias, primero se multiplican los valores de la variable por sus respectivas frecuencias simples, luego se suman estos productos y por ltimo se divide el resultado entre el nmero de datos.

: Valores que toma la variable X.

: Frecuencia absoluta simple

: es el total de datos

Ejemplo:Considere las siguientes variables Nmero de hijos de un grupo de familias encuestadas en un Centro de Salud Mental. Calcule el promedio de hijos de ese grupo de familias.

Nmero de hijos de un grupode familias encuestadas.N de hijos (Xi)

12345678566252221x5=52x6=123x6=184x2=85x5=256x2=127x2=148x2=16

T o t a l30110

El nmero promedio de hijos es:

Interpretacin: El promedio de hijos es aproximadamente 4, para ese grupo de familias.

Con calculadora:

1. MODE STAT1. ESCOGER 1-VAR1. SHIFT MODE para activar una segunda columna.1. Ingresar los valores de la Xi y de la fi1. SHIFT 1 y escogemos la opcin VAR1. Si no sale nada digitar 2 veces AC y repita el paso anterior1. Escoger

Caso IIIMedia aritmtica para datos agrupados (con intervalos de clase)

Si los datos estn agrupados en una tabla de frecuencia de variable continua, se procede de la misma forma que el caso anterior, pero utilizando como valor de la variable a la marca de clase.

Yi : Marcas de clase de los intervalos de clase

: Frecuencia absoluta simple

n : Total de datos

Observacin: La marca de clase es el punto medio de un intervalo.

Ejemplo: Considere la Tabla y considere : Edades de un grupo de alumnos de maestra. Calcule la edad promedio de ese grupo de alumnos.

Edades de alumnos de maestraEdadesXifiXi*fi

25 2927254

29 33 31393

33 37 35135

37 41 393117

41 45 434172

45 49 47294

Total15565

La frmula que usamos en este caso es:

Luego el resultado es: aos.

Interpretacin: la edad promedio, de ese grupo de alumnos de 37.67 aos.

Propiedades de la MediaLa media aritmtica tiene ciertas propiedades algunas deseables y otras no tanto. Algunas de estas propiedades son las siguientes: Es nica. Para un conjunto de datos existe una y sola una media aritmtica. Simplicidad. El clculo y comprensin de la media aritmtica son sencillos. Los valores extremos influyen sobre la media y, en algunos casos, pueden distorsionarla tanto que llega a ser indeseable como medida de tendencia central.

Ejemplo de cmo los valores extremos pueden afectar la media.

Cinco Ingenieros que trabajan en cierta Empresa son llamados a declarar sus cobros por realizar cierto trabajo. Los datos reportados son los siguientes:

$75, $75, $ 80, $80 y $280.

El cobro medio para los cinco ingenieros es de $ 118 , un valor que no es representativo del conjunto de datos. El valor $280 tuvo el efecto de inflar la media. En este caso no es recomendable usar esta medida.

LA MEDIANA O EL VALOR MEDIANO (Me)

La mediana (Me) es el valor de la variable que divide al total de las observaciones, debidamente ordenadas o tabuladas en dos partes de igual tamao.

Caso ILa Mediana para datos sin agrupar

La mediana de un conjunto de observaciones ordenadas es el valor central o la media de los dos valores centrales.La mediana depende del nmero de datos.

Si n es un nmero impar, entonces

Si n es un numero par, entonces

Ejemplo: : Notas del examen parcial de Estadstica de los alumnos de la Facultad de Sistemas en la UNMSM.

13, 16, 11, 08, 14, 10, 14

Para hallar la mediana primero ordenamos los datos en forma ascendente: (de menor a mayor)

Edad (aos) 08, 10, 11, 13, 14, 14, 16.Orden 1 2 3 4 5 6 7

Como tenemos siete datos y es impar ( n = 7)

Me = X(4) = 13

Interpretacin: El 50% de las notas, de ese grupo de alumnos, son menores o iguales a 13 y en tanto que el otro 50% son mayores a 13.

Qu sucedera si tuviramos ocho datos?

Ejemplo : : Notas del examen parcial de Estadstica de los alumnos de la Facultad de Sistemas en la UNMSM.

13, 16, 11, 08, 14, 10, 14, 07

1. Los datos ordenados en forma ascendente son: 07, 08, 10, 11, 13, 14, 14, 16

2. En este caso, el cuarto y quinto dato ocupan el lugar central. Luego la mediana es:

Interpretacin: El 50% de las notas de ese grupo de alumnos, son menores o iguales a 12 y el otro 50% son mayores a 12.

Caso IIPara Datos Agrupados sin Intervalos

Si los datos estn agrupados en una tabla de frecuencias se procede de la siguiente forma:1ro. Se calcula la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Calculemos la mediana para los datos de la Tabla.

Nmero de hijos de un grupode familias encuestadas.

N de hijos (Xi)

1234567856625222511171924262830

T o t a l30

Procedimiento:

1er. Paso: Calculamos la frecuencia absoluta acumulada Fi

2do. Paso: Encuentra la mitad del nmero total de datos, es decir se calcula .

3ro. Paso: Se ubica un que sea mayor o igual que (tiene que ser el menor de todos).Que valor esta por encima de 15 en este caso es 15, por tanto la mediana es 3

N de hijos (Xi)

1234567856625222511

17 1924262830

T o t a l30

4to. Paso: La mediana ser el valor de la variable asociada a dicha frecuencia acumulada .

En nuestro ejemplo la mediana es 3, Me = 3.

Interpretacin: El 50% de las familias tienen 3 hijos. o menos y el otro 50% tienen ms de 3 hijos.

Caso III: Para Datos Agrupados con IntervalosSi los datos estn agrupados en una tabla de frecuencia de variable continua, se pueden utilizar la siguiente frmula:

Dnde:

Frontera inferior de la clase mediana (intervalos cerrados) o lmite inferior de la clase mediana (intervalos semiabiertos ).

Intervalos cerrados15 -2021 2627 32

Intervalos Semiabiertos15 2020 25 25 -30

Nmero de datos.

: Es la frecuencia absoluta acumulada anterior a

Frecuencia absoluta simple de la clase mediana.

Amplitud del intervalo de clase de la mediana.

Ejemplo : Utilice los datos dela Tabla y calcule la edad mediana.

Solucin Edades de clientes de una FabricaEdad (Aos) Marcas de

clase

10 1819 2728 3637 4546 5455 6492332415059, 524693626 12 Fi-1 21 Fi2430

T O T A L30

1 . Determinamos el valor de

2 . Ubicamos la mayor frecuencia absoluta acumulada que resulte mayor o igual que , en este caso es , a esta frecuencia acumulada le corresponde el intervalo 37 45, en este intervalo se encuentra el valor de la mediana. Las fronteras de la clase mediana son 36,5 45,5 .Aqu le aado y al otro lo resto37-0.5 = frontera inferior Li3 . La frontera inferior de la clase mediana, en este caso, es: 36,5, Li = 36,5.

4 . La frecuencia absoluta simple de la clase mediana es:

5 Hallamos la amplitud = 45,5 36,5 = 96 Aplicamos la frmula:

Interpretacin: El 50% de las edades de un grupo de clientes son iguales o inferiores a 39,5 aos en tanto que el 50% restante son mayores a 39,5 aos.

LA MODA (Mo)Llamamos moda al valor de la variable que se repite con mayor frecuencia. La moda puede no existir, esto ocurre cuando los valores son diferentes, e incluso no ser nica en caso de existir.1. La Moda para datos sin agruparEjemplo :

: Edades de un grupo de alumnos

13, 14, 11, 13, 14, 10, 14

Para hallar la modo solo debemos reconocer cual de los valores se repite con ms frecuencia. En el ejemplo la moda es 14, ya que se repite 3 veces. Entonces

Interpretacin: La edad que mas se repite en el conjunto de datos es de 14 aos o la moda para ese grupo de alumnos es 14 aos.

Ejemplo :

: Notas del examen parcial de Estadstica de los alumnos de la Facultad de Sistemas en la UNMSM.

13, 16, 11, 08, 14, 10, 14, 13, 13, 14

El conjunto de datos tiene dos modas, 1 3 y 14 . La distribucin de las notas es bimodal.

Interpretacin: Las notas que se repiten con ms frecuencia, en ese conjunto de datos, son 13 y 14

Puede haber una distribucin de datos bimodal, trimodal o multimodal .

La Moda para datos Agrupados con Intervalos

La moda puede deducirse de una distribucin de frecuencias.

,

frontera inferior de la clase modal ( si estamos considerando intervalos cerrados) lmite inferior de la clase modal ( si estamos considerando con intervalos semiabiertos).

: Amplitud de la clase modal.

es la diferencia entre la frecuencia simple ms alta y la anterior a ella.

es la diferencia entre la frecuencia simple ms alta y la siguiente.

d1 = fmax fantd2 = fmax - fpost

Ejemplo: considere la Tabla y calcule la edad modal.

Tabla N 01 : Edades de alumnos

Edad (Aos)Marcas de clase

10 1819 2728 3637 4546 5455 6492332415059.524 6 fant 9 fi 3 fpost6

T O T A L30

1. Ubicamos la frecuencia ms alta .

2. Ubicamos la frontera inferior de la clase modal .

3. Calculamos la amplitud de la clase modal

4. Calculamos .

5. Calculamos .6 Por ltimo aplicamos la frmula:

Interpretacin: La edad mas frecuente es de 39,5 aos.

Observaciones:

1. La moda al igual que la mediana no resulta influenciada por los valores observados grandes o muy pequeos.

2. La moda se puede utilizar para describir datos cualitativos. Por ejemplo suponga que los pacientes de una clnica de salud mental durante un ao dado recibieron uno de los siguientes diagnsticos: retardo mental, sndrome cerebral orgnico, psicosis, neurosis y trastornos de personalidad. El diagnstico que ocurre con mayor frecuencia en el grupo de pacientes se denominara diagnstico modal.

3. Como medida de posicin, la mediana es mas recomendable que la media aritmtica, cuando:a. Existan valores extremos grandes o muy pequeos, ya que la mediana no est afectada por los valores extremos como sucede con la media.b. Se trabaja con tablas de frecuencia con intervalos en donde no se indica el lmite inferior del primer intervalo o no se indica el lmite superior del ltimo intervalo, o ambos casos.

4. La moda al igual que la mediana no resulta influenciada por los valores observados grandes o muy pequeos.

5. Si la media, la mediana y la moda de una distribucin son iguales, decimos que es simtrica.

RELACIN ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA

Cuando una distribucin de frecuencia es simtrica, la media, mediana y moda coinciden en su valor ( = Me = Mo).

En una distribucin sesgada a la izquierda, la moda es menor a la mediana, y esta a su vez menor que la media ( < Me < Mo)

En una distribucin sesgada a la derecha la relacin se invierte, la moda es mayor a la mediana, y esta a su vez mayor que la media (Mo > Me >).

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