Clase 1 Determinantes

7/23/2019 Clase 1 Determinantes

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DETERMINANTES

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En este trabajo prctico trabajaremos con una funcin denominada determinante que asigna a cada matriz cuadrada un escalar

(nmero). Para denotar un determinante usaremos el smbolo:||o que se lee determinante de la donde se tiene que .Nota:ebe entenderse que cuando escribimos ||o estamos escribiendo es un nmero real o complejo. DETERMINANTE DE ORDEN 1

!oda matriz = tiene asociado un determinante de orden 1" que se calcula con la siguiente regla:||= =||= ACTIVIDAD 1

#alcular:

a) |3|= b) |7|=

DETERMINANTE DE ORDEN 2

!oda matriz = tiene asociado un determinante de orden 2" que se calcula con la siguiente regla:||= = = . .

ACTIVIDAD 2

#alcular:

c) 2 37 5=

d) 3 27 1=

DETERMINANTE DE ORDEN 3

!oda matriz = ! " "" " ""# ""tiene asociado un determinante de orden 3" que puede calcularse como se muestra acontinuacin:

=$ " "" " ""$ " "

= . . ""% . ". "% ". . " ". . " ". ". "". .

Regla de Sarruz: $epita las dos primeras filas debajo del determinante. %uego" sume los tres productos indicados con las flec&asque descienden de izquierda a derec&a ' reste los tres productos que indican las flec&as que descienden de derec&a a izquierda. El

resultado de esta cuenta es el alor del determinante.

Nota:%a $egla de arruz SOLOse puede aplicar para calcular determinantes de orden *.

ACTIVIDAD 3

#alcular:

a) $ 2 3 5 1 2 1 1 5 &$=

b) $ 1 1 13 ' 35 5 2$=

DEFINICIONES RE!IAS A LA RE"LA DE LALACE (regla que permite calcular determinantes de orden ( ))

ea la matriz ((.e llama menor complementariodel elemento *+ al determinante de orden (n+ ,) que se obtiene por eliminar la fila i' la columna

jde la matriz . e simboliza: ,-*+,e llama Adjunto o Cofactor *+del elemento*+ de la matrizAal producto entre el factor: 1*+ ' el menor complementario,-*+, del elemento *+ de la matriz. Es decir: *+=1*+ / ,-*+,


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DETERMINANTES

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o Ejemplo

ea la matriz = ! 3 1 2 2 ' 5 1 1#.a)

-enor complementario del : |-|= 1 21 1 = 1 2 = 1djunto del elemento: 0 =1/ |-|=1/ 1 21 1 =11 2= 1

b)

-enor complementario del "": |-""|= 3 12 ' = ' % 2 = 2djunto del elemento "": ""=1""/ |-""|=1""/ 3 12 ' =%1' % 2= 2

Regla de La#la$e

ea = *+ . e define:El determinante asociado a la matriz A desarrollado por los elementos de la fila k es la suma de los productos entre cada

elemento de lafila k por su correspondienteAdjunto.

||= +++4 = . . . .1 1 2 2 3 3a A a A a A a Ak k k k k k kn kn+ + + + e manera anloga:

El determinante asociado a la matriz A desarrollado por los elementos de la columna hes la suma de los productos entre cada

elemento de la columna h por su correspondienteAdjunto.

||= ***4 = . . ... . ... .1 1 2 2a A a A a A a Ah h h h kh kh nh nh+ + + + + Nota: El alor del determinante no depende de la fila o columna que se elija.

ACTIVIDAD 4

/sando la $egla de %aplace" calcular:

a) desarrollando por 0ila , el determinante: ||= $1 2 32 1 33 1 2$ =

b) desarrollando por #olumna 1 el determinante:

||= $1 2 32 1 33 1 2$ =

c)

desarrollando por #olumna * el determinante:

1 1 0 3

3 0 0 1

0 1 9 1

5 2 0 3

D

= =

ACTIVIDAD

Encontrar el alor de 6 de modo que se erifique la siguiente igualdad:2

1 3 2

0 6 0

1 4 2

=

+ +

x

x x


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DETERMINANTES

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ACTIVIDAD !

a% 2ndique el alor del rango ' el alor del determinante de cada una de las siguientes matrices

= 2 1 2 8= ' ||=9 = 3 '

7 ' 89= ' |9|=

: = 3 23 2 8:= ' |:|=&% 2ndique el alor del rango ' el alor del determinante de cada una de las siguientes matrices

= !1 2 '2 '' ' 1# 8= ' ||=9 = !1 ' 21 ' 32 ' 5# 89= ' |9|=

: = !

1 1 '' 1 11 2 1# 8:=

'

|:|=

= !1 1 '' 1 1' ' 3# 8= ' ||=$% !eniendo en cuenta los resultados de los tems (a) ' (b)" completar las siguientes proposiciones erdaderas:

,) i ' el rango dees ( entonces || es 31)

i ' el rango dees ;con ' < ; ( entonces || es 3d% !eniendo en cuenta los resultados de los tems (a) ' (b)" completar las siguientes proposiciones erdaderas:

,)

i tiene una fila (columna) de ceros entonces || es 31) i tiene dos filas (columnas) iguales o proporcinales entonces || es 3*) i una fila (columna) de es combinacin lineal de otras filas (columnas) entonces || es 34)

i las filas (columnas) de una matriz forman un conjunto de ectores linealmente dependientes entonces || es 35) i las filas (columnas) de una matriz forman un conjunto de ectores linealmente independientes entonces || es 3%as respuestas dadas al tem (c) ' (d) nos permite esquematizar a las matrices cuadradas como dos conjuntos disjuntos: el conjunto

de matrices cuadradas sin"ulares ' el conjunto de matrices cuadradas no sin"ulares

E' im#ortante re$ordar (ue la' 'iguiente' a)irma$ione' E*+I!ALENTES de una matriz NO SIN"+LAR

>=

?@A||B C

ingulares:||= '

67 singulares:||B '

8En cul de los dos conjuntos estn

las matrices con rangom9imo

8En cul de los dos conjuntos estn

las matrices que admiteninersa


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DETERMINANTES

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ACTIVIDAD #

;allar D " para que la matriz A

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