1

Clase 13

13.1. EJERCICIO BIOT SAVART

Campo magnetico debido a una porcion de corriente en un circuito. Calculamos el campo magneti-

co en el punto P de la figura 1.

Figura 13.1: La fuerza ~F es perpendicular a la velocidad ~v

~rp = yj (13.1)

2 Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa

~r′ = R(cosθi+ sinθj) (13.2)

~r = yj −R(cosθi+ sinθk) (13.3)

|~r| =√R2 + y2 (13.4)

r =1√

R2 + y2

(yj −R(cosθi+ sinθk)

)(13.5)

d~S = Rdθ(−sinθi+ cosθk) (13.6)

d~S × r =Rdθ√R2 + y2

[−sinθi+ cosθk

]×[yj −R(cosθi+ sinθk)

](13.7)

d~S × r =Rdθ√R2 + y2

[−ysinθk −Rsin2θj − ycosθi−Rcos2θj

](13.8)

d~S × r =Rdθ√R2 + y2

[−ysinθk − ycosθi−Rj

](13.9)

d ~Bp =µ0I

4πr2d~S × r =

µ0IRdθ

4πr2(R2 + y2)3/2

[−ysinθk − ycosθi−Rj

](13.10)

~Bp =µ0IR

4πr2(R2 + y2)3/2

∫ 2π

0

[−ysinθk − ycosθi−Rj

]dθ = −µ0I

2

R

(R2 + y2)3/2j (13.11)

Figura 13.2: La fuerza ~F es perpendicular a la velocidad ~v

Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa 3

Campo magnetico debido a una porcion de corriente en una espira semicircular.

Figura 13.3: La fuerza ~F es perpendicular a la velocidad ~v

La corriente circula como se indica en la figura 3. calculamos el campo magnetico ~Bp en el punto

P . La ley de Biot-Savart dice que la porcion de campo en el punto P debida al elemento de espira

d~S es

d ~Bp =µ0I

4π

d~S × r|~r|2

(13.12)

r = cosθi− sinθj (13.13)

donde |~r| es la distancia desde la porcion de espira al punto P donde queremos calcular el campo

magnetico y r es el vector unitario.

d~S = Rdθ(sinθi+ cosθj) (13.14)

d~S × r = Rdθ(sinθi+ cosθj)× (cosθi− sinθj) (13.15)

d~S × r = Rdθ(−sin2θ − cos2θ)k (13.16)

4 Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa

d~S × r = −Rdθk (13.17)

d ~B = − µ0I

4πR2dθk (13.18)

sumando las contribuciones de cada porcion de espira desde θ = 0 a θ = π.

~Bp = − µ0I

4πR

∫ π

0

dθk = −µ0I

4Rk[T ] (13.19)

Campo magnetico debido a una porcion de corriente lineal. Calculamos el campo magnetico en

el punto P .

Figura 13.4: La fuerza ~F es perpendicular a la velocidad ~v

d ~Bp =µ0I

4π|~r|2d~S × r (13.20)

|~r| =√L2 + x2 (13.21)

d~S = dxi (13.22)

Electricidad y Magnetismo para Ingenierıa 5

r = − x√L2 + x2

i+L√

L2 + x2j (13.23)

d ~Bp =µ0I

4π(L2 + x2)dxi×

[− x√

L2 + x2i+

L√L2 + x2

j

](13.24)

d ~Bp =µ0IL

4π(L2 + x2)3/2dxk (13.25)

~Bp =µ0I

4π

∫ l

0

Ldx

(L2 + x2)3/2k (13.26)

sea x = Ltanα, entonces tenemos dx = Lsec2αdα

dx

(L2 + x2)3/2=

Lsec2αdα

L3(1 + tan2α)3/2=Lsec2αdα

L3sec3α=

dα

L2secα(13.27)

∫dx

(L2 + x2)3/2=

∫dα

L2secα=

∫cosα

L2dα =

sinα

L2(13.28)

sinα =x√

L2 + x2(13.29)

Evaluando la ecuacion (13.26)

~Bp =µ0I

4πL

[x√

L2 + x2

]l0

k (13.30)

~Bp =µ0I

4πL

l√L2 + l2

k[T ] (13.31)