Clase 2 Probabilidades 2013.pdf

7/23/2019 Clase 2 Probabilidades 2013.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/clase-2-probabilidades-2013pdf 1/21

Magíster en Ingeniería Industrial

Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas

Pontificia Universidad Católica de Chile

IND3100

Clase 2

Prof. Jorge Vera A. - 1er Semestre 2013

Fundamentos de Probabilidades

• Al final de la clase anterior vimos que muchasveces es necesario calcular ro!a!ilidades m"so menos #comle$as%&

• 'o( desarrollaremos concetos m"s formalesde ro!a!ilidades&

IND3100 - Prof. Jorge Vera ©2013



• )*u+ es #ro!a!ilidad%&,

• )*u+ es un evento incierto&.,


Modelando Eventos Inciertos• Vamos a modelar eventos inciertos

ro!a!ilsticos/ en el conteto de uneerimento !ien definido con ocurrencias!ien definidas

• $emlo definamos eerimento 1 como


#lanar 3 monedas #!uenas% insesgadas/ ordenadamente( luego registrar sus valores 4 caras ( S sellos/%

Posi!le ocurrencia del eerimento 41S2S3

4alcular

• Pr41S2S3/5 PrS1S2S3/

• Prdos caras ( un sello/

• Prm"s caras que sellos/



Ocurrencias, Probabilidades y Eventos

• 6currencias 7utuamente eclu(entes no ha( traslae/

4on$untamente ehaustivos inclu(en todas las osi!lesocurrencias del eerimento/

• Pro!a!ilidad 8racci9n de las veces en la cual se o!tendr" una


ocurrencia al reetir muchas veces un mismo eerimento

• ventos 4olecci9n !ien definida de ocurrencias

l evento A ocurre cuando se o!tiene cualquiera de lasocurrencias del evento A

$. Evento A o!tener un total de una o menos caras

Arbol de Probabilidades: Experimento 1

C1 : 0,5

C2 : 0,5

S2 : 0,5

C3 : 0,5

S3 : 0,5

C3 : 0,5

S3 : 0,5

Pr( C1 C2 C3 ) = 0,125

Pr( C1 C2 S3 ) = 0,125

Pr( C1 S2 C3 ) = 0,125

Pr( C1 S2 S3 ) = 0,125


S1 : 0,5

C2 : 0,5

S2 : 0,5

C3

: 0,5

S3 : 0,5

C3 : 0,5

S3 : 0,5

Pr( S1 C2 C3 ) = 0,125

Pr( S1 C2 S3 ) = 0,125

Pr( S1 S2 C3 ) = 0,125

Pr( S1 S2 S3 ) = 0,125



• 4omo todas las monedas son insesgadas: esdecir: Pr4/;1<2: todas las ocurrencias tienenla misma ro!a!ilidad

•

Arbol de Probabilidades: Experimento 1


con$untamente ehaustivas: entonces

Procurra alguna cosa/;1

Las Leyes de Probabilidades• Primera >e( de Pro!a!ilidades

0 ≤ Prcualquier evento/ ≤ 1

• Segunda >e( de Pro!a!ilidades Si A ( ? son eventosdis$untos

PA 9 ?/ ; PA∪?/ ; PA/ @ P?/

•


:

suman las ro!a!ilidades de todas las ocurrencias endicho evento

• si BA es el evento #ouesto%: PBA/;1-PA/

• Cecordemos el evento A S1S2S3: 41S2S3 : S142S3 : S1S243

PA/ ; PS1S2S3/@ P41S2S3/@ PS142S3/@ PS1S243/

; DE1<F/ ; G



• 8orma general de la segunda le( dero!a!ilidades

PA 9 ?/ ; PA∪?/ ; PA/ @ P?/ - PA∩?/

cuando los eventos se traslaan: no contamos dos veces/

• $emlo

Las Leyes de Probabilidades


vento A H 4 I; 1/ 41S2S3 : S142S3 :S1S243: S1S2S3K

vento ? H 4 L; 1/ 41S2S3 : S142S3: S1S243: 414243

4142S3: 41S243 : S14243 K

PA 9 ?/ ; PA∪?/ ; PA/ @ P?/ - PA∩?/

; D<F @ M<F N 3<F ; F<F ; 1

• Oercera >e( de Pro!a!ilidades Para loseventos A ( ?: la ro!a!ilidad que ocurra elevento A dado que ocurri9 el evento ? es


( )( | )

( )

P A BP A B

P B

∩=


• Volviendo al e$emlo

PA?/ ;

vento A H 4 I; 1/ 41S2S3 : S142S3 :S1S243: S1S2S3K

vento ? H 4 L; 1/ 41S2S3 : S142S3: S1S243: 414243

4142S3: 41S243 : S14243 K



• Oercera >e( de Pro!a!ilidades Para loseventos A ( ?: la ro!a!ilidad que ocurra elevento A dado que ocurri9 el evento ? es


( )( | )

( )

P A BP A B

P B

∩=


• Volviendo al e$emlo

PA?/ ; 3<F/ < M<F/ ; 3<M

Qotar Si sa!emos que ? as9: sa!emos que nos estamosenfocando en M ocurrencias. =e +stas: 3 ertenecen a A/

Las Leyes de Probabilidades• Rn evento A se dice indeendiente del evento

? si el conocimiento de la ocurrencia de ? noaltera la ro!a!ilidad de que ocurra A.

• A ( ? se dicen deendientes si el conocimientode ? influ(e la ro!a!ilidad de ocurrencia de


A.



• 4uarta >e( de Pro!a!ilidades Si A ( ? soneventos indeendientes: entonces

PA?/ ; PA/

(el saber que B ocurrió, no cambia las probabilidades de que ocurra A )

• Notemos: Rsando la 3era ( Dta le( con A ( ? indeendientes/



PA∩?/; PA?/ P?/ ; PA/ P?/ (2)

• =e la 3era le(: ero condicionando en A: o!tenemos

PA∩?/; P?A/ PA/. (3)

• =ado que 3/ 2/ son eresiones equivalentes ara PA∩?/

PA?/ P?/ ; P?A/ PA/ ; PA/ P?/ (4)

As: P?A/ ; P?/ (5)

(2)-(5) muestran que si A es independiente de B, entonces B esindependiente de A.

• Oenemos entonces que

PA∩?/ ; PA?/P?/;P?A/PA/

• si A ( ? son indeendientes: entonces



PA∩?/ ; PA/P?/



• 100 !olas de color: D0Verdes ( T0 R o$as5con letras A: ?: 4escritas so!re ellas.

• >a cantidad de !olasde cada calor ( concada letra se muestra

?ola esV/

?ola es

C/

Total

>etra es

A/

PA ∩∩∩∩ V/

D

PA ∩∩∩∩ C/

30

PA/

3D

>etra es P? ∩∩∩∩ V/ P? ∩∩∩∩ C/ P?/

Ejemplo: Tablas de Probabilidad


.

• Para transformar aro!a!ilidades ha(que dividir or 100

?/ T 1U 21

>etra es

4/

P4 ∩∩∩∩ V/

30

P4 ∩∩∩∩ C/

1U

P4/

DU

Total PV/

D0

PC/

T0 100

• ventos>a ro!a!ilidad que una!ola elegida al aar seaverde ( tenga letra APA∩∩∩∩V/;0:0D

• >os eventos sondis$untos: con lo queodemos sumar la

?ola esV/

?ola es

C/

Total

>etra es

A/

PA ∩∩∩∩ V/

0:0D

PA ∩∩∩∩ C/

0:30

PA/

0:3D

>etra es P? ∩∩∩∩ V/ P? ∩∩∩∩ C/ P?/

Ejemplo: Tablas de Probabilidad


ro a a es or as o

columnas

PA/;PA∩∩∩∩V/@PA∩∩∩∩C/; 0:3D

PC/;PA∩∩∩∩C/@P?∩∩∩∩C/@P4∩∩∩∩C/

; 0:T0

?/ 0:0T 0:1U 0:21

>etra es

4/

P4 ∩∩∩∩ V/

0:30

P4 ∩∩∩∩ C/

0:1U

P4/

0:DU

Total PV/

0:D0

PC/

0:T0 1:00



• Para calcular ro!a!ilidadescondicionales miramos lacolumna o fila del eventocondicionante.

• >a ro!a!ilidad de que la!ola seleccionada sea verdedado que tiene una letra 4so!re ella es

?ola esV/

?ola es

C/

Total

>etra es

A/

PA ∩∩∩∩ V/

0:0D

PA ∩∩∩∩ C/

0:30

PA/

0:3D

>etra es

?/

P? ∩∩∩∩ V/

0:0T

P? ∩∩∩∩ C/

0:1U

P?/

0:21

>etra es P 4 ∩∩∩∩ V P 4 ∩∩∩∩ C P 4

Ejemplo: Probabilidad ondicional


PV4/ ; P4 ∩∩∩∩ V/< P4/

;0:30<0:DU ; 2<3

Oam!i+n

PC4/ ; P4 ∩∩∩∩ C/< P4/

; 0:1U<0:DU ; 1<3

• Qotar que estas ro!a!ilidades condicionales sonara eventos dis$untos: or lo que las odemossumar

PV4/ @ PC4/ ; 2<3 @ 1<3 ; 1

una !ola con letra 4 tiene que ser o verde o ro$a/

4/

0:30

0:1U 0:DU

Total PV/

0:D0

PC/

0:T0 1:00

Ejemplo con ! dados:• 4onsideremos

• A ; #>a suma de los nmeros es 10%

• ? ; #el rimer dado tiene nmero W U%

• )cu"nto es PA?/, )PA/, )P?/,


1 2 3 4 5 6

1 2 3 D U T M

2 3 D U T M F

3 D U T M F X

D U T M F X 10

U T M F X 10 11

T M F X 10 11 12

=ado 1



Ejemplo con ! dados:

• 4onsideremos

• A ; #>a suma de los nmeros es 10%

• ? ; #el rimer dado tiene nmero W U%

• )cu"nto es PA?/, )PA/, )P?/,


1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 M

2 3 4 5 6 7 F

3 4 5 6 7 8 X

D 5 6 7 8 9 10

U 6 7 8 9 10 11

T 7 8 9 10 11 12

PA?/ ; 2<30;1<1UPA/ ; 3<3T;1<12P?/ ;30<3T;U<T

Ejercicio: m"s con dados ncuentre la ro!a!ilidad de que

•A/ la suma de las ocurrencias sea eactamente 2

•?/ la suma de las ocurrencias eceda 2

•4/ am!os dados entreguen el mismo nmero

•=/ am!os dados sean nmero imar

•/ ocurra el evento A/ dado que ocurri9 el evento 4/


1 2 3 4 5 61 2 3 D U T M

2 3 D U T M F

3 D U T M F X

D U T M F X 10

U T M F X 10 11

T M F X 10 11 12



• )s el evento #o!tener un do!le% indeendiente dellanamiento del rimer dado,

• Sea D al evento de o!tener un do!le: A al evento delanar el rimer dado: ( B al evento de lanar el

segundo dado.

Ejercicio: m"s con dados


>a ro!a!ilidad de cadaocurrencia es 1<3T

1 2 3 D U T M

2 3 D U T M F

3 D U T M F X

D U T M F X 10

U T M F X 10 11

T M F X 10 11 12

• n el e$ercicio anterior vemos que el evento de o!tenerun do!le es indeendiente de la ocurrencia o!tenida delrimer dado.

6 / 1)36 / 1(6),()(6

1

i Bi AP DP

i

===== ∑=

Independencia y condicionalidad


)()|(

6 / 1)6()6|(

...

6 / 1)2()2|(

6 / 1)1()1|(

DP A DP

BP A DP

BP A DP

BP A DP

=⇒

====

====

====



• Si hacemos el mismo eerimento ero esta ve en >asVegas: donde es mu( difcil encontrar un dado #!ueno%:las cosas cam!ian un oco.

• Suongamos que la distri!uci9n de ro!a!ilidades de

estos dados es

xi pi



1 0.1

2 0.2

3 0.3

4 0.2

5 0.1

6 0.1

• :equiro!a!les: ero odemos calcularf"cilmente sus ro!a!ilidades orquelos lanamientos de los dos dados anson indeendientes. Por e$emlo

( 2, 5) ( 2) ( 5) 0, 2 0,1 0,02P A B P A P B= = = = = = × =

• 4alculemos las ro!a!ilidades condicionales6 6

1 1

62 2 2 2 2 2 2

1

( ) ( , ) ( ) ( )

( ) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2

Así,

i i

i

P D P A i B i P A i P B i

P A i

= =

=

= = = = = = =

= = = + + + + + =

∑ ∑

∑



• n este caso: el evento de o!tener un do!le deende delo que o!tengamos en el rimer dado.

,

( | 2) ( 2) 0,2

por lo tanto, en general tenemos que:

(

P D A P B

P D

= = = =

= = = =

⇒

| ) ( ) A P D≠




• Volviendo al e$emlo de los dados: )cu"nto esP?A/,

• es decir: la ro!a!ilidad de que el rimer

nmero ha(a sido W U dado que la suma es10,


1 2 3 4 5 6

1 2 3 D U T M

2 3 D U T M F

3 D U T M F X

D U T M F X 10

U T M F X 10 11

T M F X 10 11 12

Independencia y condicionalidad• Volviendo al e$emlo de los dados: )cu"nto es

P?A/,

• es decir: la ro!a!ilidad de que el rimernmero ha(a sido W U dado que la suma es10,


1 2 3 4 5 6

1 2 3 D U T M

2 3 D U T M F

3 D U T M F X

D U T M F X 10

U T M F X 10 11

T M F X 10 11 12

P?A/ ; 2<3

PA?/EP?/<PA/;1<1U/EU<T/E12/;2<3




• Teoema de Ba!es:

• Suongamos se conoce PA?/: PA/ ( P?/:entonces

( | ) ( )( | )

( )

P A B P BP B A

P A

×=


• =emostraci9n

• P?A/;P?∩A/<PA/ ; PA∩?/<PA/ ; PA?/P?/<PA/

• >a f9rmula ermite calcular ro!a!ilidades coninformaci9n #a osteriori%.

Probabilidades Totales• Suongamos que tenemos varios eventos ehaustivos (

eclu(entes ?1: ?2:&:?n

• Sea A otro evento: entonces

• PA/;PA∩?1∪?2∪&∪?n//

• ;PA ∩?1/∪ A ∩?2/ &∪ A ∩?n//

• ;PA ∩?1/@PA ∩?2/ @&@PA ∩?n/


1 1 & n n

• "e! de #o$a$%&%dades Tota&es:

• Si ?1: ?2:&:?n son eventos ehaustivos ( eclu(entes:entonces

PA/ ; PA?1/P?1/@&@PA?n/P?n/



Ejercicio:• Cetomando el ro!lema de la clase asada: de la staci9n

sacial&

• Oenamos que necesit"!amos

POQ8 < Q8/ ; 0.MU POQ8/: PO8/ PO8 < 8/ ; 0.TU PQ8 < OQ8/

PQ8/ ; P8/ ; 0.U PQ8 < O8/


• Oenemos

PQ8 < OQ8/ ; POQ8 < Q8/YPQ8/<POQ8/;0:MUY0:U<POQ8/

POQ8/ ; POQ8<Q8/YPQ8/ @ POQ8<8/YP8/

; POQ8<Q8/YPQ8/ @ 1-PO8<8//YP8/

; 0:MUY0:U @ 0:3UY0:U ; 0:UU

PQ8 < OQ8/ ;0:MUY0:U<POQ8/; 0:TF

Problema del umplea#os• Suongamos que ha( Q ersonas en esta sala.

• )4u"l es la ro!a!ilidad de que no ha(an dosersonas con el cumleaZos el mismo da,


Qo ha( relaciones revias entre los cumleaZos de lasersonas en la sala no ha( mellios/

Pnacer en cualquier da/ ; 1<3TU es decir: noconsideramos !isiestos/.

• 'agamos la rue!a en esta sala



• Suongamos que ha( Q ; U0 ersonas en lasala.

• =efinamos Ai como el evento que la i -+sima ersona dice una fecha

que no ha sido dicha or las i - 1 ersonas anteriores.

Problema del umplea#os


? como el evento que todas las Q ersonas tienencumleaZos diferentes.

• As: P?/ ; PA1 ( A2 ( ... AQ/

• Qotar que

PA1 ( A2 ( ... AQ/ ;

PAQA1 ( A2 ( ... AQ-1/ PA1 ( A2 ( ... AQ-1/

• Similarmente:



PA1 ( A2 ( ... AQ-1/ ;PAQ-1A1 ( A2 ( ... AQ-2/ PA1 ( A2 ( ... AQ-2/

• or ltimo:

PA1/ ; 1: de!ido a que la rimera ersona no uede reetir.



• >a segunda ersona dir" una nueva fecha a menos queha(a nacido la misma fecha que la rimera ersona. Porlo tanto:

PA2 A1/ ; 1 - 1<3TU/ ; 3TD<3TU

• Para calcular PA3A1 ( A2/: notar que si A1 ( A2 hanocurrido: ha( dos fechas que la tercera ersona de!e



evitar ara revenir reetici9n. Por lo tanto:

PA3 A1 ( A2/; 1 - 2<3TU/ ; 3T3<3TU

• Alicando la misma l9gica: odemos o!tener que

PAi A1 ( A2 ( ... Ai-1/ ; [3TU - i - 1/\ < 3TU; 3TT - i/ < 3TU

• 8inalmente: odemos calcular P?/ como

P?/ ; 3TU/ 3TD/ 3T3/ ... 3TT-Q/3TU/ 3TU/ 3TU/ 3TU/

• As: ara Q ; U0: tenemos



P?/ ; 3TU/ 3TD/ ... 31T/ ; 0.0303TU/ 3TU/ 3TU/



$ariables Aleatorias

• Rna varia!le aleatoria v.a./ es una regla ofunci9n/ que asigna un valor num+rico a cadaocurrencia osi!le de un fen9meno o

eerimento aleatorio.• >as denotaremos con letras ma(sculas or

e$emlo: E/


• $emlos de v.a. la edad de alguno de ustedes resentes ho(

E l nmero total de caras del eerimento 1

• Rna v.a. uede ser =iscreta

4ontinua

$ariables Aleatorias• Si el fen9meno o eerimiento es aleatorio:

entonces los valores de E tam!i+n sonaleatorios&

• )49mo odemos descri!ir el comortamientode E,


• =ando la ro!a!ilidad de que E tomedeterminados valores.

so se llama distri!uci9n dero!a!ilidad.



Rna distribución de probabilidades ara una v.a.discreta E consiste en

• valores osi!les 1: 2: . . . : n

%istribuci&n de Probabilidades


1: 2: . . . : n

Oales que

PE;1/;1 : PE;2/;2 :&: PE;n/;n

%istribuci&n de probabilidades para la v'a' ()n*mero de caras en

experimento 1

C1 : 0.5

C2 : 0.5

S2 : 0.5

C3 : 0.5

S3 : 0.5

C3 : 0.5

S3 : 0.5

Pr( C1 C2 C3 ) = 0.125

Pr( C1 C2 S3 ) = 0.125

Pr( C1 S2 C3 ) = 0.125

Pr( C1 S2 S3 ) = 0.125

P(X = 0) = 1/8

P(X = 1) = 3/8

P(X = 0) = 1/8

P(X = 1) = 3/8


S1 : 0.5

C2 : 0.5

S2 : 0.5

C3

: 0.5

S3 : 0.5

C3 : 0.5

S3 : 0.5

Pr( S1 C2 C3 ) = 0.125

Pr( S1 C2 S3 ) = 0.125

Pr( S1 S2 C3 ) = 0.125

Pr( S1 S2 S3 ) = 0.125

P(X = 2) = 3/8

P(X = 3) = 1/8

P(X = 2) = 3/8

P(X = 3) = 1/8



+istorama

3/8

4/8

5/8

- E ; 0 /


x

0.00

1/8

0 1 2 3

P

Experimento !: Moneda sesada

C1 : 0.3

C2 : 0.3

S2 : 0.7

C3 : 0.3

S3 : 0.7

C3 : 0.3

S3 : 0.7

Pr( C1 C2 C3 ) = 0.027

Pr( C1 C2 S3 ) = 0.063

Pr( C1 S2 C3 ) = 0.063

Pr( C1 S2 S3 ) = 0.147

P(X = 0) = 0.343

P(X = 1) = 0.441

P(X = 0) = 0.343

P(X = 1) = 0.441


S1 : 0.7

C2 : 0.3

S2 : 0.7

C3

: 0.3

S3 : 0.7

C3 : 0.3

S3 : 0.7

Pr( S1 C2 C3 ) = 0.063

Pr( S1 C2 S3 ) = 0.147

Pr( S1 S2 C3 ) = 0.147

Pr( S1 S2 S3 ) = 0.343

P(X = 2) = 0.189

P(X = 3) = 0.027

P(X = 2) = 0.189

P(X = 3) = 0.027



+istorama Experimento !

p(X)

0.343

0.441

0.300

0.350

0.400

0.450

0.500


0.189

0.027

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0 1 2 3

p(X)

Documents

Clase 2 Probabilidades 2013.pdf