Clase 6 Probabilidades

8/18/2019 Clase 6 Probabilidades

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EstadísticaUnidad IIProbabilidades


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SucesosCuando se realiza un experimento aleatorio, diversos resultados sonposibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espaciomuestral (Ω).

Se llama suceso a un subconjunto de dic os resultados.

Se llama suceso contrario (complementario) de un suceso ! , ! c , al"ormado por los elementos #ue no est$n en !

Se llama suceso uni%n de ! & ' , !U' , al "ormado por los resultados

experimentales #ue est$n en ! o en ' (inclu&endo los #ue est$n enambos.

Se llama suceso intersecci%n de ! &' , ! ' o simplemente !' , al"ormado por los elementos #ue est$n en ! &'

E espacio muestral

E espacio muestral

!

!

E espacio muestral

!

'

E espacio muestral

!

'

E espacio muestral

!

'

U*I+* I* E-S.


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!

robabilidad condicionadaSe llama probabilidad de ! condicionada a ' , o

probabilidad de ! sabiendo #ue pasa ' 9

)()(

)|( B P

B A P B A P

∩=

E espacio muestral

' :

t a m a 7 o ;

d e

u n o

r e s p e

c t o a l

o t r o


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Intuir la probabilidad condicionada

'

!

(!) 1 3,>?(') 1 3,23

(! ') 1 3,23

'

!

@ robabilidad de ! sabiendo #ue a pasado 'A

P(A/B)=1 P(A/B)=0,8

(!) 1 3,>?(') 1 3,23

(! ') 1 3,3B


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Intuir la probabilidad condicionada !

'

!

'

@ robabilidad de ! sabiendo #ue a pasado 'A

P(A/B)=0,05 P(A/B)=0

(!) 1 3,>?(') 1 3,23(! ') 1 3,33?

(!) 1 3,>?(') 1 3,23(! ') 1 3


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Cual#uier problema de probabilidad puederesolverse en teoría mediante aplicaci%n de losaxiomas. Sin embar/o, es m$s c%modo conoceral/unas re/las de c$lculo 9

(!c

) 1 2 (!)(!U') 1 (!) 5 (') (! ')

(! ') 1 (!) D ('=!)

1 (') D (!=')

!l/unas re/las de c$lculo pr$cticas


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8os sucesos son independientes si el #ueocurra uno, no a7ade in"ormaci%n sobre elotro.

! es independiente de '

(!=') 1 (!)

(! ') 1 (!) (')

Independencia de sucesos


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Ejemplo (2)

a tabla muestra la istoria de 2333 obleas de un proceso de"abricaci%n de semiconductores. Consid0rense los eventos9 !9 la oblea tiene distintos niveles de contaminaci%n.'9 a oblea est$ en centro de un instrumento deposici%n electr%nica.

@Cu$l es la probabilidad de #ue una oblea ten/a niveles bajo decontaminaci%nA

( 'aja) 1 FG=2333 1 3,3FG1F,GH


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Ejemplo (>)

@ robabilidad de #ue una oblea tiene contaminaci%n media o bajaA( edia U 'aja)1 GFJ=2333 5 FG=2333 1 3,?K2

Son sucesos disjuntosedia 'aja 16

@ robabilidad de #ue una oblea tiene contaminaci%n baja o est$ en elcentro de instrumento de deposici%n electr%nicaA

('aja U Si)1FG=23335FLJ=2333 ?B=233313,J3K*o son sucesos disjuntos

@ robabilidad de #ue una oblea ten/a contaminaci%n altaA( !lta)1 GFL=233313,GFL( !lta) 12 (!lta c)12 ( ediaU'aja) 12 3,?K213,GFL


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Ejemplo (K)

Si la oblea esta en el centro de instrumento de deposici%n electr%nica@cu$l es la probabilidad #ue ten/a baja contaminaci%nA

('aja=Si)1?B=FLJ13,3BK

@ robabilidad de #ue la oblea este en el centro de instrumento dedeposici%n electr%nica & ten/a baja contaminaci%nA

( Si 'aja) 1 ?B=233313,3?B


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Ejemplo (G)

@Son independientes #ue la oblea est0 en el centro & #ue ten/a baja contaminaci%nAUna "orma de acerlo

( 'aja)1FG=233313,3FG('aja=Si)1?B=FLJ13,3BKa probabilidad de tener baja contaminaci%n es ma&or si a pasado por

el centro de instrumento de deposici%n electr%nica. !7ade in"ormaci%nextra. M*o son independientes N

@


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Sistema ex austivo & exclu&ente de sucesos

!2

!>

! K ! G

Son una colecci%n de sucesos

! 2, ! >, ! K, ! GOales #ue la uni%n de todos ellos "orman

el espacio muestral, & sus intersecciones son disjuntas.

Sucesose/uro

! 2

! >

! K

! G


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Prbol de decisi%n

!2

! >

! K ! G

'

odo suceso ', puede ser descompuesto en componentes de dic o sistema.

' 1 (' ! 2) U (' ! > ) U ( ' ! K ) U ( ' ! G )

*os permite descomponer el problema ' ensubproblemas m$s simples.

Sucesose/uro

! 2

! >

! K

! G

'

'

'

'


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eorema de la probabilidad total ! 2 ! >

! K ! G

'

Si conocemos la probabilidad de ' en cada uno de loscomponentes de un sistema ex austivo & exclu&ente de

sucesos, entoncesOO podemos calcular la probabilidad de '.

(') 1 (' ! 2) 5 (' ! > ) 5 ( ' ! K ) 5 ( ' ! G )1 ( ! 2) ('Q ! 2) 5 ( ! >) ('Q ! >)5 O

Sucesose/uro

! 2

! >

! K

! G

'

'

'

'

(! 2)

(! >)

(! K)

(! G)

('Q! 2)

('Q! >)

('Q! K)

('Q! G)


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Ejemplo (1) 9 En esta aula el J3H de los alumnos sonmujeres. 8e ellas el 23H son "umadoras. 8e los

ombres, son "umadores el >3H.

@Ru0 porcentaje de "umadores a&A( ) 1 ( ) 5 (T )

1 ( )D ( = ) 5 (T)D ( =T)

13,J D 3,2 5 3,K D 3,>

1 3,2K 12KH

T. Prob. Total.Tombres & mujeres "orman un sist. Ex . Excl. de sucesos

Estudiante

ujer

*o "uma

Tombre

uma

*o "uma

uma

0,7

0,1

0,3,K

3,B

3,L

os caminos a trav0s de nodos representan intersecciones.

as bi"urcaciones representan uniones disjuntas.


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Ejemplo ( ) 9 En esta aula el J3H de los alumnos son mujeres. 8e ellas el23H son "umadoras. 8e los varones, son "umadores el >3H.

@Ru0 porcentaje de "umadores a&A( ) 1 13,J x 3,2 5 3,K x 3,> 1 3,2K(-esuelto antes)

Se elije a un individuo al azar & es "umador @ robabilidad de #ue sea un ombreA

Estudiante

ujer

*o "uma

Tombre

uma

*o "uma

uma

0,7

0,1

0,3,K

3,B

3,L

46,013,0

2,03,0)(

)|()(

)(

)()|(

=×

=

=⋅

=∩

=

F P

H F P H P

F P

F H P F H P


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Ejemplo (!) 9El >3H del tiempo #ue se est$ en una casa transcurre enla cocina, el 23H en el ba7o & el resto entre el sal%n & el dormitorio

or otro lado la probabilidad de tener un accidente dom0stico estandoen la cocina es de 3,K3 de tenerlo estando en el ba7o es de 3,>3 & detenerlo "uera de ambos de 3,23. @Cu$l es la probabilidad de tener unaccidente dom0sticoA

Casa

Cocina *o !cc

!cc

0, 0

'a7o

-esto

0,10

0,70

0,!0

0,70

*o !cc

!cc0, 0

0,80

*o !cc

!cc0,10

0,"0

(!) 1 (! C) 5 (! ') 5 (! -) 1

(C) (!QC) 5 (') (!Q') 5 (-) (!Q-)

13,> x 3,K 5 3,2 x 3,> 5 3,J x 3,2 1 3,2? 1

2?H


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19

eorema de 'a&es

! 2 ! >

! K ! G

'

Si conocemos la probabilidad de ' encada uno de los componentes de un

sistema ex austivo & exclu&ente desucesos, entoncesO

Osi ocurre ', podemos calcular laprobabilidad (a posteriori ) de ocurrenciade cada ! i.

donde (') se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total9

(')1 (' ! 2) 5 (' ! > ) 5 ( ' ! K ) 5 ( ' ! G )

1 ('Q ! 2) ( ! 2) 5 ('Q ! >) ( ! >) 5 O

P(B))AP(B

B)|P(A ii∩

=


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Ejemplo (#) 9 En este aula el J3H de los alumnos son mujeres. 8e ellas el23H son "umadoras. 8e los varones, son "umadores el >3H.

@Ru0 porcentaje de "umadores a&A( ) 1 13,J x 3,2 5 3,K x 3,> 1 3,2K(-esuelto antes)

Se elije a un individuo al azar & esO "umador @ robabilidad de #ue sea un ombreA

Estudiante

ujer

*o "uma

Tombre

uma

*o "uma

uma

0,7

0,1

0,3,K

3,B

3,L

46,013,0

2,03,0)(

)|()(

)(

)()|(

=×

=

=⋅

=∩

=

F P

H F P H P

F P

F H P F H P


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Ejemplo (##) 9 En un centro a& dos #uir%"anos. El 2V seusa el J?H de veces para operar. En el 2V la "rec. dein"ecci%n es del ?H & en el >V del 23H.@Ru0 probabilidad de in"ecci%n a&A(I) 1 3,3F>?Se a producido una in"ecci%n.

@Ru0 probabilidad a& de #ue sea en el R2A

aciente

R2

*o in"ec

R>

In"ec

*o in"ec

In"ec

0,75

0,05

0,13,>?

3,L

3,L?

6,00625,0

05,075,0)(

)1|()1(

)(

)1()|1(

=×

=

=⋅

=∩

=

I P

Q I P Q P

I P

I Q P I Q P


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@Ru0 emos vistoA Pl/ebra de sucesos

Uni%n, intersecci%n, complementorobabilidad*ociones

recuentista !xiomas

robabilidad condicionada-e/las de c$lculo

Complementario, Uni%n, Intersecci%nIndependencia de sucesosSistema ex austivo & exclu&ente de sucesos

eorema probabilidad total.eorema de 'a&es

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