Clase 7 clase semana 4

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Aplicaciones de las EDO de primer ordenTemperatura La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez con que un cuerpo se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio ambiente.Sean 𝑇(𝑡) la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo 𝑡, 𝑇𝑎 la temperatura del medio ambiente y 𝑇0 la temperatura inicial del cuerpo respectivamente.La EDO que modela en este caso el cambio de la temperatura del tiempo viene dada por𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎), siendo 𝑘 una constante de

proporcionalidad.

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Se observa que debido a que el cuerpo se enfría la constante 𝑘 resulta negativa. Para resolver la EDO anterior separamos variables

y llegamos a 𝑑𝑇

𝑇−𝑇𝑎= 𝑘𝑑𝑡, de donde, integrando

tenemos que ln 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑘𝑡 + 𝐶1 (siendo 𝐶1una constante de integración arbitraria).Pero entonces tenemos que 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑒𝐶1𝑒𝑘𝑡 = 𝐶𝑒𝑘𝑡 ⇔ 𝑇 𝑡 = 𝑇𝑎 + 𝐶𝑒𝑘𝑡.Esta última expresión representa la solución general (SG) de la EDO. Debido a que 𝑇0 = 𝑇 0se obtiene que 𝐶 = 𝑇0 − 𝑇𝑎 y por tanto nuestra solución particular (SP) viene dada por 𝑇 𝑡 = 𝑇𝑎 + (𝑇0 − 𝑇𝑎)𝑒

𝑘𝑡.

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Se observa que si el cuerpo, en lugar de enfriarse se calienta, sigue siendo válida la ley de Newton y se logra tener una descripción análoga al caso considerado.Ejemplo Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el aire. Si la temperatura del medio ambiente (aire) es de 20 ℃ y el cuerpo se enfría en 20 minutos de 100℃ a 60℃ ¿en cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 30℃?Usando la expresión de la SP obtenida antes y

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notando que 𝑇0 =100℃, 𝑇𝑎= 20℃ tenemos que la SP en este caso queda escrita en la forma 𝑇 𝑡 = 20 + 80𝑒𝑘𝑡.Pero el cuerpo llega a 60℃ en 20 minutos y esto se traduce en que 60 = 𝑇 20 = 20 + 80𝑒20𝑘.

Así, 𝑒20𝑘 =1

2⇒ 20𝑘 = 𝑙𝑛

1

2⇒ 𝑘 =

1

20𝑙𝑛

1

2.

Sustituyendo 𝑘 en la expresión de la SP correspondiente nos queda

𝑇 𝑡 = 20 + 80𝑒𝑡

20ln(

1

2) = 20 + 80(

1

2)(

𝑡

20).

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Así, para calcular el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del cuerpo sea de 30℃ debe ocurrir

30 = 𝑇 𝑡 = 20 + 80(1

2)(

𝑡

20).

Tenemos que despejar t. Pero entonces nos queda1

8=

1

23=

1

2(𝑡20)

⇒𝑡

20= 3 ⇒ 𝑡 = 60 𝑚𝑖𝑛.

Hemos usado la biyectividad de la función 𝑦 = 𝑥3.

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Crecimiento de poblaciones Para una población dada la rapidez de crecimiento de la población es proporcional al número de habitantes presentes en cada instante de tiempo t.Sean N(t), 𝑁0 los habitantes presentes en cada instante de tiempo y en t=0 respectivamente. La EDO que modela nuestro problema viene dada

por 𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑘𝑁, siendo k una constante de

proporcionalidad.

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Se observa que debido a que N(t) es una función creciente el signo de k es positivo. Resolvamos la EDO, que es de variables separables.

Tenemos 𝑑𝑁

𝑁= 𝑘𝑑𝑡. Integrando nos queda

𝑙𝑛𝑁 = 𝑘𝑡 + 𝐶1, de donde la SG viene dada por 𝑁 𝑡 = 𝐶𝑒𝑘𝑡 𝐶 = 𝑒𝐶1 . Pero usamos la condición inicial T(0)=𝑇0.Se obtiene que C=𝑇0 y la SP se escribe𝑁 𝑡 = 𝑇0𝑒

𝑘𝑡.Ejemplo Asumiendo que la población de una ciudad se incrementa a una velocidad proporcional al número de habitantes presentes,

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si la población se duplica en 40 años, ¿en cuánto tiempo se triplica?Partiendo de nuestra solución particular tenemos que 2𝑁0 = 𝑁0𝑒

40𝑘. De aquí tenemos que

𝑘 =1

40𝑙𝑛2. Sustituyendo este valor de k en

nuestra SP nos queda

𝑁 𝑡 = 𝑁0𝑒𝑡

40𝑙𝑛2 = 𝑁02

𝑡

40.Así, la población se triplica si ocurre

3𝑁0 = 𝑁02𝑡

40 ⇒ 𝑡 = 40𝑙𝑛3

𝑙𝑛2≈ 63.4 años.

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Desintegración se sustancias radiactivas La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia presente.Sean 𝑚 𝑡 ,𝑚0 las cantidades se sustancia (sin desintegrar) en los instantes t y t=0 respectivamente.

La EDO viene dada por 𝑑𝑚

𝑑𝑡= 𝑘𝑚.

Separando variables e integrando nos queda la SG 𝑚 𝑡 = 𝐶𝑒𝑘𝑡. Usando que 𝑚 0 = 𝑚0 llegamos a la SP𝑚 𝑡 = 𝑚0𝑒

𝑘𝑡.

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Ejemplo El uranio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente en cada instante. Si en los instantes 𝑇1,𝑇2 hay 𝑀1,𝑀2

gramos de uranio respectivamente demostrar que la vida media del uranio viene dada por(𝑇2−𝑇1)

ln(𝑀1𝑀2

)𝑙𝑛2.

La vida media del uranio viene dada por el tiempo que tarda el promedio del uranio (𝑡𝑣𝑚), en este

caso 𝑚0

2, en desintegrarse (quedando la otra mitad

sin desintegrarse).Sabemos que la SP es 𝑚 𝑡 = 𝑚0𝑒

𝑘𝑡.

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Los datos indican que 𝑀1 = 𝑚0 𝑒𝑘𝑇1,

𝑀2 = 𝑚0 𝑒𝑘𝑇2 . Dividiendo ambas ecuaciones nos

queda 𝑀1

𝑀2= 𝑒𝑘(𝑇1−𝑇2). Se sigue que

𝑙𝑛𝑀1

𝑀2= 𝑘(𝑇1 − 𝑇2). Despejando k tenemos

𝑘 =ln(

𝑀1𝑀2

)

(𝑇1−𝑇2). Sustituyendo este valor de k (y

usando la vida media) en la SP se llega a

𝑚0

2= 𝑚0(

𝑀1

𝑀2)

𝑡𝑣𝑚(𝑇1−𝑇2).

Así, el tiempo de vida media viene dado por

𝑡𝑣𝑚 =𝑇1−𝑇2 ln(

1

2)

ln(𝑀1𝑀2

)=

𝑇1−𝑇2 ln 2

ln(𝑀2𝑀1

)=

𝑇2−𝑇1 ln 2

ln(𝑀1𝑀2

).

GRACIAS

Datos Unidad