Dr. Roque Sánchez

1

MÉTODOS NUMÉRICOS

La solución analítica de la ecuación de

movimiento de un SDF no es posible si la

carga o la aceleración en la base impuesta

varía arbitrariamente, como en el caso de una

señal sísmica.

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( )mu cu fs p t+ + =&& &

MÉTODOS NUMÉRICOS

En este caso, se emplean métodos numéricos

para la integración de la ecuación diferencial

de movimiento.

Existen diversos métodos para este fin. En esta

presentación se mostrará el método de paso a

paso en el tiempo.

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2

MÉTODOS NUMÉRICOS

Procedimiento general:Procedimiento general:Procedimiento general:Procedimiento general:

Se estudia un intervalo de tiempo ∆t. En este

intervalo se desea obtener el desplazamiento,

velocidad y aceleración del paso ti+1

conocidos estos mismo parámetros en el

tiempo ti

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MÉTODOS NUMÉRICOS

Obviamente, al principio y fin de cada intervalo,

se cumple:

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i i i i it mu cu fs p⇒ + + =&& &

1 1 1 1 1i i i i it mu cu fs p+ + + + +⇒ + + =&& &

para:

para:

1 1

i i

i i

fs ku

fs ku+ +

=

=

donde:

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3

MÉTODOS NUMÉRICOS

1. Método basado en la interpolación de la 1. Método basado en la interpolación de la 1. Método basado en la interpolación de la 1. Método basado en la interpolación de la

excitaciónexcitaciónexcitaciónexcitación

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( ) ii

i

pp p

tτ τ

∆= +

∆

1i i ip p p+∆ = −

0i

tτ≤ ≤ ∆

1i i it t t+∆ = −

i i

i i

mu cu ku p

p cu kuu

m

+ + =

− −⇒ =

&& &

&&&

MÉTODOS NUMÉRICOSDr. Roque Sánchez M.Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Civil

1 1

1 1

i i i i i

i i i i i

u Au Bu Cp Dp

u A u B u C p D p

+ +

+ +

= + + +

′ ′ ′ ′= + + +

&

& &

Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:

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4

MÉTODOS NUMÉRICOS

2. Método de la diferencia central2. Método de la diferencia central2. Método de la diferencia central2. Método de la diferencia central

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( )1 1 1 1

2

2

2

i i i i ii i

u u u u uu u

tt

+ − + −− + −= =

∆∆&& &

i imu cu ku p+ + =&& &

( ) ( ) ( )1 12 2 2

2

2 2i i i i

m c m c mu p u k u

t tt t t+ −

+ = − − − −

∆ ∆∆ ∆ ∆

conocidos

ˆi

pk̂

1

n

t

T π

∆≤

ojo:

MÉTODOS NUMÉRICOSDr. Roque Sánchez M.Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Civil

Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:

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5

MÉTODOS NUMÉRICOS

3. Método de Newmark3. Método de Newmark3. Método de Newmark3. Método de Newmark

La solución se basa en las expresiones:

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( ) ( )

( ) ( )( ) [ ]( )

1 1

2 2

1 1

1

0.5

i i i i

i i i i i

u u t u t u

u u t u t u t u

γ γ

β β

+ +

+ +

= + − ∆ + ∆

= + ∆ + − ∆ + ∆

& & && &&

& && &&

a.Método de aceleración promedio

b.Método de aceleración lineal

1 1,

2 4γ β= =

1 1,

2 6γ β= =

MÉTODOS NUMÉRICOSDr. Roque Sánchez M.Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Civil

Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:

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MÉTODOS NUMÉRICOS

Estabilidad:

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a.Método de aceleración promedio

b.Método de aceleración lineal

1 1

2 2n

t

T π γ β

∆≤

−

n

t

T

∆≤ ∞

0.551n

t

T

∆≤