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Estadística Descriptiva y Probabilidades

Profesor:

Ing. Ricardo Rosas Roque

Objetivos

• Definir los conceptos básicos de probabilidad,como espacio muestral, evento, axiomas deprobabilidad y probabilidad condicional.

• Calcular probabilidad utilizando el enfoqueclásico.

• Identificar eventos en los que se involucren:y, o

• Calcular la probabilidad de los eventosdescritos.

• Ejercicios

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Problemas de Ingeniería

• Cuál es la probabilidad que este mecanismofuncione más de 100 horas?

• ¿Cuál es la probabilidad que las ventasdisminuyan si se aumentan los precios?

• ¿Qué tan factible es que un nuevo método deensamblado aumente la productividad?

• ¿Qué tan probable es que el proyecto secomplete a tiempo?

• En la mayoría de los problemas hay que tomardecisiones con base a experimentos.

• Se vive en un mundo que es incapaz de predecirel futuro con total certidumbre.

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Experimento

• Un experimento es un procedimientomediante el cual se trata de comprobar(confirmar o verificar) una o variashipótesis relacionadas con un determinadofenómeno, mediante la manipulación de la/svariables que presumiblemente son sucausa.

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Experimento:

• Determinístico: los resultados del experimentoestán completamente determinados y puededescribirse por una fórmula matemática.

Ejemplo: F = m . a

• No Determinístico: los resultados delexperimento no puede predecirse conexactitud antes de realizar el experimento.Ejemplo: lanzar un dado y observar número queaparece.

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Experimento aleatorio

• Cada experimento puede repetirseindefinidamente sin cambiar lascondiciones.

• Cada experimento es no determinístico.

• Cada experimento tiene varios resultadosposibles que pueden describirse deantemano con precisión.

Espacio muestral

• Espacio muestral es el conjunto formadopor todos los resultados de un experimentoo fenómeno aleatorio. Se denota con laletra E

Ejemplo, definir el espacio muestral asociado:

a) al lanzamiento de uno y dos dados

b) la suma de los puntos al lanzar dos dados

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Ejercicios: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios.

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar tres dados y anotar la suma de lospuntos obtenidos.

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Ejercicios. Hallar el espacio muestral:

1. Se lanzan dos dados simultáneamente y seobservan las caras superiores.

2. Se lanzan una moneda y un dadosimultáneamente y se observan las carassuperiores.

3. Se lanza una moneda tres veces.

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Espacio muestral discreto finito

• Si tiene un número finito de elementos.

Ejemplo. Un lote compuesto de n artículosprovenientes de una línea de produccióncontiene m artículos defectuosos (m ≤ n). Losartículos son extraídos uno por uno (sinreemplazo) hasta que el último artículodefectuoso sea extraído.

Ω = m, m + 1, m + 2, m + 3 …….., n

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• Cuando puede establecerse unacorrespondencia uno a uno con el conjuntode los enteros positivos de modo que puedaser enumerado como 1, 2, 3 ….

Ejemplo: lanzar una moneda hasta que ocurracara.

Ω = c, sc, ssc, sssc, ssssc, ……..

Espacio muestral discreto infinito

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Espacio muestral continuo

• Si tiene un número no numerable deelementos. Es decir, cuyos elementos sontodos los puntos de algún intervalo.

Ejemplo:

1. Elegir un punto del intervalo [ 0, 1]

2. En un laboratorio químico, el volumenproducido por día para un producto particularvaría entre un valor mínimo a y un valormáximo b, los cuales corresponden a lacapacidad. Se escoge un día al azar y seobserva la cantidad producida.

Ω = x Є R / a ≤ x ≤ b

Evento:

• Es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E . Para designar cualquier evento, se utiliza letras mayúsculas.

• Al conjunto de todos los eventos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de eventos y se designa por S .

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Ejemplo: lanzar dos dados. Determinar los eventos:

a) Salir múltiplo de 5.

b) Salir número primo.

c) Salir mayor o igual que 10

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• Evento: Cualquier subconjunto del espaciomuestral y se denota por A, B, C, D etc.

• Suceso: todo elemento de un espacio muestral.Se designa por x, y, etc.

Ejemplo 1: Lanzar un dado:A: “ocurre un número par” A = 2, 4, 6

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Ejercicio:

• En el experimento aleatorio lanzar cuatro monedas simultáneamente. Definir los eventos siguientes:

1. A1: “Todas las monedas muestran el mismo lado”

2. A2: “Ocurren por lo menos dos caras”

3. A3: “Ocurre sello en el tercer lanzamiento”

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Operaciones con eventos

• Unión de eventos (A U B): evento formado por lossucesos que pertenecen a A ó a B ó a ambos.

A U B = x Є Ω / x Є A v x Є B

Considerar el experimento, lanzar una moneda hastaque ocurra cara y contar el número delanzamientos de la moneda.

A: “Se necesita un número par de lanzamientos”

B: “se necesita más de 10 lanzamientos”.

A = 2, 4, ,6, 8, 10….

B = 11, 12, 13, 14,….

A U B = 2, 4, ,6, 8, 10, 11, 12, 13, 14….

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• Intersección (A ∩ B): evento formado por todos los sucesos favorables a A y a B

A ∩ B = x Є Ω / x Є A λ x Є B

A: “Se necesita un número par de lanzamientos”

B: “se necesita a lo más de 10 lanzamientos”.

A ∩ B = 2, 4, 6, 8, 10

Operaciones con eventos

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• Diferencia: evento formado por los sucesos favorables a A que no son favorables a B.

A - B = x Є Ω / x Є A λ x Є B

A = 2, 3, 4, 6, 8, 10 B = 1, 3, 6, 7, 9, 11,

A – B 2, 4, 8, 10

Operaciones con eventos

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• Complemento: evento formado por todos los sucesos que no pertenecen a A.

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

A = 2, 4, 6, 8

A´= 1, 3, 5, 7

Operaciones con eventos

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Eventos mutuamente excluyentes

• Dos eventos A y B definidos en el mismoespacio muestral se dice que son ME si nopueden ocurrir juntos. Es decir laocurrencia de uno excluye la ocurrencia delotro.

A ∩ B = ØSe lanza un dado dos veces:A: “la suma de los puntos obtenidos es 7”B: “en los dos dados se obtiene el mismo

número”

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Eventos colectivamente exhaustivos

• Se dice que una colección de n eventos A1, A2, …An, definidos sobre el mismo espacio muestral son CE si la unión es igual al espacio muestral.

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Técnicas de conteo.

• Principio de multiplicaciónSi un experimento aleatorio E1 ocurre de n1

formas y si para cada una de estas, un experimento E2 ocurre de n2 formas, entonces los dos experimentos juntos ocurren de n1 . n2 formas

Ejemplo 1. Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado simultáneamente”.

n1 = 2; n2 = 6

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Ejemplo 2: Una persona puede viajar de una ciudad A a otra ciudad B de 5 formas y de B a C de 6 formas. De cuántas formas puede ir de A a C pasando por B.

Generalizando:

n1 . n2 . nk formas diferentes.

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Ejercicio:

Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez?

Unidades = 3 casos

Decenas = 6 elecciones posibles

Centenas = 5

90 números pares posibles.

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Principio de Adición

• Si un experimento E1 puede ocurrir de n1

formas y un segundo experimento E2 puedeocurrir de n2 formas, entonces elexperimento E, que consiste en realizar E1

o E2 ocurre de n1 + n2 formas, siempre quelos espacios muestrales Ω1 y Ω2 asociadosa E1 y E2 respectivamente sean disjuntos.

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Ejemplo

• Considerar el experimento de lanzar unamoneda o un dado ¿De cuántas formasocurre?

E1: lanzar una moneda n1 = 2

E2: lanzar un dado n2 = 6

Luego el experimento de “lanzar una moneda oun dado”, ocurre de:

n = n1 + n2 formas.

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Permutación

• Es un arreglo de todos o parte de unconjunto de objetos.

Ejemplo: se tiene un conjunto de tres objetosA = a, b, c y se esta interesado en elnúmero de arreglos (posibles permutaciones)con los elementos del conjunto A.

6 permutaciones posibles.El orden de los elementos es importante

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• El número de permutaciones de n objetos diferentes es:

Pnn = n P n = n!

Ejemplo: un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuando inspeccionará, varía le orden de las visitas. De cuántas maneras puede hacerlo?

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

= 720 formas

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Ejercicios:

• En una competencia automovilísticaintervienen 40 participantes. ¿De cuántasformas distintas se pueden adjudicar loslugares de largada a los 40 competidores?

• ¿De cuántas maneras se pueden colocar 10niñas en una fila, de manera que dos deellas, en particular, no queden juntas?

• De cuántas maneras se pueden colocar 12niños en una fila de manera que cuatroniños, en particular queden juntos?.

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El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r es:

• Pnr = n P r = n! / (n – r)!

Ejemplo: Un grupo esta formado por 5 personas y desean formar una comisión integrada por presidente y secretario. ¿De cuántas maneras puede nombrarse esta comisión?

Cargo de presidente: 5 maneras diferentesSecretario: 4 maneras diferentes.Elección se puede hacer de 5 x 4 = 20 tomada

2 a 2

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Ejercicio

• Se va a colorear un mapa de cuatro países, con colores diferentes para cada país. Si hay disponibles 6 colores diferentes. De cuántas maneras puede colorear el mapa?

6 P 4 = 6! / (6 – 4)!

= 360 maneras

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Ejercicio:

• Encontrar el número total de enteros positivos que pueden formarse utilizando los dígitos (1, 2, 3, 4), si ningún dígito ha de repetirse cuando se forma un número.

4P1 + 4P2 + 4P3 + 4P4 =

64 números diferentes

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Permutación con repetición

• El número de permutaciones distintas de n objetos de los cuales n1 son de una clase, n2de una segunda clase,………..k de una k-ésimo clase, está dado como:

n! / (n1! n2! …nk!)Ejemplo: un estante de una librería tiene

capacidad para 5 libros de Matemáticas que tiene pasta verde, 3 de Física de pasta roja y 2 de Química de pasta azul. De cuántas maneras pueden colocarse los libros según los colores?

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Combinación

• Un subconjunto de r elementos de un conjunto que tiene n elementos diferentes, se llama una combinación de los n elementos tomados r a r.

Se denota C (n, r)

C = n! / r! (n – r)!

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Ejercicio

• Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. De cuántas maneras se puede hacer esto?

n = 52 r = 2

C = 52! / 2! . 50!

= 1326

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Ejercicio

• Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen:

a) De cuántas maneras puede escoger las preguntas?

b) Si las tres primeras son obligatorias, de cuántas maneras puede escoger las preguntas?

c) Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras. De cuántas formas puede hacerlo?

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Ejercicio

El asta de bandera de un barco tiene tres posiciones en las que puede colocarse una bandera. Suponiendo que el barco lleva cuatro banderas (diferentes) para hacer señales.

a) Cuántas señales diferentes pueden hacerse con una bandera?

b) Cuántas señales diferentes pueden hacerse con dos banderas?

c) Cuántas señales diferentes pueden hacerse con las banderas?

Probabilidad:

• Se define la probabilidad como el número de casos favorables dividido por el número de casos posibles.

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Probabilidad – Clasificación

Probabilidad Clásica (Método teórico):

Probabilidad de un Evento =

0

Pro

N deresultados posibles que se presentael eventoobabilidad de un evento

N total deresultados posibles

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Probabilidad

La probabilidad esta comprendida entre 0 y 1(ambos inclusive) 0 p 1

Probabilidades próximas a 0.5, indican que estan factible que el suceso se produzcan comoque no.

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( )A B A B A B

Probabilidad - Conceptos

Evento (no E):

1A A

Ley general de adición:

Leyes de Morgan:Hay ciertas propiedades querelacionan la unión,intersección y sucesocontrario:

A B A B

A B A B

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Reglas de Probabilidad

Ley general de adición para eventos no excluyentes:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

Ejemplo:

Si se toma una sola carta de una baraja, encuentre la probabilidad de que sea roja o figura.

A: evento de carta roja B: evento de figura

P(A) = 26/52 P(B) = 12/52 P(A B) = 6/52

26 12 6 32 8( ) 0.615 61.5%

52 52 52 52 13P A B

Propiedades: axiomas de Kolmogorov

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Si A y B son eventos mutuamente excluyentes

Otras propiedades:

• Si A y B son dos eventos cualesquiera

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