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Tutorial de Integrales
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Universidad Politécnica de Madrid–Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Matemáticas de EspecialidadIngeniería Eléctrica
Integración deEcuaciones Diferenciales Ordinarias
ODE
José Luis de la Fuente O’[email protected]@upm.es
Clase_integración ODE_2014.pdf
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Índice
� Introducción
� Integración numérica de EDOs (ODEs)
�Método de Euler�Mejoras en el método de Euler�Método de Taylor�Métodos de Runge-Kutta�Métodos implícitos y problemas stiff
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Introducción4 Una ecuación diferencial se define en la forma explícita
dy
dtD y0 D f .t; y/; siendo y.0/ D y0:
4 El orden de una ecuación diferencial es el de su máxima derivada.
4 Las ecuaciones diferenciales relacionan las variables de un problema a escaladiferencial, por lo que son independientes de las condiciones de contorno(geometría, condiciones iniciales; : : :)
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4 Son el denominador común de una amplia familia de problemas de ingeniería enlos que se estudia cómo y por qué varia el comportamiento de sistemas físicos,económicos, sociales, etc.
4 Para resolver un problema concreto es necesario definir las condiciones decontorno y proceder a la integración de la ecuación diferencial.
4 Por ejemplo, la ecuación logística, o función logística,
y 0 D cy.1 � y/
modeliza el crecimiento del tamaño de una población, que es proporcional altamaño actual, y, y a la capacidad remanente (función de los recursosdisponibles).
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4 Esta ecuación diferencial en típica en el sentido de que tiene infinitas soluciones.Si se le especifica una condición de partida, inmediatamente se identifica quésolución de esas infinitas se tiene.
4 Un problema de valor inicial es el que define la ecuación diferencial y unacondición, o valor inicial, en un intervalo a � t � b:8<
:y 0 D f .t; y/
y.a/ D yat 2 Œa; b�:
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4 Resulta útil pensar en una ecuación diferencial dentro de un campo de fuerzas ode pendientes (como el de la figura, referida a la ecuación logística).
y
y´ = 5*y*(1-y)
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
t
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
y
y´ = 5*y*(1-y)
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
t
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
4 En el lado derecho se han dibujado, en el mismo campo de fuerzas, las dossoluciones que corresponden a y.0/ D 0;2 y y.0/ D 1;26.
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4 Tipos de ecuaciones diferenciales:
Ecuaciones diferenciales ordinarias De primer orden: una variabledependiente y una variable independiente. Problemas de valor inicial yproblemas de contorno.
Sistemas de ecuaciones diferenciales N variables dependientesrelacionadas por N ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones en derivadas parciales Una variable dependiente y variasvariables independientes. Problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos.
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Integración numérica de EDOs(ODEs)4 Sólo algunas ecuaciones diferenciales pueden ser integradas analíticamente.
4 La integración numérica permite resolver con precisión y rapidez un grannúmero de problemas prácticos.
4 La integración numérica no obtiene una función analítica y.t/ que satisface laecuación diferencial anterior, sino un conjunto de valores discretos yk que secorresponden con valores discretos, tk, de la variable independiente t .
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4 Si se desean resultados para otros valores de t se pueden utilizar los métodos deinterpolación vistos previamente.
4 Conocida la función yi en el instante ti los integradores numéricos calculan elvalor yiC1 en tiC1 D ti C h mediante una expresión del tipo
yiC1 D yi C h�;
donde � es un término que incorpora información de la derivada y 0.
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4 Los métodos que veremos se clasifican en:
De paso simple y paso múltiple Los de paso simple calculan la soluciónyiC1 en el instante tiC1 a partir del valor de la función yi en el instante ti .Por ejemplo, en el método de Euler
yiC1 D yi C f .ti ; yi/h:
� Los métodos de paso múltiple (de n pasos) calculan la solución yiC1 en tiC1a partir del valor de la función y en los instantes ti , ti�1; : : : ; ti�nC1. Porejemplo, en el método de Heun
yiC1 D yi Ch
2
�f .ti ; yi/C f
�tiC1; yi C hf .ti ; yi/
��:
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Métodos explícitos e implícitos Los métodos explícitos permiten hallaryiC1 directamente sin tener que resolver un sistema de ecuaciones nolineales. Por ejemplo, Runge-Kutta de orden dos
yiC1 D yi C .a1k1 C a2k2/ h;
dondek1 D f .ti ; yi/
k2 D f .ti C p1h; yi C q11k1h/:
� Los métodos implícitos necesitan resolver un sistema de ecuaciones nolineales pues yiC1 aparece a ambos lados de la ecuación; por ejemplo, laregla trapezoidal
yiC1 D yi C1
2
�f .ti ; yi/C f .tiC1; yiC1/
�h:
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Método de Euler
4 Formulado por Leonhard Euler, Basilea 1707–San Petersburgo 1783.
4 La geometría de los gráficos de los campos de fuerzas o pendientes sugiere“resolver” una ecuación diferencial “siguiendo” las flechas, partiendo de un puntoinicial.
4 Desde el punto de arranque hay que moverse una pequeña distancia, llegándosea un nuevo punto .t1; y1/ en el que se revalúa la pendiente, luego hay quemoverse con esa nueva pendiente otro poco, etc.
4 Esta aproximación será buena en tanto y cuanto la pendiente no cambiesúbitamente.
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4 Si por ejemplo se trata de resolver8<:y 0 D ty C t3
y.0/ D y0t 2 Œ0; 1�;
en la figura se ve el campo de “fuerzas” de este problema y la solución exactapartiendo de y.0/ D 1.
y
y´ = t*y+t³
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
t
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
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4 La relación general de recurrencia del método de Euler la define
yiC1 D yi C f .ti ; yi/h
en la que f .ti ; yi/ es la pendiente en cada punto –su derivada– y h el paso quese da con esa inclinación.
4 Si usamos Euler en el ejemplo, con h D 0;1, resulta la línea en rojo.
y
y´ = t*y+t³
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
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t0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
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4 La interpretación geométrica de lo que sucede es esta:
ETSII-UPM
Método de Euler Es el método de integración numérica más sencillo. Se utiliza la derivada en el punto (ti, yi) para avanzar un paso:
Es muy fácil de aplicar aunque no muy preciso, pues la derivada en (ti, yi) no es suficientemente representativa del paso h.
Interpretación geométrica:
ti ti+1
hyi
yi+1= yi+f(ti ,yi)h
valor exacto
valor aproximadoerror
4 Se producen errores de truncamiento en cada punto, por retener sólo dostérminos en el desarrollo de Taylor, y en el total, así como de redondeo en loscálculos del proceso. El global es O.h/.
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4 Si ensayamos todo esto con este script de Matlab.
% Script del método de Euler con Matlab, Euler_2_S.m% y’(t)=t*y+t^3; solución analítica exacta y(t)=3*exp^(t^2/2)-t^2-2
h = 0.1; h1 = 0.01 % Pasos de integración h=0,1 y h=0,01t = 0:h:1; t1 = 0:h1:1;yx(1)=1.0; yx1(1)=1.0 % Punto de partida
for i=1:length(t)-1 % Bucle del proceso de integraciónk1 = t(i)*yx(i)+t(i)^3;yx(i+1) = yx(i)+h*k1; % Nuevo punto: valor de y
endfor i=1:length(t1)-1 % Bucle del proceso de integración
k11 = t1(i)*yx1(i)+t1(i)^3;yx1(i+1) = yx1(i)+h1*k11; % Nuevo punto: valor de y
end
y=3*exp(t.^2/2)-t.^2-2; % Solución exacta
% Gráficos
plot(t,yx,’b--’,t,y,’r-’,t1,yx1,’k--’);legend(’Aproximación h=0,1’,’Exacto y’,’aproximación h=0,01’);title(’Paso de Euler, h=0,1 y h=0,01’);xlabel(’t’);ylabel(’y*(t), y(t)’); axis([0 1 0.95 2]);
% Tabla
for i=1:length(t)disp(sprintf(’t=%5.3f, y(t)=%6.4f, y*(t)=%6.4f’,t(i),y(i),yx(i)));
end
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4 Con pasos h D 0;1 y h D 0;01 se obtiene lo que sigue.
>> Euler_2_St=0.000, y(t)=1.0000, y*(t)=1.0000t=0.100, y(t)=1.0050, y*(t)=1.0000t=0.200, y(t)=1.0206, y*(t)=1.0101t=0.300, y(t)=1.0481, y*(t)=1.0311t=0.400, y(t)=1.0899, y*(t)=1.0647t=0.500, y(t)=1.1494, y*(t)=1.1137t=0.600, y(t)=1.2317, y*(t)=1.1819t=0.700, y(t)=1.3429, y*(t)=1.2744t=0.800, y(t)=1.4914, y*(t)=1.3979t=0.900, y(t)=1.6879, y*(t)=1.5610t=1.000, y(t)=1.9462, y*(t)=1.7744>>
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
t
y*(t
), y
(t)
Paso de Euler, h=0,1 y h=0,01
Aproximación h=0,1Exacto yaproximación h=0,01
4 Con el paso de integración h D 0;1 los errores son apreciables.
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Mejoras del método de EulerMétodo de Heun
4 Formulado por Karl Heun, Alemania (Wiesbaden 1859–Karlsruhe 1929).Su idea fue utilizar en .ti ; yi/ un valor promedio de la derivada en ese punto yen .tiC1; yiC1/.
4 Como no se conoce el valor yiC1, se calcula con el método de Euler,y�iC1 D yi C hf .ti ; yi/.
4 El nuevo valor de yiC1 será
yiC1 D yi Ch
2
�f .ti ; yi/C f .tiC1; y
�
iC1/�:
4 El método se conoce como predictor-corrector. El error es O.h3/.
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4 Una variante de este mismo método, denominada método del trapezoide,consiste en hacer iterar el yiC1, en cada nuevo paso, de acuerdo con la fórmula
yjiC1 D yi C
h
2
�f .ti ; yi/C f
�tiC1; y
j�1iC1
��hasta que se cumpla una tolerancia de
ˇyjiC1 � y
j�1iC1
ˇ.
Ejemplo
4 Integremos la ecuación y 0 D 4e0;8t � 0;5y en el intervalo t D Œ0; 4� de talforma que en t D 0, y D 2. El paso ha de ser h D 1. Lo haremos con elmétodo de Euler y con el de Heun, sin y con iteración (trapezoide).
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4 Utilizaremos esta function de Matlab.
function [t,yx,y,y_h,y_hi] = Heun_4(dydt,tspan,y0,h,es,maxit)% Método de Heun para integrar una ODE% dydt: función que evalúa la ODE; tspan: intervalos de cálculo% y0: punto de partida; h: paso; es: tolerancia de iteración corrector% maxit: máximo de iteraciones; yx: valor exacto; y: valor con Euler% y_h: valor con Heun sin itera.; y_hi: con iteración
if nargin<6, maxit = 50; end; if nargin<5, es = 0.0001; endti = tspan(1); tf = tspan(2); t = (ti:h:tf)’; n = length(t);if t(n)<tf, t(n+1)=tf; n=n+1; end % Por si acaso, un intervalo más en ty = y0*ones(n,1); y_h = y; y_hi = y; % Inicializar valoresyx = 4/1.3*(exp(0.8*t)-exp(-0.5*t))+2*exp(-0.5*t); % Valor exacto
for i = 1:n-1hh = t(i+1) - t(i); iter = 0;k1 = dydt(t(i),y(i)); k2 = dydt(t(i),y_h(i)); k3 = dydt(t(i),y_hi(i)); % Derivadasy(i+1) = y(i) + k1*hh; % Eulery_h(i+1) = y_h(i) + hh/2*(k2+dydt(t(i+1),y_h(i)+hh*k2)); % Heun sin iteracióny_hi(i+1) = y_hi(i)+ k3*hh;while 1
yold= y_hi(i+1); k2 = dydt(t(i+1),y_hi(i+1));y_hi(i+1) = y_hi(i) + (k3+k2)*hh/2; % Heun con iteracióniter = iter + 1;if y_hi(i+1)~=0, ea = abs((y_hi(i+1)-yold)/y_hi(i+1))*100; endif ea<=es || iter>=maxit, break, end
endend
plot(t,yx,’b--’,t,y,’r-’,t,y_h,’k--’,t,y_hi,’:’); xlabel(’t’); ylabel(’y’);title(’Solución de y’’=4e^{(0.8t)}-0.5y’); grid onlegend(’Exacto’,’Euler’,’Heun’,’Heun con it.’,’Location’,’NorthWest’);
function dp = dpdt_Heun_c(t, p)dp = 4*exp(0.8*t)-0.5*p;
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4 El resultado es este.
>> [t,yx,y,y_h,y_hi]=Heun_4(@dpdt_Heun_c,[0 4],2,1);>> [t,yx,y,y_h,y_hi]ans =
0 2.0000 2.0000 2.0000 2.00001.0000 6.1946 5.0000 6.7011 6.36092.0000 14.8439 11.4022 16.3198 15.30223.0000 33.6772 25.5132 37.1992 34.74334.0000 75.3390 56.8493 83.3378 77.7351
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t
y
Solución de y'=4e(0.8t)-0.5y
ExactoEulerHeunHeun con it.
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Método del punto medio
4 En vez de utilizar el promedio de las derivadas en los puntos .ti ; yi/ y.tiC1; yiC1/, se utiliza una aproximación de la derivada en el punto medio:
yiC1=2 D yi Ch
2f .ti ; yi/; y 0
iC12D f
�ti C
h
2; yiC1=2
�;
por lo queyiC1 D yi C hf
�tiC1=2; yiC1=2
�:
4 Este procedimiento se conoce también como Euler corregido. Está relacionadocon el método de integración de Newton-Cotes.
4 El error que produce es O.h2/.
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Método de Taylor
4 Formulado por Brook Taylor, Edmonton, Inglaterra, 1685–Londres, 1731.
4 Si se desarrolla en serie de Taylor y.t/ en el punto ti , suponiendo que y.t/ tienederivadas continuas hasta orden nC 1, se tiene que
y.tiC1/ D y.ti/C hy0.ti/C
h2
2Šy 00.ti/C
h3
3Šy 000.ti/C � � � C
hn
nŠy.n/.ti/CO.hnC1/:
4 Si f es derivable,
y 0 D f .t; y/
y 00 D f 0 D ft C fy � y0 D ft C fy � f
y 000 D f 00 D ft t C 2fty � f C fyy � f2 C ft � fy C f
2y � f
:::
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4 Sustituyendo estas expresiones en el desarrollo en serie se obtiene el método deTaylor del orden de precisión que se desee.
4 Su gran inconveniente es que las derivadas de orden superior a uno –en estecaso sería el método de Euler– pueden ser muy complicadas de calcular.
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Métodos de Runge-Kutta
4 Son una familia de métodos desarrollados a partir del trabajo de los alemanesCarl David Tolmé Runge (1856-1927) y Martin Wilhelm Kutta (1867-1944).
4 Consiguen la precisión del método de Taylor sin necesidad de calcular derivadasde orden elevado.
4 El avance se realiza mediante una expresión general
yiC1 D yi C h�; con � D a1k1 C a2k2 C � � � C ankn;
y donde los coeficientes ai son unos pesos de aproximaciones ki de las distintasderivadas por medio de la función f .t; y/ evaluada en distintos puntos.
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4 Los valores de las ki se obtienen mediante las fórmulas
k1Df .ti ; yi/
k2Df�tiCp1h; yiCq11k1h
�k3Df
�tiCp2h; yiCq21k1hCq22k2h
�:::
knDf�tiCpnh; yiCqn�1;1k1hCqn�1;2k2hC� � � C qn�1;n�1kn�1h
�:
4 Cada valor de ki depende de los ks ya calculados, por lo que la evaluación deestas fórmulas es sencilla si se conocen los coeficientes.
4 Los ps y qs son coeficientes numéricos que se calculan imponiendo la condiciónde que el error sea del mismo orden que en el método de Taylor de orden similar.
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Deducción de las fórmulas de Runge-Kutta de orden 2
4 SonyiC1DyiC
�a1k1Ca2k2
�h;
dondek1Df .ti ; yi/ � fik2Df .tiCp1h; yiCq11k1h/:
4 El método de Taylor, reteniendo términos hasta orden dos, establece que
yiC1 D yi C hy0.ti/C
h2
2Šy 00.ti/ D yi C hfi C
h2
2
�ft i C fyi � fi
�:
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4 Desarrollando en serie las fórmulas de Runge-Kutta se tiene que
yiC1DyiC.a1k1Ca2k2/h D yiC�a1f .ti ; yi/Ca2f .tiCp1h; yiCq11k1h/
�h
DyiCa1fihC a2�fiCft ip1hCfyifiq11k1h
�h:
4 Comparando las dos expresiones se llega a estas tres ecuaciones con cuatroincógnitas:
a1 C a2 D 1; a2p1 D1
2y a2q11 D
1
2:
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4 Dando valores a a2 se obtienen distintas fórmulas de Runge-Kutta de orden 2(con error local de truncamiento O.h3/).
1.- a2 D 12�! p1Dq11D1: Método de Heun
yiC1Dy1 Ch2
�k1 C k2
�k1 Df .ti ; yi/
k2 Df .ti C h; yi C k1h/:
2.- a2 D 1 �! p1Dq11D1=2: Método del Punto Medio
yiC1Dy1 C k2h
k1 Df .ti ; yi/
k2 Df .ti C h=2; yi C k1h=2/:
3.- a2 D 2=3 �! p1Dq11D3=4: Método de Ralston
yiC1Dy1 Ch2
�13k1 C
23k2�
k1 Df .ti ; yi/
k2 Df .ti C34h; yi C
34k1h/:
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Fórmulas de Runge-Kutta de orden superior a 2
4 Orden 3, con error O.h4/:
yiC1 D y1 Ch6
�k1 C 4k2 C k3
�k1 D f .ti ; yi/
k2 D f�ti C
12h; yi C
12hk1
�k3 D f .ti C h; yi � k1hC 2k2h/ :
4 Orden 4, con error O.h5/:
yiC1 D y1 Ch6
�k1 C 2k2 C 2k3 C k4
�k1 D f .ti ; yi/
k2 D f�ti C
12h; yi C
12hk1
�k3 D f
�ti C
12h; yi C
12hk2
�k4 D f .ti C h; yi C k3h/ :
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4 La interpretación geométrica de la fórmula de orden 4, la más utilizada yreferenciada, es la de la figura.
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Otras fórmulas de Runge-Kutta (1/2) Método de Runge-Kutta de orden 3 (error local O(h4))
Método de Runge-Kutta de orden 4 (clásico, error local O(h5)) Es probablemente el método de integración de EDOs más utilizado.
1 1 2 3
1
2 1
3 1 2
46
( , )1 1 ( , )2 2
( , 2 )
i i
i i
i i
i i
hy y k k k
k f t y
k f t h y k h
k f t h y k h k h
1 1 2 3 4
1
2 1
3 2
4 3
2 26
( , )1 1 ( , )2 21 1 ( , )2 2
( , )
i i
i i
i i
i i
i i
hy y k k k k
k f t y
k f t h y k h
k f t h y k h
k f t h y k h
k1
k2
k3
k4
yi+1
yi
Interpretación geométrica
4 Cada una de las ks representa una pendiente. El resultado es una mediaponderada de esas pendientes.
h i j
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1 2 3
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4 Orden 5, Butcher, con error O.h6/:
yiC1 D y1 Ch90.7k1 C 32k3 C 12k4 C 32k5 C 7k6/
k1 D f .ti ; yi/
k2 D f�ti C
14h; yi C
14hk1
�k3 D f
�ti C
14h; yi C
18hk1 C
18hk2
�k4 D f
�ti C
12h; yi �
12hk2 C hk3
�k5 D f
�ti C
34h; yi C
316hk1 C
916hk4
�k6 D f
�ti C h; yi �
37hk1 C
27hk2 C
127hk3 �
127hk4 C
87hk5
�:
4 Para aumentar en una unidad el orden del Runge-Kutta clásico de orden cuatrohacen falta dos evaluaciones de función adicionales.
4 En general no se suelen utilizar fórmulas de Runge-Kutta de orden muy elevadoporque el aumento de precisión no compensa el trabajo adicional.
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Ejemplo de recapitulación
4 Vamos a integrar la ODE y 0 D y�1t� 2t
�, empleando Euler, Heun,
Runge-Kutta y la rutina de Matlab ode45 –muy habitual para estosproblemas–, que usa Runge-Kutta con una precisión alta.
4 La condición de partida es que y 0 D 0, en t D 0.
4 La fórmula analítica de este problema no se conoce, por lo que se suple con laintegración numérica.
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4 Este es el programa que lleva a cabo este objetivo.function test_ode45_1(relerr,abserr)% Comparación de métodos explícitos para igual evaluaciones de fclear all, close all
ecdif=@ec04; % ecuación diferencial a integrar: en ec04.mtspan=[0,2]; y0=0; h=.25;
% Diversos métodos con mismas llamadas a f[T1,Y1]=eulere(ecdif,tspan,y0,h/4); % Euler[T2,Y2]=heun(ecdif,tspan,y0,h/2); % Heun[T3,Y3]=rk4(ecdif,tspan,y0,h); % Runge-Kutta orden 4options = odeset(’RelTol’,1.e-9,’AbsTol’,1.e-12);[T4,Y4]=ode45(ecdif,tspan,y0,options); % Exacto: R-K de Matlab
plot(T1,Y1,’:r’);axis([tspan(1), tspan(2), 0, .6]); % intervalos de ejesxlabel(’tiempo’); ylabel(’y’);hold on; gridplot(T2,Y2,’--g’); plot(T3,Y3,’-.b’); plot(T4,Y4,’-k’);
function yprima=ec04(t,y)% solución exacta desconocidaif t==0, yprima=1; else yprima=y*(-2*t+1/t); endend
function [T,Y]=eulere(f,tspan,y0,h) % Método de Eulern=fix((tspan(2)-tspan(1))/h+1);T=tspan(1)*zeros(n,1); Y=y0*zeros(n,length(y0));y=y0; t=tspan(1);for i=2:n
y1=y+h*f(t,y); t1=t+h; % Fórmula de EulerT(i,:)=t1; Y(i,:)=y1’; % tiempo valor de la funciónt=t1; y=y1; % se actualizan t e y
end, end
function [T,Y]=heun(f,tspan,y0,h) % Método de Heunn=(tspan(2)-tspan(1))/h+1;T=tspan(1)*zeros(n,1); Y=y0*zeros(n,length(y0));y=y0; t=tspan(1);for i=2:n
t1=t+h;yp=f(t,y); % predictor con Euler explícitoy1=y+h*yp;y1n=y+h*(yp+f(t1,y1))/2; % corrector con la regla trapezoidalT(i,:)=t1; Y(i,:)=y1n; % tiempo valor de la funciónt=t1; y=y1; % se actualizan t e y
end, end
function [T,Y]=rk4(f,tspan,y0,h) % Runge-Kutta orden 4n=fix((tspan(2)-tspan(1))/h+1);T=tspan(1)*zeros(n,1); Y=y0*zeros(n,length(y0));y=y0; t=tspan(1);for i=2:n
t1=t+h;k1=h*f(t,y); % cálculo de los coeficientes kk2=h*f(t+h/2,y+k1/2);k3=h*f(t+h/2,y+k2/2);k4=h*f(t+h,y+k3);y1=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;T(i,:)=t1; Y(i,:)=y1; % tiempo valor de la funciónt=t1; y=y1; % se actualizan t e y
end, endend
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4 Este es el resultado:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
tiempo
y
Solución de y'=y(1/t-2t)
EulerHeunrk4ode45
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Métodos Runge-Kutta de paso variable
4 Hasta ahora hemos supuesto que el paso h era fijo. En un intervalo deintegración Œ0; T �, sin embargo, puede haber subintervalos de mayor o menorvariación de la función y.t/ que conviene particularizar con detalle o integrarcon un paso mayor o más pequeño, según que la dificultad (o el error) seamenor o mayor.
4 Para cambiar el paso, con un coste razonable de tiempo de cálculo, es necesarioestimar la magnitud del error local de truncamiento, lo cual puede hacerse condos fórmulas de distinto orden o utilizando dos pasos diferentes: h y h=2,habitualmente.
4 Los métodos de Runge-Kutta de paso variable, también denominadosembebidos, o encajados, resuelven el problema dos veces usando los pasos h yh=2, y comparan los resultados
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Método Runge-Kutta-Fehlberg
4 Usa fórmulas Runge-Kutta de orden 4 y 5 respectivamente, concretamente,
k1Dhf .ti ; yi/
k2Dhf�ti C
14h; y1 C
14k1�
k3Dhf�ti C
38h; y1 C
332k1 C
932k2�
k4Dhf�ti C
1232h; y1 C
19322197
k1 �72002197
k2 C72962197
k3�
k5Dhf�ti C h; y1 C
439216k1 � 8k2 C
3680513k3 �
8454104
k4�
k6Dhf�ti C
12h; y1 �
827k1 C 2k2 �
35442565
k3 C18594104
k4 �1140k5�
yiC1Dyi C�25216k1 C
14082565
k3 C21974104
k4 �15k5�
ziC1Dyi C�16135k1 C
665612825
k3 C2856156430
k4 �950k5 C
255k6�:
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4 La estimación del error que se comete en el paso es
eiC1DjziC1 � yiC1jDhˇ1360k1 �
1284275
k3 �219775240
k4 C150k5 C
255k6ˇ.
4 Si se establece una tolerancia para el error, Tol , y un paso inicial h, se calculaninicialmente y1, z1 y e1. Si se cumple que
ei
jyi j< Tol;
en este caso para i D 1, el valor de z1 sustituye a y1 y se procede al siguientepaso. Si no se cumple con esa tolerancia, se ensaya con
h D 0;8
�Tol jyi j
ei
�15
hi
y se vuelven a calcular los parámetros del paso.
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4 La rutina de Matlab ode45 usa una variante de este método denominadaDormand-Prince cuyas fórmulas son
k1Dhf .ti ; yi/
k2Dhf�ti C
15h; y1 C
15k1�
k3Dhf�ti C
310h; y1 C
340k1 C
940k2�
k4Dhf�ti C
45h; y1 C
4445k1 �
5615k2 C
329k3�
k5Dhf�ti C
89h; y1 C
193726561
k1 �253602187
k2 C644486561
k3 �212729k4�
k6Dhf�ti C h; y1 C
90173168
k1 �35533k2 C
467325247
k3 C49176k4 �
510318656
k5�
ziC1Dyi C�35384k1 C
5001113
k3 C125192k4 �
21876784
k5 C1184k6�
k7Dhf .ti C h; ziC1/
yiC1Dyi C�517957600
k1 C757116695
k3 C393640k4 �
92097339200
k5 C1872100
k6 C14k7�:
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4 La estimación del error que se comete en el paso es
eiC1DjziC1 � yiC1jDhˇ71
57600k1 �
7116695
k3 C711920
k4 �17253339200
k5 C22525k6 �
140k7ˇ.
No es necesario calcular yiC1, sólo eiC1.
4 Si se cumplen las tolerancias, ziC1 será el nuevo punto y k1 será k7, por lo queno se desperdician cálculos.
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Métodos implícitos y problemas rígidos o stiff
4 Los métodos que hemos considerado hasta ahora son explícitos: una fórmuladetermina explícitamente una nueva aproximación yiC1 a partir de datos de h,ti y yi .
4 Hay un tipo de problemas, denominados stiff –rígidos–, para los que los métodosexplícitos evolucionan mal hacia la solución.
4 Los problemas stiff son aquellos que convergen relativamente rápido hacia unasolución estable, pero que tienen componentes transitorios importantes con undecaimiento mucho más rápido.
4 Suelen modelizar procesos físicos con varios componentes con escalas de tiempomuy dispares. El intervalo de tiempo con el que se les estudia puede ser buenopara uno de ellos pero no para todos.
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4 Estudiemos por ejemplo la ecuación diferencial
y 0 D �˛�y � t2
�C 2t; t > 0; y0 D y.0/;
cuya solución analítica es
y.t/ D y0e�˛tC t2:
4 Si ˛ es un número real grande, la solución varía rápidamente hasta que elcomponente exponencial se desvanece o amortigua.
4 A partir de entonces prevalece el componente polinómico de variación lenta.
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4 En la figura se observa lo apuntado. La línea continua azul es la solución de laecuación, la discontinua verde –el componente exponencial– es la que sedesvanece antes. La roja corresponde al componente polinómico de variación enel tiempo mucho más lenta.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
y
Figure ��� Solution of y� � ���y� t����t �solid� illustrating inner �dashed� and outer�dash�dot� solutions
As shown� a small perturbation to the outer solution is introduced at t � ��� As noted�
the exact solution to this perturbed solution quickly decays to the outer solution The
solution by Eulers method follows the steep initial slope of the perturbed solution and
overshoots the outer solution These overshoots and undershoots will continue in subse�
quent time steps as illustrated by Example ���
Problems of this type are called �sti�� They arise in applications where phenomena
occur on vastly di�erent time scales Typical examples involve chemical kinetics� optimal
control� and electrical circuits There are many mathematical de�nitions of sti�ness and
the one that we will use follows
De�nition ������ A problem is sti� in an interval if the step size needed for absolute
stability is much smaller than the step size required for accuracy�
��
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
yFigure ��� Euler solution �dash�dot� due to a perturbation �dashed� of y � t� �solid�introduced at time t � ���
Sti�ness not only depends on the di�erential equation under consideration� but the in�
terval of interest� the accuracy criteria� and the region of absolute stability of a numerical
method For nonlinear systems
y� � f�t�y�
sti�ness will be related to the magnitudes of the eigenvalues of the Jacobian fy�t�y�
These eigenvalues may have vastly di�erent sizes that vary as a function of t Thus�
detecting sti�ness can be a signi�cant problem in itself
In order to solve sti� problems well need a numerical method with a weaker stability
restriction than Eulers method �Implicit methods� provide the currently accepted
approach and well begin with the simplest implicit method� the backward �or implicit�
��
4 Si se introduce una pequeña perturbación del componente t2 en t D 0;4, lasolución exacta se restablece enseguida. En cambio, el método de Eulerproduciría, con un h D 2, una perturbación importante que se iríarestableciendo después.
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El método de Euler hacía atrás
4 El método de Euler hacia atrás actúa de la siguiente manera:
y0 D y.0/
yiC1 D yi C hf .tiC1; yiC1/ :
La segunda expresión se obtiene al considerar la aproximación atrasada de laderivada en tiC1, y 0.tiC1/, en vez de la avanzada en ti que hacía el método deEuler.
4 La información que se considera en cada paso tiene en cuenta los dos lados delintervalo Œti ; ti C h�.
4 El método de Euler hacia atrás es implícito, lo que significa que no dadirectamente una fórmula para la nueva aproximación yiC1 sino que ésta seobtiene mediante un proceso más elaborado.
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4 Ese proceso, para la ecuación diferencial anterior:
yiC1 D yi C h�� ˛
�yiC1 � t
2�C 2t
�D yi � h˛yiC1 C h
�˛t2 C 2t
�:
Al final
yiC1 Dyi C h
�˛t2 C 2t
�1C ˛h
:
4 Si aplicamos a esta fórmula de recurrencia un método iterativo de punto fijo –elde Newton por ejemplo–
y ! g.y/ Dy C h
�˛t2 C 2t
�1C ˛h
;
como g0.y/ D 1=.1C ˛h/ < 1, para cualquier ˛ positivo, el procesoconvergerá a un punto estacionario.
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4 Apliquemos estas ideas y analicémoslas con Matlab.
function [wi, win, y, ti] = back_euler_1 ( t0, x0, tf, N, TOL, Nmax )%% Backward Euler con y’=-alpha(y-t^2)+2t% Punto de arranque, t0, x0; final, tf; puntos Nif nargin<6, Nmax=100; end, if nargin<5, TOL=0.00001; end, close all
ti = [t0 zeros( 1,N )]; wi = zeros(1,N+1); win = zeros(1,N+1);wi(1) = x0’; win(1) = x0’; x01 = x0; y(1) = x0;
h = ( tf-t0)/N;for i = 1:N
w0 = x0;for j = 1:Nmax
top = (w0 - x0) - h*beuler_1(t0+h,w0);bot = 1 - h*dbeuler_1(t0+h,w0);dw = top/bot;w0 = w0-dw;if abs(dw)<TOL, break; end;
end;x0 = w0;x01 = x01+h*beuler_1(t0,x01);t0 = t0 + h; ti(i+1) = t0;wi(i+1) = x0’; win(i+1) = x01; y(i+1) = y(1)*exp(-10*t0)+t0^2;
endplot(ti,wi,ti,win,ti,y), xlabel(’Tiempo’); ylabel(’y’)legend(’Back. Euler’, ’Euler’, ’Exacto’)
function f = beuler_1(t, p)f = -10*(p-t^2)+2*t;end
function df = dbeuler_1(t, p)df = -10;endend
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4 El resultado de >> back_euler_1(0,1,1.1,8); es este.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo
y
Back. EulerEulerExacto
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Métodos multipaso
4 Los métodos que hemos analizado hasta ahora son monopaso, o de pasosencillo. El valor de yiC1 se calcula a partir de la información de un único punto.
4 Los métodos multipaso, o de paso múltiple, utilizan la información de máspuntos obtenidos en pasos anteriores.
4 Persiguen como objetivo necesitar menos evaluaciones de la función para elmismo orden de error que los de paso sencillo.
4 El método de Adams-Bashforth-Moulton de orden cuatro, por ejemplo, sólonecesita dos evaluaciones de función por etapa, frente a las cuatro del métodoclásico de Runge-Kutta.
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4 Los métodos multipaso necesitan la ayuda de otros para dar los primeros pasosy no se adaptan bien a discontinuidades en la solución: discontinuidades en lasfuerzas aplicadas, impactos, enlaces que aparecen o desaparecen, etc.
4 Tienen la forma general
yiC1 D
mijD1
jyiC1�j C h
mijD0
jf�tiC1�j ; yiC1�j
�:
Si ˇ0 D 0, el método es explícito; si ˇ0 ¤ 0, implícito.
4 Los parámetros ˛i y ˇi se calculan mediante interpolación polinómica.
4 Un método de dos pasos explícito, o abierto, por ejemplo, sería
yiC1 D ˛1yi C h�ˇ1y
0
i C ˇ2y0
i�1
�(se indica y 0 D f .�; �/):
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4 Para calcular ˛1, ˇ1 y ˇ2 se interpola forzando a que la fórmula sea exacta paralos primeros tres monomios: 1, t y t2.
4 Si y.t/ D 1, entonces y 0.t/ D 0 y se consigue así la primera ecuación
1 D ˛1 � 1C h .ˇ1 � 0C ˇ2 � 0/ :
4 Si y.t/ D t , entonces y 0.t/ D 1 y tenemos la segunda
tiC1 D ˛1ti C h�ˇ1 � 1C ˇ2 � 1
�:
4 Si y.t/ D t2, entonces y 0.t/ D 2t y tenemos la tercera
t2iC1 D ˛1t2i C h
�ˇ1 � 2ti C ˇ2 � 2ti�1
�:
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4 Estas tres ecuaciones se deben cumplir para cualesquiera valores de ti , por loque podemos hacer ti�1 D 0, h D 1 (entonces ti D 1 y tiC1 D 2) y resolvemosel sistema lineal resultante 3 � 3 dando ˛1 D 1, ˇ1 D 3
2, ˇ2 D �12.
4 La fórmula resultante del método explícito de dos pasos es
yiC1 D yi Ch
2
�3y 0i � y
0
i�1
�;
que se conoce como la fórmula del Método Adams-Bashforth de segundo orden.
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4 De forma similar se puede desarrollar la fórmula implícita, o cerrada, de dospasos de la forma
yiC1 D ˛1yi C h�ˇ0y
0
iC1 C ˇ1y0
i
�:
4 Para calcular ˛1, ˇ0 y ˇ1 forzaremos como antes a que la fórmula resultante seaexacta para los primeros tres monomios: 1, t y t2. Se obtienen estas tresecuaciones
1D ˛1 � 1C h�ˇ0 � 0C ˇ1 � 0
�tiC1 D ˛1ti C h
�ˇ0 � 1C ˇ1 � 1
�t2iC1 D ˛1t
2i C h
�ˇ0 � 2tiC1 C ˇ1 � 2ti
�:
4 Haciendo ti D 0 y h D 1 (por lo que tiC1 D 1), y resolviendo el sistema 3 � 3resultante se llega a que ˛1 D 1, ˇ0 D 1
2y ˇ1 D 1
2. La fórmula resultante es
yiC1 D yi Ch
2
�y 0iC1 C y
0
i
�;
que da lugar al método implícito conocido como el método del trapezoide, oMétodo de Adams-Moulton de un paso.
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4 Estas son algunas de las fórmulas más utilizadas.
Fórmulas de multipaso explícitas de Adams-Bashforth
n Error
2 yiC1 D yi Ch2
�3fi � fi�1
�512h3f 00.�/
3 yiC1 D yi Ch12
�23fi � 16fi�1 C 5fi�2
�38h4f 000.�/
4 yiC1 D yi Ch24
�55fi � 59fi�1 C 37fi�2 � 9fi�3
�251720h5f .4/.�/
5 yiC1 D yi Ch720
�1901fi � 2744fi�1 C 2616fi�2 � 1274fi�3 C 251fi�4
�95288h6f .5/.�/
Fórmulas de multipaso implícitas de Adams-Moulton
n Error
2 yiC1 D yi Ch2
�3fiC1 � fi
��
112h3f 00.�/
3 yiC1 D yi Ch12
�5fiC1 C 8fi � fi�1
��
124h4f 000.�/
4 yiC1 D yi Ch24
�9fiC1 C 19fi � 5fi�1 C fi�2
��
19720h5f .4/.�/
5 yiC1 D yi Ch720
�251fiC1 C 646fi � 264fi�1 C 106fi�2 � 19fi�3
��
271440
h6f .5/.�/
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Métodos predictor-corrector
4 Combinan métodos explícitos e implícitos en cada intervalo mediante un pasopredictor, que estima la solución en el nuevo punto, y otro corrector, que lamejora.
4 Vencen así la dificultad de contar con un buen punto de partida para comenzarel proceso de integración.
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4 El método de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden, por ejemplo:
1. Utiliza Adams-Bashforth de cuarto orden como predictor:
y�iC1 D yi Ch
24
�55fi � 59fi�1 C 37fi�2 � 9fi�3
�:
2. Evalúa la función en el nuevo punto�tiC1; y
�
iC1
�f �iC1 D f
�tiC1; y
�
iC1
�:
3. Utiliza Adams-Moulton de cuarto orden como corrector:
yiC1 D yi Ch
24
�9f �iC1 C 19fi � 5fi�1 C fi�2
�:
4. Finalmente evalúa de nuevo la función en el punto�tiC1; yiC1
�fiC1 D f
�tiC1; yiC1
�:
Se conoce como método PECE (predice, evalúa, corrige, evalúa).
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4 El método de Milne-Simpson:
1. Utiliza como predictor
y�iC1 D yi�3 C4h
3
�2fi � fi�1 C 2fi�2
�:
2. Como corrector
yiC1 D yi�1 Ch
3
�f �iC1 C 4fi C fi�1
�:
También se usa como corrector el de Hamming:
yiC1 D9yi � yi�2 C 3h
�f �iC1 C 2fi � 2fi�1
�8
:
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4 Utilicemos y 0 D 4�t � t3
�y2 para probar el método predictor–corrector de
Adams-Bashforth-Moulton de segundo orden con las condiciones inicialesy.0/ D 0;5 y en el intervalo de tiempo Œ0; 2�.
4 El siguiente programa hace el trabajo.
function [t,y]=Adams_Bas_Moul(inter,ic,n)% Método predictor-corrector de orden 2 de Adams-Bashforth-Moultonh=(inter(2)-inter(1))/n; y(1)=ic; t(1)=inter(1); s=2;for i=1:s-1 % Trapezoide de un paso para
t(i+1)=t(i)+h; % inicializacióny(i+1)=trapstep(t(i),y(i),h);f(i)=ydot(t(i),y(i));
endfor i=s:n % Método multipaso
f(i)=ydot(t(i),y(i));t(i+1)=t(i)+h;y(i+1)=ab2step(t(i),i,y,f,h);f(i+1)=ydot(t(i+1),y(i+1));y(i+1)=am1step(t(i),i,y,f,h);
end[T4,Y4]=ode45(@ydot,inter,ic); close all, plot(t,y,T4,Y4)xlabel(’Tiempo’); ylabel(’y’)legend(’Adams-Bash.-Moul.’, ’ode45’)
function y=trapstep(t,x,h) % Un paso con trapezoidez1=ydot(t,x); g=x+h*z1; z2=ydot(t+h,g);y=x+h*(z1+z2)/2;end
function z=ab2step(t,i,y,f,h) % Paso Adams-Bashforth de orden 2z=y(i)+h*(3*f(i)-f(i-1))/2;end
function z=am1step(t,i,y,f,h) % Paso Adams-Moulton de orden 2z=y(i)+h*(f(i+1)+f(i))/2;end
function z=ydot(t,y) % Función que se integraz=4*(t-t^3)*y^2;endend
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4 El resultado de >> Adams_Bas_Moul([0 2],0.5,20); es este.
0, 0,5 1, 1,5 2, 2,50,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,
Tiempo
y
Adams-Bash.-Moul.ode45
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Sistemas de ecuaciones diferencialesordinarias4 Muchos sistemas de la vida diaria en ingeniería, economía y ciencias sociales semodelizan y simulan mediante la solución de sistemas de ecuacionesdiferenciales: Basta para ello que el sistema tenga más de un grado de libertad oque haya que integrar una ecuación diferencial de orden superior.
4 Ejemplos son los puntos moviéndose en el plano o en el espacio, el movimientode un sólido rígido sin restricciones, mecanismos, vehículos, etc.
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4 En general, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias tiene la forma
y 01 D f1�t; y1; y2; : : : ; yn
�y 02 D f2
�t; y1; y2; : : : ; yn
�:::
y 0n D fn�t; y1; y2; : : : ; yn
�9>>>=>>>; y 0 D f .t;y/:
4 Al aplicar los métodos vistos hasta ahora hay que tener en cuenta que lavariable dependiente y , la función f y los coeficientes ki , del método deRunge-Kutta por ejemplo, son vectores.
4 El método de Euler se aplicaría en la forma vectorial
y 0 D f .t;y/ ! y iC1 D y i C hf .ti ;y i/:
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Ecuaciones diferenciales de ordensuperior4 Una ecuación diferencial de orden n se puede expresar como:
d ny
dtnD y.n/ D f
�t; y; y 0; y 00; y 000; : : : y.n�1/
�y.t0/ D y0
y 0.t0/ D y0
0
y 00.t0/ D y00
0
� � �
y.n�1/.t0/ D y.n�1/0
4 Esta ecuación se puede transformar en un sistema de n ecuaciones diferencialesde orden uno.
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4 Si se introducen las nuevas variables
y1 D y; y2 D y0; y3 D y
00; : : : ; yn D y.n�1/
se tendrá que
y 01 D y2
y 02 D y3
y 03 D y4:::
y 0n�1 D yn
y 0n D f .x; y1; y2; : : : ; yn/
9>>>>>>>>=>>>>>>>>;y 0 D f .t;y/;
obteniéndose así un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con nincógnitas, al que habría que añadirle las condiciones iniciales y.t0/ D y0.
