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Ing. Erlyn Giordany Salazar Huamn Ingeniera Sismorresistente

CLASES DE INGENIERA SISMORRESISTENTE

CAPITULO 3:

CONCEPTOS GENERALES EN EL ANLISIS DINMICO:

3.1

SISTEMA LINEALMENTE ELSTICO

Para un sistema linealmente elstico la relacin entre la fuerza lateral fSy la deformacin

resultante ues:

ukfS (3.1)

3.1.1 Fuerza de Amortiguamiento

La fuerza de amortiguamiento fD est relacionada con la velocidad a travs del

coeficiente de amortiguamiento cmediante:

ucfD (3.2)

(a) (b)

f

fuerza externa

fuerza resistente

u

s

fs

fs

(a) (b)

fD fD

fD

fuerza externa

fuerza resistente

fD

u

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3.5 ECUACIN DE MOVIMIENTO

3.5.1 Segunda ley de NewtonLa fuerza resultante a lo largo del eje de desplazamiento es p(t) fS fD; aplicando la

segunda ley de Newton se tiene:

)(

)(

tDS

DSt

pffum

umffp

(3.3)

Reemplazando las ecuaciones 3.1 y 3.2 en la ecuacin 3.3 se tiene:

)(tpukucum (3.4)

3.5.2 Componentes de masa, amortiguamiento y rigidezLa fuerza externa p(t)aplicada al sistema completo puede por tanto ser visualizada como

una cantidad distribuida en los tres componentes de la estructura, y entonces:

fS + fD + fI = p(t)

(a) (b)

p(t)

up(t)m m

fDfS

(c)

fS fD

p(t)fI

(a) (b)

p(t)

(c)

fS fD fI

(d)

= + +

desplazamiento uvelocidad uaceleracin

desplazamiento u velocidad u aceleracin

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3.6 ECUACIN DE MOVIMIENTO: EXCITACIN SSMICA

' )()()( tgtt uuu (3.5)

0 SDI fff (3.6)

'umfI (3.7)

Sustituyendo las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.7 en la ecuacin 3.6 se tiene:

)(tgumukucum (3.8)

El movimiento del suelo puede ser reemplazado por una fuerza ssmica efectiva.

)()( tgteff ump (3.9)

(a) (b)

f f

f

u

u

u'

s D

I

g

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CAPITULO 4:

VIBRACIN LIBRE:

4.3 VIBRACIN LIBRE NO AMORTIGUADA

La ecuacin que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y

que no est sometido a la accin de una fuerza externa es:

ukum 0 (4.1)

02

uun

(4.2)

donde nes la frecuencia natural en vibracin libre del sistema y es igual a:

mk

n (4.3)

la ecuacin diferencial 4.1, su solucin es:

tsenBtAunnt cos)( (4.4)

Las constantesAy Bse hallan a partir de las condiciones iniciales. Obtenindose por lo

tanto:

tsen

u

tuun

n

nt

)0(

)0()( cos

(4.5)

Tn= 2n

Amplitud u0

u(0)

u

u(0)

a

b

c

d

et

u0

ba c d

u0

e

(a)

(b)

n

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periodo natural de vibracin, Tn

nnT

2 (4.6)

La frecuencia cclica natural de vibracin, fn

nn

Tf

1 (4.7)

El movimiento representado por la ecuacin 4.5 puede tambin ser expresado en la

forma:

tuunt

cos0)( (4.8)

Donde u0es la magnitud del desplazamiento mximo;

2

)0(2)0(0

n

u

uu

(4.9)

Y el ngulo de fase esta dado por:

)0(

)0(

u

uartg

n

(4.10)

u(0)

u0

u(0)nt

nt

n

n

u(0)cosnt senntnu(0)

u0cos(nt-)

Imaginario

Real

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4.4 VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

La ecuacin de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibracin libre es:

0 ukucum (4.11)

dividiendo la ecuacin 4.11 por la masa se obtiene:

02 2

uuunn

(4.12)

donde:cr

c

c

(4.13)

n

ncr

kkmmc

222 (4.14)

4.4.1

Tipos de Movimiento

Si c=ccr =1 El sistema retorna a su posicin inicial de equilibrio sin oscilar, por tal

razn es llamado sistema crticamente amortiguado o sistema con amortiguamientocrtico.

Si c>ccr >1 El sistema no oscila pero retorna a su posicin de equilibrio

lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado. Si c

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4.4.2 Sistema subamortiguado

tsen

uutueu

D

D

n

D

t

tn

)0()0(

)0()( cos

(4.15)

Donde Des la frecuencia natural de vibracin amortiguada y su valor es:

21 nD (4.16)

El valor del periodo natural de vibracin amortiguado es:

D

DT

2 (4.17)

y est relacionado con el periodo natural sin amortiguamiento de la siguiente forma:

21

nD

TT (4.18)

La relacin entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TDes constante, y el

decremento logartmico est definido como el logaritmo natural de esta cantidad y est

dado por:

2

1

2

ln2

1

Dn

i

i

Tu

u

(4.19)

y la relacin entre dos desplazamientos cuales quiera es:

2ln1

1

1

ju

u

j (4.20)

u(0)u

u(0)

t

Tn

TD

estructura no amortiguada

estructura

amortiguada

ent

nte