Topologapor Mara Luisa Perez SeguIntroducci onSe presenta aqu el material correspondiente a unprimer curso de Topologa. Eneldesarrollo de las notas se intercalan numerosos ejemplos despues de que se ha introducido unconceptonuevo, conlaintenci ondequeseamascompletalacomprensiondel concepto. Alnal de cada secci on se proponen diversos ejercicios; algunos de ellos son rutinarios, mientrasquelasoluci ondeotrosrequieredeunmayoresfuerzo,immaginaci onydedicaci on.La primera secci on inicia con una peque na motivacion y ejemplos de espacios topologicosenRn. Despues se establecenlos conceptos b asicos yse proporcionanlos ejemplos m ascl asicosdetopologas.La segunda secci on est a dedicada al concepto de continuidad. En ella se estudia, adem as,laconstrucciondetopologasqueproducenfuncionescontinuas.Lasecci onn umero3estudiaeltemadecocientes.Estetemaesopcionalparaunprimercursodetopologay, enmuchasocasiones, estetemanoseestudiaporsudicultad. Sinembargo, pensamos que ofrece ejemplos muy ilustrativos de c omo construir espacios a partirdeotrospegandoporcionesdel espaciooriginal, locual resultainteresanteyformativo,adem asdedarunavisi ongeometricailustrativadeltrabajoentopologa.Laseccion4daunaintroduccional estudiodelosespaciostopol ogicoscuyatopologaest adadaporunanmetrica. Sevenlascondicionesespecialesquedebensatisfacerestos.Seestudian, adem as, lassucesiones, suconvergenciael el porquesonestasimportantesenespacios1onumerables.En la secci on 5 se dene la topologa producto (para una cantidad arbitraria de factores).Seanalizanlosconceptosbasicosdelatopologadentrodeestosespacios.Laseccion6estudialacaractersticadesercompactosquetienenalgunosespaciosto-pologicos.Seestudiatambienlarelaci ondeesteconceptoconlosdem asconceptosintrodu-cidosanteriormente; enparticular, sedancondicionesnecesariasysucientesparaqueunespaciometricoseacompacto.Laseccion7estudiaotras caractersticas importantes dealgunos espacios topol ogicosrelacionadas conlaconexidad, comosonlaconexidadpor trayectorias ylas conexidadeslocales.Paraelbuenaprovechamientodeestasnotasconvienequeencadadenici onyejemploellectorhagaeldibujooesquemacorrespondienteytratedehacerlasdemostracionespors mismoantesdeleerlasqueaqu seproponen. Seincluyentodaslasdemostracionesquenecesitanciertorazonamientonodirectoe, incluso, amaneradeilustracion, variasdelasidemostracionesuobservacionesquesededucendirectamentedelasdeniciones.MaraLuisaPerezSeguFac.Cs.Fsico-MatematicasUniversidadMichoacanadeSanNicol asdeHidalgoFebrero,2014iiIndiceIntroducci on I1. Conceptosbasicos 11.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Vecindades,topologas,bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. PrimerosAxiomasdeSeparaci on.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Espaciosmetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Topologadelorden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Productotopol ogiconito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8. Puntosdeterminadosporsubconjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9. Axiomasdenumerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10. Conjuntosdensosyseparabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212. Continuidad 222.1. Topologasdadasporfunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263. Productostopologicos 284. Compactos 335. Conexidad 405.1. Conexidadportrayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2. Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3. Conexidadlocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45iii1. Conceptosbasicos1.1. Motivaci onUnapartedelestudioenMatem aticasabstractasest adedicadoadistinguirentresob-jetosabstractosdentrodecadaareadeestudio.Encadaareainteresanciertaspropiedades;variacionesdeellasdistinguenalosobjetos.Agrandes rasgos, podemos decir que enGeometrainteresandistancias y angulos e,incluso, a veces, proporciones o posici on relativa de los objetos dentro de objetos mas grandes.Dos objetos geometricos se consideran iguales (congruentes) si tienen exactamente la mismaformayelmismotama no.Los objetos algebraicos como los grupos constan de un conjunto en que esta denida unaoperaci onquesatisfaceciertaspropiedades.Sedicequedosgrupossonisomorfos(esencial-menteiguales)siexisteunabiyecci onentreellosquepreservalaoperaci on.EnTeoradeGracas, cadaobjetoest adeterminadopordoscosas: unconjuntocuyoselementossellamanverticesyotroconjuntocuyoselementossellamanaristas, demaneraque cada arista es un conjunto de dos vertices. Se dice que dos gr acas son isomorfas si existeunabiyecci onentrelosconjuntosdeverticesquepreservalasaristas.EnTopologa, losobjetosdeestudiosellamanespaciostopologicos; loquedenecadaespaciotopol ogicoesunanociondecercana, conceptoquedeniremosconprecisi onenestas notas, pero que queremos, por el momento, pensar de una manera intuitiva. Por ejem-plo, dos guras en R3son iguales en el sentido topol ogico (decimos que son homeomorfas) siuna se puede obtener de la otra estirando o encogiendo e, incluso, cortando, pero volviendo apegar en el mismo lugar que se cort o. Por ejemplo, las guras que se muestran a continuacion:tri angulo,crculoynudo,sonhomeomorfas.Tambiensonhomeomorfasentres unanilloyuncilindrosintapas, perosondistintosdelosanteriores:1Intuitivamente, dosgurassonhomeomorfascuandoexisteunabiyeccionquepreservalacercanarelativa.Si una gura esta cortada en dos o m as pedazos, decimos que no es conexa. Intuitivamente,en una gura no conexa cada pedazo est a muy lejos del otro. Una gura conexa no puedeserhomeomorfaaunanoconexa: porejemplo, el segmentoreal [0, 2] noeshomeomorfoalaunion[0, 1] [2, 3]. El conceptodeconexidadesimportantepuessepreservamediantehomeomorsmos,esdecir,sidosespaciosXyY sonhomeomorfosmedianteunabiyeccion(homeomorsmo) f, yX

Xcorresponde aY

Y mediante f, entonces X X

esdisconexosi,ysolosi,Y Y

esdiconexo.Deestamanera,esclaroqueuncrculonopuedeserhomeomorfoal intervaloreal (0, 1)(puescualquierpuntode(0, 1)lodesconectaperoning un punto del crculo lo desconecta. As mismo (0, 1) y [0, 1] no son homeomorfos (pues sihubieraunhomeomorsmoentreellos,como 0nodesconectaa[0, 1]suimagenmedianteelhomeomorsmonodesconectara(0, 1).Veamos ahora algunos espacios topol ogicos interesantes. Intuitivamente decimos que unasupercieescualquierguraqueseparecelocalmenteaunabola x R2: [[x[[ i).1.28Ejemplo. (a)ConlatopologadiscretacualquierespacioesT2.(b) Con la topologa del lmite inferior y con la topologa K, R es T2 (pues estas topologascontienenalausualylausualest adadaporunametrica).1.29 Ejercicio. () Sea (X, ) un espacio topol ogico. Decimos que una sucesi on (x1, x2, . . .)de elementos de Xconverge a x0 Xsi para toda vecindad Ude x0existe un natural Ntalquesin Nentoncesxn U.(i) Probar que si Xes Hausdor, entonces toda sucesion convergente tiene un unico puntodeconvergencia.(ii) Dar un ejemplo de un espacio y una sucesion en el que converja a dos puntos distintos.1.4. EspaciosmetricosRecordemosquedadounconjuntoX,unafunciond:XX ResunadistanciaometricaparaXsidsatisfacelassiguientescondiciones:(a)d(x, y) 0paratodaparejadeelementosx, y X.(b)d(x, x) = 0paratodox X.(c)d(x, y) = d(y, x)paratodaparejadeelementosx, y X.(d)d(x, y) d(x, z) + d(z, y)paratodaparejadeelementosx, y X.Enestecasodecimosque(X, d)esunespaciometrico.Si (X, d)esunespaciometrico, labolaconcentroenxyradiorrespectoaesta10metricaeselconjuntodepuntosdeXcuyadistanciaaxesmenorquer,ensmbolos,Br(x) = y X: d(x, y) < r.1.30 Observacion. Dado (X, d) metrico, la familia de las bolas = Br(x) : x X, r >0esbasedeunatopologaparaX(llamadatopologainducidaporlametrica).Decimos que dos metricas d y d

para un mismo conjunto Xson equivalentes si inducenla misma topologa para X. Decimos que un espacio topol ogico es metrizable si existe unametricaqueinducelatopologadeX.1.31Ejemplo. (a) EnRssonequivalentes ladistanciaeuclidianade, lametricadeloscuadradosdcylametricadelosrombosdr, denidasparax=(x1, . . . , xs)yy= (y1, . . . , ys) Rsporde(x, y) = [[x y[[ =_(x1y1)2+ + (xsys)2,dc(x, y) = max[x1y1[, . . . , [xsys[ydr(x, y) = [x1y1[ + +[xsys[.Adem ascualquieradeellasinducelatopologaproducto.(b)UnespaciodiscretoXesmetrizableconlametricadiscretadenidapord(x, y) =_1, six ,= y,0, six = y.(c)Dado(X, d)metrico,lametricaacotadadaasociadaad,denidaporda(x, y) =_d(x, y), sid(x, y) 1,1, sid(x, y) 1.esequivalentead.1.32Observaci on. SiXesmetrizable,entoncesXesHausdor.1.33Ejercicio. SeaZunconjuntocualquierayseaX= f: Z Rt: fesacotada.Probarquedu: X X Rdenidapordu(f, g) = sup[[f(z) g(z)[[ : z Z.esunametrica(llamadametricauniforme).1.34Ejercicio. Seadalametricaacotadaasociadaalametricaeuclidianade RyseaX= RN.ProbarqueesmetricalafuncionD : X X Rdenidapor:D((xn)n, (yn)n)) =

n=1da(xn, yn)2n.111.35Ejercicio. Sea (X, d) un espacio metrico y sea Zel conjunto de cerrados no vacosdeX.DadosdoscerradosseaH(F, G) = inf R : F _xGB(x), G _xFB(x).ProbarqueHesunametrica(llamadametricadeHausdor).1.5. Topologadelorden.La topologa usual de R est a muy relacionada con el orden usual en los reales en que unabase consta de los intervalos abiertos. Esta idea puede generalizarse facilmente para construirunatopologaenconjuntosquetienenunordentotal,comoveremosacontinuaci on.Dadounordentotal enunconjuntoXya 0talqueBr(1) ,= x [0, 1] : d(x, 1) r.(Sugerencia.Considerarunespaciohomeomorfoa[0, 1]dentrodelcrculoS1.)2.1. Topologasdadasporfunciones2.28Nota. Al darle unatopologaaunconjuntoque estarelacionadoconespaciostopol ogicos(porejemplosubconjuntosoproductoscartesianos),queremosquesereejedelamejor maneraposiblelarelacionentreel conjuntoylos espacios delos quedepende.Unacondicionclaramentenecesariaespedirquelaolasfuncionesquelosrelacionenseancontinuaspuesestassonlasque, dealgunamanera, preservanlacercana. Sinembargoesposible que muchas topologas para el conjunto logren que las funciones sean continuas (porejemplodandoal conjuntolatopologadiscretasi laolasfuncionestienenpordominioalconjunto o la indiscreta si lo tienen por codominio) y es claro que esto no ayudara en generala que se reejara la relaci on entre el subconjunto y el o los espacios. Veremos a continuacionquelamejorformadelograrloesdandoal conjuntolamenoromayor(dependiendosi elconjunto es el dominio o codominio de la o las funciones) topologa que hace continuas a las26funciones que lo relacionan con los espacios. Empezaremos por analizar los dos ejemplos queconocemos:subespaciosyproductos.2.29Proposici on. Latopologadesubespacioeslamenorquehacecontinuaalain-clusi on.Demostraci on. Seai : Y Xunafuncioninclusi on, donde(X, X) es unespaciotopol ogico.YasabemosquesiY tienelatopologadesubespacio,Y= U Y:U X,entonces lainclusiones continua. Paraver que es lamenor, supongamos que es otratopologaparaY conlacual i es continua. Queremos probar queY. SeaV Y .EntoncesV= U Y paraalg unU X;adem as,porserUabiertodeXeicontinuaconrespectoa, tenemosquei1(U)esabiertoen, peroi1(U)=U Y queesigual aV ,conloquetenemosqueV ,comoqueramos. 2.30Proposicion. Latopologaproductoeslamenorquehacecontinuasalasproyec-ciones.Demostraci on. Sean(X, X)y(Y, Y )espaciostopol ogicosyseanpX: XY XypY: XYY lasproyecciones. Comoantes, supongamosqueesunatopologaparaXYcon la cual las proyecciones son continuas. Bastar a probar que los basicos U Vde latopologa producto est an en . Pero UV= (UY )(XV ) = ((pX)1(U))((pY )1(V )),quedebeserabiertode. Sean (X, X) y (Y, Y ) espacios topol ogicos. Denimos la sumatopol ogica X+Ycomoel conjunto XYobtenido de ajenizar Xy Yy considerar la uni on, es decir, en caso que Xy Ytengan elementos en com un, poner una etiqueta para los elementos de Xy otra distintapara los de Y , por ejemplo, sustituir Xpor X 1, Ypor Y 2, y copiar las topologasdeXyY encadaunodeestos nuevos conjuntos. Conestasustituci onsupongamos, sinperdidadegeneralidad, queXyY sonajenos. As aX+ Y =X Y ledamoslamayortopologaquehacecontinuasalasinclusionesiX: X X + Y eiY: Y X + Y .2.31Observaci on. WesabiertoenX + Y siys olosiW X XyW Y Y .273. ProductostopologicosDada una familia X: de conjuntos denimos el productocartesiano de elloscomo

X= : _X: f() X.Si ()=xentoncesescribimos=(x). Cuando= NescribimosX1X2 enlugarde

X,yloselementosdelproductosepuedenvercomosucesiones(x1, x2, . . .).SilosXnosonvacosentonceselaxiomadeelecciondiceque

Xesnovaco.3.1Observaci on. SeanA, B Xparacada.(a)SiA Bparatoda,entonces

A

A.(b)(

A) (

B) =

(A B) .(c)(

A) (

B)

(A B) .(d)(

A) (

B)

(A B) .Tenemosfuncionesquerelacionan

XconcadaX0; estassonlasproyeccionesnaturalesp0:

X X0denidasporp0((x)) = x0.Propiedaduniversaldelproductodeconjuntos.Eldenirunafunciondeuncon-juntoaunproductocartesiano

Xesequivalenteadenirsusfuncionescoordena-das,esdecir,paracada ,unafunci onf: Y X.Entoncesf(y) = (f(y))asquef= p fparacada.Ahora supongamos que cada Xes un espacio topol ogico. Queremos dar a

Xunatopologaconlacual lasproyeccionesseancontinuasyquecumplalapropiedaduniversaldelproducto,peroahoraparaespaciostopologicos,esdecir,quelasfuncionescontinuasdeunespacioY al productoestendadas por funciones coordenadas continuas. Veamos queestoselogradandoa

Xlamenortopologaquehacealasproyeccionescontinuas.Concretamente, si llamamos a la topologa de X, entonces la topologaproducto tieneporsubbasea_p1(U) : U .Observemosquep1(U0) = U0

=0X,yqueentonceslosb asicospara

XsondelaformaU1Un

=1,...,nX,28dondecadaUi io,equivalentemente,Uiperteneceaunabasedei.3.2Observaci on. Conlatopologaproducto,cadapescontinuayabierta.3.3 Proposicion. Propiedad universal del producto topologico. Sea X: unafamiliadeespaciostopologicos. Conlatopologaproducto(

X, (p))satisfacelasiguientepropiedad:Dadaunafamiliadefuncionescontinuasf: Y Xexisteuna unicafunci oncontinuaf: Y

Xtalqueparacada,setienequep f= f.Demostraci on. La unicidad es obvia pues, como conjuntos, solo hay una forma de denirf. Hay que ver que fes continua; para ello basta trabajar con subb asicos, as que sea yseaUabiertoenX.Entoncesf1(U0

=0X) = f10(U0),queesabierto. Otratopologanatural parael productocartesianodeespaciostopologicoseslatopo-logacajaenlacuallosbasicossonproductodeabiertosencadacoordenada:

U.Sinembargo, es claro que con esta denicion no se cumplira la propiedad universal del productotopol ogico, pueslaimageninversadeunodeestosabiertosseralaintersecci on

f(U)locual notieneporqueserabierto. Sinembargoesclaroquelasfuncionespsontambiencontinuasyabiertasconestatopologa.Latopologacajacontienealatopologaproductoysonigualesenelcasoenqueseanito.3.4Corolario. SiY esunespaciotopologico,entoncesunafunci onf: Y

Xescontinuasi,ys olosi,paracada,lafunci onp fescontinua. 3.5Nota. Lapropiedaduniversal del productolocaracteriza, esdecir, si unespaciotopol ogico Ztiene funciones continuas : Z Xtales que dada una familia de funcionescontinuas f: Y Xexiste una unica funci on continua f: Y Ztal que para cada , setiene que f= f, entonces Zes homeomorfo a

Xy las funciones correspondenalaspmedianteelhomeomorsmo.Deaquenadelantecuandoseconsidereelproductocartesianodeespaciostopologicos,sinosedicelocontrario,latopologaen elser alatopologaproducto.3.6Observaci on. Elproductodeespaciosdiscretosnonecesariamenteesdiscreto.3.7Observacion. Si i =0, 1, 2, entonces el productode espacios Titambienes unespacioTi.Demostraci on.Si x, yson elementos distintos en el producto, entonces en alguna coor-denada son distintos. Al aplicar la condicion en esa coordenada encontramos el o los abiertos29buscados. 3.8Observaci on. El productonumerabledeespacios1onumerableso2onumerablestambiensatisfaceelmismoaxiomadenumerabilidad.Demostraci on.Probemoslo para 2onumerables (la demostraci on para 1onumerables esan aloga).Sea Xn: n Nunafamiliadeespacios2onumerables.SinesbasenumerabledeXn,entoncesunasubbasepara

Xnes_nUn

m=nXm: Un n,lacualesnumerableporseruni onnumerabledenumerables. 3.9Proposici on. Si f: X Y: esunafamiliadefuncionescontinuasentonceslafuncionf:

X

Ydenidaporf((x)) = (f(x))escontinua.Demostraci on.Aplicamos la propiedad universal del producto a la familia de funcionescontinuasf p:

X Y,dondepeslaproyeccionnaturalde

XenX. 3.10Proposicion. Sea(Xn, dn)espaciometricoparan N, condnmetricaacotadapor1.EntoncesX=

nXnesmetrizableconlametricaD : X X RdenidaporD((xn)n, (yn)n) =

n=1dn(xn, yn)2n.Demostraci on. Ya sabemos que D es metrica. Para ver que induce la topologa productodebemos probar que todo basico del producto alrededor de un punto x = (x1, x2, . . .) contieneun b asico de la metrica alrededor de x, y viceversa. Es claro que basta trabajar con los centrosdelasbolas.Consideremosentoncesunb asicodelatopologadadaporlametricaalrededordex,esdecir,consideremosB= BDr(x)paraciertar > 0.Sean Ntalque12n+1+12n+1+ nXmest acontenidoenB.Enefecto,siy= (yn)n UentoncesD(x, y) =

n=1dn(xn, yn)2nkXn.30Sear=minr1, . . . , rkyseas=r2k. VeamosqueBDs(x) V . Seay=(yn)n BDs(x).Entoncesparan = 1, . . . , ktenemosquedn(xn, yn)2nd1(x1, y1)21+d2(x2, y2)22+ = D(x, y) < s =r2k,dedondedn(xn, yn) 2n2kr r rn,comoqueramos. 3.11Ejercicio. ()Sea Xunafamiliadeespaciostopol ogicos.Paracada seaA X.Probarque(a)siAescerradoenXparatoda,entonces

Aescerradoen

X,yque(b)

A=

A.3.12 Ejercicio. () Sea Xunafamiliade espacios topologicos. tomemos unasucesi onconterminosxn= (xn,).Probarque(xn)nconvergeaz= (z)

Xsiys olosiparacadacoordenadasetienequelasucesion(xn,)nconvergeaz. Esestociertosienlugardelatopologaproductoseusalatopologacaja?3.13Ejercicio. ()Sea X: unafamiliadeespaciostopol ogicos.Supongamosque para cada se tiene que Yes un subespacio de X. Sea la topologa producto en

Yy sea la topologa inducida en

Ycomo subespacio de

X(este con latopologaproducto).Probarque= .3.14Ejercicio. ()Sea X: unafamiliadeespaciostopol ogicos.Supongamosqueparacada setienequeAesunsubconjuntodensodeX.Probarque

Aesdensoen

X.3.15Ejercicio. ()Sead:RR Rdenidapord(x, y)=min[x y[, 1. SeanD, d: RNRN RporD((xn)n, (yn)n) =

n=1d(xn, yn)2ny d((xn)n, (yn)n) = supd(xn, yn) : n N.Sabemosquedesunametricaacotadaqueinducelatopologausualde R,queDydsonmetricasen RNyquelametricaDinducelatopologaproductoquedenotamospor.Sealatopologauniforme(inducidapord)ysealatopologacaja.(a)Probarque .(b)Sean(xn)ny(yn)nlassucesionesen RNdenidasporx1= (1, 0, 0, 0, . . .) y1= (1, 1, 1, 1, . . .)x2= (1, 1, 0, 0, . . .) y2= (0,12,12,12, . . .)x3= (1, 1, 1, 0, . . .) y3= (0, 0,13,13, . . .)......31Probar que (xn)nconverge en pero no en y que (yn)nconverge en pero no en . (Enconsecuencialascontencionesdelinciso(a)sonpropias.)324. CompactosUnsubconjuntoAde unespaciotopol ogicoXes compactosi paratodacubiertaabierta U: (es decir, familiadeabiertos cuyaunioncontieneaA) existeunsubconjunto nito 1, . . . , k de tal que A U1Uk. (Decimos que U1, . . . , Ukessubcubiertanitade U: .)4.1Ejemplo. (a) R no es compacto pues la cubierta abierta (n 1, n +1) : n Z deRnotienesubcubiertanita.(b)(0, 1] noescompactoporquelacubiertaabierta (1n, 2): n Nde(0, 1] notienesubcubiertanita.(c) Si A = a1, . . . , an es un subconjunto nito de un espacio X, entonces A es compacto.(Paraveresto,sea U: unacubiertaabiertadeA;paracadai Nseai talqueai Ui;lasubcubiertabuscadaes U1, . . . , Un.)(d)SiXtienelatopologaindiscreta,cualquiersubconjuntodeXescompacto.(e)SiXtienelatopologaconitaentoncesXescompacto.Dadaunacubiertaabierta|tomamosunelementoU0 |;seaU= X x1, x2, . . . , xn;paracadai = 1, 2, . . . , nseaUi |talquexi Ui;entonceslasubcubiertanitabuscadaes U0, U1, . . . , Un.(f) Si Xtiene la topologa discreta y es innito, entonces no es compacto. (Una cubiertaabiertasinsubcubiertanitaes x : x X.)(g)Elsubespacio 1n: n Nde Rnoescompacto.(h)Elsubespacio 1n: n N 0de Rescompacto.4.2Proposici on. SiCesunsubconjuntocerradodeunespaciocompactoX,entoncesCescompacto.Demostraci on. Sea |= U: unacubiertaabiertaparaC. ConsideremoslacubiertaabiertaparaXqueseobtieneal agregarX Ca |. ComoXescompacto, estanueva cubierta tiene una subcubierta nita. Es claro que los elementos de |que pertenezcanaestanuevacubiertacubrenaC,asque esaeslasubcubiertanitabuscada. 4.3Proposici on. Si XesunespacioHausdoryA XescompactoentoncesAescerrado.Demostraci on.Queremos probar que X A es abierto. Tomemos x X A. BuscamosunavecindadabiertadexcontenidaenX A. Paracadaa AseanUayVaabiertosajenostalesquea Ua, x Va. Entonces |= Ua:a AesunacubiertaabiertaparaA, queescompacto, as queconsideremosunasubcubiertanita: Ua1, Ua2, . . . , Uan. SeaV= Va1 Va2 Van.EntoncesV eslavecindaddexbuscada. 334.4Proposici on. Seaf: X Y funci oncontinua. Si K Xescompactoentoncestambienloesf(K).Demostraci on. Sea |unacubiertaabiertadef(K). Consideremos 1 = f1(U) :U |. Porserf continua, cadaelementode 1esabierto. Adem as, si x K, entoncesf(x) f(K) yexisteU |tal quef(x) U, dedondex f1(U) 1, por loque1es unacubiertaabiertade K. ComoKes compacto, 1tiene unasubcubiertanita:f1(U1), . . . , f1(Un).Veamosque U1, . . . , Unescubiertadef(K).Enefecto,sif(x) f(K)conx K,entoncesexistei 1, . . . , ntalquex f1(Ui),dedondef(x) Ui. 4.5Lema. Si f : X Y esunafuncioncontinua, XescompactoyY esHausdor,entoncesfescerrada.Demostraci on. SeaCXcerrado. Tenemos que Ces compacto, por tantof(C)tambien lo es, pero como Yes Hausdor entonces f(C) es cerrado, como queramos probar. El resultadoanterioresmuyimportantepuestienecomoconsecuenciaqueciertasfun-cionesbiyectivasycontinuassonhomeomorsmos.4.6Corolario. Sif:X Y esunafunci oncontinuaybiyectiva,yXescompactoyY esHausdor,entoncesfeshomeomorsmo.Demostraci on. Porel lemaanterior, f escerraday, porserbiyectivaycontinua, eshomeomorsmo. 4.7Corolario. Si f:X Y esunafunci oncontinuaeinyectiva, yXescompactoyY esHausdor,entoncesfesinmersion. El Teoremade Tychonodicequeproducto(arbitrario) deespacios compactos escompacto.Probaremosaqusoloelcasonito;paraellonecesitamosunlema.4.8Lema. (Lemadel Tubo.)SeanXyY espaciostopologicosconY compacto.Seax Xy sea Uabierto que contiene a x Y . Entonces existe Wvecindad abierta de x talqueW Y U.Demostraci on. Paracaday Y seaUyVyunproductodeabiertostalque(x, y) UyVyU. Entonces UyVy: y Y es unacubiertaabiertade xY queeshomeomorfoaY y,portanto,escompacto,asquetieneunasubcubiertanita:Uy1 Vy1, Uy2 Vy2, . . . , Uyn Vyn.EsclaroquelavecindadW=

iUyidexfunciona. 344.9Proposicion. SiXyY sonespacioscompactosentoncestambienloesX Y .Demostraci on.Sea |una cubierta abierta de XY . Para cada x Xsea Uxla uni onde todos los elementos de |que intersectan a x Y . Por ser |cubierta abierta, Uxes unabiertoquecontienea xY . Usandoel Lemadel Tubo, tomemosWxabiertoenXtalqueWxYUx. Entonces Wx: x XesunacubiertaabiertadeXquetambienescompacto, as quetieneunasubcubiertanita Wx1, Wx2, . . . , Wxn. Lasubcubiertanitade |quebuscamoses Ux1, Ux2, . . . , Uxn. Sea (una familia de subconjuntos de un conjunto X. Decimos que (tiene la propiedaddeinterseccionnita (abreviado PIF) si cualquier subfamilia nita de (tiene interseci onnovaca.Lasiguienteproposicionnosdaunaversionconcerradosdeladenici ondecompacto.EsrealmenteunatraducciondeladenicionusandolasleyesdeDeMorgan.4.10Proposici on. Unespaciotopol ogicoXescompactosi ysolosi todafamiliadecerradosconlaPIFtieneinterseccionnovaca.Demostraci on. Demostraremossololaparte()pueslaparte()esan aloga.Sea (unafamiliadecerradosconlaPIF.Supongamosque

CC C= .EntoncesX= X

CCC=_CCX C,de donde |= XC: C ( es una cubierta abierta para X. Por ser Xcompacto podemostomarunasubcubiertanita: X C1, X C2, . . . , X Cn.Peroentoncesotravez,porDeMorgan,esclaroqueC1 C2 Cn= ,locualesunacontradiccionaque (satisfagalaPIF. 4.11 Corolario. Si Xes compacto y C1 C2 es una cadena de cerrados no vacosdeXentonces

nCnesnovaca. 4.12Corolario. Si Xes compacto y / es una familia de conjuntos con la PIF, entonces

AAAesnovaca. 4.13Proposici on. SeaXunconjuntototalmenteordenadoquesatisfacelapropie-daddelsupremo (es decir, todo conjunto no vaco acotado superiormente tiene supremo).Entoncesconlatopologadelordentodointervalo[a, b]escompacto.Demostraci on.Si a = b no hay nada que probar, as que supongamos que a < b. Sea |unacubiertaabiertade[a, b]yseaT= x [a, b] : [a, x]est acubiertoporunn umeronitode elementos de |. Es claro que a Tas que T ,= . Adem as Test a acotado superiormente35(porejemplobescotasuperior),asqueTtienesupremo.Seax0= sup T.Probaremosquex0 Tyquex0= b.Probemos primero que a < x0. Sea Uun elemento de |que contenga a a y sea [a, c) U.Sead=minc, b. Entonces d ,=ayes claroqued T (pues bastaagregar a Uunelementode |quecubraad).Ahora veamos que x0 T. Sea U0 un elemento de |tal que x0 U0 y sea (c, x0] U0 cona < c(estoesposiblepuesa < x0).Porserx0elsupremodeT,existex (c.x0] T.Peroentoncesal agregarU0alacantidadnitadeelementosde |quecubrena[a, x] tenemosque[a, x0]estacubiertoporunacantidadnitadeelementosde |,dedondex0 T.Finalmenteveamosquex0=b. Supongamosquex0nk(estoesposibleporel lemaanterior). Esclaroquelasubsucesi on(xnk)kconvergeax. Dada |una cubierta abierta de un espacio metrico (X, d), decimos que > 0 es n umerodeLebesguepara |siparatodoA Xcondiam(A) 2myank B12m(x0);37entonces,dadoqueeldiametrodeAnkesmenorque1nktenemosqueAnk B12m(x0) U,locualesunacontradicci on. 4.20Proposicion. SeaXunespaciometrico.EntoncessonequivalenteslassiguientespropiedadesparaX:(a)Xescompacto.(b)TodoconjuntoinnitodeXtienepuntodeacumulacion.(c)Xescompactoporsucesiones.Demostraci on.(a) (b)Estosedemostr oengeneralen4.16.(b) (c) Como Xes metrico, entonces es T1y 1onumerable, as que esto se demostr o en4.18.(c) (a)Veamosprimeroquetodaparatoda>0existeunacubiertanitadeXformadaporbolasderadio.Supongamosquenoysea > 0talqueningunaunionnitadebolasderadiocubraaX.Porinducci onconstruyamosunasucesi on(xn)nenXcomosigue:x1 Xesarbitrarioyparan 2seaxn X B(x1) B(xn1).ComoXescompacto por sucesiones (xn)n tiene subsucesion convergente, sin embargo esto es claramenteimposiblepueslosterminosdelasucesi ondistantodosentres m asque2(oseaquelasubsucesi onnoesdeCauchy,locualesnecesarioparacualquiersucesi onconvergente).Probemos ahora que Xes compacto usando el lema anterior. Sea |una cubierta abiertapara Xy sea un n umero de Lebesgue para |. Usando lo probado arriba tomemos x1, . . . , xntalqueX=_iB3(xi).Comoestasbolastienendiametromenorque,cadaunadeellasest acontenidadentrodealg unelementode |,digamosB3(xi) Ui.Lasubcubiertabuscadaes U1, U2, . . . , Un. 4.21Proposici on. Sean(X, dX)y(Y, dY )espaciosmetricosconXcompacto. Si f :X Y escontinuaentoncesfesuniformementecontinua.Demostraci on. Primera forma. (Usando n umero de Lebesgue.) Sea > 0. Consideremoslacubiertaabierta|= f1(B2(y)) : y Y de X, que es compacto y, por tanto, tiene n umero de Lebesgue . Si dX(x1, x2) < entonces elconjunto x1, x2 tiene diametro , de manera que est a contenido en alguno de los elementosde |,digamosf1(B2(y0));enconsecuenciaf(x1), f(x2) B2(y0)yasdY (f(x1), f(x2)) 0talqueparatodan Nexistenxn, x

ntalesquedX(xn, x

n).Consideremosunasubsucesion(xnk)kde(xn)nydespuesunasubsucesi onconvergentede38(x

nk)k, que, sinperdidadegeneralidad, podemossuponerqueesellamisma. Digamosquexnk x0yquex

nk x

0.Entonces,cuandok ,tenemosquedX(xnk, x

nk) 0,locualimplicaquex0=x

0puesdXesunafuncioncontinua;sinembargotambiendYescontinuaasque < dY (f(xnk), f(x

nk)) dY (f(x0, f(x0)) = 0,locualesunacontradicci on. 4.22Ejercicio. ()SeaXunespacioHausdoryseanAyBsubconjuntoscompactosajenosdeX. ProbarqueAyBsepuedensepararmedianteabiertosajenos. Esciertoelresultadosis olosepidequeAyBseancerradosenlugardecompactos?4.23Ejercicio. ()SeaXunespacioindiscretotalque [X[ = 2.ProbarqueenX Ntodoconjuntoinnitotienepuntodeacumulaci onperoqueX Nnoescompacto.4.24Ejercicio. ()DecimosqueunespaciotopologicoesdeLindelofsitodacubiertaabiertatieneunasubcubierta(alom as)numerable.(a) Probar el Teoremade Lindel of: Si Xes segundonumerableentonces Xes deLindel of.(b)ProbarqueLindel ofnoimplicasegundonumerable.4.25Ejercicio. ()SeaXcompactoysea(xn)nunasucesi onenXtal quetodassussubsucesiones convergentes tienen por lmite x0. Probar que (xn)nconverge a x0. Probar queesteresultadoesfalsosinosepidequeXseacompacto.4.26 Ejercicio. () Probar que si Xes metrico y compacto entonces Xes 2onumerable.(Sugerencia:Construirbaseconbolasderadio1n.)4.27Ejercicio. ()DemosaX= [0, 1] [0, 1]latopologadelordenlexicogr aco.(a)ProbarqueXescompacto.(b)Encontrarelconjuntodepuntosdeacumulaci ondeA = [0, 1] 12.(c)ProbarqueXes1onumerable.(d)ProbarqueXnoes2onumerable.(e)ProbarqueXnoesmetrizable.395. ConexidadSeaXunespaciotopologico. Unaseparaci onenabiertos paraXesunaparejadeabiertosnovacos(U, V )deXtalqueX= U V yU V= .DecimosqueXesconexosinoexisteseparaci onenabiertosparaX.Encasocontrario,sedicequeXesdisconexo.5.1Ejemplo. (a)Si X=(0, 1) [, )entoncesXesdisconexo(U=(0, 1)yV =[, )formanunaseparaci onenabiertos).(b) ZZesdisconexo.(Unaseparaci onpuedeserU= (0, 0),V= ZZ (0, 0).)Engeneral,cualquierespaciodiscretoconalmenosdoselementosesdisconexo.(c)SiXtienelatopologaindiscretaentoncesXesconexo.(d) Si Xes innito y tiene la topologa conita entonces Xes conexo (pues cualesquieradosabiertosseintersectan).(e) El conjunto Q de los n umeros racionales es disconexo. (Una separaci on en abiertos es(,2) Q, (2, ) Q).)(f) Rlesdisconexo.(Unaseparaci onenabiertoses(, 0), [0, ).)(g) El subespacioXdeR2denidopor X= (x,1x) : x >0 ((0, )0) esdisconexo(tanto (x,1x): x>0como(0, )0sonabiertosenXpuesseobtienencomolainterseccionde (x, y) : x > 0, y>12xy (x, y) : x > 0, y 0 (0 [1, 1])esconexo.5.2Observacion. SeaY unsubespaciodeunespaciotopol ogicoX. Entonces Y esconexosiys olosinoexistenUyV abiertosdeXtalesque(a)U Y ,= yV Y ,= .(b)Y U V .(c)Y U V= .Demostraci on.EstoesclaropensandoenlosabiertosrelativosU Y yV Y . 5.3Proposici on. Seaf : X Y continua. Si Xes conexoentonces tambienloesf(X).Demostraci on.Si(U, V )fueraunaseparacionenabiertosdef(X)entoncesunasepa-raci onenabiertosparaXsera(f1(U), f1(V )). 5.4Lema. Si CesunsubconjuntoconexodeXy(U, V )esunaseparaci onparaX,entoncesC UoC V .Demostraci on.Esclaroporquesino(U, V )seraunaseparacionparaC. 405.5Corolario. Si C: esunafamiliadeconexoscon

C ,= , entonces

Cesconexo.Demostraci on.Suponiendo que no, sea (U, V ) una separaci on para C=

Cy seac C.Sinperdidadegeneralidad,c U;cadaCdebeestarcontenidoenUoenV ,perocomo todos intersectan a U, entonces todos estan contenidos en U, por lo que V A = . 5.6 Corolario. Sea C1, C2, . . . una familia de conexos tal que CnCn+1 ,= para todan.Entonces

nNCnesconexo.Demostraci on. Supongamos que no y sea (U, V ) una separaci on en abiertos. Como cadaCnesconexoestacontenidoenalgunodeUoV .SupongamosqueC1 U.SeanelprimernaturaltalqueCn V .Entonces , = Cn1 Cn U V ,locualesunacontradiccion. 5.7 Nota. Enlademostraci onanterior se usoel Principiodel BuenOrden(que esequivalentealPrincipiodeInducci on)paraprobarquetodoslosCnestabancontenidosenU.Sinembargo,seraincorrectodecirqueelresultadoesv alidoparadosconexos(por[])ydespuesdecirqueentoncesesciertalaproposici onporinducci onpueslainduccions olonosllevaraaconcluirquelauni onnitadeconexosqueseintersectanencadenaestambienconexo.5.8Corolario. Si Y es unsubconjuntoconexodeXyYZ Y , entonces Zesconexo.Demostraci on. Supongamosquenoysea(U, V )unaseparacionenabiertosparaZ.ComoYesconexo,entoncesYest atotalmentecontenidoenalgunodeUoV ;supongamosque Y U. Supongamos que hay un elemento z ZV ; como Ves abierto, es una vecindaddez,peroz Y ,portantoV Y ,= ,locualesunacontradiccion. 5.9 Lema. Si Xy Yson dos espacios conexos, entonces tambien lo es su producto XY .Demostraci on. Seax0 X.EntoncesA= x0Y esconexoporserhomeomorfoaY . Por la misma raz on, para cada y Yse tiene que By= Xy es conexo que intersectaaA, demaneraqueCy=A Bytambienesconexo. EntoncestodoslosCyseintersectan(puestodoscontienenaA)asque

y Cy= X Y esconexo. 5.10Proposicion. Si X: esunafamiliadeconexosentoncestambienloesX=

X.Demostraci on.Sea a = (a) Xjo. Para cada F nito, si F= 1, . . . , k seaZF= X1Xk

=ia = (x): x= a F.41Observemos que ZFes homeomorfo a X1Xk, por tanto es conexo y entonces tambienloesZ=

F ZFpueslosconjuntoscontienentodosaa.VeamosahoraqueZesdensoenX.SeaUabiertobasicodeX,U= U1Uk

=iX.SeaF= 1, . . . , kyseaxi Uiparai =1, . . . , kyx=aparatoda F.Entonces(x) U Z. Un continuolineal es un espacio totalmente ordenado Xen el que se satisfacen adem aslassiguientesdoscondiciones:(a)Lapropiedaddelsupremo,(b)Dadosa < benXexistec Xtalquea < c < b.5.11Ejemplo. (a) Rescontinuolineal.(b) Qnoloespuesnosesatisface(a)(aunque(b)ssesatisface).(c) Nnoloespuesnosesatisface(b)(aunque(a)ssesatisface).(d) R2con la topologa del orden lexicogr aco no lo es pues cualquier lnea vertical es unconjuntonovacoacotadosuperiormenteperonotienesupremo.(e) R [0, 1]conlatopologadelordenlexicogracosescontinuolineal.(f)[0, 1] (2, 3](pensadocomosubespaciode R)noescontinuolinealpuessutopologanoesladelorden(aunquessatisface(a)y(b)).(g) [0, 1](2, 3] con la topologa del orden s es un continuo lineal (de hecho, es homeomorfoalsubespacio[0, 1]de R).5.12Proposicion. Si Xes uncontinuolineal yY es unintervalo, rayooY =X,entoncesY esconexo.Demostraci on.Supongamos que no y sea (U, V ) una separaci on en abiertos. Sea a UyseabV . Supongamos, sinperdidade generalidad, a 0talque[t0, t0 + ) B12(a0),peroestocontradiceelhechodequet0= sup(T). 5.2. ComponentesSea Xun espacio topol ogico. Una componente es un subconjunto conexo m aximo CdeX(esdecir,noexisteDsubconjuntoconexodeXdelcualCseasubconjuntopropio).5.18Ejemplo. El espacio total Xes la union ajena de sus componentes y todo subcon-juntoconexodeXest acontenidoenalgunacomponente. 5.19Ejemplo. (a) Rs olotieneunacomponentepuesesunespacioconexo.(b)Si Xtienelatopologadiscreta, entonceslascomponentesconstandeunelementocadauna(porestarazondecimosqueXestotalmentedisconexo).(c) Qestotalmentedisconexo.(d)SiX= [0, 1) [2, 3)entoncesXtienedoscomponentes:[0, 1)y[2, 3).5.20Proposicion. SiCesunacomponentedeXentoncesCesunconjuntocerrado.Demostraci on. Estoesconsecuenciainmediatadequelacerraduradeunconexoesconexo. Claramente,sielconjuntodecomponentesesnito,entonceslascomponentessontam-bienabiertas;sinembargo,enelcasodeunn umeroinnitodecomponentesestopuedenoserciertocomolomuestraelsiguienteejemplo.445.21Ejemplo. Si X= 0 1n: n Nentonces Xes totalmentedisconexo; lascomponentesdelaforma 1nsonabiertasperolacomponente 0noloes. An alogoaladenici ondecomponentedenimoscomponenteportrayectoriasco-mounsubconjuntocptmaximo. Lascomponentesportrayectoriasnosonnecesariamentecerradascomolopruebaelejemplosiguiente.5.22Proposici on. LascomponentesportrayectoriasdeX,lacurvadeltop ologo,sonA = 0 [1, 1]yB= (x, sen_1x_) : x > 0;AescerradoperoBnoloes.Demostraci on. Comovimosen[] ning unpuntodeApuedeconectarsemedianteunatrayectoriaaunpuntodeB; porotrolado, A [0, 1] yB R, as queambosAyBsonconexosy,portantocpt.EsclaroqueAescerradoperoqueBnoloes. 5.3. ConexidadlocalSea Xun espacio topol ogico y sea x X. Decimos que Xes localmente conexo en x sipara toda vecindad Nde x existe una vecindad abierta y conexa Ude Xtal que x U N;enotraspalabras,xtieneunabaselocaldevecindades(abiertas)conexas.DecimosqueXeslocalmenteconexosiloesencadaunodesuselementos.Es importanteel quelavecindadconexaseaabierta. CuandosolosepidequeexistaUvecindadconexadecimosqueXesconexoenpeque noenx. Esclaroquelocalmenteconexo implica conexo en peque no pero el recproco es falso, de acuerdo al siguiente ejemplo.5.23Ejemplo. SeaXelsubespaciode R2construidocomosigue:ConverticeencadaunodelospuntosPn= (1n, 0)(paran N)pongamoslossegmentos on,mdelasrectasconpendiente 1myquevandesdeelpuntoconabcisa1n+1hastaPn.Alauni ondetodasestasescobasagreguemosel segmento[0, 1]0. EntoncesXesconexoenpeque noperonolocalmenteconexoenP0= (0, 0).Demostraci on. Observemos queparacadan Nlos segmentos on,mseacercanalsegmento [1n+1,1n]0. Cualquier vecindad abierta de P0 contiene siempre puntos de algunosdelossegmentossincontenertotalmenteal segmento(esdecir, contienerayitassueltas)y, portanto, nopuedeserconexa; sinembargo, losdiscos(restringidosaX)delaformaD1n(P0) = x X: [[x P0[[ 1nsonvecindades(puescontienenalasbolasconelmismoradio)y estasssonconexas(dehecho,conexasportrayectorias). An alogamentedenimoslocalmenteconexoportrayectorias(abreviadolocalmente45cpt).5.24Observaci on. Localmentecptimplicalocalmenteconexo.5.25Ejemplo. (a)X= [0, 1) [2, 3)eslocalmenteconexo.(b)Lacurvadel top ologonoeslocalmenteconexoenlospuntosdeA(peros loesenlospuntosdeB).(c) Qnoeslocalmenteconexoy,portanto,tampocolocalmentecpt.5.26Proposici on. UnespacioXeslocalmenteconexo(resp.localmentecpt)siys olosilascomponentes(resp.componentesportrayectorias)delosabiertossonabiertas.Demostraci on.Demostraremos solo la parte de conexidad local pues la otra es analoga.Supongamos que Xes localmente conexo y sea Cuna componente de un abierto A de X. Seax C;comoXeslocalmenteconexoyAesvecindaddex(porserabierto),tomemosunavecindadabiertayconexaUdexcontenidaenA. Comox UytambienenC, entoncesU C ,= ,porlocualU X(porserCm aximoconexodeA),dedondeCesabierta.Ahorasupongamos que las componentes delos abiertos sonabiertas yseax XyN A; sin perdida de generalidad supongamos que Nes abierta y tomemos la componenteCdeNquecontengaax;entoncesCesabiertay,portanto,esvecindaddex. 5.27Proposicion. SiXeslocalmentecptentonceslascomponentescoincidenconlascomponentesportrayectorias.Demostraci on.Veamos primero que toda componente por trayectorias es componente.SeaT unacomponentepor trayectorias; entonces T es conexoas queestacontenidaenalgunacomponenteC.VeamosqueT= C.Supongamosquenoyparacadax C TseaTxlacomponenteportrayectoriasquecontieneax;entoncesTx C(porserTxconexo)ytenemosqueC=T

xC\T Tx.PorserXlocalmentecpt,tambieneslocalmenteconexoas que Ces abiertaytambienlosonT ylas Tx, peroentonces (T,

xC\T Tx) es unaseparaci onenabiertosdeC,locualesunacontradiccion.EntoncesT= C.Ahorausemosloanteriorparaprobarquetodacomponenteescomponenteportrayec-torias. SeaCunacomponente de Xyseax C; consideremos Txlacomponente portrayectoriasquecontieneaX;entoncesTx Cy,porloprobadoarriba,Tx= C. 5.28Corolario. SiXeslocalmentecptyXesconexo,entoncesXescpt. 5.29Corolario. Si XeslocalmentecptyUesabiertoyconexo, entoncestambienescpt.46Demostraci on. Primeraforma. Tenemos que Utambienes localmente cpt pues lasvecindadesabiertasyconexasdentrodeUtambiensonabiertasenX.Segundaforma.Seax UyseaA = y U: existetrayectoriadexay.QueremosprobarqueA = Uasque,comoUesconexo,bastaobservarqueAesabiertoycerrado, lo cual es obvio pues si y A U, entonces existe una vecindad abierta y cpt Vdeydentro de U, as que la trayectoria de x a yse puede extender a una trayectoria a cualquierelementodeV y,portanto,V A;estemismorazonamientoseaplicaalcomplementodeA. 5.30Corolario. En RnsiUesabiertoyconexo,entoncestambienescpt.Demostraci on.Tenemosque Rneslocalmentecpt(pueslasbolassoncpt). 5.31Ejercicio. Probarquesi X: esunafamiliadeespaciostopol ogicostalesque

Xesconexo,entoncesXesconexoparatoda.5.32Ejercicio. Probar que todo espacio discreto es totalmente disconexo. Es cierto elrecproco?5.33Ejercicio. () SeaXconexoyseaAunsubconjuntopropioynovacodeX.ProbarqueA ,= .Probaradem asqueestapropiedadcaracterizaalosespaciosconexos.5.34Ejercicio. ()Probarque Ry R2nosonhomeomorfos.5.35Ejercicio. ()EncontrardosespaciosnohomeomorfosXyY talesqueexisteninmersionesf: X Y yg: Y X.5.36Ejercicio. Probarque(0, 1),[0, 1)y[0, 1]sontodosnohomeomorfosentres.5.37Ejercicio. Probarque(a)productodecptsescpt,(b)imagencontinuadecptescpt,(c)uniondecptsconintersecci onnovacaescpty(d)cerraduradecptnosiempreescpt.5.38Ejercicio. ()SeaXlocalmenteconexo(respectivamentelocalmentecpt)yseaf: X Y continua.Probarquesifesabiertaentoncesf(X)eslocalmenteconexo(resp.localmentecpt).475.39Ejercicio. ()ProbarqueII(aqu I=[0, 1])conlatopologadel ordenlexi-cogr acoeslocalmenteconexoperonolocalmentecptydeterminarcualessonlascompo-nentesportrayectorias.5.40 Ejercicio. () Sea K= 1n: n N. Encontrar las componentes y las componentesportrayectoriasdelossiguientessubespaciosde R2:A = (K[0, 1]) (0[0, 1]). B= A012 C= B([0, 1] 0). D = (K[0, 1]) ((K) [1, 0]) ([0, 1] (K)) ([1, 0] K).5.41 Ejercicio. () Probar que si Xes metrico conexo con m as de un elemento entoncesXesperfecto(esdecir,todopuntoesdeacumulacion).5.42Ejercicio. () (a) Dar un ejemplo de una funci on inyectiva y continua f: R R2cuyaimagenseaunespacionolocalmenteconexo.(b) Probar que si f: [0, 1] R2es una funci on inyectiva y continua entonces f([0, 1]) eslocalmenteconexo.(Sugerencia.[0, 1]escompacto).5.43Ejercicio. Probarque 0, 1[0, )conlatopologadel ordenlexicogr acoesconexoportrayectorias.48