Clase13 Compensadores Bode

Compensacin utilizando

Boode

Mtodos de respuesta en

frecuencia

Compensacin utilizando mtodos de respuesta en frecuencia

1.- Compensacin en adelanto


Se utiliza el compensador en adelanto siguiente

101

1

1

1)(

s

sK

s

sKsG ccc

1

1)(

j

jKjG cc m

0

m

1

)1(2

1

)1(2

1

1. Compensacin en adelanto

donde es el factor de atenuacin y es la ganancia del

compensador adelanto. El diagrama polar del compensador es

cK


10

0

10

20

90

01.0 1 10 100

dB

10

El ngulo de fase mximo se observa por la recta tangente a la grfica

polar y que pasa por el origen. Este ngulo mximo depender del

valor de , aumentando si disminuye. La relacin -ngulo

mximo es

1

1msen

El diagrama de Bode del compensador, para es1.0,1


1log

1log

2

1log m

1m

De la grfica de Bode se observa que el ngulo mximo del

compensador ocurre en la frecuencia media entre polo y cero

Tcnicas de compensacin en adelanto

1. Suponga el compensador en adelanto

1

1

s

sKsG cc

defina cKK

El compensador y la planta en lazo abierto quedan

sKGs

ssGsGc

1

1


Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constante

esttica de error propuesta

K

2.- Dibuje el diagrama de Bode , que es el sistema con la

ganancia ajustada sin compensar.

)(sKG

3.- Determine el ngulo de fase que se necesita agregar al sistema. A

ese valor, agrguele de 5 a 12 ms (por el desplazamiento de la

magnitud).

4.- Con el ngulo deseado, determine el factor de atenuacin

1

1msen

despus determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no

compensado sea

1log20


Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Utilizando esta frecuencia la ecuacin

1m

se obtiene el valor del cero y del polo

1

1

5.- Con y , calcule la constante del compensadorK

KKc

6.- Verifique el margen de ganancia del sistema compensado.


Compensadores en adelanto

Ejemplo: Disee un compensador en adelanto que haga que el error

en estado estable ante una rampa sea de 0.05, es decir la constante

de error esttico de velocidad sea de . Al mismo tiempo, el

margen de fase sea mayor a 45. En el siguiente sistema:vK

120 seg

)3(

5.7)(

sssG

Solucin:

1) Se supone un compensador en adelanto de la forma

1

1)(

j

jKsG cc

nota: La forma normalizada del compensador, permite ver la

aportacin de ganancia del compensador .)( cK

se define cKK


2) Se encuentra la ganancia que junto con el sistema cumplan con la

constante de error esttico de velocidad.

205.2)3(

5.7lim)(

1

1lim)()(lim

000

K

ss

KssKG

s

ssGssGK

ssc

sv

8K

3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la

ganancia K

K

)3(

60)(

sssKG

)13

1(

20)(

jj

jKG

Diagrama de Bode



4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase y determine el

adelanto de fase que se requiere agregar:

9.21fM 45deseadoM f

5ffm MdeseadoM

281.28m

5) De se obtienem

1

1msen

361.0


6.- Ahora se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar

el compensador. Se utiliza )/1log(20

4249.4)361.0/1log(20

se observa en el diagrama de Bode en qu frecuencia se tiene una

magnitud de y se define como la nueva frecuencia de

cruce de ganancia. Del diagrama se observa que esta frecuencia es)/1log(20

./77.9 segradc

Despus se hace que a esta

frecuencia ocurra el mximo

aumento de fase . En otras

palabra es la frecuencia

media entre frecuencia de corte

del cero y del polo.

cm


cm

1

7.- Se obtiene el cero y el polo del compensador

8701.51

c

2607.161

c

cero polo

8.- Con y se obtiene la ganancia del compensador K

16.22

KKc

y el compensador es

2607.16

8701.516.22)(

s

ssGc


segrada

M f

/77.9

1.45 GGc

GGc

G

G

cG

cG


2.- Compensacin en atraso


2. Compensacin en atraso

Se utiliza el compensador en atraso

11

1

1

1)(

s

sK

s

sKsG ccc

el valor del polo es ms positivo que el del cero .

1

1

El diagrama polar del compensador en retraso es

0

cKcK

Re

Im


Mientras el diagrama de Bode es el siguiente:

0

10

20

90

0

01.0 1.0 1 10

dB

1011cK

Tanto el diagrama polar como el de Bode muestran el valor ms

negativo de la fase entre las frecuencias de corte del polo y el cero.

Mientras que la magnitud total disminuye en 20 dB. Por lo que se

busca una atenuacin en altas frecuencia para aportar un margen de

fase adecuado al sistema.


Tcnicas de compensacin en atraso

1. Suponga el compensador en atraso

11

1

1

1)(

s

sK

s

sKsG ccc

se define cKK

y el sistema compensado es

)(1

1)()( sKG

s

ssGsGc

2.- Determine la ganancia que satisfaga el requisito de constante

esttica de error propuesta

K

3.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar con la

ganancia .K


4.- Si no cumple con los requisitos de margen de fase deseados.

Entonces encuentre la frecuencia donde el ngulo de la fase es -180

ms el margen de fase requerido, ms unos 5 o 12 grados.

5.- Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de la

ganancia.

6.- Despus seleccione la nueva frecuencia de corte del cero ms

o menos una dcada alejada del nueva frecuencia de cruce de la

ganancia, obtenida en el paso 5. Esto se hace para alejar de la

frecuencia de cruce, los efectos del atraso de fase. La limitante es no

hacer la constante de tiempo del polo muy grande.

1


7.- Determine la atenuacin necesaria para llevar la curva de

magnitud a cero dB, en la nueva frecuencia de cruce. Con esta

atenuacin se determina el valor de .

log20dB

8.- Con el valor de y el cero, se obtiene la frecuencia de corte del

polo

1

9.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:

KKc


Compensadores en atraso

Ejemplo: Compense el siguiente sistema:

de forma tal que la constante de error esttico de velocidad sea de

. , el margen de fase sea al menos de 40 y el margen de

ganancia al menos de 10dB.

)2)(1(

2)(

ssssG

vK15 seg

Solucin:

1) Se utiliza un compensador en atraso de la forma

1

1)(

s

sKsG cc

se define

cKK


2) Ajustar la ganancia para que junto al sistema cumpla con las

especificaciones de error esttico de velocidad.K

5)2)(1(

2lim)(

1

1lim

00

ssssKsKG

s

ssK

ssv

5K

3) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la

ganancia K

)2)(1(

10)(

ssssKG

)15.0)(1(

5)(

jjjjKG


Diagrama de Bode

3)


4) Del diagrama de Bode, observe el margen de fase. El sistema tiene

un margen de fase de -13, por lo que es inestable.

Se busca el valor de frecuencia en donde se tiene un ngulo de fase

de -180+ el margen de fase deseado + 12 de compensacin por el

cambio de fase.

128

1240180


5) Generalmente se coloca el cero para que tenga un frecuencia de

corte una dcada menor que la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

En este caso correspondera a , pero por cuestiones de

diseo, no se recomiendan constantes de tiempo muy grandes y se

opta por asignar al cero una frecuencia de corte de

log2020

./.05.0 segrad

./.1.0 segrad

1.01

6) Lo siguiente es hacer que en la nueva frecuencia de cruce

seleccionada ( ) la magnitud pase por 0dB. De la

grfica de Bode se observa que en la frecuencia de cruce

seleccionada, la magnitud es de 19.4. Se considera que hay que

restar 20 dB.

./.469.0 segrad

10


7) Con el valor de y el valor del cero, se obtiene el polo

100

11

8.- Por ltimo se obtiene la ganancia del compensador:

10

5

KKc

01.0

1.05.0)(

s

ssGc

El compensador en atraso queda:


segrada

M f

/454.0

6.41

GGc

GGc

G

GcG

cG


3.- Compensacin en atraso-adelanto


1,11

11

)(

2

2

1

1

s

s

s

s

KsG cc

3. Suponga el compensador en atraso-.adelanto

1 0

1

Im

Re

Es comn seleccionarPara el compensadores en atraso.

Para el compensadores en adelanto.

La frecuencia es aquella donde el ngulo de fase es cero.

10

1

Fig. 1Diagrama polar .,1 cK

1


0

10

20

0

1

001.0

dB

90

90

10

1

01.0

1

1.0

1

1

1

10

1

100

Fig.2 Diagrama de Bode del compensador atraso-adelanto.

.10,,1 12 cK

21

1

1

La frecuencia se obtiene de:1


Compensadores en atraso-adelanto

Ejemplo: Compense el siguiente sistema cuya funcin de transferencia:

se desea que la constante de error esttico de velocidad sea de .

, , el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia al

menos de 10dB. Utilice un compensador atraso adelanto.

)2)(1()(

sss

KsG

vK110 seg

1) Como el sistema tiene ganancia ajustable , se considera .K cK

Del requisito de error de error esttico de velocidad, se obtiene

102)2)(1(

)(lim)()(lim00

K

sss

KssGsGssGK c

sc

sv

20K


2) Se dibuja el diagrama de Bode del sistema no compensado con 20K

El margen de fase es de -32. El sistema es inestable.


3) Seleccionar la nueva frecuencia de cruce de ganancia. sta ser la

frecuencia donde . El diagrama de Bode muestra180)( jG

./5.1 segradc

4) Se selecciona la frecuencia de corte del cero del compensador de

la parte atraso, una dcada por debajo de la frecuencia de cruce:

./15.01

2

segrad


5) Con el mximo adelanto de fase deseado, se obtiene

1

1

msen si 50m 548.7

pero se escoge que corresponde a 10 9.54m

6) Con esto la frecuencia de corte del polo del compensador parte

atraso es

./015.01

2

segrad

Entonces la parte de atraso del compensador queda:

015.0

15.0

s

s


7) Para la parte de adelanto, se utiliza el valor de magnitud en la

frecuencia de cruce de ganancia (ver Diagrama de Bode). En este

caso es:BjG d13)5.1(

Se selecciona el punto (1.5 rad/seg. , -13 dB ), se traza una lnea recta

de pendiente 20 dB/dcada, donde intersecte la lnea de -20 dB es la

frecuencia de corte del cero de adelanto ( )y donde

intersecte la lnea de 0 dB, es la frecuencia de corte del polo de

adelanto ( ). la parte de adelanto es

./7.0 segrad

./7 segrad

7

7.0

s

s

El compensador atraso-adelanto queda

7

7.0

015.0

15.0)(

s

s

s

ssGc


)(sGc

)(sGc

)()( sGsGc

)()( sGsGc

)(sG

)(sG

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Clase13 Compensadores Bode