Clase25_II

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Diseo: Andrs Gmez 25-1

Clase # 25

Teora de la utilidad

Universidad Nacional de ColombiaSede Medelln


Hasta ahora hemos supuesto que el pagoesperado en trminos monetarios es la

medida adecuada de las consecuencias detomar una accin.

Sin embargo en muchas situacionesesto no es as y se debe utilizar otraescala de medida para las acciones

que realizamos.

Sigue


Suponga que se le ofrece a una persona

50% de posibilidades de ganar $10000050% de posibilidades de no ganar nada

Ganar $40000 fijos

E {p(a1, )}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000E {p(a2, )}= 1* $40000 = $40000

Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperadomayor, muchas personas preferirn los $40000 fijos


En muchas ocasiones los tomadores dedecisiones no estn dispuestos a correr

riesgos aunque la ganancia esperada seamucho mayor

Se pueden transformar los valoresmonetarios a una escala apropiada

que refleje las preferencias deltomador de decisiones, llamadafuncin de utilidad del dinero


Funcin de utilidad para el dinero

u (M)

1

$100000 M

2

3

4

$30000 $60000 $100000Diseo: Andrs Gmez 25-6

No todas las personas tienen una utilidad marginaldecreciente para el dinero. Hay personas que tienen

funciones de utilidad marginal creciente para ste.

Una funcin de utilidadpara el dinero de este tipo

nos muestra una utilidadmarginal decreciente para

el dinero.

La pendiente de lafuncin disminuye

conforme aumentala cantidad de

dinero M

2a derivada < 0

cuando sta existe

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Cuando una funcin de utilidad para el dinero seincorpora en un anlisis de decisiones para un

problema, esta funcin de utilidad debe construirsede manera que se ajuste a las preferencias y valoresdel tomador de decisiones.

El hecho de que distintas personas tienen funcionesde utilidad diferentes para el dinero tienen una

aplicacin importante para el tomador dedecisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre


Bajo las suposiciones de la teora de utilidad, la

funcin de utilidad para el dinero de un tomadorde decisiones tiene la propiedad de que ste semuestra indiferente ante dos cursos de accin

alternativos si los dos tienen la misma utilidadesperada.

La clave para considerar que la funcin de utilidadpara el dinero se ajusta al tomador de decisiones es

la siguiente propiedad de las funciones de utilidad

Propiedad


u (M)

1

$100000 M

2

3

4

$30000 $60000 $100000

Suponga que alguien tiene esta funcin de utilidad


Adems sele ofrece

Ganar $100000 con probabilidad p

(utilidad = 4)No ganar nada con probabilidad 1-p

(utilidad = 0)

El valor esperado de la utilidad con esta oferta es

E(utilidad) = 4 * p


El tomador de decisiones ser entonces indiferente

ante cualquiera de estos 3 pares de alternativas

Ganar $100000 conprobabilidad 0.25

E(utilidad = 1)

Definitivamenteobtener $10000

(utilidad = 1)

Ganar $100000 conprobabilidad 0.5

E(utilidad = 2)

Definitivamenteobtener $30000

(utilidad = 2)

Ganar $100000 con

probabilidad 0.75

E(utilidad = 3)

Definitivamente

obtener $60000

(utilidad = 3)


Para construir una funcin de utilidad para el

dinero se hace lo siguiente:

1. Se le hace al tomador de decisiones una ofertahipottica de obtener una gran suma de dinero con

probabilidad p o nada.

2. Para cada una de las pequeas cantidades se le

pide al tomador de decisiones que elija un valor dep que lo vuelva indiferente ante la oferta y laobtencin definitiva de esa cantidad de dinero.

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Cuando se usa la funcin de utilidad para el

dinero, del tomador de decisiones, para medir elvalor relativo de los distintos valores monetarios

posibles, la regla de Bayes sustituye los pagosmonetarios por las utilidades correspondientes.

Por lo tanto, la accin (o laserie de acciones) ptima es la

que maximiza la utilidadesperada.


Ejemplo GOFERBROKE COMPANY .

En estos momentos la compaa no atraviesa por una

situacin financiera slida y est operando con pococapital. Una prdida de $100000 sera bastante seria.

El peor escenario sera conseguir $30000 para elsondeo ssmico y despus todava perder $100000 en la

perforacin cuando no haya petrleo.

Por otro lado, encontrar petrleo es una perspectivainteresante , ya que una ganancia de $700000 dara ala compaa una base financiera slida.


Realizar

sondeo

ssmi

co

Desfavorable

0.7

Favorable0.3

Perforar

Perforar

Petrleo

1/7

Seco

6/7

Petrleo

1/2

Seco

1/2

Norealizarsondeossmico

Vender

Perforar

Vender

Vender

670

-130

60

670

-130

60

700

-100

90

a

b

c

d

e

f

g

h

Petrleo

1/4

Seco

3/4

-15.7

270

100

270

100

60

123

123


Para aplicar la funcin de utilidad para el dinero deltomador de decisiones es necesario conocer todos los

pagos posibles.

Pago monetario Utilidad

-130 -150-100 -105

60 6090 90

670 580700 600

Veamos la manera como se obtuvo esta tabla


El punto de inicio adecuado para construir lafuncin de utilidad es considerar el peor y el mejor

de los escenarios

Suponga que slo tiene dos alternativas

Alternativa 1 No hacer nadautilidad = 0 pago = 0

Alternativa 2 Probabilidad p : pago 700

Probabilidad 1-p : pago -130

Qu valor de p hara que el tomador de

decisiones fuera indiferente ante las dosalternativas?Diseo: Andrs Gmez 25-18

Suponga que la eleccin del tomador dedecisiones es p = 1/5

4/5 u(-130) + 1/5 u(700) = 0

Uno de los valores de u(-130) y u(700) puedeestablecerse arbitrariamente, con la salvedadde que el primero sea negativo y el segundo

positivo

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Suponga que seleccionamos u(-130) = -150

4/5 (-150) + 1/5 u(700) = 0

u(700) = 600

Para identificar u(-100), se selecciona un valor de p

que haga que el tomador de decisiones sea indiferenteentre un pago de -130 con probabilidad p o la dedefinitivamente incurrir en un pago de -100

Si p = 0.7 u(-100) = p u(-130) = 0.7(-150) = -105


Para obtener u(90) , se selecciona un valor de p que

haga que el tomador de decisiones sea indiferenteentre un pago de 700 con probabilidad p o la

obtencin de un pago definitivo de 90.

Si p = 0.15 u(90) = pu(700) = 0.15 (600) = 90

Con estos valores se puede dibujar unacurva suavizada.


100 200 300 400 500 600 700-100-200

-100

-200

100

200

300

400

500

600Recta del valor monetario

Funcin de utilidad


En resumen

Para f > 0 halle un valor de p tal que sea indiferentetener $700 con ese valor de p, o tener a la fija f y seplantea u ( f ) = u ( 700)* p + 0 * (1-p)

u ( f ) = u ( 700)* p

Se halla u(f)

Para f < 0 halle un valor de p tal que sea indiferentetener -$130 con ese valor de p, o tener a la fija f

u ( -130)* p = u(f)

Se halla u (f)


Observe que u(M) es en esencia igual a M paravalores pequeos (positivos o negativos) de M, y

despus se separa gradualmente para valores grandesde M

Esto es caracterstico de una persona quetienen una aversin moderada al riesgo


Dada la funcin de utilidad para el dinero del dueo

de la compaa, el proceso de toma de decisiones esidntico al descrito en las secciones anteriores excepto

que ahora se sustituyen las utilidades por los pagosmonetarios.

El uso de la teora de la utilidadrefleja la actitud del tomador de

decisiones respecto al riesgo.

Sigue

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Realizar

sondeo

ssmi

co

Desfavorable

0.7

Favorable0.3

Perforar

Perforar

Petrleo

1/7

Seco

6/7

Petrleo

1/2

Seco

1/2

Norealizarsondeossmico

Vender

Perforar

Vender

Vender

670

-130

60

670

-130

60

700

-100

90

a

b

c

d

e

f

g

h

Petrleo

1/4

Seco

3/4

-45.5

215

71.25

215

90

60

106.5

106.5

580

-150

60

580

-150

60

600

-105

90

Pago Util


La poltica global ptima sigue siendo la misma que la

encontrada en la toma de decisiones conexperimentacin.

Muchos tomadores de decisiones no se sienten

suficientemente a gusto con la nocin algo abstractade la utilidad. En consecuencia, la teora de la utilidadtodava no tiene una aplicacin muy amplia en la

prctica.

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