Clase+6_CE

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

TEMA 6

DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA

Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez

Ciclo Ene – Abr 2010San Cristóbal, RD

TABLA DE CONTENIDO

1. NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS

2. CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS

3. CAPACITANCIA

4. EJEMPLOS DE CAPACITANCIA

5. CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS

NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS

Preliminar

La presencia de un campo eléctrico en un material aislante desplaza las cargas [∆d] formando grupos de dipolos eléctricos. Este efecto se mide por medio de la constante dieléctrica o permitividad relativa.

El desplazamiento de carga es el principio de almacenamiento de carga en los capacitores.

Un dieléctrico se puede considerar como un arreglo de dipolos microscópicos compuestos por cargas positivas y negativas cuyos centros no coinciden perfectamente.

1

Las cargas de estos dipolos no son libres, por tanto, no contribuyen a la corriente de conducción. Las mismas sólo pueden cambiar su posición ligeramente por efecto de campos eléctricos externos, y se les conoce como cargas ligadas.

Todos los dieléctricos (sólidos, líquidos o gases) tienen la capacidad de almacenar energía, cambiando las posiciones relativas a las cargas positivas y negativas ligadas, en contra de las fuerzas moleculares y atómicas.

NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.)

Polarización en Dieléctricos

Moléculas Polares: presentan un desplazamiento permanente entre el centro de gravedad de un par de cargas que actúa como dipolo, y los dipolos restantes.

Con estas moléculas se verifica lo siguiente:

2

Orientación dipolos sin el efecto de un campo eléctrico → Aleatoria.

Orientación dipolos con el efecto de un campo eléctrico → Alineados en la misma dirección.

Moléculas No Polares: no presentan arreglos dipolares sino hasta que se aplica un campo.

En ambos tipos de dipolos, la nube de electrones presenta una distribución de carga que se puede describir por su momento dipolar, en la forma:

dp Q

Carga ligada + de las que forman el dipolo.

Vector que se dirige desde la carga – a la +

Vector Momento Dipolar.


Polarización en Dieléctricos (Cont.)

La formación de n dipolos en un volumen ∆v debidos al campo eléctrico, presenta un momento dipolar total :

Si los pi están alineados en la misma dirección, ptotal es significativo.

Si los pi están alineados en forma aleatoria, ptotal es aproximadamente cero.

3

N

iiitotal

N

iiinn

Q

QQQQ

1

12211

dp

dddd

La Polarización se define como el momento dipolar por unidad de volumen, esto es: [C/m2]

Suponiendo que se tiene un material dieléctrico cuyas moléculas son no polares, es decir, pi=0, entonces: P=0 en el interior del material.

v

QN

iii

v

1

0lim

dP



Consideremos un elemento de superficie ∆S en el interior de un dieléctrico en el cual está presente un campo eléctrico E.

4

En la parte b observamos moléculas no polares formando momentos dipolares p y polarización P. En este caso existe una transferencia neta de cargas ligadas a través de ∆S.

Como existen n moléculas/m3, la carga total que cruza ∆S hacia arriba es :

Considerando la notación de Polarización, se tiene:

Sd nQSdnQQligadas cos

ddP nQdvQv

vn

0

1

SP ligadasQ



Si evaluamos la expresión :

en una superficie cerrada, con ∆S hacia fuera, se tiene:

De la Ley de Gauss:

5

SP ligadasQ

S

ligadas dQ SP

S vol

vEncerradaTotal dvdQ SD

Observando estas expresiones, y recordando que la Carga Total Encerrada [QT] =QLIBRES + QLIGADAS.

Despejando y sustituyendo, se tiene:

En términos generales:

S

LigadasTotalLibres

dQ

QQQQ

SPE0

PED 0

Aplica a un material polarizable.



Cargas y Densidades Volumétricas aplicables:

6

v

tEncerradaTotal

v

vLibres

v

lLigadas

dvQ

dvQ

dvQ

S vol

vvLibres

S vol

ttEncerradaTotal

S vol

llLigadas

dvdQ

dvdQ

dvdQ

DPESPE

ESD

PSP

00

0

Aplicando el Teorema de la Divergencia, se verifican las siguientes relaciones equivalentes divergentes:



La polarización se puede expresar en función de E, tomando en cuenta que la misma depende del tipo de material y considerando su limitación a los materiales isotrópicos [las mismas propiedades en todas las direcciones] en donde E y P varían linealmente. Esta relación es:

Xe es la suceptibilidad eléctrica del material, y es adimensional.

Dado que , entonces:

7

EP 0eX

PED 0

ED

EED

0

0

e

e

X

X

10

Resulta :

La expresión : 1+Xe se conoce como permitividad relativa o constante dieléctrica, y es adimensional, esto es:

En el caso del vacío y materiales no dieléctricos (como metales), εr=1.

ED

ED

ED

0

0

01

r

r

eX


8

En la práctica los dieléctricos no son ideales, y cuando el campo eléctrico es muy grande, arrebatan electrones a las moléculas hasta que se convierten en conductores, en este caso ha ocurrido una → disrupción dieléctrica.

La resistencia dieléctrica es el campo eléctrico máximo que un dieléctrico puede tolerar o soportar sin disrupción.

Cápsulas …

9

D6.1

Cierta placa de material dieléctrico tiene una constante dieléctrica relativa de 3.8 y una densidad de flujo eléctrico uniforme de 8 nC/m2. Si el material no tiene pérdidas, encontrar:

(a)|E|(b)|P|(c)Número promedio de dipolos por m3 si el momento promedio del dipolo es de 10-29 C.m.


Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:a)238 V/mb)5.89 nC/m2

c)5.89 x 1020 m-3

10

Considere la frontera entre dos dieléctricos perfectos con ε1 y ε2 , como se muestra en la figura:

1. Evaluamos la componente tangencial de E a través de la trayectoria cerrada, mediante:

CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS

0LE d

Cont. 1 …

Resultando :

Para este escenario se ha supuesto que ∆h → 0, reduciendo la contribución normal, y por tanto, limitando el análisis a la superficie.

02tan1tan wEwE

2tan1tan EE

Componente continua a través de la frontera.

11

2. Evaluamos la componente tangencial de D a través de la misma trayectoria:

Como , entonces:

3. Ahora evaluamos las condiciones de frontera a las componentes normales, aplicando la Ley de Gauss, esto es:

CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)

ED 0

2

2tan

1

1tan

DD

2

1

2tan

1tan

D

D

Componente discontinua a través de la frontera.

sNN

sNN

DD

SQSDSD

21

21

Cont. 3…Debido a que el análisis se realiza para un dieléctrico perfecto, no hay cargas libres en la interfase, por tanto:

y en el caso del campo:

21 NN DD

Componente Continua

2211 NN EE

Componente Discontinua

12

Análisis de Refracción en la Interfase Dieléctrica

En la siguiente figura se analiza la refracción de D en la interfase dieléctrica. Para el caso mostrado, ε1> ε2, E1 y E2 están dirigidos a lo largo de D1 y D2, con D1 >D2 y E1 < E2.


En la frontera se cumple que:

Por tanto:

(1)

Por otro lado:

Verificando que:

(2)

21 NN DD

2211 coscos DD

2

1

2tan

1tan

D

D

2

1

22

11

2tan

1tan

sin

sin

D

D

D

D

112221 sinsin DD

13

Análisis de Refracción en la Interfase Dieléctrica (Cont.)

Dividiendo (2) entre (1), se tiene:

De la ecuación (1) :


Elevando al cuadrado la expresión anterior, se tiene:

Multiplicando por 1, se verifica:

Reacomodando:2

1

2

1

1221

11

112

22

221

tan

tan

tantan

cos

sin

cos

sin

D

D

D

D

2

1

1

2

cos

cos

D

D

22

122

1

2

cos

cos

D

D

22

22

22

122

1

2 cossincos

cos

D

D

22

22

12

2

1

2

cos

sin1cos

D

D

Sigue

14


Distribuyendo y reacomodando:

Sustituyendo:


Se tiene:

Por tanto, la magnitud de la densidad de flujo es:

12

22

22

12

2

1

2 coscos

sincos

D

D

12

12

22

12

2

1

2

12

12

12

22

22

12

2

1

2

sintan

tancos

sin

sincos

cos

sincos

D

D

D

D

1

2

1

2

2

1

2

1

tan

tan;

tan

tan

12

2

1

21

2

2

1

2 sincos

D

D

12

2

1

21

212 sincos

DD

Sigue

15


En el caso de la magnitud del Campo Eléctrico, partimos de la expresión (2):

Reacomodando y después elevando al cuadrado:


Multiplicando por uno:

Reacomodando y distribuyendo:

2211

221112

sinsin

sinsin

EE

DE

DD

Sigue

22

122

1

2

2

1

1

2

sin

sin

sin

sin

E

E

E

E

22

22

22

122

1

2 cossinsin

sin

E

E

22

22

12

12

2

1

2

22

22

12

2

1

2

sin

cossinsin

sin

cos1sin

E

E

E

E

16


Incorporando Artificio y reacomodando:

Como:


12

22

22

12

12

12

2

1

2

12

12

22

22

12

12

2

1

2

cossin

cos

cos

sinsin

cos

cos

sin

cossinsin

E

E

E

E

1

2

1

2

2

1

2

1

tan

tan;

tan

tan

12

2

2

11

2

2

1

2

12

21

11

2

2

1

2

cossin

costan

tansin

E

E

E

E

Por tanto:

Resultando:

12

2

2

11

212 cossin

EE

17

CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)D6.2

Sea la región z<0 compuesta por un material dieléctrico uniforme cuya εr=3.2, mientras que la región z>0 está caracterizada por εr=2. Sea D1=-30ax+50ay+70az nC/m2, encontrar :

(a)DN1

(b)DT1

(c)DT1

(d)D1

(e)θ1

(f)P1


Respuestas:a)70 nC/m2

b)-30ax+50ay nC/m2

c)58.3 nC/m2

d)91.1 nC/m2

e)39.8°f)-20.6ax+34.4ay + +48.1az

nC/m2

18

CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.)D6.3

Continuar el problema anterior, encontrando:

(a)DN2

(b)DT2

(c)D2

(d)P2

(e)θ2


Respuestas:a)70az nC/m2

b)-18.75ax+31.25ay nC/m2

c)-18.75ax+31.25ay + 70az nC/m2

d)-9.38ax+15.63ay + 35az nC/m2

e)27.5°

19

Capacitancia

Consideremos dos conductores cargados con cargas opuestas, M1 y M2, rodeados por un dieléctrico uniforme. No existen otras cargas presentes, por tanto la carga total es cero.

CAPACITANCIA

Algunos detalles :1.M2 lleva la carga positiva.

2.El flujo eléctrico se dirige de M2 a M1.

3.El transporte de una carga positiva desde M1 hasta M2 implica la realización de un trabajo.4.Consideremos la diferencia de potencial entre M2 y M1 como Vo.

20

Capacitancia (Cont.)

Definición: La capacitancia C del Capacitor es la razón de la magnitud de la carga en una de las placas a la diferencia de potencial entre ellas, es decir:

[F, C/V]

La supresión del signo negativo que precede a :

De debe a que lo que nos interesa es el valor absoluto de V.

CAPACITANCIA (CONT.)

LE

SE

d

d

V

QC

0

LE dV

La obtención de C implica :

1.Presuponer Q y calcular V en términos de Q → implica Ley de Gauss.2.Presuponer V y se calcula Q en términos de V → implica ecuación de Laplace.

Cápsula:Los valores comunes de capacitancia son fracciones muy pequeñas de un farad, y consecuentemente es más práctico utilizar unidades como: μF, nF, pF.

21

Capacitancia Capacitor Placas Paralelas

Sean dos planos conductores paralelos infinitos, con una separación d entre ellos. El conductor inferior se localiza en z=0 y el superior en z=d, como se muestra en la siguiente figura:

Una carga superficial +ρs se encuentra en un conductor y -ρs en el otro.


Recordemos que en este escenario se produce un campo eléctrico uniforme igual a:

Como D se dirige hacia arriba, la carga del plano inferior es positiva, resultando que:

Por otro lado, la diferencia de potencial entre los planos es:

zS aE

SzN DD

ddzdV s

d

s

0

LE

22

Capacitancia Capacitor Placas Paralelas (Cont.)

La carga total es infinita en cualesquiera de los planos infinitos.Suponiendo que los planos tienen una superficie S, cuya dimensión lineal es mayor a la distancia d, entonces se puede considerar una distribución de carga uniforme en todos los puntos alejados de la orilla (carga insignificante en esta región).


Esto es:

También:

Por tanto:

d

S

V

QC

dV

SQ

s

s

d

S

Ed

ES

Ed

DS

V

QC

ESDSSQ s

d

SC

La capacitancia es independiente del potencial y de

la carga total porque es constante.

23

D6.4

Encontrar la permitividad relativa de un material dieléctrico utilizado en un capacitor de placas paralelas si:

(a)S=0.12 m2, d=80 μm, V0=12 V y el capacitor contiene 1μJ de energía.(b)La densidad de energía almacenada es de 100 J/m3, V0=200 V y d=45 μm.(c)E=200 kV/m, ρs=20 μm/m2 y d=100 μm.


Respuestas:a)1.05b)1.14c)11.3


24

Capacitancia Cable Coaxial

Capacitancia Capacitor Esférico

VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA

abL

C

L

Q

a

bV

V

QC L

L

ln

2

ln2

ba

baabr

rr

V

QC

rr

QV

r

QE

11

4

11

44 2

Si la esfera exterior es de radio infinito [rb→∞], se obtiene la capacitancia de un conductor, esto es:

rrC a 44

25

D6.5

Demostrar capacitancia equivalente en un capacitor de placas paralelas con 2 dieléctricos e interfase común :

(a)paralela a las placas conductoras(b)Normal a las placas conductoras


Respuestas:a)Capacitancia equiv. en serie.b)Capacitancia equiv. en paralelo.

VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.)

26

D6.6

Determinar la capacitancia de:

(a)Un cable coaxial 35B/U de 1 pie de longitud, que tiene un conductor interno de 0.1045 pulgadas de diámetro interno, un dieléctrico de polietileno (εr=2.26) y un conductor externo con diámetro interno de 0.680 pulgadas.(b)Una esfera conductora de 2.5 mm de diámetro cubierta con una capa de polietileno de 2 mm de espesor rodeada por una esfera conductora de radio igual a 4.5 mm.(c)Dos placas conductoras metálicas de 1 por 4 cm con un espesor despreciable, entre las cuales existen tres capas de dieléctrico, cada una de 1 por 4 cm y 0.1 mm de espesor, con constantes dieléctricas de 1.5, 2.5 y 6.


Respuestas:a)20.5 pFb)1.41 pFc)28.7 pF


27

Capacitancia Línea 2 Hilos

Comencemos analizando dos líneas de carga de longitud infinita, como se muestra en el siguiente gráfico:

Una línea de carga pasa por x=a y la otra por x=-a. Ambas descansan en el plano xz.


El potencial de una sola de las líneas cuya referencia cero se ubica en un punto de radio Ro, es:

Campos de potencial combinados:

HaciendoR10=R20 localizamos la referencia cero a igual distancia de cada línea (superficie plano x=0), se tiene:

R

RV oL ln

2

120

210

2

20

1

10 ln2

lnln2 RR

RR

R

R

R

RV LL

1

2ln2 R

RV L

28

Capacitancia Línea 2 Hilos (Cont.)

Expresando R1 y R2 en función de las coordenadas x e y, se tiene:

Supongamos una superficie equipotencial V=V1 y que el parámetro adimensional K1 =f(V1). Sea el artificio K1:

De manera que:


22

22

22

22

ln4

ln2 yax

yax

yax

yaxV LL

LVeK /41

1

22

22

1yax

yaxK

29


Multiplicando y agrupando se verifica:

Completando cuadrado:

Puesto que la superficie equipotencial V=V1 no depende de z (cilindro) y corta al plano xy en un círculo de radio b, se expresa:

Centro x=h, y=0:


01

12 22

1

12

ayK

Kaxx

2

1

12

2

1

1

1

2

1

1

K

Kay

K

Kax

1

2

1

1

K

Kab

1

1

1

1

K

Kah

30


Considere un plano conductor a potencial cero ubicado en x=0 y un cilindro de radio b con potencial V0 con su eje situado a una distancia h del plano. En este caso se tiene:

Recordando que el potencial del cilindro V0 es:

Despejando:


b

bhhK

bha

22

1

22

LVeK /21

0

1

0

ln

4

K

VL

Para una longitud L en la dirección z, la capacitancia entre el cilindro y el plano es:

bhL

C

bbhh

LC

K

L

K

L

V

LC L

1

22

110

cosh

2

ln

2

ln

2

ln

4

31

Ejercicio

El círculo de la figura siguiente muestra un sección transversal de un cilindro de radio de 5 m que se encuentra a un potencial de 100 V en el vacío, con su eje a 13 m de distancia de un plano con potencial cero. Así, b=5, h=13, V0=100.


Solución

1.Primero se localiza la línea de carga equivalente:

2.Se determina el valor del parámetro de potencial K1:

3.Se determina la densidad de carga lineal:

mbha 12513 2222

25

55

51313

1

2222

1

Kb

bhhK

mnC

K

V

L

L

/46.3

25ln

10010854.84

ln

4 12

1

0

32

Solución …

4. Se determina la capacitancia entre el cilindro y el plano:

5. Ahora identifiquemos la superficie equipotencial cilíndrica localizada a 50V, con sus nuevos parámetros K1, h y b. Primero:

Nuevo radio


5. Cont…

mpF

bh

C /6.34

513

cosh

10854.82

cosh

2

1

12

1

5912

1 1046.3/5010854.84/41

eeK LV

mK

Kab 42.13

15

5122

1

2

1

1

mK

Kah 18

15

1512

1

1

1

1

32

Solución …

6. Recordemos que el campo eléctrico corresponde a menos gradiente de potencial:

Desarrollamos y determinamos la densidad de flujo eléctrico:


7. Evaluando Dx en x=h-b, y=0 obtenemos la densidad de carga superficial máxima:

22

22

ln4 yax

yaxL

E

2222

2222

2

2222

4

yax

yax

yax

yax

yax

yax

yax

yax

yxyxL

yxyxL

aaaaED

aaaaE

22max,

0,,max,

2 abh

abh

abh

abh

D

LS

ybhxxS

22

9

max,12513

12513

12513

12513

2

1036.3

S

2max, /165.0 mnCS

33

Solución …

8.Evaluando la densidad de carga superficial mínima, se tiene:

9.Comparando ambas densidades, se verifica que:


10. Determinando la capacitancia para b<<h, se tiene:

2

min,

22

9

min,

0,,min,

/073.0

6

12513

30

12513

2

1046.3

mnC

D

S

S

ybhxxS

min,max, 25.2 SS

hb

bhL

C

b

h

b

bhh

2ln

2

2lnln

22

34

D6.6

Un cilindro conductor de radio igual a 1 cm y a un potencial de 20V se ubica paralelamente a un plano conductor que está a potencial cero. El plano está a 5 cm de distancia del eje del cilindro. Si los conductores se encuentran inmersos en un dieléctrico perfecto cuya εr=4.5, encontrar:

(a)La capacitancia por unidad de longitud entre el cilindro y el plano.(b)Densidad de carga superficial máxima en el cilindro.


Respuestas:a)109.2 pF/mb)42.6 nC/m


GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN

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