Clase+8_CE

CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

TEMA 8

EL CAMPO MAGNÉTICO ESTABLE Y

CAMPOS VARIANTES CON EL TIEMPO

Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez

Ciclo Ene – Abr 2010San Cristóbal, RD

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN2. LEY DE BIOT-SAVART3. LEY CIRCUITAL DE AMPERE4. FLUJO MAGNÉTICO, DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO Y LEY DE GAUSS5. EL ROTACIONAL6. POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES7. LEY DE FARADAY8. TEOREMA DE STOKES9. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

INTRODUCCIÓN

Preliminar

Una carga eléctrica estática está asociada a un campo eléctrico, mientras que una carga móvil constituye una corriente y consecuentemente un campo magnético.

Fuentes de Campo Magnético

1.Imán Permanente.2.Campo Eléctrico Variable con el tiempo.3.Corriente Directa.

1

Las principales leyes que rigen los campos magnetostáticos son:

1.La Ley de Biot-Savart, y2.La Ley de los Circuitos de Ampere.

Recuerde que en la electrostática, el punto de partida es la ley de Coulomb, mientras que en la magnetostática lo es la ley de Biot-Savart; y como la ley de Gauss respecto a la de Coulomb, así es la ley de Ampere respecto a Biot-Savart.

Ley de Biot-Savart

Expresa que el campo magnético dH de una corta sección dL de un alambre que porta o conduce una corriente I está dado por :

[Am-1]

2

H entra al plano, esto es, normal al elemento diferencial dL y R, formando 3 vectores perpendiculares [Conjunto Dextrorsum o de Mano Derecha].

LEY DE BIOT-SAVART

3

2

R4π

Idd

R4π

Idd

RLH

aLH

R

Ley de Biot-Savart (Cont.)

Recuerde que el producto cruz de 2 vectores se define como un tercer vector de magnitud igual al producto de las magnitudes de los vectores por el seno del ángulo que forman. [Am-1]

Considerando que I es una corriente directa y que la densidad de carga no es f(t), se deduce la ecuación de continuidad:

3

LEY DE BIOT-SAVART (CONT.)

2R4π

sindId

LH

0t

ρv

J

J

Aplicando el Teorema de la Divergencia, se tiene:

Conclusión: La I que fluye en una superficie cerrada es 0, si el flujo sigue una trayectoria cerrada.

volS

volS

0dvd

dvd

JSJ

DSD


A continuación se muestra Biot-Savart en su forma integral:

En términos de fuentes distribuidas, consideremos una corriente total I dentro de una anchura transversal b en la que existe una densidad de corriente superficial uniforme K, como se muestra a continuación:

4


R24π

Ida

LH

R

Sea J la densidad de corriente y K la densidad de corriente superficial, entonces, en el caso uniforme, I es: [m de ancho] [A/m]y en el caso no uniforme:

[Trayectoria Transversal]

KbI

KdNI


Como IdL = KdS = Jdv, se expresa la Ley de Biot-Savart en la forma:

5


v

2R

S2

R

4π

dv

4π

dS

RR

aJH

aKH

Campo Magnético en un Alambre de Largo Infinito:

H hacia adentro

Campo Magnético en un Alambre de Largo Infinito (Cont.) :

De la figura se verifican las siguientes relaciones: [Cateto Opuesto] [Arco]

Como |dH | se define a partir de:

Integrando y sustituyendo :

6


Rsinθρ

RdθdLsinθdL

COsinθ

2R4π

sindId

LH

2

cos4

sin44

sin

sin4π

Idθ

0

0 0

π

0

IH

IH

dIdI

H

H

02

02 44

sin

R

IRd

R

IdLH

φ2

IaH

Dirección

Circunferencial

7


Campo Magnético en un Alambre de Largo Infinito (Cont.) :

En la siguiente figura se muestran las líneas de campo de la intensidad de campo magnético alrededor de un filamento recto de longitud infinita portador de una corriente directa I. La dirección de I está hacia adentro de la lámina.

Las líneas de campo magnético corresponden a las equipotenciales de campo eléctrico.

Recuerde la analogía entre : La Ley de Biot-Savart para determinar H, y la Ley de Coulomb para determinar E.

8


Campo Magnético en una Espira :

En el centro de la espira :

y el campo magnético se define:

En un punto P del eje Z, se verifica:

90

z

2

0

2R

I

4

aH

dR

IH

ddLzr

rdHdHdH z

22

cos

9


Campo Magnético en una Espira (Cont.) :

Recordemos que :

Como , entonces :

ρ24

Ida

LH

rcosαz HH

zρ2z cosα4π

Idaa

LH

r

02

4

44

cos4

cos4

2

322

2

2

03

22

02

22

z

IH

dr

I

rr

dIH

r

dLI

r

IdLH

z

z

z

z

2

322

2

z

2aH

z

I

Observe que si z = 0, entonces:

Por otro lado, a grandes distancias de la espira, esto es z>>ρ, se verifica que:

zz 2aH

I

Campo en el centro

z3

2

z 2aH

z

I

10

D8.1

Un alambre largo recto porta una corriente I=10A. ¿A qué distancia se encuentra el campo magnético H=1Am-1?

D8.2

a.¿Cuánta corriente debe fluir en una espira de radio 0.5 m para producir un campo magnético H=1mA/m?b.¿Cuál es el campo magnético H a una distancia de 2 m de la espira a lo largo de su eje?

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

D8.1 : 1.59 m

D8.2 :

a)1 mAb)14.26 μA/m


11

P8.7

Dados los puntos C(5,-2,3) y P(4,-1,2), un elemento diferencial IdL = 10-4(4,-3,1)Am en C produce un campo dH en P.

a.Especificar la dirección de dH por medio de un vector unitario aH.

b.Encontrar | dH |.c.¿Qué dirección aL debe tener IdL en C para dH=0?


Respuestas:

a)0.53 ax + 0.80 ay + 0.27 az

b)5.73 x 10-6 A/m

c)(- ax + ay – az)/sqrt(3).


LEY CIRCUITAL DE AMPERE

Corriente para un alambre largo

En el caso uniforme se tiene : [A]

En forma más general, I es la integral de línea de H alrededor de cualquier trayectoria cerrada contenida por el alambre, esto es: [A]

12

HI 2

LH dI

S

SJLH ddI

Para un conductor de sección transversal A y densidad de corriente J, se tiene: I=JA, y para el caso más general (no uniforme), se tiene:

La integral de línea en H alrededor de las trayectorias cerradas son igual a I, como se muestra en las trayectorias a y b de la siguiente figura. En el caso de la trayectoria c, la integral es menor que I, debido a que no toda la corriente está encerrada por la trayectoria.

13

P8.8

Un filamento infinito sobre el eje z transporta una corriente de mA en la dirección az. También están presentes tres placas de corrientes cilíndricas uniformes: 400 mA/m en ρ=1cm, -250 mA/m en ρ=2cm y -300 mA/m en ρ=3cm. Calcular en:

a.ρ = 0.5b.ρ = 1.5c.ρ = 2.5d.ρ = 3.5


Respuestas:

a)2 A/mb)933.33 mA/mc)360 mA/md)0 mA/m

LEY CIRCUITAL DE AMPERE (CONT.)

H

20


Campo Magnético Cable Coaxial

En las siguientes figuras se describe el comportamiento de I y de H:

a.Una sección transversal de un cable coaxial portador de una corriente uniformemente distribuida I en el conductor interior y –I en el conductor exterior.b. Filamento de corriente en ρ=ρ1, φ= φ1, producen componentes Hρ que se cancelan. Para el campo total, H=Hφaφ.

14


Campo Magnético Cable Coaxial (Cont.):

Ahora se demuestra que el campo magnético en cualquier punto se determina fácilmente por medio de la aplicación de la Ley Circuital de Ampere para una trayectoria cerrada.

Primero, apliquemos la definición de la Ley Circuital de Ampere a un filamento largo. Para determinar H en un punto P, aceptamos que P pasa por una trayectoria cerrada (trayectoria amperiana es análoga a superficie gaussiana). Como H es constante si ρ es constante, se verifica que: 15

22

0

HdHdLHI

Despejando se tiene:

aH

2

I

Igual al resultado determinado mediante Biot-Savart

Sigue



Escenario a< ρ < b :

Escenario ρ < a:

Puesto que la corriente está uniformemente distribuida en la sección transversal, se verifica que:

16

2

IH

S

SJLH ddIenc

Cont. Escenario ρ < a:

Por tanto, el campo resultante es:

zz ddda

IaSaJ

2

2

22

2enc

2enc

I

dI

a

I

a

I

dda

I

S

SJ

2

2

2

2

2

a

IH

a

IHdLHIenc

Sigue



Escenario ρ > c :

Si el radio ρ es mayor que el radio exterior del conductor externo, no se encierra corriente, por tanto :

Escenario b < ρ < c :

Puesto que la trayectoria amperiana ahora es:

[I. Cond. Ext.]

[I. Filamento] 17

Cont. Escenario b < ρ < c :

despejando se tiene:0H

S

SJ dIIenc

22

22

enc

S

2

IIdd

bc

bIIH

SJLH

22

22

2 bc

cIH


Campo Magnético Solenoide

Si las vueltas son cintas planas y cercanas entre sí, el solenoide se convierte en una lámina de corriente continua con densidad K igual a: 18

zd

NIaH

Observe que la misma se deduce a partir de la Ley de Ampere. Esta aproximación es útil si se aplica a distancias interiores separadas al menos dos radios de los extremos abiertos, y distancias superficiales menores a dos veces la separación entre espiras.

KHd

NIK

Dentro de la Bobina


Campo Magnético Toroide

En la gráfica a se muestra un toroide ideal portador de una corriente superficial K en la dirección que se muestra. Y en la gráfica b se muestra un toroide de N vueltas portador de una corriente filamentaria I.

19

FLUJO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ; LEY DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS

Flujo Magnético [Ф]

El flujo magnético a través de una superficie es la integral de la componente normal al campo magnético del medio, esto es:

[Webers, Wb]

donde μ es la permeabilidad del medio [H/m, Hm-1]Recordando Dimensiones:

SI: Wb → V.s → T.m2 → m2.kg.s-

2.A-1

Wb → Henry.A Henry → H → V.s.A-1

CGS: 1Maxwell = 10-8 Wb 20

HdSS

Si el campo es uniforme : [Wb]

La permeabilidad es la capacidad de dejar pasar flujo a través del medio, contrario a la reluctancia [R=L/(μS)], que es la resistencia al flujo.

Densidad de Flujo Magnético [B]

La densidad de flujo magnético B se obtiene dividiendo el flujo entre el área (flujo por unidad de área), esto es: [Wb/m2,Tesla,T]

HS

HB μ

S

dΦ SB

FLUJO Y DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ; LEY DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS (CONT.)

Densidad de Flujo Magnético [B] (Cont.)

[H/m]

Ley de Gauss para Campos Magnéticos

Como las líneas de campo magnético son espiras cerradas, se concluye que el número de líneas que salen y entran a un volumen es igual, por tanto, la integral sobre una superficie cerrada es cero, como se muestra a continuación:

Y aplicando el Teorema de la Divergencia, se tiene:21

70

r0

r0

104πμ

μμμ

μμ

HB

S

0dSB

0 B

ROTACIONAL

Rotacional

Consideremos que la integral correspondiente a la Ley de Ampere

se realiza sobre una superficie ∆S= ∆y ∆z, entonces:

Al dividir entre ∆S se tiene:

22

LH dI

LH dΔIx

SS

LH

Δ

ΔI

Δ

dx

Evaluando la expresión anterior en el límite cuando ∆S → 0, resulta:

Esta evaluación se realiza alrededor de un punto P. Observe que cuando ∆S → 0, la corriente se concentra alrededor de un punto, la misma se transforma en una densidad de corriente J en dicho punto P.

El operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial H a inducir rotación alrededor de un punto P se llama rotacional y se mide en : A/m2.

S

LHJH

S Δ

dlimrotacional

0Δxx

ROTACIONAL (CONT.)

Rotacional (Cont.)

En el caso general :

también se expresa:

[A/m2]

23

zzyyxx

zxy

yzx

xyz

rotacional

y

H

x

H

x

H

z

H

z

H

y

Hrotacional

aJaJaJH

aaaH

JHHH

aaa

H

rotrotacional

HHHzyx

rotacional

zyx

zyxEl rotacional proporciona la densidad de corriente en un punto, mientras que la divergencia proporciona la densidad de carga en un punto.

ROTACIONAL (CONT.)

Rotacional (Cont.)

Ejercicio:Como un ejemplo de evaluación del rotacional H a partir de la definición y de la evaluación de otra integral de línea, supóngase que H=0.2z2ax para z>0, y H=0 en cualquier otra parte, como se muestra en la figura.

Calcular:

para una trayectoria cuadrada con los lados iguales a d, centrada en (0,0,z1) en el plano y=0, donde z1>d/2.

24

LH d

Sigue

ROTACIONAL (CONT.)

Rotacional (Cont.)

Solución Ejercicio:

1.Evaluación de la Ley de Ampere:

2.Aplicamos la definición. Por tanto, en el límite, aproximamos el área a cero:

3.Las componentes x, y son cero, por tanto:

24

21

2

1

2

1

4.0d

02

12.00

2

12.0d

dz

ddzddz

LH

LH

12

21

0d20dy 0.4z

d

d0.4zlim

d

dHlim

LH

y1y 0.4z aH

ROTACIONAL (CONT.)

Rotacional (Cont.)

Solución Ejercicio:

4. Ahora repetimos la evaluación sin recurrir a la definición. Veamos el resultado utilizando su forma de determinante:

24

yy2

2

zyx

zyx

zyx

4.02.0rotacional

000.2zzyx

HHHzyx

rotacional

aaHH

aaaaaa

H

zzz

LQQD

ROTACIONAL (CONT.)

Rotacional (Cont.)

Resumiendo algunas propiedades del Rotacional:

1.El rotacional de una campo vectorial es otro campo vectorial.2.El rotacional de un campo escalar V, , carece de sentido.3.La divergencia del rotacional de un campo vectorial tiende a cero, esto es:

4.El rotacional del gradiente de un campo escalar tiende a cero, esto es:

25

V

0 A

0V

26

D8.4

a) Evaluar la integral de línea cerrada de H alrededor de la trayectoria rectangular P1(2,3,4) a P2(4,3,4) a P3(4,3,1) a P4(2,3,1), dado H=3zax-2x3az A/m.

b) Determinar el cociente de la integral de línea cerrada y el área encerrada por la trayectoria como una aproximación a

c) Determinar en el centro del rectángulo.


Respuestas:

a)354 Ab)59 A/m2

c)57 A/m2

ROTACIONAL (CONT.)

yH yH

Condición

POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES

Potencial Magnético Escalar

De igual modo que , la relación con H del potencial magnético escalar Vm se define de acuerdo con:

si J=0

Vm se mide en amperes.

La condición J=0 se explica considerando que :

La ecuación de Laplace se satisface considerando la misma condición, esto es: si J=0 27

mVH

VE

0V mHJ

0V2 m

Sí

A veces

POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES (CONT.)

Potencial Magnético Vectorial

El potencial magnético vectorial A se relaciona de tal forma que:

Así como se definió :

Es posible definir :

28

AB

r

dQV

04

S vL R

dv

R

dS

R

Id

444000 J

AK

AL

A

POTENCIALES MAGNÉTICOS ESCALARES Y VECTORIALES (CONT.)

29

D8.8

Una placa de corriente K=2.5az A/m, está presente en la superficie ρ=1.2 pulgadas en el espacio libre.

a) Encontrar H para ρ>1.2.b) Encontrar Vm en P (ρ=1.5, ,z=1).c) Vm=0 en y hay una barrera en .d)Vm=0 en y hay una barrara en .e) Vm=5V en y hay una barrera en .


Respuestas:

a)2.88/ρ aφ

b)-5.43 Ac)12.7 Ad)3.62 Ae)-9.48 A

6.00 2 0 8.0

LEY DE FARADAY

Ley de Faraday

Un flujo magnético Ф cambiante a través de una espira cerrada produce una fem o voltaje V dado por:

[V]

Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de N vueltas, entonces:

En su forma general:

30

dt

dVfem

dt

dNVfem

SB

LE ddt

dV

S

dBΦ S

LEY DE FARADAY (CONT.)

Ley de Faraday (Cont.)

Un ejemplo ilustrativo de la aplicación de la Ley de Faraday en el caso de una densidad de flujo magnético constante y una trayectoria variable. La barra transversal se mueve a la derecha con una velocidad v y el circuito se cierra a través de los dos rieles y un voltímetro muy pequeño con alta resistencia interna. La lectura del voltímetro es V12=-Bvd.

31

32

P10.7

Cada uno de los rieles de la figura tiene una resistencia de 2.2 Ω/m. La barra se mueve a la derecha a una velocidad constante de 9 m/s en un campo magnético uniforme de 0.8 T. Encontrar I(t), 0<t<1 s, si la barra está en x=2 en t=0 y

a)Una resistencia de 0.3 Ω se encuentra en el extremo izquierdo con el extremo derecho formando un circuito abierto.b)Una resistencia de 0.3 Ω se ubica en cada extremo.


Respuestas en el Apéndice E del texto

LEY DE FARADAY (CONT.)

TEOREMA DE STOKES

Teorema de Stokes

De la Ley de Faraday, verificamos que la integral de E alrededor de una espira de área incremental ∆S que contiene un flujo de densidad cambiante con el tiempo B, es igual al voltaje inducido en la espira:

Dividiendo entre ∆S y evaluando en el límite cuando ∆S →0, se tiene:

33

S

St

Bd

tdV S

BLE

tS

dLrotacional

S

BEE

0lim

En notación vectorial:

Por tanto, expresamos el Teorema de Stokes en la forma:

t

B

E

c S

dd SELE

TEOREMA DE STOKES (CONT.)

Teorema de Stokes (Cont.)

El Teorema de Stokes establece que la integral de línea de una función vectorial sobre un contorno c, es igual a la integral del rotacional de esa función vectorial sobre cualquier superficie que tiene c como su frontera.

Esta expresión es válida para cualquier campo vectorial, de manera que:

34

c S

dd SELE

c S

dd SHLH

35

P8.24

Evaluar ambos lados del Teorema de Stokes para el campo G=10sinθaφ y la superficie :

La superficie está en la dirección ar.


Respuesta

15π

900

900

3

r

TEOREMA DE STOKES (CONT.)

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

Corriente de Desplazamiento

Recuerde que:

Consideremos el siguiente artificio:

36

t

ρ-

0

0

t

v

J

J

H

JH

BE Faraday

Ampere

Divergencia del Rotacional

Ec. Continuidad

0 GJHGJH

Desconocido

Entonces:

No obstante, la continuidad de la corriente exige :

Siendo incompatible con la expresión:

Por tanto, el vector desconocido debe satisfacer la ecuación de continuidad, esto es:

0 GJ

0

tvJ

t

ρv

G

0 J

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO (CONT.)

Corriente de Desplazamiento (Cont.)

Sustituyendo la densidad de carga volumétrica por la densidad por su equivalente en la ley de gauss para campos electrostáticos en forma puntual, se tiene:

Transformando, se tiene:

Esta ecuación resuelve el problema de la ecuación de continuidad.

36

La expresión

Resulta de una densidad de corriente de desplazamiento. Maxwell la nombró densidad de corriente de desplazamiento, y se denota:

En un medio no conductor J=0, por tanto:

t

DG

t

D

JH

t

D

JH

dJJH

DJ

td

t

D

H


Corriente de Desplazamiento (Cont.)

Por simetría, también se verifica que:

Evaluando la integral de superficie, la corriente total de desplazamiento que resulta es:

37

De ahí que:

Aplicando el Teorema de Stokes:

t

B

E

S

d

S SS

SS

dd

dt

IIId

dt

dd

dt

dI

SD

LH

SD

SJSH

SD

SJ

38

Ejercicio

Un voltaje de 50sin103t voltios se aplica a las placas paralelas de un capacitor, con área de 5 cm2 y 3 mm de separación. Calcule la corriente de desplazamiento suponiendo que ε=2 ε0.

Solución


dt

dV

dt

DJ

d

VED

d

Por tanto,

Lo que equivale a la corriente de conducción, dada por:

dt

dVC

dt

dV

d

SSJI dd

nAtI

tI

dt

dVC

dt

dV

d

S

dt

dESI

dt

dDS

dt

dS

dt

dQI

d

d

c

sc

3

333

49

10cos4.147

10cos5010103

105

36

102

39

E9.4

En el vacío, V/m.Calcule :a)Jd

b)Hc)ω


Respuesta

a)-20ωε0sin(ωt-50x)ay A/m2

b)0.4ωε0cos(ωt-50x)az A/mc)1.5x1010 rad/s


y50xωt20cos aE

GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN

Documents

Clase+8_CE